비표준 분석

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 무한수를 포함하는 이상화된 숫자가 도입되어야 한다고 주장했다.

미적분의 역사는 유동이나 극소수의 의미와 논리적 타당성에 대한 철학적 논쟁으로 가득 차 있다.이러한 논쟁을 해결하는 표준적인 방법은 미적분의 연산을 무한수가 아닌 엡실론-델타 절차를 사용하여 정의하는 것이다.대신 비표준^[1]^[2]^[3] 분석은 논리적으로 엄격한 극소수 개념을 사용하여 미적분을 재구성합니다.

비표준 분석은 1960년대 초 수학자 에이브러햄 ^[4]^[5]로빈슨에 의해 시작되었다.그는 다음과 같이 썼다.

무한히 작거나 극소량이라는 개념은 우리의 직관에 자연스럽게 호소하는 것 같습니다.어쨌든, 무한소수의 사용은 미적분학과 적분학의 형성 단계에서 널리 퍼졌다.두 개의 뚜렷한 실수 사이의 거리가 무한히 작을 수 없다는 반대에 대해, Gottfried Wilhelm Leibniz는 무한히 작거나 실수에 비해 무한히 클 수 있지만, 그러나 같은 속성을 가지고 있는 이상적인 숫자의 도입을 암시한다고 주장했습니다. 후자

로빈슨은 라이프니츠의 연속성의 법칙이 전달 원리의 전조라고 주장했다.Robinson은 계속했다:

그러나 그와 그의 제자, 후계자 모두 이러한 체계로 이어지는 합리적인 개발을 할 수 없었다.그 결과, 무한소 이론은 점차 평판이 나빠졌고 결국 고전적인 ^[6]한계 이론으로 대체되었다.

Robinson은 계속합니다.

라이프니츠의 생각은 충분히 입증될 수 있고...그것들은 고전적 분석과 수학의 많은 다른 분야들에 대한 참신하고 생산적인 접근으로 이끈다.우리의 방법의 열쇠는 현대 모델 이론의 밑바닥에 있는 수학적 언어와 수학적 구조 사이의 관계에 대한 상세한 분석에 의해 제공된다.

1973년, 직관주의자 아렌드 헤이팅은 비표준 분석을 "중요한 수학적 연구의 표준 모델"^[7]이라고 칭송했다.

서론

순서 $\mathbb {F}$ F $(\$ 의 $\mathbb F$ 0이 아닌 요소는 절대값이 ${\frac {1}{n}}$ $(\$ $displaystyle$ $\mathbb$ {F ${\frac {1}{n}}$ $형식$ 의 F $(\$ displaystyle\displaystyle { $1$ $}{n})$ 의 $표준 자연수보다$ 작을 $n$ $\mathbb {F}$ 에만 $\mathbb F$ $\mathbb {F}$ $n$ 하다.순서가 매겨진 필드가 미량인 것을 비아르키메디아라고도 합니다.보다 일반적으로, 비표준 분석은 비표준 모델과 전달 원리에 의존하는 수학의 모든 형태이다.실수의 전달 원리를 만족시키는 필드는 하이퍼리얼 필드이며, 비표준 실해석에서는 이들 필드를 실수의 비표준 모델로 사용한다.

로빈슨의 원래 접근법은 이러한 실수장의 비표준 모델에 기초했다.비표준 분석이라는 주제에 관한 그의 고전적인 기초 서적은 1966년에 출판되었고 지금도 ^[8]출판되고 있다.Robinson은 88페이지에서 다음과 같이 쓰고 있습니다.

비표준 산술 모델의 존재는 Thoralf Skolem(1934)에 의해 발견되었다.스콜렘의 방법은 초단파 건설의 전조가 된다.

무한소수의 미적분을 개발하기 위해서는 몇 가지 기술적 문제가 다루어져야 한다.예를 들어, 무한수를 사용하여 순서 필드를 생성하는 것만으로는 충분하지 않습니다.관련 아이디어에 대한 자세한 내용은 하이퍼 실수에 대한 기사를 참조하십시오.

기본 정의

이 섹션에서는 하이퍼리얼 필드 $^{*}\mathbb {R}$ R {\ $displaystyle ^{*}\mathbb {R$ 을(를) 정의하는 가장 간단한 방법 중 하나를 개략적으로 설명합니다. R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ 을 $\mathbb {R}$ $($ 를) 실수 필드, $\mathbb {N}$ N {\ $displaystyle \mathbb {N}}$ 을)로 $\mathbb {N}$ 합니다. $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ N $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{\ $mathbb {N}} }$ } 으로 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ 계열의 집합을 나타냅니다.필드 $^{*}\mathbb {R}$ R $^{*}\mathbb {R}$ {\ $displaystyle ^{*}\mathbb {R}$ 은 $^{*}{\mathbb {R}}$ $($ 는) 다음과 같이 R $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N$ 의 적절한 몫으로 정의된다.프린서펄이 아닌 $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ 필터 F $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ P $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ ( N ){ $displaystyle$ F\ $subseteq$ P ( \ $mathbb$ { N $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ } $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ } 。특히 $F$ { \ $displaystyle$ F }에는 Fréchet 필터가 포함되어 있습니다.한 쌍의 시퀀스를 고려합니다.

\mathbb {R} ^{\mathbb {N} } =(u_{n}), v=(v_{n})\in

$u\displaystyle$ u와 $u$ $\displaystyle$ v는 $v$ Ultrafilter의 멤버인 일련의 인덱스에서 일치하거나 공식에서 일치할 경우 동등하다고 $합니다$ .

\displaystyle \{n\in \mathbb {N} : u_{n}=v_{n}\}\in F}

R $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ {\ $displaystyle \mathbb {R}^{\mathbb {N}}}}$ 의 ${\mathbb {R}}^{{\mathbb {N}}}$ 등가관계에 의한 몫은 R $^{*}\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$ / $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$ F {\ $mathbb$ $^{*}\mathbb {R}$ { $R$ $}$ $R$ 로 요약되는 상황인 초실수장 $^{*}\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$ R {\ $displaystyle$ $^{*}$ $}$ $^{*}\mathbb {R}$ R {\mathbbb} R = R } = R } = R_mathbbbb } } ^{{\mathb} } } }이다.

동기

비표준 분석을 고려해야 하는 이유는 이력, 교육학 및 기술 세 가지 이상입니다.

이력

뉴턴과 라이프니츠가 최초로 개발한 극소 미적분의 대부분은 극소수나 소실량과 같은 표현들을 사용하여 공식화 되었다.초실수에 관한 기사에서 언급되었듯이, 이러한 공식들은 조지 버클리 등으로부터 널리 비판받았다.무한소수를 이용한 일관성 있고 만족스러운 분석 이론을 개발하는 도전은 에이브러햄 ^[6]로빈슨에 의해 처음 직면했다.

1958년 Curt Schmieden과 Detlef Laughwitz는 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung"^[9] (미적분의 연장)이라는 기사를 발표했는데, 이 기사에서 무한소수를 포함하는 고리의 건설을 제안했다.그 고리는 실수의 시퀀스로 만들어졌다.두 시퀀스는 유한한 수의 요소에서만 다를 경우 동등한 것으로 간주되었습니다.산술 연산은 요소별로 정의되었습니다.단, 이 방법으로 작성된 링에는 제수가 포함되어 있기 때문에 필드가 될 수 없습니다.

교육학

H. Jerome Keisler, David Tall 및 다른 교육자들은 분석 ^[10]개념에 대한 "epsilon-delta" 접근 방식보다 학생들이 무한소수를 사용하는 것이 더 직관적이고 더 쉽게 이해할 수 있다고 주장한다.이 접근방식은 경우에 따라 해당 증명서의 엡실론-델타 공식보다 더 쉬운 결과 증명을 제공할 수 있다.대부분의 단순화는 다음과 같이 매우 쉬운 비표준 산술 규칙을 적용함으로써 이루어집니다.

극소수 × 유한 = 극소수

극소 + 극소 = 극소

아래에 언급된 전송 원칙과 함께.

비표준 분석의 또 다른 교육학적 적용은 확률적 ^[11]과정 이론에 대한 에드워드 넬슨의 처리이다.

테크니컬

비표준 분석의 개념을 이용한 분석, 특히 통계와 수리 물리학의 제한 과정을 조사하는 데 있어 최근 몇 가지 작업이 수행되었다.Sergio Albeverio ^[12]등에서는 이러한 어플리케이션의 몇 가지에 대해 설명합니다.

비표준 분석에 대한 접근법

비표준 분석에는 의미론적 또는 모델 이론적 접근법과 구문론적 접근법의 두 가지 다른 접근법이 있다.이 두 가지 접근법 모두 수 이론, 대수 및 위상을 포함한 분석 범위를 넘어서는 수학의 다른 영역에 적용된다.

로빈슨의 비표준 분석의 원래 공식은 의미론적 접근의 범주에 속합니다.그의 논문에서 그가 개발한 것처럼, 그것은 이론의 모델(특히 포화 모델)을 연구하는 것에 기초한다.로빈슨의 연구가 처음 등장한 이후, (엘리아스 자콘 때문에) 상부 구조라고 불리는 순수하게 집합 이론적인 오브젝트를 사용하여 더 단순한 의미론적 접근법이 개발되었습니다.이 접근법에서 이론의 모델은 $집합$ S 위에 있는 상부 $구조$ $V ($ S)라고 불리는 물체로 대체된다. $상부$ 구조 $V ($ S)에서 시작하여 전송 원리를 $충족$ 하는매핑 $V ($ S) $\to$ * $V ($ S)와 함께 초단파 구조를 사용하여 다른 물체 * $V$ $(S)$ 를 구성한다.지도 *는 V $(S)$ 및 * $V (S)$ 의 공식 속성을 나타냅니다.게다가, 셀 수 있는 포화라고 불리는 더 단순한 형태의 채도를 고려하는 것이 가능하다.이 단순화된 접근법은 모델 이론이나 논리 전문가가 아닌 수학자들이 사용하기에 더 적합하다.

통사적 접근법은 이해하고 사용하기 위해 훨씬 적은 논리와 모델 이론이 필요합니다.이 접근법은 1970년대 중반 수학자 에드워드 넬슨에 의해 개발되었다.넬슨은 내부 집합론(IST)^[13]이라고 부르는 완전히 자명한 비표준 분석 공식을 도입했다.IST는 기본 이항 멤버쉽 관계 θ와 함께 수학 우주의 요소에 적용할 수 있는 새로운 단항 술어 표준을 도입한다는 점에서 저멜로-프랭켈 집합론(ZF)의 확장이다.

통사적 비표준 해석은 수학자들이 보통 당연하게 여기는 집합 형성의 원리를 적용하는 데 많은 주의를 필요로 한다.Nelson이 지적했듯이 IST에서의 추론의 오류는 불법 집합 형성의 오류이다.예를 들어 IST에는 요소가 정확히 표준 정수인 집합이 없습니다(여기서 표준은 새로운 술어의 의미로 이해됩니다).부정한 세트 형성을 피하기 위해서는 ZFC의 술어만을 사용하여 서브셋을 ^[13]정의해야 합니다.

통사적 접근법의 또 다른 예는 ZF의 공리보다 비표준 분석과 더 호환되는 집합 공리를 찾기 위해 Petr Vopnnka에 의해 소개된 대안^[14] 집합론이다.

로빈슨의 책

에이브러햄 로빈슨의 책 비표준 분석은 1966년에 출판되었다.이 책에서 개발된 주제들 중 일부는 이미 1961년 같은 제목의 그의 기사에 있었다.^[15]이 책은 비표준 분석의 첫 번째 완전한 처리를 포함하는 것 외에도 로빈슨이 부정합한 실체로서의 비표준 분석 지각에 기초해 수학의 역사에 대해 받은 의견 중 일부에 이의를 제기하는 상세한 역사적 섹션을 포함하고 있다.따라서, 로빈슨은 연속 함수의 수렴에 관한 Cours d'Analyze에서 Augustin-Louis Cauchy의 "sum orgines"가 부정확했다는 생각에 이의를 제기하고, 정확한 정리로 귀결되는 가설에 대한 극소수 기반의 해석을 제안한다.

불변 부분 공간 문제

에이브러햄 로빈슨과 앨런 번스타인은 힐버트 공간의 모든 다항식 콤팩트 선형 연산자가 불변 부분 공간을 ^[16]갖는다는 것을 증명하기 위해 비표준 분석을 사용했다.

힐베르트 $공간$ H에 $연산자$ T가 주어졌을 때, $그램-슈미트$ 를 적용하면 $H$ 에 $대한$ 직교 정규 기준 $(e i)$ 을_i 얻을 수 있다 $.$ $H$ 의 "좌표" 하위 공간의 해당 중첩 시퀀스가 되도록 하자 $.$ $($ $e i +1, i$ )에_i 대해 T를 $나타내는$ $행렬 i,j$ a는 계수 a가 유일하게 0이 아닌 하위 대각선 계수라는 점에서 거의 삼각형입니다.번스타인과 로빈슨은 T가 다항식으로 압축되면 $행렬$ $계수 w +1, w$ a가 극소수인 초유한 $지수$ w가 있다는 것을 보여준다.다음으로 * $H$ 의부분 $공간 w$ H를 고려합니다.만약 $H$ 의_w y가 유한 노름을 $갖는다면$ $,$ $T$ ( $y)$ 는 $H$ 에_w 무한히 가깝다.

이제 T를 H에 $작용$ 하는_w $P_{w}\circ T$ $P_{w}\circ T$ w $P_{w}\circ T$ T {\ $displaystyle P_{$ w}\ $circ$ T $}$ 라고 $P_{w}\circ T$ $하자 w$ . $여기$ 서_w P는 H에 $대한 w$ 직교 투영이다. q( $T)$ 가 $콤팩트$ 하도록 다항식을 $q$ 로 나타낸다.부분 $공간 w$ H는 초확정 차원 내부이다.유한 차원 복소 벡터 공간의 연산자의 상부 삼각화를 전달함으로써 대응하는 k 차원 부분 $공간 k$ E 각각이 T 불변하도록 $k$ 가 $1$ 에서 w까지 $이어지는$ H에 $대한 w$ 내부 정규 힐버트 공간 기저 $e$ 가_k 있다.부분 $공간 k$ E에 대한 투영을 $δ$ 로_k 나타냅니다.H에서 $유한$ 노름의 0이 아닌 $벡터$ x에 대해, q $(T)(x)$ 는 0이 아니라고 가정할 수 있고, $아이디어$ 를 고정하기 위해 q( $T)(x)$ > $1$ 이다.이후 q(T)은 소형 사업자인(q(Tw))())은 무한히 가까이 q(T)()) 하며 따라서도 q(Tw)())다>1.이제 j가장 훌륭한 색인에는 q 그런(T홈)(Π j()))<12{\displaystyle q(T_{w})\left(\Pi_{j}())\right)<,{\tfrac{1}{2}}}. 그리고 모든 기준은 요소의 우주 무한하기 위해 $o j$ E는 원하는 불변 부분 공간입니다.

번스타인과 로빈슨 논문의 프리프린트를 읽은 폴 할모스는 표준 기술을 사용하여 ^[17]그들의 증거를 재해석했다.두 논문 모두 태평양 수학 저널의 같은 호에서 연달아 실렸다.할모스의 증명에 사용된 아이디어 중 일부는 수년 후 반삼각형 연산자에 대한 할모스의 연구에서 다시 나타났다.

기타 응용 프로그램

이전에 알려진 결과를 재해석하거나 비판하는 방식으로 다른 결과를 받았다.특히 관심을 끄는 것은 테투로 카마에의 개별 에르고드 정리 증명 또는^[18] 다항식 성장 그룹에 대한 L. van den Dries와 Alex Wilkie의 그로모프 정리 처리이다^[19].비표준 분석은 래리 마네비츠와 슈무엘 와인버거에 의해 대수 ^[20]위상의 결과를 증명하기 위해 사용되었다.

그러나 비표준 분석의 진정한 기여는 비표준 집합론의 새로운 확장 언어를 사용하는 개념과 정리에 있다.수학의 새로운 응용 분야 목록에는 확률,^[11] 유체역학,^[21] 측정 이론,^[22] 비매끄럽고 조화로운 ^[23]분석 등에 대한 새로운 접근법이 있다.

확률적 과정 이론, 특히 무작위 보행으로서의 브라운 운동 구성에 대한 비표준 분석의 적용도 있다.알베리오 ^[12]등이 연구 분야를 훌륭하게 소개하다

미적분 적용

수학 교육의 응용 프로그램으로서 H. 제롬 키슬러는 초등 미적분을 썼다. 무한소수 접근법.^[10]비표준 미적분을 다루면서, 그것은 극소수 원소를 포함하는 초실수를 이용하여 미적분과 적분을 개발한다.이러한 비표준 분석의 적용은 유한 $초현실$ r의 표준 부분의 존재에 따라 달라집니다.st $(r)$ 로 $표시$ 된 $r$ 의 표준 부분은 r에 $무한히$ 가까운 표준 실수입니다.키슬러가 사용하는 시각화 장치 중 하나는 무한히 가까운 점을 식별하기 위한 가상의 무한증대 현미경이다.Keisler의 책은 현재 절판되었지만 그의 웹사이트에서 자유롭게 구할 수 있습니다. 아래의 참고 자료를 참조하십시오.

비평

비표준 분석의 일부 측면의 우아함과 호소력에도 불구하고, 비표준 분석에 대한 비판에서 문서화된 Errett Bishop, Alain Connes, Paul Halmos 등의 비판도 있었다.

논리 프레임워크

임의의 $집합$ S가 주어졌을 때 $집합$ S 위의 상부구조는 조건에 의해 정의된 $집합$ V $(S)$ 이다.

V_{0}(S)=S,

({displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp(V_{n}(S)),}

\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in\mathbf {N}}V_{n}(S).}

따라서 S $위$ 의 상부구조는 S에서 $시작$ 하여 $S$ 의 멱집합에 인접한 동작을 반복하여 결과 시퀀스의 합계를 취함으로써 구한다.실수의 상부 구조에는 다음과 같은 수학적 구조가 풍부하게 포함되어 있습니다.예를 들어, 모든 분리 가능한 메트릭 공간 및 측정 가능한 위상 벡터 공간의 동형 복사본을 포함합니다.분석가가 관심을 갖는 사실상 모든 수학은 V $(R)$ $내$ 에서 진행됩니다.

비표준 분석의 작업 뷰는 집합 $* R$ 과 일부 추가 특성을 충족하는 $매핑$ * : V $(R)$ → $V (* R)$ 입니다.이러한 원칙을 공식화하기 위해 먼저 몇 가지 정의를 기술합니다.

공식에서 발생하는 수량화자만 집합에 대해 범위가 제한된 경우, 즉 모든 형식이 한정되어 있는 경우에만 수식은 한정 수량화를 가집니다.

\displaystyle \forall x,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})

\displaystyle \exists x in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})

예를 들어 공식은

\displaystyle \forall x in A, \exists y 2^{B}, \quad x\in y

에는 유계 정량화, 보편적으로 $정량화$ 된 변수 x $범위$ A, 존재하게 정량화된 $변수$ y 범위 B의 $거듭제곱$ 집합이 있습니다.반면에,

\displaystyle x in A, \exists y,\quad x in y

y의 정량화는 제한되지 않으므로 에는 유계 정량화가 없습니다.

내부 세트

집합 x는 x가 V $(R)$ 의 일부 요소 A에 대해 *A의 요소인 경우에만 내부이다.* A가 V $(R)$ 에 속하는 경우 A 자체는 내부입니다.

이제 비표준 분석의 기본 논리 프레임워크를 공식화한다.

확장 원리:매핑*은 $R$ 의 아이덴티티입니다
전송 원칙:유계 정량화와 자유 $변수 1$ x, $...,$ $x n$ , 그리고 V $(R)$ 의₁ 요소 A, $...,$ $A$ 를_n 갖는 $공식$ P( $x 1, ..., x n$ )에 대해 다음과 같은 동등성이 유지된다.

P(A_{1},\ldots,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots,*A_{n})

계산 가능한 포화도:{A_k}_{k ∈ N}이(가) 비어 있지 않은 내부 집합의 감소 수열이며 k의 범위는 자연수보다 큽니다.

\displaystyle \bigcap_{k}A_{k}\neq \emptyset }

이러한 지도 *가 존재함을 울트라프로덕트를 사용하여 증명할 수 있습니다.V $(R)$ 의 $요소$ 를 표준이라고 합니다.* $R$ 의원소를 초실수라고 합니다.

첫 번째 결과

$* N$ 기호는 비표준 자연수를 나타냅니다.확장 원리에 따르면 이것은 $N$ 의 슈퍼셋입니다. $* N$ - $N$ 집합이 비어 있지 않습니다.이를 확인하려면 내부 세트의 시퀀스에 계산 가능한 포화도를 적용하십시오.

A_{n}=\{k\in {{*}\mathbf {N}}:k\geq n\

시퀀스 { $A n} n \in N$ 에 공백이 아닌 교차점이 있으므로 결과가 증명됩니다.

먼저 몇 가지 정의부터 시작하겠습니다.하이퍼리얼 r, s는 다음과 같은 경우에만 무한히 근접합니다.

\displaystyle r\cong s\forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\r-s \leq \theta }

$하이퍼리얼$ r은 0에 무한히 가까운 경우에만 극소수입니다. $예$ 를 들어 n이 초정수, 즉 * $N$ - N의 $원소$ 라면 1 $/$ $n$ 은 $극소수$ 입니다. $하이퍼리얼$ r은 절대값이 표준 정수에 의해 지배되는 경우(이하)에만 제한된다(또는 유한하다).제한된 하이퍼리얼은 실렐을 $포함$ 하는 *R의 서브링을 형성합니다.이 링에서는 극소수 하이퍼리얼이 이상적입니다.

제한된 하이퍼리얼 집합 또는 무한소 하이퍼리얼 집합은 V $(* R)$ 의 외부 하위 집합입니다. 실제로 이것은 경계가 내부 집합인 경우 이러한 집합 위로 절대 도달하지 않는다는 것을 의미합니다.

예:* $R$ 위의 x $및$ y 범위를 $갖는$ 평면 $(x,$ $y)$ 은 내부이며 평면 유클리드 기하학의 모델입니다. $x$ 와 y가 $제한$ 된 값(Dehn 평면과 유사)으로 제한된 평면은 외부이며, 이 제한된 평면에서는 평행 공식을 위반한다.예를 들어, Y축의점( $0,$ 1)을 통과하고 경사가 극히 작은 선은 X축과 평행합니다.

정리.제한적인 $하이퍼리얼$ r에 대해 st $(r)$ 로 $표시$ 된 고유한 표준실수가 $r$ 에 무한히 근접한다. $매핑$ st는 제한된 하이퍼리얼의 링에서 $R$ 로의 링 동형사상입니다.

매핑 st도 외부입니다.

하이퍼리얼의 표준부분을 생각하는 한 가지 방법은 데데킨드 컷의 관점에서이다.제한된 $하이퍼리얼$ 은집합의 쌍 $(L$ , U $)$ 을 고려하여 컷을 정의한다. $여기$ 서 $L$ 은 s보다 작은 $표준$ 유리 $집합$ 이고 $U$ 는 s보다 큰 표준 $유리$ b 집합이다. $(L,$ $U)$ 에 대응하는 실수는 s의 $표준$ 부분이라는 조건을 만족시키는 것을 알 수 있다.

연속성의 직관적인 특징은 다음과 같습니다.

정리.구간 [ $a,$ $b]$ 의 실수치 $함수$ f는 구간 $*[a,$ $b]$ 의 모든 초 $실수치$ x에 대해 다음과 같은 값이 있는 경우에만 $연속적$ 입니다 $.$ * $f ($ x) $f *f(st ($ x)

(자세한 것은, 마이크로 콘티뉴를 참조해 주세요).유사하게,

정리.실수치 $함수$ f는 $실수치$ x에서 미분할 수 있다. 만약 모든 극소수 $초실수$ h에 대하여 다음 값이

{{displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left\frac {{{*}f}(x+h)-{{*}f}(x)}{h}\right}

존재하며 $h$ 와 독립적입니다.이 $경우$ f $'(x)$ 는 실수이며 $x$ 에서의 $f$ 의 도함수이다.

γ-포화도

높은 카디널리티의 컬렉션을 교차시킴으로써 채도를 "개선"할 수 있습니다.A model is $κ$ -saturated if whenever $\{A_{i}\}_{i\in I}$ is a collection of internal sets with the finite intersection property and $I \leq \kappa$ ,

\displaystyle \bigcap_{i}A_{i}\neq \emptyset}

이것은 예를 들어 표준 근린 베이스의 교차가 ^[24]비어 있지 않도록 하기 위해 2-포화를 $필요$ 로^X 하는 위상 $공간$ X에서 유용합니다.

임의의 기수 $δ$ 에 대해 γ-포화 확장을 ^[25]구성할 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

추가 정보

E. E. Rosinger, [math/0407178]비표준 분석에 대한 간단한 소개.arxiv.org 를 참조해 주세요.

레퍼런스

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참고 문헌

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외부 링크

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v t 무한소수
역사	적절성 라이프니츠 표기법 적분 기호 비표준 분석에 대한 비판 분석가 역학적 이론의 방법 카발리에리의 원리
관련 지점	비표준 분석 비표준 미적분 내부 집합론 합성 미분 기하학 부드러운 극소량 분석 건설적인 비표준 분석 무한소변형 이론(물리학)
형식화	차분 초실수 이중 번호 초현실적 수
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동기

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교육학

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