브라만굽타의 정체성

대수학에서 브라마굽타의 정체성은, 주어진 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해$,$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ n ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ a$^{2}+nb^{2$}}$$형식의 두 숫자의 산물 자체가 그러한$$ 형태의 숫자라고 말한다. 즉, 그러한 숫자의 집합은 곱셈으로 닫힌다. 구체적으로:

${\displaystyle {\displaystyle}\왼쪽(a^{2}+nb^{2}\오른쪽)\왼쪽(c^{2}+nd^{2}\오른쪽)&{}=\좌측(ac-nbd\우측)^{2}+n\좌측(ad+bc\우측)^{2}&#(1)\&####{2}+n&#(ac+nbd\우측)^{2}+n\좌측(ad-bc\우측)^{2},&&&(2)\ined{}}}}}$

(1)과 (2) 모두 방정식의 각 면을 확장하여 확인할 수 있다. 또한 (2)는 (1)에서, 또는 (2)에서 (1)을 b를 -b로 변경하여 얻을 수 있다.

이 정체성은 정수의 링과 합리적인 숫자의 링 둘 다에 있고, 더 일반적으로는 어떤 교환적인 링에도 들어 있다.

역사

그 정체성은 디오판투스의 산술(III, 19)에서 실제로 발견되는 이른바 피보나치 정체성(여기서 n=1)의 일반화다. 그 정체성은 인도의 수학자 겸 천문학자 브라마굽타(598–668)에 의해 재발견되었다. 브라마굽타는 그것을 일반화하여 현재 펠의 방정식이라고 불리는 것을 연구하는데 사용했다. 그의 브라흐마스푸타시드한타는 모하마드 알 파자리에 의해 산스크리트어에서 아랍어로 번역되었고, 이후 1126년에 라틴어로 번역되었다.^[1] 그 정체는 후에 1225년 피보나찌의 광장에 나타났다.

Pell의 방정식에 대한 적용

브라마굽타는 원래의 맥락에서 나중에 펠의 방정식이라고 불리던 것의 해법, 즉² x - Ny² = 1. 형태의 정체성을 이용한 것에 그의 발견을 적용했다.

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

그는² x - Ny² = k의 해결책인 삼배(x₁, y₁, k₁)와 (x₂, y₂, k₂)를 "compose"하여 새로운 삼배를 생성할 수 있었다.

${\displaystyle (x_{1}x_{2}x_{2}y_{1}y_{2}\\,x_{1}y_{1}y_{2}+x_{2}+x_{1}y_{1}\}\,k_{1}k_{1}k_}k_{2}).}$

이는 하나의² 솔루션으로 시작하는 x - Ny² = 1에 무한히 많은 솔루션을 생성하는 방법을 제공했을 뿐만 아니라, 그러한 구성을 kk로₁₂ 나누면 종종 정수나 "거의 정수" 솔루션을 얻을 수 있었다. 1150년 바스카라 2세가 준 펠 방정식, 즉 차크라발라(순환) 방식도 이러한 정체성에 바탕을 두고 있었다.^[2]

참고 항목

• 브라만굽타 행렬
• 브라만쿠프타-피보나치 정체성
• 브라마굽타의 보간식
• 인도 수학
• 인도의 수학자 목록

참조

외부 링크

• 플래닛매스에서의 브라만굽타의 정체성
• 수학계의 브라만굽타 정체성
• 대수적 정체성의 집합체