파라볼로이드

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기하학에서 파라볼로이드(paraboloid)는 대칭의 축이 정확히 한 축이고 대칭의 중심이 없는 4중 표면이다.파라볼로이드(paraboloid)라는 용어는 포물선(parabola)에서 유래한 것으로, 대칭성이 비슷한 원뿔 단면을 가리킨다.

대칭 축에 평행한 평면에 의한 파라볼로이드의 모든 평면 부분은 파라볼라다.파라볼로이드는 다른 모든 평면 섹션이 하이퍼볼라 또는 두 개의 교차선(접선 면에 의한 섹션의 경우)인 경우 쌍곡선이다.포물선형(Paraboloid)은 타원형 또는 단일점(접선 평면에 의한 섹션의 경우)인 경우 타원형이다.파라볼로이드는 타원형 또는 쌍곡성이다.

동등하게, 파라볼로이드는 실린더가 아닌 4중 표면으로 정의될 수 있으며, 2도 부분이 복잡한 숫자에 대해 두 개의 다른 선형 인자로 인수될 수 있는 암묵적 방정식을 가지고 있다.파라볼로이드는 인자가 실제일 경우 쌍곡선이고, 인자가 복합 결합일 경우 타원형이다.

타원형 파라볼로이드는 타원형 컵 모양이며 축이 수직일 때 최대 또는 최소점을 가진다.세 개의 축 x, y, z를 가진 적절한 좌표계에서는 방정식으로^[1] 나타낼 수 있다.

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}:{a^{2}}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}}.}$

여기서 a와 b는 각각 xz 평면과 yz 평면의 곡률 수준을 지시하는 상수다.이 위치에서 타원형 파라볼로이드는 위쪽으로 열린다.

쌍곡선 포물선(과다볼로이드와 혼동하지 않음)은 안장 모양의 이중으로 된 표면이다.적절한 좌표계에서 쌍곡선 포물선체는 방정식으로^[2][3] 표현될 수 있다.

${\displaystyle z={\frac {y^{2}}-{\frac{x^{2}}:{a^{2}}:}}.}$

이 위치에서 쌍곡선 포물선형 포물선은 x축을 따라 아래쪽으로, y축을 따라 위쪽으로 열린다(즉, 평면 x = 0의 포물선은 위쪽으로, 평면 y = 0의 포물선은 아래쪽으로 열린다).

모든 파라볼로이드(elliptic 또는 쌍곡선)는 제2 파라볼라에 의해 지시된 움직이는 파라볼라에 의해 생성될 수 있기 때문에 번역면이다.

속성 및 응용 프로그램

타원 포물선체

적절한 데카르트 좌표계에서는 타원형 파라볼로이드에 방정식이 있다.

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}:{a^{2}}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}}.}$

a = b인 경우 타원형 파라볼로이드는 혁명의 원형 파라볼로이드 또는 파라볼로이드다.포물선을 축을 중심으로 회전시켜 얻은 혁명의 표면이다.

분명히, 원형 파라볼로이드는 원을 포함하고 있다.이는 일반적인 경우에도 해당된다(Circular 섹션 참조).

투영 기하학의 관점에서 타원형 파라볼로이드는 무한대의 평면에 접하는 타원형이다.

평면 단면

타원형 파라볼로이드의 평면 단면은 다음과 같을 수 있다.

• 포물선, 평면이 축에 평행하면
• 점(평면이 접선 평면인 경우)
• 타원형 또는 빈형.

포물선 반사체

원형 파라볼로이드의 축에는 포커스(또는 초점)라고 하는 지점이 있는데 포커스(또는 초점)가 거울인 경우 포커스(또는 기타 파동)의 축에 평행한 점원으로부터의 빛(또는 다른 파동)이 평행 빔으로 반사된다.이것은 또 반대로 작용한다: 파라볼로이드의 축에 평행한 평행한 빛의 광선이 초점에 집중된다.증거는 파라볼라 § 반사 속성의 프루프를 참조하십시오.

따라서 포물선 반사체와 포물선 안테나의 천문학에서는 원형 포물선 모양의 포물선 모양이 널리 쓰인다.

회전하는 액체의 표면도 원형 포물선이다.이는 액상 미러 망원경과 고체 망원경 거울 제작에 사용된다(회전식 용해로 참조).

• 

  원형 파라볼로이드 거울에 들어오는 평행선은 초점인 F 또는 그 반대로 반사된다.

• 

  포물선 반사체

• 

  유리잔의 회전수

쌍곡선 포물선체

쌍곡선 포물선 모양은 이중으로 지배되는 표면으로, 상호 꼬불꼬불한 두 계열의 선을 포함하고 있다.각 가족의 선은 공통면과 평행하지만 서로 평행하지 않다.따라서 쌍곡선 포물선체는 코노이드다.

이러한 특성들은 쌍곡선 포물선들의 특성을 나타내며 쌍곡선 포물선들의 가장 오래된 정의들 중 하나에 사용된다: 쌍곡선 포물선 포물선은 고정면과 평행하고 두 개의 고정된 꼬치선을 교차하는 이동선에 의해 생성될 수 있는 표면이다.

이 특성은 다양한 재료와 콘크리트 지붕에서부터 스낵 식품에 이르기까지 다양한 용도로 쌍곡선 포물선을 간단하게 제조할 수 있게 한다.특히 프링글스 튀김 과자는 잘린 쌍곡선 포물선을 닮았다.^[4]

쌍곡선 포물선(oid物線)은 안장면인데, 가우스 곡률의 모든 점이 음성이기 때문이다.따라서, 지배된 표면이지만, 개발될 수 없다.

투영 기하학의 관점에서 볼 때, 쌍곡선 포물선 포물선은 무한대로 평면에 접하는 원시트 하이퍼볼로이드다.

방정식 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=axy}$ 또는$$ $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{}{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ z$={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}($이것은 축의 회전까지 동일함)$$의 쌍곡선 포물선(foloid)을 직사각형 하이퍼볼라와 유사하게 할 수 있다.

평면 단면

방정식이 있는 쌍곡선 포물선의 평면 단면

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}-{\frac{y^{2}}:}{b^{2}}:}}}$

수 있습니다.

• 평면이 z축에 평행하고 b ${\displaystyle x}$± ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$ 형식의 방정식을 갖는 경우 선$,$
• 포물선(farabola, 평면이 z축에 평행하고 단면이 선이 아닌 경우)
• 교차선의 한 쌍, 평면이 접선면일 경우,
• 그렇지 않으면 하이퍼볼라.

건축의 예

안장 지붕은 종종 쌍곡선 포물선이다. 왜냐하면 그것들은 재료의 직선부분에서 쉽게 만들어지기 때문이다.몇 가지 예:

• 일본 도쿄 성모 대성당(1964)
• 미국 캘리포니아 주 샌프란시스코의 가정 성모 마리아 대성당 (1971)
• 캐나다 앨버타 주 캘거리의 새든돔(1983)
• 스페인 발렌시아의 로체노그라픽(2003)
• 영국 런던 토벨파크(2011년)

• 

  와르자와 오초타 역, 쌍곡 포물선 구조의 예

• 

  쌍곡선 포물선 모양의 표면

• 

  멕시코 소치밀코에 있는 레스토랑 로스 메니알레스

• 

  스페인 발렌시아 로체아노그라픽의 쌍곡선 포물선형 얇은 껍질 지붕 (테이큰 2019년)

타원형 및 쌍곡선 포물선 연필 사이 실린더

타원형 파라볼로이드의 연필

${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}},\b>0,}$

그리고 쌍곡선 포물선 모양의 연필

${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}:{b^{2}},\b>0,}$

같은 표면에 접근하다

${\displaystyle z=x^{2}}$

포물선 실린더($이미지{\displaystyle }$ 참조)인 b${\displaystyle }$→$∞$ {\$displaystyle$b\rightarrow $\backslash$$infit$}의 경우.

곡률

타원형 파라볼로이드, 파라메트릭 파라메트리화

${\displaystyle {\vec{\b^{{b^{2}}+{\frac{v^{2}}:{b^{2}}:{b^{2}}:}\오른쪽)}}$

가우스 곡면성을 가지고 있다.

${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\왼쪽(1+{\frac {4u^{2}}:{a^{4}}}+{4v^{2}}:{b^{4}}}}\frac{b^}}}}}}{2}}:2}}:}$

평균 곡률 및 평균 곡률

${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$

둘 다 항상 양성이며, 원점에서 최대치를 가지며, 표면의 점이 원점에서 멀리 이동함에 따라 작아지고, 해당 점이 원점에서 무한히 멀리 이동함에 따라 점증상 0으로 증가하는 경향이 있다.

파라메트릭을 다음과 같이 했을 때 ^[2]쌍곡선 포물선형

${\displaystyle {\vec(u,v)}}}=\왼쪽(u,v,{\frac {u^{2}}-{a^{2}}-{b^{2}}:{b^{2}}}}\오른쪽)}}$

가우스 곡면성을 가지고 있다.

${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\좌측(1+{\frac {4u^{2}}:{a^{4}}}+{4v^{2}}:{b^{4}}}}}}{2}}:2}}:00}}}}}}}}}}}{{{{2}}:00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

평균 곡률 및 평균 곡률

${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$

곱셈표의 기하학적 표현

쌍곡선 포물선형인 경우

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}-{\frac{y^{2}}:}{b^{2}}:}}}$

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{의 각도가 회전합니다.Border-top:+z 방향(오른손 법칙에 따라)에 1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/4, 결과는 표면.

${\displaystyle z=\왼쪽 사진\frac {x^{2}+y^{2}2}}:{2}}:\오른쪽)\왼쪽 \frac {1}{a^{1}-{1}{b^{2}}}\오른쪽)+xy\{b^{2}}:}+{a^{1}{b^{2}}}}\오른쪽)$

그리고 만약 a = b가 된다면, 이것은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$

마지막으로, a = 22를 허용하면 우리는 쌍곡선 포물선체(forbolic paraboloid)

${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}.}$

표면과 일치한다.

${\displaystyle z=xy}$

이것은 곱셈표의 기하학적 표현이라고 생각할 수 있다.

파라볼로이드 ℝ² → ℝ 함수

${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}:}$

, 그리고

${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$

조화 결합체이며, 함께 분석 함수를 형성한다.

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}:{2}}=f(x+i)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}}$

즉, → → par 포물선 함수 f(x²) = x/2의 분석적 연속이다.

파라볼로이드 접시의 치수

대칭 파라볼로이드 접시의 치수는 방정식에 의해 관련된다.

${\displaystyle 4FD=R^{2},}$

여기서 F는 초점 길이, D는 접시의 깊이(정점에서 림의 평면까지의 대칭 축을 따라 측정)이며, R은 림의 반지름이다.그들은 모두 같은 길이의 단위에 있어야 한다.이 세 가지 길이 중 두 가지를 알면 이 방정식을 사용하여 세 번째 길이를 계산할 수 있다.

표면을 따라 측정된 접시의 지름을 찾기 위해서는 좀 더 복잡한 계산이 필요하다.이것은 때로는 "선형 지름"이라고 불리며, 평평하고 원형인 재료의 직경, 보통 금속의 직경과 같으며, 이것은 접시를 만들기 위해 자르고 구부릴 수 있는 적당한 크기이다.계산에 유용한 중간 결과는 P = 2F(또는 등가: P² = R/2D)와 Q = √P² + R이며², 여기서 F, D, R은 위와 같이 정의된다.표면을 따라 측정된 접시의 지름은 다음에 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}{P}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}\오른쪽),}$

여기서 ln x는 x의 자연 로그(즉, base e에 대한 로그)를 의미한다.

접시의 부피, 테두리가 수평이고 바닥의 꼭지점(예: 파라볼로이드 웍의 용량)이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$

여기서 기호는 위와 같이 정의된다.이는 실린더(πRD²), 반구(2π/3RD², 여기서 D = R), 원뿔(//3RD²)의 부피에 대한 공식과 비교할 수 있다. πR은² 접시의 개구부 영역으로, 림에 둘러싸인 영역으로 반사경이 가로지를 수 있는 햇빛의 양에 비례한다.포물선 접시의 표면적은 혁명 표면의 면적 공식을 사용하여 찾을 수 있다.

${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}-R^{3}\right)}{6}D^{2}}.}$

참고 항목

• 타원체 – 변형된 구체처럼 보이는 4중 표면
• 하이퍼볼로이드 – 무한 사분면
• 포물선 확성기 – 포물선 모양의 스피커로 일관성 있는 평면 파동을 생성
• 포물선 반사기 – 포물선 모양의 반사기

참조

외부 링크

• 위키미디어 커먼스의 파라볼로이드 관련 매체