바빌로니아 수학

바빌로니아 수학(Assyro-Babilonian mathy^{[1][2][3][4][5][6]})은 기원전 539년 바빌론이 멸망한 후 수메르 초기부터 수세기까지 메소포타미아 사람들이 개발하거나 실행한 수학을 가리킨다. 바빌로니아 수학적 문헌은 풍부하고 편집이 잘 되어 있다.^[7] 시간에 관해서 그들은 두 개의 뚜렷한 그룹으로 나뉜다. 하나는 구 바빌로니아 시대 (기원전 1830년–1531년)의 것이고, 다른 하나는 주로 기원전 3, 4세기의 셀레우시드였다. 내용에 관해서, 두 텍스트 그룹 사이에는 거의 차이가 없다. 바빌로니아 수학은 성격과 내용면에서 거의 2천년 동안 일정하게 유지되었다.^[7]

이집트 수학의 원천이 부족한 것과 대조적으로 바빌로니아 수학에 대한 지식은 1850년대 이후 발굴된 400여 점토판에서 유래한다. 쿠네폼 문자로 쓰여진 판본은 찰흙이 촉촉한 동안 새겨졌고, 오븐이나 태양의 열로 단단하게 구워졌다. 회수된 점토판의 대부분은 기원전 1800년에서 1600년까지이며, 분수, 대수, 2차, 입방정식과 피타고라스 정리가 포함된 주제를 다룬다. 바빌로니아 태블릿 YBC 7289는 3개의 유의미한 성 소수 자릿수(약 6개의 유의한 소수 자릿수)에 정확한$$ $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 대한 근사를 제공한다.

바빌로니아 수학의 기원

바빌로니아 수학은 고대 근동 지역의 수치적이고 더 발전된 수학 실습의 범위로, 구순문자로 쓰여 있다. 연구는 가용한 자료의 풍부함 때문에 BC 2천년 초의 구 바빌로니아 시대에 역사적으로 초점을 맞추었다. 바빌로니아 수학의 가장 초기 출현에 대한 논란이 있어 왔으며, 역사가들은 기원전 5천년에서 3천년 사이의 다양한 날짜를 제시했다.^[8] 바빌로니아 수학은 주로 아카드어 또는 수메르어족의 쐐기풀 문자로 점토판에 쓰여졌다.

"바빌론 수학"은 기원전 5천년에 황소나 토큰과 같은 회계장치의 사용에 대해 가장 먼저 제안된 기원이기 때문에 아마도 도움이 되지 않는 용어일 것이다.^[9]

바빌로니아 숫자

바빌로니아식 수학 체계는 성소수(기본 60) 수 체계였다. 이를 통해 우리는 1분에 60초, 1시간에 60분, 원을 그리며 360도의 현대적 사용법을 도출한다.^[10] 바빌로니아인들은 두 가지 이유로 수학에서 큰 발전을 할 수 있었다. 첫째, 숫자 60은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60(자체 복합체를 포함)의 인자를 가지며 분수를 사용하여 계산이 용이하다. 또한, 이집트인과 로마인과 달리 바빌로니아인들은 진정한 장소 가치 체계를 가지고 있었는데, 여기서 왼쪽 열에 쓰여진 숫자는 더 큰 가치를 나타낸다(우리의 베이스 10 시스템에서는 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).^[11]

수메르 수학

메소포타미아의 고대 수메르인들은 기원전 3000년부터 복잡한 계량학 체계를 개발했다. 기원전 2600년부터 수메르인들은 점토판에 곱셈표를 쓰고 기하학적 운동과 분열 문제를 다루었다. 바빌로니아 숫자의 초기 흔적도 이 시기로 거슬러 올라간다.^[12]

구 바빌로니아 수학(기원전 2000~1600년)

바빌로니아 수학을 묘사한 점토판은 대부분 올드 바빌로니아에 속하는데, 이 때문에 메소포타미아의 수학은 흔히 바빌로니아 수학으로 알려져 있다. 어떤 점토판에는 수학적 목록과 표들이 들어 있고, 다른 점토판에는 문제점과 해결책이 들어 있다.

산술

바빌로니아인들은 산수를 돕기 위해 미리 계산된 표를 사용했다. 예를 들어, 1854년 유프라테스 강 센케라에서 발견된 기원전 2000년부터 발견된 두 알은 최대 59개의 정사각형, 32개의 정사각형 목록을 제공한다. 바빌로니아인들은 공식과 함께 정사각형 리스트를 사용했다.

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}:}$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}:{4}}}}$

곱셈을 단순화하다

바빌로니아인들은 긴 분열을 위한 알고리즘을 가지고 있지 않았다.^[13] 대신에 그들은 다음과 같은 사실에 근거하여 그들의 방법에 기초하였다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}=a\pac {\frac {1}{b}}}$

답례와 함께 주요 요인이 2, 3 또는 5인 숫자(5-smooth 또는 정규 숫자로 알려져 있음)는 성역수 표기법에서 유한한 왕복선을 가지고 있으며, 이러한 왕복선의 광범위한 목록이 있는 표를 발견했다.

1/7, 1/11, 1/13 등과 같은 왕복선은 성소수 표기법에서 유한한 표현을 가지고 있지 않다. 바빌로니아인들은 1/13을 계산하거나 숫자를 13으로 나누기 위해 다음과 같은 근사치를 사용한다.

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}$

대수학

바빌로니아 점토판 YBC 7289(기원전 1800–1600년)는 4개의 성소수 수치(1,24,51,10)^[14]에 √2의 근사치를 나타내며, 이는 소수점 6자리 정도로 정확하며,^[15] √2의 가능한 3자리 성소수 표현에 가장 가깝다.

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}{60}{51}{60^{2}}+{10}{60^{3}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}.}$

산술적 계산뿐만 아니라 바빌로니아 수학자들은 방정식을 푸는 대수학 방법도 개발했다. 다시 한번, 이것들은 미리 계산된 표에 기초했다.

2차 방정식을 풀기 위해 바빌로니아인들은 기본적으로 표준 2차 방정식을 사용했다. 그들은 다음과 같은 형태의 2차 방정식을 고려했다.

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

여기서 b와 c는 반드시 정수일 필요는 없지만, c는 항상 양수였다. 그들은 이러한 형태의 방정식에 대한 해결책은 다음과 같다는 것을 알고 있었다.^{[citation needed]}

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\좌우편}^{2}+c}}}$

분할과 평균을 이용해 네모난 뿌리를 효율적으로 찾아냈다.^[16] 그들은 "실제" 문제를 풀 때 이것이 이치에 맞기 때문에 항상 긍정적인 뿌리를 사용했다. 이러한 유형의 문제에는 면적이 주어진 직사각형의 치수와 길이가 너비를 초과하는 양이 포함된다.

n + n의 값 표는 특정³ 입방정식을² 푸는 데 사용되었다. 예를 들어, 다음 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}}=c.}$

방정식을 a로² 곱하고 b로³ 나누면 다음과 같다.

${\displaystyle \왼쪽 \frac}{b}}\오른쪽)^{3}+\왼쪽 \frac\{b}}^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}.}$

y = ax/b를 대체하면 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle y^{3}+y^{2}}={\frac {ca^{2}}:{b^{3}}}}}}$

현재 우측에 가장 가까운 값을 찾기 위해 n³ + n² 표를 올려다 보면 해결될 수 있다. 바빌로니아인들은 대수 표기법 없이 이것을 이루었고, 놀라운 이해의 깊이를 보여주었다. 그러나 일반 입방정식을 푸는 방법은 없었다.

성장

바빌로니아인들은 기하급수적인 성장, (S자형 함수의 형태를 통한) 제약된 성장, 그리고 두 배의 시간을 대출에 대한 관심의 맥락에서 모델링했다.

기원전 2000년 경의 점토판에는 "월 이자율 1/60(배당하지 않음)을 감안하여 두 배의 시간을 계산한다"는 연습이 포함되어 있다. 이는 연 12/60 = 20%의 이자율을 산출하며, 따라서 100% 성장/연 20% 성장 = 5년이라는 두 배 이상의 이자율을 산출한다.^[17][18]

플림프턴 322

플림프턴 322 태블릿에는 "피타고라스 3배" 즉, ${\displaystyle {정수\mathrm{}}^{}}$$({\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$, c${\displaystyle }$) ${\displaystyle$(a$,b,c)}$이(가) 들어 $있어{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= c ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}{2}$}}=c^{2$ 삼배는 너무 많고 커서 짐승의 힘으로 얻을 수 없다.

이 주제에 대해 많은 것이 쓰여져 있는데, 이 태블릿이 초기 삼각형 표 역할을 할 수 있었는지에 대한 일부 추측(아마도 시대착오적)도 포함되어 있다. 당시 낙서가 친숙하거나 접근할 수 있는 방법 측면에서 태블릿을 볼 수 있도록 주의를 기울여야 한다.

[...] "태블릿은 어떻게 계산되었는가?"라는 질문은 "태블릿이 어떤 문제를 설정하느냐?"라는 질문과 같은 대답을 가질 필요가 없다. 첫 번째는 반세기 전에 처음 제안된 것처럼 상호 쌍으로 가장 만족스럽게 대답할 수 있고, 두 번째는 일종의 우삼각형 문제들로 대답할 수 있다.

(E. 롭슨, "셜록 홈즈도 바빌론도 아니다: 플림프턴 322의 재평가", 역사학. 28(3), 페이지 202.

기하학

바빌로니아인들은 부피와 면적을 측정하는 일반적인 규칙을 알고 있었다. 그들은 원의 둘레를 지름의 3배, 넓이를 원주의 정사각형의 12분의 1로 측정했는데, π을 3으로 추정하면 정확할 것이다. 그들은 이것이 근사치라는 것을 알고 있었고, 1936년 (기원전 19세기에서 17세기 사이에 제작된) 수사 근처에서 발굴된 올드 바빌로니아 수학적 판 1개는 정확한 값보다 약 0.5% 낮은 25/8 = 3.125로 더 나은 근사치를 제공한다.^[19] 원통형의 부피를 기단의 산물로서, 높이로서 가져갔으나, 원뿔이나 사각 피라미드의 좌굴 부피를 기단의 반과 높이의 산물로 잘못 가져갔다. 피타고라스 정리는 바빌로니아인들에게도 알려졌다.^[20][21][22]

"바빌론 마일"은 약 11.3 km (또는 약 7 현대 마일)에 해당하는 거리 측정이었다. 따라서 거리에 대한 이 측정은 결국 시간을 나타내는 태양의 이동을 측정하는 데 사용되는 "시간 마일"로 변환되었다.^[23]

고대 바빌로니아인들은 여러 세기 동안 비슷한 삼각형의 변의 비율에 관한 이론들을 알고 있었지만, 그들은 각도 측정의 개념이 부족했고, 결과적으로 삼각형의 변을 대신 연구했다.^[24]

바빌로니아 천문학자들은 별의 상승과 설정, 행성의 움직임, 일식과 월식에 대한 상세한 기록을 남겼는데, 이 모든 것은 천구에서 측정한 각거리에 익숙해야 했다.^[25]

그들은 또한 오토 노게바우어에 의해 1950년대에 발견된 에페메리스(천문학적 위치의 표상)를 계산하기 위해 푸리에 분석의 형태를 사용했다.^{[26][27][28][29]} 천체의 움직임을 계산하기 위해 바빌로니아인들은 태양과 행성이 통과하는 하늘의 부분인 황색에 기초한 기본 산술과 좌표계를 사용했다.

대영박물관에 보관된 태블릿은 바빌로니아인들이 추상적인 수학적 공간에서 사물의 개념까지 갖췄다는 증거를 제공한다. 이 정판은 기원전 350년에서 50년 사이에 바빌로니아인들이 이전에 생각했던 것보다 훨씬 더 일찍 기하학을 이해하고 사용했음을 보여준다. 바빌로니아인들은 14세기 유럽에서 유래된 것으로 여겨졌던 기술인 사다리꼴을 아래에 그려 곡선 아래 지역을 추정하는 방법을 사용했다. 이 추정 방법은 예를 들어 목성이 일정 시간 동안 이동한 거리를 찾을 수 있도록 했다.^[30]

영향

바빌로니아 문명의 재발견 이후 그리스와 헬레니즘 수학자와 천문학자들, 특히 히파르쿠스가 바빌로니아인으로부터 크게 빌렸다는 사실이 명백해졌다.

프란츠 Xaver Kugler는 그의 저서 Die Babilonische Mondrechnung에서 다음과 같이 시연했다. 프톨레마이오스는 자신의 알마게스트 IV.2에서 히파르쿠스가 일찍이 "찰데인"이 만든 일식 관측과 스스로 만든 일식 관측을 비교함으로써 자신에게 알려진 달의 시기의 값을 "더 고대의 천문학자들"에서 향상시켰다고 진술했었다. 그러나, 쿠글러는 프톨레마이오스가 히파르쿠스에게 귀속하는 시대는 바빌로니아 에페메라이드, 특히 오늘날 "시스템 B"(때로는 키디누에 기인하기도 한다)라고 불리는 텍스트 모음에서 이미 사용되었다는 것을 발견했다. 분명히 히파르쿠스는 그의 새로운 관찰에 의해서 샬데인으로부터 배운 기간의 타당성을 확인했을 뿐이다.

히파르쿠스(그리고 프톨레마이오스의 뒤를 이은 프톨레마이오스)가 본질적으로 수세기를 아우르는 일식 관측의 완전한 목록을 가지고 있었던 것은 분명하다. 아마도 이것들은 "일기" 판에서 편집되었을 것이다: 이것들은 찰딘들이 일상적으로 행했던 모든 관련 관찰을 기록한 점토 판이다. 보존된 예는 기원전 652년부터 AD 130년까지 거슬러 올라가지만, 아마도 기록은 바빌로니아 왕 나보나사르까지 거슬러 올라갔을 것이다. 프톨레마이오스는 나보나사르 원년의 이집트 달력 첫날, 즉 기원전 747년 2월 26일부터 연대기를 시작한다.

이 원료는 그 자체로는 사용하기 어려웠을 것이며, 샬데인스 자신이 예: 모든 관찰된 일식들(사로를 덮고 있는 시간의 모든 일식 목록이 있는 일부 알약들이 발견되었다)을 수집했다는 것에는 의심의 여지가 없다. 이를 통해 그들은 사건의 주기적인 재발을 인식할 수 있었다. 그 중에서도 시스템 B(cf)에서 사용했다. 알마게스트 IV.2:

• 223개의 시뇨달 = 이상현상일 경우 239개의 반환점(이상월) = 위도일 경우 242개의 반환점(이상월) 이것은 현재 사로스 시기로 알려져 있는데, 일식을 예측하는 데 유용하다.
• 251개월 = 이상 발생 시 269회 반환
• 5458(동기식) 개월 = 위도에서 5923 반환
• 1개의 시뇨 월 = 29;31,50,08,20일^[14](성별:29.1559413... 소수점 단위의 일 = 29일 12시간 44분 3초, P.S. 실시간은 2.9초, 0.43초)

바빌로니아인들은 모든 기간을 시조달력으로 표현했는데, 아마도 그들이 루니솔직히 모든 기간을 시노다극 달력으로 표현했다. 연도별 현상과의 다양한 관계가 연도의 길이에 대한 다른 가치로 이어졌다.

마찬가지로, 행성의 시대 사이의 다양한 관계가 알려져 있었다. 프톨레마이오스가 알마게스트 IX.3의 히파르쿠스에게 귀속시킨 관계는 이미 바빌로니아 점토판에서 발견된 예측에 모두 사용되어 있었다.

이 모든 지식은 아마도 알렉산더 대왕(기원전 331년)에 의해 정복된 직후 그리스인들에게 전해졌을 것이다. 고(故) 고전 철학자 심플리시우스(AD 6세기 초)에 따르면 알렉산더는 숙부 아리스토텔레스에게 보낸 올린토스의 고질적인 칼리스테네스의 감독하에 역사적 천문기록의 번역을 명령했다. 비록 심플리시우스는 매우 늦은 출처지만, 그의 계정은 믿을 만할지도 모른다. 그는 사사니드(페르시아) 궁정에서 망명 생활을 얼마간 보냈으며 그렇지 않았다면 서구에서 잃어버린 소식통에 접근했을지도 모른다. 역사적 작품의 기묘한 이름인 테레시스(그리스어: guard)라는 호칭을 언급하면서도 경호를 의미하면서도 관찰을 뜻하는 바빌로니아어 제목 마스카르트의 적절한 번역이라는 점이 눈에 띈다. 어쨌든 사이지쿠스의 아리스토텔레스의 제자 칼리푸스는 그 무렵에 19년의 메토닉 사이클을 개선한 76년의 사이클을 소개했다. 그는 기원전 330년 6월 28일(약칭 줄리앙 달력 날짜) 하지에서 첫 사이클이 시작된 첫 해를 맞이했으나, 이후 기원전 331년 가을 알렉산더가 가우가멜라에서 결전을 벌인 후 첫 달부터 음력 달을 세어온 것으로 보인다. 그래서 칼리푸스는 바빌로니아 출처로부터 자료를 얻었을지도 모르고 그의 달력은 키디누에 의해 예상되었을지도 모른다. 또한 베로수스로 알려진 바빌로니아 신부는 기원전 281년경 새로운 통치자 안티오코스 1세를 위해 바빌로니아 바빌로니아(바빌로니아)의 (그리스 신화) 역사에 대한 그리스어로 된 책을 썼다고 알려져 있다. 후에 그는 그리스 코스에 점성학 학교를 설립했다고 전해진다. 그리스인들에게 바빌로니아 천문학/물리학에 대해 가르친 또 다른 후보는 기원전 3세기 말 아탈루스 1세 소테르의 궁정에 있었던 수디네스였다.

어쨌든 천문 기록의 번역은 쐐기풀 문자, 언어, 절차 등에 대한 심오한 지식이 필요했기 때문에 어떤 정체불명의 샬데인들에 의해 이루어졌을 가능성이 있어 보인다. 이제, 바빌로니아인들은 그들의 관찰 결과를 루니솔라 달력으로 날짜가 잡혔는데, 달과 연도는 각각 29일 또는 30일, 12일 또는 13개월이다. 당시 이들은 정규 달력을 사용하지 않고(나중에 사용했던 것처럼 메타닉 사이클에 근거한 것 등) 뉴문 관측을 바탕으로 새 달을 시작했다. 이것은 사건들 사이의 시간 간격을 계산하는 것을 매우 지루하게 만들었다.

히파르쿠스가 한 일은 이러한 기록을 이집트 달력으로 변환한 것인데, 이 달력은 항상 365일의 고정 연도를 사용한다. (30일의 12개월과 5일의 추가일). 이것은 계산 시간 간격을 훨씬 더 쉽게 만든다. 프톨레마이오스는 이 달력의 모든 관찰의 연대를 표시했다. 그는 또한 "그(=히파르쿠스)가 한 모든 것은 보다 유용한 방법으로 배열된 행성 관측을 편집한 것"이라고 쓰고 있다(알마게스트 IX.2). 플리니 주(Naturalis Historyia II)일식예측 IX(53) : "그들의 시간(=탈레즈)이 지난 후 600년 동안 두 별(=해와 달)의 진로를 히파르쿠스가 예언한 바 있다, … 이는 히파르쿠스가 600년이라는 기간 동안 일식을 예언했다는 것을 암시하는 것으로 보이지만, 필요한 엄청난 계산량을 고려하면, 이것은 매우 가능성이 낮다. 오히려 히파르쿠스는 나보나세르 시대부터 자기 시대에 이르기까지 모든 일식의 목록을 만들었을 것이다.

히파르쿠스의 작품에서 바빌로니아인이 실천한 다른 흔적은 다음과 같다.

• 그리스어로 처음 알려진 분절의 사용은 360도 60 아크 분에 원을 나눈다.
• 첫 번째 일관성 있는 성소수 체계 사용.
• 약 2° 또는 2°°의 단위 페쿠스("cub"") 사용
• 248일의 짧은 기간 사용 = 9 비정상적인 월.

참고 항목

• 바빌로니아
• 바빌로니아 천문학
• 수학의 역사
• 이슬람 이라크/메소포타미아 수학을 위한 이슬람 수학

메모들

참조

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