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원의 사각형

Squaring the circle
원의 제곱: 이 정사각형과 이 원의 넓이는 둘 다 π 와 같습니다 1882년, 이 도형은 이상화된 나침반과 직선으로 유한 단계로 만들어질 수 없다는 것이 증명되었습니다.

원을 제곱하는 것은 그리스 수학에서 처음 제안된 기하학의 문제입니다.나침반과 직선으로 제한된 수의 계단만을 사용하여 주어진 원의 넓이를 갖는 정사각형을 만드는 과제입니다.문제의 난이도는 의 존재에 관한 유클리드 기하학의 구체적인 공리가 그러한 정사각형의 존재를 암시하는지에 대한 문제를 제기했습니다.

1882년 린데만의 결과로 불가능한 것으로 판명되었습니다.파이(π 초월수임을 증명하는 바이어슈트라스 정리.즉, π 은(는) 유리 계수를 갖는 다항식루트가 아닙니다.만약 π 가 초월적이라면 그 건축이 불가능할 것이라고 수십 년 동안 알려져 왔지만, 그 사실은 1882년까지 증명되지 않았습니다.주어진 완벽하지 않은 정확도를 가진 대략적인 구성이 존재하며 이러한 구성이 많이 발견되었습니다.

불가능하다는 증거에도 불구하고, 원을 제곱하려는 시도는 유사 수학(즉, 수학적 크랭크의 작업)에서 일반적이었습니다."원의 사각형"이라는 표현은 때때로 불가능한 것을 하려고 노력하는 것에 대한 비유로 사용됩니다.[1]

원의 사각형이라는 용어는 때때로 원을 제곱할 때 동의어로 사용됩니다.원의 면적을 찾기 위한 근사적 또는 수치적 방법을 참조할 수도 있습니다.일반적으로 다른 평면 도형에도 사각형이나 사각형이 적용될 수 있습니다.

역사

원을 제곱하기 위한 전조 문제로 생각될 수 있는 주어진 원의 대략적인 면적을 계산하는 방법은 이미 많은 고대 문화에서 알려져 있었습니다.이러한 방법은 해당 방법이 생성하는 π에 대한 근사치를 언급함으로써 요약할 수 있습니다.기원전 2000년경, 바빌로니아 수학자들은 근사 π ≈ ={\}} = 3를 사용했고 거의 동시에 고대 이집트 수학자들은 π ≈ {256approx을 사용했습니다 1000년 이상이 지난 후, 구약성경의왕들은 더 단순한 근사 π ≈ {\을 사용했습니다 샤타파타 브라흐마나슐바 수트라에 기록된 고대 인도 수학은 π{\에 여러 가지 다른 근사를 사용했습니다 아르키메데스 1071 3.141 <π < 3 중국 수학에서, 서기 3세기에, 류혜는 아르키메데스와 비슷한 방법을 사용하여 훨씬 더 정확한 근사치를 찾았고, 5세기에, 주총지는 \prox / 밀뤼(Milü)[4]로 알려진 근사치

넓이가 원의 근사가 아니라 정확히 원의 넓이인 정사각형을 만드는 문제는 그리스 수학에서 비롯됩니다.그리스 수학자들은 어떤 다각형이든 동등한 면적의 정사각형으로 변환하기 위해 나침반과 직선형 구조를 발견했습니다.[5]그들은 이 구조를 현대 수학에서 더 전형적인 면적의 수치 계산이 아닌 기하학적으로 다각형의 면적을 비교하기 위해 사용했습니다.프로클로스가 수 세기 후에 쓴 것처럼, 이것은 다각형이 아닌 모양과 비교할 수 있는 방법을 찾는 동기가 되었습니다.

이 문제를 중심으로 고대인들도 원의 사각형을 찾았다고 생각합니다.평행사변형이 어떤 직선형 도형과 같다면, 직선형 도형이 원호로 묶인 도형과 같다는 것을 증명할 수 있는지 조사할 가치가 있습니다.[6]
몇몇 명백한 부분적인 해결책들은 오랫동안 잘못된 희망을 주었습니다.이 그림에서 음영으로 표시된 그림은 히포크라테스의 달 빛입니다.그것의 면적은 (키오스의 히포크라테스에 의해 발견된) 삼각형 ABC의 면적과 같습니다.

이 문제를 연구한 최초의 그리스인은 감옥에 있을 때 이 문제를 연구한 아낙사고라스였습니다.키오스의 히포크라테스는 사각형일 수 있는 히포크라테스의 모양인 원호로 둘러싸인 모양을 발견함으로써 문제를 공격했습니다.소피스트 안티폰은 원 안에 규칙적인 다각형을 새기고 변의 수를 두 배로 늘리면 결국 원의 면적을 채울 수 있다고 믿었습니다(이것이 소진의 방법입니다).임의의 다각형은 제곱될 수 있으므로 원은 제곱될 수 있다고 [5]그는 주장했습니다.이와는 대조적으로, 유데무스는 규모를 제한 없이 나눌 수 없기 때문에 원의 면적은 절대로 사용되지 않을 것이라고 주장했습니다.[7]안티폰과 동시에 헤라클레아의 브라이슨은 더 큰 원과 더 작은 원이 모두 존재하기 때문에 동일한 면적의 원이 있어야 한다고 주장했습니다. 이 원리는 현대 중간값 정리의 한 형태로 볼 수 있습니다.[8]나침반과 직선만을 사용하여 모든 기하학적 구조를 수행하는 더 일반적인 목표는 종종 오이노피데스에 기인하지만, 이에 대한 증거는 정황적입니다.[9]

임의의 곡선 아래에서 영역을 찾는 문제, 즉 미적분학에서는 적분으로, 또는 수치해석에서는 직교로 알려진 문제는 미적분학의 발명 이전에는 제곱으로 알려져 있었습니다.[10]미적분학의 기술이 알려지지 않았기 때문에, 일반적으로 정사각형은 기하학적 구조, 즉 나침반과 직선에 의해 행해져야 한다고 추정되었습니다.예를 들어, 뉴턴은 1676년 올덴부르크에게 "나는 M을 믿습니다.라이프니츠는 기하학적으로 곡선을 제곱하기 위한 제 편지 페이지 4의 시작에 대한 정리를 좋아하지 않을 것입니다."[11]현대 수학에서 이 용어들은 의미에서 발산되어 왔으며, 미적분학의 방법이 허용될 때 일반적으로 사용되는 직교법과 함께 곡선을 제곱하는 것은 제한된 기하학적 방법만을 사용한다는 개념을 유지합니다.

제임스 그레고리는 1667년 베라 서큘리엣 하이퍼볼레 콰드라투라(원의 진정한 정사각형과 하이퍼볼라의 정사각형)에서 원을 정사각형으로 만드는 것이 불가능하다는 증명을 시도했습니다.비록 그의 증명은 결함이 있었지만, 그것은 π 의 대수적 성질을 사용하여 문제를 해결하려는 최초의 논문이었습니다 요한 하인리히 램버트는 1761년에 π }이) 무리수임을 증명했습니다.1882년되어서야 페르디난트린데만은 π가 초월수라는 것을 더 강하게 증명하는 데 성공했고, 그렇게 함으로써 나침반과 직선으로 원을 사각형으로 만드는 것이 불가능하다는 것을 증명했습니다.

그 문제에 대한 시도에 대한 플로리안 카조리의 부분적인 역사.[18]

린데만의 불가능성 증명 이후, 이 문제는 전문 수학자들에 의해 해결된 것으로 여겨졌고, 그 이후의 수학적 역사는 대체로 아마추어들에 의해, 그리고 이러한 노력들의 디벙킹에 의해 지배되었습니다.[19]또한, 스리니바사 라마누잔을 포함한 몇몇 후대의 수학자들은 문제를 몇 단계로 정확하게 접근하는 나침반과 직선 구조를 개발했습니다.[20][21]

불가능한 것으로 유명한 고대의 또 다른 고전적인 문제들은 정육면체를 두 배로 늘리고 각도를 세배로 하는 것이었습니다.원을 사각형으로 만드는 것처럼, 이것들은 나침반과 직선으로 풀 수 없습니다.그러나, 그들은 원을 제곱하는 것과는 다른 특성을 갖는데, 그 해결책이 초월적이기보다는 입방정 방정식의 근을 포함한다는 점에서 그러합니다.따라서, 나침반과 직선형 구조보다 더 강력한 방법, 예를 들어, 노이시스 구조수학적 종이 접기와 같은 방법들이 이러한 문제들에 대한 해결책을 구성하는 데 사용될 수 있습니다.[22][23]

불가능성

나침반과 직선으로 원을 제곱하는 문제를 해결하려면 넓이가 단위 원의 길이와 같은 정사각형의 변의π {\{\{\를 구성해야 합니다.π }}이) 생성 가능한 숫자라면 표준 컴퍼스와 직선형 구조에서 π \pi}도생성 가능합니다.1837년 피에르 완첼은 나침반과 직선으로 구성할 수 있는 길이는 유리계수를 가진 특정 다항식의 해가 되어야 한다는 것을 보여주었습니다.[24][25]따라서 구성 가능한 길이는 대수적인 숫자여야 합니다.만약 나침반과 직선만을 사용하여 원을 제곱할 수 있다면,π {\ \은(는) 대수적인 수이여야 합니다.1882년이 되어서야 페르디난트린데만은 π 의 초월성을 증명했고 그래서 이 구성의 불가능성을 보여주었습니다.린데만의 아이디어는 1873년에 찰스 헤르미테가보여준 오일러의 수의 초월성의 증명과 오일러을 결합하는 것이었습니다

이 항등식은 즉시 π 이(가) 무리수임을 보여주는데, 초월수의 유리력은 초월수로 남아 있기 때문입니다.린데만은 린데만을 통해 이 주장을 확장할 수 있었습니다.π \pi}이가) 초월적이므로 원을 제곱하는 것이 불가능하다는 것을 보여주기 위해 e e의 대수적 힘의 선형 독립성에 대한 바이어슈트라스 정리.

보충 도구를 도입하여 무한한 수의 나침반과 직선 에지 연산을 허용하거나 특정 비유클리드 기하학에서 연산을 수행함으로써 규칙을 구부리면 어떤 의미에서 원을 제곱할 수 있습니다.예를 들어, 다이노스트라투스 정리히피아스의 4자 행렬을 사용하여 원을 제곱합니다. 즉, 이 곡선이 이미 주어진 경우, 이 곡선으로부터 동일한 면적의 정사각형과 원을 만들 수 있다는 것을 의미합니다.아르키메데스 나선형은 유사한 다른 구조물에 사용될 수 있습니다.[26]이 유클리드 공간에서 제곱될 수는 없지만 적절한 용어 해석 하에서 쌍곡 기하학에 있을 수 있습니다.쌍곡면은 사각형(직각 4개와 같은 변 4개가 있는 정사각형)을 포함하지 않고, 대신 정사각형, 즉 4개의 같은 변과 같은 각도가 직각보다 뾰족한 형태를 포함합니다.쌍곡면에는 무한히 많은 쌍의 구성 가능한 원과 동일한 면적의 구성 가능한 정사각형 쌍이 있지만 동시에 구성됩니다.임의의 정사변형으로 시작하여 등면적 원을 구성하는 방법은 없습니다.대칭적으로 임의의 원에서 시작하여 등면적의 정사변형을 만드는 방법은 없으며, 충분히 큰 원에서는 이러한 사변형이 존재하지 않습니다.[27][28]

근사구도

나침반과 직선으로 원을 정확하게 제곱하는 것은 불가능하지만 을 제곱하는 근사치는 π displaystyle \에 가까운 길이를 구성함으로써 얻을 수 있습니다 π의 주어진 합리적 근사치를 해당 나침반과 직선으로 변환하는 데는 기본 기하학적 구조만 필요합니다.이온(ion), 그러나 그러한 구성은 달성된 정확도에 비해 매우 긴 시간이 걸리는 경향이 있습니다.정확한 문제가 해결될 수 없다는 것이 증명된 후, 일부 수학자들은 유사한 정밀도를 제공하는 다른 상상할 수 있는 구조들 중에서 특히 단순한 원의 제곱에 대한 근사치를 찾는 데 그들의 독창성을 적용했습니다.

코차 ń스키 시공

코차 ń스키의 개략적인 구성
면적이 같은 원과 정사각형으로 연속, 은(는) 초기 반지름을 나타냅니다.

많은 초기 역사적 근사 나침반과 직선형 에지 구성 중 하나는 폴란드 예수회 Adam Adamandy Kocha ń의 1685년 논문에서 소수점 다섯 번째 자리에 있는π {\ \에서 발산하는 근사치를 생성했습니다.π에 대한 훨씬 더 정확한 수치 근사치가 이미 알려져 있었지만, Kocha ń스키의 구성은 매우 간단하다는 장점이 있습니다.왼쪽 다이어그램에서

같은 연구에서, Kocha ń는 또한 π{\대해 점점 더 정확해지는 일련의 합리적인 근사치를 도출했습니다

355/113을 이용한 시공

야곱 드 겔더의 355/113 작품
라마누잔의 355/113 구조

야곱 드 겔더는 1849년에 근사에 기초한 구성을 발표했습니다.

이 값은 소수점 여섯 자리까지 정확하며 5세기부터 중국에서는 밀뤼(Milü)로, 유럽에서는 17세기부터 알려졌습니다.[31]

Gelder는 광장의 측면을 건설하지 않았습니다. 그것은 그가 가치를 찾기에 충분했습니다.

그 삽화는 드 겔더의 구성을 보여줍니다.

1914년, 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔은 같은 근사에 대해 또 다른 기하학적 구조를 제시했습니다.[20][21]

황금비율을 이용한 건축물

홉슨의 황금비율 구조
딕슨의 황금 비율 구조
베아트릭스의 13단계 구조

1913년[31] E. W. 홉슨에 의한 대략적인 구성은 소수 셋째 자리까지 정확합니다.홉슨의 구성은 대략적인 값에 해당합니다.

여기서 φ 은(는) 황금 비율, φ = + )/ {\displaystyle \= (+ {\ / 입니다

로버트 딕슨의 1991년 작에도 동일한 근사치가 나타납니다.[32]2022년 프레데릭 베아트릭스는 13단계의 기하학적 구조를 선보였습니다.[33]

라마누잔의 두 번째 건축물

원의 제곱, 1914년 라마누잔에 따른 대략적인 구성, 구성의 연속(대시선, 평균 비례 빨간색 선), 애니메이션 참조.
"스리니바사 라마누잔의 원고집 1권" 54페이지, 라마누잔의 355/113 구성도

1914년, 라마누잔은 π 의 근사값을 구하는 것과 같은 구조를 주었습니다.

π }의소수점 8자리를 제공합니다.그는 라인 세그먼트 OS의 구성을 다음과 같이 설명합니다.

AB(그림 2)를 중심이 O인 원의 지름이라 합니다.ACB는 C에서 이등분하고 AO는 T에서 분할합니다. BC를 결합하고, CM과 MN은 AT와 같습니다.AM과 AN에 가입하고 AM과 동일한 후자의 AP와 단절합니다.P draw PQ를 통해 MN과 평행하게 그리고 AM을 Q에서 만납니다. OQ에 가입하고 T draw TR을 통해 OQ와 평행하게 그리고 AQ를 R에서 만납니다.AO와 수직이고 AR과 동일한 AS를 그리고 OS에 가입합니다.그러면 OS와 OB 사이의 평균 비율은 둘레의 6분의 1에 매우 가까울 것이며, 직경이 8,000마일일 때 오차는 12분의 1인치 미만이 될 것입니다.

잘못된구성

노년에 영국 철학자 토머스 홉스는 자신이 원을 사각형으로 만드는 데 성공했다고 스스로 확신했는데, 이 주장은 존 월리스홉스-월리스 논쟁의 일부로 반박한 것입니다.[34]18세기와 19세기 동안 원 제곱 문제는 경도 문제와 어떻게든 관련이 있고, 해결책에 대해 많은 보상이 주어질 것이라는 잘못된 생각들이 원 제곱 희망자들 사이에서 널리 퍼졌습니다.[35][36]1851년에 존 파커는 원의 제곱을 했다고 주장하는 원의 쿼드라처라는 책을 출판했습니다.그의 방법은 실제로 π 의 근사치를 6자리까지 정확하게 만들었습니다.

루이스 캐럴이라는 가명으로 더 잘 알려진 빅토리아 시대의 수학자, 논리학자, 작가 찰스 러트위지 도그슨도 비논리적인 원 제곱 이론을 밝히는 데 관심을 보였습니다.1855년 그의 일기 중 하나에서, 도그슨은 "원-제곱을 위한 평범한 사실들"이라고 불리는 책을 포함하여 그가 쓰고 싶어했던 책들을 열거했습니다."A New Theory of Parallels"의 서론에서, 도그슨은 다음과 같이 말하면서, 몇 개의 원 제곱수에 논리적 오류를 증명하려는 시도를 설명했습니다.[40]

이 두 명의 잘못된 선지자들 중 첫 번째 사람은 내가 들어본 적이 없는 업적, 즉 그의 실수를 원평방미터에게 설득하려는 위대한 야망으로 나를 가득 채웠습니다!친구가 파이를 선택한 값은 3.2였습니다. 엄청난 오류가 쉽게 오류로 증명될 수 있다는 생각에 유혹을 받았습니다.기회가 없다는 것을 슬프게도 확신하기 전에 수십 통 이상의 편지가 오갔습니다.

1872년 그의 미망인이 사후 출간한 아우구스투스 모르간의 책 '역설의 예산'에 원 사각형에 대한 조롱이 등장합니다.원래 이 작품을 아테네 æ움에 연재 기사로 낸 그는 사망 당시 출판을 위해 수정 중이었습니다.원 사각형은 19세기 이후 인기가 떨어졌으며, 드 모르간의 작업이 이를 가져온 것으로 여겨집니다.[19]

하이젤의 1934년 저서

불가능하다고 증명된 후에도, 1894년 아마추어 수학자 에드윈 J. 굿윈은 원을 제곱하는 방법을 개발했다고 주장했습니다.그가 개발한 기술은 정확하게 원을 제곱하지 못했고, 원의 잘못된 면적을 제공하여 π 을(를) 3.2와 같게 재정의했습니다.굿윈은 인디애나 주 의회에서 인세를 지불하지 않고 교육에서 그의 방법을 사용할 수 있도록 허용하는 인디애나 파이 법안을 제안했습니다.법안은 주 하원에서 아무런 이의 없이 통과되었지만, 언론의 조롱이 증가하는 가운데 법안은 상정되어 상원에서 표결에 부쳐진 적이 없습니다.[41]

수학 크랭크인한 칼 시어도어 하이젤은 1934년 자신의 책, "보아라!: 더 이상 풀리지 않는 거대한 문제: 반박을 넘어 원의 제곱"에서 원의 제곱을 했다고 주장하기도 했습니다.[42]할모스는 이 책을 "고전적인 크랭크북"이라고 일컬었습니다.[43]

문학에서

원을 사각형으로 만드는 문제는 다양한 은유적 의미와 함께 광범위한 문학 시대에 걸쳐 언급되어 왔습니다.[44]그것의 문학적 사용은 아리스토파네스새들이라는 연극이 처음 공연되었던 기원전 414년까지 거슬러 올라갑니다.그것에서 아테네의 메톤이라는 인물은 원을 사각형으로 하는 것을 언급하는데, 아마도 그의 유토피아 도시의 역설적인 성격을 나타낼 것입니다.[45]

비트루비안 맨

단테의 낙원, 캔투 XXXIII, 133-135 행에는 다음과 같은 구절이 포함되어 있습니다.

단테에게 원의 사각형은 인간이 이해할 수 없는 과제이며, 이는 그 자신이 파라다이스를 이해하지 못하는 것과 비교됩니다.[46]단테의 이미지는 또한 나중에 레오나르도 다빈치비트루비우스의 "비트루비우스인간"에서 묘사된, 원과 정사각형에 동시에 새겨진 한 남자의 구절을 떠올립니다.[47]단테는 원을 신의 상징으로 사용하며, 예수의 신성과 인간의 동시성을 언급한 것일 수도 있습니다.[44][47]일찍이 칸토 13세에서, 단테는 그리스의 원 제곱수 브라이슨이 지혜 대신 지식을 추구했다고 언급했습니다.[44]

17세기 시인 마거릿 캐번디시의 여러 작품들은 원 제곱 문제와 그것의 은유적 의미에 대해 상세히 설명하고 있는데, 여기에는 진리의 통일성과 파벌주의의 대비, 그리고 "화려하고 여성적인 본성"을 합리화하는 것의 불가능성이 포함됩니다.[44]1742년 알렉산더 포프가 자신의 던키아드 네 번째 책을 출판했을 때, 원형 사각형을 시도하는 것은 "야성적이고 성과가 없는" 것으로 여겨졌습니다.[38]

매드 매티스 만으로는 구속되지 않았고,
단순한 물질적 사슬을 묶기엔 너무 화가 났지만,
이제 순수한 공간으로 그녀의 황홀한 시선을 들어올리고,
원을 한 바퀴 돌면 정사각형이 됩니다.

마찬가지로 길버트와 설리번의 코믹 오페라 아이다 공주영구적인 움직임을 찾는 것과 같은 제목의 캐릭터가 운영하는 여대의 불가능한 목표들을 풍자적으로 나열한 노래를 특징으로 합니다.이러한 목표 중 하나는 "그리고 원 – 그들은 그것을 평평하게 만들 것입니다/어느 멋진 날."입니다.[48]

12세기에 아르노 다니엘에 의해 처음 사용된 시적 형태인 세스티나는 6개의 반복되는 단어의 원형 체계와 함께 제곱한 수의 행들(각각 6개의 행들로 이루어진 6개의 행들)을 사용하는 데 있어 은유적으로 원을 제곱한다고 말해집니다.Spanos(1978)는 이 형태가 원은 천국을, 정사각형은 지구를 상징하는 상징적 의미를 불러일으킨다고 쓰고 있습니다.[49]비슷한 비유가 O의 1908년 단편 소설인 "원의 사각형"에서 사용되었습니다. 헨리, 오랜 가족간의 불화에 관한 이야기.이 이야기의 제목에서 원은 자연의 세계를 나타내고, 정사각형은 도시, 인간의 세계를 나타냅니다.[50]

이후의 작품들에서, 제임스 조이스의 소설 율리시스레오폴드 블룸토마스 만의 매직 마운틴의 파라반트 변호사와 같은 서클 스퀘어들은 슬프게도 현혹되거나, 수학적으로 불가능하다는 것을 모르고, 그들이 결코 성취하지 못할 결과를 위해 거창한 계획을 세우는 초자연적인 몽상가들로 보여집니다.[51][52]

참고 항목

참고문헌

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