수학사

History of mathematics
역사상 가장 영향력 있는 교과서로 널리 여겨지는 유클리드원소(c.기원전 300년)[1]의 증거.

수학의 역사는 수학에서의 발견의 기원과 과거의 수학적 방법과 표기법을 다룹니다. 현대 시대와 지식의 전 세계적인 확산 이전에 새로운 수학적 발전에 대한 기록된 예는 몇몇 지역에서만 밝혀졌습니다. 기원전 3000년부터 메소포타미아수메르, 아카드, 아시리아가 그 뒤를 이었고, 고대 이집트와 레반티네의 에블라주과세, 상업, 무역, 그리고 자연의 패턴, 천문학 분야, 그리고 시간을 기록하고 달력을 작성하기 위해 산술, 대수학, 기하학을 사용하기 시작했습니다.

현존하는 가장 초기의 수학 문헌은 메소포타미아이집트플림프톤 322 (바빌로니아 2000 – 1900 BC),[2] 뒷다리 수학 파피루스 (이집트 c. 1800 BC),[3] 모스크바 수학 파피루스 (이집트 c. 1890 BC)입니다. 이 모든 글들은 이른바 피타고라스의 세 를 언급하고 있기 때문에 추론해 보면 피타고라스 정리는 기본적인 산술과 기하학 다음으로 가장 오래되고 널리 퍼진 수학적 발전으로 보입니다.

"실증적인 학문"으로서의 수학에 대한 연구는 기원전 6세기 고대 그리스어 μ άθη μα (mathema)에서 "수학"이라는 용어를 만든 피타고라스 사람들과 함께 시작되었습니다. 그리스 수학은 (특히 증명에서 연역적 추론과 수학적 엄격성의 도입을 통해) 방법을 크게 개선하고 수학의 주제를 확장했습니다.[5] 비록 그들은 이론 수학에 거의 기여하지 않았지만, 고대 로마인들측량, 구조 공학, 기계 공학, 부기, 음력태양력 달력의 창조, 그리고 심지어 예술과 공예응용 수학을 사용했습니다. 중국 수학자릿값 체계음수의 최초 사용을 포함하여 초기에 기여했습니다.[6][7] 오늘날 전 세계에서 사용되고 있는 힌두-아라빅 체계와 그 연산의 사용에 대한 규칙은 인도에서 서기 1천년 동안 발전했으며 무 마드 이븐 무사 알콰리즈미 ī의 연구를 통해 이슬람 수학을 통해 서방 세계로 전파되었습니다. 이슬람 수학은 다시 이러한 문명에 알려진 수학을 발전시키고 확장시켰습니다.[10] 멕시코중앙 아메리카마야 문명에 의해 개발된 수학은 이러한 전통과 동시대적이지만 독립적이었습니다. 여기서 0의 개념은 마야 숫자로 표준 기호가 주어졌습니다.

12세기 이후부터 수학에 관한 많은 그리스어와 아랍어 텍스트가 라틴어로 번역되었고, 중세 유럽에서 수학의 발전을 이끌었습니다. 고대부터 중세에 이르기까지 수학적 발견의 시기에는 종종 수세기 동안의 정체가 뒤따랐습니다.[11] 새로운 과학적 발견과 상호작용하는 새로운 수학적 발전은 15세기 이탈리아 르네상스를 시작으로 오늘날까지 계속되는 증가하는 속도로 이루어졌습니다. 여기에는 아이작 뉴턴고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 17세기에 무한소 미적분학을 발전시킨 획기적인 업적이 포함됩니다.

숫자표
유럽어(서아랍어의 후손) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
아랍어-인딕 ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
동아랍어-인디크어(페르시아어, 우르두어) ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Devanagari (Hindi)
중국어 – 일본어
타밀어

선사시대

수학적 사고의 기원은 , 자연의 패턴, 크기, 형태의 개념에 있습니다.[12] 동물 인지에 대한 현대 연구는 이러한 개념이 인간만의 것이 아니라는 것을 보여주었습니다. 그러한 개념은 수렵 채집 사회에서 일상 생활의 일부였을 것입니다. "숫자" 개념이 시간이 지남에 따라 점진적으로 진화한다는 개념은 "하나", "둘", "많은"의 구별을 보존하는 언어의 존재에 의해 뒷받침되지만, 2보다 큰 숫자의 경우에는 그렇지 않습니다.[12]

나일강(콩고 북동부)의 상류 근처에서 발견된 이산고 뼈 2만년 이상 되었을 수도 있으며 뼈의 길이만큼 이어진 세 개의 기둥에 새겨진 일련의 자국으로 이루어져 있습니다. 일반적인 해석은 이산고 뼈가 소수[13] 배열의 가장 초기의 증명을 보여주거나 6개월 음력을 보여준다는 것입니다.[14] 피터 러드먼(Peter Rudman)은 소수 개념의 발전은 기원전 10,000년 이후의 나눗셈 개념 이후에나 이루어졌을 수 있으며, 소수는 아마도 기원전 500년경이 되어서야 이해될 것이라고 주장합니다. 그는 또한 "왜 어떤 것의 집계가 2의 배수, 10과 20 사이의 소수, 그리고 10의 거의 배수인 일부 숫자를 나타내야 하는지를 설명하려는 시도는 이루어지지 않았습니다"라고 썼습니다.[15] 학자 알렉산더 마샤크(Alexander Marshack)에 따르면, 이산골은 이산골의 일부 항목과 마찬가지로 이집트 산술에서도 2의 곱셈을 사용했기 때문에 나중에 이집트에서 수학의 발전에 영향을 미쳤을 수 있지만, 이것은 논쟁의 여지가 있습니다.[16]

기원전 5천년의 이집트인들은 기하학적인 디자인을 그림으로 나타냈습니다. 영국스코틀랜드거석학 기념물들은 기원전 3천년기에 만들어진 것으로 원, 타원, 피타고라스의 세쌍원소와 같은 기하학적인 아이디어들을 디자인에 포함하고 있다고 주장되었습니다.[17] 그러나 위의 모든 것은 논쟁의 여지가 없으며, 현재 논쟁의 여지가 없는 가장 오래된 수학 문서는 바빌로니아와 이집트 왕조의 자료입니다.[18]

바빌로니아의

바빌로니아 수학은 초기 수메르 시대부터 헬레니즘 시대, 거의 기독교의 여명기에 이르기까지 메소포타미아(현대 이라크) 민족의 모든 수학을 말합니다.[19] 바빌로니아 수학 연구의 대부분은 크게 분리된 두 시기에서 비롯됩니다. 기원전 2천년(구 바빌로니아 시대)의 첫 몇 백 년과 기원전 1천년(셀레우코스 시대)[20]의 마지막 몇 세기. 바빌론이 학문의 장으로서 중심적인 역할을 했기 때문에 바빌론 수학이라는 이름이 붙었습니다. 이후 아랍제국 치하에서 메소포타미아, 특히 바그다드는 다시 한 번 이슬람 수학의 중요한 연구 중심지가 되었습니다.

서자학교 소속 점토판의 기하학 문제; 수사, 기원전 2천년 전반기

바빌로니아 수학에 대한 지식은 이집트 수학의 출처가 희박한 것과는 대조적으로 1850년대 이후 발굴된 400개 이상의 점토판에서 비롯됩니다.[21] 설형문자로 쓰인 석판은 점토가 촉촉할 때 새겨졌고, 오븐이나 태양열에 의해 단단하게 구워졌습니다. 이것들 중 일부는 등급이 매겨진 숙제로 보입니다.[22]

문자 수학의 가장 초기의 증거는 메소포타미아에서 가장 초기의 문명을 건설한 고대 수메르인으로 거슬러 올라갑니다. 그들은 기원전 3000년부터 곡물 할당, 노동자, 은의 무게, 또는 심지어 액체와 같은 행정/재정 계산에 주로 관심이 있는 복잡한 도량형 시스템을 개발했습니다.[23] 기원전 2500년경부터 수메르인들은 점토판에 곱셈표를 작성하고 기하학적 연습문제와 나눗셈 문제를 다루었습니다. 바빌로니아 숫자의 가장 초기 흔적도 이 시기로 거슬러 올라갑니다.[24]

기원전 1800년경의 바빌로니아 수학 판 플림톤 322.

바빌로니아 수학은 60진법을 사용하여 작성되었습니다.[21] 이로부터 오늘날에는 1분에 60초, 1시간에 60분, 원에 360도(60 × 6)의 사용법과 1도의 분수를 나타내는 초 및 분의 호 사용법이 도출됩니다. 60을 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30으로 균등하게 나눌 수 있기 때문에 수메르의 필경사들이 처음에 60을 사용한 것으로 생각되며,[21] 필경사들이 손으로 쉽게 계산할 수 있는 것(앞에서 언급한 곡물의 할당, 은의 중량을 기록하는 것 등)이 필수적이었기 때문에, 따라서 60진법은 손으로 계산하는 것이 실용적으로 더 쉽습니다. 그러나 60진법을 사용하는 것은 수학적/practical적 결정이 아니라 민족 lingu주의적 현상일 가능성이 있습니다. 또한, 이집트인, 그리스인, 로마인과 달리 바빌로니아인은 자리값 체계를 가지고 있었는데, 왼쪽 열에 쓰여진 숫자들은 십진법에서와 마찬가지로 더 큰 값을 나타냅니다. 바빌로니아 표기법의 힘은 분수를 정수처럼 쉽게 나타낼 수 있다는 데 있습니다. 따라서 분수를 포함하는 두 수를 곱하는 것은 현대 표기법과 마찬가지로 정수를 곱하는 것과 다르지 않았습니다. 바빌로니아인들의 표기 체계는 르네상스 이전까지 모든 문명 중 최고였으며, 그 힘으로 놀라운 계산 정확도를 달성할 수 있었습니다. 예를 들어, 바빌로니아인의 태블릿 YBC 7289는 소수 다섯 자리까지 정확 √ 2의 근사치를 제공합니다. 그러나 바빌로니아인들은 소수점에 해당하는 것이 부족했고, 따라서 상징의 장소 가치는 종종 맥락에서 추론되어야 했습니다.[20] 셀레우코스 시대에 이르러 바빌로니아인들은 빈 자리에 대한 자리 표시자로서 제로 기호를 개발했지만, 그것은 중간 자리에만 사용되었습니다.[20] 이 제로 부호는 말단 위치에는 나타나지 않으므로 바빌로니아인들이 가까이 왔지만 진정한 장소 가치 체계를 개발하지는 못했습니다.[20]

바빌로니아 수학에서 다루는 다른 주제로는 분수, 대수, 2차 방정식과 3차 방정식, 그리고 정칙수의 계산과 그 역수 쌍이 있습니다.[27] 태블릿에는 선형, 2차 방정식3차 방정식을 풀기 위한 곱셈표와 방법도 포함되어 있어 당시로서는 놀라운 성과입니다.[28] 고대 바빌로니아 시대의 태블릿에는 피타고라스 정리의 가장 초기의 진술도 포함되어 있습니다.[29] 그러나 이집트 수학과 마찬가지로 바빌로니아 수학도 정확한 해와 근사해의 차이, 문제의 해결 가능성에 대한 인식이 없으며 가장 중요한 것은 증명이나 논리적 원리의 필요성에 대한 명시적인 진술이 없다는 것입니다.[22]

이집트인

모스크바 수학 파피루스에서 본 14번 문제의 이미지. 문제에는 잘린 피라미드의 치수를 나타내는 다이어그램이 포함되어 있습니다.

이집트 수학은 이집트어로 쓰여진 수학을 말합니다. 헬레니즘 시대부터 그리스어이집트 학자들의 문자 언어로 이집트어를 대체했습니다. 아랍어가 이집트 학자들의 문자 언어가 되었을 때, 이집트의 수학 연구는 나중에 이슬람 수학의 일부로서 아랍 제국 하에서 계속되었습니다. 고고학적 증거에 따르면 고대 이집트의 계수 체계는 사하라 사막 이남의 아프리카에서 기원을 가지고 있었습니다.[30] 또한 사하라 사막 이남의 아프리카 문화권에 널리 퍼져 있는 프랙탈 기하학 디자인은 이집트 건축과 우주론적 기호에서도 발견됩니다.[31]

가장 광범위한 이집트 수학 텍스트는 기원전 1650년경의 것으로 추정되는 린드 파피루스(때로는 그 저자의 이름을 따서 아흐메스 파피루스라고도 함)입니다. 하지만 아마도 기원전 2000년에서 1800년 사이의 중세 왕국의 더 오래된 문서의 사본일 것입니다.[32] 산술과 기하학과 학생들을 위한 사용설명서입니다. 곱셈, 나눗셈, 단위 분수와의 연산을 위한 영역 공식과 방법을 제공할 뿐만 아니라, 복소수와 소수[33]포함한 다른 수학적 지식의 증거, 산술적, 기하학적, 조화적 평균, 그리고 에라토스테네스 체완전수론에 대한 단순한 이해를 포함합니다. 6)[34]의 것입니다. 또한 1차 선형 방정식뿐만[35] 아니라 산술기하 급수를 푸는 방법도 보여줍니다.[36]

또 다른 중요한 이집트 수학 텍스트는 역시 기원전 1890년경의 중세 왕국 시대의 모스크바 파피루스입니다.[37] 오늘날 이른바 단어 문제이야기 문제라고 불리는 것들로 구성되어 있는데, 이는 명백히 오락적인 의도로 이루어졌습니다. 한 가지 문제는 프리스텀(잘린 피라미드)의 부피를 찾는 방법을 제공하기 때문에 특히 중요하다고 여겨집니다.

마지막으로, 베를린 파피루스 6619(c. 1800 BC)는 고대 이집트인들이 2차 대수 방정식을 풀 수 있었다는 것을 보여줍니다.[38]

그리스어

피타고라스 정리. 일반적으로 피타고라스인들은 그 정리의 첫 번째 증명으로 인정받고 있습니다.

그리스 수학은 밀레투스의 탈레스(~기원전 600년) 때부터 서기 529년 아테네 아카데미가 문을 닫을 때까지 그리스어로 쓰인 수학을 말합니다.[39] 그리스 수학자들은 이탈리아에서 북아프리카에 이르기까지 동지중해 전역에 퍼져 있는 도시에 살았지만 문화와 언어로 하나가 되었습니다. 알렉산더 대왕 이후의 그리스 수학은 헬레니즘 수학이라고 불리기도 합니다.[40]

그리스 수학은 이전의 문화들이 발전시켰던 수학보다 훨씬 더 정교했습니다. 그리스 이전의 수학에 대한 현존하는 모든 기록은 귀납적 추론, 즉 경험 법칙을 확립하는 데 사용되는 반복된 관찰의 사용을 보여줍니다. 반면 그리스 수학자들은 연역적 추론을 사용했습니다. 그리스인들은 정의와 공리로부터 결론을 도출하기 위해 논리를 사용했고, 그것들을 증명하기 위해 수학적 엄격성을 사용했습니다.[41]

그리스 수학은 밀레투스의 탈레스 (c. 624–c. 546 BC)와 사모스의 피타고라스 (c. 582–c. 507 BC)로부터 시작되었다고 생각됩니다. 그 영향의 정도에 대해서는 논란의 여지가 있지만, 그들은 아마도 이집트와 바빌로니아 수학에서 영감을 받았을 것입니다. 전설에 따르면, 피타고라스는 이집트의 성직자들로부터 수학, 기하학, 천문학을 배우기 위해 이집트로 여행을 갔습니다.

탈레스는 피라미드의 높이와 해안으로부터 배들의 거리를 계산하는 것과 같은 문제들을 풀기 위해 기하학을 사용했습니다. 그는 탈레스 정리의 네 가지 결과를 도출함으로써 기하학에 적용된 연역적 추론을 최초로 사용한 것으로 인정받고 있습니다. 그 결과, 그는 최초의 진정한 수학자이자 수학적 발견의 공로를 인정받은 최초의 알려진 사람으로 칭송받았습니다.[42] 피타고라스는 피타고라스 학파를 설립했는데, 그 교리는 수학이 우주를 지배한다는 것이었고, 그 좌우명은 "만물은 수(數)"였습니다.[43] "수학"이라는 용어를 만든 것은 피타고라스 사람들이었고, 그들 자신을 위해 수학 연구를 시작한 사람들이었습니다. 피타고라스인들은 피타고라스 정리의 첫 번째 증명으로 인정받지만,[44] 그 정리의 진술은 오랜 역사를 가지고 있고, 무리수의 존재에 대한 증명으로 인정받습니다.[45][46] 바빌로니아인, 인도인, 중국인보다 앞서 있었지만,[47] 네오피타고라스의 수학자 니코마코스(Nicomachus, 60–120 AD)는 가장 오래된 그리스어 곱셈표 중 하나를 제공했으며, 현존하는 가장 오래된 그리스어 곱셈표는 서기 1세기의 밀랍 판(현재 대영박물관에서 발견됨)에서 발견됩니다.[48] 곱셈표의 서양 발명과 네오피타고라스인들의 연관성은 후기 중세 이름인 멘사 피타고라스에서 분명히 드러납니다.[49]

플라톤 (기원전 428/427년 – 기원전 348/347년)은 수학의 역사에서 다른 사람들에게 영감을 주고 지도하는 데 중요합니다.[50] 아테네에 있는 그의 플라토닉 아카데미는 기원전 4세기에 세계의 수학 중심지가 되었고, 크니두스의 에우독소스 (기원전 390년경 - 기원전 340년경)와 같은 당대의 선도적인 수학자들이 오게 된 것은 이 학교에서부터입니다.[51] 플라톤은 또한 수학의 기초에 대해 논의하고,[52] (예를 들어, "빵 없는 길이"로서의 선의 정의) 일부를 명확히 하고, 가정을 재구성했습니다.[53] 플라톤의 이름은 피타고라스의 세 배를 구하는 공식에 있지만, 분석 방법은 플라톤의 것입니다.[51]

에우독소스는 현대 통합[54] 선구자이자 보상할 수 없는 크기의 문제를 피한 비율 이론인 탈진법을 개발했습니다.[55] 전자는 곡선 도형의 면적과 부피를 계산할 수 있게 해준 반면,[56] 후자는 후속 기하학자들이 기하학에서 상당한 발전을 이룰 수 있게 해주었습니다. 비록 그는 구체적인 기술적인 수학적 발견을 하지 못했지만, 아리스토텔레스 (기원전 384–c.322)는 논리학의 기초를 놓음으로써 수학의 발전에 크게 기여했습니다.[57]

현존하는 가장 오래된 유클리드 원소 조각 중 하나로 옥시린쿠스에서 발견되었으며 기원후 100년경의 것으로 추정됩니다. 그 도표는 제2권 명제 5와 함께 있습니다.[58]

기원전 3세기, 수학 교육과 연구의 최고 중심지는 알렉산드리아무사음이었습니다.[59] 유클리드 c.(기원전 300년)가 역사상 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서로 널리 여겨지는 '요소'를 가르치고 쓴 곳이 바로 그곳이었습니다.[1] The Elements공리적 방법을 통해 수학적 엄격성을 도입했으며 오늘날에도 여전히 수학에서 사용되는 형식인 정의, 공리, 정리 및 증명의 가장 초기의 예입니다. Elements의 대부분의 내용은 이미 알려져 있었지만, Euclid는 그것들을 일관성 있는 논리적 틀로 배열했습니다.[60] 원소는 20세기 중반까지 서양의 모든 교육을 받은 사람들에게 알려졌고 그 내용은 오늘날에도 기하학 수업에서 가르치고 있습니다.[61] 유클리드 기하학의 친숙한 정리 외에도 원소는 2의 제곱근이 무리수라는 증명과 무한히 많은 소수가 존재한다는 증명을 [60]포함하여 수론, 대수학, 실기하학 등 당대의 모든 수학 과목에 대한 입문 교재로 의미가 있었습니다. 유클리드는 또한 원뿔면, 광학, 구면기하학, 역학과 같은 다른 주제에 대해서도 광범위하게 을 썼지만, 그의 글의 절반만이 남아 있습니다.[62]

아르키메데스는 파이의 값을 근사하기 위해 소진 방법을 사용했습니다.

고대의 가장 위대한 수학자로 널리 알려진 시라쿠사아르키메데스 c.(기원전 287–212)[63]현대 미적분학과 크게 다르지 않은 방식으로 무한급수의 합을 갖는 포물선의 호 아래 면적을 계산하기 위해 소진법을 사용했습니다.[64] 그는 또한 탈진 방법을 사용하여 원하는 만큼의 정밀도로 π의 값을 계산할 수 있음을 보여주었고, 당시 알려진 가장 정확한 π 값인 3+10/71 < π < 3+10/70을 얻었습니다. 그는 또한 자신의 이름이 새겨진 나선형을 연구했고, 회전 표면부피에 대한 공식([64]포물면, 타원체, 쌍곡면)과 매우 큰 수를 표현하는 기발한 지수화 방법을 얻었습니다.[66] 그는 또한 물리학과 몇몇 첨단 기계 장치에 대한 공헌으로 유명하지만, 아르키메데스 자신은 그의 생각과 일반적인 수학 원리의 산물에 훨씬 더 큰 가치를 두었습니다.[67] 그는 구체의 표면적과 부피를 발견한 것을 그의 가장 큰 업적으로 여겼는데, 이것들이 구체를 감싸는 원통의 표면적과 부피의 2/3이라는 것을 증명함으로써 이를 얻었습니다.[68]

페르가의 아폴로니우스원뿔 부분에 대한 연구에서 중요한 발전을 이루었습니다.

페르가의 아폴로니우스(c.Apollonius of Perga, 기원전 262–190)는 원뿔 단면에 대한 연구에 상당한 발전을 이루어 이중으로 자른 원뿔을 절단하는 평면의 각도를 변경함으로써 세 가지 품종의 원뿔 단면을 모두 얻을 수 있음을 보여주었습니다.[69] 그는 또한 포물선(parabola), 타원(lipse)(결핍), 하이퍼볼라(hyperbola)(throw beyond) 등 오늘날 원뿔형 섹션에 사용되는 용어를 만들었습니다.[70] 그의 작품 코닉스는 고대의 가장 잘 알려져 있고 보존된 수학 작품 중 하나이며, 그는 아이작 뉴턴과 같이 행성 운동을 연구하는 후대의 수학자와 천문학자들에게 매우 귀중한 것으로 증명될 원뿔 단면에 관한 많은 정리를 도출했습니다.[71] 아폴로니우스나 다른 그리스 수학자들은 기하학을 조정하는 도약을 하지 못했지만, 아폴로니우스의 곡선 처리는 어떤 면에서는 현대적인 처리와 비슷하며, 그의 업적 중 일부는 1800년 후 데카르트에 의한 해석기하학의 발전을 기대하는 것으로 보입니다.[72]

비슷한 시기에 키레네의 에라토스테네스 c.(기원전 276–194)는 소수를 찾기 위한 에라토스테네스 체를 고안했습니다.[73] 기원전 3세기는 일반적으로 그리스 수학의 "황금 시대"로 여겨지며, 순수 수학의 발전은 이후 상대적으로 쇠퇴합니다.[74] 그럼에도 불구하고 몇 세기 동안 응용 수학, 특히 삼각법에서 상당한 발전이 이루어졌는데, 이는 주로 천문학자들의 요구를 해결하기 위한 것이었습니다.[74] 니케아의 히파르코스 c.(기원전 190–120)는 최초로 알려진 삼각표를 편찬한 삼각법의 창시자로 여겨지며, 그에게는 360도 원의 체계적인 사용 덕분이기도 합니다.[75] 알렉산드리아의 헤론 c.(10–70 AD)은 헤론이 비늘 삼각형의 넓이를 구했고 제곱근을 갖는 음수의 가능성을 처음으로 인식한 공식으로 인정받았습니다.[76] 알렉산드리아의 메넬라오스(c.서기 100년)는 메넬라오스의 정리를 통해 구면 삼각법을 개척했습니다.[77] 고대의 가장 완전하고 영향력 있는 삼각법 연구는 프톨레마이오스알마게스트 c.(AD 90–168)로, 천문학자들이 다음 천 년 동안 삼각법 표를 사용하게 될 획기적인 천문학 논문입니다.[78] 프톨레마이오스는 삼각량을 도출한 프톨레마이오스의 정리로도 인정받고 있으며, 중세 시대인 3.1416까지 중국 이외의 지역에서 가장 정확한 π의 값을 산출했습니다.

클로드 가스파르 바셰메지리악라틴어로 번역한 디오판토스의 산술 1621년판의 제목 페이지.

프톨레마이오스 이후 침체기를 거쳐 서기 250년에서 350년 사이의 시기를 그리스 수학의 "은시대"라고 부르기도 합니다.[80] 이 시기 디오판토스는 대수학, 특히 불확정해석학에서 중요한 발전을 이루었는데, 이를 디오판토스 해석학이라고도 합니다.[81] 디오판토스 방정식디오판토스 근사치에 대한 연구는 오늘날까지 중요한 연구 분야입니다. 그의 주요 작업은 방정식을 결정하고 결정하지 않는 정확한 해를 다루는 150개의 대수 문제 모음인 산술이었습니다.[82] 산술피에르 페르마와 같이 산술에서 읽은 문제(한 제곱을 두 제곱으로 나누는 문제)를 일반화하려고 노력한 끝에 그의 유명한 마지막 정리에 도달한 후기 수학자들에게 상당한 영향을 미쳤습니다.[83] 디오판토스는 또한 표기법에 있어서 중요한 발전을 이루었는데, 산술은 대수적 상징성과 싱커페이션의 첫 번째 사례입니다.[82]

하기아 소피아는 수학자인 트랄레스의 안티우스밀레투스의 이시도레에 의해 설계되었습니다.

마지막 위대한 그리스 수학자들 중에는 알렉산드리아의 파푸스 (서기 4세기)가 있습니다. 그는 육각형 정리중심 정리, 그리고 파푸스 구성파푸스 그래프로 유명합니다. 그의 컬렉션은 그리스 수학의 대부분이 남아있기 때문에 그리스 수학에 대한 주요 지식의 원천입니다.[84] 파푸스는 그리스 수학의 마지막 주요 혁신가로 여겨지며, 이후의 연구는 주로 초기 연구에 대한 해설로 구성되었습니다.

역사에 의해 기록된 최초의 여성 수학자는 알렉산드리아의 히파티아 (AD 350–415)였습니다. 그녀는 아버지(알렉산드리아의 테온)의 뒤를 이어 대도서관[citation needed] 사서가 되었고 응용수학에 관한 많은 작품을 썼습니다. 알렉산드리아의 기독교계는 정치적 분쟁 때문에 그녀를 공개적으로 옷을 벗기고 처형했습니다.[85] 그녀의 죽음은 때때로 알렉산드리아 그리스 수학 시대의 종말로 받아들여지기도 하지만, 아테네에서 프로크루스, 심플리키우스, 에우토키우스와 같은 인물들과 함께 한 세기 동안 작업이 계속되었습니다.[86] 프로크루스와 심플리키우스는 수학자보다 철학자였지만, 초기 연구에 대한 그들의 해설은 그리스 수학의 귀중한 자료입니다. 서기 529년 유스티니아누스 황제에 의한 아테네 신플라톤 학당의 폐쇄는 전통적으로 그리스 수학 시대의 종말을 알리는 것으로 여겨지지만, 그리스 전통은 비잔티움 제국에서 트랄레스안시우스밀레투스의 이시도레와 같은 수학자들로 계속되었습니다.[87] 그럼에도 불구하고 비잔틴 수학은 대부분 해설로 구성되어 있었고, 혁신의 길은 거의 없었고, 이때쯤이면 수학적 혁신의 중심은 다른 곳에서 찾을 수 있을 것이었습니다.[88]

로마인

헝가리 현대 부다페스트 아킨쿰 유적지에서 발견된 고대 로마 토지 측량사(그로마티치)가 사용한 장비

후기 로마 공화국과 그 후의 로마 제국의 통치하에서 그리스 민족 수학자들은 계속되었지만, 그에 비해 주목할 만한 라틴어 토박이 수학자는 없었습니다.[89][90] 그리스에서 수학을 공부한 영향력 있는 로마 정치가 키케로(기원전 106–43)와 같은 고대 로마인들로마의 측량사와 계산기들이 그리스인들이 소중하게 여겼던 이론 수학과 기하학보다 응용 수학에 훨씬 더 관심이 있다고 믿었습니다.[91] 로마인들이 그들의 숫자 체계를 처음에 그리스의 선례로부터 직접 도출했는지, 아니면 현재 이탈리아 중부 토스카나를 중심으로 한 에트루리아 문명이 사용한 에트루리아 숫자로부터 도출했는지는 불분명합니다.[92]

로마인들은 계산을 통해 재정 사기를 선동하고 적발하는 것은 물론 국고를 위한 세금을 관리하는 데 능숙했습니다.[93] 로마의 그로마티키(즉, 토지 조사관) 중 한 명인 시쿨루스 플라쿠스(Siculus Flaccus)는 로마의 조사관이 할당된 토지와 영토의 표면적을 측정하는 데 도움이 된 들판 범주를 썼습니다.[94] 무역과 세금을 관리하는 것 외에도, 로마인들은 정기적으로 다리와 같은 건축물의 건설, 도로 건설, 군사 작전의 준비를 포함한 공학의 문제들을 풀기 위해 수학을 적용했습니다.[95] 고대 그리스의 디자인에서 영감을 받은 로마 모자이크와 같은 예술과 공예는 각 타일에 대한 정밀한 측정이 필요한 착시주의적인 기하학적 패턴과 풍부하고 세부적인 장면을 만들어 냈습니다. 오푸스 테셀라툼 조각들은 평균 8 밀리미터 제곱이고, 더 미세한 오푸스 베르미쿨라툼 조각들은 평균 표면이 4 밀리미터 제곱입니다.[96][97]

로마 달력을 만드는 데도 기초 수학이 필요했습니다. 최초의 달력은 로마 왕국 시대인 기원전 8세기로 거슬러 올라가며, 356일과 2년마다 윤년을 더한 것으로 알려져 있습니다.[98] 이에 비해 공화정 시대의 음력은 355일로 태양력보다 약 10일과 1/4일이 짧았는데, 이는 2월 23일 이후 달력에 한 달을 더 추가함으로써 해결된 불일치입니다.[99] 이 달력은 율리우스 카이사르 (기원전 100년–44년)가 조직하고 알렉산드리아의 소시게네스가 365일 주기로 4년마다 윤일을 포함하도록 고안한 태양력율리우스력으로 대체되었습니다.[100] 11분 14초의 오차가 있었던 이 달력은 나중에 교황 그레고리오 13세(r.1572–1585)가 주관한 그레고리오 달력에 의해 수정되었는데, 이 달력은 현대에 국제 표준 달력과 사실상 동일한 태양력입니다.[101]

거의 동시에, 한족과 로마인들은 이동 거리를 측정하는 바퀴 달린 주행 거리 측정기를 발명했습니다. 이는 로마의 토목 기사이자 건축가인 비트루비우스 c.(기원전 80년기원전 15년)가 처음으로 설명한 로마 모델입니다.[102] 이 장치는 적어도 코모두스 황제 r.(177–192 AD) 시대까지 사용되었지만, 서유럽에서 15세기 동안 실험이 이루어지기 전까지는 디자인이 사라진 것으로 보입니다.[103] 아마도 안티키테라 메커니즘에서 발견된 유사한 기어 작업과 기술에 의존했을 것이며, 비트루비우스의 주행 거리계는 직경 4피트(1.2m) 크기의 전차 바퀴가 1 로마 마일(약 4590피트/1400m)에 400번 회전하는 것을 특징으로 합니다. 한 바퀴를 돌 때마다 핀 앤 액슬 장치가 400개의 톱니 바퀴를 달았는데, 이 톱니 바퀴는 조약돌을 상자에 떨어뜨리는 두 번째 기어를 돌렸고, 각 조약돌은 1마일을 횡단했습니다.[104]

중국인

세계 최초의 십진법 곱셈표가 들어있는 칭화 대나무 전표전국시대인 기원전 305년의 것입니다.

중국 초기 수학에 대한 분석은 세계의 다른 지역에 비해 독특한 발전을 보여주었고, 학자들은 전적으로 독립적인 발전을 가정하게 만들었습니다.[105] 현존하는 중국의 가장 오래된 수학 문헌은 저우비수안징(周髀算經)으로, 기원전 1200년에서 기원전 100년 사이의 다양한 연대를 가지고 있지만, 전국시대에는 기원전 300년 정도의 연대가 합리적인 것으로 보입니다. 그러나 가장 초기의 알려진 십진법 곱셈표를 포함하는 칭화 대나무 전표는 기원전 305년경의 것으로 추정되며 아마도 현존하는 중국의 가장 오래된 수학 텍스트일 것입니다.[47]

계수봉번호

중국 수학에서 특히 주목할 점은 십진법 위치 표기 체계, 즉 1에서 10 사이의 숫자에는 고유한 암호가 사용되고 10의 거듭제곱에 대해서는 추가적인 암호가 사용되는 소위 "막대 숫자"입니다.[107] 따라서 숫자 123은 "1"의 기호를 사용하여 작성되고, 그 다음에 "100"의 기호, 그 다음에 "2"의 기호, "10"의 기호, 그 다음에 "3"의 기호를 사용합니다. 이것은 당시 세계에서 가장 진보된 수 체계였으며, 분명히 공동 시대 이전에 그리고 인도 수 체계가 개발되기 훨씬 전에 사용되었습니다.[108] 막대 숫자는 원하는 만큼 큰 숫자의 표현을 가능하게 했고 수안 판, 즉 중국 주판에서 계산을 수행할 수 있게 했습니다. 수판의 발명 연대는 확실하지 않지만, 가장 이른 시기의 문서 언급은 190년에 Xu Yue의 "도형술보감"에 있습니다.

중국에서 기하학에 관한 현존하는 가장 오래된 연구는 묵자 (기원전 470년–390년)의 추종자들이 편찬한 철학적 묵자전 (기원전 330년)에서 비롯됩니다. 모징은 물리학과 관련된 많은 분야의 다양한 측면을 설명했고, 소수의 기하학적 정리도 제공했습니다.[109] 또한 둘레, 지름, 반지름, 부피의 개념을 정의했습니다.[110]

중국(서기 2세기)에서 현존하는 가장 초기의 수학 텍스트 중 하나인 수학 예술관한 9장.

기원전 212년, 진시황은 공식적으로 승인된 책 이외의 모든 책을 불태우라고 명령했습니다. 이 법령은 보편적으로 지켜지지는 않았지만, 이 명령의 결과로 이 날짜 이전의 중국 고대 수학에 대해서는 거의 알려져 있지 않습니다. 기원전 212년의 책 태우기 이후, 한나라 (기원전 202년–기원후 220년)는 수학 작품들을 만들어 냈고, 이는 현재 사라진 작품들을 확장시킨 것으로 추정됩니다. 이것들 중 가장 중요한 것은 수학 예술관한 아홉 개의 장인데, 그 전체 제목은 AD 179년에 나타났지만 이전에는 다른 제목으로 부분적으로 존재했습니다. 중국 탑탑의 높이 범위와 치수 비율을 파악하기 위해 농업, 비즈니스, 기하학을 사용하는 것, 공학, 측량과 관련된 246개의 단어 문제로 구성되어 있으며 직각 삼각형에 대한 자료를 포함합니다.[106] 피타고라스 정리에 대한 수학적 증명과 [111]가우스 소거에 대한 수학적 공식을 만들었습니다.[112] 이 논문은 또한 중국 수학자들이 원래 3으로 근사했던 π의 값을 제공하는데, 류신(서기 23년경)이 3.1457의 수치를 제공하고 후 장흥(78–139)이 3.1724의 파이로 근사했을 때와 10제곱근을 취했을 때 3.162의 파이를 제공했습니다. 류후이는 서기 3세기에 아홉 장에 대해 논평하고 소수점 5자리까지 정확한 π 값을 제시했습니다(즉, 3.14159). 비록 이론적인 통찰보다는 계산 체력의 문제에 가깝지만, 서기 5세기에 주충지는 π의을 소수점 일곱 자리(3.1415926에서 3.1415927 사이)까지 계산했는데, 이것은 거의 다음 1000년 동안 π의 가장 정확한 값으로 남아 있었습니다. 그는 또한 나중에 카발리에리의 원리라고 불리는 구체의 부피를 구하는 방법을 확립했습니다.[119]

중국 수학의 물꼬는 13세기 송나라 후기(960–1279)에 중국 대수학의 발전과 함께 일어났습니다. 시기의 가장 중요한 문헌은 주시제(1249–1314)의 사행체귀중한 거울로서, 호너의 방법과 유사한 방법을 이용한 동시 고차 대수 방정식의 풀이를 다루고 있습니다.[116] 프레셔스 미러파스칼의 삼각형 그림도 포함하고 있지만 둘 다 1100년경 중국 작품에 등장합니다.[120] 중국인들은 또한 고대에 묘사되었고 양희 (AD 1238–1298)에 의해 완벽하게 묘사된 마법의 사각형과 마법의 원으로 알려진 복잡한 조합도를 사용했습니다.[120]

르네상스 시대에 유럽 수학이 번성하기 시작한 이후에도 유럽 수학과 중국 수학은 별개의 전통이었고, 13세기 이후부터는 중국 수학의 산출량이 크게 감소했습니다. 마테오 리치와 같은 예수회 선교사들은 16세기부터 18세기까지 두 문화를 오가며 수학적 사상을 가지고 다녔지만, 이 시점에서 떠나는 것보다 중국에 들어오는 것이 훨씬 더 많았습니다.[120]

일본의 수학, 한국의 수학, 베트남의 수학은 전통적으로 중국의 수학에서 비롯된 것으로 유교에 기반을 둔 동아시아 문화권에 속한다고 보고 있습니다.[121] 한국과 일본의 수학은 중국의 송나라 시대에 제작된 대수학 작품에 많은 영향을 받은 반면, 베트남의 수학은 중국의 명나라(1368–1644)의 대중적인 작품에 많은 빚을 졌습니다.[122] 예를 들어, 베트남 수학 논문은 중국어 또는 베트남어 ữ Non 문자로 작성되었지만, 모두 문제를 푸는 알고리즘으로 문제 모음을 제시하는 중국어 형식을 따랐고, 그 다음에 숫자로 답했습니다. 베트남과 한국의 수학은 주로 수학자와 천문학자의 전문적인 궁정 관료주의와 관련이 있는 반면, 일본에서는 사립학교의 영역에서 더 널리 퍼졌습니다.[124]

인디언

바흐샬리 사본에 사용된 숫자는 기원전 2세기에서 기원후 2세기 사이의 것입니다.
Numerals evolution in India
돌과 구리로[125] 새겨진 인도 숫자
Brahmi numerals
인도 일부 지역의 고대 브라흐미 숫자

인도 아대륙에서 가장 초기의 문명은 인더스 강 유역에서 번성했던 인더스 계곡 문명(성숙한 제2기: 기원전 2600~1900)입니다. 그들의 도시는 기하학적 규칙성을 가지고 배치되었지만, 이 문명으로부터 알려진 수학 문서는 남아 있지 않습니다.[126]

현존하는 가장 오래된 인도의 수학 기록은 설바경(기원전 8세기와 서기 2세기 사이에 다양하게 연대가 측정된)으로,[127] 정사각형, 직사각형, 평행사변형 등 다양한 모양의 제단을 만드는 간단한 규칙을 제공하는 종교 텍스트의 부록입니다.[128] 이집트와 마찬가지로 사원 기능에 대한 관심은 종교 의식에서 수학의 기원을 가리킵니다.[127] 술바경은 주어진 정사각형과 거의 같은 면적을 가진 원을 구성하는 방법을 제공하는데, 이는 π의 값에 대한 몇 가지 다른 근사치를 의미합니다. 또한 소수점 이하 2~수 자리의 제곱근을 계산하고 피타고라스의 세 배를 나열하며 피타고라스 정리를 진술합니다.[130] 이 모든 결과는 바빌로니아 수학에 존재하며, 메소포타미아의 영향을 나타냅니다.[127] 술바경이 후대 인도 수학자들에게 어느 정도 영향을 미쳤는지는 알 수 없습니다. 중국처럼 인도 수학의 연속성이 부족합니다. 상당한 발전은 오랜 기간 동안 활동하지 않아 분리됩니다.[127]

ini (기원전 5세기경)는 산스크리트어 문법의 규칙을 만들었습니다. 그의 표기법은 현대 수학 표기법과 비슷했고 메타룰, 변환, 재귀를 사용했습니다.[132] 핑갈라(Pingala, 기원전 3세기~1세기)는 그의 운율 논문에서 이진수 체계에 해당하는 장치를 사용합니다.[133][134] 미터조합론에 대한 그의 논의는 이항 정리의 기본 버전에 해당합니다. 핑갈라의 작품에는 피보나치 수(마트라메루라고 함)의 기본 개념도 포함되어 있습니다.[135]

설바경전 이후 인도에서 나온 다음으로 중요한 수학 문서는 서기 4~5세기(굽타 시대)의 천문학 논문인 싯단타스(Siddhantas)로, 헬레니즘의 영향이 강했습니다.[136] 프톨레마이오스 삼각법의 경우처럼 현대 삼각법의 경우처럼 전체 화음이 아닌 하프 화음을 기반으로 한 삼각법 관계의 첫 번째 사례를 담고 있다는 점에서 의미가 큽니다.[137] 일련의 번역 오류를 통해 "사인"과 "코사인"이라는 단어는 산스크리트어 "지야"와 "코지야"에서 유래되었습니다.[137]

육티바 ṣ의 사인법칙에 대한 설명

서기 500년경, 아리야바타는 논리학이나 연역적인 방법론에 대한 느낌은 없지만 천문학과 수학적 수치화에서 사용되는 계산 규칙을 보완하기 위한 의도로 쓰인 얇은 책인 아리야바티야를 썼습니다.[138] 소수 자리값 체계가 처음 등장한 것은 아랴바티야에서입니다. 몇 세기 후, 이슬람 수학자 아부 레이한 비루니(Abu Rayhan Biruni)는 아리야바티야를 "흔한 자갈과 값비싼 결정의 혼합물"이라고 묘사했습니다.[139]

7세기에 브라마굽타브라마굽타 정리, 브라마굽타의 동일성브라마굽타의 공식을 확인했고, 브라마-스푸타-시단타에서 처음으로 0을 자리 표시자와 십진 숫자로 사용하는 것을 명확하게 설명했고, 힌두-아라 숫자 체계를 설명했습니다.[140] 이슬람 수학자들이 아라비아 숫자로 각색한 이 수 체계에 소개된 것은 수학에 관한 이 인도 텍스트(c. 770)의 번역에서 비롯되었습니다. 이슬람 학자들은 12세기까지 이 수 체계에 대한 지식을 유럽으로 가져왔고, 이제는 전 세계의 모든 오래된 수 체계를 대체했습니다. 힌두-아라비아 수 체계에서 숫자를 나타내기 위해 다양한 기호 집합이 사용되며, 이들은 모두 브라흐미 숫자에서 진화했습니다. 인도의 약 12개의 주요 문자에는 각각 고유의 숫자 그림이 있습니다. 10세기의 핑갈라의 작품에 대한 할라유다의 해설은 피보나치 수열파스칼의 삼각형에 대한 연구를 담고 있으며, 행렬의 형성에 대해 서술하고 있습니다.[citation needed]

12세기에 인도 남부에 살았던 [141]바카라 2세는 당시 알려진 모든 수학 분야에 대해 광범위하게 글을 썼습니다. 그의 작품에는 무한소, 도함수, 평균값 정리 및 사인 함수의 도함수와 동등하거나 거의 동등한 수학적 대상이 포함되어 있습니다. 미적분학의 발명을 어느 정도 예상했느냐는 수학사가들 사이에서 논쟁의 대상이 되고 있습니다.[142] 14세기에 나라야나 판디타는 그의 가니타 카우무디를 완성했습니다.[143]

또한 14세기에 케랄라 수학 학교의 설립자인 상암그라마의 마드하바마드하바-라이프니츠 급수를 발견하고 그것으로부터 변형된 급수를 얻었는데, 그의 첫 21개 항은 π의 값을 3.14159265359로 계산하기 위해 사용되었습니다. Madhava는 또한 아크탄젠트를 결정하는 Madhava-Gregory 급수, 사인과 코사인을 결정하는 Madhava-Newton 멱급수, 사인과 코사인 함수에 대한 Taylor 근사치를 찾았습니다.[144] 16세기에 예스타데바육티바 ṣ에서 케랄라 학파의 많은 발전과 정리를 통합했습니다. 고전적 분석의 토대를 마련한 케랄라 학파의 발전은 16세기[6] 당시 고대 무찌리스 항구를 중심으로 활동하던 예수회 선교사와 무역상을 거쳐 유럽으로 전해졌고, 그 결과, 분석과 미적분학의 후대 유럽의 발전에 직접적인 영향을 미쳤습니다.[147] 그러나 다른 학자들은 케랄라 학교가 체계적인 분화와 통합 이론을 수립하지 않았으며, 그 결과가 케랄라 외부로 전달되었다는 직접적인 증거가 없다고 주장합니다.[148][149][150][151]

이슬람 제국

무함마드 이븐 무샤 알콰리즈미 ī의 완성과 균형에 의한 계산에 관한 책(c. AD 820) 페이지

8세기에 중동, 중앙아시아, 북아프리카, 이베리아, 그리고 인도의 일부 지역에 세워진 이슬람 제국은 수학에 중요한 기여를 했습니다. 수학에 관한 대부분의 이슬람교 텍스트는 아랍어로 쓰여졌지만, 그것들이 모두 아랍인에 의해 쓰여진 것은 아니었습니다, 헬레니즘 세계의 그리스어의 지위와 매우 비슷했기 때문에, 아랍어는 당시 이슬람 세계 전역에서 아랍인이 아닌 학자들의 문자 언어로 사용되었기 때문입니다.[152]

9세기에 페르시아의 수학자 무 마드 이븐 무샤 알콰리즈미 ī는 힌두 아라비아숫자에 관한 중요한 책과 방정식을 푸는 방법에 관한 책을 썼습니다.킨디의 업적과 함께 약 825년에 쓰여진 그의 저서 "힌두숫자로 계산하다"는 책은 인도의 수학과 인도의 숫자를 서양에 전파하는 데 중요한 역할을 했습니다. 알고리즘이라는 단어는 그의 이름인 알고리트미를 라틴어화한 것에서 비롯되었고, 대수라는 단어는 그의 작품 중 하나인 Al-Kitāb al-mukhta 아르 ī ī 사브 알-ğ아브르 와일-무카발라(완성과 균형에 의한 계산에 관한 포괄적인 책)의 제목에서 유래되었습니다. 그는 양의 근을 갖는 이차방정식의 대수적 풀이에 대해 철저한 설명을 했고,[153] 그는 대수학을 처음으로 초등 형태로 그리고 그 자체를 위해 가르쳤습니다.[154] 그는 또한 "축소"와 "균형"의 근본적인 방법에 대해 논의했는데, 이는 차감된 항을 방정식의 반대쪽으로 옮기는 것, 즉 방정식의 반대쪽에서 유사한 항을 취소하는 것을 의미합니다. 이것은 알콰리즈미 ī가 원래 알자브르라고 묘사했던 작전입니다. 그의 대수학은 또한 더 이상 "해결해야 할 일련의 문제들이 아니라, 그 조합이 방정식에 대한 가능한 모든 프로토타입을 제공해야 하는 원시적인 용어로 시작하는 설명에 관심이 있었고, 따라서 앞으로 연구의 진정한 목적을 구성합니다." 그는 또한 방정식을 연구했고 "일반적으로 문제를 해결하는 과정에서 단순히 나타나는 것이 아니라 무한한 종류의 문제를 정의하기 위해 특별히 요구되는 한" 방정식을 연구했습니다.[156]

이집트에서 아부 카밀은 대수학을 무리수 집합으로 확장하여 제곱근과 네 번째 근을 이차 방정식의 해와 계수로 받아들였습니다. 그는 또한 세 개의 미지의 변수를 가진 세 개의 비선형 동시 방정식을 푸는 데 사용되는 기술을 개발했습니다. 그의 작품의 독특한 특징 중 하나는 그가 2676개의 해결책을 찾은 것을 포함하여 그의 문제 중 일부에 가능한 모든 해결책을 찾으려고 노력했다는 것입니다.[157] 그의 작품들은 대수학 발전의 중요한 기초를 형성했고 알-카라지와 피보나치와 같은 후기 수학자들에게 영향을 미쳤습니다.

알-카라지알-파크리의 논문에서 대수학의 더 많은 발전을 이루었고, 그는 방법론을 확장하여 정수 거듭제곱과 미지의 양의 정수근을 통합했습니다. 수학적 귀납법에 의한 증명에 가까운 무언가가 서기 1000년경에 알카라지가 쓴 책에 등장하는데, 그는 이를 이용해 이항정리파스칼의 삼각형, 적분한 세제곱의 합을 증명했습니다.[158] 수학의 역사학자, F. 웁케는 [159]알-카라지가 "대수 미적분학 이론을 처음으로 도입한 사람"이라고 칭찬했습니다. 또한 10세기에 아불 와파디오판토스의 작품을 아랍어로 번역했습니다. 이븐하이담은 임의의 적분 거듭제곱의 합에 대한 일반적인 공식을 쉽게 결정할 수 있는 방법을 사용하여 네 번째 거듭제곱의 합에 대한 공식을 도출한 최초의 수학자였습니다. 그는 포물선의 부피를 찾기 위해 적분을 수행했고, 그의 결과를 다항식의 적분에 대해 4차까지 일반화할 수 있었습니다. 따라서 그는 다항식의 적분에 대한 일반적인 공식을 찾는 데 근접했지만, 4차보다 높은 다항식에는 관심이 없었습니다.[160]

11세기 후반, 오마르 카얌유클리드의 원소, 특히 평행 공준의 결함으로 인식되는 것에 대한 책인 '유클리드의 어려움에 대한 토론'을 썼습니다. 그는 또한 입방 방정식에 대한 일반적인 기하학적 해를 처음으로 발견했습니다. 그는 또한 달력 개혁에 큰 영향력을 행사했습니다.[161]

13세기에 나시르 알딘 투시(Nasir al-Din Tusi)는 구면 삼각법의 발전을 이루었습니다. 그는 또한 유클리드의 평행선 공준에 대한 영향력 있는 연구를 썼습니다. 15세기에 Ghiyath al-Kashi는 π의 값을 소수점 16번째 자리까지 계산했습니다. 카시는 n번째 근을 계산하는 알고리즘도 가지고 있었는데, 이것은 수세기 후에 RuffiniHorner에 의해 주어진 방법의 특별한 경우였습니다.

이 시기 무슬림 수학자들의 다른 업적으로는 아라비아 숫자소수점 표기법을 추가한 것, 사인 외에 모든 현대 삼각함수의 발견, 알 킨디암호 분석과 주파수 분석의 도입, 이븐하이담분석기하학의 발전, 오마르 카얌에 의한 대수기하학의 시작과 알-칼라사드 ī에 의한 대수기하학의 발전.

15세기부터 오스만 제국사파비 제국 시대에 이슬람 수학의 발전은 정체되었습니다.

마야

마야 문자로 쓰인 숫자 1부터 19까지의 마야 숫자

기원후 1천년 동안 멕시코중앙 아메리카에서 번성했던 마야 문명은 지리적 고립 때문에 기존의 유럽, 이집트, 아시아 수학과는 완전히 독립된 독특한 수학 전통을 발전시켰습니다.[163] 마야 숫자는 대부분의 현대 문화에서 사용하는 십진법의 기초를 이루는 십진법 대신 십진법십진법을 사용했습니다.[163] 마야인들은 수학을 이용해 마야 달력을 만들었을 뿐만 아니라 그들의 모국인 마야 천문학의 천문 현상을 예측하기도 했습니다.[163] 많은 현대 문화의 수학에서 0의 개념을 추론해야 했지만 마야인들은 그것에 대한 표준 기호를 개발했습니다.[163]

중세 유럽인

중세 유럽의 수학에 대한 관심은 현대 수학자들의 관심과는 사뭇 다른 고민에 의해 주도되었습니다. 하나의 원동력은 수학이 플라톤티마이오스하나님이 치수, 수, 무게로 모든 것을 명령했다는 성경 구절(지혜의 책)에 의해 종종 정당화되는 자연의 창조된 질서를 이해하는 열쇠를 제공한다는 믿음이었습니다.[164]

보에티우스는 6세기에 산술학, 기하학, 천문학, 음악을 설명하기 위해 쿼드리비움이라는 용어를 만들었을 때 교육과정에서 수학의 자리를 마련해 주었습니다. 그는 니코마코스산술 입문의 그리스어에서 자유롭게 번역된 산술론; 그리스어 출처에서도 파생된 음악론; 그리고 유클리드의 원소에서 일련의 발췌문을 썼습니다. 그의 작품들은 실용적이라기보다는 이론적이었고, 그리스어와 아랍어 수학 작품들이 회복되기 전까지 수학 연구의 기초였습니다.[165][166]

12세기에 유럽 학자들은 과학적인 아랍어 텍스트를 찾기 위해 스페인과 시칠리아를 여행했는데, 그 중에는 체스터의 로버트가 라틴어로 번역한 알콰리즈미 ī의 '완성과 균형에 의한 계산에 관한 경서'와 카린티아의 헤르만이 다양한 버전으로 번역한 유클리드의 요소들에 관한 전문이 있습니다. 크레모나[167][168]제라르와 이것들과 다른 새로운 원천들은 수학의 갱신을 촉발시켰습니다.

현재 피보나치로 알려진 피사의 레오나르도는 상인 아버지와 함께 오늘날 알제리베하 ï로 여행을 가면서 우연히 힌두 아라비아 숫자에 대해 알게 되었습니다. (유럽은 여전히 로마 숫자를 사용하고 있었습니다.) 그곳에서 그는 힌두 아라비아 숫자의 위치 표기로 인해 훨씬 더 효율적이고 상업을 크게 촉진한 산술 체계(특히 알고리즘)를 관찰했습니다. 레오나르도는 1202년 (1254년 업데이트) 유럽에 이 기술을 소개하고 오랜 기간 동안 이 기술을 대중화하기 시작한 Liber Abaci를 썼습니다. 이 책은 또한 피보나치 수열(그 이전 수백 년 동안 인도 수학자들에게 알려짐)로 알려진 피보나치 수열을 유럽으로 가져왔는데,[169] 피보나치는 이를 주목할 만한 사례로 삼았습니다.

14세기에는 다양한 문제를 조사하기 위한 새로운 수학적 개념이 개발되었습니다.[170] 한 가지 중요한 기여는 국소 운동의 수학 발전이었습니다.

토마스 브래드워딘(Thomas Bradwardine)은 속도(V)가 기하학적인 비율로 힘(F)과 저항(R)의 비율이 증가함에 따라 산술적인 비율로 증가한다고 제안했습니다. 브래드워딘은 일련의 구체적인 예를 통해 이를 표현했지만, 로그는 아직 구상되지 않았지만, 우리는 V = 로그(F/R)라는 글로 그의 결론을 시대착오적으로 표현할 수 있습니다. 브래드워딘의 분석은 복합 의약품의 성질을 정량화하기 위해 비야노바의 알 킨디아르날드가 사용한 수학적 기법을 다른 물리적 문제에 전이한 사례입니다.[172]

현대의 조명 원고에서 볼 수 있는 니콜 오레스메(1323–1382)는 하모닉 계열발산에 대한 수학적 증거를 최초로 제시했습니다.[173]

14세기 옥스퍼드의 계산가 중 한 명인 윌리엄 헤이즈베리미분적분학극한의 개념이 결여된 채 순간 속도를 측정할 것을 제안했습니다. 주어진 순간에 이동하는 속도와 동일한 정도의 속도로 균일하게 이동했습니다."[174]

Hytesbury와 다른 사람들은 균일하게 가속 운동을 하는 물체에 의해 덮인 거리를 수학적으로 결정했습니다(오늘날 통합으로 해결됨). "이동체는 일정한 시간 내에 [속도의] 증가를 균일하게 획득하거나 상실할 것이며, 이는 이동체가 평균 정도 [속도][175]와 동일한 시간을 통해 연속적으로 이동할 경우 이동할 거리와 완전히 동일한 [거리]를 이동할 것입니다."라고 언급합니다.

파리 대학의 니콜 오레스메(Nicole Oresme)와 이탈리아의 조반니 디 카살리(Giovanni di Casali)는 이 관계에 대한 그래픽 설명을 독립적으로 제공하면서 일정한 가속도를 나타내는 선 아래의 영역이 이동한 총 거리를 나타낸다고 주장했습니다.[176] 나중에 유클리드의 원소에 대한 수학적 논평에서 오레스메는 좀 더 상세한 일반적인 분석을 했는데, 그는 한 물체가 시간의 연속적인 증가에서 홀수로 증가하는 모든 품질의 증가를 얻을 것이라는 것을 보여주었습니다. 유클리드는 홀수의 합이 제곱수임을 증명했기 때문에, 신체가 획득하는 전체 품질은 시간의 제곱에 따라 증가합니다.[177]

르네상스

르네상스 시대에 수학과 회계의 발전은 서로 얽혀 있었습니다.[178] 대수학과 회계학 사이에 직접적인 관계는 없지만, 과목들의 가르침과 출판된 책들은 종종 무역과 상업에 유용한 기술을 배운 계산 학교(플랑드르독일의)나 주판 학교(이탈리아의 아바코로 알려져 있음)로 보내진 상인들의 자녀들을 위한 것이었습니다. 부기 작업을 수행하는 데 대수학이 필요 없을 수도 있지만 복잡한 물물교환 작업이나 복리 계산을 위해서는 산술에 대한 기본 지식이 필수였고 대수학에 대한 지식은 매우 유용했습니다.

피에로 델라 프란체스카 (1415–1492)는 De Prospectiva Pingendi (그림에 대한 관점), Tratto d'Abaco (주판 논문), 그리고 De Quinque corpusibus 정규 버스 (다섯 개의 정규 입체에 대해)를 포함하여 입체 기하학선형 원근법에 대한 책을 썼습니다.[179][180][181]

루카 파치올리초상화, 1495년 전통적으로 자코포 데 바르바리의 것으로 추정되는 그림(Museo di Capodimonte).

루카 파치올리(Luca Pacioli)의 산술, 기하학, 비례와 비례 (이탈리아어: "산술, 기하학, 비율비례에 대한 검토")는 1494년 베니스에서 처음 인쇄되고 출판되었습니다. 여기에는 부기에 관한 27쪽짜리 논문인 "Particularis de Computiset Scripturis"(이탈리아어: "계산 및 기록에 관한 세부 사항")가 포함되어 있습니다. 그것은 주로 책을 참고 문헌으로 사용하고, 책에 포함된 수학 퍼즐에서 즐거움을 얻고, 아들의 교육을 돕는 상인들을 위해 쓰여졌고, 주로 판매되었습니다.[182] 수마 산술에서 파치올리는 이탈리아 르네상스 수학에서 표준 표기법이 된 기호인 플러스와 마이너스의 기호를 인쇄된 책에서 처음으로 소개했습니다. 섬마 산술은 또한 이탈리아에서 대수학을 포함하는 최초의 알려진 책이었습니다. 파치올리는 그가 표절한 피에로 델라 프란체스카로부터 많은 아이디어를 얻었습니다.

16세기 전반 이탈리아에서 스키피오네 페로니콜 ò 폰타나 타르탈리아는 입방 방정식의 를 발견했습니다. 제롤라모 카르다노는 그의 제자인 로도비코 페라리가 발견한 4차 방정식의 해와 함께 1545년 그의 책 아르스 마그나에서 그것들을 출판했습니다. 1572년 라파엘 봄벨리는 자신의 대수학을 발표하여 카르다노의 3차 방정식 풀이 공식에 나타날 수 있는 허수를 다루는 방법을 보여주었습니다.

1585년 네덜란드어로 처음 출판된 사이먼 스테빈De Thiende ('십분의 기술')은 실수 체계에 관한 모든 나중의 연구에 영향을 미친 유럽 최초의 십진법 표기법의 체계적인 처리를 담고 있습니다.[183][184]

항해의 요구와 넓은 지역의 정확한 지도에 대한 증가하는 필요성에 힘입어 삼각법은 수학의 주요 분야로 성장했습니다. 바르톨로마이오스 피티스쿠스는 1595년에 그의 트리고노메트리아를 출판하면서 이 단어를 처음 사용했습니다. 레지오몬타누스의 사인과 코사인의 표는 1533년에 출판되었습니다.[185]

르네상스 시대 동안, 재발견된 그리스인의 철학과 함께 자연 세계를 현실적으로 표현하려는 예술가들의 열망은 예술가들로 하여금 수학을 공부하도록 이끌었습니다. 그들은 또한 그 당시의 기술자이자 건축가였고, 어쨌든 수학이 필요했습니다. 원근법으로 그림을 그리는 기술과 이와 관련된 기하학의 발전에 대해 집중적으로 연구했습니다.[186]

과학혁명기의 수학

17세기

고트프리트 빌헬름 라이프니츠

17세기에는 유럽 전역에서 수학적, 과학적 사상이 전례 없이 증가했습니다. 갈릴레오한스 리퍼헤이의 망원경을 이용해 목성의 위성을 관측했습니다. Tycho Brahe는 하늘에 있는 행성들의 위치를 설명하는 많은 수학 데이터를 모았습니다. 요하네스 케플러는 브라헤의 조수로서 행성 운동이라는 주제를 처음 접했고 진지하게 접했습니다. 동시에 존 네이피어조스트 뷔르기로그를 발명하면서 케플러의 계산은 더 간단해졌습니다. 케플러는 행성 운동의 수학적 법칙을 공식화하는 데 성공했습니다.[187] 르네 데카르트 (1596–1650)가 개발한 분석기하학은 이 궤도들을 직각좌표로 그래프에 그릴 수 있게 해주었습니다.

많은 전임자들의 초기 연구를 바탕으로, 아이작 뉴턴케플러의 법칙을 설명하는 물리 법칙을 발견했고, 현재 미적분학이라고 알려진 개념들을 종합했습니다. 독립적으로, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 미적분학과 많은 미적분학 표기법을 개발했습니다. 그는 또한 표준 설계 패러다임인 폰 노이만 아키텍처, 즉 "컴퓨터 아키텍처"를 포함한 거의 모든 디지털(전자, 솔리드 스테이트, 이산 논리) 컴퓨터의 기반이 되는 이진수 시스템을 20세기 후반부터 21세기까지 다듬었습니다. 라이프니츠는 "컴퓨터 과학의 창시자"로 불렸습니다.[188]

과학과 수학은 곧 전 세계로 퍼져나갈 국제적인 노력이 되었습니다.[189]

하늘 연구에 수학을 응용한 것 외에도 응용수학피에르 페르마블레즈 파스칼의 교신으로 새로운 영역으로 확장되기 시작했습니다. 파스칼과 페르마는 도박 게임에 대한 논의에서 확률 이론조합론의 상응하는 규칙을 조사할 수 있는 토대를 마련했습니다. 파스칼은 성공 확률이 작더라도 보상은 무한하다는 이유로 새로 개발되는 확률 이론을 이용해 종교에 헌신하는 삶을 주장하려고 했습니다. 이것은 어떤 의미에서 18-19세기에 효용 이론의 발전을 예고했습니다.

18세기

레온하르트 오일러

18세기에 가장 영향력 있는 수학자는 틀림없이 레온하르트 오일러 (1707–1783)였습니다. 그의 공헌은 쾨니히스베르크의 일곱 다리 문제로 그래프 이론을 연구하는 것부터 많은 현대 수학 용어와 표기법을 표준화하는 것까지 다양합니다. 예를 들어, 그는 마이너스 1의 제곱근을 기호 i로 명명했고, 그는 원의 지름과 원주의 비율을 나타내는 그리스 문자πpi}의 사용을 대중화했습니다. 그는 위상수학, 그래프 이론, 미적분학, 조합론 및 복소해석학 연구에 수많은 공헌을 했으며, 이는 그의 이름을 딴 수많은 정리와 표기법에서 입증됩니다.

18세기의 다른 중요한 유럽 수학자들 중에는 수론, 대수학, 미분학, 변분학에서 선구적인 업적을 남긴 조셉 루이스 라그랑주나폴레옹 시대에 천체역학의 기초와 통계학에서 중요한 업적을 남긴 피에르 시몬 라플라스가 있습니다.

현대의

19세기

칼 프리드리히 가우스

19세기 내내 수학은 점점 더 추상적이 되었습니다.[190] 칼 프리드리히 가우스 (1777–1855)가 이 경향을 전형적으로 보여줍니다.[citation needed] 그는 과학에 대한 많은 공헌을 제쳐두고 복잡한 변수함수, 기하학, 급수의 수렴에 대한 혁명적인 연구를 했습니다. 그는 또한 대수학의 기본 정리이차 상호성 법칙에 대한 최초의 만족스러운 증명을 제공했습니다.[citation needed]

세 가지 형태의 지오메트리 각각에서 공통적으로 수직인 선의 거동

금세기에는 유클리드 기하학의 평행선 공준이 더 이상 유지되지 않는 두 가지 형태의 비유클리드 기하학이 발전했습니다. 러시아의 수학자 니콜라이 이바노비치 로바체프스키와 그의 경쟁자인 헝가리의 수학자 야노스 볼라이는 더 이상 평행선의 고유성이 존재하지 않는 쌍곡 기하학을 독립적으로 정의하고 연구했습니다. 이 기하학에서 삼각형의 각도의 합은 180°보다 작습니다. 타원기하학은 19세기 후반에 독일의 수학자 베른하르트 리만에 의해 개발되었습니다. 여기서 평행선은 찾을 수 없고 삼각형의 각도는 180° 이상입니다. 또한 리만은 세 종류의 기하학을 통일하고 광범위하게 일반화하는 리만 기하학을 발전시켰고, 곡선표면의 개념을 일반화하는 다양체의 개념을 정의하고 일반상대성이론의 수학적 토대를 마련했습니다.[191]

19세기에는 추상대수학이 많이 시작되었습니다. 독일의 헤르만 그라스만은 벡터 공간의 첫 번째 버전을 제공했고, 아일랜드의 윌리엄 로완 해밀턴비상호 대수를 개발했습니다.[citation needed] 영국의 수학자 조지 부울은 곧 지금의 부울 대수라고 불리는 대수학으로 발전한 대수학을 고안했는데, 그 대수학에서 유일한 숫자는 0과 1뿐이었습니다. 부울 대수는 수학 논리학의 출발점이며 전기공학과 컴퓨터 과학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있습니다.[citation needed] 아우구스틴-루이 코시, 베른하르트 리만, 카를 바이어슈트라스는 미적분학을 좀 더 엄격하게 재구성했습니다.[citation needed]

또한 처음으로 수학의 한계를 탐구했습니다. 노르웨이인 닐스 헨리크 아벨과 프랑스인 에바리스테 갈루아는 4보다 큰 다항식을 푸는 일반적인 대수적 방법이 없다는 것을 증명했습니다(아벨-루피니 정리).[192] 다른 19세기 수학자들은 직선과 나침반만으로는 임의의 각도를 자르기에 충분하지 않고, 주어진 정육면체 부피의 두 배인 정육면체의 면을 구성하거나, 주어진 원과 같은 넓이의 정사각형을 구성하기에 충분하지 않다는 것을 증명하는 데 이것을 사용했습니다.[citation needed] 고대 그리스 시대부터 수학자들은 이 모든 문제를 해결하려고 허투루 시도해 왔습니다.[citation needed] 한편, 19세기에는 매개변수 공간초복소수에 대한 고찰을 통해 기하학에서 3차원의 한계를 뛰어넘었습니다.[citation needed]

다양한 다항식의 해에 대한 아벨과 갈루아의 연구는 그룹 이론추상 대수학의 관련 분야를 더 발전시킬 수 있는 토대를 마련했습니다. 20세기에 물리학자들과 다른 과학자들은 그룹 이론을 대칭을 연구하는 이상적인 방법으로 보았습니다.[citation needed]

19세기 후반에 게오르크 칸토어집합론의 최초의 기초를 확립했으며, 이는 무한의 개념을 엄격하게 다룰 수 있게 해주었고 거의 모든 수학의 공통 언어가 되었습니다. 칸토어의 집합론과 피노, L.E.J.브라우어, 데이비드 힐버트, 버트런드 러셀, A.N.의 손에서 수학적 논리의 부상. 화이트헤드수학의 기초에 대한 오랜 논쟁을 시작했습니다.[citation needed]

19세기에는 1865년 런던 수학회,[193] 1872년 프랑스 수학회,[194] 1884년 팔레르모 수학회,[195][196] 1883년 에든버러 수학회,[197] 1888년 미국 수학회가 설립되었습니다.[198] 최초의 국제 특수 이익 사회인 쿼터니언 협회벡터 논쟁의 맥락에서 1899년에 형성되었습니다.[199]

1897년, 커트 헨젤p-adic number를 소개했습니다.[200]

20세기

20세기에는 수학이 주요 직업이 되었습니다. 세기가 끝날 무렵에는 매년 수천 명의 새로운 수학 박사 학위가 수여되고 있었고, 교수직과 산업직 모두에서 직업을 구할 수 있었습니다.[201] 클라인의 백과사전은 수학의 영역과 응용 분야를 목록화하는 작업을 수행했습니다.[202]

1900년 국제 수학자 대회 연설에서 데이비드 힐버트23개의 수학 미해결 문제 목록을 작성했습니다.[203] 수학의 많은 영역에 걸쳐 있는 이 문제들은 20세기 수학의 많은 부분에서 중심적인 초점을 형성했습니다. 오늘은 10개가 해결되었고, 7개는 부분적으로 해결되었으며, 2개는 아직 열려 있습니다. 나머지 4개는 너무 느슨하게 구성되어 있어서 해결되었다고 말하거나 그렇지 않습니다.[citation needed]

4색정리를 나타낸 지도

주목할 만한 역사적 추측들이 마침내 증명되었습니다. 1976년 볼프강 하켄(Wolfgang Haken)과 케네스 아펠(Kenneth Appel)은 네 가지 정리를 증명했는데, 이 정리는 당시 컴퓨터를 사용하여 논란이 되었습니다.[204] 다른 사람들의 연구를 바탕으로 한 앤드류 와일스는 1995년 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다.[205] 폴 코헨(Paul Cohen)과 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 연속체 가설집합 이론의 표준 공리독립적이지 않음을 증명했습니다.[206] 1998년 토마스 칼리스터 할레스는 컴퓨터를 사용하여 케플러 추측을 증명했습니다.[207]

유례없는 크기와 범위의 수학적 협업이 이루어졌습니다. 한 예로, 1955년에서 2004년 사이에 약 100명의 저자가 500여 개의 저널 기사를 작성하고 수만 페이지를 채워야 하는 유한 단순 그룹("엄청난 정리"라고도 함)의 분류를 들 수 있습니다.[208] "니콜라스 부르바키"라는 가명으로 출판된 장 디외돈네앙드레 바일을 포함한 프랑스 수학자 그룹은 알려진 모든 수학을 일관된 엄격한 전체로 노출하려고 시도했습니다. 그 결과 수십 권의 책이 수학 교육에 논란의 여지가 있는 영향을 미쳤습니다.[209]

뉴턴식(빨간색) vs. 주위를 도는 외행성의 아인슈타인 궤도(파란색)로, 상대론적 세차운동을 합니다.

미분기하학알버트 아인슈타인일반상대성이론에서 사용했을 때 저절로 생겨났습니다.[citation needed] 수학 논리학, 위상수학, 존 폰 노이만게임 이론과 같은 완전히 새로운 수학 영역은 수학적 방법으로 대답할 수 있는 질문의 종류를 변화시켰습니다.[citation needed] 모든 종류의 구조는 공리를 사용하여 추상화되었으며 미터법 공간, 위상 공간 등과 같은 이름이 지정되었습니다.[citation needed] 수학자들이 하는 것처럼 추상적인 구조의 개념 자체가 추상화되어 범주 이론으로 이어졌습니다.[citation needed] GrothendiekSerre양털 이론을 사용하여 대수기하학을 재구성합니다.[citation needed] 푸앵카레가 1890년대에 시작한 동적 시스템의 질적 연구에서 큰 발전이 이루어졌습니다.[citation needed] 측도 이론은 19세기 말에서 20세기 초에 개발되었습니다. 척도의 응용에는 르베그 적분, 콜모고로프확률 이론 공리화 및 에르고딕 이론이 포함됩니다.[citation needed] 매듭 이론은 크게 확장되었습니다.[citation needed] 양자역학기능 분석의 발전을 이끌었습니다.[citation needed] 그 밖에 로랑 슈워츠분포이론, 고정점이론, 특이점이론, 르네 톰파국이론, 모델이론, 만델브로프랙탈 등이 새롭게 등장합니다.[citation needed] Lie 군Lie 대수가 있는 Lie 이론은 주요 연구 분야 중 하나가 되었습니다.[citation needed]

에이브러햄 로빈슨에 의해 소개된 비표준 분석은 실수의 장을 무한소와 무한소를 포함하는 초실수로 확장함으로써 극한 이론에 대한 불신에 빠졌던 미적분학에 대한 무한소 접근법을 부활시켰습니다.[citation needed] 큰 수 체계인 초현실적인 수들은 존 호튼 콘웨이에 의해 조합 게임과 관련하여 발견되었습니다.[citation needed]

컴퓨터의 발전과 지속적인 개선으로 처음에는 기계적 아날로그 기계, 그 다음에는 디지털 전자 기계가 대량 생산과 유통 및 통신을 용이하게 하기 위해 산업계가 점점 더 많은 양의 데이터를 처리할 수 있게 되었고, 이를 해결하기 위해 새로운 수학 분야가 개발되었습니다. 앨런 튜링계산가능성 이론; 복잡도 이론; 데릭 헨리 레머ENIAC을 사용하여 정수론과 루카스-레머 프라이머리리티 테스트; Rózsa Péter재귀 함수 이론; Claude Shannon정보 이론;[citation needed] 신호 처리; 데이터 분석; 최적화 및 기타 연산 연구 분야 이전 몇 세기 동안 많은 수학적 초점이 미적분학과 연속 함수에 집중되었지만 컴퓨팅 및 통신 네트워크의 부상으로 인해 이산 개념의 중요성이 증가하고 그래프 이론을 포함한 조합론의 확장이 이루어졌습니다. 컴퓨터의 속도와 데이터 처리 능력은 연필과 종이 계산으로 처리하기에 너무 시간이 많이 걸리는 수학 문제를 처리할 수 있게 하여 수치 분석기호 계산과 같은 영역으로 이어졌습니다.[citation needed] 20세기의 가장 중요한 방법과 알고리즘 중 일부는 심플렉스 알고리즘, 빠른 푸리에 변환, 오류 수정 코드, 제어 이론칼만 필터, 공개암호RSA 알고리즘입니다.[citation needed]

동시에 수학의 한계에 대한 깊은 통찰이 이루어졌습니다. 1929년과 1930년에 자연수와 덧셈 또는 곱셈 중 하나(둘 다 아님)에 대해 공식화된 모든 진술의 참 또는 거짓이 결정 가능하다는 것이 증명되었습니다[by whom?]. 즉, 어떤 알고리즘에 의해 결정될 수 있습니다.[citation needed] 1931년, 쿠르트 괴델은 이것이 자연수와 덧셈과 곱셈 모두에 해당되지 않는다는 것을 발견했습니다. 페아노 산술로 알려진 이 체계는 사실 불완전했습니다. (페아노 산술은 소수의 개념을 포함한 많은이론에 적합합니다.) 괴델의 두 가지 불완전성 정리의 결과는 페아노 산술을 포함하는 어떤 수학적 체계에서도 (해석학과 기하학을 모두 포함하여) 진리가 증명을 능가한다는 것입니다. 즉, 체계 내에서 증명할 수 없는 참된 진술이 존재한다는 것입니다. 따라서 수학은 수학적 논리로 환원될 수 없으며, 모든 수학을 완전하고 일관되게 만들고자 했던 데이비드 힐버트의 꿈은 재구성될 필요가 있었습니다.[citation needed]

복소 평면에서의 감마 함수의 절대값

20세기 수학에서 가장 화려한 인물 중 하나는 스리니바사 아이양가르 라마누잔 (1887–1920)으로, 고도로 합성된 수의 성질,[211] 분할 함수[210]점근법,[212] 모의 세타 함수3000개 이상의 정리[210][citation needed] 추측하거나 증명했습니다.[210] 그는 또한 감마 함수,[213][214] 모듈 형태,[210] 발산 급수,[210] 초기하 급수[210] 및 소수 이론 분야에서 주요 연구를 수행했습니다.[210]

Paul Erd ő는 수백 명의 협력자들과 함께 작업하며 역사상 그 어떤 수학자보다 더 많은 논문을 발표했습니다. 수학자들은 수학자의 에르드 ő 수로 이어지는 케빈 베이컨 게임에 해당하는 게임을 합니다. 이것은 수학 논문의 공동 저자에 의해 측정된 사람과 Erd ő 사이의 "협업 거리"를 설명합니다.

에미 노에더는 많은 사람들에 의해 수학 역사상 가장 중요한 여성으로 묘사되었습니다.[218] 그녀는 고리, 장, 대수학 이론을 공부했습니다.[citation needed]

대부분의 학문 분야와 마찬가지로 과학 시대의 지식 폭발은 전문화로 이어졌습니다. 세기 말까지 수학에는 수백 개의 전문 영역이 있었고, 수학 과목 분류는 수십 페이지에 달했습니다.[219] 점점 더 많은 수학 저널이 출판되었고 세기 말에 월드 와이드 웹의 발전은 온라인 출판으로 이어졌습니다.[citation needed]

21세기

2000년에 클레이 수학 연구소는 7개의 밀레니엄 문제를 발표했습니다.[220] 2003년 푸앵카레 추측그리고리 페렐만에 의해 해결되었습니다.[221]

현재 대부분의 수학 저널에는 인쇄판뿐만 아니라 온라인 버전이 있으며 많은 온라인 전용 저널이 출시되고 있습니다.[citation needed] arXiv에 의해 처음 대중화된 오픈 액세스 퍼블리싱에 대한 움직임이 증가하고 있습니다.[citation needed]

미래.

수학에는 많은 관찰 가능한 경향이 있는데, 가장 주목할 만한 것은 컴퓨터가 점점 더 중요해지고 강력해짐에 따라 과목이 점점 더 커지고 있다는 것입니다. 과학과 산업이 생산하고 있는 데이터의 양은 컴퓨터에 의해 촉진되어 기하급수적으로 증가하고 있습니다. 이에 따라 이 빅데이터를 처리하고 이해하는 데 도움이 되는 수학에 대한 수요가 증가하고 있습니다.[222] 미국 노동통계국(Bureau of Labor Statistics)은 "2016년부터 2026년까지 수학과학 직종의 고용이 27.9% 증가할 것으로 예상된다"고 추정(2018년)하는 등 수학과학 경력도 지속적으로 성장할 것으로 예상됩니다.[223]

참고 항목

메모들

  1. ^ π의 근사 값은 4x(13/15)(3.0044...), 25/8(3.125), 900/289(3.11418685...), 1156/361(3.202216...) 및 339/108(3.1389)입니다.
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참고문헌

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