변의 길이에 대한 삼각형 면적
이 기사는 삼각형의 넓이를 계산하는 것에 관한 것입니다. 제곱근을 계산하려면 헤론의 방법 을 참조하십시오. 변 a, b, c 를 갖는 삼각형 기하학 에서 헤론의 공식 (또는 영웅의 공식 )은 세 변의 길이 a, b, c의 관점 에서 삼각형 의 넓이 를 제공합니다. {\displaystyle s} 를 삼각형의 반지름 , s = 12 (a + b + c ), {\textstyle s = {\frac {1}{2}}(a + b + c),} 넓이 A는
A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.} 이 이름은 1세기의 기술자 헤론(또는 영웅)의 이름을 따서 지어졌습니다. 헤론은 아마도 수세기 전 에 알려졌을 것입니다.
예 △ abc를 변 a = 4 , b = 13 , c = 15를 갖는 삼각형이라 하자. 이 삼각형의 반지름은
s = a + b + c 2 = 4 + 13 + 15 2 = 16 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2 }}={\frac {4+13+15}{2}}=16} 그래서 그 지역은
A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = 16 ⋅ ( 16 − 4 ) ⋅ ( 16 − 13 ) ⋅ ( 16 − 15 ) = 16 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ 1 = 576 = 24. {\displaystyle {\begin{aligned} A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24. \end{align}}} 이 예에서 변의 길이와 넓이는 정수 이므로 헤로니안 삼각형 입니다. 그러나 헤론의 공식은 한 변의 길이가 정수가 아닌 경우에도 똑같이 잘 작동합니다.
대체식 헤론의 공식은 여러 가지 방법으로 반지름을 사용하는 대신 변의 길이로만 쓸 수도 있습니다.
A = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 1 4 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned} A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}. \end{align}}} 팽창 후 제곱근 아래의 식은 변의 길이 a 2 , b 2 , c 제곱 의2 2차 다항식 입니다.
케일리-멩거 행렬식 을 사용하여 같은 관계를 표현할 수 있습니다.[2]
− 16 A 2 = 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 . {\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}
역사 이 공식은 알렉산드리아의 헤론(또는 영웅) 의 공으로 여겨지며,fl. [3] 증명은 그의 책 '메트리카 '에서 찾을 수 있습니다. 수학 역사가 토마스 히스 (Thomas Heath)는 아르키메데스가 이 공식을 2세기 이상 전에 알고 있었고,[4] 메트릭 (Metrica)은 고대 세계에서 사용할 수 있는 수학적 지식의 집합이기 때문에 이 공식이 해당 작업에서 제공된 참조보다 앞서 있을 가능성이 있다고 제안했습니다.[5]
헤론과 동등한 공식, 즉
A = 1 2 a 2 c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 2 ) 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}} 중국인들에 의해 발견되었습니다. 그것은 아홉 부분 의 수학 논문(Qin Jiushao , 1247 )에 출판되었습니다.[6]
증명 헤론의 공식을 증명하는 방법은 여러 가지가 있는데, 예를 들어 다음과 같은 삼각법 을 사용하거나, 삼각형의 방향자 와 한 개의 원 을 사용하거나,[7] 데 구아 정리 의 특별한 경우([8] 예각형의 경우) 또는 브라마굽타 공식 의 특별한 경우(예각형의 경우)입니다.
코사인의 법칙을 이용한 삼각법 증명 대수학 을 이용한 현대적인 증명은 헤론이 제시한 증명과는 상당히 다른 것입니다.[9] a , b , c 를 삼각형의 변이라 하고, α , β , γ 그 변의 반대 각도라고 합니다. 코사인의 법칙 을 적용하면
코스 γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}-{2ab}} 변 a, b, c를 갖는 삼각형 이 증명으로부터, 우리는 다음과 같은 대수적 진술을 얻을 수 있습니다.
죄악 γ = 1 − 코스 2 γ = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 2 a b . {\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.} 밑면 a 위의 삼각형 의 고도는 길이 b 를 γ로 가지며, 다음과 같습니다.
A = 1 2 ( 기초 ) ( 고도의 ) = 1 2 a b 죄악 γ = a b 4 a b 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = 1 4 − a 4 − b 4 − c 4 + 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) = ( a + b + c 2 ) ( − a + b + c 2 ) ( a − b + c 2 ) ( a + b − c 2 ) = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle {\begin{aligned} A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2 }}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2 }}\right)\left({\frac {a-b+c}{2 }}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right) }}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}. \end{align}}} 피타고라스 정리를 이용한 대수적 증명 고도 h 절단 베이스 c 가 d + (c - d) 인 삼각형 다음의 증명은 라이파젠이 제시한 증명과 매우 유사합니다.[10] 피타고라스 정리 에 의해 우리는 오른쪽 그림에 따라 b = h + d 와 a = h + (c - d)를 갖습니다. 이들을 빼면 a - b = c - 2cd 가 나옵니다. 이 방정식은 삼각형의 변들로 표현 할 수 있게 해줍니다.
d = − a 2 + b 2 + c 2 2 c . {\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2 {}}{2c}}. 삼각형의 높이에 대하여 우리는 h = b - d를 갖습니다. 위의 공식으로 대체 하고 제곱의 차 를 적용하면 우리는 항등식을 얻을 수 있습니다.
h 2 = b 2 − ( − a 2 + b 2 + c 2 2 c ) 2 = ( 2 b c − a 2 + b 2 + c 2 ) ( 2 b c + a 2 − b 2 − c 2 ) 4 c 2 = ( ( b + c ) 2 − a 2 ) ( a 2 − ( b − c ) 2 ) 4 c 2 = ( b + c − a ) ( b + c + a ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) 4 c 2 = 2 ( s − a ) ⋅ 2 s ⋅ 2 ( s − c ) ⋅ 2 ( s − b ) 4 c 2 = 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left ({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2} }}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}. \end{align}}} 이제 우리는 삼각형의 높이로부터 넓이를 계산하는 공식에 이 결과를 적용합니다.
A = c h 2 = c 2 4 ⋅ 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle {\begin{aligned} A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}. \end{align}}} 코탄젠트의 법칙을 이용한 삼각법적 증명 s - a , s - b , s - c 의 기하학적 의미. 이 뒤에 숨겨진 추론은 동접합 법칙 을 참조하십시오. r 이 삼각형의 원 안의 반지름이라면, 삼각형은 같은 고도 r 과 기저 a , b , c 의 세 삼각형으로 분해될 수 있습니다. 그들의 면적을 합하면
A = 1 2 a r + 1 2 b r + 1 2 c r = r s , {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,} 여기서 s = 12 (a + b + c ) {\textstyle s = {\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}는 반주기입니다.
삼각형은 결합된 면적 의 고도 r과 기저 s - a , s - b , s - c - 의 6개의 삼각형으로 교대로 분할될 수 있습니다(동접물의 법칙 참조).
A = r ( s − a ) + r ( s − b ) + r ( s − c ) = r 2 ( s − a r + s − b r + s − c r ) = r 2 ( 간이 침대 α 2 + 간이 침대 β 2 + 간이 침대 γ 2 ) = r 2 ( 간이 침대 α 2 간이 침대 β 2 간이 침대 γ 2 ) = r 2 ( s − a r ⋅ s − b r ⋅ s − c r ) = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) r . {\displaystyle {\begin{aligned} A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}. \end{align}}} 위의 중간 단계는 간이 침대 α 2 + 간이 침대 β 2 + 간이 침대 γ 2 = 간이 침대 β 2 간이 침대 γ 2, {\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\tfrac {\beta }{2}+\tfrac {\gamma }{2}}=\tfrac {\alpha }{2}}\tfrac {\beta }{2}\tfrac {\gamma }{2}}\tfrac {\}{2 }} 3중 코탄젠트 아이덴티티, 반angles의 합 이 α 2 + β 2 + γ 2 = π 2이기 때문에 적용됩니다. {\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}입니다. }
둘을 합하면 우리는
A 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) , {\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),} 그 결과는 다음과 같습니다.
수치안정성 부동소수점 산술 을 사용할 때 각도가 매우 작은 삼각형에 대해서는 위와 같은 헤론의 공식이 수치적 으로 불안정합니다. 안정적 인 대안은 ≥ b 가 c와 컴퓨팅을 ≥하도록 변의 길이를 배열하는 것을 포함합니다.
A = 1 4 ( a + ( b + c ) ) ( c − ( a − b ) ) ( c + ( a − b ) ) ( a + ( b − c ) ) . {\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.} 위 식의 괄호는 평가의 수치적 불안정성을 방지하기 위해 필요합니다.
비슷한 삼각형-면적 공식 일반적인 삼각형의 넓이에 대한 다른 세 개의 공식들은 서로 다른 변수들로 표현되는 헤론의 공식과 비슷한 구조를 가지고 있습니다.
먼저 m , m , m 이 각각 변 a, b , c 로부터의 중앙값 이고, 이들의 반합이 σ = 12 (ma + mb + m c ), {\displaystyle \ sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}), 다음과 같습니다.
A = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) . {\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma(\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c}}}. 다음으로, h , h , h 가 각각 변 a , b , c 로부터의 고도 이고, 그 역수의 반합이 H = 12 (h a - 1 + h b - 1 + h c - 1), {\displaystyle H ={\tfrac {1}{2}}{\bigl(}h_{a}}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},
A − 1 = 4 H ( H − h a − 1 ) ( H − h b − 1 ) ( H − h c − 1 ) . {\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.} 마지막으로, α , β , γ가 삼각형의 세 각도 측도이고, 그들 의 사인들의 반합이 S = 12 (sin α + sin β + sin γ), {\displaystyle S ={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)이면,
A = D 2 S ( S − 죄악 α ) ( S − 죄악 β ) ( S − 죄악 γ ) = 1 2 D 2 죄악 α 죄악 β 죄악 γ , {\displaystyle {\begin{aligned} A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta)}}\[5mu]& ={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \gamma \,\sin \ beta,\end {aligned}} 여기서 D 는 원 의 지름, D = sin α = bsin β = csin γ. {\textstyle D ={\frac {a}{\sin \alpha}} ={\ frac {b}{\sin \beta }={\frac {c}{\sin \gamma }}} 이 마지막 공식은 원의 지름이 단위일 때 표준 헤론 공식과 일치합니다.
일반화 순환 사변형 헤론의 공식은 순환 사각형 의 넓이에 대한 브라마굽타의 공식 의 특별한 경우입니다. 사각형 의 넓이에 대한 브렛슈나이더 공식 은 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식 모두 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 사각형의 한 변을 0으로 설정하면 브라마굽타의 공식이나 브레트슈나이더의 공식에서 얻을 수 있습니다.
브라마굽타의 공식은 한 변의 길이가 a , b, c , d 인 순환사변형 의 넓이 K 를 제공합니다.
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} 여기 서, 반지름 은 다음과 같이 정의됩니다.
s = a + b + c + d 2 . {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.} 헤론의 공식은 또한 사다리꼴이나 사다리꼴의 넓이에 대한 공식 의 특별한 경우이기도 합니다. 헤론의 공식은 평행한 작은 면을 0으로 설정함으로써 얻어집니다.
케일리-멩거 행렬식 과 함께 헤론의 공식을 주어진 세 꼭짓점 사이 의 거리의 제곱으로 표현하면,
A = 1 4 − 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}} 는 Tartaglia의 3-심플렉서 의 부피에 대한 공식과 유사성을 보여줍니다.
헤론의 공식을 원 안에 새겨진 오각형과 육각형으로 일반화하는 또 다른 방법은 데이비드 P 에 의해 발견되었습니다. 로빈스 .[17]
사면체의 부피에 대한 왜론형 공식 U , V , W , u, v , w 가 사면체의 모서리의 길이(처음 세 개는 삼각형을 이루고, u 는 U 와 반대되는 등)라면[18] ,
용량 = ( − a + b + c + d ) ( a − b + c + d ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) 192 u v w {\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d) }}{192\,u\,v\,w}}} 어디에
a = x Y Z b = y Z X c = z X Y d = x y z X = ( w − U + v ) ( U + v + w ) x = ( U − v + w ) ( v − w + U ) Y = ( u − V + w ) ( V + w + u ) y = ( V − w + u ) ( w − u + V ) Z = ( v − W + u ) ( W + u + v ) z = ( W − u + v ) ( u − v + W ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zX Y}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\ \x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\ Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W). \end{align}}} 비유클리드 기하학에서의 헤론 공식 구면 이나 쌍곡면 의 삼각형에 대한 변의 길이로 볼 때 삼각형의 넓이에 대한 공식도 있습니다. 한 변의 길이 가 a, b , c {\displaystyle a, b, c} 이고, 반 둘레 가 = (a + b + c ) / 2 {\displaystyle s= (a + b + c)/2}이고, 영역 S {\displaystyle S}인 구의 삼각형의 경우, 이러한 공식은 다음과 같습니다.
태닝하다 2 S 4 = 태닝하다 s 2 태닝하다 s − a 2 태닝하다 s − b 2 태닝하다 s − c 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}} 우리가 가지고 있는 쌍곡선 평면에 대해서는 태닝하다 2 S 4 = 탠 s 2 탠 s − a 2 탠 s − b 2 탠 s − c 2 . {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}
참고 항목
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