수학의 기초

수학의 기초는 수학의 철학적, 논리적^[1], 알고리즘적 기초에 대한 연구, 또는 더 넓은 의미에서 ^[2]수학의 본질에 관한 철학적 이론의 기초가 되는 것에 대한 수학적 연구이다.이러한 후자의 의미에서는 수학의 기초와 수학의 철학의 구분이 상당히 모호하다는 것이 드러난다.수학의 기초는 기본적인 수학적 개념 (세트, 함수, 기하학적 도형, 숫자 등)과 그것들이 보다 복잡한 구조와 개념의 위계를 형성하는 방법, 특히 수학의 언어를 형성하는 근본적으로 중요한 구조들의 연구로 생각될 수 있습니다.공식, 정의, 증명, 알고리즘 등에 적용) 또한 메타수학 개념으로 불리며, 수학의 철학적 측면과 통일성에 주목한다.수학의 기초를 찾는 것은 수학 철학의 중심 질문이다; 수학 물체의 추상적인 본성은 특별한 철학적 도전을 제시한다.

수학 전체의 기초가 모든 수학 주제의 기초를 포함하는 것을 목표로 하는 것은 아니다.일반적으로 연구의 기초는 가장 기본적이거나 기본적인 개념, 개념적 통일성, 그리고 그것을 나머지 인간의 지식과 연결시키는 데 도움이 될 수 있는 자연스러운 순서 또는 개념의 계층 구조에 대한 다소 체계적인 분석을 말한다.기초의 개발, 출현, 명확화는 한 분야의 역사에서 늦게 나타날 수 있으며, 모든 사람들이 가장 흥미로운 부분으로 여기지는 않을 수 있다.

수학은 과학적 사고에서 항상 특별한 역할을 했고, 고대로부터 이성적인 연구를 위한 진실과 엄격함의 모델 역할을 했고, 다른 과학(특히 물리학)을 위한 도구나 기반을 제공했습니다.19세기에 고등 추상화를 향한 수학의 많은 발전은 수학의 다양한 분과를 일관된 전체로 통합하는 것뿐만 아니라 수학 진리의 본질과 기준에 대한 더 깊고 체계적인 검토를 촉구하면서 새로운 도전과 모순을 가져왔다.

수학의 기초를 찾는 체계적인 연구는 19세기 말에 시작되었고 수학 논리라고 불리는 새로운 수학 분야를 형성했는데, 이것은 후에 이론 컴퓨터 과학에 강한 연관성을 가지고 있었다.그것은 역설적인 결과로 일련의 위기를 겪었고, 20세기 동안 세부적인 특성과 가능한 변형이 여전히 활발한 연구 분야인 여러 측면과 구성 요소(세트 이론, 모델 이론, 증명 이론 등)를 가진 크고 일관성 있는 수학 지식의 집합체로서 발견이 안정될 때까지.이것의 높은 수준의 기술적 정교함은 많은 철학자들이 그것이 다른 과학의 기초에 모델이나 패턴으로 작용할 수 있다는 추측을 하게 만들었다.

이력 컨텍스트

고대 그리스 수학

수학의 실천은 이전에 다른 문명에서 발전해 왔지만, 그것의 이론적이고 근본적인 측면에 대한 특별한 관심은 고대 그리스인들의 작업에서 분명히 드러났습니다.

초기 그리스 철학자들은 산수와 기하 중 어느 것이 더 기본적인지에 대해 논쟁을 벌였다.엘레아의 제노(기원전 490년–기원전 430년)는 변화의 불가능성을 보여주는 네 가지 역설을 내놓았다.피타고라스 수학 학파는 원래 자연수와 유리수만 존재한다고 주장했다.제곱의 대각선과 변의 비율(기원전 5세기경)인 2파운드의 불합리성은 그들에게 충격이었고 그들은 마지못해 받아들였을 뿐이다.유리와 실수의 차이는 플라톤의 제자 크니두스의 에우독소스에 의해 마침내 해결되었는데, 그는 두 비합리적인 비율을 관련된 크기의 배수들의 비교로 줄였다.그의 방법은 리하르트 데데킨트(1831–^[3]1916)에 의한 현대적 실수의 정의에서 데데킨트의 절단을 예측했다.

사후 분석에서, 아리스토텔레스 (기원전 384–322)는 원시 개념, 공리, 가정, 정의, 그리고 정리에 의해 논리적으로 지식 분야를 구성하는 공리적인 방법을 정했다.아리스토텔레스는 이에 대한 그의 사례의 대부분을 산수와 기하학에서 가져왔다.이 방법은 매우 높은 수준의 엄격함으로 구성된 수학에 대한 논문인 유클리드의 요소(기원전 300년)에서 최고조에 달했다.유클리드는 각 명제를 삼단논법의 사슬 형태로 설명함으로써 정당화한다.아리스토텔레스의 삼단논리학적 논리는 유클리드의 원소가 예시하는 공리적인 방법과 함께 고대 그리스의 과학적 업적으로 인정받고 있다.

수학 철학으로서의 플라톤주의

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19세기 말부터 수학에 대한 플라톤주의 관점은 실천하는 ^{[citation needed]}수학자들 사이에서 보편화 되었다.

개념, 혹은 플라톤주의자들이 가지고 있는 것처럼 수학의 대상은 추상적이고 일상적인 지각 경험으로부터 멀리 떨어져 있다: 기하학적 형상은 물체의 효과적인 도면이나 모양과 구별되는 이상적인 것으로 생각되며, 숫자는 구체적인 물체의 세기와 혼동되지 않는다.그들의 존재와 자연은 특별한 철학적 문제를 제기한다.수학적 사물은 구체적인 표현과 어떻게 다릅니까?그들은 그들의 대표 안에 있는가, 우리의 마음 속에 있는가, 아니면 다른 곳에 있는가?어떻게 알 수 있죠?

고대 그리스 철학자들은 그러한 질문을 매우 진지하게 받아들였다.사실, 그들의 많은 일반적인 철학적인 논의는 기하학과 산수에 대한 광범위한 언급으로 이루어졌다.플라톤 (기원전 424/423–기원전 348/347)은 수학적인 사물이 인간으로부터 독립된 수학적인 사물의 세계에서, 다른 플라톤 사상과 마찬가지로 완벽하게 추상적이고 물질적이지 않은 별개의 존재를 가져야 한다고 주장했다.그는 이러한 물체에 대한 진실 또한 인간의 마음과 독립적으로 존재하지만, 사람에 의해 발견된다고 믿었다.메노 플라톤의 스승 소크라테스는 기억 회복과 유사한 과정을 통해 이 진실을 알게 될 수 있다고 주장한다.

플라톤의 학원으로 가는 입구 위에는 "기하학에 무지한 사람은 이곳에 들어오지 말라"는 유명한 글귀가 있었다.이런 식으로 플라톤은 기하학에 대한 그의 높은 평가를 나타냈다.그는 기하학의 추상적인 성격 때문에 기하학을 "철학자를 훈련시키는 데 있어 가장 중요한 것"으로 여겼다.

플라톤주의 수학적 사실주의의 이 철학은 많은 ^{[citation needed]}수학자들에 의해 공유된다.어떤 작가들은 플라톤주의가 어떤 수학적 ^[4]작업의 기초가 되는 필수 가정으로 어떻게든 온다고 주장한다.

이러한 관점에서 자연의 법칙과 수학의 법칙은 비슷한 지위를 가지며, 그 효과는 더 이상 불합리하지 않게 된다.우리의 공리가 아니라 수학적인 물체의 실제 세계가 기초를 형성합니다.

아리스토텔레스는 그의 형이상학에서 이 관점을 해부하고 거부했다.이 질문들은 철학적 분석과 토론에 많은 동력을 제공한다.

아리스토텔레스적 사실주의

중세시대와 르네상스

유클리드의 원소는 수학자, 철학자, 과학자들을 19세기까지 인도한 합리적인 탐구 방법론 때문에 2,000년 이상 동안 수학의 완벽한 기초가 되었다.

중세 시대에는 보편적 존재론적 지위(플라톤적 아이디어)에 대한 논쟁이 있었다.사실주의는 인식으로부터 독립적으로 그들의 존재를 주장했고, 개념주의는 그들의 마음속에만 존재한다고 주장했으며, 명목주의는 둘 다 부정했고, 단지 보편을 개별 사물의 집합의 이름으로 보았다.

르네 데카르트는 좌표계를 이용하여 기하학을 대수학으로 축소하는 것을 목표로 한 La Géométrie (1637년)를 출판했고, 대수에 보다 근본적인 역할을 부여했다(그리스인들은 현재 실수로 불리는 숫자를 정의하기 위해 길이를 사용했다.데카르트의 책은 1649년 이후에 유명해졌고 미적분학의 길을 열었다.

영국의 아이작 뉴턴 (1642–1727)과 독일의 라이프니츠 (1646–1716)는 새로운 기초를 필요로 하는 기초 위에서 독립적으로 극소 미적분을 개발했다.특히, 라이프니츠는 무한소수를 수학의 이전의 기본 틀에 맞지 않고 20세기 이전에 공식화되지 않은 개념인 0에 무한히 가까운 숫자로 묘사했다.수학의 기초에 대한 극소 미적분의 강한 의미는 개신교 철학자 조지 버클리 (1685–1753)의 팜플렛에서 설명되는데, 그는 "인피니티시멀"이 유한하지도 않고, 무한히 작은 양도 아니며, 아직 아무것도 아니다.우리는 그들을 죽은 양의 유령이라고 부르지 않을 수 없을까?^[5]라이프니츠는 또한 논리학을 연구했지만 1903년까지 논리에 대한 그의 대부분의 글은 출판되지 않았다.

그리고 나서 수학은 물리적 응용 분야에서 매우 빠르고 성공적으로 발전했다.

19세기

19세기에 수학은 점점 추상화 되었다.서로 다른 분야의 논리적 격차와 불일치에 대한 우려는 자명한 시스템의 발전으로 이어졌다.

실제 분석

코시(1789–1857)는 초기 저자들이 착취한 대수 일반성의 발견적 원리를 거부하면서 극소 미적분의 이론을 엄밀한 방식으로 공식화하고 증명하는 프로젝트를 시작했다.그의 1821년 작품 Cours d'Analyse에서 그는 0으로 수렴하는 시퀀스의 감소 측면에서 무한히 적은 양을 정의했고, 그 후 연속성을 정의하는데 사용했다.그러나 그는 융합에 대한 그의 개념을 공식화하지 않았다.

한계와 연속 함수의 현대적 (,, )) 정의는 1817년 볼자노에 의해 처음 개발되었지만, 상대적으로 알려지지 않았다.그것은 실수의 집합에 기초한 미적분의 엄격한 기초를 제공하고, 거의 틀림없이 제노 역설과 버클리 대학의 주장을 해결한다.

칼 바이어스트라스(1815–1897)와 같은 수학자들은 어디에서도 구별되지 않는 연속적인 함수들과 같은 병리학적 함수를 발견했다.함수를 계산 규칙 또는 부드러운 그래프로 간주하는 이전의 개념은 더 이상 적절하지 않았다.바이얼스트래스는 자연수의 특성을 이용한 분석을 공리화하기 위해 분석의 산술화를 주장하기 시작했다.

1858년, 데데킨트는 유리수의 절단으로 실수의 정의를 제안했다.유리수와 자연수의 관점에서 실수와 연속 함수의 감소는 나중에 칸토어에 의해 그의 집합론에서 통합되었고 힐버트와 버네이에 의해 2차 산술의 관점에서 공리화 되었다.

군론

수학의 한계가 처음으로 탐구되었다.노르웨이인인 닐스 헨리크 아벨 (1802–1829)과 프랑스인인 에바리스 갈로아 (1811–1832)는 다양한 다항식들의 해답을 조사했고, 4보다 큰 차수의 방정식에 일반적인 대수적 해법이 없다는 것을 증명했다.이러한 개념으로, Pierre Wantzel (1837)은 직선 모서리와 나침반만으로는 임의의 각도를 삼등분할 수 없고 입방체를 두 배로 만들 수 없다는 것을 증명했다.1882년, 에르미트의 작품을 바탕으로 한 린데만 건축은 θ가 초월수라는 것을 증명함으로써 원의 직선 및 나침반 직교(사각형의 면적이 주어진 원과 같은 구성) 또한 불가능하다는 것을 보여주었다.수학자들은 고대 그리스 시대부터 이 모든 문제들을 풀려고 시도했지만 허사였다.

아벨과 갈로아의 작품은 집단 이론과 추상 대수학의 발전의 길을 열었다.벡터 공간의 개념은 1827년 뫼비우스에 의한 중심 좌표의 개념에서 1888년 페아노에 의한 벡터 공간과 선형 지도의 현대적인 정의에 이르기까지 나타났다.기하학은 더 이상 3차원으로 제한되지 않았다.이러한 개념은 숫자를 일반화하지 않고, 아직 공식화되지 않은 함수와 집합의 결합 개념으로, 익숙한 수학적 객체에서 벗어났다.

비유클리드 기하학

다른 공리에서 평행한 공식을 도출하려는 많은 시도가 실패한 후, 요한 하인리히 램버트 (1728–1777)의 여전히 가설인 쌍곡 기하학에 대한 연구는 그가 쌍곡 함수를 도입하고 쌍곡 삼각형의 면적 (각도의 합이 180° 미만인 곳)을 계산하도록 이끌었다.그 후 러시아 수학자 니콜라이 로바체프스키(1792–1856)는 1826년 (그리고 1829년)에 헝가리 수학자 야노스 볼야이(1802–1860) 및 가우스와 평행하게 이 기하학의 일관성을 확립했다.19세기 후반, 독일의 수학자 베른하르트 리만은 평행선을 찾을 수 없고 삼각형의 각도의 합이 180° 이상인 또 다른 비유클리드 기하학인 타원 기하학을 개발했다.그것은 고정된 구와 선에서 한 쌍의 대척점을 의미하는 점을 정의함으로써 일치함을 증명했다.그 당시 일련의 공리들의 일관성을 증명하는 주요 방법은 그것에 대한 모델을 제공하는 것이었다.

투영 형상

연역체계의 함정 중 하나는 순환추론인데, 칼 폰 슈타우트에 의해 해결될 때까지 사영기하학이 될 것으로 보였던 문제였습니다.러시아 역사학자들의 ^[6]설명에 따르면:

19세기 중반에 사영 기하학에서 합성 및 분석 방법의 지지자들 사이에 신랄한 논쟁이 있었고, 양측은 서로 사영과 미터법의 개념을 혼합하고 있다고 비난했다.실제로 투영 기하학의 합성 표현에 적용되는 기본 개념인 선의 네 점의 교차 비율은 간격 길이를 고려하여 도입되었다.

von Staudt의 순수 기하학적 접근은 투영적 조화 공역들의 관계를 표현하기 위해 완전한 사변형에 기초했다.그리고 나서 그는 던지기 대수학을 통해 친숙한 숫자 특성을 표현하는 수단을 만들었다.한 분야의 특성을 추론하는 이 과정의 영어 버전은 오스왈드 베블렌과 존 영의 책, 투영 기하학(1938) 또는 더 최근의 존 스틸웰의 기하학 네 기둥(2005)에서 찾을 수 있다.Stillwell은 120페이지에 씁니다.

투영 기하학은 어떤 의미에서는 대수학보다 간단하다. 왜냐하면 우리는 9개의 필드 공리를 도출하기 위해 5개의 기하학적 공리를 사용하기 때문이다.

투구의 대수는 일반적으로 학생들이 기초에 대한 걱정 없이 숫자에 의존하기 때문에 교차 비율의 특징으로 여겨진다.그러나 교차 비율 계산에서는 순수주의자가 인정하지 않는 형상인 기하학의 메트릭 특성을 사용합니다.예를 들어, 1961년에 콕서터는 교차 비율에 대한 언급 없이 기하학 입문서를 썼다.

부울 대수 및 논리

수학에 대한 공식적인 취급 시도는 라이프니츠와 램버트 (1728–1777년)에서 시작되었고 조지 피콕 (1791–1858년)과 같은 대수학자들의 작품으로 이어졌다.논리학의 체계적인 수학적 처리는 영국의 수학자 조지 불(1847)과 함께 왔고, 그는 곧 현재 부울 대수라고 불리는 대수학을 발명했다.그 대수에서는 유일한 숫자가 0과 1이었고 논리 조합(접합, 분리, 함의와 부정)은 덧셈과 곱셈과 유사한 연산이다.정수 이온화게다가, De Morgan은 1847년에 그의 법을 발표했다.그래서 논리는 수학의 한 분야가 되었다.부울 대수는 수학 논리의 출발점이며 컴퓨터 과학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있습니다.

찰스 샌더스 피어스는 1870년부터 1885년까지 여러 논문에 발표한 관계와 양자를 위한 논리 체계를 개발하기 위해 불의 업적을 바탕으로 만들었습니다.

독일의 수학자 고틀롭 프레게(1848–1925)는 1879년에 출판된 그의 Begriffsschrift(공식 언어)에서 양자를 사용하여 논리의 독립적인 발전을 제시했는데, 이것은 일반적으로 논리 역사의 전환점으로 여겨진다.그는 아리스토텔레스 논리학의 결함을 드러냈고, 수학^{[citation needed]} 이론의 예상되는 세 가지 특성을 지적했다.

1. 일관성: 모순된 진술을 입증하는 것은 불가능하다.
2. 완전성: 모든 진술은 입증 가능 또는 반박 가능(즉, 부정은 입증 가능)
3. 결정 가능성: 이론의 모든 진술을 테스트하는 결정 절차가 있습니다.

그리고 나서 그는 그룬지제 데 산술적 기본 법칙에서 산술이 그의 새로운 논리에서 어떻게 공식화될 수 있는지를 보여주었다.

프레지의 작품은 세기가 바뀔 무렵 버트런드 러셀에 의해 대중화 되었다.하지만 프레게의 2차원 표기법은 성공하지 못했다.1935년 게르하르트 젠첸에 의해 symbol 기호가 도입되어 1960년대에 규범화되기 전까지는 주세페 페아노와 윌리엄 어니스트 존슨에 의해 나온 (x) 보편적 수식어와 (xx) 실존적 수식어였다.

1890년부터 1905년까지, 에른스트 슈뢰더는 세 권으로 볼레숭겐 위버 다이 대수 데 로지크를 출판했다.이 작품은 불, 드 모르간, 피어스의 작업을 요약하고 확장한 것으로, 19세기 말에 이해된 상징 논리에 대한 포괄적인 언급이었다.

페아노 산술

산수를 자명한 이론으로 공식화한 것은 1881년 피어스에서 시작해 1888년 리처드 데데킨드와 주세페 페아노에서 이어졌다.1차 논리에서의 이론 표현에 대한 우려가 아직 이해되지 않았기 때문에, 이것은 여전히 2차 공리화(임의적인 부분 집합의 관점에서 귀납을 표현, 따라서 집합론의 암묵적인 사용)였다.데데킨드의 연구에서, 이 접근법은 자연수를 완전히 특징짓고 후속 함수와 수학적 귀납으로부터 덧셈과 곱셈의 재귀적 정의를 제공하는 것으로 보인다.

근본적 위기

수학의 근본적인 위기는 수학의 적절한 기초를 찾기 위한 20세기 초 용어였다.

수학이 수학 그 자체에서 일관되게 진술할 수 있는 어떤 기초가 있다는 가정이 다양한 역설의 발견으로 큰 도전을 받으면서, 수학 철학의 몇몇 학파들은 20세기에 잇따라 어려움에 직면했다.

"paradox"라는 이름을 모순과 혼동해서는 안 됩니다.형식 이론의 모순은 이론 내부의 부조리에 대한 형식적인 증거이다(2 + 2 = 5 등). 이 이론은 일관성이 없고 거부되어야 한다는 것을 보여준다.그러나 역설은 주어진 공식 이론에서 놀랍지만 참된 결과일 수도 있고, 모순으로 이어지는 비공식적인 논쟁일 수도 있다. 그래서 후보 이론은 공식화된다면 적어도 하나의 단계를 허용하지 말아야 한다; 이 경우, 문제는 모순 없이 만족스러운 이론을 찾는 것이다.주장의 공식화된 버전이 놀라운 진실의 증거를 형성한다면 두 가지 의미가 모두 적용될 수 있다.예를 들어, 러셀의 역설은 "모든 집합의 집합은 없다"로 표현될 수 있다.

여러 학파가 서로 반대했다.선도적인 학파는 형식주의자들의 학파였고, 데이비드 힐버트는 그 중 가장 선두적인 지지자였고, 메타메트릭학적 최종적 수단으로 입증된 논리체계의 작은 기초 위에 수학을 기초하고자 하는 힐버트의 프로그램으로 알려진 것에 정점을 찍었다.형식주의 학파의 주된 반대자는 L. E. J. 브루어가 이끄는 직관주의 학파로,^[7] 형식주의를 상징을 가진 무의미한 게임으로 단호히 버렸다.그 싸움은 신랄했다.1920년 힐베르트는 그가 수학에 위협적이라고 여겼던 브루어를 그 시대의 선도적인 수학 저널인 매트리셰 아날렌의 편집 위원회에서 퇴출시키는 데 성공했다.

철학관

20세기 초에 수학 철학의 세 학파는 서로 반대했다.형식주의, 직관주의, 논리주의.1930년 쾨니히스베르크에서 열린 제2차 정확한 과학 인식론 컨퍼런스는 이 세 학파에 공간을 주었다.

형식주의

데이비드 힐버트 (1862–1943)와 같은 형식주의자들은 수학은 단지 언어와 일련의 게임일 뿐이라고 주장해왔다.실제로 그는 1927년 L. E. J. 브루어의 비판에 대한 답변에서 "공식 게임"이라는 단어를 사용했다.

그리고 이렇게 포뮬러 게임이 얼마나 성공적이었을까?이 공식 게임은 수학 과학의 사고 내용을 통일되게 표현하고 동시에 개별 명제와 사실 사이의 상호 연관성을 명확히 하는 방식으로 발전시킬 수 있도록 한다.브루어가 그렇게 비난하고 있는 공식 게임은 수학적 가치 외에도 중요한 일반적인 철학적 의미를 가지고 있다.이 공식 게임은 우리의 사고 기술이 표현되는 일정한 규칙에 따라 진행됩니다.이러한 규칙은 발견되고 명확하게 ^[8]진술될 수 있는 폐쇄적인 시스템을 형성합니다.

따라서 힐버트는 수학은 임의적인 규칙을 가진 임의적인 게임이 아니라 우리의 사고, 그리고 우리의 말하기와 쓰기가 진행되는 ^[8]방식과 일치해야 한다고 주장한다.

우리는 여기서 어떤 의미에서든 독단적인 것에 대해 말하는 것이 아니다.수학은 임의로 정해진 규칙에 따라 과제가 결정되는 게임이 아니다.오히려, 그것은 오직 그럴 수 있을 뿐 다른 ^[9]방법으로는 결코 있을 수 없는 내적 필요성을 지닌 개념적 시스템이다.

데이비드 힐버트에 의해 예시된 형식주의의 근본 철학은 집합론의 역설에 대한 반응이며 형식 논리에 기초한다.오늘날 거의 모든 수학 정리는 집합론의 정리로 공식화될 수 있다.이 관점에서 수학적 진술의 진실은 진술이 형식 논리의 규칙을 사용하여 집합론의 공리로부터 도출될 수 있다는 사실에 의해 표현된다.

형식주의의 사용만으로는 몇 가지 문제를 설명할 수 없습니다.왜 우리가 하는 공리를 사용해야 하는지, 왜 다른 것이 아닌 논리적인 규칙을 사용해야 하는지, 왜 "진정한" 수학적 진술이 사실로 보이는지 등등입니다.헤르만 바일은 힐베르트에게 다음과 같은 질문을 할 것이다.

주어진 것보다 훨씬 더 많은 것을 강요하는 이 세계의 이론적인 구조에 "진실"이나 객관성이 있다고 할 수 있는 것은 심오한 철학적 문제이다.그것은 다음 질문과 밀접하게 관련되어 있다: 무엇이 우리가 힐버트에 의해 개발된 특정한 공리 체계를 정확히 기초로 삼도록 강요하는가?일관성은 확실히 필요하지만 충분한 조건은 아니다.당분간 우리는 ^[10]이 질문에 대답할 수 없을 것이다.

어떤 경우에는 이러한 질문들이 역수학이나 계산 복잡도 이론과 같은 학문에서 형식 이론의 연구를 통해 충분히 대답될 수 있다.와일(Weyl)이 지적한 바와 같이, 형식 논리체계는 모순의 위험도 수반한다; 페아노 산술에서는, 이것은 이미 일관성의 몇 가지 증명으로 해결되었지만, 그것들이 충분히 의미가 있는지 없는지에 대한 논란이 있다.괴델의 두 번째 불완전성 정리는 산술의 논리체계는 결코 그들 자신의 일관성에 대한 유효한 증거를 포함할 수 없다는 것을 확립한다.힐버트가 하고 싶었던 것은 논리 시스템 S가 일관성이 있다는 것을 증명하는 것이었습니다.원칙 P는 S의 극히 일부에 불과했습니다.그러나 괴델은 원리 P가 S는 말할 것도 없고 P가 일관성이 있다는 것조차 증명할 수 없다는 것을 증명했다.

직관주의

L. E. J. 브루어 (1882–1966)와 같은 직관주의자들은 수학은 인간의 정신의 창조물이라고 주장한다.숫자는 동화 속 인물과 마찬가지로 인간의 생각이 없다면 존재하지 않을 정신적인 실체일 뿐이다.

직관주의나 구성주의의 근본 철학은 브루어와 스테판 클린이 극단적으로 설명한 것처럼 자연에서 "건설적"인 증거를 필요로 한다. - 물체의 존재는 존재하지 않는 것의 증명으로부터 추론하기 보다는 증명되어야 한다.예를 들어, 그 결과, 불합리한 환원이라고 알려진 증명 형태가 의심된다.

수학 철학의 일부 현대 이론들은 본래의 의미에서의 기초의 존재를 부정한다.어떤 이론들은 수학 연습에 초점을 맞추는 경향이 있고, 사회적 집단으로서 수학자들의 실제 활동을 묘사하고 분석하는 것을 목표로 한다.다른 사람들은 수학의 인지과학이 실제 세계에 적용되었을 때 수학의 신뢰성의 근원으로서 인간의 인지에 초점을 맞추면서 수학의 인지과학의 창조를 시도한다.이 이론들은 오직 인간의 생각에서만 기초를 찾을 것을 제안할 것이며, 외부의 어떤 객관적인 구성에서는 찾을 수 없을 것이다.그 문제는 여전히 논란의 여지가 있다.

논리주의

논리학은 수학이 논리의 연장선상에 있거나 수학의 일부 또는 모든 수학이 공리와 추론 규칙이 본질적으로 '논리적인' 적절한 형식 체계에서 파생될 수 있다는 논리에 기초한 수학 철학의 사고와 연구 프로그램이다.버트런드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 고틀롭 프레게가 시작하고 리처드 데데킨드가 영향을 준 이 이론을 옹호했다.

집합이론 플라톤주의

자명한 집합론의 많은 연구자들은 Kurt Gödel에 의해 대표되는 집합이론 플라톤주의라고 알려진 것에 동의했습니다.

몇몇 집합 이론가들은 이 접근법을 따랐고 발견적 이유로 사실로 간주될 수 있고 연속체 가설을 결정할 수 있는 공리를 적극적으로 찾아냈다.많은 큰 기본 공리가 연구되었지만, 가설은 항상 그것들로부터 독립적이었고, 이제 CH가 새로운 큰 기본 공리에 의해 해결될 수 있을 것 같지 않은 것으로 여겨진다.다른 유형의 공리들도 고려되었지만, 그 중 어느 것도 연속체 가설에 대한 합의에 이르지 못했다.햄킨스의 최근 연구는 보다 유연한 대안을 제시한다: 연속체 가설을 만족시키는 집합 이론 우주와 그렇지 않은 다른 우주들 사이에 자유로운 통행을 허용하는 집합 이론 다중 우주.

리얼리즘을 위한 필수불가결성

윌러드 콰인과 힐러리 퍼트남의 주장은 (푸트남의 짧은 말로) 말한다.

수학적인 실체에 대한 수량화는 과학에 필수불가결하다.그러므로 우리는 그러한 수량을 받아들여야 한다. 그러나 이것은 우리에게 문제의 수학적 실체의 존재를 받아들이도록 약속한다.

그러나 푸트남은 플라톤주의자가 아니었다.

리얼리즘의 리얼리즘

논리주의, 형식주의 또는 다른 철학적 입장보다 일상적으로 작업하는 수학자는 거의 없다.대신, 그들의 주된 관심사는 수학적인 기업 전체가 항상 생산성이 유지된다는 것입니다.일반적으로 이들은 이것이 개방적이고 실용적이며 바쁘게 유지됨으로써 보장된다고 보고 있으며, 지나치게 이념적이거나 광신적으로 환원주의적이거나 게으름뱅이가 됨으로써 잠재적으로 위협을 받고 있다고 보고 있습니다.

그러한 견해는 몇몇 유명한 물리학자들에 의해서도 표현되었다.

예를 들어, 물리학 노벨상 수상자인 리처드 파인만은 말했다.

사람들은 제게 "물리학의 궁극적인 법칙을 찾고 있나요?"라고 묻습니다.아니, 난...만약 모든 것을 설명하는 단순한 궁극의 법칙이 있다면, 그것은 발견하는 것이 매우 좋을 것입니다.만약 그것이 수백만 층으로 된 양파처럼 밝혀지면...그런 거구나하지만 어느 쪽이든 네이처가 있고 그녀는 있는 그대로 나올 거야따라서 우리가 조사하러 갈 때 우리가 찾고 있는 것이 무엇인지 미리 밝혀두기만 하면 안 됩니다.^[11]

그리고 스티븐 ^[12]와인버그:

철학자들의 통찰력은 때때로 물리학자들에게 혜택을 주기도 하지만, 일반적으로 부정적인 방식으로 – 다른 철학자들의 선입견으로부터 그들을 보호함으로써. ... 우리의 선입견으로부터 약간의 지침이 없다면, 사람들은 아무것도 할 수 없을 것이다.단지 철학적 원칙이 우리에게 올바른 선입견을 제공하지 않았을 뿐이다.

와인버그는 연속체 가설과 같은 수학에서의 결정 불가능한 것은 집합론에 추가할 적절한 공리를 발견함으로써 불완전성 정리에도 불구하고 잠재적으로 해결될 수 있다고 믿었다.

괴델 완전성 정리의 철학적 결과

괴델의 완전성 정리는 가능한 모든 모형에서 공식의 형식적 증명 가능성과 진실 사이의 1차 논리에서의 동등성을 확립한다.정확히 말하자면, 일관된 1차 이론의 경우, 그것은 이론에 의해 묘사된 모델의 "명시적 구성"을 제공한다; 이 모델은 이론의 언어가 셀 수 있다면 셀 수 있을 것이다.그러나 이 "명시적 구조"는 알고리즘이 아닙니다.그것은 이론의 완성을 위한 반복적인 과정에 기초하고, 여기서 반복의 각 단계는 이론을 일관되게 유지한다면 공식에 공식을 추가하는 것으로 구성되어 있다; 그러나 이 일관성 질문은 반감정적이다.

이것은 우리의 수학 이론의 대상이 실재한다는 플라톤주의 관점에 일종의 정당성을 부여하는 것으로 볼 수 있다.더 정확히 말하면, 그것은 자연수 집합의 존재에 대한 전체로서의 단순한 가정(실제 무한대)만으로도 일관된 이론의 모형(물체의 세계)의 존재를 암시하기에 충분하다는 것을 보여준다.그러나 몇 가지 문제가 남아 있습니다.

• 어떤 일관된 이론이든 이것은 보통 하나의 사물의 세계를 주는 것이 아니라, 그 이론이 동등하게 묘사할 수 있는 무한한 가능 세계와 그들 사이에 가능한 진실의 다양성을 제공한다.
• 집합론의 경우, 집합론은 셀 수 없는 무한함을 설명하려는 반면, 집합론은 셀 수 있기 때문에, 이 구조에 의해 얻어진 모형은 의도된 모형과 유사하지 않다.비슷한 발언은 다른 많은 경우에도 할 수 있다.예를 들어, 산수를 포함하는 이론의 경우, 그러한 구조는 일반적으로 비표준 번호를 포함하는 모형을 제공합니다. 단, 시공 방법이 비표준 번호를 피하도록 특별히 설계되지 않은 경우입니다.
• 그것은 구별 없이 일관된 모든 이론에 모형을 제공하기 때문에, 그 이론이 일관성을 유지하는 한 어떤 공리도 받아들이거나 거부할 이유는 없지만, 모든 일관된 공리 이론을 동등하게 존재하는 세계를 지칭하는 것으로 간주한다.수학의 기초로서 어떤 공리체계가 선호되어야 하는지에 대한 지시는 없다.
• 일관성에 대한 주장은 대개 입증할 수 없기 때문에, 그것들은 믿음의 문제 또는 경직되지 않은 종류의 정당성의 문제로 남는다.따라서 완전성 정리에 의해 주어진 모형의 존재는 사실 두 가지 철학적 가정을 필요로 한다: 자연수의 실제 무한성과 이론의 일관성.

완전성 정리의 또 다른 결과는 비표준 모델이 표준 모델과 동등하게 합법적이라는 것에 기초해 무한소수의 개념을 0이 아닌 실제 양으로 정당화한다는 것이다.이 생각은 에이브러햄 로빈슨에 의해 비표준 분석 이론으로 공식화 되었다.

기타 패러독스

다음은 메타수학에서 주목할 만한 결과들을 나열한 것이다.체르멜로-프랭켈 집합론은 집합론의 공리화 중 가장 널리 연구되고 있다.선택 공리를 포함하는 경우에는 ZFC, 선택 공리를 제외한 경우에는 ZF로 약칭됩니다.

• 1920: 토랄프 스콜렘은 레오폴트 뢰벤하임의 하방정리에 대한 증명을 수정하여 1922년에 논의된 스콜렘의 역설, 즉 무한 기수를 상대적인 속성으로 만들었다.
• 1922: 선택 공리가 요소와 함께 체르멜로 집합론의 공리로부터 증명될 수 없다는 것을 아브라함 프렝켈에 의해 증명.
• 1931년: 힐베르트 프로그램의 본질적인 측면을 얻을 수 없다는 것을 보여주는 괴델의 불완전성 이론의 출판.그것은 충분히 강력하고 일관성 있는 재귀적 공리화 가능한 시스템을 위해 - 자연수의 (무한) 집합에 산술의 기본 이론을 공리화하는데 필요한 - 그 후에 그는 그 자체의 입증 불가능성을 공식적으로 표현하는 진술을 구성하는 방법을 보여주었습니다, 그리고 나서 그는 th의 일관성의 주장과 동등함을 증명했습니다.따라서 (일관성을 사실대로 유지한다면) 시스템은 그 자체의 일관성을 입증하기에 충분치 않으며, 더 단순한 시스템이 그 일을 할 수 있는 것은 말할 것도 없습니다.따라서 수학적 진리의 개념은 완전히 결정될 수 없고 힐베르트의 프로그램에서 상상된 것처럼 순전히 형식적인 체계로 전락할 수 없다는 것이 명백해졌다.이것은 힐베르트의 프로그램의 핵심에 마지막 타격을 입혔는데, 그것은 최종적인 수단으로 일관성이 확립될 수 있다는 희망이었다.
• 1936: 알프레드 타르스키가 그의 진실불확실성 정리를 증명했다.
• 1936: 앨런 튜링은 가능한 모든 프로그램-입력 쌍에 대해 정지 문제를 해결하기 위한 일반적인 알고리즘은 존재할 수 없다는 것을 증명했다.
• 1938년: 괴델은 선택 공리와 일반화 연속체 가설의 일관성을 증명했다.
• 1936-1937년: Alonzo Church와 Alan Turing은 각각 독립 논문을 발표했는데, 이는 "Entscheidungsproblem"에 대한 일반적인 해법은 불가능하다는 것을 보여준다: 1차 논리에서의 진술의 보편적 타당성은 결정될 수 없다(완전성 정리에 의해 주어지는 반 결정될 뿐이다).
• 1955: 표트르 노비코프는 G에 대한 문제를 결정할 수 없을 정도로 최종적으로 제시된 그룹 G가 존재한다는 것을 보여주었다.
• 1963: 폴 코헨은 연속체 가설은 ZFC에서 입증할 수 없다는 것을 보여주었다.코헨의 증명은 강제 방법을 개발했고, 이것은 이제 집합론에서 독립 결과를 확립하는 중요한 도구가 되었다.
• 1964년: 물리학의 기본적인 무작위성에 영감을 받아 그레고리 차이틴은 알고리즘 정보 이론(수학의 불완전성과 무작위성 측정)^[13]에 대한 결과를 발표하기 시작했다.
• 1966년: Paul Cohen은 요소가 없어도 ZF에서는 선택의 공리를 증명할 수 없다는 것을 보여주었다.
• 1970년: 힐베르트의 10번째 문제는 풀 수 없는 것으로 증명되었다: 디오판틴 방정식(다변 다항식)이 정수에 해답을 가지고 있는지 여부를 결정하는 재귀적 해법은 없다.
• 1971년: Suslin의 문제는 ZFC와 무관한 것으로 입증되었습니다.

위기 해결을 위해

1935년부터, 프랑스 수학자들의 부르바키 그룹은 집합론의 새로운 기초에 대한 수학의 많은 분야를 공식화하기 위해 일련의 책을 출판하기 시작했다.

직관주의 학교는 많은 신봉자들을 끌어 모으지 못했고, 1967년 비숍의 연구가 있은 후에야 건설적인 수학이 견실한 기초 ^[14]위에 놓였다.

힐베르트의 프로그램이 부분적으로 완성되어 위기가 근본적으로 해결되어 힐베르트의 원래 야망보다 낮은 요건으로 우리 자신을 만족시킨다고 생각할 수 있다.그의 야망은 아무것도 분명하지 않은 시대에 표현되었다: 수학이 엄격한 기반을 가질 수 있을지는 명확하지 않았다.

집합론에는 많은 가능한 변형들이 있는데, 일관성 강도는 다릅니다. 여기서 더 강한 버전은 더 약한 버전의 일관성에 대한 공식적인 증거를 포함하지만, 어떤 것도 그 자체의 일관성에 대한 공식적인 증거를 포함하지 않습니다.따라서 우리가 가지고 있지 않은 유일한 것은 ZF와 같이 우리가 선호하는 집합론의 어떤 버전에 대한 일관성의 공식적인 증거이다.

실제로, 대부분의 수학자들은 공리 체계에서 일하지 않거나, 만약 일한다면, 일반적으로 그들이 선호하는 공리 체계인 ZFC의 일관성을 의심하지 않는다.실천되고 있는 수학의 대부분에서, 기초가 되는 형식 이론의 불완전성과 역설은 어쨌든 전혀 작용하지 않았고, 그들이 하거나 형식화 시도가 일관되지 않은 이론을 형성할 위험을 수반하는 분야에서는, 그것들은 조심스럽게 다뤄질 수 있다.

20세기 중반 범주론의 발달은 ZFC보다 더 큰 계급의 존재를 보장하는 집합론의 유용성을 보여주었다. 예를 들어 Von Neumann-Bernays-괴델 집합론 또는 타르스키-그로텐디크 집합론은, 비록 매우 많은 경우에 큰 기본 공리나 그로텐디크 우주의 사용은 공식적으로 제거될 수 있다.

역수학의 목표 중 하나는 근본적인 문제가 다시 위기를 일으킬 수 있는 핵심 수학 영역이 있는지 확인하는 것이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아리스토텔레스 수학의 현실주의 철학
• 수리논리
• 브루어-힐베르트 논쟁
• 처치-튜링 논문
• 칸토르의 이론에 대한 논쟁
• 인식론
• 유클리드의 요소
• 힐베르트의 문제
• 집합론에서의 수학의 구현
• 거짓말쟁이 역설
• 새로운 기초
• 수학 철학
• 프린키피아 매스매티카
• 수학의 준경험주의
• 찰스 피어스의 수학적 사상

메모들

레퍼런스

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외부 링크

• 위키미디어 커먼즈 수학재단 관련 매체
• "Philosophy of mathematics". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• 로직과 수학
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• 그레고리 차이틴의 수학 기초에 대한 세기의 논쟁.arXiv:chao-dyn/9909001