모듈형

수학에서 모듈형(modular form)은 모듈 그룹의 그룹 작용에 관한 일정한 종류의 기능 방정식을 만족시키고 또한 성장 조건을 만족시키는 상부 하프 평면의 (복잡한) 분석함수다. 그러므로 모듈형식의 이론은 복잡한 분석에 속하지만 이론의 주된 중요성은 전통적으로 숫자 이론과의 연관성에 있었다. 모듈형 형태는 대수 위상, 구체 패킹, 끈 이론과 같은 다른 영역에 나타난다.

모듈형 함수는 모듈형 형태와 마찬가지로 모듈형 그룹에 대해서는 불변하지만, 상반면에서는 f(z)가 홀로모르픽이라는 조건이 없는 함수다. 대신 모듈형 함수는 meromorphic이다(즉, 함수의 극인 고립된 점 집합의 보완에 홀로모르픽이다).

모듈형 형태 이론은 보다 일반적인 자동 형태 이론의 특수한 경우로서, 따라서 이제는 이산형 집단의 풍부한 이론의 가장 구체적인 부분이라고 볼 수 있다.

모듈형식의 일반적 정의

일반적으로 ^[1]하위 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{$$SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ of finite index, called an arithmetic group, a modular form of level ${\displaystyle \Gamma }$ and weight ${\displaystyle k}$ is a holomorphic function ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ from the upper half-plane such that the following two conditions are satisfied:

1. (automorphy 조건) ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \in }$ { $\$ {\$displaystyle \gamma \$in \$Gamma$\in $\$$Gamma{\displaystyle }$\}}에 대해 $equality$ f${\displaystyle }$($$ ( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$($cz$+$d)=(cz+d)^{k$}f(z)}f)가 있다$$$.$

2. (성장 조건) $any{\displaystyle {\text{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \gamma \in {\text{$$SL}}_{2}(\mathb {Z} )}$ 함수$$$({\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$+${\displaystyle {}^{}d{}^{}}$) - ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \gamma }$( z$){\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma$($z$$)}}}}$는$$im (${\displaystyle z}$) → $\displaysty{\\text}$에 대한 경계임$}$

여기서:

${\displaystyle \pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in {\text}SL}_{2}(\mathb {Z} )}$

또한 다음과 같은 성장 조건을 만족하면 서프 형태라고 한다.

3. (중단 조건) $any{\displaystyle {\text{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \gamma \in {\text{$$SL}}_{2}(\mathb${${\displaystyle Z}$$} )}$ 함수$$$({\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$+ d${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- k ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z)\to 0}$ im ($z)$로 ${\displaystyle \text{im})}$→ $\displaysty{\\text}$

선다발의 섹션으로

모듈형 형태는 모듈형 품종에 대한 특정 라인 번들의 섹션으로도 해석될 수 있다. $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{$$SL}_{2}(\mathb {Z} )}$ 수준 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ 및 중량$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 모듈형$$ 형식을 의 요소로 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma }},\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\감마 )}$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은 모듈형 곡선의 표준 선 번들임

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \백슬래시({\mathcal {H}\컵 \mathb {P}^{1}(\mathb {Q} )}}}$

모듈형 형태의 이러한 공간의 치수는 리만-로치 정리를 사용하여 계산할 수 있다.^[2] $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle SL\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma ={\text{$$SL}_{2}(\mathb {Z} )}$은 타원곡선의 모듈리 스택에 있는 선다발의 섹션이다$$.

SL용 모듈식(2, Z)

표준 정의

모듈러 그룹용 모듈형 중량 k

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\왼쪽\{\왼쪽).{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\right a,b,c,d\in \mathbf {Z},\ad-bc=1\right\}}}\오른쪽,$

상반면 H = {z ∈ C, 임(z) > 0}에서 다음 세 가지 조건을 만족하는 복합값 함수 f이다.

1. f는 H에서 홀로모픽 함수다.
2. 위와 같은 SL(2, Z)의 모든 z ∈ H 및 매트릭스에 대해 다음을 제공한다.

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}\오른쪽)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3. f는 z → i∞로 경계해야 한다.

설명:

• 중량 k는 일반적으로 양의 정수다.
• 홀수 k의 경우 영함수만 두 번째 조건을 만족시킬 수 있다.
• 세 번째 조건도 f가 아래에 설명되어 있는 용어인 "cuse at the cusp"라고 말해 표현된다.
• 에 대한 두 번째 조건.

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad T={\begin{pmatrix}1\0&1\end{pmatrix}}}}}$

읽는다

${\displaystyle f\left(-{1}{z}\오른쪽)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

각각 S와 T는 모듈 그룹 SL(2, Z)을 생성하므로 위의 두 번째 조건은 이 두 방정식과 동등하다.

• f (z + 1) = f (z)이기 때문에 모듈형 형태는 주기적인 함수로서 주기 1로, 따라서 푸리에 시리즈가 있다.

격자 또는 타원 곡선의 정의

모듈형 형식은 C의 격자 집합에서 특정 조건을 만족하는 복잡한 숫자의 집합까지 기능 F로 동등하게 정의될 수 있다.

1. 우리가 상수 α와 변수 z에 의해 생성된 격자 = = Zα + Zz를 고려한다면, F(λ)는 z의 분석 함수다.
2. α가 0이 아닌 복합수이고 αα이 α의 각 원소에 α를 곱하여 얻은 격자라면 F(α k) = αF^−k(αF) 여기서 k는 형태의 무게라고 불리는 상수(일반적으로 양의 정수)이다.
3. λ에서 가장 작은 0이 아닌 원소의 절대값이 0에서 떨어져 있는 한 F(()의 절대값은 위에 경계를 유지한다.

두 정의의 등가성을 증명할 수 있는 핵심 아이디어는 그러한 기능 F가 두 번째 조건 때문에 τ H형식의 선반들에 대한 값에 의해 결정된다는 것이다.

예

아이젠슈타인계 전동차

이런 관점에서 가장 간단한 예는 아이젠슈타인 시리즈다. 각 짝수 k > 2에 대해, 우리는_k G(()를 λ의 모든 비 0 벡터 over에 대한 λ의^−k 합으로 정의한다.

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \lambda }\lambda ^{-k}.}$

그리고 G는_k 무게 k의 모듈형이다.

λ = Z + Z의 경우

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum_{0,0)\neq(m,n)\in \mathbf {Z}^{2}}{{\frac{1}{(m+n\tau )^{k}}}}}}},},},},},},},},},},},},},$

그리고

${\$$G_{k}\왼쪽(-{\frac {1}{\tau }}}}\오른쪽)&=\tau ^{k}{k}(\tau )\\\g_{k}(\tau +1)&=$$G_{k}(\tau )\end{aigned}}}$.

조건 k > 2는 수렴을 위해 필요하며, 홀수 k의 경우 λ과^−k (-λ)^−k 사이에 취소가 있어 그러한 연속이 동일하게 0이 된다.

단변성 격자의 세타 함수

R에서ⁿ 짝수 단변형 격자 L은 n 벡터가 결정인자 1의 행렬의 열을 형성하고 L에서 각 벡터 길이의 제곱이 짝수 정수라는 조건을 만족시켜 생성되는 격자다. 이른바 세타함수.

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\vert \lambda \Vert \{2}z}}}$

임(z) > 0일 때, 그리고 포아송 합계 공식의 결과로서 무게 n/2의 모듈형 형태임을 나타낼 수 있다. 단변형 격자라도 구성하기는 그리 쉽지 않지만, 여기에 한 가지 방법이 있다: n은 8로 나눌 수 있는 정수가 되게 하고 2v는 모두 짝수 또는 모두 홀수인 정수 좌표를 가지며, v의 좌표 합계가 짝수인 것처럼 R의ⁿ 모든 벡터 v를 고려한다. 우리는 이것을 L이라고_n 부른다. n = 8일 때, 이것은 E라고₈ 불리는 뿌리 시스템의 뿌리에 의해 생성된 격자다. 무게 8의 모듈형 형태는 메스커 곱셈까지 단 하나밖에 없기 때문에,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\time L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}},}$

격자₈ L × L과₈ L은₁₆ 유사하지 않지만. John Milnor는 R을¹⁶ 이 두 개의 격자로 나누어 얻은 16차원 토리가 결과적으로 등축은 아니지만 등축이 아닌 콤팩트한 리만 다지관의 예라고 보았다.

모듈식 판별

디데킨드 eta 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \eta(z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{n1}^{\infit }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

여기서 q는 nome의 제곱이다. 그렇다면 모듈형 판별 Δ(z) = (2π)¹² η(z)²⁴는 무게 12의 모듈형이다. 24의 존재는 리치 격자(Leech lattice)가 24차원이라는 사실과 관련이 있다. 라마누잔에 대한 유명한 추측에 따르면 Δ(z)를 q의 권력 시리즈로 확장했을 때, prime p의 q^p 계수는 절대값 ≤ 2p를^11/2 가진다. 이는 라마누잔의 추측을 암시하는 델리뉴의 웨일 추측에 대한 증거 결과 에이클러, 시무라, 쿠가, 이하라, 피에르 들랭의 작품으로 확인되었다.

두 번째와 세 번째 예는 이차적 형태에 의한 정수의 표현과 칸막이 함수와 같은 숫자 이론에서 모듈형 형태와 고전적 질문 사이의 연관성에 대한 힌트를 준다. 모듈형식과 숫자이론 사이의 결정적인 개념적 연결고리는 헤케 연산자의 이론에 의해 제공되는데, 이 이론은 모듈형식의 이론과 대표이론 사이의 연결고리를 제공하기도 한다.

모듈식 함수

중량 k가 0일 때는 모듈형만이 상수함수라는 것을 리우빌의 정리를 이용하여 보여줄 수 있다. 그러나, f가 홀로모르픽이라는 요구사항을 완화하면 모듈화 함수의 개념으로 이어진다. f : H → C 함수는 다음과 같은 특성을 만족하는 modular ifff라고 한다.

1. f는 열린 상부 반평면 H에서 용형이다.
2. 모듈형 그룹 γ의 모든 정수 행렬 c ) ${\${pmatrix$}}}$에 대해${\displaystyle }f{\displaystyle \frac{(z}{}}$+ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ + ${\displaystyle \frac{d}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(z}$ ) ${\displaysty$ f$\lef({\frac {az+b}{c+d}}}}}}}})=$f$)=$$f$)=f$(z}.$
3. 위에서 지적한 바와 같이, 두 번째 조건은 f가 주기적인 것이므로 푸리에 시리즈를 가지고 있다는 것을 암시한다. 세 번째 조건은 이 시리즈가 형식이라는 것이다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infit }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

흔히 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}($nome의 제곱)의 용어로 다음과 같이 표기된다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\nft }a_{n}q^{n}.}$

이것을 f의 q-확장이라고도 한다. ${\displaystyle {계수}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$는 f의 푸리에 계수라고 하며, 숫자 m은 i i에서 f의 극의 순서라고 한다. 이 조건을 "첨두에서의 상동형"이라고 하는데, 이는 미세하게 많은 음-n 계수만 0이 아니므로, q-확장형은 q = 0에서 상동형이라는 것을 보장하면서 아래에 경계한다.

모듈형 함수의 정의를 나타내는 또 다른 방법은 타원형 곡선을 사용하는 것이다: 모든 격자 Ⅱ는 C에 대한 타원형 곡선 C/CTU를 결정한다; 만약 한 개라도 0이 아닌 복잡한 숫자 α에 곱하여 다른 것으로부터 얻는 경우에만 두 개의 격자가 이소형 타원 곡선을 결정한다. 따라서 모듈형 함수는 타원곡선의 이형성 등급 집합에서도 용형 함수로 간주할 수 있다. 예를 들어, 모든 타원곡선의 집합에서 함수로 간주되는 타원곡선의 j-invariant j(z)는 모듈형 함수다. 보다 개념적으로 모듈형 함수는 복잡한 타원곡선의 이형성 등급의 모듈리 공간의 함수로 생각할 수 있다.

q = 0(동일하게, a₀ = 0, z = i∞로 파라프레이되기도 함)에서 소멸되는 모듈형 f를 cusple 형태(독일어로 Spitzenform)라고 한다. ≠ 0과_n 같은 가장 작은 n은 i∞에서 f의 0의 순서다.

모듈형 단위는 극과 영이 쿠스프에 국한된 모듈형 기능이다.^[4]

더 많은 일반 그룹을 위한 모듈형 양식

함수 방정식, 즉 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle z\frac{}{}}$+ b ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$+ d ${\$에 대한 f의 동작은 더 작은 그룹의 행렬에 대해서만 요구함으로써 완화할 수 있다$$.

리만 표면 G\H^∗

G는 유한 지수의 SL(2, Z)의 부분군이 되도록 한다. 그러한 그룹 G는 SL(2, Z)과 같은 방식으로 H에 작용한다. 지분의 위상학적 공간 G\H는 하우스도르프 공간임을 알 수 있다. 전형적으로 콤팩트하지는 않지만 cusps라고 하는 한정된 수의 점을 더하면 콤팩트해질 수 있다. 이것들은 H의 경계, 즉 Q∪{∞}^[5]에서 점을 고정하는 G의 포물선 요소(추적 ±2의 행렬)가 있는 점들이다. 이것은 작은 위상학적 공간 G\H를^∗ 산출한다. 게다가, 그것은 홀로와 메로모르픽 기능을 말할 수 있는 리만 표면의 구조를 부여받을 수 있다.

중요한 예로는 모든 양의 정수 N에 대해 합치 부분군 중 하나를 들 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}\in {\text}SL}}(2,\mathbf {Z}):c\equiv 0{\pmod {N}\right\}\\\\\Gamma(N)&=\left\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in{pmatrix}\innext{\nect}SL}}(2,\mathbf {Z}):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod{{\pmod}\right\}.\end{정렬}}}$

G = γ₀(N) 또는 γ(N)의 경우, G\H와 G\H의^∗ 공간은 각각₀ Y(N)와₀ X(N)로 표시되며, Y(N), X(N)로 표시된다.

G\H의^∗ 기하학은 G에 대한 기본 영역 즉, D가 H에서 G-action의 각 궤도를 정확히 한 번 교차하고 D의 폐쇄가 모든 궤도를 만족하도록 하위 집합 D ⊂ H를 연구함으로써 이해할 수 있다. 예를 들어, G\H의^∗ 속은 계산될 수 있다.^[6]

정의

중량 k의 G를 위한 모듈형 형태는 G의 모든 행렬에 대해 위의 기능 방정식을 만족하는 H의 함수로서, H와 G의 모든 cusps에 홀로모르픽이다. 다시 모든 cusps에서 사라지는 모듈형 형태를 G의 cusp 형태라고 부른다. 무게 k의 모듈형 및 코프터 형태의 C-벡터 공간은 각각_k M(G)과_k S(G)로 표시된다. 마찬가지로 G\H에^∗ 대한 meromorphic 함수를 G에 대한 모듈형 함수를 G의 모듈형 함수로 부른다. 케이스 G = ((N₀)인 경우, 모듈형/서스펜서 형태 및 레벨 N의 함수라고도 한다. G = γ(1) = SL(2, Z)의 경우, 이는 전술한 정의를 다시 제공한다.

결과들

Riemann 표면의 이론은 모듈형 형태와 기능에 대한 추가 정보를 얻기 위해 G\H에^∗ 적용할 수 있다. 예를 들어 공간 M_k(G)과 S_k(G)는 유한한 차원이며, 그 치수는 H에 대한 G-action의 기하학적 관점에서 리만-로치 정리 덕분에 계산할 수 있다.^[7] 예를 들어,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{\text})SL}}(2,\mathbf {Z} )\오른쪽)={\begin{case}\lpmoor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod{12}\lpmoor k/12\right\rfloor +1&{\text}}\case}}}}}}}}}}}$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle \lplaystyle$ \$lcdot \rfloor }$은(는) 바닥 기능을 나타내고$$k {\$displaysty$ k$}$은(는) 짝수다.

모듈형 함수는 리만 표면의 함수 영역을 구성하며, 따라서 초월도 1(C 이상)의 장을 형성한다. 모듈형 함수 f가 동일한 0이 아닌 경우, f의 0의 수가 기본 영역 R의_Γ 폐쇄에서 f의 극의 수와 동일함을 보여줄 수 있다.레벨 N(N ≥ 1)의 모듈형 함수 분야는 함수 j(z)와 j(Nz)에 의해 생성됨을 알 수 있다.^[8]

라인 번들

상황은 투사 공간 P(V): 그 설정에서 발생하는 것과 비교할 수 있다. 그 설정에서, V에서 v ≠ 0의 좌표에서 다항식인 벡터 공간 V의 함수 F를 이상적으로 좋아하고 모든 비 0 c에 대해 F(cv) = F(v)를 만족한다. 불행히도 그런 함수는 상수밖에 없다. 분모(다항식 대신 관계함수)를 허용하면 F를 같은 정도의 동종 다항식 두 개의 비율이 되게 할 수 있다. 또는 다항식(다항식)을 고수하고, F(cv) = cF^k(v)를 놓아 c에 대한 의존을 느슨하게 할 수 있다. 용액은 도 k의 동종 다항식이다. 한편으로 이것들은 각 k에 대해 유한 치수 벡터 공간을 형성하고, 다른 한편으로 k를 변화시키면, 우리는 밑바탕에 깔린 투영 공간 P(V)에 실제로 기능하는 모든 합리적 기능을 구성하기 위한 분자와 분모를 찾을 수 있다.

동종 다항식은 실제로 P(V)에서 기능하는 것이 아니기 때문에, 기하학적으로 말해 무엇이라고 말할 수 있는가? 알헤브로-기하학적 대답은 그것들이 칼집의 일부라는 것이다(이 경우 선다발이라고도 말할 수 있다). 모듈형의 상황은 정확히 유사하다.

모듈형 형태도 타원곡선의 모듈리 공간에 있는 선다발 부분으로서 이 기하학적 방향에서 이익적으로 접근할 수 있다.

모듈형 링

SL(2, Z)의 부분군 γ에 대해 모듈형 링은 γ의 모듈형 형태에 의해 생성된 등급의 링이다. 즉, M_k(γ)이 중량 k의 모듈형 형태의 링이라면, 의 모듈형 형태의 링은 등급이 매겨진 M( )= k> 0 k () ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0$}M_{$k}(\Gamma})$이다

Pierre Deligne와 Michael Rapoport의 결과로 인해 SL(2, Z)의 조합 하위 그룹의 모듈형 링이 정밀하게 생성된다. 이러한 모듈형 형태의 링은 최대 6개에서 중량으로 생성되며, 결합 부분군이 0이 아닌 홀수 중량 모듈형을 가질 때 최대 12개에서 관계가 생성되며, 해당 한계는 0이 아닌 홀수 중량 모듈형이 없을 때 5와 10이다.

더 일반적으로, 모듈형 형태의 링의 발생기 무게와 임의의 푸치안 그룹과의 관계에 대한 한계에 대한 공식들이 있다.

종류들

전체 양식

f가 cusp(q = 0에 극이 없는)에서 홀모픽인 경우, 전체 모듈형 형태라고 한다.

만약 f가 용적(meromorphic)이지만 코스트에서 홀모픽(holomorphic)이 아니라면, 비-엔티어 모듈형(non-entire modular form)이라고 한다. 예를 들어 j-invariant는 비중격 0의 비-엔티어 모듈형이며 i∞에는 간단한 폴이 있다.

새로운 양식

새로운 형태는 $고정{\displaystyle }$ 가중치 $N{\displaystyle }${\$displaystyle N}$의 모듈형 형태의^[9] 하위 공간이며$$,$$N {\$displaystyle$ N$}$을(를) 나누는 하위 가중치 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모듈형으로 구성할 수 없다$.$ 다른 형태는 구형이라고 한다. These old forms can be constructed using the following observations: if ${\displaystyle M N}$ then ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$ giving a reverse inclusion of modular forms ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\su$$bseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N)})}$.

서류가 형성되다.

쿠퍼 형태는 푸리에 시리즈에서 상수계수가 0인 모듈형 형태다. 그것은 어떤 형태로든 형태가 사라지기 때문에 cusp 형태라고 불린다.

일반화

이 고전적인 것 외에 "모듈적 함수"라는 용어에 대한 많은 다른 사용법이 있다. 예를 들어, Haar 측정 이론에서 그것은 결합 작용에 의해 결정되는 함수 Δ(g)이다.

Maass 형태는 라플라시아인의 실제 분석적 고유 기능이지만 홀로모르픽일 필요는 없다. 어떤 약한 마스 파형의 홀모형 부분은 본질적으로 라마누잔의 모의 세타 함수인 것으로 밝혀졌다. SL(2, Z)의 하위 그룹이 아닌 그룹을 고려할 수 있다.

Hilbert 모듈형 형식은 n개의 변수로 기능하며, 각각 상위 하프 평면의 복잡한 숫자로, 완전한 실제 숫자 필드에 입력된 2×2 행렬에 대한 모듈 관계를 만족한다.

시겔 모듈형 형태는 고전적인 모듈형 형태가 SL(2, R)과 연관되어 있는 것과 같은 방식으로 더 큰 동시형 집단에 연관되어 있다. 즉, 고전적인 모듈형 형태(점을 강조하기 위해 타원형 모듈형이라고 부르기도 한다)가 타원형 곡선과 관계되어 있는 것과 같은 의미에서의 아벨리아 품종과 관련이 있다.

자코비 형태는 모듈형 형태와 타원함수의 혼합물이다. 그러한 기능의 예는 매우 고전적인 것으로서 - 자코비 세타 함수와 2개의 시겔 모듈형식의 푸리에 계수가 있다 - 그러나 자코비형식이 일반적인 모듈형식의 이론과 매우 유사한 산술 이론을 가지고 있다는 것은 비교적 최근의 관측이다.

자동형 형태는 모듈형 형태의 개념을 일반적인 Lie 그룹으로 확장한다.

중량 k의 모듈형 통합은 합리적인 함수에 의해 중량 k의 모듈화가 되지 못하는 무한대의 중간 성장의 상부 절반 면에 있는 용적함수다.

자동형 인자는 $\epsilon {\displaystyle (a}$, ${\displaystyle b}$, c , ${\displaystyle c}$,${\displaystyle }$d ) ${\displaystyle (c}$+ ${\displaystyle d{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 형식의 함수다.$^{k}}.$ 모듈형$$ 형식을 정의하는 모듈형 관계를 일반화하는 데 사용된다.

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}\right)=\varepsilon(a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

$\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle (,b}$, ${\displaystyle c}$, d${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$ 함수를 모듈형식의 네번티푸스라고 한다$$. 무게 1/2의 모듈형 형태인 데데킨드 에타 함수와 같은 기능은 자동형 인자를 허용함으로써 이론에 포함될 수 있다.

역사

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱 소재는 도전하여 제거할 수 있다. (1919년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

모듈형식의 이론은 4개의 시기로 전개되었다: 첫째는 타원함수의 이론과 관련지어 19세기 초엽에 펠릭스 클라인 등에 의해, 그 다음 19세기 말에 자동형 형태의 개념(한 변수에 대하여)이 이해됨에 따라, 그 다음 1925년경부터 에리히 헤케에 의해, 그리고 나서 1925년경부터 시작되었다.n 1960년대에, 수 이론의 필요성과 특히 모듈화 정리의 형성이 모듈화 형식이 깊이 관여하고 있음을 분명히 했다.

체계적 설명으로서 "모듈적 형태"라는 용어는 대개 헤케에 기인한다.

메모들

참조

• Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0
• Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics, vol. 228, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387232294 모듈성 정리의 증명 개요까지 이어진다.
• Gelbart, Stephen S. (1975), Automorphic Forms on Adèle Groups, Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, N.J.: Princeton University Press, MR 0379375. 표현 이론의 관점에서 모듈형식의 소개를 제공한다.
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K.; Stein, W., Lectures on Modular Forms and Hecke Operators (PDF)
• 7장에서는 모듈형식의 이론에 대한 기본적인 소개를 제공한다Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, New York: Springer-Verlag.
• Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Princeton, N.J.: Princeton University Press. 보다 진보된 치료를 제공한다.
• Skoruppa, N. P.; Zagier, D. (1988), "Jacobi forms and a certain space of modular forms", Inventiones Mathematicae, Springer