기하학의 역사

기하학(고대 그리스어: γεμμραα; 지오 "지구", -메트론 "측정")은 공간 관계를 다루는 지식의 분야로서 생겨났다. 기하학은 전근대 수학의 두 분야 중 하나였고, 다른 하나는 숫자의 연구(산술)이다.

고전 기하학은 나침반과 직선 구조로 초점이 맞춰져 있었다. 기하학은 유클리드에 의해 혁명화되었는데, 유클리드는 수학적인 엄격함과 오늘날에도 여전히 사용되고 있는 자명적인 방법을 도입하였다. 그의 저서 '원소'는 역사상 가장 영향력 있는 교과서로 널리 알려져 있으며, 20세기 중반까지 서양에서 교육받은 모든 사람들에게 알려져 있다.^[1]

현대에 이르러 기하학적 개념은 고도의 추상화와 복잡성으로 일반화되어 미적분법과 추상대수의 방법을 따랐기 때문에 이 분야의 많은 현대적 분과는 초기 기하학의 후예로서 겨우 인정받을 수 있다.(수학과 대수 기하학의 영역 참조)

초기 기하학

기하학의 초기 기록은 기원전 3000년경 고대 인더스 계곡에서 둔탁한 삼각형(하라판 수학 참조)과 고대 바빌로니아(바빌로니아 수학 참조)를 발견한 초기 민족을 추적할 수 있다. 초기 기하학은 길이, 각도, 면적 및 부피에 관한 경험적으로 발견된 원리의 집합체로서, 측량, 건설, 천문학 및 다양한 공예에 있어 어떤 실제적인 필요를 충족시키기 위해 개발되었다. 이들 중에는 놀라울 정도로 정교한 원칙이 몇 가지 있었고, 현대 수학자는 미적분학과 대수학을 사용하지 않고 그것들 중 몇 가지를 이끌어내기 어려울지도 모른다. 예를 들어, 이집트인과 바빌로니아인 모두 기원전 800년경의 피타고라스와 인도 설바 경전이 정리의 첫 번째 문장을 포함하기 약 1500년 전에 피타고라스 정리의 버전을 알고 있었다; 이집트인들은 사각 피라미드의 좌절의 부피에 대한 정확한 공식을 가지고 있었다.

이집트 기하학

고대 이집트인들은 다음과 같이 원의 면적과 근사할 수 있다는 것을 알았다.^[2]

원의 면적 ≈ [ (지름계) x 8/9 ]²

아흐메스 파피루스의 문제 30은 원 지름의 8/9 제곱과 동일하다는 규칙에 따라 원의 면적을 계산하기 위해 이 방법을 사용한다. 이는 π이 4×(8/²9) (또는 3.160493...)이며, 오차율은 0.63%를 약간 넘는다고 가정한다. 이 값은 바빌로니아인의 계산(25/8 = 3.125, 0.53%)보다 약간 덜 정확했지만, 아치메데스의 근사치인 211875/67441 = 3.14163이 되어서야 1만분의 1을 조금 넘는 오차가 있었다.

아흐메스는 현대 22/7을 π의 근사치로 알고 헤카트, hekat x 22/x x 7/22 = hekat를 분할하는 데 사용하였으나,^{[citation needed]} 아흐메스는 실린더에서 발견되는 헤카트 부피를 계산하는 데 π의 전통적인 256/81 값을 계속 사용했다.

문제 48은 측면 9 유닛이 있는 사각형을 사용하는 것과 관련이 있다. 이 정사각형은 3x3 격자로 잘려졌다. 모서리 사각형의 대각선을 사용하여 면적이 63단위인 불규칙한 8각형을 만들었다. 이로써 3.111의 두 번째 값이 나왔다...

이 두 문제는 함께 3.11과 3.16 사이의 π에 대한 값의 범위를 나타낸다.

모스크바 수학 파피루스의 문제 14는 정확한 공식을 설명하면서 피라미드의 좌절의 부피를 찾는 유일한 고대의 예를 제시한다.

${\displaystyle V={\frac {1}{3}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

여기서 a와 b는 잘린 피라미드의 밑부분과 위쪽 옆면 길이, h는 높이다.

바빌로니아 기하학

바빌로니아인들은 면적과 부피를 측정하는 일반적인 규칙을 알고 있었을 것이다. 그들은 원의 둘레를 지름의 3배, 넓이를 원주의 정사각형의 12분의 1로 측정했는데, π을 3으로 추정하면 정확할 것이다. 원통형의 부피를 기단의 산물로서, 높이로서 가져갔으나, 원뿔이나 사각 피라미드의 좌굴 부피를 기단의 반과 높이의 산물로 잘못 가져갔다. 피타고라스 정리는 바빌로니아인들에게도 알려졌다. 또한 최근에 태블릿이 π을 3과 1/8로 사용한 발견도 있었다. 바빌로니아인들은 또한 바빌로니아 마일로도 알려져 있는데, 그것은 오늘날 약 7마일에 해당하는 거리 측정이었다. 따라서 거리에 대한 이 측정은 결국 시간을 나타내는 태양의 이동을 측정하는 데 사용되는 시간 마일로 변환되었다.^[3] 최근 고대 바빌로니아인들이 유럽인들이 천문학 기하학을 발견하기 거의 1400년 전에 발견했을 수도 있다는 것을 보여주는 발견들이 있었다.^[4]

베딕 인도 기하학

인도 베딕 시대는 대부분 정교한 제단 건설에서 표현되는 기하학의 전통이 있었다. 이 주제에 관한 초기 인도 문헌(BC 1천년기)에는 사타파타 브라흐마나와 술바 수트라스 등이 포함되어 있다.^[5][6][7]

(하야시 2005년, 페이지 363)에 따르면, 슐바 수트라스에는 "오래된 바빌로니아인들에게 이미 알려진 바 있지만, 현존하는 현존하는 피타고라스 정리의 언어적 표현"이 포함되어 있다.

장방형(직각형)의 대각선 로프(Akṣayaa-rajju)는 옆구리(Parvvamani)와 가로(Tiryammanī) <ropes>가 따로 생산한다."^[8]

그들은 피타고라스의 삼쌍둥이의 목록을 포함하고 있는데,^[9] 이것은 디오판틴 방정식의 특별한 예들이다.^[10] 그들은 또한 원을 제곱하고 "광장을 순환"하는 것에 대한 (후견으로 대략적인 것으로 알고 있다는) 진술도 포함하고 있다.^[11]

The Baudhayana Sulba Sutra, the best-known and oldest of the Sulba Sutras (dated to the 8th or 7th century BC) contains examples of simple Pythagorean triples, such as: ${\displaystyle (3,4,5)}$, ${\displaystyle (5,12,13)}$, ${\displaystyle (8,15,17)}$, ${\display$$스타일 (7,24,25)}$, 그리고${\displaystyle }$(${\displaystyle 12,35,37}$) ${\displaystyle (12,$35,37$)}$과^[12] 더불어 사각형의 측면에 대한 피타고라스식 정리 (12,$35,37$)의 진술: "사각형의 대각선을 가로질러 늘어선 로프는 원래 사각형의 두 배의 면적을 생산한다."^[12] 또한 피타고라스 정리(직사각형의 측면에 대한)의 일반적 설명도 수록되어 있다. 직사각형의 대각선 길이를 따라 늘어선 밧줄은 수직과 수평이 함께 만들어지는 면적을 만든다.^[12]

수학자 S. G. Dani에 따르면, 바빌로니아 쐐기풀림프톤 322 글씨는^[13] 기원전 1850년 메소포타미아에서 "원시적 삼중인 (13500, 12709, 18541)을 포함하여 상당히 큰 표기를 가진 15개의 피타고라스 3쌍을 포함하고 있는데,^[14] 이는 특히 이 주제에 대한 정교한 이해가 있었음을 보여준다"고 한다. "이러한 판들은 몇 세기의 설바수트라스 시대를 앞섰기 때문에, 삼중의 일부의 문맥적 외관을 고려했을 때, 인도에도 비슷한 이해가 있었을 것이라고 예상하는 것이 타당하다."^[15] 다니엘은 계속 이렇게 말한다.

"설바수트라의 주된 목적이 제단의 구성과 거기에 수반되는 기하학적 원리를 기술하는 것이었듯이, 잘 이해되었다 하더라도 피타고라스 삼중의 주제는 여전히 설바수트라스에는 특색을 나타내지 않았을지도 모른다. 설바수트라스에서 삼중의 발생은 건축에 관한 입문서나 또 다른 유사한 응용영역에서 마주칠 수 있는 수학에 필적할 수 있으며, 그 당시 주제에 대한 전반적인 지식과 직접적으로 대응하지는 못할 것이다. 불행히도, 다른 동시대적인 출처는 발견되지 않았기 때문에, 이 문제를 만족스럽게 해결하는 것은 결코 불가능할 것이다.^[15]

모두 세 개의 설바 경전이 작곡되었다. 나머지 2개인 마나바(기원전 750~650년)가 작곡한 마나바 설바경(기원전 600년)과 아파스탐바(기원전 600년)가 작곡한 아파스탐바 설바경(기원전 750년~650년)은 바우드하야나 설바경과 유사한 결과를 담고 있었다.

그리스 기하학

그리스 고전 기하학

고대 그리스 수학자들에게 기하학은 그들 과학의 왕관 보석으로, 그들 지식의 다른 한 분야도 얻지 못한 방법론의 완전성과 완벽함에 도달했다. 그들은 기하학의 범위를 많은 새로운 종류의 형상, 곡선, 표면 및 고형물로 확장했다; 그들은 그 방법론을 시행착오에서 논리적 추론으로 바꾸었다; 그들은 물리적 물체가 단지 근사치인 "영원한 형태" 즉 추상화를 연구한다는 것을 인식하고, "축체적 방법"의 개념을 개발했다.나는 오늘 사용할 것이다.

탈레스와 피타고라스

밀레투스(현재의 터키 서남부에 있음)의 탈레스(기원전 635년~543년)는 수학에서 추리가 가장 먼저 기인한다. 그가 연역적 증거를 쓴 기하학적 명제는 다섯 가지가 있지만, 그의 증거는 살아남지 못했다. 이오니아의 피타고라스(기원전 582년~496년)와 이후 그리스인에 의해 식민지화된 이탈리아는 탈레스의 학생이었을지도 모르며, 바빌론과 이집트로 여행했다. 그의 이름이 적힌 정리는 그의 발견이 아니었을지 모르지만, 그는 아마도 연역적인 증거를 제시한 최초의 사람 중 하나였을 것이다. 그는 수학, 음악, 철학을 공부하기 위해 주위에 한 무리의 학생들을 모았고, 그들은 함께 고등학교 학생들이 그들의 기하학 수업에서 오늘날 배우는 것의 대부분을 발견했다. 게다가, 그들은 헤아릴 수 없는 길이와 불합리한 숫자의 심오한 발견을 했다.

플라톤

플라톤 (기원전 427년-347년)은 그리스인들에게 높이 평가되는 철학자였다. 그가 자신의 유명한 학교 입구 위에 "이곳에 기하학을 모르는 사람은 들어오지 못하게 하라"고 새겼다는 이야기가 있다. 그러나 이 이야기는 사실이 아닌 것으로 간주된다.^[16] 수학자 자신은 아니었지만 수학에 대한 그의 견해는 큰 영향을 미쳤다. 따라서 수학자들은 기하학이 나침반과 직선 외에는 도구를 사용하지 않아야 한다는 그의 믿음을 받아들였다. 왜냐하면 이것들은 학자의 가치가 있는 것이 아니라 노동자의 도구였기 때문이다. 이 격언은 가능한 나침반과 직선구조에 대한 깊은 연구로 이어졌고, 세 가지 고전적인 구성 문제, 즉 이러한 도구를 사용하여 각도를 추적하고, 주어진 큐브 부피의 두 배를 정육면체를 구성하고, 주어진 원과 동일한 면적에 정사각형을 구성하는 방법이었다. 마침내 19세기에 달성된 이러한 건설의 불가능성에 대한 증거는 실수체계의 깊은 구조에 관한 중요한 원리로 이어졌다. 플라톤의 가장 위대한 제자 아리스토텔레스 (384년-기원전 322년)는 19세기까지 실질적으로 개선되지 않았던 연역적 증명(논리 참조)에 사용된 추리 방법에 관한 논문을 썼다.

헬레니즘 기하학

유클리드

아마 플라톤이 설립한 아카데미의 학생인 알렉산드리아의 유클리드(기원전 325년-265년)는 13권의 책(장)에 기하학을 유클리드 기하학으로 알려지게 된 이상적 자명적인 형태로 제시했다는 제목의 논문을 썼다. 이 논문은 헬레니즘 수학자들이 그 당시 기하학에 대해 알고 있던 모든 것을 요약한 것이 아니다; 유클리드 자신도 기하학에 관한 8권의 진보된 책을 썼다. 우리는 다른 참고 문헌을 통해 유클리드 교과서가 최초의 초등 기하학 교과서는 아니었지만, 너무 우월한 나머지 다른 것들은 불용에 빠져 길을 잃었다는 것을 알고 있다. 그는 이집트의 왕 프톨레마이오스 1세에 의해 알렉산드리아 대학에 보내졌다.

원소는 용어의 정의, 기본 기하학적 원리(공리 또는 가정체라고 함), 그리고 나머지 기하학적 원리를 모두 논리적으로 추론할 수 있는 일반적인 정량적 원리(일반적인 개념이라 함)로 시작했다. 다음은 영어를 읽기 쉽게 하기 위해 다소 과장된 그의 다섯 가지 공리들이다.

1. 어떤 두 점이라도 직선으로 합칠 수 있다.
2. 어떤 유한한 직선은 직선으로도 연장할 수 있다.
3. 원은 어떤 중심과 반지름으로도 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 평면의 두 직선이 다른 직선으로 교차되고(횡단이라고 함), 횡단 한쪽에 놓여 있는 두 선과 횡단면 사이의 내부 각도가 두 직각 이하로 더해진다면, 그 횡단의 저쪽에서 확장된 두 선은 교차한다(평행 가설이라고도 함).

현재 대수학으로 이해되고 있는 개념들은 그리스 기하학 대수학이라고 일컬어지는 방법인 유클리드(Eucleid)에 의해 기하학적으로 표현되었다.

아르키메데스

시칠리아 시라큐스의 아르키메데스 (기원전 287년-212년)는 그리스 도시국가였을 때 그리스 수학자들 중 가장 위대한 것으로 여겨지며, 때로는 역대 3대(아이작 뉴턴, 칼 프리드리히 가우스와 함께) 중 하나로까지 이름이 붙기도 한다. 그가 수학자가 아니었다면, 그는 여전히 위대한 물리학자, 엔지니어, 발명가로 기억될 것이다. 그는 수학에서 분석 기하학의 좌표계와 매우 유사한 방법, 적분 미적분학의 제한 과정을 개발했다. 이러한 분야의 창조에 부족했던 유일한 요소는 그의 개념을^{[citation needed]} 표현하는 효율적인 대수 표기법이었다.

아르키메데스 이후

아르키메데스 이후 헬레니즘 수학은 쇠퇴하기 시작했다. 아직 작은 별 몇 개가 오지 않았지만 기하학의 황금시대는 끝났다. 유클리드 1권 해설의 저자 프롤러스(410-485)는 헬레니즘 기하학에서 마지막으로 중요한 선수 중 한 명이었다. 그는 유능한 측량계였지만, 그보다 중요한 것은, 그보다 앞선 작품들에 대한 뛰어난 해설자였다. 그 작품의 상당 부분은 현대로부터 살아남지 못했고, 오직 그의 해설을 통해서만 우리에게 알려져 있다. 그리스 도시국가를 계승·흡수한 로마공화국과 제국은 뛰어난 기술자를 배출했지만 주목받는 수학자는 없었다.

알렉산드리아의 대도서관은 후에 불탔다. 역사학자들 사이에서는 알렉산드리아 도서관이 여러 가지 파괴적인 사건으로 고통 받았을 가능성이 높지만, 4세기 후반 알렉산드리아의 이교도 사원의 파괴가 아마도 가장 심각하고 최종적인 사건이었을 것이라는 공감대가 높아지고 있다. 그 파괴에 대한 증거가 가장 확실하고 안전하다. 카이사르의 침공으로 항구와 인접한 창고에서 약 4만~7만 장의 두루마리가 유실된 것은 당연하지만(루치아노 칸포라의 주장대로 그것들은 수출을 목적으로 한 도서관에서 생산한 사본일 가능성이 높다) 두 가지 모두 나중에 존재했다는 충분한 증거가 있다는 점에서 도서관이나 박물관에 영향을 주지는 않았을 것이다.^[17]

내전, 새로운 두루마리의 유지와 획득에 대한 투자 감소, 그리고 일반적으로 비종교적 활동에 대한 관심 감소는 특히 4세기에 도서관에서 이용할 수 있는 자료의 본체를 감소시키는 데 기여했을 가능성이 있다. 세라핌은 391년 테오필러스에 의해 확실히 파괴되었고, 박물관과 도서관은 같은 캠페인의 희생자가 되었을지도 모른다.

인도의 고전 기하학

박샬리 필사본에는 기하학적 문제(불규칙 고형물의 부피에 관한 문제 포함)가 한 움큼 있다. 박샬리 필사본은 또한 "0을 위한 점으로 소수 자리 값 시스템을 구현한다."^[18] 아리야바타의 아리야바티야(499년)는 면적과 부피의 연산을 포함한다.

브라만굽타는 628년에 그의 천문학적 작품인 브라흐마 스푸아 시드한타를 썼다. 산스크리트어 66절을 수록한 12장은 "기본 연산"(입방근, 분수, 비율과 비율, 물물교환 포함)과 "실용 수학"(혼합, 수학적 시리즈, 평면 수치, 벽돌 쌓기, 목재의 톱질, 곡물 쌓기)의 두 부분으로 나뉜다.^[19] 후반부에서 그는 그의 유명한 정리를 주기적인 4각형의 대각선에 대해 다음과 같이 진술했다.^[19]

브라마굽타의 정리: 만약 주기적인 4각형이 서로 수직인 대각선을 가지고 있다면, 대각선의 교차점에서 4각형의 어떤 면으로 가는 수직선은 항상 반대쪽을 이등분한다.

12장에는 또한 이성 삼각형(즉 이성적인 면과 이성적인 면적이 있는 삼각형)에 대한 완전한 설명과 함께 주기적인 4각형(헤론의 공식의 일반화)의 면적에 대한 공식도 포함되었다.

브라마굽타의 공식: 길이가 각각 a, b, c, d인 주기적 4각형의 면적 A는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

여기서 s, $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{a}{}}$+ b${\displaystyle \frac{}{}}$+ c${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$. ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}.$$}$

브라마굽타의 이성적 삼각형 정리: 이성적인 $면{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ a$,b,c}$과 이성적인 면적을 가진 삼각형은 다음과 같은 형식이다.

${\displaystyle a={\frac{u^{2}}:{v}+v,\b={\frac{u^{2}}:{w},\c={prac {{u^{2}}:{v}}}}{w}-(v+w)}$

일부 합리적인 숫자의 경우 $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle u,v,}$ $및{\displaystyle }$ w$$ ${\displaystyle w$^[20]

중국 기하학

중국에서 기하학에 관한 최초의 확정적 저작(또는 적어도 가장 오래된 존재)은 초기 철학자 모지(Mozi, 기원전 470년-390년)의 모히스트 캐논인 모징(Mohist canon)이었다. 그것은 기원전 330년경 그의 추종자들에 의해 죽은 지 몇 년이 지난 후에 편집되었다.^[21] 모징은 중국에서 현존하는 기하학 관련 책 중 가장 오래된 것이지만, 더 오래된 쓰여진 자료가 존재했을 가능성도 있다. 그러나 진나라 통치자 진시황(재위 221-210)의 정치 공작에 의한 악명 높은 '책의 소각'으로 인해, 그의 시대 이전에 만들어진 다수의 문예 문학이 숙청되었다. 게다가, 모징은 이전의 기하학적 기반이나 수학적인 배경을 가지고 있지 않아서 아마도 너무 진보된 수학의 기하학적 개념을 제시한다.

모징은 물리과학과 관련된 많은 분야의 다양한 측면을 묘사했고 수학에 대한 약간의 정보도 제공했다. 선은 부품으로 분리되어 있고, 남은 부분이 없는 부분(즉, 더 작은 부분으로 나눌 수 없는 부분)이 라인의 극단을 이루는 점이라고 하는 기하학적 점에 대한 '원자적' 정의를 제공했다.^[21] 유클리드 제1차·제3차 정의나 플라톤의 '줄의 시작'과 마찬가지로 모징은 "한 지점은 (줄의) 끝이나 그 시작에 (줄의) 머리 표시처럼 서 있을 수 있다. (그 투명성에 대해서는) 그것과 유사한 것은 없다"^[22]고 명시했다. 데모크리토스의 원자와 마찬가지로 모징은 '아무것도'를 반감할 수 없기 때문에 점수는 가장 작은 단위이며, 반으로 자를 수 없다고 명시했다.^[22] 그것은 같은 길이의 두 줄이 항상 같은 장소에서 끝나는 동시에 길이와 평행도의 비교에 대한 정의를 ^[23]공간과 경계 공간의 원리와 함께 제공한다고 명시했다.^[22][24] 두께가 없는 평면은 상호 접촉할 수 없어 쌓을 수 없다는 점도 설명했다.^[25] 이 책은 원주, 지름, 반지름에 대한 정의와 함께 부피에 대한 정의를 제공했다.^[26]

중국의 한나라 시대는 수학의 새로운 번영을 목격했다. 기하학적 진보를 제시한 중국의 가장 오래된 수학적 문헌 중 하나는 서한 시대인 기원전 186년의 수안슈였다. 수학자, 발명가, 그리고 천문학자인 장 헝은 수학 문제를 풀기 위해 기하학적 공식을 사용했다. 저우 리(기원전 2세기경 컴파일)에서 파이( pi)에 대한 대략적인 추정치가 나왔지만, 파이를 위한 보다 정확한 공식을 만들기 위해 가장 먼저 일치된 노력을 기울인 것은 장흥이었다.^[27] 장 헝은 구면 체적을 찾는데 다른 공식을 사용했지만, 대신 10(또는 약 3.162)의 제곱근을 사용하여 pi의 근사치를 730/232(또는 약 3.1466)로 추정했다. 주총지(429-500 AD)는 pi 근사치의 정확도를 3.1415926~3.1415927로 향상시켰으며, ₁₁₃½(密,, 밀뤼, 상세 근사)과 ₇½( (率, 유엘뤼, 대략)은 다른 주목할 만한 근사치가 되었다.^[28] 후기 작품과 비교하면 프랑스의 수학자 프랑시스쿠스 비에타(1540~1603)가 준 파이 공식은 주(Zu)의 근사값의 중간 정도 떨어졌다.

수학적 예술에 관한 9장

서기 179년에 청동 비문에 처음 등장한 수학적 예술에 관한 9장은 3세기 조위나라의 수학자 류휘에 의해 편집되고 논평되었다. 이 책에는 사각형이나 원형의 표면적을 찾는 등 기하학이 적용된 많은 문제점과 다양한 3차원 형상의 고형물의 부피, 피타고라스적 정리의 활용 등이 수록됐다. 이 책은 피타고라스 정리에 대한 삽화적 증거를 제공했으며,^[29] 직각 삼각형의 성질과 피타고라스 정리에 관한 초기의 저우 공작과 상고와의 서면대화가 수록되어 있으며, 천문 그노몬, 원과 사각형, 높이와 거리의 측정도 언급되어 있다.^[30] 류후이 편집자는 192면 다각형을 사용하여 pi를 3.141014로 나열한 다음, 3072면 다각형을 사용하여 pi를 3.14159로 계산했다. 이는 동양의 우 출신의 수학자 겸 천문학자인 류휘의 동시대의 왕팬이 ½을 사용하여 파이를 3.155로 렌더링하는 것보다 더 정확했다.₄₅^[31] 류희는 깊이, 높이, 폭, 표면적의 거리 측정값을 계산하기 위한 수학 측량에도 썼다. 단단한 기하학적으로 보면, 그는 직사각형의 밑부분과 양쪽이 경사진 쐐기가 피라미드와 사면 쐐기로 분해될 수 있다는 것을 알아냈다.^[32] 그는 또한 사다리꼴 베이스와 양쪽이 경사진 쐐기를 만들어 피라미드로 분리된 두 개의 사면 쐐기를 만들 수 있다는 것을 알아냈다.^[32] 게다가 류휘는 카발리에리의 원리를 부피에 기술한 것은 물론 가우스 소거까지 기술했다. 구한시대(기원전 202년–기원전 9년)까지 알려진 기하학적 공식은 9장에 수록되어 있다.

대상 영역^[33]

볼륨:^[32]

고대 중국의 기하학적 유산을 이어가면서 유명한 천문학자 겸 수학자 선궈(1031-1095CE), 파스칼의 삼각형을 발견한 양희(1238-1298)와 쉬광치(1562-1633) 등 후대의 인물들이 많이 나왔다.

이슬람 황금시대

9세기 초까지 '이슬람 황금시대'가 번성하면서 중세 이슬람 세계에서는 별도의 과학 전통을 표방하는 바그다드 지혜의 집이 세워지면서 헬레니즘뿐 아니라 인도의 원천도 건설했다.

이슬람 수학자들은 대수학, 숫자 이론, 숫자 시스템에 관한 연구로 가장 유명하지만, 그들은 기하학, 삼각법, 수학 천문학에도 상당한 기여를 했고, 대수 기하학의 발전을 책임졌다.

알마하니(820년생)는 큐브를 대수학상의 문제로 복제하는 것과 같은 기하학적 문제를 줄이는 생각을 했다. 알카라지(953년생)는 기하학적 연산에서 대수를 완전히 해방시켜 오늘날 대수학의 핵심인 산술적 연산으로 대체했다.

타빗 이븐 쿠라(Thabit ibn Qurra) (라틴어로 테빗으로 알려져 있음) (836년생) 수학에서 여러 분야에 공헌하였는데, 여기서 그는 (양수) 실수에 대한 개념의 확대, 적분, 구면 삼각법에서의 정리, 분석 기하학, 그리고 이와 같은 중요한 수학 발견을 위한 방법을 준비하는 데 중요한 역할을 하였다. 비유클리드 기하학 천문학에서 Thabit은 프톨레마이오스 제도의 최초의 개혁자 중 하나였으며, 역학에서 그는 정역학의 창시자였다. 타비트 작품의 중요한 기하학적 측면은 비율 구성에 관한 그의 책이었다. 이 책에서 타비트는 기하학적 수량의 비율에 적용되는 산술적 연산을 다룬다. 그리스인들은 기하학적 양을 다루었지만, 산술의 일반적인 규칙이 적용될 수 있는 숫자와 같은 방식으로 그것들을 생각하지 않았다. 이전에 기하학적으로 비수수로 간주되었던 수량에 대해 산술 연산을 도입함으로써, 타비트는 추세를 시작하였고, 결국 숫자 개념의 일반화로 이어졌다.

어떤 점에서는 타비트가 플라톤과 아리스토텔레스의 사상, 특히 운동에 대해 비판적이다. 여기서 그의 사상은 그의 기하학적 논쟁에서 운동에 관한 주장을 받아들이는 것에 기초하고 있는 것 같다. 타비트가 기하학에 기여한 또 다른 중요한 공헌은 피타고라스 정리의 일반화였는데, 그는 일반적인 증거와 함께 특수한 오른쪽 삼각형에서 일반적인 삼각형까지 확장했다.^[34]

아르키메데스보다 더 일반적인 통합 방법을 도입한 이브라힘 ibn 시난 이븐 타비트(908년생)와 알쿠히(알쿠히 940년생)는 이슬람 세계에서 그리스 상위 기하학의 부활과 지속에 앞장선 인물이었다. 이 수학자들, 특히 이븐 알-하이트햄은 광학을 연구했고 원뿔 단면으로 만들어진 거울의 광학적 특성을 연구했다.

천문학, 시간 기록, 지리학은 기하학적, 삼각학적 연구에 다른 동기를 제공했다. 예를 들어, 이브라힘 ibn Sinan과 그의 할아버지 Thabit ibn Qurra는 둘 다 해시계 건설에 필요한 곡선을 연구했다. 아부-와파와 아부 나스르 만수르는 모두 구형 기하를 천문학에 적용했다.

사이언스지 2007년 논문은 기리 타일이 펜로즈 틸링과 같은 자기 유사 프랙탈 퀘이크리스탈린 틸팅과 일치하는 특성을 가지고 있다고 제안했다.^[35][36]

르네상스

9~10세기의 아랍문학을 통해 중세 유럽에 그리스 고전들을 전승한 것은 10세기에 시작되어 12세기의 라틴어 번역으로 절정을 이루었다. 프톨레마이오스의 알마게스트 사본은 헨리 아리스티푸스(d. 1162년)가 황제가 윌리엄 1세(r. 1154–1166년)에게 준 선물로 시칠리아로 가지고 왔다. 살레르노의 익명의 학생이 시칠리아로 여행을 가서 알마게스트와 유클리드의 여러 작품을 그리스어에서 라틴어로 번역했다.^[37] 비록 시칠리아인들은 일반적으로 그리스어에서 직접 번역되었지만, 그리스어 원문을 구할 수 없을 때는 아랍어로 번역하곤 했다. 팔레르모의 유제니우스(d. 1202)는 프톨레마이오스 광학을 라틴어로 번역하여, 과제에서 세 가지 언어 모두에 대한 그의 지식을 끌어냈다.^[38] 유클리드 기하학적 원소들에서 발견된 엄격한 연역적 기하학적 방법들이 다시 학습되었고, 유클리드(유클리드 기하학)와 하이야암(알지브라질 기하학) 양식의 기하학적 발전이 계속되어, 그 중 다수는 매우 심오하고 우아한 새로운 이론과 개념을 풍부하게 만들어냈다.

원근법 치료의 진보는 14세기에서 15세기의 르네상스 예술에서 이루어졌는데, 이는 고대에 이루어졌던 것을 넘어선 것이었다. 콰트로센토의 르네상스 건축에서는 건축 질서의 개념을 탐구하고 규칙을 정립하였다. 대표적인 예가 필리포 브루넬레스치(1377–1446)의 플로렌스의 바실리카 디 산 로렌초다.^[39]

c. 1413에서 필리포 브루넬레스치는 오늘날 예술가들이 사용하는 기하학적 원근법을 다양한 플로렌스 건물의 윤곽을 거울에 그려 보여주었다. 곧이어 피렌체와 이탈리아의 거의 모든 예술가들이 그림에 기하학적 원근법을 사용했는데,^[40] 특히 마솔리노 다 파니칼레와 도나텔로 등이 눈에 띄었다. 멜로초 다 포를로는 처음에 상향축소(로마, 로레토, 포를레 등)의 기법을 사용하였고, 그 기법으로 기념되었다. 원근법은 깊이를 보여주는 방법일 뿐만 아니라, 그림을 그리는 새로운 방법이었다. 그림들은 여러 개의 조합이 아니라 하나의 통일된 장면을 보여주기 시작했다.

피렌체에서 정확한 원근법의 급속한 확산에서 보여지듯이 브루넬레스치는 (그의 친구 수학자 토스카넬리의 도움으로)^[41] 원근법에 얽힌 수학은 이해했을 가능성이 높지만, 원근법에 얽매인 수학은 발표하지 않았다. 수십 년 후, 그의 친구 레온 바티스타 알베르티는 유클리드 기하학을 바탕으로 그림에서 거리를 보여주는 적절한 방법에 대한 논문인 데 픽투라(1435/1436)를 썼다. 알베르티도 파두아 학파를 거쳐 알하센의 광학'을 연구한 비아지오 펠라카니 다 파르마의 영향을 받아 광학과학 교육을 받았다.

피에로 델라 프란체스카는 1470년대에 자신의 드 프로스펙티바 핑엔디에서 델라 피투라에 대해 상세히 설명했다. 알베르티는 지상 비행기의 수치로 한정했고 전체적인 원근법을 제시했었다. 델라 프란체스카는 그림 평면의 어느 부위에나 고형물을 명시적으로 덮으며 그것을 과시했다. 델라 프란체스카도 수학 개념을 설명하기 위해 삽화를 넣은 수치를 사용하는 현재 흔한 관행을 시작했는데, 그의 논문은 알베르티의 논문보다 이해하기 쉽게 만들었다. 델라 프란체스카는 또한 플라토닉 고형물을 원근법에 맞게 정확하게 그린 최초의 사람이었다.

관점은 한동안 피렌체의 영역으로 남아 있었다. 그 중에서도 얀 반 에이크는 바로 그때 이탈리아에서 일어난 이론적 돌파구를 모르고 있었기 때문에 런던의 <아르놀피니 초상화>에서처럼 회화 속에서 회선을 수렴하기 위한 일관된 구조를 만들 수 없었다. 그러나 그는 내면에서 스케일의 조작으로 매우 미묘한 효과를 얻었다. 점차, 그리고 부분적으로 예술 학원의 움직임을 통해, 이탈리아 기법은 유럽 전역과 후에 세계의 다른 지역 예술가들의 훈련의 일부가 되었다. 이러한 르네상스 전통의 절정은 원근법, 광학 및 투영 기하학에 대한 건축가, 지라드 데스파게스의 연구에서 그것의 궁극적인 합성을 발견한다.

레오나르도 다빈치의 비트루비아인(C. 1490)^[42]은 팔과 다리를 벌리고 원과 사각형으로 새겨진 두 겹의 자세로 한 남자를 그린다. 이 그림은 고대 로마 건축가 비트루비우스가 그의 논문인 데 아스트라투라의 제3권에서 설명한 기하학과 이상적인 인간 비율의 상관관계를 바탕으로 하고 있다.

현대 기하학

17세기

17세기 초, 기하학에는 두 가지 중요한 발전이 있었다. 첫 번째와 가장 중요한 것은 레네 데카르트(1596–1650)와 피에르 드 페르마(1601–1665)에 의해 분석 기하학, 즉 좌표와 방정식이 있는 기하학의 창조였다. 이것은 미적분학의 발달과 물리학의 정밀한 양적 과학의 필요 전조였다. 이 시기의 두 번째 기하학적 발전은 지라드 데사게스(1591–1661)에 의한 투영 기하학의 체계적 연구였다. 투영 기하학은 측정이 없는 기하학의 연구일 뿐, 단지 점들이 서로 정렬하는 방법에 대한 연구일 뿐이다. 이 지역에는 헬레니즘 기하학자들, 특히 파푸스 (c. 340)에 의한 초기 작업이 있었다. 장빅토르 폰셀레(1788–1867)와 함께 들판의 가장 큰 꽃이 피었다.

17세기 후반, 미적분은 아이작 뉴턴(1642–1727)과 고트프리드 빌헬름 라이프니즈(1646–1716)에 의해 독립적으로 그리고 거의 동시에 개발되었다. 이것이 지금 분석이라고 불리는 수학의 새로운 분야의 시작이었다. 비록 그 자체가 기하학의 한 갈래는 아니지만, 그것은 기하학에도 적용 가능하다. 그리고 그것은 오랫동안 거의 다루기 어려웠던 문제들, 즉 이상한 곡선으로 가는 접선선을 찾는 것과 그 곡선으로 둘러싸인 영역을 찾는 두 가지 문제를 해결했다. 미적분학의 방법은 이러한 문제들을 대부분 계산의 간단한 문제들로 줄였다.

18세기와 19세기

비유클리드 기하학

유클리드 제5의 자세인 "병행 자세"를 처음 네 명의 체신으로부터 증명하는 아주 오래된 문제는 결코 잊혀지지 않았다. 유클리드 이후 얼마 지나지 않아 시작된 많은 시위 시도들이 있었지만, 이후 처음 네 명의 시국으로부터 입증되지 않았던 어떤 원칙 그 자체를 추리해봄으로써 모든 것이 잘못된 것으로 판명되었다. 오마르 하이야움도 평행한 체형을 입증하는 데는 실패했지만, 유클리드 이론에 대한 그의 비판과 비유클리드 기하학에서의 인물들의 특성에 대한 그의 증명들은 결국 비유클리드 기하학의 발전에 기여했다. 1700년까지 처음 네 개에서 증명할 수 있는 것과 다섯 번째를 증명하려는 함정이 무엇인지에 대해 많은 것이 발견되었다. 사케리, 램버트, 레전드레는 각각 18세기에 이 문제에 대해 훌륭한 업적을 남겼지만 여전히 성공에는 미치지 못했다. 19세기 초에는 가우스, 요한 볼라이, 로바체프스키가 각각 독자적으로 접근하였다. Parallel Postulate를 증명하는 것이 불가능하다고 의심하기 시작한 그들은 Parallel Postulate가 거짓인 자기 일관적인 기하학을 개발하기 시작했다. 이것에서 그들은 성공했고, 따라서 최초의 비유클리드 기하학을 만들었다. 1854년까지 가우스의 제자였던 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 모든 매끄러운 표면의 내적(자체포함) 기하학에 대한 획기적인 연구에 미적분법을 적용하여 다른 비유클리드 기하학을 찾아냈다. 이 리만의 작품은 후에 아인슈타인의 상대성 이론의 기초가 되었다.

비유클리드 기하학이 유클리드 기하학과 마찬가지로 자기 일관성이 있다는 것이 수학적으로 증명되어야 했고, 이것은 1868년 벨트라미에 의해 처음 이루어졌다. 이것으로 비유클리드 기하학은 유클리드 기하학과 동등한 수학적 기초 위에 확립되었다.

이제 서로 다른 기하학적 이론이 수학적으로 가능하다는 것이 알려졌지만, "이 이론들 중 어느 것이 우리의 물리적 공간에 적합한가?"라는 질문은 남아 있었다. 수학적 연구는 이 문제는 수학적 추론이 아닌 물리적 실험으로 답해야 한다는 것을 밝혀냈고, 실험에 엄청난 (지구경계가 아닌 성간) 거리가 포함되어야 하는 이유를 밝혀냈다. 물리학의 상대성 이론이 발달하면서 이 문제는 훨씬 더 복잡해졌다.

수학적 엄격성 도입

Parallel Postulate와 관련된 모든 작업은 지오미터가 그의 논리적 추리를 물리적 공간에 대한 직관적인 이해와 분리하는 것이 상당히 어렵다는 것을 밝혀냈고, 더욱이 그렇게 하는 것의 결정적인 중요성을 밝혀냈다. 면밀한 조사를 통해 유클리드의 추리력에서 논리적으로 불충분한 점, 그리고 유클리드가 때때로 호소했던 일부 미분화된 기하학적 원리들을 밝혀냈다. 이 비평은 수렴과 연속성과 같은 무한 과정의 의미에 관한 분석과 미적분학에서 발생하는 위기를 병행했다. 기하학에서는 새로운 공리 집합이 분명히 필요했는데, 그것은 완전할 것이고, 우리가 그리는 그림이나 우주에 대한 직관에 의존하는 것은 결코 아니었다. 현재 힐베르트의 공리로 알려진 그러한 공리는 데이비드 힐베르트가 1894년 논문 그룬드라겐 데 지오메트리(기하학 창시)에서 내린 것이다. 다른 완전한 공리들은 몇 년 전에 주어졌지만, 경제, 우아함, 그리고 유클리드 공리와의^{[citation needed]} 유사성에서 힐버트의 공리와 일치하지 않았다.

분석 시투스 또는 위상

18세기 중엽, 비슷한 사상을 숫자선, 2차원, 3차원에서 연구할 때 수학 추론의 어떤 진보가 반복된다는 것이 명백해졌다. 따라서 미터법 공간의 일반적 개념을 만들어 추론이 좀 더 일반적으로 이루어질 수 있도록 한 후, 특수한 경우에 적용되었다. 미적분학 및 분석 관련 개념을 연구하는 이 방법은 분석 시투스로 알려지게 되었고, 나중에는 위상으로 알려지게 되었다. 이 분야의 중요한 주제는 직선과 같은 속성보다는 연결성과 경계와 같은 보다 일반적인 인물의 속성, 그리고 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 초점이 되어 왔던 길이와 각도 측정의 정확한 동일성 등이었다. 토폴로지는 곧 기하학이나 분석의 하위 영역이라기 보다는 중요한 개별 영역이 되었다.

20세기

대수 기하학의 발전은 안드레 웨일, 알렉산더 그로텐디크, 장 피에르 세레의 연구로 입증된 유한한 분야에 걸친 곡선과 표면의 연구뿐만 아니라 실제 또는 복잡한 숫자에 대한 연구를 포함했다. 점수가 미세하게 많은 공간의 연구인 유한 기하학 자체가 코딩 이론과 암호학에서 응용 분야를 찾아냈다. 컴퓨터의 출현과 함께, 컴퓨터 기하학이나 디지털 기하학과 같은 새로운 학문들은 기하학적 알고리즘, 기하학적 데이터의 이산 표현 등을 다룬다.

타임라인

참고 항목

• 플랫랜드, A의 책. 사각형" 약 2차원 및 3차원 공간, 4차원 개념 이해
• 수학의 역사
• 측정 이력
• 기하학의 중요한 간행물
• 인터랙티브 지오메트리 소프트웨어
• 지오메트리 항목 목록

메모들

참조

• Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 978-0-471-44459-6
• Dani, S. G. (July 25, 2003), "On the Pythagorean triples in the Śulvasūtras" (PDF), Current Science, 85 (2): 219–224
• Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, pp. 118–130, ISBN 978-0-8018-7396-6
• Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0
• Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 978-0-691-00659-8

• 니덤, 요셉 (1986), 중국의 과학과 문명: 제3권, 천지의 수학과 과학, 타이페이: 동굴 북스 주식회사
• Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127, doi:10.1023/A:1004364417713, S2CID 170894641
• Stillwell, John (2004), Berlin and New York: Mathematics and its History (2 ed.), Springer, 568 pages, ISBN 978-0-387-95336-6

외부 링크

• 이슬람 기하학
• 스탠포드 철학 백과사전의 19세기 기하학
• 아랍어 수학: 잊혀진 탁월함?