마드하바

Madhava of Sangamagrama
마드하바
태어난c. 1340[1][2][3] (또는 1350년경[4])
코친 왕국 상암그라마
(오늘날의 이리날라쿠다, 케랄라, 인도)
죽은c. 1425(75-85세)
직종.천문학자-수학자
유명함멱급수의 발견
삼각사인함수, 코사인함수, 아크탄젠트함수의 확장
δ에 대한 무한급수합식
주목할 만한 작품골라바다 주, 마디야마나야나프라카라 주, 베바로하 주, 스푸아칸드라압티
제목골라비드(구형의 달인)

상암그라마의 마하바(Mādhava,[5]c. 1340년1425년경)는 케랄라 천문학수학 학파의 창시자로 여겨지는 인도의 수학자이자 천문학자입니다.중세 후기의 가장 위대한 수학자이자 천문학자 중 한 명인 마드하바는 무한급수, 미적분학, 삼각법, 기하학, 대수학 연구에 선구적인 공헌을 했습니다.그는 삼각함수의 범위에 대해 무한급수 근사를 사용한 최초의 사람이었습니다. 이는 "고대 수학의 유한한 절차에서 [1]무한대로의 극한 통과를 다루기 위한 결정적인 단계"라고 불립니다.

전기

마하바의 삶에 대해 확실히 알려진 것은 거의 없습니다.하지만, 다양한 필사본에서 발견되는 Mādhava에 대한 산발적인 언급들로부터, 케랄라 학파의 역사가들은 수학자에 대한 정보를 종합했습니다.바로다의 동양연구소에 보존된 필사본에서 마다바는 마하반 바로하드남 카르타(Mādhavan vārīhādēṇnam kartta...)로 언급되고 있습니다. 마하반 일라니파이 [5]엠프란'엠프란'이라는 별칭은 마드하바가 속해 있었을 것으로 추정되는 엠프란티리 공동체를 지칭하는 것으로 알려졌습니다.

"Ilaḷḷnippaii"라는 용어는 마하바의 거주지를 지칭하는 것으로 확인되었습니다.이것은 마하바 자신이 증명해 준 것입니다.의 위치에 대한 짧은 연구에서, 마하바는 그가 바쿠샤디히타라는 이름의 집에서 태어났다고 말합니다.[6]이것은 분명히 일라이파이의 산스크리트어입니다.일라니(Ilani)는 상록수 미무솝스 엘렝기(Mimusops elengi)의 말레이어 이름이며, 산스크리트어 이름은 바쿠샤(Bakuaa)입니다.팔리는 마을을 일컫는 말입니다.산스크리트어의 집 이름bakuādhiṣṭhita . .vihara는 말라얄람어의 집 이름Iraḷḷninna paḷḷi를 지칭하는 것으로 해석되기도 하며, 일부 역사가들은 현재 존재하는 두 집 중 하나인 Iriḷḷnanav andi와 Iriñnārapa bothi와 Iriñnārapaii를 동일시하려고 노력하고 있으며, 둘 다 케랄라 중부의 Irinjalakuda 마을 근처에 위치하고 있습니다.두 이름 모두 "Ilaḷḷnippa "i"라는 단어와 음운적 유사성이나 의미적 동등성이 없기 때문에 이러한 식별은 설득력이 부족합니다.

마드하바의 시대 이후를 살았던 천문학과 수학 작품 작가들은 대부분 마드하바를 '상가마그라마 마드하바'라고 언급해 왔으므로 '상가마그라마'라는 단어의 진짜 수입을 분명히 하는 것이 중요합니다.많은 학자들 사이의 일반적인 견해는 상암그라마가 닐라강에서 남쪽으로 70킬로미터, 코친에서 [7]남쪽으로 70킬로미터 떨어진 이린잘라쿠다 마을이라는 것입니다.아마도 이 마을의 초기 중세 사원의 주재신인 쿠달마니캄 사원이 삼가마의 영주라는 뜻의 상가메즈와라로 숭배되고 있어 삼가마그라마를 삼가마즈와라 마을로 해석할 수 있는 것 외에는 이 믿음에 대한 구체적인 근거가 많지 않은 것으로 보입니다.그러나 카르나타카에는 이름에 삼가마 또는 그에 상응하는 쿠살라가 있는 여러 곳과 합류 지역의 영주인 삼가네스바라에게 바치는 신전이 있습니다. (바갈코트 지역에 있는 쿠살라상가마는 삼가마의 영주에게 바치는 유명한 신전이 있는 그러한 장소 중 하나입니다.)[7]

티루나바야에서 상류로 약 10킬로미터 떨어진 곳에 있는 닐라 강의 남쪽 기슭에 쿠알루르라고 불리는 작은 마을이 있습니다.이 지명의 정확한 문자 그대로의 산스크리트어 번역은 삼가그램(Samgamram)입니다. 말라얄람어로 쿠알(kṭal)은 합류점(산스크리트어로 삼가마)을 의미하고 우르(urr)는 마을(산스크리트어로 그라마)을 의미합니다.또한 이곳은 닐라 강과 그 가장 중요한 지류인 쿤티 강이 합류하는 지점에 있습니다. (이린잘라쿠아다 근처에는 강의 합류점이 없습니다.)쿠달루르 마을에서 몇 킬로미터 떨어진 곳에 쿠탈루르 마나라는 이름의 남부디리(말레이얄리 브라만) 가문이 여전히 존재합니다.이 가족의 기원은 쿠달루르 마을 자체입니다.여러 세대에 걸쳐 이 가족은 베당가[7]전문으로 하는 훌륭한 구루쿨람을 주최했습니다.마드하바가 쓴 책인 슈푸아칸드라프티의 유일한 원고가 쿠탈루르 마나의 원고 모음집에서 얻어졌다는 것은 마드하바가 쿠탈루르 [8]마나와 어떤 연관이 있었을 것이라는 추측을 강화할 수 있습니다.따라서 가장 그럴듯한 가능성은 마드하바의 조상들이 툴루 땅이나 그 근처에서 이주하여 티룬나바야에서 멀지 않은 닐라 강 남쪽 기슭에 위치한 쿠달루르 마을에 정착한 것으로, 그가 태어나기 한 두 세대 전부터 현재의 정체가 알려지지 않은 일라니파이(Ilaḷḷnippaii)라고 알려진 집에서 살았을 것입니다.

날짜.

마드하바가 번성했던 시기를 정확히 알 수 있는 확실한 증거도 없습니다.Madhava는 그의 벤바로하에서 그 시대로 서기 1400년에 날짜를 제시합니다.마드하바의 유일한 직계 제자로 알려진 마드하바의 제자 파라메쉬바라 남부디리는 1430년에 그의 중요한 작품인 드리그가니타를 완성한 것으로 알려져 있으며 파라메쉬바라의 연대는 1360년에서 1455년으로 결정되었습니다.그러한 정황 증거로부터 역사학자들은 1340년1425년경을 마하바로 추정하고 있습니다.

역사학

Madhava 이전에 Kerala에서 수학적 작업에 대한 일부 증거가 있지만(예: Sadratnamala[which?] c. 1300, 단편적인[9] 결과 집합), Madhava가 중세 Kerala에서 풍부한 수학적 전통의 발전에 창조적인 충동을 제공했다는 것은 인용문을 통해 알 수 있습니다.하지만 몇몇 작품을 제외하고는 마드하바의 원작 대부분이 소실되었습니다.그는 후속 케랄라 수학자들의 연구, 특히 Nilakantha SomayjiTantrasangraha (c. 1500)에서 sin θ와 arctan θ를 포함한 여러 무한급수 확장의 근원으로 언급됩니다.16세기 문헌인 마하야나야나 프라카라(위대한 신들의 계산법)는 π의 여러 계열 파생의 근원으로 마다바를 꼽고 있습니다.말라얄람어로 쓰인 Jyeṣṭhadeva's Yuktibhāā(c. 1530)에서, 이 급수들은 x = tan δ 과 같은 다항식에 대한 테일러 급수 확장의 관점에서 증명과 함께 제시됩니다.

따라서, 명백하게 마다바의 작품인 것은 약간의 논쟁의 원인이 됩니다.Jyeṣṭhadeva의 제자인 Sankara Variar가 작곡한 것으로 추정되는 Yukti-dipika (탄트라상라하-뱌키야라고도 함)는 sin θ, cos θ, arctan θ에 대한 시리즈 확장의 여러 버전과 반지름과 아크탄 길이의 일부 제품을 제시하고 있으며, 대부분의 버전은 Yuktibhāṣa에 나타납니다.라자고팔과 랑가차리는 본래 [1]산스크리트어를 광범위하게 인용하면서, 이들 중 일부는 닐라칸타에 의해 마드하바로 귀속되었기 때문에, 다른 형태 중 일부는 마드하바의 작품일 수도 있다고 주장했습니다.

다른 사람들은 초기의 카라나파드하티 (1375–1475년경) 또는 마하야나야나 프라카라가 마다바에 의해 쓰여졌다고 추측하고 있지만,[3] 이것은 가능성이 적습니다.

카라나파드하티는 1834년 C. M. 휘시의 논문에서 플럭시온(미분형에 대한 뉴턴의 이름)[9]을 발견하는 데 있어 뉴턴보다 우선순위에 관심을 끌었던 초기 케랄라이트 수학 문헌인 사드라트나말라함께 고려되었습니다.20세기 중반, 러시아 학자 유슈케비치가 [11]마다바의 유산을 다시 방문했고,[12] 1972년 사르마에 의해 케랄라 학파에 대한 종합적인 고찰이 제공되었습니다.

리니지

육티바샤사인 규칙 설명

마다바 이전에 알려진 몇몇 천문학자들은 Kǖṭalur Kizhar (2세기), Vararuci (4세기), 그리고 Chaśkaranāyaṇa (866년)를 포함합니다.그 이전에 알려지지 않은 다른 인물들이 있었을 가능성이 있습니다.하지만, 우리는 마다바 이후의 전통에 대해 더 명확한 기록을 가지고 있습니다.파라메쉬바라는 직접적인 제자였습니다.수르야 싯단타에 대한 말라얄람어 해설의 야자잎 원고에 따르면, 파라메즈와라의 아들 다모다라 (1400년경–1500년경)는 그의 제자 중 한 명으로 닐라칸타 소마야지를 두었다고 합니다.예쉬타데바는 닐라칸타의 제자였습니다.트리칸티유르의 아추타 피샤라디는 예하데바의 제자로, 문법학자 멜파투르 나라야나 바타티리는 그의 [10]제자로 언급됩니다.

기부금

수학을 대수학의 유한한 과정에서 무한한 것을 고려하는 것으로 본다면, 이 전환을 향한 첫 단계는 일반적으로 무한급수 확장과 함께 옵니다.마드하바 덕분에 무한급수로 옮겨가는 것입니다.유럽에서는 1667년 James Gregory에 의해 그러한 시리즈가 처음 개발되었습니다.마드하바의 작품은 이 시리즈에서 주목할 만하지만, 정말 놀라운 것은 오차항(또는 수정항)[14]에 대한 그의 추정입니다.이것은 그가 무한급수의 한계성을 매우 잘 이해하고 있다는 것을 암시합니다.따라서 마드하바는 함수의 무한급수적 확장, 거듭제곱급수,[15] 삼각급수, 무한급수의 합리적 근사치의 기초가 되는 아이디어를 발명했을 수 있습니다.

그러나 위에서 언급한 바와 같이 어떤 결과가 정확히 마하바의 것이고 어떤 결과가 그의 후계자들의 것인지 결정하기가 어렵습니다.다음은 여러 학자들에 의해 마드하바로 귀속된 결과를 요약한 것입니다.

무한급수

그의 많은 공헌들 중에서, 그는 사인, 코사인, 아크탄젠트삼각함수에 대한 무한급수와 둘레를 계산하는 많은 방법들을 발견했습니다.마드하바의 시리즈 중 하나는 마드하바가 [16]발견한 역접에 대한 멱급수의 유도와 증명을 담고 있는 육티바샤 텍스트에서 알려져 있습니다.본문에서 예하데바는 시리즈를 다음과 같은 방식으로 설명합니다.

첫 번째 항은 주어진 사인과 원하는 아크의 반지름을 아크의 코사인으로 나눈 값입니다.다음 항들은 첫 번째 항을 반복적으로 사인의 제곱에 곱하고 코사인의 제곱으로 나눌 때 반복되는 과정을 통해 얻어집니다.모든 항은 홀수인 1, 3, 5, ...로 나뉩니다.호는 홀수 순위의 항과 짝수 순위의 항을 각각 더하고 뺀 것입니다.여기서 호의 사인 또는 보체의 사인 중 작은 것을 주어진 사인으로 해야 한다고 명시되어 있습니다.그렇지 않으면 위의 반복에 의해 얻어진 항들이 사라지는 [17]경향이 없습니다.

결과는 다음과 같습니다.

또는 이와 동등하게:

연작은 그레고리의 연작(마다바 이후 3세기 만에 재발견한 제임스 그레고리의 이름에서 따온 것)입니다.비록 우리가 이 특정한 시리즈를 예하데바의 작품이라고 생각할지라도, 그것은 그레고리보다 한 세기 앞서 있을 것이고, 확실히 비슷한 성격의 다른 무한한 시리즈들은 마드하바에 의해 만들어졌을 것입니다.오늘날, 그것은 마하바-그레고리-라이프니즈 시리즈[17][18]불립니다.

삼각법

Madhava는 정확한 사인의 표를 만들었습니다.마드하바의 값은 소수점 일곱째 자리까지 정확합니다.사분의 일 원을 이십사 등간격으로 표시하면서, 각각의 반줄의 길이를 표시했습니다.그가 시리즈 [4]확장을 기반으로 이 값들을 계산했을 수도 있습니다.

sin q = q - q/3! + q/5! - q/7! +...
cos q = 1 - q/2! + q/4! - q/6! + ...

δ(pi)의 값

마드하바의 수학 상수 파이의 값에 대한 연구는 마하야나야나 프라카라 ("위대한 [citation needed]죄를 위한 방법")에 인용되어 있습니다.사르마와[10] 같은 일부 학자들은 이 책이 마하바 자신에 의해 작곡되었을 수 있다고 생각하지만, 이 책은 16세기의 후계자의 [4]작품일 가능성이 더 높습니다.이 텍스트는 대부분의 확장을 마드하바에 귀속하며, 현재 마드하바-라이프니즈 시리즈로 알려진 π의 무한 확장을 다음과 같이 제공합니다.

멱급수 확장을 통해 얻은 것입니다.그러나 가장 인상적인 것은 그가 n개의 [4]까지 합을 계산한 후 오차에 대한 보정항n R을 부여했다는 것입니다. 즉:

R = (-1) / (4n), 또는
R = (-1)n / (4n + 1), 또는
R = (-1)π(n + 1) / (4n + 5n),

여기서 세 번째 수정은 매우 정확한 π의 계산으로 이어집니다.

Madhava가 어떻게 이러한 수정 [21]용어들을 발견했는지는 오랫동안 추측되어 왔습니다.이들은 n개 으로 평가된 원래의 마하바 급수와 결합하면 약 3n/2개의 정확한 숫자를 얻을 수 있는 유한 연속 분수의 첫 세 개의 수렴체입니다.

다음으로 높은 순서의 보정항의 절대값은

R = (4n + 13n) / (16n + 56n + 9).

그는 또한 원래의 무한급수인 π를 변형시켜 무한급수를 얻음으로써 더욱 빠르게 수렴하는 급수를 제공했습니다.

처음 21개 항을 사용하여 π의 근사값을 계산하면 소수점 11자리까지 정확한 값을 얻습니다(3.14159265359).13개의 소수점에 정확한 3.1415926535898의 값은 때때로 마다바의 [23]것으로 여겨지지만, 그의 추종자 중 한 명 때문일 수도 있습니다.이것들은 5세기 이래로 주어진 π의 가장 정확한 근사치였습니다(π의 수치 근사치 역사 참조).

Sadratnamala라는 문자는 놀랍게도 정확한 π = 3.14159265358979324 (소수점 17자리까지 정확)의 값을 제공하는 것으로 보입니다.이를 근거로 구프타(R. Gupta)는 이 텍스트 역시 마드하바가 [3][22]작곡한 것임을 제시하고 있습니다.

Madhava는 또한 호 길이와 λ의 유리 분수에 대한 관련 근사에 대한 조사를 수행했고, 다항식 확장 방법을 발견했으며, 무한 급수의 수렴 테스트를 발견했으며, 무한 연속 [3]분수의 분석을 수행했습니다.그는 또한 반복에 의한 초월 방정식의 해를 발견했고 계속되는 [3]분수에 의한 초월수의 근사치를 발견했습니다.

미적분학.

Madhava는 고전적인 분석의 발전을 위한 기초를 세웠고, 그것은 Kerala 천문학[15][24]수학 학교의 그의 후계자들에 의해 더욱 발전되었습니다.(어떤 미적분학의 아이디어는 이전의 수학자들에게 알려져 있었습니다.)마드하바는 바스카라 [24]2세의 연구 결과를 포함한 초기 연구 결과들을 확장하기도 했습니다.그러나 그들은 도함수와 적분이라는 두 가지 통일된 주제 아래에서 많은 다른 아이디어를 결합하지 못했고, 둘 사이의 연결을 보여주었고, 미적분학을 [25]오늘날 우리가 가진 강력한 문제 해결 도구로 바꾸어 놓았습니다.

마다바의 작품

K. V. 사르마는 마드하바를 다음 작품의 [26][27]저자로 지목했습니다.

  1. 골라바다
  2. 마디아마나야나프라카라
  3. Mahajyanayanaprakara (Great Sines 계산법)
  4. 라그나프라카라나 (लग्नप्रकरण) lलग्नप्रकरण (ar)
  5. 벤바로하 (वेण्वारोह) ( ven)
  6. 스푸아칸드라프티
  7. 아가니타그라하카 (1848년-1939년)
  8. 찬드라바키야니 (चन्द्रवाक्यानि) ( (चन्द्रवाक्यानि chandtable)) (문음표)

케랄라 천문수학 학교

케랄라 천문학 및 수학 학파는 남인도 케랄라에 있는 상암그라마의 마다바에 의해 설립되었으며 파라메쉬바라, 닐라칸타 소마야지, 예쉬타데바, 아치우타 피샤라티, 멜파투르 나라야나 바타티리, 아치우타 파니카르 등 구성원 중에 포함되었습니다.그것은 14세기에서 16세기 사이에 번성했습니다.그들은 세 가지 중요한 결과를 주었습니다. 사인, 코사인, 아크탄트의 세 삼각법 함수의 직렬 확장과 그 결과의 증명. 나중에 육티바 텍스트로 [9][24][25]주어졌습니다.

이 그룹은 천문학 분야에서도 훨씬 더 많은 다른 일을 했습니다. 실제로 [10]분석 관련 결과를 논의하는 것보다 천문학적 계산으로 개발된 페이지가 더 많습니다.

케랄라 학파는 언어학에도 많은 기여를 했습니다. (언어와 수학의 관계는 고대 인도의 전통입니다.)케랄라아유르베다적이고 시적인 전통은 이 학교에서도 거슬러 올라갈 수 있습니다.유명한 시 나라야니얌은 나라야나 바타티리가 작곡했습니다.

영향을 주다

마드하바는 "중세 [3]인도의 가장 위대한 수학자이자 천문학자" 또는 "수학적 분석의 창시자"로 불렸습니다. 이 분야에서 그가 발견한 몇 가지는 그가 뛰어난 [29]직관력을 가졌다는 것을 보여줍니다.O'Connor와 Robertson은 Madhava에 대한 공정한 평가는 그가 현대 고전 [4]분석을 위한 결정적인 발걸음을 내디뎠다는 것이라고 말합니다.

유럽 전파 가능성

케랄라 학파는 말라바르 해안에서 유럽 항해사들과 최초로 접촉했던 시기인 15세기와 16세기에 잘 알려져 있었습니다.당시 상암그라마 인근 무지리스 항은 해상 무역의 주요 중심지였으며, 이 지역에는 다수의 예수회 선교사와 무역상들이 활동하고 있었습니다.케랄라 학파의 명성과 이 시기에 몇몇 예수회 단체들이 지역 학문에 대해 보여준 관심을 고려할 때, U. 맨체스터의 G. Joseph를 포함한 일부 학자들은 케랄라 학파의 글이 [31]뉴턴보다 약 1세기 이전인 이 시기에 유럽에도 전해졌을 수 있다고 제안했습니다[30].

참고 항목

참고문헌

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외부 링크