헤론 공식

Heron's formula
a, b, c를 갖는 삼각형

기하학에서 헤론의 공식(또는 영웅의 공식)은 세 변의 길이 a, b, c의 관점에서 삼각형넓이를 제공합니다. 를 삼각형의 반지름, = (+b + c ), {\textstyle s = {\frac {1}{2}}(a + b + c),} 넓이 A는

이 이름은 1세기의 기술자 헤론(또는 영웅)의 이름을 따서 지어졌습니다. 헤론은 아마도 수세기 에 알려졌을 것입니다.

△ abc를 변 a = 4, b = 13, c = 15를 갖는 삼각형이라 하자. 이 삼각형의 반지름은

그래서 그 지역은

이 예에서 변의 길이와 넓이는 정수이므로 헤로니안 삼각형입니다. 그러나 헤론의 공식은 한 변의 길이가 정수가 아닌 경우에도 똑같이 잘 작동합니다.

대체식

헤론의 공식은 여러 가지 방법으로 반지름을 사용하는 대신 변의 길이로만 쓸 수도 있습니다.

팽창 후 제곱근 아래의 식은 변의 길이 a2, b2, c 제곱2 2차 다항식입니다.

케일리-멩거 행렬식을 사용하여 같은 관계를 표현할 수 있습니다.[2]

역사

이 공식은 알렉산드리아의 헤론(또는 영웅)의 공으로 여겨지며,fl.[3] 증명은 그의 책 '메트리카'에서 찾을 수 있습니다. 수학 역사가 토마스 히스(Thomas Heath)는 아르키메데스가 이 공식을 2세기 이상 전에 알고 있었고,[4] 메트릭(Metrica)은 고대 세계에서 사용할 수 있는 수학적 지식의 집합이기 때문에 이 공식이 해당 작업에서 제공된 참조보다 앞서 있을 가능성이 있다고 제안했습니다.[5]

헤론과 동등한 공식, 즉

중국인들에 의해 발견되었습니다. 그것은 아홉 부분의 수학 논문(Qin Jiushao, 1247)에 출판되었습니다.[6]

증명

헤론의 공식을 증명하는 방법은 여러 가지가 있는데, 예를 들어 다음과 같은 삼각법을 사용하거나, 삼각형의 방향자와 한 개의 을 사용하거나,[7] 구아 정리의 특별한 경우([8]예각형의 경우) 또는 브라마굽타 공식의 특별한 경우(예각형의 경우)입니다.

코사인의 법칙을 이용한 삼각법 증명

대수학을 이용한 현대적인 증명은 헤론이 제시한 증명과는 상당히 다른 것입니다.[9] a, b, c를 삼각형의 변이라 하고, α, β, γ 그 변의 반대 각도라고 합니다. 코사인의 법칙을 적용하면

변 a, b, c를 갖는 삼각형

이 증명으로부터, 우리는 다음과 같은 대수적 진술을 얻을 수 있습니다.

밑면 a 위의 삼각형의 고도는 길이 b를 γ로 가지며, 다음과 같습니다.

피타고라스 정리를 이용한 대수적 증명

고도 h 절단 베이스 cd + (c - d)인 삼각형

다음의 증명은 라이파젠이 제시한 증명과 매우 유사합니다.[10] 피타고라스 정리에 의해 우리는 오른쪽 그림에 따라 b = h + da = h + (c - d)를 갖습니다. 이들을 빼면 a - b = c - 2cd가 나옵니다. 이 방정식은 삼각형의 변들로 표현할 수 있게 해줍니다.

삼각형의 높이에 대하여 우리는 h = b - d를 갖습니다. 위의 공식으로 대체하고 제곱의 차를 적용하면 우리는 항등식을 얻을 수 있습니다.

이제 우리는 삼각형의 높이로부터 넓이를 계산하는 공식에 이 결과를 적용합니다.

코탄젠트의 법칙을 이용한 삼각법적 증명

s - a, s - b, s - c의 기하학적 의미. 이 뒤에 숨겨진 추론은 동접합 법칙을 참조하십시오.

r이 삼각형의 안의 반지름이라면, 삼각형은 같은 고도 r과 기저 a, b, c의 세 삼각형으로 분해될 수 있습니다. 그들의 면적을 합하면

여기서 = (a + b + c ) {\textstyle s = {\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}는 반주기입니다.

삼각형은 결합된 면적의 고도 r과 기저 s - a, s - b, s - c - 의 6개의 삼각형으로 교대로 분할될 수 있습니다(동접물의 법칙 참조).

위의 중간 단계는 2 + 침대 β 2 + 간이 침대 ⁡ γ =간이 침대 ⁡ β 2 간이 침대 ⁡ γ 2, {\tfrac {\alpha }{2}}+\tfrac {\beta }{2}+\tfrac {\gamma }{2}}=\tfrac {\alpha }{2}}\tfrac {\beta }{2}\tfrac {\gamma }{2}}\tfrac {\⁡}{2}} 3중 코탄젠트 아이덴티티, 반angles의 이 α + + γ 2 =π 2이기 때문에 적용됩니다. {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}입니다.

둘을 합하면 우리는

그 결과는 다음과 같습니다.

수치안정성

부동소수점 산술을 사용할 때 각도가 매우 작은 삼각형에 대해서는 위와 같은 헤론의 공식이 수치적으로 불안정합니다. 안정적인 대안은 ≥ b가 c와 컴퓨팅을 ≥하도록 변의 길이를 배열하는 것을 포함합니다.

위 식의 괄호는 평가의 수치적 불안정성을 방지하기 위해 필요합니다.

비슷한 삼각형-면적 공식

일반적인 삼각형의 넓이에 대한 다른 세 개의 공식들은 서로 다른 변수들로 표현되는 헤론의 공식과 비슷한 구조를 가지고 있습니다.

먼저 m, m, m각각 변 a, b, c로부터의 중앙값이고, 이들의 반합이σ = ( + mb + m c ), {\displaystyle \ sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}), 다음과 같습니다.

다음으로, h, h, h가 각각 변 a, b, c로부터의 고도이고, 그 역수의 반합이 = (a - 1 + h b - 1 + h c - 1), {\displaystyle H ={\tfrac {1}{2}}{\bigl(}h_{a}}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},

마지막으로, α, β, γ가 삼각형의 세 각도 측도이고, 의 사인들의 반합이 = (sin⁡ α + sin ⁡ β + sin ⁡ γ), {\displaystyle S ={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)이면,

여기서 의 지름, D = = bsin ⁡= ⁡ γ. {\ ={\frac {a}{\\alpha=frac {b}{\sin \beta }={\frac {c}{\sin \gamma }}} 이 마지막 공식은 원의 지름이 단위일 때 표준 헤론 공식과 일치합니다.

일반화

순환 사변형

헤론의 공식은 순환 사각형의 넓이에 대한 브라마굽타의 공식의 특별한 경우입니다. 사각형의 넓이에 대한 브렛슈나이더 공식은 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식 모두 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 사각형의 한 변을 0으로 설정하면 브라마굽타의 공식이나 브레트슈나이더의 공식에서 얻을 수 있습니다.

브라마굽타의 공식은 한 변의 길이가 a, b, c, d순환사변형의 넓이 K를 제공합니다.

여기서, 반지름은 다음과 같이 정의됩니다.

헤론의 공식은 또한 사다리꼴이나 사다리꼴의 넓이에 대한 공식의 특별한 경우이기도 합니다. 헤론의 공식은 평행한 작은 면을 0으로 설정함으로써 얻어집니다.

케일리-멩거 행렬식과 함께 헤론의 공식을 주어진 세 꼭짓점 사이의 거리의 제곱으로 표현하면,

Tartaglia의 3-심플렉서의 부피에 대한 공식과 유사성을 보여줍니다.

헤론의 공식을 원 안에 새겨진 오각형과 육각형으로 일반화하는 또 다른 방법은 데이비드 P에 의해 발견되었습니다. 로빈스.[17]

사면체의 부피에 대한 왜론형 공식

U, V, W, u, v, w가 사면체의 모서리의 길이(처음 세 개는 삼각형을 이루고, uU와 반대되는 등)라면[18],

어디에

비유클리드 기하학에서의 헤론 공식

구면이나 쌍곡면의 삼각형에 대한 변의 길이로 볼 때 삼각형의 넓이에 대한 공식도 있습니다. 한 변의 c c이고가 =( b + ) / 2 {\displaystyle s= (a + b + c)/2}이고, 영역 S {\displaystyle S}인 구의 삼각형의 경우, 이러한 공식은 다음과 같습니다.

우리가 가지고 있는 쌍곡선 평면에 대해서는

참고 항목

참고문헌

  1. ^ Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?". The American Mathematical Monthly. 107 (5): 402–415. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR 2695295. MR 1763392. S2CID 1214184.
  2. ^ Havel, Timothy F. (1991). "Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry". Journal of Symbolic Computation. 11 (5–6): 579–593. doi:10.1016/S0747-7171(08)80120-4.
  3. ^ Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). "A medieval proof of Heron's formula". The Mathematics Teacher. 62 (7): 585–587. doi:10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR 27958225. MR 0256819.
  4. ^ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. Vol. II. Oxford University Press. pp. 321–323.
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  6. ^ 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本) (in Chinese).
  7. ^ "Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle". 15 December 1997. Retrieved 25 September 2020.
  8. ^ Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula". The Mathematical Intelligencer. 43 (2): 37–39. doi:10.1007/s00283-020-09996-8. ISSN 0343-6993.
  9. ^ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. pp. 7–8.
  10. ^ Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44 (1): 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093.
  11. ^ Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3.
  12. ^ William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).
  13. ^ Benyi, Arpad, "삼각형에 대한 헤론형 공식", Mathematical Gazet 87, 2003년 7월 324–326
  14. ^ Mitchell, Douglas W., "삼각형의 역수 영역에 대한 헤론형 공식", Mathematical Gazet 89, 2005년 11월 494.
  15. ^ Mitchell, Douglas W. (2009). "A Heron-type area formula in terms of sines". Mathematical Gazette. 93: 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X. S2CID 132042882.
  16. ^ Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Disentangling a triangle" (PDF). American Mathematical Monthly. 116 (3): 228–237. doi:10.1080/00029890.2009.11920932. S2CID 28155804.
  17. ^ D. P. 로빈스, "원에 새겨진 다각형의 영역", 디스크르. 계산. 검. 12, 223-236, 1994.
  18. ^ W. Kahan, "사면체의 부피는 컴퓨터 프로그래밍 언어와 어떤 관계가 있습니까?", [1], 페이지 16–17.
  19. ^ Alekseevskij, D. V.; Vinberg, E. B.; Solodovnikov, A. S. (1993). "Geometry of spaces of constant curvature". In Gamkrelidze, R. V.; Vinberg, E. B. (eds.). Geometry. II: Spaces of constant curvature. Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. p. 66. ISBN 1-56085-072-8.

외부 링크