번호

숫자는 숫자를 세고, 측정하고, 라벨을 붙이는 데 사용되는 수학적인 물체입니다.원래의 예는 자연수 1, 2, 3, 4 등입니다.^[1]숫자는 언어와 숫자 단어로 나타낼 수 있습니다.좀 더 보편적으로, 개별 숫자는 숫자라고 불리는 기호로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, "5"는 숫자 5를 나타내는 숫자입니다.비교적 적은 수의 기호만 기억할 수 있기 때문에, 기본 숫자는 일반적으로 어떤 숫자를 나타내도록 조직화된 방식인 숫자 체계로 구성됩니다.가장 일반적인 숫자 체계는 힌두 아라비아 숫자 체계로, 숫자라고 불리는 10개의 기본 숫자 기호의 조합을 사용하여 어떤 숫자를 표현할 수 있습니다.^[2][a]숫자는 숫자를 세고 측정할 때 사용하는 것 외에도 라벨(전화 번호와 같이), 주문(일련 번호와 같이), 코드(ISBN과 같이)에 자주 사용됩니다.일반적으로 숫자는 그것이 나타내는 숫자와 명확하게 구분되지 않습니다.

수학에서 수의 개념은 수세기에 걸쳐 0(0${\displaystyle ),}$^[3] 음수,^[4] 1$/{\displaystyle \frac{2}{}}$과 같은 유리수 ${\$ 2$({\displaystyle 2)}$의 제곱근 ${\$와 같은 실수,^[5]그리고 제곱근이 -1인 실수를 확장하는 복소수^[6] (그리고 그 배수를 더하거나 빼서 실수와 그 조합).^[4]숫자를 사용한 계산은 산술 연산으로 이루어지며, 가장 익숙한 것은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수화입니다.그들의 연구나 용법은 산술이라고 불리는데, 이 용어는 숫자의 성질에 대한 연구인 수론을 지칭할 수도 있습니다.

숫자는 실용적인 용도 외에도 전 세계적으로 문화적인 의미를 가지고 있습니다.^[7][8]예를 들어, 서양 사회에서 숫자 13은 종종 불운한 것으로 여겨지며, "백만"은 정확한 숫자가 아닌 "많은"을 의미할 수도 있습니다.^[7]비록 그것은 현재 의사과학으로 여겨지지만, 숫자학으로 알려진 신비한 의미의 숫자에 대한 믿음은 고대와 중세의 사상에 스며들었습니다.^[9]수론은 그리스 수학의 발전에 큰 영향을 끼쳤고, 오늘날에도 여전히 관심이 있는 수론의 많은 문제들의 조사를 자극했습니다.^[9]

19세기 동안, 수학자들은 숫자의 특정한 속성을 공유하는 많은 다른 추상화들을 개발하기 시작했고, 그 개념을 확장하는 것으로 보여질 수 있습니다.첫 번째 중에는 복소수 시스템의 다양한 확장 또는 수정으로 구성된 초복소수가 있습니다.현대 수학에서 수 체계는 고리나 장과 같은 더 일반적인 대수 구조의 중요한 특별한 예로 간주되며, "수"라는 용어를 적용하는 것은 근본적인 의미가 없는 관습의 문제입니다.^[10]

역사

숫자의 첫번째 사용

뼈와 다른 유물들은 많은 사람들이 총자국이라고 생각하는 자국이 있는 것으로 발견되었습니다.^[11]이러한 집계 표시는 일 수, 달 주기와 같은 경과 시간을 계산하거나 동물과 같은 양을 기록하는 데 사용되었을 수 있습니다.

집계 시스템에는 자릿값의 개념이 없으므로(현대 십진법 표기법에서와 같이) 큰 숫자를 표현하는 데 제한이 있습니다.그럼에도 불구하고, 집계 시스템은 추상적 숫자 시스템의 첫 번째 종류로 여겨집니다.

장소적 가치가 있는 최초의 알려진 체계는 메소포타미아의 60번째 기지 체계(c.기원전 3400년)였고 알려진 최초의 10번째 기지 체계는 이집트에서 기원전 3100년까지 거슬러 올라갑니다.^[12]

숫자

숫자는 숫자를 나타내기 위해 사용되는 기호인 숫자와 구별되어야 합니다.이집트인들은 최초의 암호 숫자 체계를 발명했고, 그리스인들은 그들의 숫자를 이오니아 문자와 도리아 문자에 매핑했습니다.^[13]로마자의 글자 조합을 사용한 체계인 로마 숫자는 14세기 후반경 우월한 힌두 아라비아 숫자 체계가 전파될 때까지 유럽에서 지배적이었고, 힌두 아라비아 숫자 체계는 오늘날 세계에서 숫자를 나타내는 가장 일반적인 체계로 남아 있습니다.^{[14][better source needed]}이 시스템의 효과의 핵심은 서기 500년경 고대 인도 수학자들에 의해 개발된 0을 의미하는 기호였습니다.^[14]

제로

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최초로 기록된 0의 사용은 서기 628년까지 거슬러 올라가며, 인도 수학자 브라마굽타의 주요 저작인 브라마스푸 ṭ라시드단타에 등장합니다.그는 0을 숫자로 취급하고 분할을 포함한 그와 관련된 작업에 대해 논의했습니다.이 때(7세기)에 이 개념은 분명히 크메르 숫자로서 캄보디아에 도달했고, 문서는 이 개념이 나중에 중국과 이슬람 세계로 퍼져 나갔다는 것을 보여줍니다.

브라마굽타의 브라흐마슈푸 ṭ라시드단타는 0을 숫자로 언급한 첫 번째 책이고, 따라서 브라마굽타는 보통 0의 개념을 공식화한 첫 번째 책으로 여겨집니다.그는 "0 더하기 양수는 양수, 음수 더하기 0은 음수"와 같이 음수와 양수로 0을 사용하는 규칙을 부여했습니다.브라흐마스푸 ṭ라스디단타는 0을 바빌로니아 사람들이 한 것처럼 다른 숫자를 나타낼 때 단순히 자리지킴이 숫자로 취급하거나 프톨레마이오스와 로마 사람들이 한 것처럼 수량 부족을 나타내는 상징으로 취급하는 것이 아니라 그 자신의 오른쪽에 있는 숫자로 취급한 최초의 알려진 텍스트입니다.

0을 숫자로 사용하는 것은 자리값 시스템에서 자리 표시자 번호로 사용하는 것과 구별되어야 합니다.많은 고대 문헌들이 0을 사용했습니다.바빌로니아와 이집트의 문헌들이 그것을 사용했습니다.이집트인들은 이중출입 회계에서 제로 밸런스를 나타내기 위해 nfr이라는 단어를 사용했습니다.인도의 문헌들은 공허의 개념을 언급하기 위해 산스크리트어인 순예 또는 순야를 사용했습니다.수학 교과서에서 이 단어는 종종 숫자 0을 가리킵니다.^[15]비슷한 맥락에서, 파 ṇ니 (기원전 5세기)는 아슈타디야이에서 귀무 (0) 연산자를 사용했는데, 이것은 산스크리트어 (핑갈라 참조)를 위한 대수적 문법의 초기 예입니다.

브라마굽타 이전에는 0의 다른 용도가 있지만, 기록이 브라마슈푸 ṭ라시드단타에 있는 것처럼 완전하지는 않습니다.

기록에 따르면 고대 그리스인들은 숫자로서의 0의 지위에 대해 확신이 없었던 것으로 보입니다: 그들은 스스로에게 "어떻게 '무'가 무엇인가?"라고 물었고, 흥미로운 철학적인 것으로 이끌었고, 중세 시대에는 0의 본질과 존재, 그리고 진공상태에 대한 종교적인 논쟁으로 이어졌습니다.엘레아의 제노의 역설은 부분적으로 0에 대한 불확실한 해석에 달려 있습니다. (고대 그리스인들은 심지어 1이 숫자인지 아닌지에 대해서도 의문을 제기했습니다.)

멕시코 중남부의 올메크 후기 사람들은 신대륙에서 0을 상징하는 조개 문자를 사용하기 시작했는데, 아마도 기원전 4세기경에, 그러나 확실히 기원전 40년경에 마야 숫자와 마야 달력의 필수적인 부분이 되었습니다.마야 산술은 베이스 4와 베이스 5를 베이스 20으로 썼습니다.조지 1세 1961년 산체스는 베이스 4, 베이스 5의 "손가락" 주판을 신고했습니다.^{[16][better source needed]}

서기 130년경, 히파르코스와 바빌로니아 사람들의 영향을 받은 프톨레마이오스는 그리스 알파벳 숫자를 사용하는 60진법의 숫자 체계 안에서 0(긴 막대가 있는 작은 원)에 대한 기호를 사용했습니다.이 헬레니즘적 0은 단순히 자리 표시자가 아닌 단독으로 사용되었기 때문에 구세계에서 최초로 기록된 진정한 0의 사용이었습니다.그의 신택스마타티카(Almagest)의 후기 비잔틴 필사본에서 헬레니즘적인 0은 그리스 문자 오미크론(Omicron, 다른 뜻으로는 70)으로 변형되었습니다.

525년(디오니시우스 엑시구스가 처음 사용한 것으로 알려짐)까지 로마 숫자와 나란히 표에 또 다른 참된 0이 사용되었지만, 단어로서 nulla는 기호가 아니라 아무것도 의미하지 않습니다.나눗셈이 0을 나머지로 생성할 때는 역시 아무것도 의미하지 않는 허무를 사용했습니다.이 중세의 0은 미래의 모든 중세 계산학자들(부활절의 계산기)에 의해 사용되었습니다.그들의 첫 글자인 N은 베데나 725년경의 동료들에 의해 로마 숫자표에 사용되었는데, 이것은 진정한 0의 기호입니다.

음수

음수의 추상적인 개념은 중국에서 일찍이 기원전 100년에서 50년 사이에 인정되었습니다.수학적 예술에 관한 9개의 장에는 그림의 영역을 찾는 방법이 포함되어 있습니다. 빨간 막대는 양의 계수, 검은색은 음의 계수를 나타내는 데 사용되었습니다.^[17]서양 작품에서 처음 언급된 것은 서기 3세기 그리스에서였습니다.디오판토스는 산술에서 4x + 20 = 0(해는 음수)에 해당하는 방정식을 언급하면서 방정식이 터무니없는 결과를 만들었다고 말했습니다.

600년대 동안 인도에서는 부채를 나타내기 위해 음수가 사용되었습니다.디오판토스의 이전 언급은 인도 수학자 브라마굽타가 628년 브라마스푸 ṭ라시드단타에서 더 명확하게 논의한 것으로, 그는 음수를 사용하여 오늘날에도 사용되는 일반적인 형태의 이차 공식을 만들었습니다.그러나 12세기 인도에서 바스카라는 2차 방정식에 대해 음의 근을 부여하지만 음의 값은 "이 경우에는 취해지지 않아야 한다, 왜냐하면 그것은 불충분하기 때문이다; 사람들은 음의 근을 승인하지 않기 때문이다"라고 말합니다.

비록 피보나치가 부채로 해석될 수 있는 재정적 문제에서 부정적인 해결책을 허용했지만(리버 아바치 13장, 1202년), 나중에 손실로 해석될 수 있는(플로스에서) 유럽 수학자들은 대부분 17세기까지 음수의 개념에 저항했습니다.르네 데카르트는 그것들이 대수 다항식에서 생겨났기 때문에 그것들을 거짓 근이라고 불렀지만 그는 참근과 거짓근을 바꿀 수 있는 방법을 발견했습니다.동시에 중국인들은 해당 양수의 맨 오른쪽 0이 아닌 숫자를 대각선으로 획을 그어 음수를 나타내고 있었습니다.^[18]유럽 작품에서 음수를 처음 사용한 것은 15세기 Nicolas Chuquet에 의한 것입니다.그는 그들을 지수로 사용했지만, 그들을 "황당한 숫자"라고 불렀습니다.

18세기까지만 해도 방정식이 가져온 부정적인 결과는 의미가 없다는 가정 하에 무시하는 것이 일반적인 관례였습니다.

유리수

분수의 개념은 선사시대까지 거슬러 올라갈 가능성이 높습니다.고대 이집트인들은 힌두 수학 파피루스와 카훈 파피루스와 같은 수학 문헌에서 유리수를 위해 그들의 이집트 분수 표기를 사용했습니다.고대 그리스와 인도의 수학자들은 정수론에 대한 일반적인 연구의 일환으로 유리수 이론에 대한 연구를 하였습니다.^[19]이들 중 가장 잘 알려진 것은 기원전 300년경의 유클리드의 원소입니다.인도의 문헌 중 가장 관련성이 높은 것은 스탄난가경인데, 수학의 일반적인 연구의 일환으로 수론도 다루고 있습니다.

십진분수의 개념은 십진 자릿값 표기법과 밀접하게 연결되어 있으며, 이 둘은 함께 발전한 것으로 보입니다.예를 들어 자인 수학경에는 pi 또는 2의 제곱근에 대한 십진분율 근사 계산이 포함되는 것이 일반적입니다.^{[citation needed]}마찬가지로 바빌로니아 수학 교과서도 빈도가 높은 60진법 분수를 사용했습니다.

무리수

비이성적인 숫자의 사용이 알려진 가장 초기의 것은 기원전 800년에서 500년 사이에 작곡된 인도의 술바경이었습니다.^{[20][better source needed]}비합리적인 수에 대한 최초의 존재 증거는 보통 피타고라스, 특히 2의 제곱근의 비합리성에 대한 (아마도 기하학적인) 증거를 만들어낸 메타폰툼의 피타고라스 히파수스에게 기인합니다.히파수스가 2의 제곱근을 분수로 나타내려고 할 때 무리수를 발견했다는 이야기입니다.그러나, 피타고라스는 숫자의 절대성을 믿었고, 비이성적인 숫자의 존재를 받아들일 수 없었습니다.그는 논리를 통해 그들의 존재를 반증할 수는 없었지만, 비이성적인 숫자를 받아들일 수는 없었습니다. 그래서 그는 이 혼란스러운 소식을 퍼뜨리는 것을 방해하기 위해 히파소에게 익사형을 선고했습니다.^{[21][better source needed]}

16세기는 유럽인들에게 음수와 분수의 최종적인 수용을 가져다 주었습니다.17세기까지, 수학자들은 일반적으로 현대적인 표기법과 함께 십진법을 사용했습니다.그러나 19세기가 되어서야 수학자들은 무리수를 대수적인 부분과 초월적인 부분으로 분리하고 다시 한 번 무리수에 대한 과학적 연구에 착수했습니다.그것은 유클리드 이후로 거의 휴면상태에 있었습니다.1872년에 카를 바이어슈트라스(그의 제자 E. 코사크에 의해), 에두아르트 하이네,^[22] 게오르크 칸토어,^[23] 리차드 데데킨트의^[24] 이론들의 출판이 이루어졌습니다.1869년, 찰스 메레이는 하이네와 같은 출발점을 취했지만, 이론은 일반적으로 1872년으로 언급됩니다.Weierstrass의 방법은 Salvatore Pincherle (1880)에 의해 완전히 제시되었고, Dedecind의 방법은 작가의 후기 작품 (1888)과 Paul Tannery (1894)의 지지를 통해 추가적인 명성을 얻었습니다.Weiersstrass, Cantor, Heine는 무한급수에 이론을 기반으로 하고 있는 반면, Dedekind는 모든 유리수를 특정한 특징적인 성질을 가진 두 그룹으로 분리하는 실수 체계에서 절단(Schnitt)의 개념을 발견했습니다.그 주제는 나중에 바이어스트라스, 크로네커,^[25] 메레이의 손에 의해 기부되었습니다.

5차 방정식과 더 높은 차수의 방정식의 근을 찾는 것은 중요한 발전이었는데, 아벨-루피니 정리(Ruffini 1799, 아벨 1824)는 그것들이 라디칼(산술 연산과 근만을 포함하는 공식)에 의해 해결될 수 없다는 것을 보여주었습니다.따라서 더 넓은 대수적 수 집합(다항식 방정식의 모든 해)을 고려할 필요가 있었습니다.갈루아(Galois, 1832)는 다항식을 군론에 연결시켜 갈루아 이론의 장을 만들었습니다.

비합리적인 숫자와 밀접한 관련이 있는 지속적인 분수는 오일러의 손에 의해 주목을 받았고, 19세기의 개막에 조셉 루이스 라그랑주의 글을 통해 유명해졌습니다.^[26]다른 주목할 만한 공헌은 드루켄뮐러(1837), 쿤제(1857), 렘케(1870), 귄터(1872)에 의해 이루어졌습니다.라무스는^[27] 처음에 이 주제를 결정론과 연결시켰고, 그 결과 하이네, ^[28]뫼비우스, 귄터가 ^[29]케텐브루흐 결정론에 기여했습니다.

초월수와 실수

초월수의^[30] 존재는 리우빌 (1844, 1851)에 의해 처음 확립되었습니다.헤르미트는 1873년에 e가 초월적이라는 것을 증명했고 린데만은 1882년에 π이 초월적이라는 것을 증명했습니다.마지막으로 칸토어는 모든 실수의 집합은 셀 수 없이 무한하지만 모든 대수의 집합은 셀 수 없이 무한하므로 셀 수 없이 무한한 수의 초월수가 있음을 보여주었습니다.

무한소와 무한소

수학적 무한에 대한 가장 초기의 알려진 개념은 고대 인도 문자인 Yajur Veda에 나타나는데, 한 시점에서 "만약 당신이 무한에서 부분을 제거하거나 무한에 부분을 추가한다면, 여전히 남아 있는 것은 무한입니다."라고 말합니다.인피니티는 기원전 400년경 자인 수학자들 사이에서 철학적 연구의 인기있는 주제였습니다.그들은 무한의 다섯 가지 유형을 구분했습니다: 한 방향과 두 방향의 무한, 넓이의 무한, 모든 곳의 무한, 그리고 영원히 무한.기호$$∞ {\$displaystyle$ {\$text${∞}}은(는) 무한한 수량을 나타내는 데 자주 사용됩니다.

아리스토텔레스는 서양의 전통적인 수학적 무한 개념을 정의했습니다.그는 실제 무한과 잠재적 무한을 구분했습니다. 후자만이 진정한 가치를 가지고 있다는 일반적인 합의입니다.갈릴레오 갈릴레이의 두 개의 새로운 과학은 무한 집합 사이의 일대일 대응에 대한 생각을 논의했습니다.그러나 이론의 다음 주요한 진보는 Georg Cantor에 의해 이루어졌습니다; 1895년에 그는 무엇보다도 초한정수를 소개하고 연속체 가설을 공식화하는 그의 새로운 집합 이론에 대한 책을 출판했습니다.

1960년대 에이브러햄 로빈슨은 비표준 분석 분야를 발전시키기 위해 무한히 크고 무한히 작은 수들이 얼마나 엄격하게 정의되고 사용될 수 있는지 보여주었습니다.초실수 체계는 뉴턴과 라이프니츠에 의해 무한소 미적분학이 발명된 이래로 수학자, 과학자, 공학자들이 무심코 사용해왔던 무한소와 무한소에 대한 개념을 다루는 엄격한 방법을 보여줍니다.

각 공간 방향에 대해 하나씩 "무한에서의 이상적인 점"을 소개하는 투영 기하학은 무한대의 현대 기하학적 버전을 제공합니다.주어진 방향의 각 평행선 패밀리는 해당하는 이상적인 점에 수렴하도록 가정됩니다.이는 원근법 드로잉에서 점이 사라지는 아이디어와 밀접한 관련이 있습니다.

복소수

음수의 제곱근에 대한 가장 초기의 덧없는 언급은 그가 피라미드의 불가능한 파행의 부피를 고려했던 1세기에 알렉산드리아의 수학자이자 발명가 헤론의 업적에서 발생했습니다.그것들은 16세기에 니콜 ò 폰타나 타르타글리아와 제롤라모 카르다노와 같은 이탈리아 수학자들에 의해 3차 다항식과 4차 다항식의 근에 대한 닫힌 공식이 발견되었을 때 더욱 두드러졌습니다.이 공식들은 비록 실제 해에만 관심이 있더라도 때때로 음수의 제곱근을 조작해야 한다는 것을 곧 깨닫게 되었습니다.

이는 그들이 그 당시 음수가 확고한 기반 위에 있다고 생각하지도 않았기 때문에 두 배로 불안했습니다.1637년 르네 데카르트가 이 양들에 대해 "상상적"이라는 용어를 만들었을 때, 그는 그것을 경멸적인 것으로 의도했습니다. (복소수의 "현실"에 대한 논의는 허수를 참조하십시오.혼란의 추가적인 원인은 방정식이

${\displaystyle \left ({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}=-1}$

대수적 정체성과 변덕스럽게 일치하지 않는 것처럼 보였습니다.

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

이것은 양의 실수 a와 b에 유효하며, 또한 a, b 양과 다른 음 중 하나로 복잡한 수 계산에 사용되었습니다.이 ID의 잘못된 사용 및 관련 ID

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

a와 b가 모두 음수일 때 심지어 사악한 오일러일 때.^[31]이 어려움으로 인해 결국 그는 이 실수를 방지하기 위해$$${\displaystyle \sqrt{-1}}$ ${\$ 대신 특수 기호 i를 사용하는 컨벤션으로 이어졌습니다.

18세기에는 아브라함 드 모이브르와 레온하르트 오일러의 작품이 있었습니다.드무이브르의 공식(1730)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

오일러의 복소해석 공식(1748)은 우리에게 다음과 같은 것을 제공했습니다.

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta}}$

1799년 카스파 베셀이 기하학적 해석을 설명하기 전까지 복소수의 존재는 완전히 받아들여지지 않았습니다.칼 프리드리히 가우스는 몇 년 후에 그것을 재발견하고 대중화했고, 그 결과 복소수 이론은 주목할 만한 확장을 받았습니다.그러나 복소수의 그래픽 표현에 대한 아이디어는 일찍이 1685년 월리스의 De algular tractatus에서 나타났습니다.

같은 해에 가우스는 대수학의 기본 정리에 대한 일반적으로 받아들여지는 첫 번째 증거를 제공하여 복소수 위의 모든 다항식이 그 영역에서 완전한 해를 갖는다는 것을 보여주었습니다.가우스는 a + bi 형태의 복소수를 연구했는데, 여기서 a와 b는 정수(현재 가우스 정수) 또는 유리수입니다.그의 제자인 고트홀드 아이젠슈타인은 a + b ω을 공부했는데, 여기서 ω는 x - 1 = 0의 복소수 근(현재 아이젠슈타인 정수라고 함)입니다.복소수의 다른 부류(순환기장이라고 함)는 더 높은 k 값에 대해 단위 x - 1 = 0의 근에서 유도됩니다.이러한 일반화는 1893년 펠릭스 클라인에 의해 기하학적 실체로 표현된 이상적인 수를 발명한 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)에 크게 기인합니다.

1850년 빅토르 알렉상드르 푸이쇠는 극점과 분기점을 구별하는 핵심 단계를 밟았고, 필수 특이점의 개념을 도입했습니다.^{[clarification needed]}이는 결국 확장된 복합 평면의 개념으로 이어졌습니다.

소수

소수는 기록된 역사를 통해 연구되어 왔습니다.^{[citation needed]}그들은 오직 1과 그들 자신으로만 나눌 수 있는 양의 정수입니다.유클리드는 소수의 무한성과 산술의 기본 정리를 증명하고 두 수의 최대 공약수를 찾는 유클리드 알고리즘을 제시했습니다.

기원전 240년, 에라토스테네스는 소수를 빠르게 분리하기 위해 에라토스테네스의 체를 사용했습니다.그러나 유럽에서 소수에 관한 이론의 대부분의 발전은 르네상스와 그 이후 시대까지 거슬러 올라갑니다.^{[citation needed]}

1796년, 아드리앙 마리 레전드르는 소수 정리를 추측하여 소수의 점근적 분포를 설명했습니다.소수의 분포와 관련된 다른 결과로는 소수의 역수의 합이 갈라진다는 오일러의 증명과 충분히 큰 짝수는 두 소수의 합이라고 주장하는 골드바흐 추측이 있습니다.그러나 소수의 분포와 관련된 또 다른 추측은 베른하르트 리만이 1859년에 공식화한 리만 가설입니다.소수 정리는 자크 하다마드와 샤를 드 라 발레푸생에 의해 1896년에 마침내 증명되었습니다.골드바흐와 리만의 추측은 여전히 증명되지 않았고 반박되지 않았습니다.

주구분

숫자는 자연수와 실수와 같은 숫자 집합 또는 숫자 체계로 분류될 수 있습니다.주요 번호 체계는 다음과 같습니다.

주수계

${\displaystyle \mathbb {N}}$	자연수	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 또는 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\displaystyle {}_{}}$의$${\$displaystyle$ \$mathbb {N} _{$0}} 또는$$ ${\displaystyle {}_{}}$의 ${\$이(가) 사용되기도 합니다.
${\displaystyle \mathbb {Z}}$	정수	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q}}$	유리수	a/b 여기서 a와 b는 정수이고 b는 0이 아닙니다.
${\displaystyle \mathbb {R}}$	실수	유리수의 수렴수열의 극한
${\displaystyle \mathbb {C}}$	복소수	a + bi 여기서 a와 b는 실수이고 i는 -1의 공식 제곱근입니다.

이 숫자 체계들 각각은 다음 숫자 체계의 부분집합입니다.예를 들어, 유리수도 실수이고, 모든 실수도 복소수입니다.이는 다음과 같이 상징적으로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbb{}\mathbb{N}\subset }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}\subset }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}\subset }$ ${\displaystyle R}$ ⊂ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R$

다음 다이어그램에는 숫자 집합에 대한 보다 자세한 목록이 표시됩니다.

수계 복잡한 ${\displaystyle :\;\mathbb {C}}$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathbb {R}}$ 합리적인 ${\displaystyle :\;\mathbb {Q}}$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathbb {Z}}$ 자연의 ${\displaystyle :\;\mathbb {N}}$ 0: 0 하나: 1 소수 합성수 음의 정수 분수 유한 소수점 다이애딕 (유한 이진법) 십진반복 무리수 대수적 무리수 초월적 허수성

자연수

가장 익숙한 숫자는 자연수입니다. (때로는 정수나 숫자를 세는 것으로 불리기도 합니다.) 1, 2, 3 등입니다.전통적으로, 1로 시작하는 자연수의 수열 (0은 고대 그리스인들에게는 심지어 수로 여겨지지도 않았습니다.)그러나 19세기에 집합론자들과 다른 수학자들은 자연수 집합에 0(빈 집합의 기수, 즉 원소 0이 가장 작은 기수)을 포함하기 시작했습니다.^[32][33]오늘날, 다른 수학자들은 0 또는 0을 포함하여 두 집합을 설명하기 위해 이 용어를 사용합니다.모든 자연수 집합의 수학 기호는 $N$이고, N ${\$로 쓰이며$,$ 집합이 0으로 시작해야 하는지 1로 시작해야 하는지를$$ 각각 표시해야 할 때 $N{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 또는$$ N ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$입니다.

10진법에서, 오늘날 수학 연산에 거의 보편적으로 사용되는 자연수 기호는 10자리를 사용하여 작성됩니다: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.기수 또는 기수는 숫자 시스템이 숫자를 나타내기 위해 사용하는 0을 포함한 고유한 숫자의 수입니다(십진법 시스템의 경우 기수는 10).이 기본 10 체계에서 자연수의 맨 오른쪽 자리는 자리값이 1이고, 나머지 모든 자리는 자리값이 오른쪽 자리값의 10배입니다.

현대 수학의 공리적 기초로 작용할 수 있는 집합론에서 자연수는 동등한 집합의 클래스로 표현될 수 있습니다.^[34]예를 들어, 숫자 3은 정확히 세 개의 원소를 갖는 모든 집합의 클래스로 나타낼 수 있습니다.또는 Peano 산술에서 숫자 3은 sss0으로 표시되며, 여기서 s는 "successor" 함수입니다(즉, 3은 0의 세 번째 계승자입니다).다양한 표현이 가능합니다. 3을 공식적으로 표현하는 데 필요한 것은 특정 기호 또는 패턴을 세 번 새기는 것뿐입니다.

정수

양의 정수의 음수는 해당 양의 정수에 더해질 때 0을 생성하는 숫자로 정의됩니다.음수는 보통 음수(마이너스 부호)로 적습니다.예를 들어, 7의 음수는 -7, 7 + (-7) = 0으로 표기합니다. 음수의 집합이 자연수의 집합(0 포함)과 결합되면 결과는 정수의 집합으로 정의되고 Z는 또한 $Z$ ${\displaystyle \mathbb {Z}}$로 표기됩니다$.$ 여기서 Z는 독일어의 Zahl 'number'에서 유래합니다.정수 집합은 연산 덧셈 및 곱셈과 함께 링을 형성합니다.^[35]

자연수는 정수의 부분 집합을 형성합니다.자연수에 0이 포함되거나 포함되지 않는 것에 대한 공통된 기준이 없기 때문에, 0이 없는 자연수를 일반적으로 양의 정수, 0이 있는 자연수를 음이 아닌 정수라고 합니다.

유리수

유리수는 정수 분자와 양의 정수 분모를 갖는 분수로 표현될 수 있는 수입니다.음의 분모는 허용되지만 모든 유리수가 양의 분모를 갖는 분수와 같기 때문에 일반적으로 사용되지 않습니다.분수는 두 개의 정수, 즉 분자와 분모로 쓰여지고 그 사이에 구분 막대가 있습니다.분수 m/n은 전체의 m 부분을 n개의 등분으로 나눈 것을 나타냅니다.두 개의 다른 분수는 동일한 유리수에 해당할 수 있습니다. 예를 들어 1/2과 2/4은 같습니다.

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}}$

일반적으로.

${\displaystyle \frac{a}{}}$ x${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ c${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b.}$ {\$displaystyle {$a$\o$ b}= {c \$over d}$인 경우에${\displaystyle \frac{만}{}}$ a ${\displaystyle \frac{b}{}}$ $=$$${c \over d$}.$ ${\displaystyle {a\ti$${\displaystyle \frac{m}{}}$$es$ d}= {$c\times b}}$

m의 절대값이 n보다 크면(양의 값으로 가정됨), 분수의 절대값은 1보다 큽니다.분수는 1보다 크거나 작거나 같을 수 있으며 양수, 음수 또는 0일 수도 있습니다.모든 정수는 분모 1로 분수로 쓸 수 있기 때문에 모든 유리수의 집합은 정수를 포함합니다.예를 들어 -7은 -7/1로 쓸 수 있습니다.유리수의 기호는 Q(계수의 경우)이며, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로 표기됩니다$.$

실수

실수의 기호는 R이며 $R$로 표기됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 모든 측정 숫자가 포함됩니다$$.모든 실수는 숫자 라인의 한 점에 해당합니다.다음 단락은 주로 양의 실수에 초점을 맞출 것입니다.음수의 처리는 산술의 일반적인 규칙에 따라 이루어지며, 그들의 표기는 단순히 대응하는 양수에 -123.456과 같은 마이너스 부호를 붙입니다.

대부분의 실수는 소수점이 자리값이 1인 숫자의 오른쪽에 위치하는 십진 숫자로만 근사할 수 있습니다.소수점 오른쪽의 각 자리는 왼쪽 자리의 자리값의 10분의 1을 차지합니다.예를 들어, 123.456은 123456/1000을 나타내거나, 다시 말해 100, 2십, 3십, 4십분의 1, 5백분의 1, 6천분의 1을 나타냅니다.실수는 소수 체계의 기본인 10의 소인수이기 때문에 유리수이고 분수 부분에 소인수가 2 또는 5 또는 둘 다인 분모가 있을 경우에만 소수 자릿수의 유한한 숫자로 표현될 수 있습니다.예를 들어, 1/2은 0.5, 1/5은 0.2, 1/10은 0.1, 1/50은 0.02입니다.다른 실수를 소수점으로 나타내려면 소수점 오른쪽에 있는 숫자의 무한 순서가 필요합니다.이 무한한 숫자열이 패턴을 따른다면 반복 패턴을 나타내는 타원 또는 다른 표기법으로 쓸 수 있습니다.이러한 소수점을 반복 소수점이라고 합니다.따라서 1/3은 0.333...으로 표기할 수 있으며, 타원은 패턴이 계속됨을 나타냅니다.영원히 반복되는 3은 또한 0.3으로 적습니다.^[36]

0의 반복을 포함한 이러한 반복 소수는 정확히 유리수를 나타내는 것으로 밝혀졌습니다. 즉, 모든 유리수도 실수이지만 모든 유리수가 유리수인 것은 아닙니다.합리적이지 않은 실수를 무리수라고 합니다.유명한 무리수는 지름에 대한 원둘레의 비율인 π입니다.pi가 다음과 같이 쓰여질 때

${\displaystyle \pi = 3.14159265358979\dots,}$

가끔 그렇듯이, 타원은 십진법이 반복된다는 것을 의미하는 것이 아니라(그들은 그렇지 않습니다), 그들에게 끝이 없다는 것을 의미합니다.π는 비이성적이라는 것이 증명되었습니다.비합리적인 실수로 증명된 또 다른 잘 알려진 숫자는

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots,}$

2의 제곱근, 즉 제곱이 2인 유일한 양의 실수.이 두 숫자 모두 (컴퓨터로) 대략 수조 단위(1조 = 10 = 1,000,000,000)의 숫자로 계산되었습니다.

이러한 두드러진 예들뿐만 아니라 거의 모든 실수들은 비이성적이고 따라서 반복되는 패턴이 없으므로 대응하는 십진 숫자가 없습니다.반올림하거나 잘린 실수를 나타내는 십진 숫자로만 근사할 수 있습니다.반올림하거나 잘린 숫자는 반드시 유리한 숫자이며, 그 수는 셀 수 있을 정도로 많습니다.모든 측정값은 특성상 근사치이며 항상 오차 한계가 있습니다.따라서 123.456은 123455/10000 이상, 1234565/10000 미만(소수점 3개로 반올림) 또는 123456/1000 이상, 123457/1000 미만(소수점 3개로 반올림)의 실수 근사치로 간주됩니다.측정 자체보다 정확도가 더 높다는 것을 나타내는 숫자는 제거해야 합니다.나머지 숫자를 유효 숫자라고 합니다.예를 들어, 눈금자를 사용한 측정은 오차 한계가 최소 0.001m가 아니면 거의 수행할 수 없습니다.직사각형의 변이 1.23m와 4.56m로 측정되면 곱하기를 통해 직사각형의 면적이 5.614591m와² 5.603011m² 사이가 됩니다.소수점 자리 뒤의 두 번째 자리도 보존되지 않기 때문에 다음 자리는 의미가 없습니다.따라서 결과는 보통 5.61로 반올림됩니다.

동일한 분수를 두 가지 이상의 방법으로 쓸 수 있는 것처럼, 동일한 실수는 하나 이상의 십진법 표현을 가질 수 있습니다.예를 들어, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ...는 모두 자연수 1을 나타냅니다.주어진 실수는 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수점 소수이 마지막 경우, 0이 아닌 마지막 자리는 1보다 작은 자리와 9의 숫자가 무제한으로 이어지거나 0이 아닌 마지막 자리가 무제한으로 이어집니다.따라서 3.74라는 정확한 실수도 3.7399999999로 표기할 수 있습니다...그리고 3.7400000000......마찬가지로, 0이 아닌 숫자의 맨 오른쪽에 0을 떨어뜨려 다시 쓸 수 있고, 9가 아닌 숫자의 맨 오른쪽에 있는 숫자를 9보다 1씩 늘리고, 그 숫자의 오른쪽에 있는 모든 9를 0으로 변경하여 다시 쓸 수 있습니다.마지막으로 소수점 자리 오른쪽에 있는 0의 무제한 수열을 삭제할 수 있습니다.예를 들면, 6.84999999999999...= 6.85와 6.850000000000...= 6.85.마지막으로 숫자의 모든 숫자가 0이면 숫자는 0이고 숫자의 모든 숫자가 9의 끝이 없는 문자열이면 9를 소수 자리의 오른쪽으로 떨어뜨리고 소수 자리의 왼쪽에 9의 문자열에 1을 더할 수 있습니다.예를 들면 99.999...= 100.

실수는 또한 최소 상한 속성이라고 불리는 중요하지만 고도로 기술적인 속성을 가지고 있습니다.

또한 완전한 순서 필드는 실수와 동형임을 알 수 있습니다.그러나 실수는 대수 방정식 ${\displaystyle x^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}$ + 1 = $0}$에 대한 해(종종 마이너스 1의 제곱근이라고 함)를 포함하지 않기 때문에 대수적으로 닫힌 필드가 아닙니다$.$

복소수

더 큰 수준의 추상화로 이동하면 실수를 복소수로 확장할 수 있습니다.이 숫자들의 집합은 역사적으로 입방체 다항식과 이차 다항식의 근에 대한 닫힌 공식을 찾으려고 시도하면서 생겨났습니다.이것은 음수의 제곱근을 포함하는 표현으로 이어졌고, 결국 새로운 수의 정의로 이어졌습니다: -1의 제곱근, i로 표시되는, 레온하르트 오일러에 의해 할당된 기호, 그리고 허수 단위라고 불리는.복소수는 양식의 모든 숫자로 구성됩니다.

${\displaystyle \,a+bi}$

여기서 a와 b는 실수입니다.이 때문에 복소수는 복소수 평면상의 점, 즉 2개의 실제 차원의 벡터 공간에 해당합니다.식 a + bi에서 실수 a를 실수 부분, b를 허수 부분이라고 합니다.복소수의 실수 부분이 0이면, 그 숫자는 허수 또는 순수 허수라고 불립니다. 허수 부분이 0이면 그 숫자는 실수입니다.따라서 실수는 복소수의 부분집합입니다.복소수의 실수부와 허수부가 모두 정수라면, 그 수를 가우스 정수라고 합니다.복소수의 기호는 C 또는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$입니다$.$

대수학의 기본 정리는 복소수가 대수적으로 닫힌 장을 형성한다는 것을 주장하며, 이는 복소수 계수를 갖는 모든 다항식이 복소수에 근을 갖는다는 것을 의미합니다.실수와 마찬가지로 복소수는 하나의 필드를 형성하는데, 이 필드는 완전하지만 실수와는 달리 순서가 정해지지 않습니다.즉, i가 1보다 크다고 말할 수 있는 일관된 의미가 없고, i가 1보다 작다고 말할 수 있는 의미도 없습니다.기술적인 측면에서 복잡한 숫자는 현장 작업과 호환되는 총 순서가 부족합니다.

정수의 하위 클래스

짝수와 홀수

짝수는 2로 "균등하게 나뉠" 수 있는 정수이고 나머지는 없이 2로 나뉠 수 있고, 홀수는 짝수가 아닌 정수입니다. (구식 용어인 "균등하게 나뉠"은 이제 거의 항상 "나뉠"로 짧아집니다.)임의의 홀수 n은 적절한 정수 k에 대하여 공식 n = 2k + 1로 구성될 수 있습니다.k = 0부터 시작하여 음이 아닌 첫 번째 홀수는 {1, 3, 5, 7, ...}입니다.임의의 짝수 m은 m = 2k의 형태를 가지며 여기서 k는 다시 정수가 됩니다.마찬가지로 첫 번째 음수가 아닌 짝수는 {0, 2, 4, 6, ...}입니다.

소수

소수는 종종 단지 소수로 단축되며, 두 개의 작은 양의 정수의 곱이 아닌 1보다 큰 정수입니다.처음 몇 개의 소수는 2, 3, 5, 7, 그리고 11입니다.소수를 생성하는 데 홀수와 짝수에 대한 간단한 공식은 없습니다.이 소수점들은 2000년 이상 광범위하게 연구되어 왔고, 많은 질문들로 이어졌고, 그 중 일부만 답을 얻었습니다.이 문제들에 대한 연구는 정수론에 속합니다.골드바흐의 추측은 "모든 짝수는 두 소수의 합인가?"라는 여전히 답이 없는 질문의 한 예입니다.

1보다 큰 모든 정수가 소수점들의 재배열을 제외하고 오직 한 가지 방법으로만 소수점들의 곱인지에 대한 한 가지 대답된 질문이 확인되었습니다. 이 증명된 주장은 산술의 기본 정리라고 불립니다.유클리드의 원소에 증명이 나타납니다.

다른 종류의 정수

자연수의 많은 부분집합들은 특정한 연구의 주제가 되었고, 종종 그것들을 연구한 최초의 수학자의 이름을 따서 명명되었습니다.이러한 정수 집합의 예로는 피보나치 수와 완벽한 수가 있습니다.자세한 예는 정수 시퀀스를 참조하십시오.

복소수의 하위 클래스

대수적, 무리수, 초월수

대수적 수는 정수 계수를 갖는 다항식의 해입니다.유리수가 아닌 실수를 무리수라고 합니다.대수적이지 않은 복소수를 초월수라고 합니다.정수 계수를 갖는 단다항 방정식의 해인 대수적 수를 대수적 정수라고 합니다.

구성 가능한 수

직선과 나침반을 사용한 구성의 고전적인 문제에 자극을 받은 구성 가능한 수는 유한한 수의 단계에서 단위 길이의 주어진 세그먼트에서 시작하여 직선과 나침반을 사용하여 실제 및 가상 부분을 구성할 수 있는 복소수입니다.

계산 가능한 수

재귀적 수(recursive number)라고도 하는 계산 가능한 수는 입력으로 양의 수 n이 주어지면 계산 가능한 수의 십진법 표현의 첫 n자리를 생성하는 알고리즘이 존재하는 실수입니다.동일한 정의는 μ-재귀 함수, 튜링 기계 또는 λ-계산기를 사용하여 제공할 수 있습니다.계산 가능한 수는 다항식의 근 계산을 포함한 모든 일반적인 산술 연산에 대해 안정적이므로 실제 대수를 포함하는 실제 닫힌 필드를 형성합니다.

계산 가능한 숫자는 컴퓨터에 정확하게 표현될 수 있는 실제 숫자로 볼 수 있습니다. 계산 가능한 숫자는 첫 번째 숫자와 더 많은 숫자를 계산하기 위한 프로그램으로 정확하게 표현됩니다.그러나 계산 가능한 숫자는 실제로 거의 사용되지 않습니다.한 가지 이유는 두 계산 가능한 숫자의 동일성을 검정하는 알고리즘이 없기 때문입니다.더 정확하게 말하면, 어떤 계산 가능한 수를 입력으로 받아들이고, 이 수가 0인지 아닌지를 모든 경우에 결정하는 알고리즘은 존재할 수 없습니다.

계산 가능한 숫자의 집합은 자연수와 같은 카디널리티를 가집니다.따라서 거의 모든 실수는 계산할 수 없습니다.그러나 계산할 수 없는 실수를 명시적으로 생성하는 것은 매우 어렵습니다.

개념의 확장

p-adic 수

p-adic 수는 소수점 왼쪽으로 무한히 긴 확장을 가질 수 있는데, 이는 실수가 오른쪽으로 무한히 긴 확장을 가질 수 있는 방법과 같습니다.결과가 되는 수 체계는 숫자에 어떤 밑면을 사용하느냐에 따라 달라집니다. 어떤 밑면도 가능하지만 소수 밑면이 가장 좋은 수학적 특성을 제공합니다.p-adic 숫자의 집합은 유리수를 포함하지만 복소수에는 포함되지 않습니다.

유한장 위의 대수적 함수장의 요소와 대수적 수는 많은 유사한 성질을 갖습니다(함수장 유추 참조).따라서 수론자들은 종종 수로 간주합니다.p-adic 숫자는 이 비유에서 중요한 역할을 합니다.

초복소수

복소수에 포함되지 않은 일부 수 체계는 복소수의 구성을 일반화하는 방식으로 실수로부터 구성될 수 있습니다.그것들은 때때로 초복소수라고 불립니다.여기에는 윌리엄 로완 해밀턴 경이 도입한 곱셈이 상호 교환적이지 않은 쿼터니언 H, 곱셈이 상호 교환적이지 않은 것 외에도 연상적이지 않은 옥타니언, 그리고 곱셈이 대체적이지 않은, 연상적이지도 않고 상호 교환적이지도 않은 세멘션이 포함됩니다.

초정수

무한 집합을 다루기 위해 자연수는 순서수와 기수로 일반화되었습니다.전자는 세트의 순서를 알려주고 후자는 세트의 크기를 알려줍니다.유한 집합의 경우 서수와 기수 모두 자연수로 식별됩니다.무한한 경우 많은 서수가 같은 기수에 해당합니다.

비표준수

초실수는 비표준 분석에서 사용됩니다.초현실(hyperreal) 또는 비표준 현실(일반적으로 *R로 표시됨)은 실수 R의 순서 필드의 적절한 확장이며 전달 원리를 만족하는 순서 필드를 나타냅니다.이 원리는 R에 대한 진정한 1차 문장을 *R에 대한 진정한 1차 문장으로 재해석할 수 있게 해줍니다.

초현실수와 초현실수는 무한히 작은 수와 무한히 큰 수를 더함으로써 실수를 확장시키지만, 여전히 필드를 형성합니다.

참고 항목

메모들

참고문헌

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외부 링크

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• 정수열 온라인 백과사전