기하 평균

나는 1{\displaystyle l_{1}의 적용한 기하적 평균의:나는 g{\displaystyle l_{g}}( 빨간)은 기하 평균.}과 나는 2(BC¯){\displaystyle l_{2}\은 선분,({\overline{기원전}})}수직으로 A가 B¯에게 수여된다 예는 나는 2{\displaystyle l_{2}},[1][2]. {\dis

play

style { overline {

AB }

（각 애니메이션 실행 사이에 10초 동안 일시정지)

수학에서 기하 평균은 평균 또는 평균으로, (합계를 사용하는 산술 평균과 대조적으로) 값의 곱을 사용하여 숫자의 집합의 중심 경향 또는 전형적인 값을 나타냅니다.기하 평균은 n개의 숫자에 $대한$ 곱의 n번째 근으로 정의된다. 즉, $숫자 1$ $x 2,$ x, $...,$ $x$ 의_n 집합에 대해 기하 평균은 다음과 같이 정의된다.

\left(\displaystyle _{i=1}x_{i}\오른쪽)^{\frac {1}x_{n}=blackrt[{n}}}{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}}

또는 로그 척도의 산술 평균으로 동등하게 사용할 수 있습니다.

(\displaystyle \exp {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right)}}

예를 들어, 2와 8의 기하평균은 제품의 제곱근일 뿐입니다. ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ , 2 ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ $=$ 4({ $displaystyle {2\cdot$ 8}}= $4$ 또 다른 예로서, 4의 3개의 숫자(1/8)와 1/32의 기하평균은 제품의 제곱근(1/8 $),$ ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ 1/ ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ 이다 ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ $({displaystyle {3}){4\cdot$ 1\ $cdot$ 1/ $32}=$ 1/ $2$ 기하 평균은 ^[3]양수에만 적용됩니다.

기하 평균은 증가 수치 집합(예: 시간에 따른 인구 값 또는 금융 투자의 이자율)과 같이 값이 함께 곱해지거나 지수적인 일련의 숫자에 종종 사용됩니다.0.5배(속도 절반)와 2배(속도 2배)의 평균은 1(전체 속도 향상 없음)이므로 속도 향상 비율을 계산하는 데 특히 유용한 벤치마킹에도 적용됩니다.

기하학적 평균은 기하학적 측면에서 이해할 수 있다. $b$ 숫자 $a$ 와 $b$ 의 $b$ 기하학적 평균은 정사각형의 한 변의 길이이며, 그 넓이는 $b$ 와 $a$ $b$ 의 $b$ $a$ 의 길이가 직사각형의 면적과 같다. $마찬가지$ 로 3개의 $숫자$ $a$ 와 $b$ 의 기하학적 평균이다 $a$ \ $displaystyle$ b $b$ 및 $\displaystyle$ c는부피가 $c$ 3개의 숫자와 같은 변의 부피와 같은 큐브의 한 모서리 길이입니다 $.$

기하 평균은 산술 평균 및 조화 평균과 함께 세 가지 고전 피타고라스 평균 중 하나입니다.적어도 한 쌍의 불평등한 값을 포함하는 모든 양의 데이터 집합의 경우, 고조파 평균은 항상 세 평균 중 가장 작은 반면, 산술 평균은 항상 세 평균 중 가장 크고 기하 평균은 항상 그 사이에 있습니다(산술 평균과 기하 평균의 부등식 참조).

계산

데이터 ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ 세트 { ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ 1, ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ 2, ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ $}$ { $textstyle \left$ \ ${a_{1}, a_{2},\ldots ,a_{n}\right\}$ 의 ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ 기하학적 평균은 다음과 같습니다.

\left(\displaystyle _{i=1}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}=sqrt[{n}}}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}}.

^[4]

위 그림은 일련의 곱셈을 나타내기 위해 대문자 파이 표기법을 사용합니다.등호의 각 변은 일련의 값을 연속적으로 곱한 것(값의 수는 "n"으로 표시됨)을 나타내며, 그 후 전체 곱의 n번째 루트를 취하여 원래의 집합의 기하평균을 구한다.예를 들어 ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ 의 ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ 1, ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ 2, ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ , 4 $textstyle$ \{ ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ , $2$ , 3 $,$ 4 ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ 의 ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ 에서 ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ 1 ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ × 2 ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ × ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ × $4(textstyle$ 1\ $times 2\times$ 3 $\times$ 4 $)$ 의 ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ 곱은 $({textstyle$ 24 ${\textstyle 24}$ 이고 기하 평균은 24의 네 번째 루트(~2.213)입니다.왼쪽의 $($ 스타일 ${frac {1}{n})$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ 는 ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ n번째 루트를 구하는 것과 같습니다.예를 들어, ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$ 1 ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$ $=$ ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$ 4 {\ $textstyle$ 24 $^{\frac {$ 1}{4}}= $squalrt[{4}]{24$ 입니다.

반복 평균

데이터 집합의 기하 평균은 데이터 집합의 모든 구성원이 동일하지 않는 한 데이터 집합의 산술 평균보다 작습니다. 이 경우 기하 평균과 산술 평균이 동일합니다.이를 통해 항상 사이에 있는 두 개의 교차점인 산술-기하 평균을 정의할 수 있습니다.

기하학적 평균은 두 개의 시퀀스( ${\textstyle a_{n}}$ ${$ 와 ( ${\textstyle h_{n}}$ n { $textstyle h_{n$ 가 정의되어 있는 경우 산술적 조화 평균이기도 합니다.

a_{n+1}=param frac {a_{n}+h_{n}}{2},\param a_{0}=x

그리고.

h_{n+1}=snfrac {2}{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\snfrac h_{0}=y

${\textstyle h_{n+1}}$ 서 h n ${\textstyle h_{n+1}}$ + ${\textstyle h_{n+1}}$ ({ $textstyle$ h_ ${n+1})$ 은 ${\textstyle h_{n+1}}$ 두 시퀀스의 이전 값의 조화 평균이며, $(\$ })과 ${\textstyle a_{n}}$ $(\$ 는 ${\textstyle h_{n}}$ x $(\textstyle$ x})와 ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ y(\ $textstyle$ y ${\textstyle y}$ 의 기하 평균으로 수렴됩니다.시퀀스가 공통 한계로 수렴되고 기하 평균이 보존됩니다.

{\displaystyle {a_{i}h_{i}}={frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}}=fracrt {a_{i}+h_{i}}}{frac {a}}{i}}}=fracrcrcrt {a_{a}{a}{a}}}{frc}{i}}}}}{frac}{a}}}}}}{frc}{frc}}}}}}}}{frc

산술 평균과 조화 평균을 반대되는 유한 지수의 일반화 평균 쌍으로 대체해도 동일한 결과가 나옵니다.

로그와의 관계

기하 평균은 ^[5]로그의 산술 평균의 지수로도 표현될 수 있습니다.방정식을 변환하기 위해 로그 ID를 사용하여 곱셈은 합계로, 거듭제곱은 곱셈으로 나타낼 수 있습니다.

$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ 1, $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ 2, $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ n $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ > $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$ { $displaystyle a_{1}, a_{2},\dots,a_{n}>0}$ 인 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$

\displaystyle \left(\displaystyle _{i=1}^{i}\right)^{\frac {1}{n}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];}

예를 들면:

({displaystyle {displaystyle {argined}\left(\displaystyle _ {i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&=cdots a_{n}}\&=e^{\ln(a_{1}a_{cdots}{n}\cdots}a_{n}{n})}\\&=e^{\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\{\text{n}\{\text{{\text}a\text}}}}&=e^{\text{산술평균(ln(}a420text{)})}}\end {aligned}}

또는 로그와 숫자 모두에 대해 동일한 기준에서 개별 로그의 산술 평균의 거듭제곱에 대한 양의 실수 베이스를 사용합니다.

$a_{i}$ a $(\$ i $a_{i}$ })의 음수 값이 허용되는 경우

\displaystyle \left(\displaystyle _{i=1}^{n}\right)^{\frac {1}{n}=\left(\left1\right)^{m}\right)^{1}{n}\exp \left[{\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}\ln \left a_{i}\right \right],}

$여기$ 서 m은 음수입니다.

이를 로그 평균이라고 부르기도 합니다(로그 평균과 혼동하지 마십시오).이는 $a_{i}$ i {\ $displaystyle a_{$ i}( $a_{i}$ 로그 척도의 산술 평균)의 로그 값 산술 평균을 계산한 다음, 지수를 사용하여 계산을 원래 척도로 되돌리는 것입니다. 즉 $,$ x에 대해 $f(x)=\log x$ f $f(x)=\log x$ ) $=$ log = log( $\displaystyle$ f $(x$ 인 $f(x)=\log x$ f-평균입니다.xample 2와 8의 기하 평균은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. $b$ 서b {\ $displaystyle$ b $}$ 는 $b$ 로그의 밑수입니다(\ $displaystyle$ e $}$ $e$ 10).

b^{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4

위와 관련하여, 주어진 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ a $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 1, $…,$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ {\ $displaystyle a_{1},\ldots,a_{$ n $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 에 대해 기하 평균은 다음과 같은 최소값임을 알 수 있습니다.

2

^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i}/a))

^{2

반면 산술 평균은 의 최소값이다.

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

(

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

a )

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

ii

=

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

a -

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

)

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

{

displaystyle

f

(a

)=\

sum

_ {

i=1}^n}(a_{i}-a)^2

따라서 기하 평균은 지수가 표본의 지수와 가장 잘 일치하는 표본의 요약을 제공합니다(최소 제곱 의미).

기하 평균의 로그 형식은 많은 수의 곱을 계산하면 산술 오버플로 또는 산술 언더플로우가 발생할 수 있기 때문에 일반적으로 컴퓨터 언어에서 구현에 선호되는 대안입니다.이것은 각 숫자에 대한 로그의 합으로 발생할 가능성이 낮습니다.

산술 평균과의 비교

산술 평균과 기하 평균의 부등식에 대한 단어가 없는 증명:
PR은 O를 중심으로 하는 원의 지름이며 반지름 AO는 a와 b의 산술 평균입니다.기하평균정리에 따르면 삼각 PGR의 염도 GQ는 기하평균이다.임의의 비율 a:b에 대해서AO † GQ

두 개의 서로 다른 양수 a와^[6] b의 최대(a, b) > 평균 제곱근(RMS) 또는 2차 평균(QM) > 산술 평균(AM) > 기하 평균(GM) > 조화 평균(HM) > 최소(a, b)라는 단어가 없는 기하학적 증명

비어 있지 않은 (양수) 숫자 데이터 집합의 기하 평균은 항상 최대 산술 평균입니다.동일성은 데이터 집합의 모든 숫자가 같을 때만 얻을 수 있습니다. 그렇지 않으면 기하 평균이 더 작습니다.예를 들어, 2와 3의 기하 평균은 2.45이고 산술 평균은 2.5입니다.특히, 이는 동일하지 않은 숫자의 집합이 평균 보존 확산(즉, 집합의 요소들이 산술 평균을 변경하지 않은 채 서로 더 많이 "확산"되면 기하 평균이 ^[7]감소한다는 것을 의미한다.

평균 증가율

많은 경우 기하평균은 어떤 수량의 평균 성장률을 결정하는 가장 좋은 척도이다(예를 들어 1년간 매출이 80%, 다음 해 매출이 25% 증가하면 기하평균 1.80과 1.25는 1.50이므로 최종 결과는 50%의 지속적인 성장률과 동일하다).평균 성장률을 결정하기 위해 모든 단계에서 측정된 성장률의 곱을 취할 필요는 없다. $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ 은 a 0 $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ , $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ ${\$ a_ ${0}, a_{1}..., a_{n$ 의 $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ 로 지정합니다. $n$ 서n {\ $displaystyle$ n $}$ 은 $n$ 초기 상태에서 최종 상태까지의 단계 수입니다. $(\$ 와 $a_{k}$ $(\$ 사이의 $a_{k+1}$ 연속 $a_{k}$ 증가율은 $a_{k+1}/a_{k}$ + $a_{k+1}/a_{k}$ 1 $a_{k+1}/a_{k}$ / $(\$ 입니다.이러한 성장률의 기하학적 평균은 다음과 같습니다.

\frac {a_{1}}{a_{0}}{\frac {a_{1}}{a_{1}}\right}{\frac {1}=\frac\frac {{n}{a_{0}}}{\frac}{a_{{0}}}}}{\frac}{\right}{frac}{frac}}{frac}}}{frac}}{frac}}{fright}}{frac}}}{frac}}}}}}}}}{frac

정규화된 값에 적용

기하 평균의 기본 특성은 다른 어떤 평균에도 적용되지 않는 동일한 길이의 X $(표시 스타일$ X $)$ 와 $X$ Y $(표시 스타일$ Y $)$ 두 $Y$ $X$ 에 대해

\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}) {Y_{i}}\right)=parc {operatorname {GM}(X_{i}){\operatorname {GM}(Y_{i})}}

따라서 정규화된 결과의 평균을 구할 때 기하 평균이 유일하게 올바른 평균이 됩니다. 즉, 결과는 기준 ^[8]값에 대한 비율로 표시됩니다.이는 참조 컴퓨터에 대한 컴퓨터 성능을 제시할 때 또는 여러 이기종 소스(예: 수명, 교육연수 및 유아 사망률)로부터 단일 평균 지수를 계산할 때 해당된다.이 시나리오에서 산술 평균 또는 조화 평균을 사용하면 기준으로 사용되는 항목에 따라 결과의 순위가 변경됩니다.예를 들어, 시스템 프로그램의 실행 시간을 다음과 같이 비교합니다.

표 1.

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	1	10	20
프로그램 2	1000	100	20
산술 평균	500.5	55	20
기하 평균	31.622 . . .	31.622 . . .	20
조화 평균	1.998 . . .	18.182 . . .	20

산술과 기하학은 컴퓨터 C가 가장 빠르다는 것에 동의한다는 것을 의미합니다.그러나 적절하게 정규화된 값을 제시하고 산술 평균을 사용하면 다른 두 컴퓨터 중 하나가 가장 빠르다는 것을 알 수 있습니다.A의 결과로 정규화하면 산술 평균에 따라 A가 가장 빠른 컴퓨터로 지정됩니다.

표 2

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	1	10	20
프로그램 2	1	0.1	0.02
산술 평균	1	5.05	10.01
기하 평균	1	1	0.632 . . .
조화 평균	1	0.198 . . .	0.039 . . .

B의 결과로 정규화하면 산술 평균으로는 B가 가장 빠른 컴퓨터이지만 조화 평균으로는 A가 가장 빠른 컴퓨터이다.

표 3

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	0.1	1	2
프로그램 2	10	1	0.2
산술 평균	5.05	1	1.1
기하 평균	1	1	0.632
조화 평균	0.198 . . .	1	0.363 . . .

C의 결과로 정규화하면 산술 평균으로는 C가 가장 빠른 컴퓨터이지만 고조파 평균으로는 A가 가장 빠른 컴퓨터가 됩니다.

표 4

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	0.05	0.5	1
프로그램 2	50	5	1
산술 평균	25.025	2.75	1
기하 평균	1.581 . . .	1.581 . . .	1
조화 평균	0.099 . . .	0.909 . . .	1

모든 경우 기하 평균에 의해 주어진 순위는 정규화되지 않은 값으로 얻은 순위와 동일합니다.

그러나 이 추론은 의문시되고 있다.^[9]일관성 있는 결과를 제공하는 것과 올바른 결과를 제공하는 것이 항상 같지는 않습니다.일반적으로 각 프로그램에 가중치를 할당하고 평균 가중 실행 시간(산술 평균을 사용)을 계산한 다음 그 결과를 컴퓨터 중 하나에 정규화하는 것이 더 엄격합니다.위의 세 표는 산술평균과 조화평균의 불일치 결과를 설명하면서 각 프로그램에 서로 다른 가중치를 부여합니다(표 4는 두 프로그램에 동일한 가중치를 부여하고 표 2는 두 번째 프로그램에 1/1000의 가중치를 부여하며 표 3은 두 번째 프로그램에 1/100의 가중치를 부여하고 표 3은 첫 번째 프로그램에 1/10의 가중치를 부여합니다).실행 시간을 곱하는 것은 산술 평균에서와 같이 시간을 더하는 것과 대조적으로 물리적 의미가 없기 때문에 가능하면 성능 수치를 집계하기 위한 기하 평균의 사용은 피해야 한다.시간에 반비례하는 메트릭(속도 업, IPC)은 고조파 평균을 사용하여 평균을 구해야 합니다.

기하 평균은 p $\displaystyle$ p가 $p$ 0이 되는 $p$ 으로 일반화 평균에서 도출할 수 있습니다.마찬가지로, 이것은 가중 기하 평균에 대해서도 가능합니다.

연속 함수의 기하 평균

f $f:[a,b]\to (0,\infty )$ : $f:[a,b]\to (0,\infty )$ [ $f:[a,b]\to (0,\infty )$ , $f:[a,b]\to (0,\infty )$ ] $f:[a,b]\to (0,\infty )$ ( $f:[a,b]\to (0,\infty )$ , $f:[a,b]\to (0,\infty )$ ) $f:[a,b]\to (0,\infty )$ { $displaystyle$ f : [ $a$ , $b$ ]\ $to$ ( 0 , \ $infty$ )}가 $f:[a,b]\to (0,\infty )$ 양의 연속 실수치 함수일 $f:[a,b]\to (0,\infty )$ , 이 간격 동안의 기하 평균은 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일GM}} [f]=\exp \leftfac {1} {b-a}\int _{a}^{b}\ln f(x)\right}

예를 들어 단위 간격에 걸쳐 항등함수 f $f(x)=x$ $=$ $f(x)=x$ (\ $displaystyle$ f $(x$ )= $x)$ 를 $f(x)=x$ 구하면 0과 1 사이의 양수의 기하평균이 ${\frac {1}{e}}$ e(\ $displaystyle {1}{e$ 와 ${\frac {1}{e}}$ .

적용들

비례 성장

기하 평균은 지수 성장(일정한 비례 성장)과 가변 성장을 모두 설명하는 산술 평균보다 더 적합합니다. 비즈니스에서 기하 평균 성장률은 복합 연간 성장률(CAGR)로 알려져 있습니다.기간별 성장의 기하평균은 동일한 최종 금액을 산출하는 등가 상수 성장률을 산출한다.

오렌지 나무에서 한 해에 100개의 오렌지가 생산되고 다음 해에 180, 210 및 300개의 오렌지가 생산되므로 매년 80%, 16.666% 및 42.8571%씩 성장한다고 가정합니다.산술 평균을 사용하면 a(선형) 평균 성장률이 46.5079%(80% + 16.666% + 42.8571%)로 계산되고 합계는 3으로 나눕니다.단, 100개의 오렌지에서 시작하여 매년 46.5079%의 성장을 하면 300개가 아닌 314개의 오렌지가 되기 때문에 선형 평균은 전년 대비 성장을 과대 계상하고 있습니다.

대신 기하 평균을 사용할 수 있습니다.80%의 성장은 1.80을 곱하는 것과 같기 때문에 기하 평균 1. ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ , 1.1666 및 1.428571을 취합니다. ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ 80 × 1 ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ × 1. ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ 3 ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ 1. $({style$ { $sqrt[{3}{1.$ 80 $\166\2871})$ 입니다.100개의 오렌지로 시작하여 매년 44.2249%씩 증가하면 300개의 오렌지가 됩니다.

금융의

기하 평균은 때때로 재무 지수를 계산하는 데 사용되어 왔다(평균은 지수의 구성요소에 걸쳐 있다).예를 들어 과거에는 FT 30 지수가 기하 평균을 ^[10]사용했습니다.영국과 유럽연합(EU)에서 최근 도입된 인플레이션에 대한 "RPIJ" 측정에도 사용된다.

이것은 산술 ^[10]평균을 사용하는 것에 비해 지수의 움직임을 과소평가하는 효과가 있다.

사회과학 분야에서의 응용

기하학적 평균은 사회 통계를 계산하는 데 있어 상대적으로 드물었지만, 2010년부터 유엔 인간개발지수는 통계 작성 및 비교되는 통계의 대체 불가능한 특성을 더 잘 반영한다는 이유로 이 계산 방식으로 전환했다.

기하학적 평균은 [비교되는] 차원 사이의 대체가능성을 감소시키고 동시에 출생시 기대수명이 1% 감소하는 것은 교육이나 소득의 1% 감소와 같은 영향을 HDI에 미치는 것을 보장합니다.따라서 성과 비교의 근거로, 이 방법은 또한 단순한 ^[11]평균보다는 차원 간의 본질적인 차이를 더 존중한다.

HDI(Human Development Index) 계산에 사용되는 모든 값이 정규화된 것은 아닙니다.대신 ( $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ - $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ ) $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ / ( $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ norm - $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ ) \ $displaystyle \$ left ( X - X _ { \ $text$ { $min$ } \ $right )$ / \ $left$ ( X _ { \ $text$ { $norm$ } ) } $}$ 따라서 위의 "속성" 섹션에서 예상하는 것보다 기하 평균의 선택이 덜 명확해집니다.

불평등 혐오 매개변수가 1.0인 앳킨슨 지수와 관련된 균등하게 분포된 복지 등가소득은 단순히 소득의 기하 평균이다.값이 1이 아닌 경우 등가값은 Lp 노름을 요소의 수로 나눈 값이며, p는 1에서 부등식 회피 파라미터를 뺀 값입니다.

기하학.

직각에서 빗변까지의 직각 삼각형의 고도는 빗변을 분할한 세그먼트의 길이의 기하 평균이다.변의 세 삼각형 (p + q, r, s ) (r, p, h ) 및 (s, h, q)에 대한 피타고라스의 정리를 사용하여,

{aligned}(p+q)^2}\;\begmair=\begmair r^{2}\;\;,+\begmair s^{2}\\p^{2}\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\오버브레이스 {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\오버브레이스 {h^{2}\!!+\!q^{2}} \\2pq\context \;\;\guarden=2h^{2}\;\context h\!=\!{\syslogrt {pq}}\\end {aligned}

직각삼각형의 경우, 그 고도는 빗변에서 90° 정점까지 수직으로 뻗은 선의 길이이다.이 선이 빗변을 두 개의 세그먼트로 분할한다고 가정하면, 이 세그먼트 길이의 기하 평균은 고도의 길이입니다.이 특성은 기하 평균 정리라고 알려져 있습니다.

타원에서 반소축은 초점으로부터의 타원의 최대 및 최소 거리의 기하 평균이며, 반소축과 반소직장의 기하 평균이기도 하다.타원의 반장축은 중심에서 초점까지의 거리와 중심에서 직행렬까지의 거리의 기하 평균입니다.

또 다른 방법은 다음과 같습니다.

$r$ 이 r ${displaystyle$ r $r$ 인 원을 고려합니다. 이제 원의 정반대되는 두 점을 잡고 양끝에서 압력을 가하여 a ${displaystyle$ a $}$ $b$ b ${displaystyle$ b $b$ $a$ 의 반장축과 반장축을 가진 타원으로 변형합니다.

원과 타원의 면적이 같기 때문에 다음과 같이 됩니다.

${arigned}\pi r^{2}&=\pi ab\r&=subrt {ab}\end {aligned}$

원의 반지름은 원을 변형하여 형성된 타원의 반장축과 반단축의 기하 평균입니다.

구의 지평선까지의 거리는 구의 가장 가까운 지점까지의 거리 및 구의 가장 먼 지점까지의 거리의 기하학적 평균과 거의 같다.

S.A. 라마누잔(1914)에 따라 원을 제곱하는 근사치와 레이번의 수학에 의해 인정된 T. P. 스토웰이 보낸 "에 따라 헵타데카곤을 건설하는 데 있어 둘 다 마찬가지이다. 저장소, 1818" 기하 평균이 사용됩니다.

석면비

Kerns Powers가 SMPTE 16:9 ^[12]표준을 도출하기 위해 사용한 석면비의 동등한 면적 비교. TV 4:3/1.33, 오렌지 1.66, 블루 16:9/1.77, 옐로우 1.85, Panavision/2.2, 시네마스코프/2.35 (보라색)

기하학적 평균은 필름과 비디오에서 타협적인 종횡비를 선택하는 데 사용되어 왔습니다. 두 종횡비가 주어지면, 기하학적 평균은 두 종횡비를 절충하여, 어떤 의미에서는 두 종횡비를 균등하게 왜곡하거나 잘라냅니다.구체적으로는 종횡비가 다른 2개의 동일한 면적 직사각형(같은 중심과 평행 변)이 기하평균인 직사각형으로 교차하고, 그 선체(양쪽을 모두 포함한 가장 작은 직사각형)도 마찬가지로 기하평균의 종횡비를 가진다.

SMPTE에 의한 16:9 석면비 선택에서 2.35와 4:3의 균형을 이룬 기하학적 평균은 2 $×$ ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ 1. $({$ $textstyle$ ${2.35\times$ { $frac {4$ 이므로 ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$ :9 ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ 1 $.$ 이것은 Kerns Powers에 의해 경험적으로 발견되었는데, 그는 같은 면적의 직사각형을 잘라내고 각각의 인기 있는 가로 세로 비율에 맞게 모양을 만들었다.정렬된 중앙점과 겹쳤을 때, 이러한 모든 가로 세로 비율 직사각형은 가로 세로 비율이 1.77:1인 바깥쪽 직사각형 안에 들어가고, 또한 모두 같은 가로 세로 비율이 1.77:^[12]1인 작은 공통 내부 직사각형을 덮는다는 것을 발견했습니다.Powers에 의해 발견된 값은 극단 애스펙트 비인 4:3(1.33:1)와 Cinema Scope(2.35:1)의 기하 평균으로, 공교롭게도 16 $:9($ ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$ µ: ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$ {\ $textstyle$ 1. $77{\overline {7}:1})$ 에 가깝습니다.중간 비율은 결과에 영향을 미치지 않으며 두 가지 극단적인 비율만 영향을 미칩니다.

16:9와 4:3에 동일한 기하학적 평균 기법을 적용하면 약 14:9(1. ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ µ\ $textstyle$ 1. $55{\overline {5}}$ ...) ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ 의 석면비가 산출되며,^[13] 이 비율들 사이의 타협으로 사용됩니다.이 경우 14:9는 정확히 $:9$ 의 산술 평균입니다. $14$ 는 16과 12의 평균이고, 정확한 기하 ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 은 ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 1. ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 13 $: 9이므로 14$ : $9$ 및 ${\textstyle 4:3=12:9}$ $3$ ${\textstyle 16:9}$ $= 12$ $9$ 의 ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 평균입니다 $.$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 그러나 산술과 기하학이라는 두 가지 다른 평균은 두 숫자가 서로 충분히 가깝기 때문에 거의 동일합니다(차이는 2% 미만).

용지 형식

기하 평균은 B 및 C 시리즈 용지 형식을 계산하는 데도 사용됩니다. $B_{n}$ n { $display style$ B _ { $B_{n}$ $n$ } has $B_{n}$ $A_{n}$ $A_{n-1}$ 、 $A_{n}$ $A_{n-1}$ - 1 $A_{n-1}$ （ $display style$ A _ { n - 1 $A_{n-1}$ ） $A_{n}$ 의 기하 평균인 면적이 있습니다.예를 들어, B1 용지의 $면적$ 은 2 $($ 스타일 { $frac$ { $qrt$ } { n } $^2$ rm ）。f A0 ( $1$ $1\mathrm {m} ^{2}$ \ $displaystyle$ 1 \ $mathrm {$ $m$ $1\mathrm {m} ^{2}$ } ^ { $1\mathrm {m} ^{2}$ )및 A1 ( ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ 2 ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ \ $displaystyle$ { $frac {$ $} ^$ { $}$ ) $용지$ 면적 ( $1$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ 2 ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ $1$ m2 = ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ m2 = 2 m2 ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ $m2$ 2 $mtxisplaystyle)$ $^{2}}=sqrt {\frac {1}{2}}\mathrm {m}^{4$ }}= $sqrc {1}{\sqrt {2}=sqrc {m}^{2}}\mathrm {m}.$

면적이 A 및 B 계열의 기하 평균인 C 계열에도 동일한 원리가 적용됩니다.예를 들어 C4 포맷은 A4, B4 영역의 기하평균인 영역을 가진다.

이 관계에서 얻을 수 있는 이점은 A4 용지가 C4 봉투 안에 들어가며 둘 다 B4 봉투 안에 들어갈 수 있다는 것입니다.

기타 응용 프로그램

스펙트럼 평탄도: 신호 처리에서 스펙트럼 평탄도는 스펙트럼의 평탄도 또는 스파이크 정도를 측정하는 것으로, 전력 스펙트럼의 기하학적 평균 대 산술 평균의 비율로 정의된다.
반사 방지 코팅:굴절률₀ n과₂ n의 두 매체 사이에서 반사를 최소화할 필요가 있는 광학 코팅에서 반사방지 코팅의 최적 굴절률₁ n은 $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ n $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ n 2 { $displaystyle n_$ {1} = $qrt {n_{0} n_{2$ 에 의해 주어진다.
감색 혼합:페인트 혼합물에 대한 스펙트럼 반사율 곡선은(^[14]색조 강도, 불투명도 및 희석이 동일) 스펙트럼의 각 파장에서 계산한 페인트의 개별 반사율 곡선의 대략적인 기하 평균이다.
이미지 처리:기하학적 평균 필터는 영상 처리에서 노이즈 필터로 사용됩니다.

「」를 참조해 주세요.

주 및 참고 자료

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피타고라스의 정리를 사용하여 QC² = QO² + OC² qc QC = q QO² + OC² = QM.
피타고라스의 정리를 사용하여 OC² = OG² + GC² gc GC = √OC² - OG² = GM.
비슷한 삼각형을 사용해서HC/GC = GC/OC h HC = GC²/OC = HM.
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외부 링크

산술해와 비교한 두 숫자의 기하평균 계산
산술 및 기하 평균
기하 평균을 사용하는 경우
다양한 종류의 데이터를 사용하여 기하 평균을 계산하는 실용적인 솔루션 2010-11-12 Wayback Machine에 보관
MathWorld에서의 기하 평균
기하평균의 기하학적 의미
더 큰 데이터 세트를 위한 기하 평균 계산기
기하평균을 이용한 의회 배분 계산
비뉴턴 미적분 웹사이트
기하 평균 정의 및 공식
기하 평균 분포
기하학적 평균?

[1] Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu 및 Stacey Luong"On Compass and Straightedge Constructions: Means" (PDF). UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS. 2013. Retrieved 14 June 2018.

[2] "Euclid, Book VI, Proposition 13". David E. Joyce, Clark University. 2013. Retrieved 19 July 2019.

[3] 기하평균은 같은 부호의 숫자에만 적용되어 허수의 결과로 이어질 수 있는 음수의 곱을 취하는 것을 피하고 또한 기사의 뒷부분에서 설명되는 평균에 대한 특정 특성을 만족시킨다.이 정의는 0(기하평균 0을 산출함)을 허용하지만 기하평균의 대수를 (곱셈과 덧셈을 변환하기 위해) 자주 취하기를 원하며 0의 대수를 취할 수 없기 때문에 제외될 수 있다.

[4] "2.5: Geometric Mean". Statistics LibreTexts. 2019-04-20. Retrieved 2021-08-16.

[5] Crawley, Michael J. (2005). Statistics: An Introduction using R. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.

[6] AC = a 및 BC = b. OC = a 및 b의 AM이고 반지름 r = QO = OG인 경우.
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피타고라스의 정리를 사용하여 OC² = OG² + GC² gc GC = √OC² - OG² = GM.
비슷한 삼각형을 사용해서HC/GC = GC/OC h HC = GC²/OC = HM.

[7] Mitchell, Douglas W. (2004). "More on spreads and non-arithmetic means". The Mathematical Gazette. 88: 142–144. doi:10.1017/S0025557200174534. S2CID 168239991.

[8] Fleming, Philip J.; Wallace, John J. (1986). "How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results". Communications of the ACM. 29 (3): 218–221. doi:10.1145/5666.5673. S2CID 1047380.

[9] Smith, James E. (1988). "Characterizing computer performance with a single number". Communications of the ACM. 31 (10): 1202–1206. doi:10.1145/63039.63043. S2CID 10805363.

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