초복소수

수학에서, 초복소수란 실수의 영역에 걸친 유한 차원 유니탈 대수의 요소를 가리키는 전통적인 용어이다.19세기 후반의 초복소수 연구는 현대 집단 표현 이론의 기초를 형성한다.

역사

19세기에 4등분, 테사린, 코테나리온, 비쿼터니언, 옥토니언이라고 불리는 숫자 체계는 실수와 복소수에 더해 수학 문헌에서 확립된 개념이 되었다.초복소수라는 개념은 이 모든 것을 포함했고, 그것들을 설명하고 분류하기 위한 규율을 요구했다.

분류 프로젝트는 벤자민 피어스가 그의 선형 연관 대수학을 처음 출판한 1872년에 시작되었고 그의 아들 찰스 샌더스 피어스에 ^[1]의해 추진되었다.가장 중요한 것은, 그들은 분류에 유용한 초복소수로서 영가능 요소와 유휴 요소를 식별했다는 것이다.케일리-딕슨 구조에서는 실수 체계에서 복소수, 사분수 및 팔분수를 생성하기 위해 인볼루션을 사용했습니다.Hurwitz와 Frobenius는 초복잡성에 한계를 두는 이론을 증명했다.Hurwitz의 정리에 따르면 유한 차원 실구성 대수는 $실수$ $,$ $C$ 복소수 H $,$ $H$ , $옥토니언$ O $,$ \displaystyle $\mathbb$ ${$ $H$ Frobenius 정리입니다 $.$ ative $displaystyle$ $\mathbb {C}$ \ $mathbb$ $\mathbb {C}$ { $R$ $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {C $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ H {\ $displaystyle \mathbb {H$ 이다. 1958년 J. Frank Adams는 여전히 치수를 1, 2, ^[2]8로 제한하는 Hopf 불변량의 관점에서 추가적인 일반화를 발표했다.

초복잡한 시스템을 이용한 행렬 대수학이었다.첫째, 행렬은 2 × 2 실행렬과 같은 새로운 초복소수에 기여하였다(분할 사분율 참조).곧 매트릭스 패러다임은 행렬과 그들의 연산으로 표현되는 다른 것들을 설명하기 시작했다.1907년 조지프 웨더번은 연상초복소계가 정사각형 행렬, 즉 정사각형 ^[3]^[4]행렬의 대수의 직접곱으로 표현될 수 있다는 것을 보여주었다.그 날부터 초복소수 체계에 대한 선호 용어는 에든버러 대학의 웨더번의 논문 제목에서 볼 수 있듯이 연상대수가 되었다.단, 8진수나 쌍곡사분수와 같은 비연관계는 다른 유형의 초복소수를 나타냅니다.

Hawkins가^[5] 설명하듯이, 이 초복잡한 숫자는 Lie 그룹과 그룹 대표 이론에 대해 배우는 디딤돌이다.예를 들어, 1929년 에미 노에터는 "초복잡한 양과 표현 이론"^[6]에 대해 썼다.1973년에 칸토르와 솔로도브니코프는 1989년에 ^[7]^[8]번역된 초복소수 교과서를 출판했다.

카렌 파셜은 테오도르^[10] 몰리앙과 에두아르드 ^[11]스터디를 포함한 수학자들의 역할을 포함한 초복소수 ^[9]전성시대를 상세히 설명했다.현대 대수학으로의 전환을 위해, 바텔 반 데 바덴은 그의 ^[12]대수학 역사에서 30페이지를 초복소수들에 할애한다.

정의.

초복소수의 정의는 칸토르 & 솔로도브니코프(1989)에 의해 단수이지만 반드시 연관적이거나 가환적이지는 않은 실수에 대한 유한 차원 대수의 요소로서 주어진다.요소는 { $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ , $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ i_{1 $},$ $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ { $n$ $n$ $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ 기준으로 실수 계수 $(a_{0},\dots ,a_{n})$ 0, …, $)$ {displaystyle ( $a_{0},\dots,$ i_n $})$ 로 $(a_0, \dots, a_n)$ 생성됩니다 $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ 가능한 경우 0 - $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ 를 $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ 하는 것이 $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ 입니다 $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ , $0,+1$ 초복잡한 숫자에 대한 기술적 접근은 우선 차원 2의 숫자에 주목합니다 $.$

2차원 실대수

정리:^[7]^{: 14, 15}^[13]^[14]동형사상까지, 실수에 걸쳐 정확히 3개의 2차원 단수 대수가 있다: 보통 복소수, 분할 복소수, 그리고 이중수.특히, 실수에 대한 모든 2차원 일차 대수는 연관성과 가환성이다.

증명: 대수가 2차원이기 때문에, 우리는 {1, u}의 기수를 선택할 수 있다.대수는 제곱에서 닫히기 때문에, 비실제 기저 요소 u는 1과 u의 선형 조합으로 제곱한다.

\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}

실수 a와₀₁ a에 대해서요

au를 빼서₁ 양변에 2차 보체²
₁ a / 4를 더함으로써 제곱을 완성하는 일반적인 방법 사용

u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{2}.

${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ( ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ u - ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ) 2 ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ~ ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${$ { $textstyle$ \ left $( u$ - { \ $frac$ { $1$ } \ $right$ )^{2} = $tilde$ { $u$ $}^2$ } ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ 서 u ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ~ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ + ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ . $2$ }~ = $a$ _ ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ $0$ + { 0 + { 0 + 0 . frac } { 0 . { 0 + { 0 . { 0 } { 0 } { 0 } { 1 } { 1 } { $frac$ } { 1 } } { { { { 1 } } { 1 } } { ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ 3가지 경우는 이 실제 값에 따라 달라집니다.

4a₀ = -a일₁² 경우 위의 공식은 θ² = 0이 된다.따라서 can은 2개의 숫자 중 기본 $\{1,~\epsilon \}$ { $\{1,~\epsilon \}$ , $}$ 의 nilpotent $\epsilon$ ${\$ {\ $displaystyle$ $\{1,$ ~\ $epsilon$ \}과 $\epsilon$ $\{1,~\epsilon \}$ (와) 직접 식별할 수 있다.
4a₀ > -a일₁² 경우 위의 공식은 > 0이² 됩니다. $j^{2}=+1$ 에 의해, 정규화된 $\{1,~j\}$ $\{1,~j\}$ , $\{1,~j\}$ j $\{1,~j\}$ }({ $displaystyle \{1,~$ j $\{1,~j\}$ \})의 분할 복소수가 $=$ + 1({ $displaystyle j^{2}=+$ 1 $j^{2}=+1$ 이 됩니다.,에서 j를 구하려면 후자를 has과 같은 제곱을 갖는 양의 ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ a : $=$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ 0 + ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ ${\$ a $\mathrel {:=} {\frac {1}$ { $4}} a_{1}^2}}$ 로 ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ 나누어야 한다.
4a₀ < -a일₁² 경우 위의 공식은 θ² < 0이 됩니다. $i^{2}=-1$ 결과, i 2 $=$ - $i^{2}=-1$ ({ $displaystyle$ i $^{2}=-1$ 의 정규화 $\{1,~i\}$ {1, $}({displaystyle \{1,~i$ \})이 $\{1,~i\}$ 되는 복소수가 생성됩니다.θ에서 i를 얻으려면 후자를 0 $({$ a $\mathrel$ {: $=}{{\frac {1}{4}}a_{1$ }^ $2}-a_{0$ }})의 양의 ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ a:= ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ {0 $}$ 로 ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ 나누어 θ의² 음수를 구해야 한다.

복소수들은 필드인 유일한 2차원 초복소수 대수이다.1의 비실수근(non-real root)을 포함하는 분할 복소수(split-complex $number$ )와 같은 대수는 1 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ( ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ± ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ( $\$ $pm j)$ 와 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ 0 나눗셈수 $(1+j)(1-j)=0$ + $j)$ (1 - $j)$ 를 포함하므로 대수는 분할 대수가 될 수 없다.그러나 이러한 특성은 특수 상대성 이론의 로렌츠 변환을 설명하는 데 매우 의미 있는 것으로 판명될 수 있습니다.

Mathematic Magazine 2004년판에서는 2차원 실대수를 "일반 복소수"^[15]라고 불렀다.4개의 복소수의 교차 비율의 개념은 2차원 ^[16]실대수로 확장될 수 있다.

고차원의 예(두 개 이상의 비실제 축)

클리포드 대수

클리포드 대수는 2차 형식을 갖춘 기본 벡터 공간에 걸쳐 생성된 단수 연상 대수이다.진짜 숫자들이 흐르면서 이 대칭 scalar 제품, 너 ⋅ v=.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{을 정의할 수 있는 선과 같다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}은 2차 형식 orthogonalise는 데 사용할 수 있.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ1(uv+와의),{e1,..., ek} 그러한 근거 그런 신뢰를 줄:.

{frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)=param{cases}-1,0,+1&i=j,\0&i\not =j.\end {case}

곱셈에서 닫힘을 적용하면 {1, e₁, e₂, e₃, e₁₂, ..., ee, ..., ee₁₂₃, ..., eee, ...}의 두^k 요소에 의해 확장되는 멀티 벡터 공간이 생성됩니다.이것들은 초복소수 시스템의 근간으로 해석될 수 있다.기본 {e₁, ..., e_k}과는 달리 나머지 기본 요소는 두 요소를 교환하기 위해 얼마나 많은 단순 교환을 수행해야 하는지에 따라 반소환될 필요가 없습니다.따라서₁₂₁ ee = -ee이지만₂₁ e(ee₂₃) = +(ee₂₃)e입니다₁.

제외한 ei는 남아 있는Clifford algebras 라벨 Clp,q(R)로 식별할 수 있ei2 초기 조향 순간 0(대상에 2차 형식적으로 지탄한 원래의 우주에서 및 방향),은 대수학 ei2)+1과 함께가 낫지. 간단한 기초 요소로 구성되는지 여부를 나타내는 값, ei2)−1와 q, 그리고 Rindic 요소가 포함되어 있는 기지는 접어ates는이는 실수에 대한 클리포드 대수가 된다. 즉, 대수의 요소의 계수는 실수여야 한다.

기하학 대수로 불리는 이 대수는 체계적 집합을 형성하는데, 이것은 회전, 위상, 또는 스핀을 포함한 물리학 문제, 특히 고전과 양자 역학, 전자기 이론과 상대성 이론에서 매우 유용한 것으로 밝혀졌습니다.

예:;복소수 Cl0,1(R), split-complex 숫자 Cl1,0(R), 사원 법 Cl0,2(R), split-biquaternions Cl0,3(R), split-quaternions Cl1,1(R)≈ Cl2,0(R)(2차원 공간의 자연적인 대수학)이 포함되어 있다.Cl3,0(R)(3차원 공간의 자연적인 대수학, 그리고 파울리 행렬의 대수학);그리고 블랙 홀 대수 Cl1,3(R).

대수_p,q Cl(R)의 요소는 대수 Cl_q+1,p(R)의 짝수 부분대수^[0]
_q+1,p Cl(R)을 형성하며, 이는 더 큰 대수에서 회전을 매개 변수화하는 데 사용될 수 있다.따라서 2차원 공간에서의 복소수와 회전, 3차원 공간에서의 사분자와 회전, 1+1차원 공간에서의 분할 복소수와 (초과) 회전(로렌츠 변환) 사이에는 밀접한 관계가 있습니다.

케일리-딕슨과 8차원 이상의 분할 복합 구조는 곱셈과 관련하여 연관성이 없는 반면, 클리포드 대수는 임의의 차원 수에서 연관성을 유지한다.

1995년 이안 R. 포트스는 클리포드 대수에 관한 그의 책에서 "아대수의 인식"에 대해 썼다.그의 제안서 11.4에서는 다음과 같은 ^[17]초복잡한 사례를 요약하고 있습니다.

A를 단위 요소 1을 갖는 실연관 대수로 하자.그리고나서

1은 R(실수의 대수),
e = -1이 C(복소수 분포)와 동형인₀² A의 요소₀ e에 의해 생성된 모든 2차원 하위 대수
e₀² = 1이 R과² 동형인 A의 요소₀ e에 의해 생성된 모든 2차원 하위 대수(성분별 곱을 갖는 실수, 분할 복소수의 대수와 동형)
$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ 0 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ - 1 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ { $display e_{0}^{2$ } = $e_{1$ }^2} =- $1$ 이 H(사분위수)와 동형인 A의 상호 반반대수 집합 {e₀, e₁}에 의해 생성된 모든 4차원 서브대수
$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ 2 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ { $displaystyle e_{0}^{2$ } $= e_{1}^2$ }=1}가 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ M(R)(2 × 2 실행렬, 공역)과₂ 동형인 A의 상호 반반대수 집합 {e₀, e₁}에 의해 생성된 모든 4차원 서브대칭
$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ 0 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ = $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ 2 $=$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ = $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ 2 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ - 1 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ (\ $display e_{0}^{2$ } = $e_{1}^{2}$ $= e_{$ 2}^- $1}$ 과 $e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1$ 같은 A의 상호 반대칭 요소 집합₀ {e₁, e₂, e}에 의해 생성되는 모든 8차원 서브대칭은 H(비이온)와 형상이 된다.
$e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ 0 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ = $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ 2 $=$ e $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ = $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ 2 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ ${\$ $displaystyle e_{0}^{2$ } = $e_{$ 1} = $e_{2}^2$ } $= 1인$ A의 상호 반대칭 요소 집합 {e₀₁, e₂}에 의해 생성되는 모든 8차원 서브대칭은 M₂(복소수 biquater)과 형상이 된다.

케일리-딕슨 건설

i(빨간색), j(녹색) 및 k(파란색)의 곱셈 주기를 보여주는 4분위 곱셈의 케일리 Q8 그래프.SVG 파일에서 마우스를 위로 가져가거나 경로를 클릭하여 강조 표시합니다.

실수, 복소수 및 사분수를 제외한 모든 클리포드 대수_p,q Cl(R)은 +1의 제곱이 되는 비실수 원소를 포함하므로 분할 대수가 될 수 없다.케일리-딕슨 건설에서는 복소수 확장을 위한 다른 접근방식을 채택하고 있다.그러면 $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ 가 $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ { $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ , $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ n - $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ }({ $displaystyle$ \left $\{1,i_{1},\displays,i_{2^{n}-1}\$ right $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$ 인ⁿ 치수 2, n = 2, 3, 4, ...의 숫자 시스템이 생성되며, 여기서 모든 비실제 기본 요소는 안티커버링되고 $=$ $i_{m}^{2}=-1$ - $i_{m}$ 를 $i_{m}^{2}=-1$ 합니다.ras는 연관성이 없습니다.16개 이상의 차원(n 4 4)에서 이러한 대수는 0-divisor도 갖는다.

이 수열의 첫 번째 대수는 4차원 사분위수, 8차원 팔분위수, 16차원 사분위수이다.차원성이 증가할 때마다 대수적 대칭성이 상실된다: 사분위수 곱셈은 가환성이 아니며, 팔분위수 곱셈은 비연관성이며, 진정수의 노름은 곱셈성이 아니다.

케일리-딕슨 구조는 일부 단계에서 추가 기호를 삽입하여 수정할 수 있습니다.그런 다음 분할 대수 대신 합성 대수 집합에서 "분할 대수"를 생성한다.

\{1,\,i_{1}\}

이

\{1,\,i_{1}\}

{1

\{1,\,i_{1}\}

\{1,\,i_{1}\}

\ i_{1}^{2}=+1

}({displaystyle

\{

1,,i_{1}\})

인

\{1,\,i_{1}\}

분할 복소수로서

\ i_{1}^{2}=+1

\ i_{1}^{2}=+1

=

+

\ i_{1}^{2}=+1

({

displaystyle \i_{1

}^{2}=+

1

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

이

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

{

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

,

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

}({1,i_{1},i_{2},i_

{

3

}\})

인 분할

쿼터

i1

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

-

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

1,

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

=

+

\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1

{

display \i_

{1

}^2 =

1,

i_

{2}^{2}

=

1을 만족합니다

\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}

.

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}

\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

-

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

1 {

displaystyle

\ {

1

, i

\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}

_ {

1 }

= i2

= i3

=

- 1 {

displaystyle

\ {

1

\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}

}

=

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

i _

{ 2

} =

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

i

\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.

{ 2 } = i _ {

3

} = i

\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.

{ 3 } 、 { 1 ^{ 2 }

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

、 { 1

\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1

}

i_{7}^{2}=+1.

}

복소수와는 달리, 분할 복소수는 대수적으로 닫히지 않으며, 또한 중요하지 않은 0 제수와 중요하지 않은 공분수를 포함한다.사분위수와 마찬가지로, 분할 사분위수는 가환성이 아니라 0의 효소를 포함하고 있다.그것들은 2차원의 제곱 행렬과 동형이다.스플릿 옥토네이션은 비관련성이며 0의 효력을 포함하고 있습니다.

텐서 곱

어떤 두 대수의 텐서곱은 또 다른 대수이며, 이것은 더 많은 초복소수 시스템의 예시를 만드는 데 사용될 수 있다.

특히 복소수(실수에 대한 대수로 간주됨)를 갖는 텐서 곱을 취하면 4차원 $테사린$ C ${\$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ C \ $displaystyle \mathbb {R}$ \otimes $_{\mathbb$ { $C}$ }, 8차원 비쿼터리온 $⊗$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$ \ $mathbbb$ { $C$ } \mathbbstyle {C}로 이어진다. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$ , 및 16차원 복소수 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$ C $r$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$ O \ $displaystyle$ \ $mathbb {C$ } \ $otimes _{\mathbb$ { $R$ } $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$ } \mathbb ${O}$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$ 。

기타 예

복소수: 4차원 벡터 공간, 복소수 2차원, 테사린과 동형입니다.
멀티플렉스 수: 실수에ⁿ 대한 2차원 벡터 공간, 복소수에 대한 2차원ⁿ⁻¹ 벡터 공간
합성 대수: 곱으로 합성하는 2차 형식의 대수

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Peirce, Benjamin (1881), "Linear Associative Algebra", American Journal of Mathematics, 4 (1): 221–6, doi:10.2307/2369153, JSTOR 2369153
^ Adams, J. F. (July 1960), "On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One" (PDF), Annals of Mathematics, 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490, doi:10.2307/1970147, JSTOR 1970147
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추가 정보

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외부 링크

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[14] Ewing, John H., ed. (1991), Numbers, Springer, p. 237, ISBN 3-540-97497-0

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[16] Brewer, Sky (2013), "Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers", Advances in Applied Clifford Algebras, 23 (1): 1–14, arXiv:1203.2554, doi:10.1007/s00006-012-0335-7, S2CID 119623082

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v t 번호 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ \ $displaystyle \mathbb {N$ ) $\mathbb {Z}$ ( $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z$ ) 유리수( $\$ 구성 가능한 수 $\mathbb {A}$ 숫자( A $\$ ) 기간 계산 가능한 수 산술적 수 이론적으로 정의할 수 있는 수 가우스 정수
합성 대수	나눗셈 대수:실수( $\$ 복소수( $\mathbb {C}$ $\$ ) 4분위 ( $\mathbb {H}$ $\$ ) 옥토니언( $\$
분열되다 종류들	$(\$ 이상 $):$ 분할복소수 스플릿 쿼터 분할 옥토네이션 $(\$ 이상 $):$ 바이콤플렉스 번호 비쿼터니온 바이오크토니온
기타 하이퍼컴플렉스	이중 번호 이중 사분위수 이중 복소수 쌍곡선 사분위수 Sedenions ( $\mathbb {S}$ { \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { S $}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티플렉스 번호 기하학 대수 물리 공간의 대수 시공간 대수
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