푸앵카레 추측

푸앵카레 추측

모든 고리를 한 점으로 연속적으로 조일 수 있다면, 경계가 없는 콤팩트한 2차원 표면은 위상적으로 2-구와 동형입니다. 푸앵카레 추측은 3차원 공간에서도 마찬가지라고 주장합니다.
들판	기하학적 위상
에 의해 추측됨	앙리 푸앵카레
에서 추측됨	1904
첫 번째 증명:	그리고리 페렐만
첫번째 증거	2002
암시하는 바	기하화 추측 지만 추측[1]
일반화	일반화 푸앵카레 추측

밀레니엄 현상 문제
버치와 스윈너턴-다이어 추측 호지 추측 Navier – Stocks 존재감과 매끄러움 P 대 NP 문제 푸앵카레 추측 (해법) 리만 가설 양-밀스의 존재와 질량 격차
v t

기하 위상 수학 분야에서 푸앵카레 추측(UK: / ˈpw æ̃k æ ɪ/,US: /ˌpw æ̃k ɑːˈ ɪ/, 프랑스어:[pw ɛ̃ka ʁe])는 4차원 공간에서 단위 공을 경계로 하는 초구인 3-구의 특성에 관한 정리입니다.

1904년 앙리 푸앵카레가 처음 추측한 이 정리는 국소적으로 평범한 3차원 공간처럼 보이지만 범위가 유한한 공간에 관한 것입니다. 푸앵카레는 만일 그러한 공간이 공간의 각 고리가 한 점으로 연속적으로 조여질 수 있다는 부가적인 성질을 가진다면, 그것은 반드시 3차원 구라고 가정했습니다. 추측을 해결하려는 시도는 20세기 동안 기하 위상학 분야에서 많은 발전을 이끌었습니다.

리처드 S에 의해 만들어진 궁극적인 증거. 문제를 해결하기 위해 리치 흐름을 사용하는 해밀턴의 프로그램. 그리고리 페렐만은 리치 흐름 이론에서 여러 가지 새로운 기법과 결과를 개발함으로써 해밀턴의 프로그램을 수정하고 완성할 수 있었습니다. 2002년과 2003년에 arXiv 저장소에 게시된 논문에서 페렐만은 푸앵카레 추측(그리고 윌리엄 서스턴의 더 강력한 기하학 추측)을 증명하는 그의 연구를 발표했습니다. 그 후 몇 년 동안, 몇몇 수학자들이 그의 논문을 연구했고 그의 작품의 세부적인 공식을 만들었습니다.

해밀턴과 페렐만의 이 추측에 대한 연구는 수학 연구의 이정표로 널리 인정받고 있습니다. Hamilton은 Shaw Prize와 Leroy P로 인정받았습니다. 연구에 대한 신간 공헌에 대한 스틸상. 사이언스지는 2006년 페렐만이 푸앵카레 추측을 증명한 것을 올해의 과학적 돌파구로 선정했습니다.^[5] 클레이 수학 연구소는 푸앵카레 추측을 그들의 잘 알려진 밀레니엄 상 문제 목록에 포함시켰으며, 그 추측의 해결을 위해 페렐만에게 상금 100만 달러를 제안했습니다.^[6] 그는 해밀턴의 공헌이 자신의 것과 동일하다고 말하면서 상을 거절했습니다.^[7][8]

역사

푸앵카레의 질문

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앙리 푸앵카레는 위상학의 기초를 연구하고 있었습니다. 나중에 조합 위상학, 그리고 대수 위상학이라고 불리게 됩니다. 그는 특히 구체의 특징이 무엇인지에 관심이 많았습니다.

푸앵카레는 1900년 엔리코 베티의 선행 연구를 바탕으로 자신이 고안한 도구인 호몰로지가 3-매니폴드가 3-구면인지 구분하기에 충분하다고 주장했습니다. 그러나 1904년 논문에서 그는 이 주장에 대한 반례를 설명했는데, 현재 푸앵카레 호몰로지 구라고 불리는 공간입니다. 푸앵카레 구는 구와 같은 호몰로지를 가진 다양체인 호몰로지 구의 첫 번째 예이며, 그 중 많은 다른 것들이 그 후에 구성되었습니다. 푸앵카레 구면이 3구면과 다르다는 것을 확립하기 위해 푸앵카레는 새로운 위상 불변량인 기본군을 도입하고 푸앵카레 구면은 기본군이 120인 반면 3구면은 사소한 기본군이 있음을 보여주었습니다. 이런 식으로 그는 이 두 공간이 실제로 다르다는 결론을 내릴 수 있었습니다.

같은 논문에서 Poincaré는 3-구와 사소한 기본군의 상동성을 가진 3-매니폴드가 반드시 3-구일 필요가 있는지 궁금해했습니다. 푸앵카레의 새로운 조건, 즉 "사소한 기본 그룹"은 "모든 루프가 한 점으로 축소될 수 있다"고 말할 수 있습니다.

원래 표현은 다음과 같습니다.

경계가 없는 콤팩트한 3차원 다양체 V를 생각해 보자. V가 3차원 구면과 동형이 아님에도 불구하고 V의 기본군이 사소할 수 있습니까?

푸앵카레는 이 추가 조건이 3-구를 특징지을 것이라고 믿는지 여부를 선언하지 않았지만, 그럼에도 불구하고, 그 조건을 나타내는 진술은 푸앵카레 추측으로 알려져 있습니다. 다음은 추측의 표준 형식입니다.

간단히 연결되고 닫힌 3-매니폴드는 모두 3-sphere와 동형입니다.

여기서 "닫힘"은 이 영역에서 관례적으로 집합 토폴로지 측면에서 콤팩트하고 경계가 없는 조건을 의미합니다(3차원 유클리드 공간은 3-구와 동형이 아닌 단순히 연결된 3-매니폴드의 예이지만 콤팩트하지 않으므로 반례가 아닙니다).

솔루션

1930년대에 J. H. C. 화이트헤드는 증거를 주장했지만 철회했습니다. 그 과정에서 그는 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$과 동형이 아닌 단순하게 연결된 (실제로 수축 가능한, 점과 동형인) 비콤팩트 3-매니폴드의 몇 가지 예를 발견했으며$,$ 그 원형은 현재 화이트헤드 매니폴드라고 불립니다.

1950년대와 1960년대에, 다른 수학자들은 그 추측에 대한 증명을 시도했지만, 그것들이 결함을 포함하고 있다는 것을 발견했습니다. 조르주 드 람, R. H. 빙, 볼프강 하켄, 에드윈 E와 같은 영향력 있는 수학자들. Moise와 Christos Papakryakopoulos는 이 추측을 증명하려고 시도했습니다. 1958년, R. H. 빙은 푸앵카레 추측의 약한 버전을 증명했습니다: 콤팩트한 3-매니폴드의 모든 단순한 닫힌 곡선이 3-볼에 포함되어 있다면, 다양체는 3-구와 동형입니다.^[9] 빙은 또한 푸앵카레 추측을 증명하기 위해 시도하는 함정 중 일부를 설명했습니다.^[10]

브워지미에즈 야콥셰는 1978년 빙-보르수크 추측이 3차원에서 참이면 푸앵카레 추측도 참이어야 한다는 것을 보여주었습니다.^[11]

시간이 지남에 따라 이 추측은 특히 다루기 까다롭다는 평판을 얻었습니다. 존 밀노어는 거짓 증명의 오류가 "오히려 미묘하고 감지하기 어려울 수 있다"고 언급했습니다.^[12] 추측에 대한 작업은 3-매니폴드에 대한 이해를 향상시켰습니다. 그 분야의 전문가들은 종종 증명 발표를 꺼리고 그러한 발표를 회의적으로 보는 경향이 있었습니다. 1980년대와 1990년대에는 대중에게 널리 알려진 잘못된 증명들을 목격했습니다. (실제로는 동료평가된 형태로 출판되지 않았습니다.)^[13][14]

이 추측을 증명하려는 시도에 대한 설명은 George Szpiro의 비기술 서적 Poincaré's Prize에서 찾을 수 있습니다.^[15]

치수

닫힌 표면의 분류는 유사한 질문에 대해 두 차원에서 긍정적인 답변을 제공합니다. 3차원보다 큰 경우, 일반화된 푸앵카레 추측을 제기할 수 있습니다: n-구와 동형인 동형인 n-구? 더 강력한 가정이 필요합니다. 4차원 이상에서는 n-구와 동등한 호모토피가 아닌 단순하게 연결된 닫힌 매니폴드가 있습니다.

역사적으로, 3차원의 추측은 그럴듯해 보였지만, 일반화된 추측은 거짓으로 생각되었습니다. 1961년 스티븐 스말은 4차원보다 큰 차원에 대한 일반화된 푸앵카레 추측을 증명함으로써 수학자들을 충격에 빠트렸고, 그의 기술을 확장하여 근본적인 h-코보디즘 정리를 증명했습니다. 1982년 마이클 프리드먼은 푸앵카레 추측을 4차원으로 증명했습니다. 프리드먼의 연구는 4구와 동형인 매끄러운 4개의 다면체가 있을 가능성을 열어두었습니다. 차원 4에서 소위 매끄러운 푸앵카레 추측은 열려 있으며 매우 어려운 것으로 생각됩니다. 예를 들어, 밀노르의 이국적인 구들은 매끄러운 푸앵카레 추측이 7차원에서 거짓임을 보여줍니다.

더 높은 차원에서의 이러한 초기 성공은 3차원의 경우를 흐리게 만들었습니다. 푸앵카레 추측은 본질적으로 4차원과 모든 더 높은 차원 모두에서 상당히 다른 이유로 사실이었습니다. 3차원에서, 기하학적 추측이 모든 3개의 다양성을 지배하는 프레임워크에 넣을 때까지 그 추측은 불확실한 평판을 가졌습니다. 존 모건은 다음과 같이 썼습니다.^[16]

제 견해는 Thurston의 쌍곡 3-매니폴드에 대한 연구 이전에는 기하학적 추측이 푸앵카레 추측이 참인지 거짓인지에 대해 전문가들 사이에 합의가 이루어지지 않았다는 것입니다. 서스턴의 연구 이후, 푸앵카레 추측과 직접적인 관련이 없음에도 불구하고, 푸앵카레 추측과 기하화 추측이 사실이라는 데 의견이 일치했습니다.

해밀턴의 프로그램과 해

해밀턴의 프로그램은 1982년 그의 논문에서 시작되었는데, 그는 다양체 위의 리치 흐름을 소개하고 푸앵카레 추측의 몇 가지 특별한 경우를 증명하기 위해 그것을 사용하는 방법을 보여주었습니다.^[17] 그 다음 몇 년 동안 그는 이 작업을 확장했지만 추측을 증명할 수 없었습니다. 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)이 그의 논문을 발표할 때까지 실제 해결책을 찾지 못했습니다.

2002년 말과 2003년에 Perelman은 arXiv에 3개의 논문을 올렸습니다.^[18][19][20] 이 논문에서 그는 푸앵카레 추측의 증명과 더 일반적인 추측인 서스턴의 기하화 추측을 스케치하여 리처드 S가 앞서 설명한 리치 흐름 프로그램을 완성했습니다. 해밀턴.

2006년 5월부터 7월까지, 여러 그룹들은 다음과 같이 Poincaré 추측에 대한 페렐만의 증명의 세부 사항을 담은 논문을 발표했습니다.

• 브루스 클라이너(Bruce Kleiner)와 존 W. 로트(John W. Lott)는 2006년 5월에 arXiv에 대한 논문을 발표했는데, 이 논문은 2003년부터 공개적으로 이용 가능했던 부분적인 버전에 따라 페렐만의 기하화 추측에 대한 증명의 세부 사항을 채웠습니다.^[21] 그들의 원고는 2008년 "기하학과 위상학" 저널에 실렸습니다. 2011년과 2013년에 소수의 수정이 이루어졌습니다. 예를 들어, 그들이 발표한 논문의 첫 번째 버전은 리치 흐름에 대한 해밀턴의 콤팩트성 정리의 잘못된 버전을 사용했습니다.
• Huai-Dong Chao와 Xi-Ping Zhu는 2006년 6월호 아시아 수학 저널에 푸앵카레와 기하학 추측의 완전한 증거를 설명하는 논문을 발표했습니다.^[22] 그들의 논문의 첫 단락은 다음과 같습니다.

본 논문에서는 리치 흐름에 대한 해밀턴-페렐만 이론을 제시할 것입니다. 이를 바탕으로, 우리는 푸앵카레 추측과 서스턴의 기하화 추측의 완전한 증명에 대한 첫 번째 서면 설명을 제공할 것입니다. 완성된 작품은 많은 기하학 분석가들의 축적된 노력이지만, 주요 기여자는 의심할 여지 없이 해밀턴과 페렐만입니다.

일부 관측통들은 조씨와 주씨가 페렐만의 업적을 인정한 것으로 해석했습니다. 그들은 나중에 arXiv에 새로운 문구와 함께 수정된 버전을 게시했습니다.^[23] 또한, 그들의 설명 페이지는 클라이너와 로트의 초기 공개된 초안 중 하나의 페이지와 본질적으로 동일했습니다. 이는 저널 편집 위원회의 사과와 함께 수정된 버전에서도 수정되었습니다.

• 존 모건과 강톈은 2006년 7월 arXiv에 논문을 발표했는데, 이 논문은 푸앵카레 추측(전체 기하학 추측보다 다소 쉬운)^[24]에 대한 상세한 증거를 제공하고 이를 책으로 확장했습니다.^[25][26]

세 그룹 모두 페렐만의 논문의 공백이 경미하고 그만의 기술을 사용하여 메울 수 있다는 것을 발견했습니다.

2006년 8월 22일 ICM은 리치 흐름에 관한 업적으로 페렐만에게 필즈 메달을 수여했지만 페렐만은 메달을 거부했습니다.^[27][28] 2006년 8월 24일, 존 모건은 푸앵카레 추측에 대한 ICM에서 "2003년에 페렐만이 푸앵카레 추측을 풀었다"고 선언했습니다.^[29]

2006년 12월 사이언스지는 푸앵카레 추측의 증명을 올해의 돌파구로 선정하여 표지에 실었습니다.^[5]

리치 흐름(Ricci flow with surgery)

푸앵카레 추측을 증명하기 위한 해밀턴의 프로그램은 먼저 알려지지 않은 단순히 연결된 닫힌 3-매니폴드에 리만 미터법을 적용하는 것을 포함합니다. 기본적인 아이디어는 이 메트릭을 "개선"하기 위해 노력하는 것입니다. 예를 들어 메트릭이 일정한 양의 곡률을 가질 수 있도록 충분히 개선될 수 있다면 리만 기하학의 고전적인 결과에 따르면 3-구면이어야 합니다. 해밀턴은 메트릭을 개선하기 위해 "리치 흐름 방정식"을 규정했습니다.

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}$

여기서 g는 미터법과 Rits Ricci 곡률이며, 시간 t가 증가함에 따라 다양체를 더 쉽게 이해할 수 있기를 희망합니다. 리치 흐름은 매니폴드의 음의 곡률 부분을 확장하고 양의 곡률 부분을 수축시킵니다.

경우에 따라 해밀턴은 이것이 작동한다는 것을 보여줄 수 있었습니다. 예를 들어, 그의 원래 돌파구는 리만 다양체가 모든 곳에 양의 리치 곡률을 가진 경우 위의 절차를 매개 변수 값의 제한된 $간격$인 ${\displaystyle t}$∈$$[0, T] ${\displaystyle$t\in [0,]에 대해서만 따를 수 있다는 것을 보여주는 것이었습니다.$T)$$T$< $∞$$가$ {\$displaystyle$Tinfty}인$$}이고, 더 중요한 것은 t$$$↗$ $T$ {\displaystyle t\n과 $같은$ $숫자$ c ${\displaystyle$ c_{t}가$$ 것입니다.$Earrow T$ 리만 메트릭 $ctg{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle c_{t}g(t)}$는 일정한 양의 곡률 중 하나로$$ 부드럽게 수렴합니다. 고전적인 리만 기하학에 따르면, 일정한 양의 곡률의 리만 계량을 지원할 수 있는 단순하게 연결된 콤팩트 다양체는 구(球)뿐입니다. 따라서 사실상 해밀턴은 단순히 연결된 3-매니폴드가 양의 리치 곡률의 리만 메트릭을 지원한다면 3-구와 동형이어야 한다는 푸앵카레 추측의 특별한 경우를 보여주었습니다.

대신 임의의 리만 미터법만 있다면 리치 흐름 방정식은 더 복잡한 특이점으로 이어져야 합니다. 페렐만의 주요 업적은 어떤 사람이 특정한 관점을 취한다면, 그것들이 유한한 시간에 나타난다면, 이러한 특이점들은 축소되는 구체나 원기둥처럼 보일 수밖에 없다는 것을 보여주는 것이었습니다. 이 현상을 정량적으로 이해한 그는 특이점을 따라 다양체를 절단하고 다양체를 여러 조각으로 나눈 다음 이 조각들 각각에 대한 리치 흐름을 계속합니다. 이 시술은 수술과 함께 리치 플로우로 알려져 있습니다.

Perelman은 곡선 단축 흐름에 기반한 별도의 주장을 제공하여 단순히 연결된 콤팩트 3-매니폴드에서 수술과 함께 리치 흐름의 어떤 솔루션도 유한 시간 내에 소멸된다는 것을 보여주었습니다. Tobias Colding과 William Minicozi는 최소 표면의 최소값 이론과 기하학적 측정 이론에 기초한 대안적인 주장을 제공했습니다. 따라서 단순히 연결된 맥락에서 수술과 함께 리치 흐름의 위와 같은 유한 시간 현상이 관련된 전부입니다. 사실, 기본군이 유한군과 순환군의 자유곱이라면 이것은 심지어 사실입니다.

기본 그룹의 이 조건은 유한한 시간 소멸에 필요하고 충분한 것으로 밝혀졌습니다. 이것은 매니폴드의 소수 분해가 비순환 성분을 가지고 있지 않으며, 두 개의 서스턴 기하학² S×R과³ S에 기초하여 매니폴드의 모든 기하학적 조각이 기하학을 갖는 조건과 동등하다는 것을 말해주는 것과 같습니다. 기본군에 대해 전혀 가정하지 않는 상황에서, Perelman은 무한히 큰 시간 동안 다양체의 한계에 대한 추가적인 기술적 연구를 했고, 그렇게 함으로써 Thurston의 기하학적 추측을 증명했습니다: 대부분의 경우 다양체는 두꺼운 두께의 분해를 가지고 있습니다. 두꺼운 조각은 쌍곡 구조를 가지고 있고 얇은 조각은 그래프 다양체입니다. 그러나 Poincaré 추측을 증명하기 위해서는 Perelman과 Colding과 Minicozzi의 결과 때문에 이러한 추가 결과는 불필요합니다.

해

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 없는 자료는 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다. (2013년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기에 대해 알아봅니다.)

2002년 11월 13일, 러시아 수학자 그리고리 페렐만은 푸앵카레 추측의 해결책을 설명하는 일련의 세 개의 지문 중 첫 번째 지문을 arXiv에 게시했습니다. Perelman의 증명은 Richard S에 의해 개발된 Ricci 플로우 프로그램의 수정된 버전을 사용합니다. 해밀턴. 2006년 8월, 페렐만은 리치 흐름에 관한 업적으로 필즈 메달(15,000달러 상당의 CAD)을 수상했지만, 수상을 거절했습니다. 2010년 3월 18일, 클레이 수학 연구소는 페렐만의 증명을 인정받아 100만 달러짜리 밀레니엄 상을 수여했습니다.^[30][31] 페렐만도 그 상을 거절했습니다.^[7][32]

페렐만은 리치 흐름(물체를 통한 열의 확산을 설명하는 열 방정식과 유사하게 행동하는 리치 흐름)을 사용하여 다양체를 변형함으로써 이 추측을 증명했습니다. 리치 흐름은 일반적으로 다양체를 둥근 모양으로 변형시키지만, 특이점이라고 알려진 방향으로 다양체를 자신과 떨어져 뻗어 나가는 일부 경우를 제외하고는 변형시킵니다. 그리고 나서 페렐만과 해밀턴은 특이점("수술"이라고 불리는 과정)에서 다양체를 잘라내어 분리된 조각들이 공 모양으로 만들어지게 합니다. 증명의 주요 단계는 다양체가 리치 흐름에 의해 변형될 때 어떻게 행동하는지 보여주는 것, 어떤 종류의 특이점이 발생하는지 조사하는 것, 이 수술 과정이 완료될 수 있는지 여부를 결정하는 것, 그리고 수술이 무한히 반복될 필요가 없다는 것을 확인하는 것입니다.

첫 번째 단계는 리치 흐름을 사용하여 매니폴드를 변형하는 것입니다. 리치 흐름은 Richard S에 의해 정의되었습니다. 해밀턴은 다양체를 변형시키는 방법입니다. 리치 흐름에 대한 공식은 열 방정식을 모방한 것으로, 열이 고체에서 흐르는 방식을 설명합니다. 열 흐름과 마찬가지로 리치 흐름은 균일한 행동을 하는 경향이 있습니다. 열 흐름과 달리 리치 흐름은 특이점에 부딪혀 기능을 멈출 수 있습니다. 다양체의 특이점은 구별할 수 없는 곳입니다: 모서리나 커스프 또는 핀칭과 같은 곳입니다. 리치 흐름은 매끄러운 미분 가능한 다양체에 대해서만 정의되었습니다. 해밀턴은 리치 흐름을 사용하여 일부 콤팩트 다양체가 구와 동형임을 증명했고, 푸앵카레 추측을 증명하는 데 이를 적용하기를 희망했습니다. 그는 특이점을 이해할 필요가 있었습니다.^{[citation needed]}

해밀턴은 형성될 수 있는 가능한 특이점의 목록을 만들었지만, 그는 몇몇 특이점이 어려움을 초래할 수 있다고 우려했습니다. 그는 특이점에서 다양체를 자르고 캡에 붙여넣은 다음 리치 흐름을 다시 실행하고 싶었기 때문에 특이점을 이해하고 특정 종류의 특이점이 발생하지 않는다는 것을 보여줄 필요가 있었습니다. 페렐만은 특이점이 모두 매우 간단하다는 것을 발견했습니다. 원기둥이 다른 차원에서 원을 따라 '늘어서' 형성되고, 원이 아닌 구체로 그 과정을 반복하면 본질적으로 특이점의 형태를 얻을 수 있다는 것을 고려하십시오. 페렐만은 특정 타원 방정식의 고유값과 밀접한 관련이 있는 "Reduced Volume"이라는 것을 사용하여 이것을 증명했습니다.

때로는 복잡한 연산을 통해 스칼라(숫자)의 곱셈을 줄일 수 있습니다. 이러한 숫자를 해당 연산의 고유값이라고 합니다. 고유값은 진동 주파수와 밀접한 관련이 있으며 유명한 문제를 분석하는 데 사용됩니다. 드럼의 모양을 들을 수 있습니까? 기본적으로 고유값은 매니폴드에서 재생되는 음과 같습니다. 페렐만은 리치 흐름에 의해 다양체가 변형됨에 따라 이 음이 상승한다는 것을 증명했습니다. 이것은 해밀턴과 관련된 더 골치 아픈 특이점들을 제거하는 데 도움이 되었습니다. 특히 시가 솔리톤 용액은 다른 면에 아무것도 없는 다양체에서 튀어나온 가닥처럼 보였습니다. 본질적으로 페렐만은 형성되는 모든 가닥들이 자르고 뚜껑을 열 수 있고 어떤 것도 한쪽으로만 튀어나오지 않는다는 것을 보여주었습니다.

증명을 완료한 페렐만(Perrelman)은 단순히 연결된 모든 콤팩트한 3차원 다양체를 경계 없이 가지고 리치 흐름을 실행하기 시작합니다. 이것은 매니폴드를 가닥들이 그들 사이에 있는 둥근 조각들로 변형시킵니다. 그는 가닥을 자르고 다양체를 계속 변형시키고 결국 둥근 3차원 구들의 집합을 남깁니다. 그런 다음, 그는 구들을 3차원 원기둥과 연결하여 원래의 다양체를 재구성하고 둥근 모양으로 변형한 다음, 초기의 모든 혼란에도 불구하고 다양체가 사실은 구와 동형이라는 것을 봅니다.

한 가지 즉각적인 질문은 무한히 많은 절단이 필요하지 않다는 것을 어떻게 확신할 수 있느냐는 것이었습니다. 이는 절단이 영원히 진행될 가능성이 있기 때문에 제기되었습니다. 페렐만은 다양체의 최소 표면을 사용함으로써 이것이 일어날 수 없다는 것을 증명했습니다. 최소 표면은 국부적인 변형이 면적을 증가시키는 표면입니다. 친숙한 예로는 휘어진 와이어 루프에 걸쳐 있는 비누 필름이 있습니다. 해밀턴은 다양체가 리치 흐름을 겪을 때 최소 표면의 면적이 감소한다는 것을 보여주었습니다. 페렐만은 매니폴드를 슬라이스했을 때 최소 표면의 면적이 어떻게 되는지 확인했습니다. 그는 결국 그 면적이 너무 작아서 그 면적 뒤에 있는 어떤 절단도 더 복잡한 조각이 아니라 3차원 구만 잘라낼 수 있다는 것을 증명했습니다. 아래 인용된 스치로의 책에서 이것은 소르마니가 히드라와의 전투로 묘사되어 있습니다. 이 증명의 마지막 부분은 페렐만의 세 번째이자 마지막 논문에 등장했습니다.

참고문헌

더보기

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외부 링크

• "푸앵카레 추측" – BBC 라디오 4 프로그램 인 아워 타임, 2006년 11월 2일. 기고자 준 배로-그린, 오픈 대학 수학사 강사 이안 스튜어트, 워릭 대학 수학과 교수 마커스 뒤 소토이, 옥스퍼드 대학 수학과 교수, 발표자 멜빈 브래그.