파워 시리즈

수학에서 파워 시리즈(한 변수에서)는 형태의 무한 계열이다.

\sum _{n=0}^{\nft }a_{n}\왼쪽(x-c\오른쪽)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots

여기서 a는_n n번째 항의 계수를 나타내고 c는 상수다. 파워 시리즈는 수학적 분석에 유용하며, 여기서 그것들은 무한히 다른 기능의 테일러 시리즈로 나타난다. 사실 보렐의 정리는 모든 파워 시리즈가 어떤 부드러운 기능의 테일러 시리즈라는 것을 암시한다.

많은 상황에서 c(시리즈의 중심)는 예를 들어 Maclaurin 시리즈를 고려할 때 0과 같다. 이러한 경우, 파워 시리즈는 보다 간단한 형태를 취한다.

\sum _{n=0}^{}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots .

전력 시리즈는 수학적 분석에서의 그들의 역할을 넘어, 생성 함수로서의 결합기(공식 전력 시리즈의 일종)와 전자 공학(Z-transform의 이름 아래)에서도 발생한다. 실제 숫자에 익숙한 십진법 표기법도 정수 계수가 있는 파워 계열의 예로 볼 수 있지만 x 인수는 다음과 같이 고정되어 있다. 1⁄10. 수 이론에서 p-adic 숫자의 개념은 또한 파워 시리즈의 그것과 밀접하게 관련되어 있다.

예

지수 함수(파란색), 그리고 맥클라우린 파워 시리즈의 첫 번째 n + 1 항의 합계(빨간색).

모든 다항식은 중심 c를 중심으로 한 동력 시리즈로 쉽게 표현될 수 있지만, 전력 시리즈는 정의에 의해 무한히 많은 항을 가지기 때문에 계수를 제외한 모든 계수는 0이 된다. 예를 ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ 들어 다항식 ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ = ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ 2 ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ + ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ + ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ 은(는) 중심 ${\textstyle c=0}$ ${\textstyle c=0}$ = 0 ${\textstyle c=0}$ 주위에 파워 시리즈로 쓸 수 있다.

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}}+\cdots

또는 중앙 ${\textstyle c=1}$ = ${\textstyle c=1}$ ${\textstyle$ c=1}을 ${\textstyle c=1}$ $($ 를) 다음과 같이 표시하십시오.

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }

또는 실제로 다른 중앙 c 주위에.^[1] 파워 시리즈는 다항식은 아니지만 무한도의 폴리노미얼과 같은 것으로 볼 수 있다.

기하 급수식

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\n^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots,

${\textstyle |x|<1}$ < ${\textstyle |x|<1}$ ${\textstyle x <1}$ 에 유효한 것은 지수 함수 공식과 마찬가지로 파워 시리즈의 가장 중요한 예 중 하나이다 ${\textstyle |x|<1}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{x^{n}}{n!}}}=1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}}{\frac{x^{3}}{3!}}}+\cdots,

및 사인 공식

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}:{n+1}{(2n+1)!}}}=x-{\frac {x^{3}}{3!2}}+{\frac{x^{5}{5}}{5!}}-{\frac{x^{7}{7}}{7!}}}+\cdots,

모든 실제 x에 대해 유효하다.

이 파워 시리즈도 테일러 시리즈의 예다.

지수 집합에서

예를 들어, ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ + ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ - 1 ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ + ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ - ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ + ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-$ 2}+{- $2}+\cdots$ }}은 ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ (는) 파워 시리즈로 간주되지 않는다(Laurent 시리즈지만). 마찬가지로 x ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\$ x $^{\frac{1}{2}}:}$ 와 같은 부분적인 힘은 허용되지 ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ 않는다(그러나 Puiseux 시리즈 참조). ${\textstyle a_{n}}$ ${\$ 계수는 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 에 종속될 ${\textstyle x}$ 수 없으므로 ${\textstyle a_{n}}$ , 예를 들어,

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots

파워 시리즈가 아니다.

수렴 반지름

A power series $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$ is convergent for some values of the variable $x$ , which will always include $x = c$ (as usual, $(x-c)^{0}$ evaluates as 1 and the sum of the series is thus ${\displaystyle a_$ $x$ = $c$ )의 $a_{0}$ 경우 ${0}$ $x$ 의 다른 값에 대해 시리즈가 갈릴 수 있다. $c$ 가 유일한 수렴 지점이 아니라면, $x$ – $c$ < $r$ 이 될 때마다 시리즈가 수렴되고 $x$ – $c$ > $r$ 이 갈릴 때마다 항상 0 < $r$ ≤ $\infty$ 이 있는 숫자 $r$ 이 있다. $숫자$ r은 전력 시리즈의 수렴 반지름이라고 불리며, 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

r=\liminf _{n\to \infit }\왼쪽 a_{n}\오른쪽 ^{-{\frac{1}{n}}}}}}}

또는 동등하게

r^{-1}=\limsup _{n\to \inflit }\왼쪽 a_{n}\오른쪽 ^{\frac{1}{n}}}}

(이것은 Cauchy-Hadamard 정리이다. 표기법에 대한 설명은 상한과 하한선을 참조하라.) 관계

r^{-1}=\lim _{n\to \infit }\왼쪽 {a_{n+1} \over a_{n}\오른쪽}

또한 이 제한이 존재하는 경우 충족된다.

$x$ – $c$ < $r$ 과 같은 복잡한 숫자의 집합을 시리즈의 수렴 원반이라고 한다. 시리즈는 절대적으로 컨버전스 디스크 내부에 수렴되며, 컨버전스 디스크의 모든 콤팩트 부분 집합에 균일하게 수렴된다.

$x$ – $c$ = $r$ 의 경우, 시리즈의 수렴에 대한 일반적인 설명은 없다. 그러나 아벨의 정리는 $시리즈$ 가 z – c = $r$ 과 $같은$ 일부 값 $z$ 에 대해 수렴되는 경우 $x$ = $z$ 에 대한 시리즈 합계는 x = $c$ + $t$ ( $z$ – c $)$ 에 대한 시리즈 합계의 한계라고 말하고 여기서 $t$ 는 1의 경향이 있는 1보다 작은 실제 변수다.

파워 시리즈 작업

덧셈과 뺄셈

두 함수의 f와 g가 동일한 중심 c를 중심으로 파워 시리즈로 분해되는 경우, 함수의 합이나 차이의 파워 시리즈는 용어적 덧셈과 뺄셈을 통해 얻을 수 있다. 즉, 만약

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

and

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

그때

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infit }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}}}

It is not true that if two power series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ and ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ have the same radius of convergence, then ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left$ $(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}}$ 또한 이러한 수렴 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ 반경을 가지고 있다. If ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ and ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ , then both series have the same radius of convergence of 1, but the series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ n ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ }^{\ $inflt }\{n}+b_{n}\right)$ x^{ $n}=\sum _{n=0}^{$ n=0}{ $n}}}{3^{n}}x^{$ n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}의 수렴 반경은 3이다 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ .

곱셈과 나누기

$f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ $g(x)$ g $f(x)$ $g(x)$ ( $g(x)$ ) $g(x)$ 에 대한 동일한 정의로 제품의 파워 시리즈와 함수의 몫을 다음과 같이 얻을 수 있다 $g(x)$

{\displaysty}f(x)g&=\left(\sum _{n=0}^{n_{n}^{n}\ft(\sum _{n=0}^{n}^{n}^{n}}\right)\sum(\displaysty)\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{정렬}}

sequence ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ = ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ = 0 ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ n - ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ i ${\$ 은 ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ $a_{n}$ $a_{n}$ ${\$ 과 $a_{n}$ ${$ }}}}의 $conolololution$ 으로 알려져 있다 $b_{n}$

$d_{n}$ 의 경우, $d_{n}$ ${\$ 순서를 정의하는 경우 $d_{n}$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

그때

f(x)=\좌(\sum _{n=0}^{{n_{n}^{n}\우)\좌(\sum _{n=0}^{n=0}{n}^{n}{n-c)^{n}우)

$d_{n}$ 계수를 $d_{n}$ 으로써 $d_{n}$ d ${\$ 라는 용어에 대해 반복적으로 해결할 수 있다.

해당 방정식을 풀면 $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 및 $f(x)$ $g(x)$ ( $g(x)$ ) $g(x)$ 의 계수에 대한 특정 행렬의 결정 인자에 기초하여 공식이 산출된다.

d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}}

d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}

차별화 및 통합

위와 같이 $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 함수가 파워 시리즈로 주어지면 $f(x)$ , 융합영역의 내부에서는 구별할 수 있다. 모든 용어를 별도로 처리하여 쉽게 구별하고 통합할 수 있다.

{\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{정렬}}

이 두 시리즈 모두 정합 반경이 원작과 동일하다.

분석함수

R 또는 C의 일부 개방형 서브셋 U에 정의된 함수 f는 수렴 전력 시리즈에 의해 국소적으로 주어지는 경우 분석이라고 불린다. 즉, 모든 u U는 개방된 이웃 V ⊆ U를 가지고 있으며, 따라서 모든 x ∈ V에 대해 f(x)로 수렴되는 중심 a가 있는 파워 시리즈가 존재한다는 것을 의미한다.

정합성 반경의 모든 동력 시리즈는 정합성 영역의 내부에 분석한다. 모든 홀로모르프 함수는 복합 분석적이다. 분모가 0이 아닌 한 분석 함수의 합과 산출물은 인과와 마찬가지로 분석적이다.

어떤 기능이 분석적이라면, 무한히 다를 수 있지만, 실제의 경우에는 그 반대가 일반적으로 사실이 아니다. 분석 함수의 경우 a를_n 다음과 같이 계산할 수 있는 계수

a_{n}={\frac {f^{\좌측(n\우측)}\좌측(c\우측)}{n!}}

여기서 $f^{(n)}(c)$ $f^{(n)}(c)$ ( $f^{(n)}(c)$ ) $f^{(n)}(c)$ ( c $f^{(n)}(c)$ ) ${\displaystyle$ f $^{(n)}(c)}$ 은 c에서 $f^{(0)}(c)=f(c)$ 의 n번째 파생상품을 나타내며, f $f^{(0)}(c)=f(c)$ ( $f^{(0)}(c)=f(c)$ = f $f^{(0)}(c)=f(c)$ ( $f^{(0)}(c)=f(c)$ ) ${\displaystyle$ f $^{(0)}(c)=f(c$ 이는 모든 분석 기능이 테일러 시리즈로 로컬로 표현된다는 것을 의미한다.

분석함수의 글로벌 형태는 f와 g가 동일한 연결된 오픈셋 U에 정의된 두 가지 분석함수인 경우, 그리고 모든 n≥ 0에 대해⁽ⁿ⁾ f(c) = g⁽ⁿ⁾(c)와 같은 요소 c∈U가 존재하는 경우, 모든 x ∈ U에 대해 f(x) = g(x)와 같은 요소 c∈U로 완전히 결정된다.

정합성 r의 반경을 가진 전력 시리즈가 주어진 경우, 시리즈 분석 연속성, 즉 {x : x - c < r }보다 큰 세트에 정의되고 이 세트에 주어진 전력 시리즈에 동의하는 분석 함수 f를 고려할 수 있다. 숫자 r은 다음 의미로 최대값이다: x - c = r을 가진 복잡한 숫자 x가 항상 존재하므로 x에서 시리즈의 분석적 연속성을 정의할 수 없다.

분석함수의 역함수의 파워 시리즈 확장은 라그랑주 반전 정리를 사용하여 결정할 수 있다.

경계근처 동작

정합성 반경의 전력 시리즈의 합은 정합성 디스크 내부의 모든 지점에서 분석 기능이다. 그러나 이 디스크의 경계의 지점에서 다른 동작이 발생할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

반면, 합은 해석 함수:∑ nx0∞은 zn{\textstyle \sum_{n=0}^{\infty}z^{n}으로 확장되 Divergence}과 z1{\displaystyle z=1}의 모든 위치에서 갈라진다. 그럼에도 불구하고, z<>에 그 금액;1{\displaystyle z<1}은 융합 1{1\displaystyle}와 같은 반경이. 1 $z=1$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ - ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ${\$ $z=1$ = 1 ${\displaystyle z=1$ }을(를 $)$ 제외한 평면의 모든 지점에서 분석함 $z=1$
Convergent at some points divergent at others: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {z^{n}}{n}}}$ has radius of convergence $1$ . It converges for $z=1$ , while it diverges for $z=-1$
Absolute convergence at every point of the boundary: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ has radius of convergence $1$ , while it converges absolutely, and uniformly, at every point of $z =1$ due to Weierstrass M-test applied 초경량 수렴 시리즈 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ 1 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\$
컨버전스 디스크의 닫힘에 대한 수렴성: 시에르피에스키(Sierpi $radiusski$ )는 $|z|=1$ $반경$ 1 ${\$ 디스플레이 스타일 $1},$ $1$ z $|z|=1$ = 1 ${\$ $디스플레이$ 스타일 z = $1},$ 모든 지점에서 컨버전스하지만 $|z|=1$ 합은 무한함수이며, 특히 불연속성이라는 예를 제시했다^[2]. 경계점에서 일방적인 연속성을 위한 충분한 조건은 아벨의 정리에 의해 주어진다.

포멀 파워 시리즈

추상대수학에서는 실수와 복합수의 분야에 국한되지 않고, 융합에 대해 말할 필요 없이 파워시리즈의 본질을 포착하려고 시도한다. 이것은 대수학 콤비네이터학에서 큰 효용의 개념인 공식 파워시리즈의 개념으로 이어진다.

여러 변수의 검정력 시리즈

이론의 연장은 다변량 미적분학의 목적을 위해 필요하다. 여기서 파워 시리즈는 폼의 무한 시리즈로 정의된다.

f(x_{1},\reason,x_{n}}=\sum_{j_{1}{n}=0}^{\infit }a_{j_{1}, j_{n}}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k}}}}}}})^{j_{k}},

여기서 j = (j₁, …, j_n)는 자연수의 벡터로서 계수 a는_{(j₁, …, j_n)} 대개 실제 또는 복합적인 수이며, 중심 c = (c₁, …, c_n)와 인수 x = (x₁, …, x_n)는 대개 실제 또는 복합 벡터다. 기호 $\Pi$ $\Pi$ 은 $\Pi$ 곱셈을 나타내는 제품 기호다. 보다 편리한 다중 인덱스 표기법에서 이것은 기록될 수 있다.

f(x)=\sum _{\alpha \in \mathb {N}^{n}a_{\alpha }^{n}(x-c)^{\alpha }}

여기서 $\mathbb {N}$ ${\$ 은 $\mathbb {N}$ (는) 자연수 집합이므로 $\mathbb {N} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}}$ 은 자연수 순서의 n-tupet 집합이다 $\mathbb {N} ^{n}$ .

그러한 시리즈 이론은 단일변수 시리즈에 비해 더 까다롭고, 융합 영역이 더 복잡하다. For instance, the power series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ is absolutely convergent in the set $\{(x_{1},x_{2}): x_{1}x_{2} <1\}$ between two hyperbolas. (이는 로그 콘벡스 집합의 예로서, 지점 집합 $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ x $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ , $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ x $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ ) ${\displaystyle$ (\ $log x_{1},\$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{$ 2} $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ 여기서 $(x_{1},x_{2})$ ( $(x_{1},x_{2})$ $(x_{1},x_{2})$ , $(x_{1},x_{2})$ 2 $(x_{1},x_{2})$ ) ${\displaystyle (x_{1},x_{2})$ 은 볼록 $(x_{1},x_{2})$ 집합이다. 보다 일반적으로 c=0일 때 절대 수렴 영역의 내부는 항상 이러한 의미에서 설정된 로그 콘벡스라는 것을 보여줄 수 있다.) 반면에, 이 융합 영역의 내부에서는 일반적인 파워 시리즈와 마찬가지로 시리즈 표지에 따라 차별화하고 통합할 수 있다.

파워 시리즈 순서

α를 power series₁ f(x₂, x_n, …, x)에 대한 다중 지수로 한다. The order of the power series f is defined to be the least value $r$ such that there is a_α ≠ 0 with $r= \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ , or $\infty$ if f ≡ 0. 특히, 단일 변수 x의 파워 시리즈 f(x)의 경우, f의 순서는 0이 아닌 계수를 갖는 x의 최소 검정력이다. 이 정의는 Laurent 시리즈로 쉽게 확장된다.

메모들

^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. p. 24.
^ Wacław Sierpiński (1916). "Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (French)". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo Rend. 41: 187–190. doi:10.1007/BF03018294. S2CID 121218640.

참조

Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
마이클 슈라이버의 복잡한 숫자의 힘, 울프램 데모 프로젝트.

[1] Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. p. 24.

[2] Wacław Sierpiński (1916). "Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (French)". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo Rend. 41: 187–190. doi:10.1007/BF03018294. S2CID 121218640.

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