평행 가설

Parallel postulate
내부 각도 α와 β의 합계가 180° 미만일 경우 무한정 생산된 두 직선이 그 쪽에서 만난다.

기하학에서 유클리드 원소에서는 다섯 번째 가정이기 때문에 유클리드 5번째 가정이라고도 불리는 평행 가설은 유클리드 기하학에서는 독특한 공리이다. 그것은 2차원 기하학으로 다음과 같이 기술하고 있다.

선 세그먼트가 두 직각 이하로 합한 동일한 횡방향에 두 내부 각도를 형성하는 두 직선을 교차하는 경우, 무한히 확장된 경우 두 선은 각도가 두 직각 이하로 합한 횡방향에서 만난다.

이 가정은 특별히 평행선에 대해 이야기하지 않는다;[1] 그것은 평행주의와 관련된 가정일 뿐이다. 유클리드에서는 다섯 개의 시제 직전에 제1권 정의[2] 23호에서 평행선의 정의를 내렸다.[3]

유클리드 기하학은 평행 가설 등 유클리드 공리를 모두 만족시키는 기하학의 학문이다.

그 가정은 오래 전부터 명백하거나 불가피한 것으로 여겨졌으나, 증거는 알 수 없었다. 결국 추정을 뒤집는 것이 비록 다른 기하학적 구조일지라도 유효하다는 것이 밝혀졌다. 평행 가설에서 고정되지 않는 지오메트리를 비유클리드 기하학이라고 한다. 유클리드 5번째 체형(즉, 최초의 4개의 체형과 현대적으로 동등한 것을 가정할 뿐)에 독립적인 기하를 절대 기하학(또는 때로는 "중립 기하학")이라고 한다.

등가 속성

아마도 유클리드 평행이 그의 다른 견습관에 따라 좌우되는 가장 잘 알려진 것은 플레이페어의 공리일 것이다. 플레이페어는 스코틀랜드의 수학자 존 플레이페어의 이름을 따서 다음과 같이 말했다.

평면에서는 주어진 선과 그 위에 없는 점이 주어진 경우, 주어진 선과 평행한 선은 그 점을 통해 그려질 수 있다.[4]

이 공리 그 자체는 하나는 참이고 다른 하나는 그렇지 않은 기하학이 있기 때문에 유클리드 평행 가설과 논리적으로 동등하지 않다. 그러나 유클리드 기하학을 주는 나머지 공리들이 존재하는 상황에서 이들 각각을 사용하여 다른 공리를 증명할 수 있기 때문에 절대 기하학의 맥락에서 동일하다.[5]

그 밖에 평행설정에 해당하는 많은 진술들이 제시되었는데, 그 중 일부는 처음에는 평행설과 무관한 것으로 나타났으며, 일부는 유클리드 다른 견습체로부터 평행설정을 증명했다고 주장하는 사람들에 의해 무의식적으로 추측될 정도로 자명한 것으로 보인다. 이와 동등한 진술에는 다음이 포함된다.

  1. 외부 지점을 통해 주어진 선과 평행하게 그릴 수 있는 선은 기껏해야 하나 있다.(플레이페어의 공리)
  2. 모든 삼각형에서 각도의 합은 180°(삼각형 가정)이다.
  3. 각도가 180°에 이르는 삼각형이 존재한다.
  4. 각도의 합은 삼각형마다 같다.
  5. 유사하지만 합치되지 않은 삼각형 한 쌍이 있다.
  6. 모든 삼각형은 제한될 수 있다.
  7. 사각형의 세 각도가 직각이면 네 번째 각도 직각이다.
  8. 모든 각도가 직각인 사각형이 존재한다.
  9. 서로 일정한 거리에 있는 한 쌍의 직선이 존재한다.
  10. 같은 선에 평행한 두 선도 서로 평행하다.
  11. 직각 삼각형에서, 하이포테뉴스의 제곱은 다른 두 변의 제곱합(피타고라스의 정리)과 같다.[6][7]
  12. 피타고라스의 정리를 일반화한 코사인의 법칙.
  13. 삼각형 면적에 상한은 없다.(월리스 공리)[8]
  14. 사케리 사면의 정상 각도는 90°이다.
  15. 선이 두 개의 평행선 중 하나를 교차하는 경우, 두 선이 모두 원래 선과 동일 평면인 경우 다른 선도 교차한다. (프로클러스의 공리)[9]

그러나 "병렬"이라는 단어를 사용하는 대안은 "병렬"의 4가지 공통적 정의 중 어느 것을 의미하는지 설명할 의무가 있을 때, 즉 일정한 분리, 결코 만나지 않음, 어떤 제3선에 의해 교차되는 동일한 각도 또는 제3선에 의해 교차되는 동일한 각도를 설명할 의무가 있을 때 더 이상 단순하게 나타나지 않는다.유클리드 5번째 가정과 동등한 무의식적으로 명백한 가정들 중 하나를 스스로 선택하라. 위의 목록에서는 항상 비절연선을 참조하는 것으로 한다. 예를 들어 플레이페어의 공리에서 "병렬"이라는 단어가 '일관된 분리' 또는 '제3선이 교차하는 동일한 각도'를 의미하는 것으로 받아들여진다면, 더 이상 유클리드 5번째의 상례에 해당하지 않으며, 처음 4개(공리는 '최대 한 개의 선이 있다...)'로부터 증명할 수 있는데, 이는 그러한 선은 존재하지 않는 것과 일치한다. 그러나 평행선이 교차하지 않거나 같은 각도에서 교차하는 어떤 선이 있도록 정의를 취한다면 플레이페어의 공리는 맥락적으로 유클리드 5번째 가정과 동등하며 따라서 처음 네 개의 가정과 논리적으로 독립된다. 쌍곡 기하학에서 두 번째 정의는 초경사선만 보유하기 때문에 후자의 두 정의는 동등하지 않다는 점에 유의하십시오.

역사

2천년 동안 유클리드 최초의 네 개의 체관을 사용하여 평행 체형을 증명하려는 많은 시도가 있었다. 그런 증거를 그토록 많이 찾는 주된 이유는 처음 네 명의 견습사와 달리 평행한 견습은 자명하지 않기 때문이었다. 만약 유클리드 목사가 원소에 열거된 순서가 유의하다면, 유클리드(Eucleid)[10]가 증명할 수 없다는 것을 깨달았을 때에만 이 표본을 포함시켰다는 것을 나타낸다. 나머지 네 명으로부터 다섯 번째 추정을 입증하기 위해 많은 시도가 있었으며, 그 중 많은 수가 실수가 발견될 때까지 오랜 기간 동안 증거로 받아들여졌다. 변함없이 그 실수는 어떤 '명확한' 속성을 가정하는 것이었는데, 그 속성은 다섯 번째 가정(Playfair의 공리)에 해당하는 것으로 판명되었다. 프로클로스 시대부터 알려졌지만, 이것은 1795년 존 플레이페어가 유클리드(유클리드)에 대한 유명한 논평을 쓴 후 플레이페어의 악시오(Axiom)로 알려지게 되었는데, 이 논평을 통해 유클리드(유클리드)의 다섯 번째 직위를 자신의 공리로 대체하자고 제안하였다.

프롤러스(410–485)는 다른 네 가지로부터 다섯 번째 추정치를 추론하기 위해 시도된 증거에 대해 논평하는 <요소>에 대한 논평을 썼다. 특히, 그는 프톨레마이오스가 거짓 '증거'를 만들어냈다는 점에 주목한다. 그리고 나서 프롤러스는 계속해서 자신의 거짓 증거를 제시한다. 그러나 그는 다섯 번째 체벌에 해당하는 체벌을 내렸다.

아랍의 수학자인 Ibn al-Haytham (알하젠) (965-1039)은 모순에 의한 증거를 사용하여 평행한 자세의 증명 시도를 하였고,[11] 그 과정에서 그는 운동과 기하학의 변형의 개념을 도입했다.[12] 그는 보리스 아브라모비치 로젠펠트가 "Ivn al-Haytham–Lambert 4각형"[13]이라고 명명하는 램버트 4각형을 공식화했으며, 그의 시도된 증거는 램버트 4각변측정학 및 플레이페어의 공리에서 발견된 것과 유사한 원소들을 포함하고 있다.[14]

페르시아의 수학자, 천문학자, 철학자, 시인 오마르 하이야름(1050–1123)은 명시적으로 주어진 또 다른 추론으로부터 다섯 번째 추론을 증명하려고 시도했다(철학자(아리스토틀로 인한 5원칙 중 네 번째에 근거함), 즉 "두 개의 수렴 직선이 교차하고 두 개의 수렴 직선이 불가능하다. 그들이 모이는 방향으로 갈기갈기갈기."[15] 그는 타원형 기하학과 쌍곡형 기하학에 속하는 초기 결과들 중 일부를 도출했지만, 그의 가정은 후자의 가능성을 배제했다.[16] 사크체리 4각형 역시 11세기 후반 오마르 하이야름에 의해 유클리드 목사의 난관에 대한 설명 제1권에서 처음 고려되었다.[13] (지오반니 지롤라모 사체리 포함) 유클리드 전후에 관한 많은 논설가들과 달리, 하이야움은 그와 유사한 추론에서 평행한 추론을 증명하려고 하는 것이 아니라, 그와 동등한 추론에서 도출하려고 노력하고 있었다. 그는 유클리드의 다섯 번째 추정을 생략함으로써 세 가지 가능성이 발생했다는 것을 인식했다. 한 선에 수직인 두 개의 선에 수직인 두 개의 선에 수직인 두 개의 선과 교차하는 경우, 마지막 선에 대한 현명한 선택은 두 개의 직각을 충족하는 내부 각도를 동등하게 만들 수 있다(그 다음 첫 번째 선과 평행하게 된다). 만약 그 동일한 내부 각도가 직각이라면, 우리는 유클리드에게 다섯 번째 추정치를 얻는다. 그렇지 않으면, 그들은 급하거나 둔한 것이어야 한다. 그는 예리하고 둔감한 경우들이 자신의 체위를 이용해 모순을 낳았다는 것을 보여주었지만, 그의 체위는 이제 다섯 번째 체위와 동등한 것으로 알려져 있다.

나시르 알-딘 알-투시(1201–1274)는 자신의 알-리살라 알-샤피야안 알-샤크 피클-쿠튀트 알-무타와지야 (1250년)에서 한 세기 전 하야흐메의 시도와 평행선상에 대한 의심을 없애는 토론에 대해 상세한 평론을 썼다. Nasir al-Din은 평행 가설의 모순에 의해 증거를 도출하려고 시도했다.[17] 그는 또한 현재 타원형 및 쌍곡 기하학으로 알려진 사례들을 고려했지만 둘 다 배제했다.[16]

유클리드, 타원형 및 쌍곡 기하학. Parallel Postulate는 유클리드 기하학의 모델에 대해서만 만족한다.

나시르 알-딘의 아들 사드르 알-딘(때로는 "사이두-투시"로 알려져 있다)은 1298년 아버지의 후기 사상에 근거하여 이 주제에 관한 책을 썼는데, 이 책은 평행 가설과 동등한 비유클리드 가설에 대한 최초의 주장 중 하나를 제시하였다. "그는 본질적으로 유클리드 체계인 공리와 견습과 원소로부터의 많은 명제의 증거를 모두 수정했다."[17][18] 그의 작품은 1594년 로마에서 출판되어 유럽 기하학자들의 연구를 받았다. 이 작품은 사드르 알 딘의 작품과 왈리스의 작품에 대한 비판으로 시작된 사케리 작품의[17] 출발점이 되었다.[19]

지오다노 비탈레 (1633년-1711년)는 그의 저서 유클리드 레스티투오 (1680년, 1686년)에서 하이야암-사체리 4각형을 사용하여 만약 기지 AB와 정상 CD에서 3점이 등거리라면 AB와 CD가 등거리 어디에나 있다는 것을 증명했다. 지롤라모 사체리(1667-1733)는 같은 선에 대해 보다 철저하게 추구하여 둔탁한 경우로부터 부조리를 정확하게 얻어냈지만(유클리드처럼 선이 무한히 연장될 수 있고 무한히 길어질 수 있다는 암묵적인 가정으로부터 진행됨) 급성 사건을 반박하지는 못했다(그럭저럭 자기 자신을 잘못 설득했음에도 불구하고). 가지고 있었다.

1766년 요한 램버트는 글을 썼지만 발표하지는 않았다. 그는 사케리가 그랬듯이 다섯 번째 추정을 증명하려고 시도했다. 그는 오늘날 우리가 3개의 직각을 가진 4각형인 램버트 4각형(Lambert 4각형)이라고 부르는 수치를 가지고 작업했다. 그는 사크체리와 하이야름처럼 네 번째 각도가 둔탁할 가능성을 재빨리 제거한 다음, 급성 각도를 가정하여 많은 이론들을 증명해 보였다. 사케리와는 달리 그는 자신이 이 가정과 모순에 도달했다고 결코 느끼지 못했다. 그는 삼각형의 면적이 감소함에 따라 삼각형의 각도의 합이 증가한다는 비유클리드 결과를 증명했고, 이로 인해 가상 반지름의 구에 있는 급성 경우의 모형의 가능성에 대해 추측하게 되었다. 그는 이 생각을 더 이상 가지고 있지 않았다.[20]

하이야름과 사케리가 유일하게 가능한 대안을 반증함으로써 유클리드 5번째를 증명하려 했던 곳에서, 19세기는 마침내 수학자들이 그러한 대안들을 탐구하고 그 결과 발생하는 논리적으로 일관된 기하학적 구조를 발견하는 것을 보았다. 1829년 니콜라이 이바노비치 로바체프스키(Lioli Ivanovich Lobachevsky)는 불명확한 러시아 학술지에 급성 기하학에 대한 이야기를 발표했다(독일어로 1840년 재간). 1831년, Janos Bolyai는 그의 아버지가 쓴 책에 급성 기하학을 설명하는 부록으로 포함시켰는데, 의심의 여지없이 그는 로바체프스키와는 독립적으로 발전했다. 칼 프리드리히 가우스도 이 문제를 연구했지만, 그는 어떤 결과도 발표하지 않았다. 볼랴이의 아버지 파르카스 볼랴이로부터 편지에서 볼랴이의 결과를 듣고 가우스는 다음과 같이 말했다.

"내가 이 작품을 칭찬할 수 없다고 말함으로써 시작한다면, 당신은 틀림없이 잠시 놀랄 것이다. 그러나 나는 달리 말할 수 없다. 그것을 칭찬하는 것은 나 자신을 칭찬하는 것일 것이다. 실로 그 일의 모든 내용, 당신 아들이 택한 길, 그가 이끄는 결과는 지난 35년 동안 부분적으로 내 마음을 차지하고 있던 나의 명상과 거의 전적으로 일치한다."[21]

결과 기하학은 나중에 로바체프스키, 리만, 푸앵카레에 의해 쌍곡 기하학(급성 케이스)과 타원 기하학( 둔탁 케이스)으로 개발되었다. 유클리드의 다른 공리로부터 평행의 독립은 마침내 1868년 유제니오 벨트라미에 의해 증명되었다.

컨버스 오브 유클리드 평행 가설

평행의 반대 방향은 다음과 같이 가정한다. 두 내부 각도의 합이 180°이면 선은 평행이며 교차하지 않는다.

유클리드는 유클리드 기하학과 타원 기하학을 구별하는 한 가지 방법인 다섯 번째 가설의 역설을 가정하지 않았다. 원소에는 동등한 진술의 증거가 포함되어 있다(Book I, Proposition 27). 두 직선에 떨어지는 직선이 대체 각도를 서로 같게 만들면 직선은 서로 평행하게 된다. De Morgan이[22] 지적했듯이, 이것은 논리적으로 (Book I, Proposition 16)과 동등하다. 이러한 결과는 다섯 번째 추정치에 의존하지 않지만 타원형 기하학에서 위반되는 두 번째 추정치가[23] 필요하다.

비판

여덟 번째 공리가 아닌 평행한 추론을 논리적으로 증명하려는 시도는 <세상>의 아서 쇼펜하우어에게 <의지와 사상>이라는 비판을 받았다.[24] 그러나 쇼펜하우어가 사용한 주장은 다른 공리의 논리적 결과가 아니라는 것이 아니라 인식에 의해 그 추론이 명백하다는 것이었다.[25]

평행 가설의 분해

평행 가설은 로트슈니탁시옴과 아리스토텔레스의 공리의 결합과 동일하다.[26] 전자는 직각의 횡방향에 수직이 교차한다고 말하고, 후자는 각도의 다리에서 다른 다리로 가는 거리의 길이에 대해 상한이 없다고 기술한다. 에서 보듯이 평행 가설은 로트니탁시움(Lotchnittaxiom)과 아리스토텔레스의 공리의 다음과 같은 발생-기하학적 형태의 결합과 동일하다.[27]

세 개의 평행선을 주어 세 개의 평행선을 모두 교차하는 선이 있다.

a 선과 a와 각각 다른 두 개의 뚜렷한 교차선 m과 n을 가진 경우, a와 m을 교차하는 선 g가 존재하지만 n은 존재하지 않는다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 카트리나 피텍 지메네스 박사에 의한 비유클리드 기하학
  2. ^ 유클리드 원소, 1권, 정의 23
  3. ^ 유클리드 원소 제1권
  4. ^ 유클리드 평행 포스트레이트 및 플레이페어의 악시오름
  5. ^ Henderson & Taimiņa 2005, 페이지 139
  6. ^ Eric W. Weisstein (2003), CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.), p. 2147, ISBN 1-58488-347-2, The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
  7. ^ Alexander R. Pruss (2006), The principle of sufficient reason: a reassessment, Cambridge University Press, p. 11, ISBN 0-521-85959-X, We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.
  8. ^ Bogomolny, Alexander. "Euclid's Fifth Postulate". Cut The Knot. Retrieved 30 September 2011.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Proclus' Axiom – MathWorld". Retrieved 2009-09-05.
  10. ^ Florence P. Lewis (Jan 1920), "History of the Parallel Postulate", The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, 27 (1): 16–23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
  11. ^ Katz 1998, 페이지 269
  12. ^ Katz 1998, 페이지 269:

    실제로 이 방법은 평행선을 항상 서로 등거리인 선으로 특징짓고 또한 운동의 개념을 기하학에 도입하였다.
  13. ^ a b 로젠펠트 1988, 페이지 65
  14. ^ 스미스 1992년
  15. ^ 보리스 A 로젠펠트와 아돌프 P 유슈케비치(1996), 기하학, 로슈디 라쉬드의 p.467, 레기스 모레론(1996) 아랍 과학사 백과사전, 루트리지, ISBN 0-415-12411-5.
  16. ^ a b 보리스 A. 로젠펠트와 아돌프 P. 유슈케비치(1996년), "지오메트리"는 로슈디 라쉬드, 에드, 아랍 과학사 백과사전, 2권, 페이지 447-494 [469], 라우트리지, 런던, 뉴욕:

    "카야마의 가정은 쌍곡 기하학의 경우를 배제한 반면, 알투시의 가정은 쌍곡 기하학과 타원 기하학을 모두 배제했다."
  17. ^ a b c Katz 1998, 페이지 271:

    "그러나 아마도 1298년 아들 사드르 알딘이 쓴 원고에, 이 주제에 대한 나시르 알딘의 후기 사상에 근거하여, 유클리드(유클리드)의 [...]에 해당하는 또 다른 가설에 근거한 새로운 주장이 있다, 이 후기 작품의 중요성은 1594년 로마에서 출판되어 유럽의 기하학자들이 연구했다는 것이다. 특히 사케리 작품의 출발점이 되었고, 궁극적으로는 비유클리드 기하학의 발견이 되었다."
  18. ^ 보리스 A. 로젠펠트와 아돌프 P. 유슈케비치(1996년), "지오메트리"는 로슈디 라쉬드, 에드, 아랍 과학사 백과사전, 2권, 페이지 447-494 [469], 라우트리지, 런던, 뉴욕:

    "사이비투시의 유클리드 엑스포에서는 [...] 추론 대신 또 다른 진술이 사용된다. 그것은 유클리드 5의 가정으로부터 독립적이고 증명하기 쉬웠다.[...] 그는 본질적으로 유클리드식의 공리와 견습자의 체계와 원소로부터 나온 많은 명제의 증거들을 모두 수정했다."
  19. ^ 맥튜터의 조반니 지롤라모 사체리
  20. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Johann Heinrich Lambert". Retrieved 16 September 2011.
  21. ^ 파버 1983, 페이지 161
  22. ^ 히스, T.L. 유클리드 원소 13권, 1권, 도버, 1956년, 페이지 309.
  23. ^ Coxeter, H.S.M, 비유클리드 기하학, 6차 Ed, MAA 1998, 페이지 3
  24. ^ 쇼펜하우어는 유클리드 공통 개념 4: 서로 일치하는 인물은 서로 동등하다.
  25. ^ http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf
  26. ^ Pambuccian, Victor (1994), "Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms", Journal of Geometry, 51 (1–2): 79–88, doi:10.1007/BF01226859, hdl:2027.42/43033, S2CID 28056805
  27. ^ Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "The ubiquitous axiom", Results in Mathematics, 76 (3): 1--39, doi:10.1007/s00025-021-01424-3

참조

외부 링크

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved 2008-01-23