초현실수

수학에서, 초현실적 수 체계는 실수와 무한 및 무한소수, 각각 양의 실수보다 절대값이 크거나 작은 실수들을 포함하는 완전히 순서가 있는 적절한 클래스이다.주변은 일반적인 산술 연산(더하기, 빼기, 곱하기 및 나눗셈)을 포함하여 실수와 많은 속성을 공유하기 때문에 ^[a]순서 필드를 형성합니다.von Neumann-Bernays로 공식화되면-괴델 집합론, 초현실 수들은 유리, 실수, 유리 함수, 리바이-시비타 장, 초현실 수(초실수 포함)와 같은 다른 모든 질서 있는 장들이 초실수의 ^[1]하위 장으로 실현될 수 있다는 점에서 보편적 순서장입니다.초승달은 또한 모든 초한 서수들을 포함하며, 그 산술은 자연 연산에 의해 주어진다.그것은 또한 (von Neumann-Bernays-에서) 나타났다.괴델 집합론)은 최대 클래스 초현실장이 최대 클래스 초현실장과 동일하다는 것이다.

개념의 역사

존 호튼 콘웨이의 바둑 끝판에 대한 연구는 초현실적인 ^[2]숫자의 정의와 구성을 이끌었다.콘웨이의 구성은 도널드 커누스의 1974년 저서 초현실적 숫자: 두 전직 학생이 순수 수학에 빠져서 완전한 행복을 찾은 방법.대화의 형태를 취하는 그의 책에서, Knuth는 Conway가 단순히 ^[3]숫자라고 불렀던 것에 대해 초현실적인 숫자라는 용어를 만들었다.콘웨이는 나중에 크누스의 용어를 채택했고 1976년 그의 책 "숫자와 게임에 대하여"에서 게임을 분석하기 위해 은밀한 용어를 사용했다.

1907년 한스 한이 공식 멱급수의 일반화로서 한 급수를 도입하고 하우스도르프가 순서수 α에 대한 θ-sets라고_α 불리는 특정 순서 집합을 도입하면서 서로 호환되는 순서군이나 필드 구조를 찾을 수 있는지 물어본 것이 시작이었다.1962년 노먼 얼링은 변형된 형태의 한 급수를 사용하여 특정 서수 α와 관련된 순서장을 만들었고, 1987년 그는 그의 구조에서 α를 모든 서수의 클래스로 삼는 것이 순서장인 클래스를 초현실 숫자와 ^[4]동일하다는 것을 보여주었다.

만약 그 주변이 적절한 클래스 크기의 진짜 닫힌 장이라고 여겨진다면, 앨링의 1962년 논문은 카디널보다 한 단계 위의 우주의 누적 위계를 잘라냄으로써 자연스럽게 적절한 클래스로 여겨질 수 있는 강한 접근 불능 추기경의 사례를 다루고 있으며, 앨링은 이에 따라 발견에 대해 많은 찬사를 받을 만하다.이러한 의미에서 surreals의 ry/surreals.그러나 이 렌즈를 통해 보이지 않는 주변에는 중요한 추가 필드 구조가 있습니다. 즉, '생일'의 개념과 Conway에 의해 주어진 생일을 따라 잘라내는 과정의 결과로서 주변이 자연스럽게 기술됩니다.이 추가 구조는 초현실적인 숫자에 대한 현대적 이해의 기초가 되었고, 따라서 Conway는 오늘날 우리가 알고 있는 초현실적인 숫자들을 발견한 공로를 인정받고 있습니다.앨링 자신은 콘웨이에게 1985년 이 ^[5]주제에 대한 그의 책 앞에 있는 논문에서 완전한 신뢰를 주었다.

개요

콘웨이 ^[6]구조에서는 임의의 2개의 초현실수 a 및 b에 대해 a ) b 또는 b a a가 유지되도록 순서 such와 함께 단계별로 초현실수가 구성된다(이 경우 a와 b는 동등하고 같은 수를 나타낸다).각 숫자는 이미 구성된 숫자의 순서 있는 한 쌍의 부분 집합에서 형성된다. 즉, L의 모든 구성원이 R의 모든 구성원보다 완전히 작도록 숫자의 부분 집합 L과 R의 모든 구성원 사이의 값에서 쌍 { L R }은 중간 값을 나타낸다.

서로 다른 서브셋이 같은 수를 정의할 수 있습니다.{ L } } R r l R may may may may may may 、 L r R r l l l l if if if if if if if if if if if if if if if different if 。 ( 유리수가 정수의 몫으로 정의되는 경우에도 같은 현상이 발생합니다.1/2와 2/4은 같은 유리수의 다른 표현이다.)따라서 엄밀히 말하면, 초현실 숫자는 같은 숫자를 지정하는 {L R} 형식의 표현 등가 클래스입니다.

첫 번째 구성 단계에서는 이전에 존재하는 번호가 없으므로 표현만 빈 집합 { }을(를) 사용해야 합니다. L과 R이 모두 비어 있는 이 표현은 0이라고 합니다.다음 단계는 다음과 같은 형태를 생성합니다.

{ 0 } = 1

{ 1 } = 2

{ 2 } = 3

그리고.

{ 0 } = -1

{ - 1 } = - 2

{ -2 } = -3

따라서 정수는 초현실적인 숫자에 포함되어 있다.(위의 항등식은 정의이며, 오른쪽은 왼쪽의 이름이라는 의미에서는 정의이다.그 이름이 실제로 적절하다는 것은 아래 절에서와 같이 초현실적인 숫자에 대한 산술 연산을 정의하면 명백해진다.)마찬가지로 다음과 같은 표현도

{ 0 1 } = 1/2

{ 0 1/2 } = 1/4

{ 1/2 1 } = 3/4

발생하며, 그래서 2차 유리수(분모가 2의 거듭제곱인 소수)가 초현실적인 수 안에 포함되도록 한다.

무한 단계 후에는 임의의 실수 a가 {L R_a}로_a 표현될 수 있도록 무한 부분 집합을 사용할 수 있게 됩니다. 여기서_a L은 a보다 작은 모든 2진수 유리_a 집합이고 R은 a보다 큰 모든 2진수 유리 집합입니다(데데킨드 컷의 반영).따라서 실수는 또한 추세에 포함되어 있다.

다음과 같은 표현도 있습니다.

{ 0 , 1, 2, 3, ... } = ω

{ 0 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... } = ε

여기서 θ는 모든 정수보다 큰 초한수이고 θ는 0보다 크지만 양의 실수보다 작은 극소수입니다.또한 표준 연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나눗셈)은 초현실적인 숫자의 수집을 순서 있는 필드로 바꾸도록 이들 비실수까지 확장할 수 있으므로 2µ 또는 θ - 1 등을 말할 수 있다.

건설

초현실 수는 초현실적인 숫자의 쌍의 등가 클래스로 유도적으로 구성되며, 첫 번째 집합의 각 요소가 두 번째 집합의 각 요소보다 작다는 조건에 의해 제한됩니다.구성은 구성 규칙, 비교 규칙 및 동등성 규칙의 세 가지 상호의존적인 부분으로 구성됩니다.

폼

형태는 왼쪽 집합과 오른쪽 집합이라고 불리는 초현실적인 숫자의 한 쌍이다.왼쪽 집합이 L이고 오른쪽 집합이 R인 양식은 { L R }으로 작성됩니다. 요소 목록으로 L과 R을 지정하면 둘레의 중괄호는 생략됩니다.

폼의 왼쪽 및 오른쪽 세트 중 하나 또는 둘 다 빈 세트일 수 있습니다.왼쪽 및 오른쪽 설정이 모두 비어 있는 { { } 양식도 { }으로 기록됩니다.

숫자 형식 및 그 동등성 클래스

건설 규칙

형식 { L R }은 L과 R의 교차가 빈 집합이고 R의 각 원소가 L의 모든 원소보다 클 경우 아래 비교 규칙에서 주어진 순서 관계 θ에 따라 수치이다.

숫자 형식은 동등성 클래스에 배치됩니다. 각 동등성 클래스는 초현실적인 숫자입니다.형태의 왼쪽과 오른쪽 집합의 요소들은 초현실적인 숫자의 우주로부터 끌어옵니다.

동등성 규칙

x 와 y 의 2 개의 숫자 형식 x 와 y 는, 양쪽 모두 x 와 y 의 x 의 경우에 한해, 같은 번호의 형식입니다(같은 등가 클래스에 있습니다).

순서 관계는 x와 y가 동일한 개체일 때만 x = y(즉, x y y와 y ) x 둘 다 참)인 특성을 가져야 합니다.이것은 초현실적인 숫자의 경우에는 해당되지 않지만 초현실적인 숫자의 구성(등가 클래스)에 의해 해당된다.

{ }을(를) 포함하는 동등성 클래스는 0으로 지정됩니다. 즉, { }은(는) 초현실적인 숫자 0의 형식입니다.

주문

초현실 숫자의 재귀적 정의는 비교를 정의함으로써 완성됩니다.

지정된 숫자 형식은 다음과 같은 경우에만 x = { X_LR X } 및 y = { Y_L Y_R }입니다.

• y x_LL x(x의 왼쪽 부분의 모든 요소가 y보다 작음)가 되는 x such X는 없습니다_L.
• y x x(y 오른쪽 부분의 모든 요소가 x보다 크다)라는 y_R y_R Y는 없습니다_R.

형태 y와 초현실수 c의 비교 y c c는 등가 클래스 c에서 형태 z를 선택하고 y z z를 평가하여 2개의 초현실수 c와의 비교 b c c를 실시한다.

인덕션

이 정의 그룹은 재귀적이며, 그 안에서 일어나는 객체(형태와 수)의 세계를 정의하기 위해 어떤 형태의 수학적 귀납이 필요합니다.유한 유도를 통해 도달할 수 있는 유일한 초현실적인 숫자는 2진수 분율이다; 어떤 형태로든 초무한 유도를 통해 더 넓은 우주에 도달할 수 있다.

유도 규칙

• S = { 0 } 세대가₀ 있으며, 여기서 0은 단일 형식 { }으로 구성됩니다.
• Given any ordinal number n, the generation S_n is the set of all surreal numbers that are generated by the construction rule from subsets of ${\displaystyle \cup _{i<n}S_{i}}$.

기본 대소문자는 실제로는 유도 규칙의 특수한 경우이며, 0은 "최소 서수"에 대한 레이블로 간주됩니다.i < 0 의 S 는 존재하지_i 않기 때문에, 표현식 < i \ $displaystyle$\$cup$_ { i <$0$ } $S$_ {$i$ } the the;;;;세트입니다.빈 세트의 서브셋은 빈 세트뿐입니다.따라서₀ S는 단일 등가 클래스0에 존재하는 단일 초현실 형식 { }으로 구성됩니다.

유한한 서수 n마다 S는_n 초현실적인 숫자에 대한 비교규칙에 의해 유도되는 순서에 따라 잘 정렬된다.

유도 규칙의 첫 번째 반복에서는 세 가지 숫자 형식 { 0 } < { } < { 0 }이(가) 생성됩니다(형식 { 0 }은(는) 000이므로 숫자가 아닙니다).{ 0 }을(를) 포함하는 동등성 클래스는 1로 지정되고 { 0 }을(를) 포함하는 동등성 클래스는 -1로 지정됩니다.이 세 개의 라벨은 링을 정의하는 공리에서 특별한 의미를 가집니다. 즉, 가법 항등성(0), 곱셈 항등성(1) 및 1의 가법 역(-1)입니다.아래에 정의된 산술 연산은 이러한 라벨과 일치합니다.

모든 i < n에 대해서, S의 모든_i 유효한 형식은 S의_n 유효한 형식이기 때문에, S의_i 모든 숫자는 S에도_n 표시됩니다(S에서의_i 표현의 상위 집합). (set union 식은 단순한 형식_n−1 S가 아닌 구성 규칙에 나타나므로, n이 한계 서수일 때도 정의가 성립합니다.)S의_i 어떤 수의 슈퍼셋인 S의 숫자는_n 제1세대부터 계승되었다고 한다.S에서_α 주어진 초현실적인 숫자가 나타나는 가장 작은 α 값을 생일이라고 합니다.예를 들어, 0의 생일은 0이고 -1의 생일은 1입니다.

구성 규칙의 두 번째 반복에서는 동등성 클래스의 순서가 다음과 같습니다.

{ −1 } = { −1, 0 } = { −1, 1 } = { −1, 0, 1 }

< { 0 } = { 0 , 1 }

< { - 1 0 } = { - 1 0 , 1 }

< { } = { - 1 } = { 1 } = { - 1 }

< { 0 1 } = { -1, 0 1 }

< { 0 } = { -1, 0 }

< { 1 } = { 0 , 1 } = { -1, 1 } = { -1, 0, 1 }

이러한 동등성 등급의 비교는 형식의 선택에 관계없이 일관됩니다.다음과 같은 세 가지 관찰 결과가 있습니다.

1. S는₂ 4개의 새로운 초현실 숫자를 포함합니다.두 개의 극단 형식 { -1, 0, 1 }은(는) 오른쪽 집합에 이전 세대의 모든 숫자를 포함하며, { -1, 0, 1 }은(는) 왼쪽 집합에 이전 세대의 모든 숫자를 포함합니다.다른 것은 이전 세대의 모든 숫자를 비어 있지 않은 두 개의 집합으로 분할하는 형식을 가지고 있습니다.
2. 이전 "세대"에 존재했던 모든 초현실적인 숫자 x는 이 세대에도 존재하며, 적어도 하나의 새로운 형태를 포함한다: 이전 세대의 x 이외의 모든 숫자를 왼쪽 집합(모두 x보다 작은 숫자)과 오른쪽 집합(모두 x보다 큰 숫자)으로 분할하는 것이다.
3. 숫자의 동등성 클래스는 왼쪽 집합의 최대 요소 및 오른쪽 집합의 최소 요소에만 의존합니다.

{1 } 및 {-1 }의 비공식 해석은 각각 "1 바로 뒤의 숫자"와 "-1 바로 앞의 숫자"이며, 이들의 동등성 클래스는 2와 -2로 분류됩니다.{ 0 1 } 및 { -1 0 }의 비공식 해석은 각각 "0과 1 사이의 중간 수"와 "-1과 0 사이의 중간 수"이며, 동등성 클래스는 1/2와 -1/2로 표시됩니다.이러한 라벨은 아래의 초현실적 덧셈 및 곱셈 규칙에 의해 정당화됩니다.

각 유도 단계 n에서의 동등성 등급은 n-완전 형태(각각은 왼쪽 및 오른쪽 세트에 이전 세대의 가능한 많은 요소를 포함한다)로 특징지을 수 있다.이 완전 형식에는 왼쪽 또는 오른쪽 세트에 이전 세대의 모든 번호가 포함되어 있습니다.이 경우 이 번호가 발생한 첫 번째 세대가 되거나 이전 세대의 모든 번호가 포함되어 있습니다.이 경우 이 번호는 이 1개의 새로운 형식입니다.이러한 「구」번호에 대해서는, 구세대의 라벨을 보관 유지하고, 상기의 주문은 구래의 라벨과 신래의 라벨을 사용해 작성합니다.

- 2 < - 1 < - 1 / 2 < 0 < 1/ 2 <1 < 2

세 번째 관측치는 왼쪽과 오른쪽이 유한한 모든 초현실적인 수치로 확장된다. (왼쪽 또는 오른쪽의 무한 집합은 최대 또는 최소의 요소를 포함하지 않을 수 있기 때문에, 이것은 변경된 형태로 유효하다.)따라서 숫자 {1, 2 5, 8 }은(는) {2 5 }과(와) 같습니다. 위의 규칙에 따라 생일 속성을 사용하여 3의 형식임을 확인할 수 있습니다.

생일 속성

한가지 형태로서, x)세대 n에서 발생하는{나는 R}니다;오직 있다면 n, 그렇다면 Si에서 L의 모든 요소보다 R의 다른 말로 모든 요소(, L그리고 R이미 많은 초기 단계에서, 다음 생성된 분리되어 진다 이상은 몇가지는 n.를 나타내지 않는 경우 많은 나는 &lt은 이전 세대에서 상속됨을 나타내는newumber 단, 1개는 이미 구축되어 있습니다.)x가 n보다 이전 세대로부터의 수를 나타내는 경우, 그 최소 세대 i가 존재하며, 이 최소 세대 i가 L과 R 사이에 있는 숫자 c가 정확히 1개 있습니다.x는 이 c의 한 형태입니다.즉, 제1세대의 c 표현 슈퍼셋인 S의 동등성_n 클래스에 존재한다.

산술

초현실_LL 수 형식의 덧셈, 부정, 곱셈은_R 세 가지 재귀_R 공식에 의해 정의된다.

부정

지정된 숫자 x = { X_LR X }의 부정은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ -${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}${ - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}{}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ { $displaystyle$ - x = - \ { $X$_ { $L$} $X$_ { R } \ = \ { - $X _$ { R } - $X$_ { $L$} $\backslash \}$ ,

여기서 숫자 집합 S의 부정은 S의 부정 요소 집합으로 주어진다:

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}${ -${\displaystyle s}$ : ${\displaystyle ss}$ S ${\displaystyle \}}${ $displaystyle$ - S$$= \ { -$s$ :$s$ \ $in$ S$$\ }$$。

이 공식은 x의 왼쪽과 오른쪽 집합에 나타나는 초현실적인 숫자의 부정을 포함하며, 이는 숫자의 형태를 선택하고, 이 형태의 부정을 평가하고, 결과적인 형태의 동등성 클래스를 취한 결과로 이해되어야 한다.이는 피연산자의 형식 선택에 관계없이 결과가 동일한 경우에만 의미가 있습니다.이는 X와_R X에서 발생하는_L 숫자가 x가 처음 발생한 세대보다 이전 세대로부터 도출된다는 사실과 특별한 경우를 관찰함으로써 귀납적으로 증명될 수 있습니다.

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle =}$ -${\displaystyle }${ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ { { $displaystyle$ - 0 = - \ { \ } = \ { \ } =$0$} 。

추가

덧셈의 정의도 재귀 공식입니다.

$display$$$$Y_{L} Y_{R}\}=\{X_{$$L}+y,x+Y_{L}X_{R}+y,x+Y_{R$

어디에

${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ : ${\displaystyle xx}$ X${\displaystyle }$} ,${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}${ $displaystyle$X + y$$= \ {$x$ +$y$ :$x$ \ $in$ X \ , x + Y$$= \ {$x$ +$y$\ $in$ Y$$\ }$$。

이 공식은 원래 피연산자 중 하나의 합계와 다른 피연산자의 왼쪽 또는 오른쪽 집합에서 도출된 초현실적인 숫자를 포함한다.이는 다음과 같은 특수한 경우에 유도적으로 입증될 수 있습니다.

0 + 0 = { } + { } = { } = 0

x_R + 0 = x + { } = { X_L + 0_R X + 0 } = { X_L } = x

0 + y = { } + y = { 0 + Y_L 0 + Y_R } = { Y_LR } = y

예를 들어 다음과 같습니다.

1/2 + 1/2 = { 0 1 } + { 0 1 } = { 0 + 1/2, 1/2 + 0 1 + 1/2, 1/2 + 1 = { 1/2 3/2 } ,

이 값은 생일 기준으로 1의 형태입니다.이는 이전 섹션에서 사용된 라벨의 정당성을 나타냅니다.

곱셈

곱셈은 0, 곱셈 아이덴티티 1 및 그 덧셈 역-1을 포함하는 특수한 경우부터 시작하여 재귀적으로 정의할 수도 있습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}xy&={X_{L}X_{R}\}{Y_{R}\}\&=\left\{X_{L}y+XY_{}L}-X_{L}Y_{L},X_{R}-X_{R}Y_{R}-{R}X_{L}-Y_{R}-X_{L}Y_{R}-X_{L}Y_{R}-{L}Y_{L}-{L}Y_{L}-{L}-{L}XY_{L}_{L}-{L}-{L}_{X}-{R}-{R}-{R}-{R}X}Y_{L}\right\}\\end{aligned}}$

이 공식에는 연산자 및 연산자의 왼쪽 및 오른쪽 집합과 관련된 산술식이 포함됩니다. 예를 들어 ${\displaystyle X_{}}$ $R{\displaystyle {}_{}}$+ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- X ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle X$_ {$R$ }$y$ + $x$ Y _ { R$$} - $X$_ { $R$} $Y$$$_ {$R$ } 。이는 $(\$과 $(\$ $멤버$의 가능한 모든 조합을 선택하여 식에 대입함으로써 생성되는 수치 집합으로 이해됩니다.

예를 들어, 1/2의 제곱이 1/4임을 표시하려면:

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{1}{2}}&=\left\{01\right\}\cdot \left\{01\right\}\\&, =\left\{0\cdot{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}\cdot 0-0\cdot 0,1\cdot{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}\cdot 1-1\cdot 1{\Bigg}0\cdot{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}\cdot 1-0\cdot 1,{\frac{1}{2}}\cdot 0+1\cdot{\frac{1}{2}}-1\cdot 0\ri.ght\}\\&.=\left\{0,0{\Bigg}{\frac {1}{2}},{\right\}=\left\{0{\Bigg}{\right\}=frac {1}{4}.\end { aligned}}$

나누기

나눗셈의 정의는 역수와 곱셈의 관점에서 이루어집니다.

$({displaystyle {x}{y}}=x\leftflac\frac {1}{y}}\오른쪽)$

어디^{[6]: 21}

${\displaystyle {1}{y}=\left\{\left.0},{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{L}} {y_{R}}, {\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}} {y_{L}}\right {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}},{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{R} {y_{R}}\right\}$

양의 y에 대해서.공식에서는 양의_L y만 허용되며, 양수가 아닌 항은 무시됩니다(y는_R 항상 양수임).이 공식은 Y의 왼쪽과 오른쪽 집합에서 숫자로 나눌 수 있다는 점에서 재귀뿐만 아니라 1/y의 왼쪽과 오른쪽 집합의 구성원이라는 점에서 재귀와 관련이 있습니다.0은 항상 왼쪽 1/y 집합의 멤버이며, 이 멤버를 사용하여 재귀적인 방법으로 더 많은 용어를 찾을 수 있습니다.예를 들어, y = 3 = { 2 }이면 1/3의 왼쪽 항이 0이 됩니다.즉, 1+(2-3)0/2 = 1/2이 올바른 항임을 의미합니다.즉,

${\displaystyle {1+(2-3)\leftflac {1}{2}}{2}}}{2}=flac {1}{4}}$

는 왼쪽 용어입니다.즉,

${\displaystyle {1+(2-3)\leftflac {1}{4}\right}}{2}=flac {3}{8}}$

적절한 용어가 될 것입니다.계속해서, 이것은

${\displaystyle {1}{3}}=\left.0,{\frac {1}{4},{\frac {5}{16},\ldots \right \frac {1}{8},\ldots \right \}$

음수 y의 경우 1/y는 다음과 같이 구한다.

$({displaystyle {1}{y}}=-\leftflac\frac {1}{-y}}\오른쪽)$

y = 0이면 1/y가 정의되지 않은 것입니다.

일관성.

부정, 덧셈 및 곱셈의 정의는 다음과 같은 점에서 일관성이 있음을 보여줄 수 있다.

• 덧셈과 부정은 "단순한" 덧셈과 부정 단계로 재귀적으로 정의되므로, 결국 생일이 n보다 작은 숫자의 연산으로 완전히 표현된다.
• 곱셈은 덧셈, 부정 및 "단순" 곱셈 단계에서 재귀적으로 정의되므로, 결국 생일이 n보다 작은 숫자의 곱셈의 합과 차이로 완전히 표현된다.
• 피연산자가 잘 정의된 초현실적 숫자 형식(왼쪽 집합의 각 요소가 오른쪽 집합의 각 요소보다 작음)인 한, 결과는 다시 잘 정의된 초현실적 숫자 형식이다.
• 연산은 숫자(형식의 등가 클래스)로 확장할 수 있습니다.x를 부정하거나 x와 y를 더하거나 곱한 결과는 x와 y의 형태 선택에 관계없이 동일한 수를 나타냅니다.
• 이러한 연산은 필드의 정의에서 가법적 동일성 0 = { } 및 곱셈적 동일성 1 = { 0 }인 연관성, 교환성, 가법적 역 및 분포성 공리를 따릅니다.

이제 이러한 규칙을 통해 처음 몇 세대에서 발견된 번호에 적절한 라벨이 부착되었는지 확인할 수 있습니다.시공 규칙은 더 많은 수의 초과현상을 얻기 위해 반복된다.

S₀ = { 0 }

S₁ = { - 1 < 0 < 1 }

S₂ = { - 2 < - 1 < - 1 / 2 < 0 < 1/ 2 < 2 }

S₃ = { - 3 < - 3 / 2 < - 1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1/4 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3 }

S₄ = { - 4 < - 3 < ...< - 1 / 8 < 1/8 < 1/4 < 3 / 8 < 5 / 8 < 5 / 8 < 7 / 8 < 1 < 5/4 < 3 / 2 < 3 4 }

산술적 폐쇄

각 자연수(정의서수) n에 대해 S에서 생성되는_n 모든 숫자는 2진수 분수로, 즉 a와^b b는 정수이고 0 µb < n인 환원 불가능한 분수로 쓸 수 있다.

유한 n에 대해 일부_n S에서 생성되는 모든 초현실적인 숫자의 집합은 S =${\displaystyle {}_n}$ n${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ N S$$n \ $display style$ \ $cup$_${ n$ \ $in$N } $S _${ n $\}$ 로 표시될_∗ 수 있다.

$디스플레이 스타일S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}$

그_∗ 중 S는 결합이다.덧셈과_n 곱셈(S 제외₀)으로 닫힌 개별_∗ S는 없지만, S는 모든 2차 분수로 구성된 유리수의 하위 고리이다.

다른 산술 ^[7]연산에 의해 생일이 β보다 작은 초현실적인 숫자의 집합이 닫힌 무한 서수 β가 있다.임의의 서수α에 대하여 생일 β = θ보다^α 작은 초현실수 집합은 덧셈으로 닫혀 군을 형성하고, 생일 θ보다^ωα 작은 초현실수는 곱셈으로 닫혀 ^[b]고리를 형성하며, 생일 엡실론수 θ보다_α 작은 초현실수는 곱셈 역수로 닫혀 필드를 형성한다.후자의 집합은 Kruskal과 Gonshor에 ^{[7][8]: ch. 10 [7]}의해 정의된 지수함수 아래에서도 닫힙니다.

그러나 (생성자의 왼쪽에 있는 집합을 포함) 초현실 집합의 어떤 구성원보다 큰 초현실 숫자를 구성할 수 있으므로 초현실 수 수집은 적절한 클래스입니다.순서 연산과 대수 연산으로 순서 필드를 구성하며, 집합이 형성되지 않는다는 경고도 있습니다.모든 순서가 있는 필드는 초현실적인 ^[1]숫자의 하위 필드이기 때문에 실제로는 가장 큰 순서 필드입니다.모든 초현실적 숫자의 클래스는 ${\displaystyle \mathbb{기호}}$ N$$o \$displaystyle \mathbb {No$로 표시됩니다$.$

Infinity

모든 비현실적인 숫자는 건설 규칙에 의해 S∗의 하위 집합에서 생성된 세트로. 전처럼(이것은 같은 귀납적 단계, 모든 자연수보다 크다 이후 번호 순서 ω 가장 작은 서수가, 유한 집합의 하지만, 노조는 귀납적 단계에 출연하고 있다 지금 무한 조합, 그리고 그렇게 이 단계 Sω 정의 c한그러한 결합을 허용하는 집합 이론에서만 수행되어야 한다.)S:에서_ω 무한히 큰 양의 고유 수가 발생합니다.

${\displaystyle \mega =\{S_{*} \}=\{1,2,3,4,...\}.}$

S에는_ω 유리수로 식별할 수 있는 객체도 포함되어 있습니다.예를 들어, 분수 1/3의 γ-완전 형식은 다음과 같이 구한다.

3 { S : y < y S : > $}$ $({ displaystyle$ { $tfrac${$1$} {3} = \ ${ y$ \ $in$S _ { * :$3y >$1 \)

이 형식의 3/3의 곱은 왼쪽 집합이 1보다 작은 숫자만 포함하고 오른쪽 집합이 1보다 큰 숫자만 포함하는 형식입니다. 생일 속성은 이 제품이 1의 형식임을 의미합니다.

나머지 모든 유리수는 S에 나타날_ω 뿐만 아니라 나머지 유한실수도 S에 나타난다.예를들면,

$}$$\backslash \}\}.$

S의 유일한_ω 무한수는 θ와 -θ이지만, S의 실수_ω 중에는 다른 비실수가 있다.S에서 가장_ω 작은 양의 숫자를 고려합니다.

$s$$\}=\{0$ y$\in$ S_${*:y>0$

이 숫자는 0보다 크지만 모든 양의 2진수 분수보다 작습니다.따라서 이것은 종종 ε이라는 라벨이 붙은 극소수입니다.【-complete】(각 -ε)의 【-complete】(각 -ε)은, 【-complete】(각 -))의 【-complete】(각각 - of)의 【-complete】(각각각의 【-complete】(각의S의 유일한_ω "순수한" 무한수는 θ와 그 가법 역 -θ이다. 이들을 임의의 2분수 y에 더하면 y ± θ의 숫자가 생성되며, 이는 S에도 존재한다_ω.

and과 by의 관계를 특정 형식을 곱하여 확인할 수 있습니다.

ω · ε₊ = { · · S_+∗ + S + · · S_∗ } 。

이 식은 S까지_ω² 초한 유도를 허용하는 집합 이론에서만 잘 정의됩니다.이러한_ω 체계에서 왼쪽 집합의_ω 모든 원소가 정의 무한소이고 오른쪽 집합의 모든 원소가 정의 무한소이므로, 【S_ω】가_ω 가장 오래된 정의 유한수인 1. 결과적으로 1/θ = 【 system】를 기호⁻¹ 대신 체계적으로 사용하는 저자도 있다.

S의 내용_ω

S에서_ω x = { L R }이(가) 지정되면 다음 중 정확히 하나에 해당됩니다.

• L과 R은 모두 비어 있습니다. 이 경우 x = 0;
• R은 비어 있고 일부 정수 n≥0은 L의 모든 요소보다 크다. 이 경우 x는 그러한 정수 n 중 가장 작은 것과 같다.
• R은 비어 있고 정수 n은 L의 모든 요소보다 크지 않습니다.이 경우 x는 +θ입니다.
• L이 비어 있고 일부 정수 nµ0이 R의 모든 요소보다 작습니다. 이 경우 x는 그러한 정수 n의 최대값과 같습니다.
• L은 비어 있고 정수 n은 R의 모든 요소보다 작지 않다.이 경우 x는 - ;이다.
• L과 R은 모두 비어 있지 않습니다.
  • 일부 2분수 y는 L과 R 사이에 "엄격하게" 있다(L의 모든 요소보다 크고 R의 모든 요소보다 작음). 이 경우 x는 그러한 가장 오래된 2분수 y와 같다.
  • 2분수 y는 L과 R 사이에 엄밀하게 존재하는 것은 아니지만, 일부 $2분수{\displaystyle }$ y${\displaystyle \delta }$L(\$displaystyle$ y$\in$ L$)$은 L의 모든 요소보다 크거나 같고 R의 모든 요소보다 작습니다.여기서 x는 y + δ이다.
  • 2분수 y는 L과 R 사이에 엄밀하게 존재하지는 않지만, 일부 $2분수{\displaystyle }$ y${\displaystyle r}$R(\$displaystyle$ y$\in$ R$)$은 L의 모든 요소보다 크고 R의 모든 요소보다 작거나 같다.여기서 x는 y - ;이다.
  • 모든 2분수는 R의 일부 원소보다 크거나 L의 일부 원소보다 작습니다. 여기서 x는 2분수로 표현되지 않는 실수입니다.

S는_ω 산술 연산에 의해 닫히지 않기 때문에 대수 필드가 아니다; θ+1을 고려하라, 그 형식은

${\displaystyle \mega +1=\{1,2,3,4,...\}+\{0 \}=\{1,2,3,4,...,\obega \}$

는 S의 어떤_ω 번호에도 속하지 않습니다.(무한 계열의) 산술 연산에 의해 닫힌 S의_ω 최대 부분 집합은 각 0이 아닌 2진수 분수 y의 무한소수 ± µ, 무한소수 인접 y ± µ를 제외하고 얻은 실수장이다.

이러한 실수의 구성은 일반 유리수가 아닌 2진수 분수로 시작하여 S의_ω 각 2진수 분수를 이전 세대의 형태와 자연스럽게 동일시한다는 점에서 표준 분석의 데데킨드 절단과는 다르다.(S의 실수_ω 원소의 θ-완전 형태는 유리수에 대응하는 데데킨트 실이 좌우의 집합에서 모두 생략된 형태로 나타나는 것을 조건으로 하여 데데킨트 절단에 의해 얻은 실과 일대일로 대응한다.유리수는 초현실 구조에서 식별할 수 있는 단계가 아니다; 그들은 단지 모든 요소 x를 포함하는 S의_ω 부분 집합 Q이며, 둘 다 S에서_∗ 도출된 어떤 a와 어떤 0이 아닌 b에 대해 x b = a이다.Q가 초현실 산술 연산의 개별 반복 하에서 닫힌다는 것을 증명함으로써 그것이 필드임을 나타낼 수 있다.또한 Q의 모든 원소가 곱셈 반전을 포함한 산술 연산의 유한 계열(실제로는 2 이하)에 의해 S로부터_∗ 도달 가능하다는 것을 보여주면 Q가 엄밀하게 더 작다는 것을 알 수 있다.실수로_ω 식별되는 S의 서브셋.

세트_ω S는 실수 R과 같은 카디널리티를 가집니다.이는 S에서_ω R의 닫힌 단위 간격 I에 대한 투영적 매핑을 보여줌으로써 입증될 수 있으며, 그 반대도 마찬가지이다.S를 I에 매핑하는 것은_ω 일상적으로, θ(-θ 포함) 이하의 수, 1 ~ θ(θ 포함)~1의 수, θ~1 ~ θ 사이의 수(각 2진수 y의 무한소수 인접 y±)를 Y에 매핑한다.I를 S에_ω 매핑하려면 I의 (열린) 중앙 1/3(1/3, 2/3)을 { } = 0에 매핑하고, 위쪽 1/3의 중앙 1/3(7/9, 8/9)을 { 0 } = 1에 매핑합니다.이것은 I의 비어 있지 않은 개방 간격을 S의_∗ 각 요소에 단조롭게 매핑합니다.I의 잔여물은 칸토어 집합^ω 2로 구성되며, 칸토어 집합 2의 각 점은 S의_ω {L R } 형태에 정확히 해당하는 중앙 1/3 구간의 분할로 고유하게 식별된다.이것에 의해, 칸토어는 생일 ω의 초현실적인 숫자의 집합과 일대일로 대응하고 있습니다.

초한 유도

S를 넘어_ω 초무한 유도를 계속하면 각각 생일α를 갖는 가장 큰 초현실적인 숫자로 표현되는 더 많은 서수α가 생성된다. (이것은 본질적으로 초무한 유도에 기인하는 서수의 정의이다.)이러한 첫 번째 서수는 ++1 = { ω }이다.δ+1 세대에는 또 다른 양의 무한수가 있습니다.

ω - 1 = { 1, 2, 3, 4, ...}.

초현실적인 숫자 θ - 1은 서수가 아니다; 서수 θ는 어떤 서수의 후속도 아니다.이것은 생일 θ+1과 함께 초현실적인 숫자이며, θ = { 1, 2, 3, 4, ...} 및 -1 = { 0 }의 합과 일치한다는 근거로 θ - 1로 표기된다.마찬가지로 δ + 1 세대에는 2개의 새로운 극소수가 있습니다.

2분위 = 1분위 + 1분위 = { 1분위 + 1분위, 1/2분위 + 1분위, 1/4분위 + 1분위, 1/8분위, ...} 및

ε2/2 = ε 1 · 1/2 = { 0 }.}. } 。

초한 유도의 후반 단계에서는 모든 자연수 k에 대해 θ + k보다 큰 수가 있다.

2 = + + ω = { ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, ...}

이 숫자는 생일이 ( + ((후계 연산에 의해 by에서 도달할 수 없는 첫 번째 서수)이고 and 및 ;의 초현실적 합과 일치하기 때문에 + + both로 표기할 수 있다. { = { 1, 2, 3, 4, ...} 및 2 = { 1}의 곱과 일치하기 때문에 2 because로 표기할 수도 있다.그것은 두 번째 한계 서수이다; 건설 단계를 통해 via에서 그것에 도달하려면 에 대한 초한 유도가 필요하다.

$\displaystyle \bigcup _{k}S_{\obega +k}$

여기에는 무한 집합의 무한 결합이 수반되며, 이는 이전에 필요했던 초한 유도보다 "강력한" 집합 이론 연산입니다.

일반적인 서수의 덧셈과 곱셈이 초현실적 표현에 대한 이러한 연산과 항상 일치하는 것은 아니라는 점에 유의하십시오.서수 1 + equals의 합은 ,과 같으나, 초현실 합은 가환이며 1 + ω = 1 + 1 > ω를 생성한다.서수와 관련된 초현실적인 숫자의 덧셈과 곱셈은 서수의 자연합과 자연곱과 일치한다.

자연수 n에 대하여 2µ가 θ + n보다 크듯이, 자연수 n에 대하여 무한하나 θ - n보다 작은 초현실수 θ/2가 존재한다.즉, µ/2는 다음과 같이 정의됩니다.

//2_∗ = { S_∗ - - S }

여기서 오른쪽에서 x - Y 표기법은 { x - y : y y Y }를 의미합니다.이것은 and의 곱과 1/2의 { 0 1 }의 형태로 식별할 수 있습니다.θ/2의 생일은 서수 θ2의 한계값이다.

의 거듭제곱과 Conway normal 형식

아르키메데스 클래스라고도 알려진 무한하고 극소수의 초현실적 숫자의 "순서"를 분류하기 위해 콘웨이는 각 초현실적 숫자에 x 초현실적 숫자와 연관시켰다.

• ω^x = { 0 , r^x_L ω s^x_R ω },

여기서 r과 s는 양의 실수에 걸쳐 있습니다.x < y가 numbers보다^yx "무한히 큰" 경우, 모든 실수 r에 대해 r for보다^x 큰 것입니다.also의 거듭제곱도 조건을 만족시킨다.

• ω^xyx+y = 、
• ω = 1/1^−xx,000,

그래서 그들은 권력자들이 기대하는 대로 행동합니다.

θ의 각 거듭제곱은 또한 아르키메데스 클래스 중 가장 단순한 초현실적인 숫자라는 보충적 특징을 가지고 있다; 반대로, 초현실적인 수 안에 있는 모든 아르키메데스 클래스에는 독특한 가장 단순한 멤버가 포함되어 있다.따라서, 모든 양의 초현실적인 숫자 x에 대해, 항상 어떤 양의 실수 r과 어떤 초현실적인 숫자 y가 존재하기 때문에, x - rθ는^y x보다 "무한히 작음"이 됩니다.지수 y는 x의 "기본값 θ 로그"로 정의되며, 로그가 양의 지평을 지면에 매핑하고 있다는 것을_ω 증명할 수 있다.

log_ω(xy) = log_ω(x) + log_ω(y).

이것은 무한 유도에 의해 확장되어 모든 초현실적인 숫자는 서수 칸토어의 정규 형태와 유사한 "정규 형태"를 가집니다.이것은 콘웨이 정규 형식입니다: 모든 초현실적인 숫자 x는 다음과 같이 고유하게 쓰여질 수 있습니다.

x = rcs₀^y₀ + rcs₁^y₁ + ...,

여기서 모든_α r은 0이 아닌 실수이고 ys는_α 엄밀하게 감소하는 초현실적 숫자의 시퀀스를 형성한다.그러나 이 "합"은 무한히 많은 항을 가질 수 있으며 일반적으로 임의의 서수 길이를 가진다.(물론 0은 빈 수열의 경우에 해당하며 선행 지수가 없는 유일한 초현실적인 숫자입니다.)

이렇게 보면, 초현실적인 숫자는 지수들의 감소하는 수열은 서수에 의해 길이가 제한되어야 하고 서수의 클래스만큼 길면 안 된다는 점을 제외하고는 멱급수장과 유사하다.이것이 초현실적인 숫자를 한 시리즈로 공식화하는 기초가 된다.

갭과 연속성

실수와 대조적으로, 초현실적인 숫자의 (적절한) 부분 집합은 최대(최소) 요소를 가지지 않는 한 최소 상한(또는 하한)을 가지지 않는다.Conway는^[6] L의 모든 원소가 R의 모든 원소보다 작도록 갭을 { L R }, L r $R{\displaystyle \mathbb{}}$ = $o$\style \$mathbb$ {No$\}$로 정의한다. 이는 적어도 한 변이 적절한 클래스이기 때문에 숫자가 아니다.비슷하지만 간격은 데데킨트 ^[c]컷과 완전히 같지는 않지만 (적절한 클래스 크기의) 선형 ^[9]연속체인 자연스러운 순서와 함께 초현실적인 숫자의 완성 ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ D$(\$에 대해 이야기할 수 있다.

예를 들어, 최소의 양의 무한 초현실적인 것은 없지만, 그 차이는

∞ = {x: n n ∈$N {\displaystyle \mathbb$ {N$\}$ : x < x: ∀ n $N {\displaystyle$ \$mathbb$ {N$\}$ : x > n

는 모든 실수보다 크고 모든 양의 무한 초현실보다 작기 ${\displaystyle {\mathbb{때문}}_{}}$에 N $D$의 실수의 최소 상한입니다$({\mathfrak {D$ 마찬가지로 ${\displaystyle \mathbb{간격}}$ O$$n $\displaystyle$ \$mathbb${On}$$=$$ {$No\$displaystyle \$mathbb${No$}).$난해한 말장난이다.일반적인 서수 구조에서 α는 α보다 작은 서수 집합이며, 이 등가를 사용하여 α = {α}을(를) 쓸 수 $있다{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathbb{On}}$ $\$style \$mathbb {On}$은 서수 클래스를 나타내며, ${\displaystyle \mathbb{On}}$ $\$$display$style \$mathbb {On}$은 \$display$no \mathbbbb {on}의 공차이기 $때문$이다.{ ${\displaystyle \mathbb{N}}$o \ $displaystyle$\ $mathbb${$No }$ $$= { $O{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathbb{n}}$\ $displaystyle$\$mathbb${$On }$ $$= ${\displaystyle \mathbb{O}}$n \ $displaystyle$\ $mathbb${$On }$ 확장자가$$ 있습니다.)

${\displaystyle \mathbb{N}}$ ^[d]o$$\$displaystyle \mathbb {No} }$은(는) 열린 집합이 적절한 집합에 의해 색인화된 결합이고 연속 함수를 ^[9]정의할 수 있는 토폴로지를 장착할 수 있습니다.코시 수열의 등가도 정의할 수 있다. 비록 그것들은 서수의 클래스에 의해 색인화 되어야 하지만, 이것들은 항상 수렴될 것이지만, 한계는 다음과 같이 표현될 수 있는 수 또는 간격일 수 있다.

$\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {No}r_{\alpha}\Omega ^{a_{\alpha}}$

${\displaystyle \mathbb{N_\alpha}}$o {\$displaystyle \mathbb {No$ (이러한 갭은 모두 코시 시퀀스 자체로 이해할 수 있지만, , 및 O ${\displaystyle \mathbb{n}}$\$displaystyle \mathbb {On}$^[9]과 같이 한계가 없는 다른 유형의 갭이 있습니다.)

지수 함수

Kruskal의 미발표 작업에 기초하여, (기준 e를 가진) 실수 지수 함수 exp(x)를 상방으로 확장하는 (초한 유도에 의한) 구축이 Gonshor에 ^{[8]: ch. 10} 의해 수행되었다.

기타 지수

θ 함수의 거듭제곱도 지수 함수이지만, 실수의 함수 확장에 필요한 특성이 없습니다.그러나 이는 base-e 지수 전개에 필요하며, 다음에 표기법 θ가^x 사용될 때마다 이 함수가 의미된다.

y가 2진수인 경우, 멱함수 x $n{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathbb{N}}$o \$displaystyle \mathbb {No$ x x^y x는 곱셈, 곱셈 역 및 제곱근으로 구성될 수 있으며, 이 모든 것은 유도적으로 정의될 수 있습니다.그 값은 기본 관계^y+z x = x^y · x에^z 의해 완전히 결정되며, 정의되어 있는 경우 존재할 수 있는 다른 모든 지수와 반드시 일치한다.

기본 유도

초현실적 지수의 유도 단계는 실제 지수의 급수 확장에 기초한다.

$\displaystyle \exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

보다 구체적으로, 기초 대수학으로 나타낼 수 있는 부분합은 양이지만 이후의 모든 부분합보다 적다.x 양의 경우 이 값은 [x]_n로 표시되며 모든 부분 합계를 포함합니다. x 음수이지만 유한한 경우 _2n+1[x]는 양의 실제 부분이 있는 첫 번째 단계부터 시작되는 일련의 홀수 단계를 나타냅니다(항상 있음).x 음수 무한대의 경우 홀수 부분합은 엄격히 감소하고 [x]_2n+1 표기법은 빈 집합을 나타내지만, 해당 요소는 유도에서 필요하지 않습니다.

실제 x < y에 대해 유지되는 관계는 다음과 같습니다.

exp x · [ y – _nx ]< exp y

그리고.

exp y · [ x - y _2n+1]< exp x ,

그리고 이것은 정의와 함께 주변 환경까지 확장될 수 있다.

exp z = { 0, exp_L z · [z–z_L],_n exp_R z · [z_R–z_R]_2n+1n exp_R z / [z–z], exp_L z / [z_L–z]_2n+1 }.

이것은 모든 초현실적 인수에 대해 잘 정의되어 있습니다(값은 존재하며 z와_R z의 선택에_L 의존하지 않습니다).

결과.

이 정의를 사용하면 다음 사항이 유지됩니다.^[e]

• exp는 엄밀하게 증가하는 양의 함수입니다.x < y 0 0 < exp x < exp y
• exp는 exp(x+y) = exp x · exp y를 만족합니다.
• exp는 ($on{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{N}}_{}}$o$$+ \$displaystyle \mathbb {No} _{+}$)의 투영으로 정의되어 있습니다.log = exp^–1
• exp는 실수의 일반적인 지수 함수와 일치합니다(따라서 exp 0 = 1, exp 1 = e).
• x 무한소수의 경우 exp의 형식 멱급수(테일러 확장) 값이 잘 정의되고 유도 정의와 일치합니다.
  • x가 Conway 정규 형태로 주어지면 결과의 지수 집합은 잘 정렬되어 있고 계수는 유한합이므로 결과의 정규 형식(선행 1)을 직접 제공합니다.
  • 마찬가지로 x가 1에 무한히 가까운 경우 로그 x는 x – 1의 멱급수 확장에 의해 지정됩니다.
• 양의 무한 x의 경우 exp x도 무한입니다.
  • x가 θ^α(α > 0)일 경우 exp x는 β의^ωβ 엄밀한 증가 함수이다.$실제로{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 유도적으로 정의된 bijection g: ${\displaystyle {\mathbb{N}}_{}}$o $+$ ${\displaystyle \mathbb {No$} _${+}}$ →$$ ${\displaystyle \mathbb{N}}o{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb$ {No$}$ $$} : α β의 역분사 g는 유도적으로 정의할 수 있다.
  • x가 "순수 무한"이고 정규_α 형식 x = δr인_α<βα^a_α 경우, 여기서 all a > 0이면 exp x = δ^{Σ_α<βr_αωg(a_α)}
  • 마찬가지로 x = ,의^{Σ_α<βr_αωb_α} 경우 로그 x = rr로_α<βα^g–1(b_α) 역수를 구합니다.
• 어떤 초현실적인 숫자는 순수 무한, 실수, 그리고 극소수의 합으로 쓰여질 수 있고, 지수는 위에 주어진 부분 결과의 산물이다.
  • 정규 형식은 무한 부분(θ의 단일 거듭제곱)과 실제 지수를 곱하여 극소수에서 얻은 멱급수에 곱하여 쓸 수 있습니다.
  • 반대로, 정규 형식의 선행 항을 나누면 어떤 초현실적인 숫자라도 (θ^{Σ_γ<δt_γωb_γ})·r·(1 + δs_α<βα^a_α),)가 된다_α. 여기서 각 인수는 위에서 주어진 로그 계산 방법을 갖는다. 그 합은 일반 로그이다.
    • 로그의 일반적인 귀납적 정의는 없지만(exp와는 달리), 부분적인 결과는 그러한 정의의 관점에서 제시됩니다.이렇게 해서 로그는 지수의 역수라는 사실을 고려하지 않고 명시적으로 계산할 수 있습니다.
• 지수함수는 어떤 유한제곱보다 훨씬 크다.
  • 임의의 양의 무한 x 및 임의의 유한 n에 대하여 exp(x)/x는ⁿ 무한이다.
  • 임의의 정수 n 및 초현실 x > n², exp(x) > x에ⁿ 대해 이 보다 강력한 제약조건은 실제 지수^[7] 필드의 Resaire 공리의1개입니다
• exp는 실제 지수^[7] 필드에 대한 모든 Resair 공리를 충족합니다.
  • 지수를 갖는 주변은 실제 지수 필드의 기본 확장입니다.
  • 엡실론_β 서수의 경우 생일 엡실론보다_β 작은 초현실적인 숫자의 집합은 지수 아래 닫힌 필드를 구성하며, 마찬가지로 실수 지수 필드의 기본 확장이다.

예

초현실적 지수는 기본적으로 유한수에 대한 잘 알려진 행동과 결합된 θ의 양의 거듭제곱에 대한 행동, 즉 함수 g(a)에 의해 주어진다.전자의 예만 제시하겠습니다.또한, g(a) = a는 범위의 큰 부분에 대해, 예를 들어 양의 실수를 갖는 유한수와 δ(일부 레벨의 반복 제곱)보다^ω··ω 작은 무한수에 대해 유지된다.

• exp = ω^ω exp
• exp^1/ω = " 및^1/ω log = " "
• exp(exp · log ω () = exp(exp · ωω^1/ω) = exp^{ω(1 + 1/ω)}
  • 여기서 호환성에는 here의^ω 값이 필요하므로 ""의 거듭제곱" 함수는 exp와 호환되지 않습니다.
• exp = ω₀^{ωε₀ + 1} exp
• log₀ = /ω / ω₀ log

지수화

일반적인 지수는 x = exp(y · log x)로 정의할^y 수 있으며, 2 = exp(y · log 2) = ω과^{log 2 · ω} 같은 식을^ω 해석할 수 있다. 다시 말하지만, 특히 may가 기저로서 발생할 수 있는 경우, 이 정의를 ""의 거듭제곱" 함수와 구별하는 것이 필수적이다.

초복소수

sur복소수는 a+bi 형식의 숫자입니다.여기서 a와 b는 초현실적인 숫자이고 i는 ^[10][11]-1의 제곱근입니다.서복소수들은 대수적으로 닫힌 필드를 형성하며 (적절한 클래스가 되는 것을 제외하고) 대수적으로 독립적인 초월 요소의 적절한 클래스에 의해 유리수를 확장함으로써 생성된 필드의 대수적 닫힘과 동형이다.필드 동형사상까지, 이 사실은 모든 고정 집합 ^{[6]: Th.27} 이론에서 서복소수 분야를 특징짓는다.

게임.

초현실적인 숫자의 정의에는 한 가지 제한이 있었다. 즉, L의 각 요소는 R의 각 요소보다 엄격히 작아야 한다는 것이다.이 제한을 해제하면 게임이라고 하는 보다 일반적인 클래스를 생성할 수 있습니다.모든 게임은 다음 규칙에 따라 구성됩니다.

시공규칙

L과 R이 두 게임 세트인 경우 { L R }은 게임입니다.

덧셈, 부정, 비교는 모두 초현실적인 숫자와 게임에 대해 동일한 방식으로 정의됩니다.

모든 초현실 숫자는 게임이지만 모든 게임이 초현실 숫자는 아닙니다. 예를 들어 게임 {0 0 }이(가) 초현실 숫자는 아닙니다.게임의 등급은 초현실보다 더 일반적이고, 더 간단한 정의를 가지고 있지만, 초현실적인 숫자의 더 좋은 특성들이 부족하다.초현실적인 숫자의 클래스는 필드를 형성하지만 게임의 클래스는 그렇지 않습니다.주변에는 총 순서가 있습니다. 임의의 두 개의 주변이 주어졌을 때, 같거나 다른 쪽보다 크거나 둘 중 하나입니다.게임에는 부분적인 순서만 있습니다.서로 동일하지도 않고, 위대하지도 않고, 작지도 않은 게임 쌍이 존재합니다.각각의 초현실적인 숫자는 양수, 음수 또는 0입니다.각 게임은 양수, 음수, 0 또는 퍼지(예: {1 - 1)입니다.

게임의 이동은 L(왼쪽 플레이어용) 또는 R(오른쪽 플레이어용)에서 이용 가능한 게임을 선택하고 이 선택된 게임을 다른 플레이어에게 전달하는 것을 포함한다.빈 세트 중 선택권이 있기 때문에 움직일 수 없는 선수가 패소했습니다.포지티브 게임은 왼쪽 플레이어의 승리, 오른쪽 플레이어의 네거티브 게임, 두 번째 플레이어의 제로 게임, 첫 번째 플레이어의 퍼지 게임을 나타낸다.

x, y 및 z가 주변이고 x=y이면 xz=y z입니다.그러나 x, y 및 z가 게임이고 x=y이면 xz=y z가 항상 참인 것은 아닙니다.여기서 "="는 동일성이 아니라 평등을 의미합니다.

콤비네이션 게임 이론

초현실적인 숫자는 원래 ^[2]바둑에 대한 연구에 의해 동기 부여되었고, 인기 있는 게임과 비밀 사이에는 수많은 연관성이 있다.이 섹션에서는 수학 객체 {L R}의 경우 대문자로 표시된 Game을 사용하고 Chess나 Go와 같은 레크리에이션 게임에서는 소문자로 된 Game을 사용합니다.

다음과 같은 속성을 가진 게임을 고려합니다.

• 2명(좌우 지명)
• 결정론(각 단계에서의 게임은 랜덤 팩터가 아닌 플레이어의 선택에 따라 완전히 달라진다)
• 숨겨진 정보 없음(플레이어가 숨기는 카드나 타일 등)
• 플레이어가 번갈아 가며 (게임은 한 번에 여러 동작을 허용할 수도 있고 허용하지 않을 수도 있음)
• 모든 게임은 제한된 수의 움직임으로 끝나야 합니다.
• 플레이어에 대한 법적 조치가 남지 않는 즉시 게임은 종료되고 그 플레이어는 패한다.

대부분의 게임에서, 초기 보드 위치는 어느 선수에게도 큰 이점을 주지 않습니다.게임이 진행되어 한 명의 선수가 승리하기 시작하면, 그 선수가 확실한 우위를 점하는 보드 포지션이 생긴다.게임을 분석할 때는 게임을 모든 보드 위치에 연관시키는 것이 유용합니다.주어진 포지션의 값은 {L R}게임입니다.여기서 L은 왼쪽이 한 번에 도달할 수 있는 모든 포지션의 값 집합입니다.마찬가지로 R은 오른쪽으로 한 번에 도달할 수 있는 모든 위치의 값 집합입니다.

제로 게임(일명 0)은 L과 R이 모두 비어 있는 게임이기 때문에 다음 게임(L 또는 R)이 바로 지는 게임입니다.두 게임 G = { L1 R1 } 및 H = { L2 R2 }의 합계는 게임 G + H = { L1 + H, G + L2 R1 + H, G + R2 }로 정의되며, 각 스테이지에서 플레이할 게임을 선택할 경우, 여전히 패자가 플레이할 게임을 선택할 수 있다.사람들은 두 명의 선수 사이에 두 개의 체스판이 있고, 번갈아 가면서 움직이지만, 어떤 보드 위에서 놀지 완전히 자유로워지는 것을 상상할 수 있다.G가 게임 {L R}, -G가 게임 {-R -L}, 즉 두 플레이어의 역할이 바뀐 경우.모든 Games G에서 G - G = 0으로 표시되기 쉽다(G - H는 G +(-H)로 정의된다).

게임을 게임과 연관짓는 간단한 방법은 매우 흥미로운 결과를 낳습니다.두 명의 완벽한 플레이어가 주어진 포지션에서 게임을 시작하며 게임과 연관된 게임이 x라고 가정합니다.모든 게임은 다음과 같이 4개의 클래스로 분류할 수 있습니다.

• x > 0일 경우 누가 먼저 플레이하든 Left가 승리합니다.
• x < 0일 경우 누가 먼저 플레이하든 Right가 승리합니다.
• x = 0일 경우 2등을 한 플레이어가 승리합니다.
• x 0이면 먼저 가는 사람이 이기는 거예요.

보다 일반적으로는 G > H를 G - H > 0으로 정의할 수 있습니다.또,< = > 에서도 마찬가지로 정의할 수 있습니다.

G H 표기는 G와 H가 비교할 수 없다는 것을 의미합니다.G H는 G-H 0과 동등하며, 즉 G > H, G < H 및 G = H는 모두 거짓이다.비교가 안 되는 게임들은 종종 서로 혼동된다고 하는데, 그 이유는 무엇이 추가되는가에 따라 어느 한쪽이 플레이어에 의해 선호될 수 있기 때문이다.0과 혼동되는 게임은 플러스, 마이너스, 제로와는 반대로 애매하다고 합니다.퍼지 게임의 예로는 별(*)이 있습니다.

때때로 게임이 끝나갈 때, 각 플레이어의 차례가 그들 중 한 명만을 이동시킬 수 있다는 점을 제외하고는 상호작용하지 않는 몇 개의 작은 게임으로 분해된다.예를 들어 바둑에서, 바둑판은 플레이어가 움직일 수 있는 작은 빈 섬이 몇 개 있을 때까지 천천히 조각들로 채워질 것이다.각각의 섬은 아주 작은 판 위에서 진행되는 별개의 바둑판 같다.각 서브게임을 개별적으로 분석하여 결과를 조합하여 게임 전체를 분석할 수 있으면 편리합니다.이것은 하기 쉽지 않아 보인다.예를 들어, 먼저 움직이는 사람이 이기는 서브 게임이 두 개 있을 수 있지만, 이 두 게임이 하나의 큰 게임으로 결합되면, 더 이상 첫 번째 선수가 되지 않습니다.다행히 이 분석을 할 수 있는 방법이 있습니다.다음과 같은 정리를 적용할 수 있습니다.

큰 게임이 두 개의 작은 게임으로 분해되고 작은 게임에는 Games of x와 y가 관련지어지면, 큰 게임은 Game of x+y가 관련지어집니다.

작은 게임으로 구성된 게임을 작은 게임의 분리합이라고 합니다.정리는 우리가 정의한 덧셈 방법은 덧셈의 분리합을 취하는 것과 동등하다는 것입니다.

역사적으로, 콘웨이는 초현실적인 숫자의 이론을 어떻게 여기에 제시되었는지를 역순으로 발전시켰다.그는 바둑을 분석하다가 비상호작용 서브게임의 분석을 분리합 분석으로 결합하는 것이 유용하다는 것을 깨달았다.이것으로부터 그는 게임의 개념과 게임의 추가 연산자를 발명했다.거기서부터 그는 부정과 비교의 정의를 개발하는 것으로 나아갔다.그리고 그는 게임의 특정 클래스가 흥미로운 속성을 가지고 있다는 것을 알아차렸다; 이 클래스는 초현실적인 숫자가 되었다.마지막으로, 그는 곱셈 연산자를 개발했고, 그 덧셈이 실제로 필드이고, 그것이 실수와 서수를 모두 포함한다는 것을 증명했다.

대체 실현

초현실적인 숫자에 대한 대안적 접근은 게임 측면에서 콘웨이의 설명을 보완한다.

사인 전개

정의들

현재 초현실적인 숫자의 부호 확장 또는 부호 수열이라고 불리는 것에서, 초현실적인 숫자는 도메인이 서수이고 코드메인이 { -1, +1 }^{[8]: ch. 2} 인 함수이다.이것은 Conway의 L-R ^[6]시퀀스와 동일합니다.

x가 y의 적절한 부분 집합인 경우, 즉 모든 α < dom(x)에 대해 dom(x) < dom(y) 및 x(α) = y(α)인 경우, x가 y보다 단순하다는 식으로 숫자에 대한 이진 술어 "dom(x) < dom(y)

초현실적인 숫자의 경우 이진 관계 <를 사전적 순서로 정의합니다('정의되지 않은 값'은 -1보다 크고 1보다 작다는 규칙).다음 중 하나에 해당하는 경우 x < y 입니다.

• x는 y 및 y(dom(x)) = + 1보다 단순하다.
• y는 x 및 x(dom(y)) = - 1보다 단순하다.
• z가 x보다 단순하고 z가 y보다 단순하며 x(dom(z) = - 1 및 y(dom(z) = + 1인 숫자 z가 존재한다.

마찬가지로 δ(x,y) = min(x) dom(x), dom(y)} { { α : α < dom(x) α x(y) y y }로 하고, 따라서 x = y가 θ(x,y) = dom(y) = dom(y)일 경우에만 y가 되도록 한다.다음으로 숫자 x와 y에 대해 다음 중 하나에 해당하는 경우에만 x < y가 됩니다.

• θ(x,y) = dom(x) θ(x,y) < dom(y) θ y(x,y) = + 1;
• θ(x,y) < dom(x) θ(x,y) = dom(y) θ x(x,y) = - 1;
• θ(x,y) < dom(x,y) θ(x,y) < dom(y) θ x(x,y)) = - 1 θ y(x,y) = + 1.

숫자 x 및 y의 경우 x < y ∨ x = y인 경우만 x > y인 경우만 x > y인 경우만 x > y입니다.또한 y and x y x인 경우 및 y x x인 경우만 x ≥ y입니다.

<는 추이적인 관계이며, 모든 숫자 x와 y에 대해 x < y, x = y, x > y 중 정확히 하나가 유지된다(삼분할의 법칙).즉, <는 선형 순서입니다(<는 적절한 클래스인 것을 제외합니다).

「x」 「L」 「y」 R(x< y)이 되도록, L과 R의 세트에는, 다음과 같은 일의의 번호 z가 존재한다.

• 'x' L (x < z) 'y' R (z < y),
• xx ∈ L(x < w) ∧ y r R(w < y)이 되는 임의의 수 w에 대해 w = z 또는 z는 w보다 단순하다.

또한 z는 L과 R에서 초무한 유도로 구성 가능하며, z는 L과 R 사이에서 가장 간단한 수이다.고유번호 z를 θ(L,R)로 표기한다.

숫자 x의 경우 왼쪽 집합 L(x)과 오른쪽 집합 R(x)을 다음과 같이 정의합니다.

• L(x) = { x : α < dom(x) δ x(α) = + 1 };
• R(x) = { x : α < dom(x) δ x(α) = - 1 },

θ(L(x), R(x) = x.

이 대안적 실현의 장점 중 하나는 평등은 유도적으로 정의된 관계가 아니라 동일성이라는 것입니다.그러나 초현실적인 숫자에 대한 Conway의 실현과는 달리, 부호 확장은 서수의 사전 구성을 필요로 하는 반면 Conway의 실현에서는 서수가 서수의 특정 사례로 구성됩니다.

그러나 서수를 사전 구성할 필요가 없는 유사한 정의를 내릴 수 있다.예를 들어, 전달성 규칙 「g」dom f(「h」dom g(h」dom f)를 만족시키는 서브셋이며 범위가 {-, + }인 (재귀적으로 정의되는) 함수 클래스로 할 수 있습니다.-x는 x의 경우보다 매우 간단하게 정의됩니다.전체 순서는 x와 y를 순서쌍의 세트로 간주함으로써 정의됩니다(일반적으로 함수는 정의됩니다).x = y 또는 초현실적인 숫자 z = x δ y는 x의 영역 또는 y의 영역(또는 둘 다)에 있다.그러면 x < y if x(z) = - 또는 y(z) = + (또는 둘 다)가 됩니다.이러한 함수를 부호 시퀀스로 변환하는 것은 간단한 작업입니다. 즉, dom f의 요소를 단순성(즉, 포함)의 순서로 배열하고 f가 이들 각 요소에 할당하는 부호를 순서대로 적습니다.그러면 서수는 범위가 { + }인 초현실적인 숫자와 같이 자연스럽게 발생한다.

덧셈과 곱셈

x와 y 두 숫자의 합 x + y는 dom(x)와 dom(y)에 x + y = θ(L,R)로 유도하여 정의한다.

• L = { u + y : u l L(x) } { { x + v : v l L(y) },
• R = { u + y : u r R(x) } { { x + v : v ∈ R(y) } 。

덧셈 항등식은 숫자 0 = { }, 즉 숫자 0은 정의역이 서수 0인 고유 함수이고, 숫자 x의 덧셈 역수는 숫자 - x이며, 돔(x) = 돔(x), α < dom(x), (x)(α) = 1 if x(α) = 1 및 (-α)이다.

따라서 숫자 x는 0 < dom(x) 및 x(0) = + 1인 경우에만 양수이고, x는 0 < dom(x) 및 x(0) = - 1인 경우에만 음수입니다.

x와 y의 곱 xy는 dom(x)과 dom(y)에 xy = δ(L,R)에 의해 유도에 의해 정의된다.

• L = { uy + xv - uv : u l L(x), v l L(y) } { { uy + xv - uv : u r R(x), v r R(y) }
• R = { uy + xv - uv : u l L(x), v r R(y) } { { uy + xv - uv : u r R(x), v l L(y) }.

곱셈 항등식은 숫자 1 = { (0,+ 1) }로 주어진다. 즉, 숫자 1은 서수 1과 동일한 도메인을 가지며, 1(0) = + 1이다.

콘웨이 실현과의 대응

Conway 실현에서 부호 확장까지의 맵은 f({ L R } = ( (M,S)에 의해 주어집니다. 여기서 M = { f(x) : x l L } 및 S = { f(x) : x r R }.

대체 실현에서 Conway 실현까지의 역맵은 g(x) = { L R }로 주어진다. 여기서 L = { g(y) : y y L(x) } 및 R = { g(y) : y r R(x) }.

자명한 어프로치

Alling에 ^[11]의해 주어진 또 다른 부차적 접근법에서는 명시적 구성이 모두 무시된다.대신, 일련의 공리들이 주어지는데, 이 공리들은 그 추세에 대한 어떤 특정한 접근법도 만족시켜야 한다.실수에 대한 공리적인 접근과 마찬가지로, 이러한 공리는 동형사상까지 독특성을 보장한다.

트리플 o { $displaystyle \langle \mathbb${$No }$ , \$mathrm$ { $<$ } ,$b$ \$rangle }$ 은 다음 조건이 충족될 경우에만 초현실적인 수 체계입니다.

• <은(는$)$ $\$mathbb {$No}$ 이상의 $합계{\displaystyle \mathbb{}}$ 순서입니다$.$
• b는 $\$에서 모든 서수의 클래스에 대한 함수입니다($\$에서는 b를 생일 함수라고 부릅니다).
• A와 B를 $(\$의 서브셋으로 하고, 모든 x and A와 y에 대해 x < y(Alling 용어 사용 시 A, B는 $(\$의 "컨웨이 컷"입니다.그런 다음 b(z)가 최소이고 모든 x a A 및 모든 y b B, x < z < y가 되도록 고유한 z $n{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathbb{N}}$o \$mathbb {No}$가 존재합니다(이 공리는 종종 "컨웨이의 단순성 정리"라고 합니다).
• 또한, 순서수 α가 모든 x δ A, B, b(z) δα에 대해 b(x)보다 클 경우 (Alling은 이 공리를 만족시키는 계를 "완전 초현실수계"라고 부른다.)

콘웨이의 원래 구성과 부호의 확장 구조 모두 이러한 공리를 충족합니다.

이러한 공리를 고려할 때, Alling은^[11] 콘웨이의 defin에 대한 원래의 정의를 도출하고 초현실적인 산수를 개발한다.

단순성 계층

필립 Ehrlich,[12]은 초현실적인 숫자의 단순함(조상)및 주문 관계를 최대 2진 pseudo-tree로 건설되고 있기 때문이라는 나무의 평소 정의로부터 그 차이점은 꼭지점의 조상들의 이뤘지만 최대 요소(바로 전임자)은 없을 것 같아 그 선두의 원을, 다른 말로 그 주문형 o.은f가 현장 흙at set은 자연수가 아닌 일반적인 서수입니다.이 구성은 Alling의 공리도 충족하며, 쉽게 부호 시퀀스 표현에 매핑할 수 있습니다.

한 시리즈

Alling은^{[11]: th. 6.55, p. 246} 또한 초현실적 숫자의 장이 초현실적 숫자의 값군 자체에 대한 실제 계수를 가진 한 급수의 장과 (순서 있는 장으로서) 동일하다는 것을 증명한다.이것은 초현실적인 숫자와 순서장 이론에 대한 보다 전통적인 수학적 접근 사이의 연결을 제공합니다.

를 값 . 이다(= 동 동 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - this this this this this of - this this - - of of of of of - - - - of of of of of 여기서 가치평가는 콘웨이 정규 형식에서 선행 항의 지수의 덧셈 역수이다. 예예 、 （ ） = -1면이다.그러면 평가 링은 유한 초현실적 숫자(실수 및/또는 극소수의 부분을 가진 숫자)로 구성됩니다.부호 반전의 이유는 콘웨이 정규 형태의 지수가 역순서 집합을 구성하는 반면, Hahn 시리즈는 값 그룹의 (역순서가 없는) 양호한 하위 집합으로 공식화되기 때문이다.

과의

필립 에를리히는 콘웨이의 최대 초현실 수장과 폰 노이만-베르네이스에서 최대 초현실 수 사이에 동형성을 구성했다.괴델 ^[12]집합론

「」도 .

읽기 ★★★★★★★★★★★★★★」

• Donald Knuth의 원래 설명:초현실적인 수치: 두 전학생이 순수 수학에 눈을 돌려 총체적 행복을 찾은 방법, 1974년, ISBN 0-201-03812-9.더 많은 정보는 이 책의 공식 홈페이지에서 찾을 수 있다.
• 초현실적인 숫자를 정의하고 게임과의 연관성을 탐구하는 1976년 고전 책의 최신판입니다.John Conway, On Numbers And Games, 2001년 제2판, ISBN 1-56881-127-6.
• 더 많은 독자들에게 초현실적인 숫자와 게임의 분석을 제시한 1981년 책의 첫 번째 부분의 업데이트:Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathemical Plays, 제1권, 제2판, 2001, ISBN 1-56881-130-6.
• Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co, 1989, ISBN 0-7167-1987-8, 4장.1976년 사이언티픽 아메리칸 기사에 대한 비기술적 개요.
• Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surral Numbers",
• 초현실적인 숫자에 대한 상세한 처리: Norman L.Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, ISBN 0-444-70226-1.
• 부호 확장 실현에 기초한 부차적 처리:Harry Gonshor, 초현실적 숫자의 입문, 1986, ISBN 0-521-31205-1.
• 숫자의 가장 일반적인 개념으로서 초현실적인 숫자의 개념에 대한 상세한 철학적 발전:Alain Badiou, Number and Numbers, New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1(페이퍼백), ISBN 0-7456-3878-3(하드커버)
• The Univalent Foundations Program (2013). Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Princeton, NJ: Institute for Advanced Study. MR 3204653. 초현실적인 숫자는 섹션 11.6에서 호모토피 유형 이론의 맥락에서 연구된다.

외부 링크

• A. N. Walker의 0.999... = 1 FAQ, 사라진 원본의 아카이브입니다.
• Claus Töndering의 온화하면서도 철저한 소개
• 좋은 수학, 나쁜 수학: 초현실적인 숫자와 그 변형에 대한 일련의 기사들