확률론

통계에 관한 시리즈의 일부
확률론
확률 악리 결정론 시스템. 부정론 랜덤성
확률 공간 샘플 공간 이벤트 종합적인 이벤트 초급 이벤트 상호 배타성 결과 싱글턴 실험. 베르누이 재판 확률 분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률 측도 랜덤 변수 베르누이 과정 연속 또는 이산 기대치 마르코프 연쇄 관측치 랜덤 워크 확률 과정
보충 이벤트 결합 확률 한계 확률 조건부 확률
인디펜던스 조건부 독립성 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 불의 부등식
벤도 트리 다이어그램
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확률론은 확률과 관련된 수학의 한 분야이다.비록 몇 가지 다른 확률 해석이 있지만, 확률론은 일련의 공리를 통해 개념을 표현함으로써 엄밀한 수학적 방법으로 그 개념을 다룬다.일반적으로 이러한 공리는 확률 공간의 관점에서 확률을 공식화하며, 확률 측도로 불리는 0과 1 사이의 값을 취하는 측도를 표본 공간이라고 불리는 결과 집합에 할당합니다.샘플 공간의 지정된 서브셋을 이벤트라고 합니다.확률 이론의 중심 주제에는 이산적이고 연속적인 랜덤 변수, 확률 분포 및 확률적 과정(비결정론적 또는 불확실한 과정 또는 무작위 방식으로 시간이 지남에 따라 진화할 수 있는 측정된 양의 수학적 추상화 제공)이 포함된다.무작위 사건을 완벽하게 예측하는 것은 불가능하지만, 그들의 행동에 대해 많은 것을 말할 수 있다.그러한 행동을 설명하는 확률 이론의 두 가지 주요 결과는 큰 수의 법칙과 중심 한계 정리이다.

통계학의 수학적 기초로서 확률론은 데이터의 ^[1]정량적 분석을 수반하는 많은 인간 활동에 필수적이다.확률론의 방법은 통계역학이나 순차추정에서와 같이 그 상태에 대한 부분적인 지식만 주어지는 복잡한 시스템의 기술에도 적용된다.20세기 물리학의 위대한 발견은 양자역학에서 묘사된 원자 규모의 물리적 현상의 확률론적 성격이었다.^[2]

확률 이력

확률의 현대 수학 이론은 16세기 게롤라모 카르다노와 17세기 피에르 드 페르마와 블레즈 파스칼에 의해 우연의 게임을 분석하려는 시도에 뿌리를 두고 있다.^[3]Christiaan Huygens는 ^[4]1657년에 이 주제에 대한 책을 출판했다.19세기에 확률의 고전적 정의가 피에르 라플라스에 ^[5]의해 완성되었다.

처음에, 확률론은 주로 이산 사건을 고려했고, 그것의 방법은 주로 조합적이었다.결국, 분석적 고려사항으로 인해 연속 변수를 이론에 포함시킬 수 밖에 없었다.

이것은 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프가 세운 기초에 대한 현대 확률론에서 정점을 찍었다.콜모고로프는 리처드 폰 미제스에 의해 도입된 표본 공간의 개념과 측정 이론을 결합했고 1933년에 확률론에 대한 그의 공리 체계를 제시했다.이것은 현대 확률론의 대부분 논란의 여지가 없는 자명한 근거가 되었다; 그러나 브루노 드 피네티에 ^[6]의한 셀 수 있는 덧셈보다는 유한한 덧셈의 채택과 같은 대안들이 존재한다.

치료

확률론에 대한 대부분의 입문에서는 이산 확률 분포와 연속 확률 분포를 별도로 취급합니다.측정 이론 기반 확률 처리에는 이산, 연속, 두 가지 혼합 등이 포함됩니다.

동기

여러 가지 결과를 낼 수 있는 실험을 고려해 보십시오.모든 결과의 집합을 실험 표본 공간이라고 합니다.표본 공간(또는 이에 상당하는 사건 공간)의 검정력 세트는 가능한 결과의 서로 다른 모든 수집을 고려하여 형성됩니다.예를 들어, 정직한 주사위를 굴리면 여섯 가지 가능한 결과 중 하나가 생성됩니다.가능한 결과의 집합 중 하나는 홀수를 얻는 것에 해당합니다.따라서 서브셋 {1,3,5}은 다이롤 샘플 공간의 멱집합 요소이다.이러한 컬렉션을 이벤트라고 합니다.이 경우 {1,3,5}은(는) 다이(Die)가 홀수에 떨어지는 이벤트입니다.실제로 발생한 결과가 특정 이벤트에서 발생한 경우 해당 이벤트가 발생한 것으로 간주됩니다.

확률은 모든 "이벤트"에 0과 1 사이의 값을 할당하는 방법이며, 가능한 모든 결과(이 예에서는 이벤트 {1, 2, 3, 4, 5, 6})로 구성된 이벤트에 1의 값을 할당해야 합니다.확률 분포로 인정하려면 값을 할당해야 합니다. 상호 배타적 이벤트 집합(예: 공통 결과를 포함하지 않는 이벤트 {1,6}, {3} 및 {2,4}은(는) 모두 상호 배타적 이벤트 집합)을 볼 경우 이러한 이벤트 중 하나가 발생할 확률을 확률의 합으로 제공해야 합니다.사건의 ^[7]반복입니다.

{1,6}, {3} 또는 {2,4} 이벤트 중 하나가 발생할 확률은 5/6입니다.이것은 {1,2,3,4,6} 사건의 확률이 5/6이라고 말하는 것과 같습니다.이 이벤트에는 5개를 제외한 모든 숫자가 포함될 수 있습니다.상호 배타적 이벤트 {5}의 확률은 1/6이고 이벤트 {1,2,3,4,5,6}의 확률은 1 즉, 절대 확실도입니다.

실험 결과를 사용하여 계산을 수행할 때는 모든 기본 사건에 번호가 할당되어야 합니다.이것은 랜덤 변수를 사용하여 수행됩니다.랜덤 변수는 표본 공간의 각 기본 사건에 실수를 할당하는 함수입니다.이 함수는 보통 ^[8]대문자로 표시됩니다.다이의 경우 특정 기본 이벤트에 대한 번호 할당은 동일함수를 사용하여 수행할 수 있다.이것은 항상 동작하는 것은 아닙니다.예를 들어 동전을 던질 때 가능한 두 가지 결과는 "앞면"과 "뒤면"입니다.이 예에서 랜덤 변수 X는 결과 "0"( ${\displaystyle }$( ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$s ) ${\displaystyle =}$ ( \ $displaystyle$X ( $heads$ ) =$0$)에 할당하고 결과 "${\displaystyle }$"( ${\displaystyle X}$ ( ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ l${\displaystyle s}$ )$=$ ${\displaystyle 1}$ ( \ $displaystyle$ X$$( t a l s )=$1$ )$$에 할당할 수 있습니다.

이산 확률 분포

이산 확률론은 셀 수 있는 표본 공간에서 발생하는 사건을 다룬다.

예:주사위 던지기, 카드 덱 실험, 랜덤 워크, 동전 던지기

고전적 정의:초기에 사건의 발생 확률은 적합 표본 공간에서 가능한 총 결과의 수보다 사건에 유리한 경우의 수로 정의되었다: 확률의 고전적 정의를 참조한다.

예를 들어 "다이를 굴릴 때 짝수 발생"인 경우, 6개 중 3개 면이 짝수이고 각 면이 나타날 확률이 같으므로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{확률}}{}}$은 3 ${\displaystyle 6\frac{\mathrm{}}{}}$ $=$ 1 $({displaystyle$ {$tfrac {$3}{6})=$4개$ tfrac${1}{2$이다.

최신 정의:현대의 정의는 샘플 공간이라고 불리는 유한 또는 카운트 가능한 집합에서 시작합니다.샘플 공간은 고전적인 의미에서 $가능$한 모든 결과의 $집합$과 관련되어 있습니다.${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ 각 $요소{\displaystyle }$ x $∈$ {\$displaystyle$ x$\in \Omega$ $\}$에 대해 고유한 "확률" $값{\displaystyle }$ f$x$$$) {style} {style} $\{\backslash$style$}$로 가정합니다.$le$ f$(x),}$이(가) 첨부되어 다음 속성을 충족합니다.

1. ${\displaystyle f(x)\in [0,1]{\mbox{모든 }}x\in\Omega\;}$
2. $\displaystyle \sum _{x\in \Omega }f(x)=1,}$

즉, 확률 함수 f(x)는 샘플 공간 δ의 모든 x 값에 대해 0과 1 사이에 있으며, 샘플 공간 δ의 모든 값 x에 대한 f(x)의 합은 1과 같다.이벤트는 샘플 공간$\delta$의 $서브셋E(\displaystyle$\Omega$\backslash )$로 정의됩니다$$.$이벤트$ E$(\$$displaystyle$ E$)$의 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle P(E)=\sum _{x\in E}f(x),}$

따라서 전체 표본 공간의 확률은 1이고 귀무 사건의 확률은 0입니다.

샘플 공간의 점을 "확률" 값에 매핑하는 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) {$displaystyle$ f$(x),}$를 pmf로 약칭한 확률 질량 함수라고 합니다.현대의 정의는 확률 질량 함수가 어떻게 얻어지는지에 대한 해답을 찾으려고 하지 않는다; 대신에, 그것은 그들의 존재를^{[citation needed]} 가정하는 이론을 구축한다.

연속 확률 분포

연속 확률론은 연속 표본 공간에서 발생하는 사건을 다룬다.

고전적 정의:고전적 정의는 연속적인 사례에 직면하면 무너진다.베르트랑의 패러독스를 보세요.

최신 정의:랜덤 변수 X의 표본공간이 실수의 집합$($displaystyle $\mathbb$ {$R$ 또는 그 부분집합인 경우에는 누적분포함수(또는 $)$ F(\$displaystyle$ F$,)$라는 함수가 존재하며${\displaystyle ,}$ F(${\displaystyle x)}$ $= P$\$displaystyle X(X$)로 정의된다.X가 x보다 작거나 같을 수 있는 능력.

CDF는 다음 속성을 반드시 만족시킵니다.

1. ${\displaystyle F}${\$displaystyle$ F$}$는 단조롭게 감소하지 않는 오른쪽 연속 함수입니다.
2. $\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty}F(x)=0,;}$
3. ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty}F(x)=1,}$

F$${\$displaystyle$ F$}$가 절대적으로 연속적이고, 즉 그 도함수가 존재하며, 도함수를 적분하면 다시 cdf가 반환되는 $경우{\displaystyle }$, 랜덤 변수 X는 확률 밀도 함수 또는 pdf ${\displaystyle 또는\frac{}{}}$ 단순 $밀도{\displaystyle }$ f${\displaystyle \frac{(}{}}$ d $.$ {$displaystyle$ f$(x$) $= frac$ {$d(x)}$ {dx} {d} {d} {x} {d} {d}} {d}} {d}} {d}}}} {d}}}}}}} {d}}}}}}}}}} {d}}}}}}}}}}

$집합{\displaystyle }$ E${\displaystyle r\mathbb{}}$R {\$displaystyle$ E$\subseteq \mathbb${R$\}$의 경우 랜덤 변수 X가$$E {\$displaystyle$ E$}$에 있을 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle P(X\in E)=\int_{x\in E}dF(x),}$

확률밀도함수가 존재하는 경우, 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle P(X\in E)=\int _{x\in E}f(x),dx,}$

pdf는 연속 랜덤 변수에만 존재하는 반면 cdf는 R$.\displaystyle \mathbb {R},}$의 값을 취하는 모든 랜덤 변수(불연속 랜덤 변수 포함)에 대해 존재합니다$.$

이러한 개념은 R ${\displaystyle {}^{}}$\$displaystyle \mathbb {R} ^{n}$의 다차원 사례 및 기타 연속 표본 공간에 대해 일반화할 수 있습니다.

측정이론 확률론

확률의 측정 이론 처리의 존재 이유는 이산 사례와 연속 사례를 통합하고 그 차이를 어떤 측정이 사용되는지에 대한 문제로 만든다는 것이다.또한, 이 두 가지 분포가 이산적이지도 않고 연속적이지도 않으며 혼합적이지도 않은 분포를 포함한다.

이러한 분포의 예로는 이산 분포와 연속 분포의 혼합이 있습니다. 예를 들어 확률 1/2의 0이고 정규 분포에서 확률 1/2의 랜덤 값을 취하는 랜덤 변수가 있습니다.${\displaystyle \mathrm{pdf}}$ ( ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle x]}$ +${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) / ${\displaystyle 2\mathrm{}}${ $displaystyle$ ( \ $delta$[$x$] + \ $varphi ( x$ ) /$$2) ($$where${\displaystyle }$[ $]$ \ $displaystyle$\ $delta$[ $x$]는 Dirac 델타 함수)의 pdf를 갖는 것으로 간주해도 어느 정도 검토할 수 있습니다.

다른 분포는 혼합 분포가 아닐 수도 있습니다. 예를 들어, 칸토어 분포는 단일 점에 대해 양의 확률이 없으며 밀도도 없습니다.확률론에 대한 현대적인 접근법은 확률 공간을 정의하기 위해 측정 이론을 사용하여 다음과 같은 문제를 해결합니다.

샘플 $공간이라고$도 함) 집합$$δ(\$displaystyle \Omega$$$${\displaystyle \})<img\; alt="\backslash Omega\; \backslash ,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/771ad27abf999ca4ae152aeb523d93eca2447b7e"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.065ex;\; height:2.176ex;">}$ 및 $\delta -displaystyle{\displaystyle \mathcal{}}$F(\$displaystyle$ {$F})$에 대해 F$(\displaystyle {F})$에 정의된 $측도{\displaystyle }$P${\displaystyle (\backslash \mathrm{displaystyle}}$ P$)$는 확률 측도(\$display$ 1$(\$ 1$).$

F$displaystyle {F})$가 실수 집합의 보렐 θ-대수인 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$ F$displaystyle {F})$에 $대한{\displaystyle \mathcal{}}$ 고유한 확률 측도가 있으며, 그 반대도 마찬가지입니다.cdf에 대응하는 조치는 cdf에 의해 유도된다고 한다.이 측정치는 이산형 변수의 pmf 및 연속형 변수의 pdf와 일치하므로 측정 이론 접근법에 오류가 없다.

- - $algebra{\displaystyle \mathcal{}}$ F${\displaystyle }$$（$ \ $display style$ \$mathcal$ { F$$ $}$ ） 에서의$$ $세트E{\displaystyle }$의 확률은 다음과 같이 $정의$됩니다.

$({displaystyle P(E)=\int_{\obega\in E}\mu_{F}(d\obega)},$

여기서 통합은 F$.\displaystyle$ F$.$에 $의해{\displaystyle }$ 유도된 $측정값{\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle\mu_{F})$에 관한 것입니다.

이산적이고 연속적인 확률에 대한 더 나은 이해와 통일을 제공하는 것과 더불어 측정이론 처리는 확률 과정 이론에서처럼$$ n \$displaystyle$ \$mathbb${R$}$^{$n$ 이외의 $확률$에 대해서도 연구할 수 있게 해준다.예를 들어, 브라운 운동을 연구하기 위해 함수의 공간에 확률이 정의됩니다.

지배적인 척도로 작업하는 것이 편리할 때, 이 지배적인 척도에 대한 관심 확률 분포의 라돈-니코다름 도함수로 밀도를 정의하기 위해 라돈-니코다름 정리가 사용됩니다.이산 밀도는 일반적으로 가능한 모든 결과의 집합에 대한 계수 측정과 관련하여 이 파생상품으로 정의된다.절대 연속 분포에 대한 밀도는 보통 르베그 측정과 관련하여 이 도함수로 정의된다.이 일반 설정에서 정리가 증명될 수 있는 경우, 다른 분포와 마찬가지로 이산 분포와 연속 분포 모두에 대해 증명됩니다. 이산 분포와 연속 분포에는 별도의 증명이 필요하지 않습니다.

고전 확률 분포

확률론에서 특정 랜덤 변수는 많은 자연적 또는 물리적 과정을 잘 설명하므로 매우 자주 발생합니다.따라서 이들의 분포는 확률론에서 특히 중요해졌다.기본적인 이산 분포로는 이산 균일, 베르누이, 이항, 음이항, 포아송 및 기하 분포가 있습니다.중요한 연속 분포에는 연속 균등 분포, 정규 분포, 지수 분포, 감마 분포 및 베타 분포가 포함됩니다.

랜덤 변수의 수렴

확률론에서는 랜덤 변수에 대한 수렴 개념이 몇 가지 있습니다.이들은 강도순으로 아래에 나열되어 있다. 즉, 목록의 수렴에 대한 후속 개념은 앞의 모든 개념에 따른 수렴을 의미한다.

약한 컨버전스

랜덤 $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,$…,$ {\$displaystyle$ X_${1$}, $X_{2},\dots,}$의 시퀀스는 각각의 누적 분포 $함수{\displaystyle {}_{}}$ $F1, F2,\dots$의 경우 랜덤 $변수{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$}$로 약하게 수렴합니다$.$${\displaystyle }$X$({$ X$\})$의 {{$displaystyle$ F$},$ 즉$F$({$displaystyle$ F$})$가 연속인 $경우{\displaystyle }$$.$약한 수렴은 분포에서의 수렴이라고도 합니다.

가장 일반적인 줄임말 $표기법{\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$: ${\displaystyle {\displaystyle X_{}}}$ n ${\displaystyle {\displaystyle \to {}_{}\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle D\stackrel{}{}}}$X { $displaystyle X _$ { $n$} , { \ x $rightarrow$\ mathcal {\$mathcal {D}},X}$

확률의 수렴

랜덤 $변수{\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,$…({$ 등)의$$ 시퀀스는 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\to }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle X_{}}$n - ${\displaystyle X\ge }$ ) ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle \$ {$n$ \ $right arfty }$일 ${\displaystyle \underset{}{경우}}$ 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X$({$},\$displaystyle$ X$,\{$2},\dots,\dots$})$에 수렴한다고 합니다.0보다 클 때마다 $=0$$.$

가장 일반적인 줄임말 $표기법{\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$: ${\displaystyle {\displaystyle X_{}}}$ n ${\displaystyle {\displaystyle \to {}_{}\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle P\stackrel{}{}}}$X {\$displaystyle X_{n},{\$xrightarrow {$P}},X}$

강력한 컨버전스

랜덤 $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$2,$…({$등)의$$ 시퀀스는 P${\displaystyle (\underset{}{lim}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\to }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle =}$1 \ $displaystyle$ P$(\lim _$n \ $right$ arrow$})$의 경우 랜덤 $변수{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$,\$$inftyle$ )에 강하게 수렴한다고 한다.nce를 클릭합니다.

가장 일반적인 줄임말 $표기법{\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$: ${\displaystyle {\displaystyle X_{}}}$ n ${\displaystyle {\displaystyle \to {}_{}\stackrel{a\mathrm{}}{}}}$ .${\displaystyle {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{s}}}}$ .$$ \ $displaystyle X_{n},$ {\$xrightarrow {mathrm {a.s.$$}}}},X}$

이름에서 알 수 있듯이 약한 컨버전스는 강한 컨버전스보다 약합니다.사실, 강한 수렴은 확률의 수렴을 의미하며, 확률의 수렴은 약한 수렴을 의미합니다.그 반대의 진술이 항상 참인 것은 아니다.

대수의 법칙

일반적인 직관은 공정한 동전을 여러 번 던지면 대략 절반은 앞면이 나오고 나머지 절반은 뒷면이 나온다는 것을 암시한다.또한 동전을 던질수록 앞면 대 뒷면 수의 비율이 합성에 가까워질 가능성이 높아집니다.현대의 확률론은 대수의 법칙으로 알려진 이 직관적인 생각의 형식적인 버전을 제공한다.이 법칙은 확률론의 기초에서 가정되지 않고 대신 이러한 기초에서 정리로 나타나기 때문에 주목할 만하다.대수의 법칙은 이론적으로 도출된 확률과 현실 세계의 실제 발생 빈도를 연결하기 때문에 통계 이론의 역사에서 기둥으로 간주되며 광범위한 영향을 ^[9]미쳤다.

큰 숫자의 법칙(LLN)은 표본의 평균이

${\displaystyle {X}_{n}=subfrac {1}{n}{\sum _ {k=1}^{n}X_{k}}}$

X ${\displaystyle k_{}(\backslash {}_{}}$displaystyle $X_{k})$의 기대치가 유한하다면 X$$k(\$displaystyle$ $X_$${k$})의 공통 $기대치{\displaystyle }$μ(\$displaystyle \mu$로 수렴한다.

많은^[10] 수의 약자와 강한 법칙을 구분하는 것은 랜덤 변수의 수렴의 다른 형태에 있다.

약한 법칙: $X{\displaystyle {\displaystyle {\stackrel{}{}nn}_{}}}$ ${\displaystyle \to }$ $μdisplaystyle {\displaystyle {$X}_{n$}, {\xrightarrow {$P},\mu$$$}($$→\displaystyle$ n$\to\infty })$

$강력$한 법칙: $X{\displaystyle {\displaystyle {\stackrel{}{}n}_{}}}$ n ${\displaystyle {\displaystyle \to {}_{}\stackrel{a\mathrm{}}{}}}$.${\displaystyle {\displaystyle \mu \stackrel{}{}}}$ $($ \ $displaystyle$\$displaystyle$\ $overline${$X } _$ { $n$$}$ , { \ $x rightarrow${ $a$. , $s$.$$} 、 n$$${\displaystyle \mathrm{\to }}$ \ $displaystyle$n . $to$\$infty$ $}$ 。

LLN에서 독립 실험 중에 확률 p의 사건이 반복적으로 관찰되면 해당 사건의 총 반복 횟수에 대한 관측 빈도의 비율이 p로 수렴된다.

예를 들어, ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$2, $...({$},$Y_{$2},...})가$$ 확률 p의 값 1과 확률$$1-p의 값 0을 취하는 독립 베르누이 랜덤 변수인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, $E{\displaystyle ({Yi}_{}}$ $=$ $(\displaystyle$ {$E}(Y_i$}) ${\displaystyle {\stackrel{}{=}}_{}}$$p$는 모든 Y에 대해 다음과 같이 $됩니다{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$.o p 거의 확실하다.

중심 한계 정리

중심 한계 정리 (CLT)는 자연에서 정규 분포의 유비쿼터스 발생을 설명하고, 데이비드 윌리엄스에 따르면, 이 정리는 ^[11]"수학의 위대한 결과 중 하나"라고 한다.

이 정리는 분산이 유한한 많은 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수의 평균이 원래의 랜덤 변수 뒤에 이어지는 분포에 관계없이 정규 분포를 지향하는 경향이 있음을 나타냅니다.형식적으로는 ${\displaystyle {X1\mathrm{}}_{}}$ $…({$$})$를 $,$ 분산 2>0의 독립된 랜덤 변수라고 $합니다{\displaystyle {}_{}}$$.{$ $displaystyle \sigma ^{2}$ > $0$. } variables variables variables variables 、 variables variables variables variables variables variables variables variables variables variables formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally formally 。

${\displaystyle Z_{n}=frac {sum _ {i=1}^{n}(X_{i}-\mu)}{\frac {\frcrt {n}}},$

분포가 표준 정규 랜덤 변수로 수렴됩니다.

Berry-Esseen 정리처럼 일부 랜덤 변수의 클래스에서 고전적인 중심 한계 정리는 다소 빠르게 작동합니다.예를 들어 지수 패밀리로부터의 유한한 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 모멘트를 갖는 분포입니다.반면 무거운 꼬리 및 뚱뚱한 꼬리 품종의 일부 랜덤 변수의 경우 매우 느리게 동작하거나 전혀 동작하지 않을 수 있습니다.이 경우 GCLT(Generalized Central Limit Oremy)를 사용할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

인용문

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