마드하바 시리즈

Madhava series

수학에서 마드하바 시리즈 또는 라이프니즈 시리즈는 무한 시리즈 표현 모음집 중의 하나로서, 모두 인도의 수학자·천문학자 마드하바(c. 1350 – c. 1425)가 천문·수학의 케랄라 학파의 창시자, 후에 고트프리드 윌이 발견한 것으로 생각된다.그중에서도 라이프니츠를 조타한다.이러한 표현은 삼각 사인, 코사인아크탄젠트 함수맥클라우린 시리즈 확장이며 아크탄젠트 함수의 파워 시리즈 확장의 특별한 경우로서 π 연산 공식을 산출한다.사인 및 코사인 함수의 파워 시리즈 확장은 각각 마드하바의 사인 시리즈마드하바의 코사인 시리즈라고 불린다.아크탄젠트 함수의 파워 시리즈 확장을 마드하바-그레고리 시리즈[1][2] 또는 그레고리-마드하바 시리즈라고 부르기도 한다.이러한 파워 시리즈는 총칭하여 테일러-마드하바 시리즈라고도 한다.[3]π의 공식은 마드하바-뉴턴 시리즈 또는 마드하바-라이브니즈 시리즈 또는 파이 또는 라이프니츠-그레고리-마드하바 시리즈를 라이프니즈 공식이라고 한다.[4]이러한 다양한 시리즈의 추가적인 이름들은 각각의 시리즈의 서양 발견자들 또는 인기 있는 사람들의 이름을 반영한다.

파생은 합계, 변화율, 보간 등 미적분 관련 개념을 많이 사용하는데, 이는 인도 수학자들이 유럽에서 개발되기 훨씬 전부터 미적분의 한계 개념과 기본에 대한 확고한 이해를 갖고 있었음을 시사한다.무한 계열에 대한 관심과 십진법 10진법의 사용과 같은 인도 수학에서 여기까지 이르는 다른 증거들 또한 미적분이 유럽에서 인정된 출생 전 거의 300년 전에 인도에서 발달한 것이 가능했다는 것을 암시한다.[5]

마드하바의 현존하는 어떤 작품도 현재 마드하바 시리즈라고 일컬어지는 표현에 관한 명시적인 진술을 포함하고 있지 않다.그러나, 닐라칸타 소마야지, 제슈타데바와 같은 천문학과 수학의 케랄라 학파의 후기 회원들의 글에서, 이들 시리즈의 애매한 귀속성을 마드하바에 발견할 수 있다.그것은 또한 이러한 후기 천문학자들과 수학자들의 연구에도 포함되어 있다. 이러한 일련의 팽창에 대한 인도의 증거를 추적할 수 있다.이러한 증거는 마드하바가 그의 시리즈 확장에 도달하기 위해 채택한 접근법에 대한 충분한 증거를 제공한다.

마드하바는 무한이라는 개념에 다소 긴장해 있던 대부분의 이전 문화들과는 달리 무한, 특히 무한 시리즈를 가지고 노는 것이 더없이 기뻤다.그는 숫자 1을 1/2+4+8+16 등을 더하면 근사치가 되지만 (고대 이집트인과 그리스인들도 알고 있었듯이) 1의 정확한 합계는 무한히 많은 분수를 더해야 얻을 수 있다는 것을 보여주었다.그러나 마드하바는 더 나아가 무한 계열의 사상을 기하학과 삼각법과 연결시켰다.그는 무한대에 서로 다른 홀수 분율을 연속적으로 더하고 빼냄으로써 파이를 위한 정확한 공식(이것은 라이프니즈가 유럽에서 같은 결론에 도달하기 2세기 전의 일이었다)을 얻을 수 있다는 것을 깨달았다.[6]

마드하바의 현대식 표기법 시리즈

케랄라 학파의 수학자들과 천문학자들의 저술에서 마드하바의 시리즈는 당시 유행했던 용어와 개념으로 설명되어 있다.우리가 이러한 사상을 현대 수학의 명제와 개념으로 번역할 때, 우리는 마드하바 시리즈의 현재 등가물을 얻는다.마드하바에 의해 발견된 무한 시리즈 표현식의 이러한 현재의 상대는 다음과 같다.

아니요. 시리즈 이름 그 시리즈의 서양 발견자들
그리고 대략적인 발견[7] 날짜
1 sin x = xx3/3! + x5/5!x7/7! + ... 마드하바의 사인 시리즈 아이작 뉴턴 (1670년)과 빌헬름 라이프니즈 (1676년)
2 x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... 마드하바의 코사인 시리즈 아이작 뉴턴 (1670년)과 빌헬름 라이프니즈 (1676년)
3 아크탄 x = x - x3/3 + x5/5 - x/77 + ... 마드하바의 아크탄젠트 시리즈 제임스 그레고리(1671)와 빌헬름 라이프니즈(1676)
4 π/4 = 1 − 1/3 + 1/51/7 + ... 마드하바의 π 공식 제임스 그레고리(1671)와 빌헬름 라이프니즈(1676)

마드하바 시리즈 "마드하바 자신의 말

마드하바의 작품 중 그에게 귀속된 시리즈 표현 중 어떤 것도 살아남지 못했다.이러한 시리즈 표현은 케랄라 학파의 마드하바 추종자들의 글에서 찾아볼 수 있다.많은 장소에서 이 작가들은 이것들이 "마드하바가 말한 대로"라고 분명히 말했다.따라서 탄트라삼그라하와 그 논평에서 발견된 다양한 시리즈들의 발음은 "마드하바 자신의 말"에 있다고 안전하게 가정할 수 있다.산카라 변수르(서카)의 탄트라삼그라하(일명 탄트라삼그라하-야끼하)의 유키디피카 논평에 주어진 관련 구절의 번역.1500 - 1560 CE)는 다음과 같이 재현된다.그리고 이것들은 현재의 수학적인 개념으로 표현된다.[8][9]

마드하바의 사인 시리즈

마드하바 자신의 말로

마드하바의 사인 시리즈는 산카라 변수(Sankara Variar)의 육티디피카 해설(Tantrasamgraha-vyakhya) 2.440절과 2.441절에 명시되어 있다.그 구절의 번역이 뒤따른다.

호를 호의 정사각형으로 곱하고 그 결과를 반복한다(임의의 횟수).(위 각 분자)를 그 숫자로 증가시키고 반지름의 제곱을 곱하여 연속 짝수의 제곱으로 나눈다.호와 연속적인 결과를 다른 결과보다 아래에 놓고 위의 결과에서 각각을 뺀다.이것들이 함께 지바를 주는데, 그것은 "vidvan" 등으로 시작하는 구절에서 함께 모은 것이다.

현대적 개념의 렌더링

r은 원의 반지름을 나타내며 호 길이를 표시한다.

  • 다음과 같은 숫자가 먼저 형성된다.
  • 그런 다음 이것들은 운문에 명시된 양으로 나눈다.
  • 호와 연속적인 결과를 서로 아래에 놓고 위의 결과에서 각각을 빼서 지바를 얻으십시오.

현재 표기법으로 변환

원 중앙에 있는 호 s에 의해 하위 각이 되도록 한다.그 다음 s = r θ지바 = r θ.마지막 표현으로 대체하고 단순화하면

사인 함수의 무한 파워 시리즈 확장.

수치 계산을 위한 마드하바의 개혁

'비드반' 등으로 시작하는 구절에서 함께 모인as의 마지막 행.′은 호와 반지름의 특정 값을 쉽게 계산할 수 있도록 하기 위해 마드하바 자신이 도입한 시리즈를 개조한 것을 가리키는 말이다.그러한 개혁을 위해 마드하바는 원의 1/4을 5400분(C 분)으로 간주하고, 그러한 원의 다양한 호를 쉽게 계산하기 위한 계획을 개발한다.R은 C를 측정하는 원의 1/4이 되도록 한다.마드하바는 이미 π에 대한 자신의 시리즈 공식을 이용하여 π의 값을 계산해 놓은 상태였다.[10]이 값, 즉 3.1415926535922를 사용하여 반경 R을 다음과 같이 계산한다.그러면

R = 2 × 5400 / π = 3437.74677078493925 = 3437 아크분 44 아크초 48 60초 = 3437 34 44′ 48′′.

마드하바(Madhava)의 R 반지름 원의 원호 s에 해당하는 지바(jiva)의 표현은 다음과 같다.

마드하바는 이제 다음과 같은 값을 계산한다.

아니요. 표현 가치 카타파야디 시스템의 가치
1 R × (π / 2)3 / 3! 2220′ 39′′ 40′′′ 니-르비-다-냐-르-르-르-르-르-르-르-르-르-르-룽
2 R × (π / 2)5 / 5! 273′ 57′′ 47′′′ 사-르바-르타-라-스트로
3 R × (π / 2)7 / 7! 16′ 05′′ 41′′′ Ka-vīa-ni-ca-ya
4 R × (π / 2)9 / 9! 33′′ 06′′′ 투-나-바-라
5 R × (π / 2)11 / 11! 44′′′ vi-dvn

지바는 이제 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다.

지바 = s - (s / C)3 [ (222020 39′′ 40′′) - (273 c 257 [ ( 47′′) - (s / C)2 [ (16′ 05′′ 41′′′)]2 - (33 0 06′′′) - (s / 2C ) (44′′ ] ) ] ].

이것은 11번째 순서의 Taylor 다항식으로 지바의 근사치를 나타낸다.1분할, 6배수, 5개 소분만을 포함한다.마드하바는 이 수적으로 효율적인 연산 체계를 다음과 같은 단어로 규정한다(육티디피카 2.437절 번역).

vi-dvna-ba-la, ka-vī--a-ni-ca-ya, sa-rva-rtha-la-sthi-ro, 니-rvi-dddha-nga-na-r-r-r-r-rung.이 5개의 숫자를 원주의 4분의 1(5400㎛)로 나눈 호의 제곱에 순서대로 곱하고 다음 숫자에서 뺄 것. (이렇게 얻은 결과와 다음 숫자로 이 과정을 계속한다.)최종 결과를 원주의 4분의 1로 나눈 원호의 입방체로 곱하고 원호에서 빼십시오.

마드하바의 코사인 시리즈

마드하바 자신의 말로

마드하바의 코사인 시리즈는 산카라 변수(Tantrasamgrahha-vyakhya)의 육티디피카 해설(Tantrasamgrahha-vyakhya) 2.442절과 2.443절에 명시되어 있다.그 구절의 번역이 뒤따른다.

호의 제곱에 단위(즉, 반지름)를 곱하고 그 결과를 반복한다(임의의 횟수).(위 각 분자)를 그 숫자로 줄여서 반경의 제곱을 곱하여 연속 짝수의 제곱으로 나눈다.그러나 첫 번째 용어는 (지금은) 반지름의 2배로 나뉜다.연속적인 결과를 다른 결과보다 아래에 놓고 위의 결과에서 각각을 뺀다.이것들은 스테나, 스트립 등으로 시작하는 시에서 함께 모아진 śara를 준다.

현대적 개념의 렌더링

r은 원의 반지름을 나타내며 호 길이를 표시한다.

  • 다음과 같은 숫자가 먼저 형성된다.
  • 그런 다음 이것들은 운문에 명시된 양으로 나눈다.
  • 호와 연속적인 결과를 서로 아래에 놓고 위의 결과에서 각각을 빼서 araara를 얻으십시오.

현재 표기법으로 변환

중앙에 있는 호 s에 의해 하위 각이 되도록 한다.그 다음 s = śara = r(1 - cos θ).마지막 표현으로 대체하고 단순화하면

코사인 함수의 무한 파워 시리즈 확장이 가능하지

수치 계산을 위한 마드하바의 개혁

스테나, 스트립 등으로 시작하는 구절에서 함께 모아진 asas의 마지막 행은 마드하바 자신이 호와 반지름의 특정 값에 대한 쉬운 연산을 위해 시리즈를 편리하게 하기 위해 도입한 개조에 대한 참고문헌이다.사인 시리즈의 경우처럼 마드하바는 원의 1/4을 5400분(: C분)으로 간주하고 그러한 원의 다양한 호들의 śara′s를 쉽게 계산하기 위한 계획을 개발한다.R은 C를 측정하는 원의 1/4이 되도록 한다.그 후 사인 계열의 경우와 마찬가지로 마드하바는 R = 3437′ 44′ 48′을 받는다.

마드하바의 R 반지름 원호 원호 중 어떤 호 s에 해당하는 correspondingara에 대한 표현은 다음과 같다.

마드하바는 이제 다음과 같은 값을 계산한다.

아니요. 표현 가치 카타파야디 시스템의 가치
1 R × (π / 2)2 / 2! 4241′ 09′′ 00′′′ u-na-dha-krt-bhu-reva
2 R × (π / 2)4 / 4! 872′ 03′′ 05 ′′′ 음-나-나-라-심-하
3 R × (π / 2)6 / 6! 071′ 43′′ 24′′′ 바드라냐바냐바냐바냐바냐나
4 R × (π / 2)8 / 8! 03′ 09′′ 37′′′ 수-가-나-가-가-가-가-가-가-가-가.
5 R × (π / 2)10 / 10! 05′′ 12′′′ 스트로피-피-나
6 R × (π / 2)12 / 12! 06′′′ 스테나

이제 araara는 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다.

śara = (s / C)2 [ (4241′ 09′′ 00′′′) − (s / C)2 [ (872′ 03′′ 05 ′′′) − (s / C)2 [ (071′ 43′′ 24′′′) − (s / C)2[ (03′ 09′′ 37′′′) − (s / C)2 [(05′′ 12′′′) − (s / C)2 (06′′′) ] ] ] ] ]

이것은 12번째 순서의 테일러 다항식(Taylor polyomial)에 의해 śara의 근사치를 나타낸다.이것은 또한 1개의 분할, 6개의 승수, 5개의 소급만을 포함한다.마드하바는 이 수적으로 효율적인 연산 체계를 다음과 같은 단어로 규정한다(육티디피카 2.438절 번역).

6개의 스테나, 스트롱피아구나, 수간디나가누드, 바드랑가바, 므드난고나라시마, 언아다나크르브후레바.호를 원주의 4분의 1로 나눈 정사각형으로 곱하고 다음 수에서 빼라.(결과와 다음 수에서 계속)최종 결과는 Utkrama-jya가 될 것이다.

마드하바의 아크탄젠트 시리즈

마드하바 자신의 말로

마드하바의 아크탄젠트 시리즈는 산카라 변수(Tantrasamgrahha-vyakhya)의 육티디피카 해설(Tantrasamgrahha-vyakhya) 2.206 – 2.209절에 명시되어 있다.구절의 번역은 아래와 같다.[11]예스타데바유키바사에서 이 시리즈에 대한 설명을 했다.[12][13] [14]

이제 같은 주장만으로 원하는 사인(sine)의 호를 결정할 수 있다(만들 수 있다).그것은 다음과 같다.첫 번째 결과는 원하는 사인 및 반경을 호 코사인(cosine)으로 나눈 값이다.사인 사각형을 승수와 코사인 사각형으로 만들면 이제 첫 번째 결과부터 시작하는 (이전) 결과로부터 결과 그룹을 결정한다.이러한 값을 홀수 1, 3 등으로 순서대로 나누고 짝수(숫자) 결과의 합을 홀수(원)의 합에서 빼면 호가 되어야 한다.여기서 사인 및 코사인 중 작은 것을 원하는 (사인)으로 간주해야 한다.그렇지 않으면 반복해서 (계산)해도 결과의 종료는 없을 것이다.

같은 주장을 통해 원주 역시 다른 방법으로 계산할 수 있다.그것은 다음과 같다.첫 번째 결과는 지름의 제곱근을 12로 곱한 값으로 한다.이때부터 결과는 각각 3(인)씩 연속(사례)으로 나눠야 한다.이러한 값을 1부터 시작하는 홀수 순서로 나누고, 홀수의 합에서 (짝짝짝) 결과를 빼면 (짝짝짝) 원주가 되어야 한다.

현대적 개념의 렌더링

원하는 사인(jya 또는 jiva) y의 호가 되자.r을 반지름으로 하고 x를 코사인(코티야)으로 한다.

  • 첫 번째 결과는 r 입니다
  • 승수 및 구분자 x .
  • 결과 그룹 구성:
  • 이 값은 숫자 1, 3 등으로 순서대로 나뉜다.
  • 홀수 결과의 합계:
  • 짝수 결과의 합계:
  • 호는 이제 에 의해 주어진다.

현재 표기법으로 변환

원 중앙에 있는 호 s에 의해 하위 각이 되도록 한다.그 다음 s = , x = kotijya = r cos θ, y = jya = r sin.그러면 y / x = 황갈색.마지막 표현으로 대체하고 단순화하면

  • .

태닝 θ = q 드디어 우리가 갖게 되었다.

원의 원주에 대한 또 다른 공식

인용된 텍스트의 두 번째 부분은 지름 d를 가진 원의 원주 c를 계산하기 위한 또 다른 공식을 명시한다.이것은 다음과 같다.

c = π d이므로 π을 계산하는 공식으로 다음과 같이 재구성할 수 있다.

위의 황갈색−1 q에 대한 시리즈 확장 시 q = / 3 1따라서 θ = π / 6)를 대체하여 얻는다.

π에 대한 다양한 무한 계열의 수렴 비교


π에 대한 두 개의 마드하바 시리즈(암청색에서 1212가 있는 시리즈)와 몇 개의 역사적 무한 시리즈(infinite series)의 수렴 비교. Sn n 을 취한 후의 근사값이다.이후의 각 하위 플롯은 음영 영역을 수평으로 10배 확대한다.(자세한 내용을 보려면 클릭)

참고 항목

참조

  1. ^ Gregory-Madhava 시리즈 참조:"Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Retrieved 11 February 2010.
  2. ^ Gregory-Madhava 시리즈 참조:
  3. ^ "Topic entry on complex analysis : Introduction". PlanetMath.org. Retrieved 10 February 2010. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
  4. ^ Pascal Sebah; Xavier Gourdon (2004). "Collection of series for pi" (PDF). Retrieved 10 February 2010. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
  5. ^ Webb, Phoebe (December 2014). "The Development of Calculus in the Kerala School". TME. 11 (3): 495–512.
  6. ^ Allen, David (2013). How Mechanics Shaped the Modern World (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 156. ISBN 978-3-319-01701-3. 156페이지 추출
  7. ^ Charles Henry Edwards (1994). The historical development of the calculus. Springer Study Edition Series (3 ed.). Springer. p. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.
  8. ^ A.K. Bag (1975). "Madhava's sine and cosine series" (PDF). Indian Journal of History of Science. 11 (1): 54–57. Archived from the original (PDF) on 14 February 2010. Retrieved 11 February 2010.
  9. ^ C.K. Raju (2007). Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmission of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE. History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilisation. Vol. X Part 4. New Delhi: Centre for Studies in Civilistaion. pp. 114–120. ISBN 978-81-317-0871-2.
  10. ^ C.K. Raju (2007). Cultural foundations of mathematics: The nature of mathematical proof and the transmission of calculus from India to Europe in the 16 thc. CE. History of Philosophy, Science and Culture in Indian Civilization. Vol. X Part 4. Delhi: Centre for Studies in Civilizations. p. 119.
  11. ^ C.K. Raju (2007). Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmission of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE. History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilisation. Vol. X Part 4. New Delhi: Centre for Studies in Civilistaion. p. 231. ISBN 978-81-317-0871-2.
  12. ^ J J O'Connor & E F Robertson (November 2000). "Madhava of Sangamagramma". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on 14 May 2006. Retrieved 14 February 2010.
  13. ^ R.C. 굽타, 마드하바-그리고리 시리즈, 수학.교육 7 (1973), B67-B70.
  14. ^ K.V. Sarma, A History of the Kerala School of Hyndo 천문학 (Hoshiarpur, 1972년)

추가 읽기

  • Joseph, George Gheverghese (October 2010) [1991]. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (3rd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7.
  • K. V. Sarma, 힌두 천문학 케랄라 학파의 역사 (호시아르푸르, 1972년)
  • A. K. 백, 마드하바의 사인 앤 코사인 시리즈, 인도 J.역사 공상 과학 11(1) (1976), 54–57.
  • D. Gold와 D Pingree, 지금까지 알려지지 않은 산스크리트어로, 사인 및 코사인 Historyia Sci에 대한 Madhava의 파워 시리즈 파생에 관한 연구.42번(1991년), 49-65번.
  • R. C. 굽타, 마드하바와 다른 중세 인도의 pi 가치, 수학.교육 9 (3)(1975), B45–B48.
  • R. C. 굽타, 마드하바의 사인, 가니타 27 (1–2) (1976), 19–24.
  • R. C. 굽타, 마드하바-라이브니즈 시리즈의 나머지 기간 동안, Ganita Bharati 14 (1–4) (1992), 68–71.
  • R. C. 굽타, 마드하바-그리고리 시리즈, 수학.교육 7(1973), B67–B70).
  • T. 하야시, T. 쿠스바, M.야노, 원의 둘레에 대한 마드하바 계열의 수정, 센타우루스 33 (2–3) (1990), 149–174.
  • R. C. 굽타, tanx용−1 The Madhava-Gregory 시리즈, 인도 수학 교육 저널, 11(3), 107–110, 1991.
  • Kim Plofker (2009). Mathematics in India. Princeton: Princeton University Press. pp. 217–254. ISBN 978-0-691-12067-6.
  • 랑잔 로이의 "라이브니즈, 그레고리, 닐라칸타에 의한 π의 시리즈 공식 발견":
  • Victor J Katz의 "이슬람과 인도의 미적분학 이상":
  • "미적분은 인도에서 발명되었는가?" 데이비드 브레수드가 다음과 같이 말했다.
  • Victor J Katz, ed. (2007). "Chapter 4 : Mathematics in India IV. Kerala School". The mathematics of Egypt, Mesopotemia, China, India and Islam: A source book. Princeton: Princeton University Press. pp. 480–495. ISBN 978-0-691-11485-9.
  • Glen Van Brummelen (2009). The mathematics of the heavens and the earth : the early history of trigonometry. Princeton: Princeton University Press. pp. 113–120. ISBN 978-0-691-12973-0.
  • D. Poubreau, Trigonometrie et "dévelopes en séries" en Index médiévale, I.R.E.M. de l'Université de Toulouse III(2003), 162페이지.OCLC 758823300
  • D. Poubreau, "Sur l'accéération de la convergence de la série de Madhava-Leibniz", Quadrature, n°97(2015), 페이지 17–25.ISBN 978-2-7598-0528-0