정규수

최대 400의 정규 수 사이의 약수 관계에 대한 Hasse 다이어그램입니다.수직 척도는 ^[1]로그입니다.

정수는 60의 거듭제곱(또는 30의 거듭제곱)을 균등하게 나누는 숫자입니다.마찬가지로 2, 3, 5가 유일한 소수인 숫자입니다.예를 들어, 60² = 3600 = 48 × 75이므로, 48과 75의 거듭제곱의 약수는 모두 정규입니다.

이 숫자들은 수학의 여러 영역과 그 응용 분야에서 발생하며, 다른 연구 영역에서 유래한 다른 이름을 가지고 있다.

수론에서, 이 숫자들은 단지 2, 3, 또는 5를 소인수로 가질 수 있기 때문에 5-평활이라고 불립니다.이것은 k보다 $큰$ 소수 인자를 가지지 않는 보다 일반적인 k-평활수의 특정한 경우이다.
바빌로니아 수학 연구에서 60의 거듭제곱을 정수 또는 정육십진수로 부르는데, 바빌로니아 사람들이 숫자를 쓸 때 사용했던 육진수 체계 때문에 이 분야에서 매우 중요하다.
음악 이론에서, 정수는 단지 억양으로 5개의 제한으로 음의 비율로 발생한다.음악 이론과 관련된 건축 이론과 관련하여, 이 숫자들은 조화 정수라고 불려왔다.
컴퓨터 과학에서 정수는 종종 해밍 수라고 불리는데, 리처드 해밍은 이러한 숫자를 오름차순으로 생성하기 위한 컴퓨터 알고리즘을 찾는 문제를 제안했다.이 문제는 기능 프로그래밍의 테스트 케이스로 사용되었습니다.

수론

정규 숫자는 음이 아닌 $정수$ i(\ $displaystyle$ i $i$ $(\displaystyle$ j $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ $및$ k(\ $displaystyle$ k $)$ 의 $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ $2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ $2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ \ $cdot 5$ ^ { $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ $2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ 의 정수입니다. $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ 숫자는 최대 $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ 의 $60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}$ 약수입니다. $il$ i $,/2\rceil,j,k$ 정규수는 5-smooth라고도 불리며 최대 소수 인수가 ^[2]5임을 나타냅니다.보다 일반적으로 k-평활수는 최대 ^[3] $k$ 인 소수입니다.

처음 몇 개의 정수는^[2]

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ...(OEIS의 시퀀스 A051037)

온라인 정수 시퀀스 백과사전의 다른 여러 시퀀스에는 5-스무스 ^[4]숫자가 포함되어 있습니다.

정수는 1에서 60까지의 범위에서 조밀해 보이지만 큰 정수에서는 매우 희박합니다. $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ i $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ j $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ 5 k $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ \ $displaystyle$ n = $2 3$ 3 k \ $cdot$ 3 ^ { j } \ $cdot$ 5 ^ { $k$ }는 $n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}$ 점 $i$ , $(i,j,k)$ , $k )$ 이 $(i,j,k)$ 사면체 평면에 속하는 경우에만 N $(\displaystyle$ $(i,j,k)$ N $)$ 보다 $N$ 작거나 같다.

(\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N , )

2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N

2

2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N

3

2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N

5

2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N

N {\

displaystyle

2

^{i}\cdot

3

^{j}\cdot

5

^{k}\leq

N

2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N

의 양쪽 대수를 취함으로써 알 수 있다. 따라서,

최대

N {\

displaystyle

N

}

인

N

정수의 부피로 추정할 수 있다.

{\frac _{2}N,\log _{3}N,\log _{5}N}{6}}.

더 정확히는 빅 O 표기법을 사용하면 N

(\displaystyle

N

)

까지의

N

정규 숫자는

(\displaystyle {\frac(\ln(N{\sqrt {30})\오른쪽)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}+O(\log N),}

그리고 이것은 근사의 오류의 임기는 실제로 O(로그⁡ 로그 ⁡ N)N{N\displaystyle}까지 3-smooth 숫자 스리니바사 라마누잔의 고드프리 해럴드 하디의 첫번째 편지에서 주어진다의 수에 대한 비슷한 공식 .[2]{O(\log \log N)\displaystyle} 것으로 추측하고 있다.[5]

바빌로니아 수학

AO 6456, 알려지지 않은 초기 출처에서 복사된 셀레우시드 우루크의 정수의 역수 표

바빌로니아식 6진법에서 정수의 역수는 유한한 표현을 가지고 있다. $(\$ $displaystyle$ 60 $^{k$ 이 $n$ $60^{k}$ 를 $60^{k}$ $1/n$ 1/ $(\$ $displaystyle$ $1/n$ 60 $^{$ k}/ $n$ $60^{k}/n$ 의 $1/n$ $60^{k}/n$ (\displaystyle $60^{k}/$ n})에 대한 60진수 표현은 몇 자리 이동됩니다.이를 통해 n $(\displaystyle$ n $n$ 으로 나눈 $1/n$ 다음 $1/n$ 1/ $n$ (\ $displaystyle$ 1/n $1/n$ 으로 곱한 다음 ^[6]시프트하는 숫자로 쉽게 나눌 수 있습니다.

예를 들어, 정수 54 = 23으로¹³ 나눕니다. 54는 60의³ 약수이고 60³/54 = 4000이므로 54로 나누기 위해서는 4000을 곱하고 3자리를 이동해야 한다.6진수 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1 또는 (조이스가 나열한 바와 같이) 1:6:40.따라서 1/54는 1/60 + 6²/60 + 40/60이며³, 바빌로니아 표기법에서는 시작 자릿수의 검정력을 지정하지 않았기 때문에 1:6:40으로 표시되기도 한다.반대로 1/106 = 54/60이므로³, 1:6:40 = 4000으로 나누기 위해서는 54를 곱하고 60진수 자리 3개를 이동해야 한다.

바빌로니아인들은 정수의 역수를 사용한 표를 사용했는데, 그 중 일부는 여전히 ^[7]남아있다.이 표들은 바빌로니아 ^[6]시대 내내 비교적 변하지 않고 존재했다.

비록 다른 수보다 정수를 선호하는 주된 이유는 그들의 역수의 정밀도를 포함하지만, 역수 이외의 일부 바빌로니아의 계산도 정수를 포함했다.예를 들어, 규칙적인 사각 테이블과 깨진 태블릿 플림턴 322Neugebauer에 의해 피타 고라스배 상장(p2− q2,2pq, p2+q2){\displaystyle(p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}p{p\displaystyle}와 q에 의해 생성된{\displaystyle q}둘 다가 r로 해석된 found[6] 왔다즉 유효척골에 ^[8]60도 안 돼요

음악 이론

음악 이론에서, 온음계의 정확한 억양은 정수를 포함한다: 이 음계의 단일 옥타브 음계는 거의 연속적인 ^[9]정수의 시퀀스 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48의 숫자에 비례하는 주파수를 가진다.따라서 이 튜닝을 사용하는 계측기의 경우 모든 피치는 단일 기본 주파수의 정규 번호 고조파입니다.이 척도는 5-한계 튜닝이라고 불리며, 두 피치 사이의 간격은 최대 5의 소수 거듭제곱의 곱 235ⁱ^j^k 또는 정수의 비율로 ^[10]설명할 수 있습니다.

서양 음악의 익숙한 디아토닉 음계 이외의 5한계 음계는 다른 문화의 전통 음악이나 현대 실험 음악에도 사용되고 있다.Honingh & Bod(2005)는 대규모 음계 데이터베이스에서 도출한 31개의 5개 제한 음계를 열거하고 있다.이 31개의 척도는 모두 ^[10]정수의 비율이라는 성질을 디아토닉과 공유합니다.오일러의 톤넷은 나머지 값이 평면 그리드를 ^[10]형성하도록 옥타브 관계(2의 거듭제곱)를 배제함으로써 모든 5-한계 튜닝에서 피치의 편리한 그래픽 표현을 제공한다.일부 음악 이론가들은 일반적으로 정규 숫자는 음조 음악 자체의 기본이고, 5보다 큰 소수에 기초한 음률은 ^[11]자음이 될 수 없다고 언급했습니다.그러나 현대 피아노의 동등한 기질은 5의 ^[12]음정이 아니며, 일부 현대 작곡가들은 ^[13]5보다 큰 소수에 기초한 음정을 실험해 왔다.

음악 이론에서의 정수의 적용과 관련하여, 1개씩 다른 정수의 쌍을 찾는 것이 흥미롭다.이러한 쌍 $,$ x + $(x,x+1)$ )은 $(x,x+1)$ $정확히$ 10개이며, 이러한 쌍은 각각 음악 간격으로서 의미가 있는 초입자 비율 ${\tfrac {x+1}{x}}$ + ${\tfrac {x+1}{x}}$ ( $x,$ $(x,x+1)$ x+1 $)$ 을 정의합니다 ${\tfrac {x+1}{x}}$ .이 간격은 2/1(옥타브), 3/2(완벽한 5번째), 4/3(완벽한 4번째), 5/4(장조 3번째), 6/5(단조 3번째), 9/8(단조 3번째), 10/9(단조 음), 16/15(단조 반음), 25/24(단조 반음), 그리고 81/^[14]80(단조)이다.

르네상스 보편적 조화 이론에서, 음악 비율은 건물의 건축을 포함한 다른 응용 분야에 사용되었다.예를 들어 팔라디오의 건축에서 이러한 공유된 음악 및 건축 비율의 분석과 관련하여, 정수는 또한 조화 ^[15]정수라고도 불립니다.

알고리즘

정수를 오름차순으로 계산하는 알고리즘은 Edsger Dijkstra에 의해 보급되었다.Dijkstra(1976, 1981년)는 모든 5-평활수의 무한 상승 시퀀스를 구축하는 문제를 Hamming에 기인한다.이 문제는 현재 Hamming의 문제로 알려져 있으며, 그렇게 생성된 숫자는 Hamming 수라고도 불린다.이러한 수치를 계산하기 위한 Dijkstra의 아이디어는 다음과 같습니다.

해밍 번호의 시퀀스는 숫자 1로 시작합니다.
시퀀스의 나머지 값은 $(\displaystyle 2h$ $(\displaystyle 3h$ $5h$ $(\displaystyle 5h$ 입니다. $h$ 서 h $(\displaystyle$ h $)$ 는 $h$ 임의의 Hamming 숫자입니다.
따라서 값 1을 출력한 후 $2H$ H (\ $displaystyle 2H$ ), 3 $3H$ $(\$ $displaystyle 3H$ $2H$ $3H$ $5H$ $3H$ (\ $displaystyle 5H$ 를 결합하면 $시퀀스$ H (\ $displaystyle$ 5H)를 $H$ 생성할 수 있습니다.

이 알고리즘은 (암시적으로) 생성된 값당 일정한 수의 산술 연산을 사용하여 동시에 효율적인 구현이 위에서 설명한 것처럼 쉽게 구성되기 때문에 느린 함수 프로그래밍 언어의 힘을 보여주기 위해 자주 사용됩니다.이와 유사하게 효율적인 엄격한 기능적 또는 필수적 순차적 구현도 가능하지만, 명시적으로 동시 생성 솔루션은 ^[16]단순하지 않을 수 있습니다.

파이썬 프로그래밍 언어에서는 정규 번호를 생성하기 위한 느린 함수 코드가 언어 ^[17]구현의 정확성을 위한 내장 테스트 중 하나로 사용됩니다.

Knuth(1989)가 논의한 관련 문제는 태블릿 AO6456의 셀레우시드 시대의 서기관인 Inakibit-Anu가 k $=$ 에 $k=6$ $k=6$ 대해 수행한 것과 마찬가지로 $모든$ k(\ $displaystyle k$ 자리수의 6진수를 오름차순으로 나열하는 것이다.알고리즘적으로 말하면 $({$ 60 $^{k$ })~ $+$ ({ $displaystyle 60^{k+$ 1 $60^{k+1}$ ^[18] $60^{k+1}$ 의 정수의 무한 시퀀스를 (순서대로) 생성하는 것과 같습니다.컴퓨터 코드의 고장 난 다음 그들을 정렬한 통계를 생성한 초기 설명을 참조하십시오 Gingerich(1965년);[19]크누스 좀 더 빨리 여섯 자리 번호를 생성하는라 그 k{\displaystyl의 큰 값에 직접적인 방식으로 일반화하지 않는다 그는 브루인스(1970년)에 특성 애드 혹 알고리즘에 대해 묘사한다.ekm그리고 4.9초 만}. $k$ [18] Eppstein(2007)은 k $\style$ k $k$ ^[20]의 임의의 $k$ 에 대해 이러한 유형의 테이블을 선형 시간으로 계산하는 알고리즘을 기술하고 있습니다 $.$

기타 응용 프로그램

Henninger, Rains & Sloane(2006)은 n ${displaystyle$ n $}$ 이 $n$ 정규수이고 8로 나누어졌을 $때$ n ${displaystyle$ n} $n$ 극단 심지어 단일모듈형 ^[21]격자의 생성함수는 n ${displaystyle$ n $}$ 을 $n$ 보여준다.

평활수의 다른 클래스와 마찬가지로 정수는 시변 데이터에 있어서의 신호의 지배적인 주파수를 해석하는 기술인 고속 푸리에 변환을 실행하는 컴퓨터 프로그램에서 문제 크기로서 중요하다.예를 들어 Temperton(1992)의 방법에서는 변환 길이가 정규수여야 합니다.^[22]

플라톤 공화국의 제8권은 60=12,960,000과⁴ 그 제수를 중심으로 한 결혼에 대한 우화를 포함한다.후대의 학자들은 이 ^[23]구절을 설명하기 위해 바빌로니아 수학과 음악 이론을 둘 다 인용했다.

대나무의 어떤 종은 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60,^[24] 120년의 간격을 가진 예를 포함하여, 다른 종에 따라 다른 간격으로 많은 양의 씨앗을 동시에 방출한다.이 과정의 타이밍과 동기화를 위한 생물학적 메커니즘이 매끄러운 수, 특히 이 경우 5-매끄러운 수에 도움이 된다는 가설이 있다.일부 다른 대나무 종에 대한 추정 주물 간격은 정규 년수가 아니지만, 이는 측정 ^[24]오류로 설명될 수 있습니다.

메모들

^ "Chords, Scale, and divisor grites"에서 Erkki Kureniemi의 유사한 다이어그램에서 영감을 받았습니다.
^ ^a ^b ^c 슬론 "A051037"
^ 포메런스(1995).
^ OEIS는 5-평활도와 관련된 시퀀스를 검색합니다.
^ Bernt & Rankin(1995).
^ ^a ^b ^c 아나보(1965).
^ 삭스(1947).
^ 이 해석에 대한 일반적인 설명은 Conway & Guy(1996)를 참조하십시오.플림프턴 322는 다른 해석도 있는데, 이 해석은 그 기사를 참조하지만 모두 정수를 포함한다.
^ 클라크(1877년).
^ ^a ^b ^c Honingh & Bod (2005년).
^ 예를 들어, 아스무센(2001)은 "어떤 음조 음악에서도" 모든 간격은 정규수의 비율이 되어야 한다고 명시하고 있으며, 하벤스(1889)와 같은 훨씬 이전 작가들의 유사한 진술을 반영하고 있다.현대 음악 이론 문헌에서 이 주장은 종종 롱게트-히긴스(1962)에 기인한다. 롱게트-히긴스는 5개의 제한 음을 구성하기 위해 톤네츠와 밀접한 관련이 있는 그래픽 배열을 사용했다.
^ Kopiez(2003)
^ 울프(2003년.
^ Halsey & Hewitt(1972)는 이것이 Störmer의 정리(Störmer 1897)에 따른 것이라고 지적하고 이 경우의 증거를 제공한다.실버(1971년)도 참조한다.
^ Howard & Longair(1982년).
^ 예를 들어 Hemmender(1988) 또는 Yuen(1992)을 참조하십시오.
^ test_generators.py의 함수 m235.
^ ^a ^b Knuth(1972년.
^ 진저리히(1965).
^ Eppstein (2007)
^ Henninger, Rains & Sloane (2006).
^ 템퍼턴(1992)
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^ ^a ^b Veller, Nowak & Davis (2015).

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외부 링크

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RosettaCode 최대 50개의 프로그래밍 언어로 Hamming_numbers 생성

[1] "Chords, Scale, and divisor grites"에서 Erkki Kureniemi의 유사한 다이어그램에서 영감을 받았습니다.

[FOOTNOTESloane_"A051037"-2] 슬론 "A051037"

[FOOTNOTEPomerance1995-3] 포메런스(1995).

[4] OEIS는 5-평활도와 관련된 시퀀스를 검색합니다.

[FOOTNOTEBerndtRankin1995-5] Bernt & Rankin(1995).

[FOOTNOTEAaboe1965-6] 아나보(1965).

[FOOTNOTESachs1947-7] 삭스(1947).

[8] 이 해석에 대한 일반적인 설명은 Conway & Guy(1996)를 참조하십시오.플림프턴 322는 다른 해석도 있는데, 이 해석은 그 기사를 참조하지만 모두 정수를 포함한다.

[FOOTNOTEClarke1877-9] 클라크(1877년).

[FOOTNOTEHoninghBod2005-10] Honingh & Bod (2005년).

[11] 예를 들어, 아스무센(2001)은 "어떤 음조 음악에서도" 모든 간격은 정규수의 비율이 되어야 한다고 명시하고 있으며, 하벤스(1889)와 같은 훨씬 이전 작가들의 유사한 진술을 반영하고 있다.현대 음악 이론 문헌에서 이 주장은 종종 롱게트-히긴스(1962)에 기인한다. 롱게트-히긴스는 5개의 제한 음을 구성하기 위해 톤네츠와 밀접한 관련이 있는 그래픽 배열을 사용했다.

[FOOTNOTEKopiez2003-12] Kopiez(2003)

[FOOTNOTEWolf2003-13] 울프(2003년.

[14] Halsey & Hewitt(1972)는 이것이 Störmer의 정리(Störmer 1897)에 따른 것이라고 지적하고 이 경우의 증거를 제공한다.실버(1971년)도 참조한다.

[FOOTNOTEHowardLongair1982-15] Howard & Longair(1982년).

[16] 예를 들어 Hemmender(1988) 또는 Yuen(1992)을 참조하십시오.

[17] test_generators.py의 함수 m235.

[FOOTNOTEKnuth1972-18] Knuth(1972년.

[FOOTNOTEGingerich1965-19] 진저리히(1965).

[FOOTNOTEEppstein2007-20] Eppstein (2007)

[FOOTNOTEHeningerRainsSloane2006-21] Henninger, Rains & Sloane (2006).

[FOOTNOTETemperton1992-22] 템퍼턴(1992)

[23] 바튼(1908년); 맥클레인(1974년).

[FOOTNOTEVellerNowakDavis2015-24] Veller, Nowak & Davis (2015).

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v t 나눗셈 기반 정수 집합
개요	정수 인수분해 제수 유니터리 제수 약수 함수 소인수 산술의 기본 정리
인수분해 폼	프라임 컴포지트 세미프라임 프로닉 슈페닉 정사각형 프리 강력한. 완벽한 파워 아킬레스 매끄러운 규칙적인. 거칠다 비일상적인.
제약 제수합	완벽하다 거의 완벽하다 준감염성 곱셈완료 헤미퍼펙트 초완벽 초퍼펙트 유니터리 퍼펙트 반완벽 실용적인. 에르데스-니콜라스
제수가 많다	풍부한 원시 풍족 풍부. 과잉 어마어마하게 높은 컴포지트 뛰어난 컴포지트 이상하다.
Aliquot 시퀀스 관련	언터처블 우호적(트리플) 사교적인 약혼했다
베이스 의존	등치수 사치스럽다 검소한 하샤드 다분할 가능 스미스
기타 세트	산술 부족. 친근하다. 외톨이 숭고함 고조파 제수 데카르츠 리팩터블 초퍼펙트

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