타원 기하학

타원형 기하학은 유클리드 평행 가설은 지탱하지 못하는 기하학의 한 예다. 대신 구면 기하학에서와 마찬가지로 어떤 두 선도 교차해야 하기 때문에 평행선이 없다. 그러나 구면 기하학에서와 달리 보통 두 선은 (두 선보다는) 한 지점에서 교차하는 것으로 가정한다. 이 때문에 이 글에서 설명한 타원형 기하학을 단일 타원형 기하학이라고 부르기도 하고, 구형 기하학을 이중 타원 기하학이라고 부르기도 한다.

19세기에 이 기하학의 모습은 쌍곡 기하학을 포함하여 일반적으로 비유클리드 기하학의 발전을 자극했다.

타원형 기하학에는 고전적인 유클리드 평면 기하학과는 다른 다양한 특성이 있다. 예를 들어, 어떤 삼각형의 내부 각도의 합은 항상 180°보다 크다.

정의들

타원형 기하학에서는 주어진 선에 수직인 두 선이 교차해야 한다. 사실, 한 쪽의 수직은 모두 그 선의 절대극이라고 불리는 단일 지점에서 교차한다. 반대편의 수직도 한 지점에서 교차한다. 그러나 구면 기하학에서와 달리 양쪽의 극은 같다. 타원형 기하학에는 대척점이 없기 때문이다. 예를 들어, 이것은 우리 기하학의 "점"을 실제로 구의 반대점 쌍으로 만들어 초심 모델(아래 설명)에서 달성된다. 이렇게 하는 이유는 타원형 기하학이 어떤 두 지점을 통과하는 독특한 선이 있다는 공리를 만족시킬 수 있도록 하기 때문이다.

모든 점은 그것이 절대극인 절대 극선에 해당한다. 이 극선의 어떤 점이라도 극과 절대적 결합 쌍을 이룬다. 그러한 점의 쌍은 직교하며, 그 사이의 거리는 사분원이다.^[1]^{: 89}

한 쌍의 점 사이의 거리는 절대 폴라 사이의 각도에 비례한다.^[1]^{: 101}

H. S. M. Coxeter에서 설명한 대로:

"엘립틱"이라는 이름은 오해의 소지가 있다. 타원이라 불리는 곡선과 직접적인 연관성을 의미하는 것이 아니라 다소 억지스러운 비유일 뿐이다. 중심 원뿔은 점증상이나 점증상 두 개가 없기 때문에 타원체 또는 하이퍼볼라라고 불린다. 유사하게 비유클리드 이외의 평면은 그 각 선에 무한의 점이나 무한의 점 2개가 들어 있지 않기 때문에 타원형 또는 쌍곡선이라고 한다.^[2]

2차원

타원면

타원평면은 미터법과 함께 제공되는 실제 투영면이다: 케플러와 데스아게스는 σ 평면을 그것에 접하는 반구의 점들과 연관시키기 위해 gnomonic 투영을 사용했다. O를 중심으로 with의 점 P는 반구를 교차하는 선 OP를 결정하며, L ⊂ σ 어떤 선은 큰 원의 절반으로 반구를 교차하는 평면 OL을 결정한다. 반구는 O를 통과하는 평면에 의해 경계되고 σ에 평행한다. 이 평면에 해당하는 일반적인 σ의 선은 없다. 대신 무한의 선은 to에 추가된다. 이 σ의 연장선에 있는 어떤 선은 O를 통과하는 평면에 해당하고, 그러한 평면의 어떤 쌍이 O를 통과하는 선에 교차하기 때문에, 확장자의 어떤 선 쌍이 교차한다고 결론을 내릴 수 있다: 교차점은 평면 교차점이 σ 또는 무한대의 선과 만나는 곳에 놓여 있다. 따라서 평면 내 모든 선 쌍이 교차해야 하는 투영 기하학의 공리가 확인된다.^[3]

σ에서 P와 Q를 주어진 경우, 이들 사이의 타원 거리는 각 POQ의 측정값이며, 일반적으로 라디안 단위로 측정한다. 아서 케일리는 "거리의 정의에 대하여"를 쓰면서 타원형 기하학의 연구를 시작했다.^[4]^{: 82} 이 기하학의 추상화에 대한 모험은 펠릭스 클라인과 베른하르트 리만이 비유클리드 기하학과 리만 기하학으로 이어졌다.

유클리드 기하학과 비교

타원형, 유클리드형 및 쌍곡 기하학적 2차원 비교

유클리드 기하학에서는 형상을 무한정 확대하거나 축소할 수 있으며, 그 결과 형상은 유사하다. 즉, 각도와 내부 비율이 같다. 타원형 기하학에서는 그렇지 않다. 예를 들어, 구면 모델에서 우리는 두 점 사이의 거리가 구 둘레의 절반 미만이어야 한다는 것을 알 수 있다(대항점들이 식별되기 때문이다). 따라서 라인 세그먼트는 무한정 확장할 수 없다. 자신이 거주하는 공간의 기하학적 특성을 측정하는 지오미터는 측정을 통해 공간의 특성인 특정 거리 척도가 있음을 감지할 수 있다. 이것보다 훨씬 작은 척도에서 공간은 대략 평평하고 기하학은 대략 유클리드이며, 수치는 거의 비슷하게 유지하면서 위아래로 스케일업할 수 있다.

많은 유클리드 기하학은 타원형 기하학으로 직접 전달된다. 예를 들어, 유클리드 목사의 첫 번째와 네 번째, 어떤 두 점 사이에 고유한 선이 있고 모든 직각이 동일하다는 것은 타원형 기하학으로 유지된다. 주어진 중심과 반경으로 원을 구성할 수 있는 가정 3은 "반경"이 "모든 실수"를 의미하는 것으로 간주되는 경우 실패하지만 "주어진 선 세그먼트의 길이"를 의미하는 것으로 간주되는 경우 유지된다. 따라서 이 세 가지 체조에서 이어지는 유클리드 기하학의 결과는 어떤 선분할을 기준으로 하여도 정삼각형을 구성할 수 있다고 기술한 원소 I권의 제안 1과 같은 타원형 기하학으로 유지될 것이다.

타원형 기하학 또한 유클리드 기하학처럼 공간은 연속적이고 균질하며 동위원소성이며 경계가 없다는 점에서 유클리드 기하학과도 같다. 동위원소는 네 번째 추정치에 의해 보장되며, 모든 직각이 동일하다. 동질성의 예를 들어, 유클리드 제안 I.1은 동일한 등변 삼각형이 어떤 식으로든 특별한 위치에만 구성될 수 있다는 것을 암시한다는 점에 주목한다. 경계 부족은 선 세그먼트의 두 번째 추정, 확장성에서 나타난다.

타원형 기하학이 유클리드 기하학과 다른 한 가지 방법은 삼각형의 내부 각도의 합이 180도 이상이라는 것이다. 예를 들어 구면 모델에서는 3개의 포지티브 데카르트 좌표 축이 구와 교차하는 위치에 정점을 가지고 삼각형을 구성할 수 있으며, 그 내부 각도의 3개 모두 90도로 합하여 270도에 이른다. 충분히 작은 삼각형의 경우, 180도 이상의 초과분은 임의로 작게 만들 수 있다.

피타고라스 정리는 타원형 기하학에서 실패한다. 위에서 설명한 90°–90°–90° 삼각형에서, 세 변의 길이는 모두 같으며, 결과적으로 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ + b $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ = $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\$ }를 만족하지 못한다. $}}=c^{2$ 피타고라스 결과는 작은 삼각형 한계에서 회복된다.

원의 면적 대비 원주 둘레의 비율은 유클리드 기하학에서보다 작다. 일반적으로 면적과 부피는 선형 치수의 제2, 제3의 힘으로 확장되지 않는다.

타원 공간(3D 케이스)

참고: 이 절에서는 특히 3차원 타원형 기하학을 언급하기 위해 "엘립틱 공간"이라는 용어를 사용한다. 이는 2차원 타원형 기하학이었던 이전 섹션과 대조적이다. 쿼터니온은 이 공간을 설명하는데 사용된다.

타원형 공간은 3차원 벡터 공간 구성과 유사한 방식으로 구성될 수 있다: 등가 등급이 있다. 사람들은 구의 큰 원들에 지시된 호를 사용한다. 지시선 세그먼트는 평행할 때, 길이가 같을 때, 그리고 이와 유사하게 방향이 같을 때 등전되기 때문에, 큰 원 위에서 발견되는 방향 호는 같은 길이, 방향, 원일 때 등전된다. 이러한 등전성의 관계는 각각 3D 벡터 공간과 타원 공간을 생성한다.

타원형 공간 구조에 대한 접근은 윌리엄 로완 해밀턴의 벡터 대수학을 통해 제공된다: 그는 구를 마이너스 1의 제곱근의 영역으로 상상했다. 그러면 오일러의 공식 $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ ( $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ ) $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ = $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ + r $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ ${\displaystyle \exp(\theta$ r $)=\cos \theta +r\sin \}($ r이 구에 있는 곳)은 1과 r을 포함하는 평면의 큰 원을 나타낸다. 반대점 r과 –r은 반대로 지시된 원에 해당한다. θ과 φ 사이의 호는 0과 φ – θ 사이의 호로 등용된다. 타원형 공간에서 호 길이는 π보다 작으므로, [0, π) 또는 (––/2, π/2)의 θ으로 호를 파라메트리할 수 있다.^[5]

For $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ It is said that the modulus or norm of z is one (Hamilton called it the tensor of z). 그러나 r이 3-공간의 구체 위에 걸쳐 있기 때문에 exp(rexp r)는 표면이 3차원을 가지기 때문에 현재 3-sphere라고 불리는 4-공간의 구체 위에 걸쳐 있다. 해밀턴은 그의 대수학을 쿼터니온이라고 불렀고 그것은 곧 유용하고 유명한 수학 도구가 되었다. 그것의 4차원의 공간은 $t\exp(\theta r),$ exp $t\exp(\theta r),$ ( $t\exp(\theta r),$ r $t\exp(\theta r),$ ) $t\exp(\theta r),$ , $t\exp (\theta r)$ 의 양극 좌표에서 진화하고 t는 $t\exp(\theta r),$ 양의 실수에 있다.

지구나 천체에서 삼각법을 할 때 삼각형의 옆면은 원호(原號)가 좋다. 쿼터니온의 첫 번째 성공은 구면 삼각법을 대수학으로 렌더링한 것이다.^[6] 해밀턴은 규범 1의 쿼터니온을 버시버라고 불렀고, 이것들은 타원공간의 점들이다.

$r$ 이 고정된 상태에서 버시버스는

e^{ar}\req a<\pi

타원을 이루다 $e^{ar}$ $e^{ar}$ r ${\$ e $^{ar}$ 까지의 $e^{ar}$ 거리는 $a$ 이다. 임의의 versor $u$ 의 경우, 거리는 $cos θ =$ ( $u$ + $u *)/2가$ 쿼터니온의 스칼라 부분에 대한 공식이기 때문에 θ이 될 것이다.

타원 운동은 쿼터니온 매핑으로 설명된다.

q\mapsto uqv,

q\mapsto uqv,

q\mapsto uqv,

,

q\mapsto uqv,

여기서

q\mapsto uqv,

u

와

v

는 고정 버시버다.

점 사이의 거리는 타원운동의 영상점 사이의 거리와 동일하다. $u$ 와 $v$ 가 서로 quaternion 결합체일 경우, 동작은 공간 회전이고, 벡터 부분은 회전축이다. $u$ = $1$ 인 경우 타원 운동을 오른쪽 클리포드 번역, 또는 파라택시라고 한다. $사례$ v = $1$ 은 왼쪽 Clifford 번역에 해당한다.

versor $u$ 를 통과하는 타원선은 형태일 수 있다.

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

u

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

:

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

\ \

} {\displaystyle

\

lbrace ue

^{

ar}}

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

{ e

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

:

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

<

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

pi

\

rbrace

\}{

lbrace }u

그것들은 타원선을 따라 1까지 이어지는 $u$ 의 오른쪽과 왼쪽의 클리포드 번역이다. 타원형 공간은 $S$ 로부터³ 항정신병 지점을 식별하여 형성된다.^[7]

타원 공간은 클리포드 평행선과 클리포드 표면이라고 불리는 특별한 구조를 가지고 있다.

타원형 공간의 버시 포인트는 공간의 대체 표현을 위해 Cayley 변환에 의해 ℝ로³ 매핑된다.

고차원 공간

초심모델

초심모델은 구면모델을 더 높은 차원으로 일반화한 것이다. n차원 타원 공간의 점은 R의ⁿ⁺¹ 단위 벡터 $(x, -x)$ 쌍, 즉 (n + 1)차원 공간의 단위 공 표면에 있는 반대점 쌍(n-dension hyperphere)이다. 이 모델의 선은 원점을 통과하는 차원 n의 평평한 하이퍼스페이스를 가진 하이퍼스페어의 교차점이다.

투영 타원형 기하학

타원형 기하학의 투영 모델에서, n차원 실제 투영 공간의 점들은 모델의 점으로 사용된다. 이것은 투영 기하학이라고도 알려진 추상 타원형 기하학을 모델링한다.

n차원 투사 공간의 점은 (n + 1)차원 공간의 원점을 통한 선으로 식별할 수 있으며, 0이 아닌 스칼라 $λ$ 에 대해 $u$ 와 $λu$ 가 동일한 점을 나타낸다는 이해와 함께 R에서ⁿ⁺¹ 비제로 벡터로 고유하게 표현할 수 있다. 거리는 메트릭을 사용하여 정의됨

d(u,v)=\arccos \left({\frac {u\cdot v}{\ \ \ \v\}\오른쪽);

즉, 두 점 사이의 거리는 R에서ⁿ⁺¹ 해당 선 사이의 각도다. 거리 공식은 각 변수에서 동질적이며, $μ$ 와 $μ$ 가 0이 아닌 스칼라일 경우 $d (λu, μv)$ = $d (u,$ $v)$ 이므로 투사 공간의 점에 거리를 정의한다.

투영 타원 형상의 주목할 만한 특성은 평면과 같은 짝수 치수의 경우 형상이 방향성이 없다는 것이다. 그것은 시계 방향과 시계 반대 방향의 회전을 식별함으로써 구별을 지운다.

입체 모형

초심 모델과 동일한 공간을 나타내는 모델은 입체 투영을 통해 얻을 수 있다. Letⁿ E는 Rⁿ ∪ {∞}, 즉 무한대의 한 점으로 확장된 n차원 실공간을 나타낸다. 우리는 다음에 의해 E에ⁿ 대한 계량계, 즉 현 계량계를 정의할 수 있다.

\cHB(u,v)={\frac {2\ u-v\ }{\sqrt {(1+\ u\ ^{2})(1+\ v\{2})}}}}}}}}}}}}

여기서 $u$ 와 $v$ 는 R에서ⁿ 두 벡터(bector)이고 $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ $\$ {\ $displaystyle$ \cdot \ \ $cdot$ \ $\|\cdot \|$ }은 $\|\cdot \|$ 일반적인 유클리드 표준이다. 우리는 또한 정의한다.

\property )=\propert (\inflit ,u)={\frac {2}{\sqrt{1+\ u\{2}}}}.

결과는 E의ⁿ 미터법 공간이며, 이는 초심파 모델에서 해당 점의 화음을 따라 거리를 나타내며, 입체 투영에 의해 간접적으로 매핑된다. 미터법을 사용하면 구면 기하학의 모델을 얻을 수 있다.

d(u,v)=2\arcsin \lefts\frac {\precent(u,v)}{2}}\오른쪽).

여기서 u와 $-u$ $지점$ 을 식별하여 타원형 기하학을 얻으며, $v$ 에서 이 쌍까지의 거리를 $v$ 에서 이 두 지점 각각까지의 거리의 최소값으로 한다.

자기 일관성

구형 타원형 기하학은 예를 들어 유클리드 공간의 구형 하위공간으로 모델링될 수 있기 때문에 유클리드 기하학이 자체 일관성이 있다면 구형 타원형 기하학도 마찬가지라는 것을 따른다. 따라서 유클리드 기하학의 다른 네 가지 체형에 기초하여 평행 체형을 증명하는 것은 불가능하다.

타르스키는 기본적인 유클리드 기하학이 완성되었다는 것을 증명했다: 모든 명제에 대해, 그것이 진실인지 거짓인지를 보여줄 수 있는 알고리즘이 있다.^[8] (유클리드 기하학은 정리가 적용되기에 충분한 양의 산수를 기술할 수 없기 때문에 이는 괴델의 정리를 위반하지 않는다.)^[9] 따라서 기초 타원형 기하학도 자기 일관성이 있고 완전하다는 것을 따른다.

참고 항목

메모들

^ Jump up to: ^a ^b 던컨 소머빌(1914년) 비유클리드 기하학의 요소들, 제3장 타원 기하학, 페이지 88~122, 조지 벨 & 선스
^ 콕시터 1969 94
^ H. S. M. Coxeter(1965) 지오메트리 소개, 92페이지
^ Cayley, Arthur (1859), "A sixth memoir upon quantics" (PDF), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 149: 61–90, doi:10.1098/rstl.1859.0004, ISSN 0080-4614, JSTOR 108690
^ Rafael Artzy (1965) 선형 기하학, 3-8 콰터니온과 타원 3공간, 페이지 186–94, 애디슨 웨슬리
^ W.R. 해밀턴 (1844년 ~ 1850년) 대수학에서의 쿼터니온이나 새로운 상상의 체계인 철학적 잡지는 데이비드 R과 연결된다. 더블린 트리니티 칼리지의 윌킨스 컬렉션
^ Lemaître, Georges, "Quaternions et espace elliptique", Pontificia Academia Scientiarum, Acta, 12: 57–78, ISSN 0370-2138
^ 타르스키 (1951년)
^ 프란젠 2005 페이지 25-26.

참조

앨런 비든, 스프링거-베를라그 이산 그룹의 기하학, 1983
H. S. M. Coxeter(1942) 비유클리드 기하학 5, 6, 7장 1, 2, 3차원의 타원 기하학, 1998년 미국 수학 협회 재발행, ISBN 0-88385-522-4.
H.S.M. Coxeter(1969) 기하학 소개, §6.9 타원 평면, 페이지 92~95. 존 와일리 & 선즈.
"Elliptic geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
펠릭스 클라인 (1871) "비핵종 기하학" Matheatische Annalen 4:573–625, John Stillwell (1996) Source of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society 0-8218-0529-0에서 번역 및 소개.
보리스 오데날 "타원형 3-공간에서 선의 등방성 결합에 대하여"
Eduard Study (1913) D.H. Delphenich 번역기, "분석적 운동학의 발견과 목표" 20페이지.
알프레드 타르스키(1951) 초등 대수학과 기하학의 결정법. 캘리포니아 출판부의 유니브.
Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8.
알프레드 노스 화이트헤드(1898) 유니버설 대수학, 6장 2장: 타원형 기하학, 페이지 371–98.

외부 링크

위키미디어 공용의 타원형 기하학 관련 매체

[DS-1] Jump up to: ^a ^b 던컨 소머빌(1914년) 비유클리드 기하학의 요소들, 제3장 타원 기하학, 페이지 88~122, 조지 벨 & 선스

[2] 콕시터 1969 94

[3] H. S. M. Coxeter(1965) 지오메트리 소개, 92페이지

[4] Cayley, Arthur (1859), "A sixth memoir upon quantics" (PDF), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 149: 61–90, doi:10.1098/rstl.1859.0004, ISSN 0080-4614, JSTOR 108690

[5] Rafael Artzy (1965) 선형 기하학, 3-8 콰터니온과 타원 3공간, 페이지 186–94, 애디슨 웨슬리

[6] W.R. 해밀턴 (1844년 ~ 1850년) 대수학에서의 쿼터니온이나 새로운 상상의 체계인 철학적 잡지는 데이비드 R과 연결된다. 더블린 트리니티 칼리지의 윌킨스 컬렉션

[7] Lemaître, Georges, "Quaternions et espace elliptique", Pontificia Academia Scientiarum, Acta, 12: 57–78, ISSN 0370-2138

[8] 타르스키 (1951년)

[9] 프란젠 2005 페이지 25-26.

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