집합론

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집합론(set theory)은 집합을 연구하는 수학적 논리학의 한 분야로, 비공식적으로 객체의 집합으로 묘사될 수 있습니다.어떤 종류의 물체라도 집합으로 수집될 수 있지만, 집합론은 수학의 한 분야로서 수학 전체와 관련된 것들과 대부분 관련이 있습니다.

집합론에 대한 현대적인 연구는 1870년대에 독일 수학자 Richard Dedekind와 Georg Cantor에 의해 시작되었습니다.특히 게오르크 칸토어는 집합론의 창시자로 흔히 여겨지고 있습니다.이 초기 단계에서 조사된 비정형화된 시스템은 순진 집합론이라는 이름으로 진행됩니다.순진 집합론 내에서 역설이 발견된 후(러셀의 역설, 칸토어의 역설, 부랄리-포르티 역설 등), 20세기 초에 다양한 공리계가 제안되었으며, 그 중에서 (선택 공리가 있든 없든) 저멜로-프랭켈 집합론은 여전히 가장 잘 알려져 있고 가장 많이 연구되고 있습니다.

집합론은 수학 전체, 특히 선택 공리를 가진 저멜로-프랭켈 ^[1]집합론의 형태에서 일반적으로 기초 체계로 사용됩니다.집합론은 그 기초적인 역할 외에도 무한대의 수학적 이론을 발전시킬 수 있는 틀을 제공하고 컴퓨터 과학(관계 대수 이론과 같은), 철학 및 형식 의미론에 다양한 응용 분야를 가지고 있습니다.그것의 근본적인 매력은 역설, 무한의 개념에 대한 함의, 그리고 그것의 다양한 적용과 함께, 집합론을 수학의 논리학자와 철학자들에게 주요 관심 영역으로 만들었습니다.집합론에 대한 현대의 연구는 실수선의 구조에서부터 큰 추기경들의 일치성에 대한 연구에 이르기까지 광범위한 주제를 다루고 있습니다.

역사

수학적 주제들은 일반적으로 많은 연구자들 사이의 상호작용을 통해 생겨나고 진화합니다.그러나 집합론은 1874년 게오르크 칸토어에 의해 "모든 실수의 ^[2][3]집합에 관한 성질에 관하여"라는 논문에 의해 발견되었습니다.

기원전 5세기부터 서양의 그리스 수학자 엘레아의 제노를 시작으로 동양의 초기 인도 수학자들까지 수학자들은 무한이라는 개념과 씨름해왔습니다.특히 주목할 만한 것은 19세기 ^[4]전반의 베르나르 볼자노의 작품입니다.무한에 대한 현대적인 이해는 1870년에서 1874년 사이에 시작되었고, 실제 ^[5]분석에서 칸토어의 연구에 의해 동기부여를 받았습니다.1872년 칸토어와 리처드 디데킨드의 만남은 칸토어의 사고에 영향을 주었고, 칸토어의 1874년 논문으로 끝이 났습니다.

칸토어의 연구는 처음에 그의 시대의 수학자들을 양극화시켰습니다.카를 바이어슈트라스와 데데킨트가 칸토어를 지지한 반면, 현재 수학적 구성주의의 창시자로 여겨지는 레오폴드 크로네커는 지지하지 않았습니다.칸토리아 집합론은 집합들 간의 일대일 대응, 정수보다 실수가 더 많다는 그의 증명, 그리고 거듭제곱 집합 연산에 의한 "무한의 무한" ("칸토어의 천국")과 같은 칸토리아 개념의 유용성 때문에 결국 널리 퍼지게 되었습니다.집합론의 이러한 효용성은 1898년 아서 쇤플라이스가 클라인의 백과사전에 기고한 "Mengenlehre"라는 글로 이어졌습니다.

집합론에서의 다음 흥분의 물결은 칸토리아 집합론의 일부 해석이 반어법 또는 역설이라고 불리는 몇 가지 모순을 일으킨다는 것을 발견한 1900년경에 일어났습니다.버트런드 러셀과 에른스트 저멜로는 현재 러셀의 역설이라고 불리는 가장 단순하고 잘 알려진 역설을 독자적으로 발견했습니다. "자신의 구성원이 아닌 모든 집합의 집합"을 고려하는 것입니다.1899년, 칸토어는 "모든 집합의 기본 수는 얼마인가?"라는 질문을 던졌고, 이와 관련된 역설을 얻었습니다.러셀은 1903년 그의 수학 원리에서 대륙 수학에 대한 그의 비평에서 그의 역설을 하나의 주제로 사용했습니다.러셀은 정해진 용어보다는 클래스(class)라는 용어를 사용했고, 이후 더 기술적으로 사용되었습니다.

1906년, 부부 윌리엄 헨리 영과 그레이스 치솔름 영이 캠브리지 대학 출판부에서 출판한 책 점들의^[6] 집합론에 집합이라는 용어가 등장했습니다.

집합론의 추진력은 역설에 대한 논쟁이 그것의 포기로 이어지지 않을 정도였습니다.1908년의 저멜로의 연구와 1922년의 아브라함 프라엔켈과 토랄프 스콜렘의 연구는 집합론에서 가장 일반적으로 사용되는 공리의 집합 ZFC를 낳았습니다.앙리 르베그와 같은 분석가들의 연구는 집합론의 위대한 수학적 유용성을 보여주었고, 그 이후로 현대 수학의 구조로 짜여졌습니다.집합론은 일반적으로 기초 체계로 사용되지만, 대수기하학 및 대수 위상학과 같은 일부 영역에서는 범주론이 선호되는 기초로 간주됩니다.

기본 개념 및 표기법

집합 이론은 객체 o와 집합 A 사이의 기본적인 이항 관계에서 시작됩니다.o가 A의 원소(또는 원소)인 경우 o ∈ A 표기를 사용합니다.집합은 괄호 안에 쉼표로 구분된 요소를 나열하거나 해당 요소의 특성을 나타내는 특성으로 설명됩니다.^[7] 집합은 개체이므로 구성원 관계에서도 집합을 연결할 수 있습니다.

두 집합 사이의 유도된 이항 관계는 집합 포함이라고도 불리는 부분 집합 관계입니다.집합 A의 모든 멤버가 집합 B의 멤버라면, A는 A ⊆ B로 표시되는 B의 부분 집합입니다.예를 들어 {1, 2}은(는) {1, 2, 3}의 하위 집합이며 {2}은(는) 해당하지만 {1, 4}은(는) 해당되지 않습니다.이 정의에서 암시하는 바와 같이 집합은 자신의 부분 집합입니다.이러한 가능성이 적합하지 않거나 거부할 수 있는 경우 적절한 부분 집합이라는 용어가 정의됩니다.A가 B의 부분 집합일 경우에만 A를 B의 적절한 부분 집합이라고 하지만 A가 B와 같지 않은 경우에만 A를 B의 적절한 부분 집합이라고 합니다.또한 1, 2 및 3은 {1, 2, 3} 집합의 멤버(요소)이지만 해당 집합의 하위 집합이 아니며 {1}과 같은 하위 집합은 {1, 2, 3} 집합의 멤버가 아닙니다.

산술이 숫자에 대한 이진 연산을 특징짓는 것처럼, 집합 이론은 ^[8]집합에 대한 이진 연산을 특징으로 합니다.다음은 그 중 일부 목록입니다.

• 집합 A와 B의 합집합 A ∪ B는 A, B, 또는 둘 다에 속하는 모든 물체의 집합입니다.예를 들어 {1, 2, 3}과(와) {2, 3, 4}의 결합은 {1, 2, 3, 4} 집합입니다.
• 집합 A와 B의 교집합 A ∩ B는 A와 B 모두의 멤버인 모든 객체의 집합입니다.예를 들어 {1, 2, 3}과(와) {2, 3, 4}의 교집합은 {2, 3} 집합입니다.
• U \ A로 표시되는 U와 A의 집합 차이는 A의 멤버가 아닌 U의 모든 멤버의 집합입니다.설정 차이 {1, 2, 3} \{2, 3, 4}는 {1}이고, 반대로 설정 차이 {2, 3, 4} \{1, 2, 3}는 {4}입니다.A가 U의 부분집합일 때, 집합 차이 U \ A는 U의 A의 여집합이라고도 합니다. 이 경우, 문맥상 U의 선택이 명확하면 U \ A 대신 표기^c A가 사용되기도 하며, 특히 U가 벤 다이어그램의 연구에서처럼 보편 집합일 경우에는 더욱 그렇습니다.
• A △ B 또는 A ⊖ B로 표시되는 집합 A와 B의 대칭 차이는 A와 B 중 하나(집합 중 하나에는 있지만 둘 다에는 없음)의 멤버인 모든 물체의 집합입니다.예를 들어 {1, 2, 3} 및 {2, 3, 4} 집합의 대칭 차이 집합은 {1, 4}입니다.합집합과 교집합의 설정차, (A ∪ B) \ (A ∩ B) 또는 (A \ B) ∪ (B \ A)입니다.
• A × B로 표시되는 A와 B의 직교곱은 모든 가능한 순서쌍(a, b)의 집합이며, 여기서 a는 A의 원소이고 b는 B의 원소입니다.예를 들어 {1,2} 및 {red,white}의 데카르트 곱은 {(1,red), (1,white), (2,white)}입니다.
• P$)$ {\$displaystyle${\$mathcal {P}}(A$로 $표시$되는 집합 A의 거듭제곱 집합은 멤버가 모두 A의 가능한 부분 집합입니다.예를 들어 {1, 2}의 전원 집합은 {{}, {1}, {2}, {1, 2}}입니다.

기본적인 중심 중요도 집합으로는 자연수 집합, 실수 집합 및 빈 집합(요소를 포함하지 않는 고유 집합)이 있습니다.빈 집합은 때때로 널 ^[10]집합이라고도 하지만, 이 이름은 모호하기 때문에 여러 가지 해석을 초래할 수 있습니다.

온톨로지

집합의 구성원이 모두 집합이고, 집합의 구성원이 모두 집합이면 집합은 순수합니다.예를 들어, 빈 집합만 포함하는 집합은 비어 있지 않은 순수 집합입니다.현대의 집합론에서는 순수 집합의 폰 노이만 우주에 대한 관심을 제한하는 것이 일반적이며, 공리적 집합론의 많은 체계는 순수 집합만을 공리화하도록 설계되어 있습니다.이 제한에는 많은 기술적 이점이 있으며 기본적으로 모든 수학적 개념을 순수 집합으로 모델링할 수 있기 때문에 일반성은 거의 상실되지 않습니다.폰 노이만 우주의 집합은 구성원, 구성원 등이 얼마나 깊이 중첩되어 있는지에 따라 누적 계층으로 구성됩니다.이 계층의 각 집합에는 순위로 알려진 $순서수{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha$가 할당됩니다.순수 $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 순위는 해당 원소의 순위보다 엄격하게 큰 최소 순서로 정의됩니다.예를 들어, 빈 집합에는 랭크 0이 할당되고 빈 집합만 포함된 집합 {{}}에는 랭크 1이 할당됩니다.각 $순서{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha$에 대해 $집합{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ α$${\$displaystyle$ V_${\alpha}}$는 α$${\$displaystyle \alpha$보다 낮은 순위를 갖는 모든 순수 집합으로 구성되도록 정의됩니다. 전체 폰 노이만 우주는 V ${\displaystyle$ V$\}$로 $표시$됩니다.

공식화집합론

초등 집합론은 비형식적이고 직관적으로 학습할 수 있어 벤다이어그램을 활용해 초등학교에서 가르칠 수 있습니다.직관적 접근법은 어떤 특정한 정의 조건을 만족하는 모든 객체의 클래스로부터 집합이 형성될 수 있다고 암묵적으로 가정합니다.이 가정은 역설을 낳는데, 가장 단순하고 잘 알려진 것이 러셀의 역설과 부랄리-포르티 역설입니다.공리적 집합론은 원래 그러한 ^{[note 1]}역설의 집합론을 제거하기 위해 고안되었습니다.

공리적 집합론의 가장 널리 연구된 체계는 모든 집합이 누적 계층을 형성한다는 것을 의미합니다.이러한 시스템은 두 가지 맛이 있으며, 온톨로지는 다음과 같이 구성됩니다.

• 단독으로 설정합니다.이것은 선택 공리(ZFC)를 가진 가장 일반적인 공리 집합 이론인 저멜로-프랭켈 집합 이론을 포함합니다.ZFC의 파편은 다음과 같습니다.
  • 치환의 공리 스키마를 분리의 공리 스키마로 대체하는 저멜로 집합론;
  • 일반 집합론, 페아노 공리와 유한 집합에 충분한 저멜로 집합론의 작은 조각;
  • 무한, 멱집합, 선택의 공리를 생략하고 분리와 대체의 공리 도식을 약화시키는 크립케-플라텍 집합론.
• 설정 및 적절한 클래스입니다.여기에는 폰 노이만-베르네이스가 포함됩니다.집합에 대한 정리만 ZFC와 같은 강도를 갖는 괴델 집합론과 ZFC보다 강한 모스-켈리 집합론, 타르스키-그로텐디크 집합론.

위의 시스템은 집합의 멤버가 될 수 있지만 그 자체가 집합이 아니며 멤버가 없는 객체인 요소를 허용하도록 수정할 수 있습니다.

Willard Van Orman Quine과 관련된 NFU(요소 요소 허용)와 NF(요소 요소가 없는)의 새 재단 시스템은 누적 계층 구조를 기반으로 하지 않습니다.NF와 NFU는 "모든 것의 집합"을 포함하며, 이에 상대적으로 모든 집합은 보어를 갖습니다.이러한 시스템에서 요소는 중요한데, NFU는 아니지만 NF는 선택 공리가 성립하지 않는 집합을 생성하기 때문입니다.NF의 존재론이 전통적인 누적 계층 구조를 반영하지 못하고 근거가 충분하지 않음에도 불구하고, 토마스 포스터는 그것이 ^[11]집합에 대한 반복적인 개념을 반영한다고 주장했습니다.

CST, CZF 및 IZF와 같은 구성 집합 이론의 시스템은 고전 논리 대신 직관적으로 집합 공리를 내장합니다.그러나 다른 시스템들은 고전적인 논리를 받아들이지만 비표준적인 구성원 관계를 특징으로 합니다.여기에는 회원 관계를 구현하는 원자 공식의 값이 단순히 참 또는 거짓이 아닌 대략적인 집합 이론과 퍼지 집합 이론이 포함됩니다.ZFC의 부울 값 모형은 관련 주제입니다.

내부 집합 이론이라 불리는 ZFC의 농축은 ^[12]1977년 에드워드 넬슨에 의해 제안되었습니다.

적용들

많은 수학적 개념들은 정해진 이론적 개념들만을 사용하여 정확하게 정의될 수 있습니다.예를 들어, 그래프, 다양체, 링, 벡터 공간 및 관계 대수와 같은 다양한 수학적 구조는 모두 다양한 (축) 특성을 만족하는 집합으로 정의될 수 있습니다.동등성과 질서 관계는 수학에서 어디에나 존재하며, 수학적 관계 이론은 ^[13][14]집합론에서 설명될 수 있습니다.

집합론은 또한 수학의 많은 부분에서 유망한 기초 체계입니다.Principia Mathematica의 첫 번째 권이 출판된 이래로, 대부분의 (또는 심지어 모든) 수학적 정리들은 1차 또는 2차 논리를 사용하여 많은 정의들로 증강된, 세트 이론에 대해 적절하게 설계된 일련의 공리들을 사용하여 유도될 수 있다고 주장되어 왔습니다.예를 들어, 자연수와 실수의 성질은 집합 이론 내에서 유도될 수 있는데, 각 수 체계는 필드가 어떤 무한 ^{[citation needed]}집합인 적합한 동치 관계 하에서 동치 클래스의 집합으로 식별될 수 있기 때문입니다.

수학적 분석, 위상수학, 추상대수학, 이산수학의 기초가 되는 집합론도 논쟁의 여지가 없습니다. 수학자들은 이 영역의 정리들이 집합론의 관련된 정의와 공리로부터 도출될 수 있다는 것을 받아들입니다.그러나 그러한 형식적인 유도는 종종 수학자들이 일반적으로 제시하는 자연어 증명보다 훨씬 더 길기 때문에 집합론에서 복잡한 수학 정리의 완전한 유도는 거의 공식적으로 검증되지 않았습니다.하나의 검증 프로젝트인 메타매스는 ZFC 집합 이론, 1차 논리 및 명제 ^[15]논리에서 시작하는 12,000개 이상의 정리를 인간이 작성하고 컴퓨터로 검증한 파생 모델을 포함합니다.

연구영역

집합론은 많은 상호 연관된 하위 분야가 있는 수학의 주요 연구 분야입니다.

합집합론

조합론적 집합 이론은 유한 조합론을 무한 집합으로 확장하는 것에 관한 것입니다.여기에는 기수 산술에 대한 연구와 에르되시-라도 정리와 같은 램지 정리의 확장에 대한 연구가 포함됩니다.

기술집합론

서술적 집합론은 실수선의 부분집합과 더 일반적으로 폴란드 공간의 부분집합에 대한 연구입니다.이는 보렐 계층의 점 클래스 연구로 시작하여 투영 계층 및 와지 계층과 같은 보다 복잡한 계층 연구로 확장됩니다.보렐 집합의 많은 속성은 ZFC에서 설정할 수 있지만, 이러한 속성이 더 복잡한 집합에 대해 유지된다는 것을 증명하려면 결정성 및 큰 카디널스와 관련된 추가 공리가 필요합니다.

효과적인 설명 집합 이론의 분야는 집합 이론과 재귀 이론 사이에 있습니다.그것은 라이트페이스 포인트 클래스에 대한 연구를 포함하고 있으며, 초 산술 이론과 밀접한 관련이 있습니다.많은 경우 고전적인 설명 집합 이론의 결과는 효과적인 버전을 가지고 있으며, 어떤 경우에는 효과적인 버전을 먼저 증명한 후 더 광범위하게 적용할 수 있도록 확장("상대화")함으로써 새로운 결과를 얻을 수 있습니다.

최근 연구 영역은 보렐 등가 관계와 더 복잡한 정의 가능한 등가 관계에 관한 것입니다.이것은 수학의 많은 분야에서 불변성 연구에 중요한 응용을 가지고 있습니다.

퍼지 집합론

칸토어가 정의하고 제르멜로와 프랑켈 공리화된 집합론에서 대상은 집합의 구성원이거나 그렇지 않은 것입니다.퍼지 집합 이론에서 이 조건은 Lotfi A. Zadeh에 의해 완화되어 물체는 0과 1 사이의 집합에 속하는 정도를 갖습니다.예를 들어, "키가 큰 사람" 집합에 속한 사람의 구성원 자격은 단순한 예 또는 아니오 대답보다 유연하며 0.75와 같은 실수가 될 수 있습니다.

내부모형론

ZF(Zermelo-Frankel set theory)의 내부 모델은 모든 서수를 포함하고 ZF의 모든 공리를 만족시키는 전이적 클래스입니다.대표적인 예가 괴델이 개발한 구성 가능한 우주 L입니다.내부 모형 연구가 관심을 끄는 한 가지 이유는 일관성 결과를 증명하는 데 사용될 수 있기 때문입니다.예를 들어, ZF의 모델 V가 연속체 가설이나 선택 공리를 만족시키든 상관없이 원래 모델 내부에 구성된 내부 모델 L은 일반화된 연속체 가설과 선택 공리를 모두 만족시킬 것임을 알 수 있습니다.따라서 ZF가 일치한다는 가정은 ZF와 이 두 가지 원리가 일치한다는 것을 의미합니다.

내적 모델에 대한 연구는 결정성과 큰 추기경에 대한 연구에서 일반적이며, 특히 선택의 공리에 모순되는 결정성의 공리와 같은 공리를 고려할 때 더욱 그렇습니다.집합론의 고정 모형이 선택 공리를 만족시키더라도, 내적 모형이 선택 공리를 만족시키지 못하는 것은 가능합니다.예를 들어, 충분히 큰 카디널스의 존재는 결정성의 공리를 만족시키는 (따라서 ^[16]선택의 공리를 만족시키지 못하는) 내부 모델이 있음을 암시합니다.

대권좌

큰 기수는 여분의 성질을 가진 기수입니다.접근할 수 없는 추기경, 측정 가능한 추기경 및 기타 여러 속성을 포함하여 많은 그러한 속성이 연구됩니다.이러한 성질은 일반적으로 기수가 매우 커야 함을 의미하며, 지정된 성질을 가진 기수가 존재한다는 것은 저멜로-프랭켈 집합 이론에서는 증명할 수 없습니다.

결정성

결정성이란 적절한 가정 하에서 한 명의 플레이어가 반드시 승리 전략을 가져야 한다는 의미에서 처음부터 완벽한 정보를 가진 특정 2인 게임을 결정한다는 사실을 말합니다.이러한 전략의 존재는 설명적 집합 이론에서 중요한 결과를 갖는데, 이는 더 넓은 종류의 게임이 결정된다는 가정이 종종 더 넓은 종류의 집합이 위상학적 속성을 갖는다는 것을 의미하기 때문입니다.결정성 공리(AD)는 중요한 연구 대상입니다. 비록 선택 공리와 양립할 수 없지만, AD는 실제 선의 모든 부분 집합이 잘 동작함을 의미합니다(특히, 측정 가능하고 완벽한 집합 속성으로).AD는 Wadge 학위가 우아한 구조를 가지고 있다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

강요

폴 코헨은 연속체 가설이 실패하는 ZFC의 모델 또는 선택 공리가 실패하는 ZF의 모델을 검색하면서 강제하는 방법을 발명했습니다.강제는 구성과 원래 모델에 의해 결정된(즉, "강제"된) 특성을 가진 더 큰 모델을 만들기 위해 집합 이론의 일부 주어진 모델에 추가 집합을 연결합니다.예를 들어, Cohen의 구성은 원래 모형의 기본 숫자를 변경하지 않고 자연 숫자의 추가 부분 집합과 인접합니다.강제력은 유한 방법으로 상대적 일관성을 증명하는 두 가지 방법 중 하나이며, 다른 방법은 부울 값 모형입니다.

기수 불변량

기수 불변량은 기수에 의해 측정된 실제 선의 속성입니다.예를 들어, 잘 연구된 불변량은 결합이 전체 실선인 실제 집합의 최소 카디널리티입니다.집합론의 두 동형 모형은 각각의 불변량에 대해 동일한 기수를 부여해야 한다는 점에서 불변량입니다.많은 기본 불변량들이 연구되어 왔고, 그들 사이의 관계는 종종 복잡하고 집합론의 공리와 관련이 있습니다.

집합론적 위상수학

집합론적 위상수학은 본질적으로 집합론적이거나 그 해결을 위해 집합론의 고급 방법을 필요로 하는 일반적인 위상수학의 질문을 연구합니다.이러한 정리들 중 많은 것들이 ZFC와는 독립적이어서 증명을 위해 더 강력한 공리가 필요합니다.가장 유명한 문제는 일반적인 위상수학에서 집중적인 연구의 주제였던 일반 무어 우주 문제입니다.일반적인 무어 우주 질문에 대한 답은 결국 ZFC와는 독립적인 것으로 증명되었습니다.

설정 이론에 대한 이의 제기

집합론의 시작부터 일부 수학자들은 수학의 기초로서 그것을 반대했습니다: 칸토어의 이론에 대한 논쟁 참조.집합론에 대한 가장 일반적인 반대는 집합론 초기에 크로네커가 말한 것으로, 수학이 계산과 느슨하게 관련되어 있다는 구성주의적 관점에서 출발합니다.만약 이 견해가 인정된다면, 무한 집합에 대한 취급은 순진하고 공리적인 집합 이론에서 모두 수학적 방법과 원리적으로도 계산할 수 없는 대상에 도입됩니다.에렛 비숍의 영향력 있는 저서 Foundations of Constructive ^[17]Analysis는 수학의 대체 기초로서의 구성주의의 가능성을 크게 높였습니다.

앙리 푸앵카레가 제시한 또 다른 반론은 사양과 대체의 공리와 거듭제곱집합의 공리를 사용하여 집합을 정의하는 것은 수학적 대상의 정의에 순환성의 일종인 예측 불가능성을 도입한다는 것입니다.솔로몬 페퍼만이 "과학적으로 적용 가능한 모든 분석이 [예측 ^[18]방법을 사용하여] 개발될 수 있다"고 말할 정도로, 서술적으로 발견된 수학의 범위는 일반적으로 받아들여지는 저멜로-프랭켈 이론의 범위보다 훨씬 더 넓습니다.

루트비히 비트겐슈타인은 수학적 플라톤주의를 내포한 ^[19]집합론을 철학적으로 비판했습니다.그는 "집합론은 잘못된 것"이라고 썼는데, 집합론은 허구적 상징성의 "말도 안 되는" 위에 세워지고, "악의적인 관용구"를 가지고 있으며, "모든 ^[20]숫자"에 대해 말하는 것은 말도 안 된다고 썼습니다.비트겐슈타인은 수학을 알고리즘적 인간 ^[21]추론과 동일시했습니다; 수학에 대한 안전한 기초의 필요성은 그에게 ^[22]말도 안 되는 것처럼 보였습니다.게다가 인간의 노력은 필연적으로 유한하기 때문에 비트겐슈타인의 철학은 급진적 구성주의와 유한주의에 대한 존재론적 헌신을 요구했습니다.비트겐슈타인의 경우 무한 영역에 걸쳐 정량화하는 모든 문장을 포함하는 메타수학 문장(meta-meta-mathematical 문장(meta-mathemeta-mathematical 문장은 ^[23]수학이 아닙니다.수학의 기초에 대한 발언에서 엄청난 실수를 겪은 후 비트겐슈타인의 견해를 채택한 현대 철학자는 거의 없습니다.비트겐슈타인은 추상적인 것만 읽고 괴델의 불완전성 정리를 반박하려고 했습니다.평론가 Kreisel, Bernays, Dummett, 그리고 Goodstein이 모두 지적했듯이, 그의 많은 비평들이 논문에 완전히 적용되지 않았습니다.최근에서야 크리스핀 라이트와 같은 철학자들이 비트겐슈타인의 ^[24]주장을 재활시키기 시작했습니다.

범주 이론가들은 토포스 이론을 전통적인 공리적 집합 이론의 대안으로 제안했습니다.토포스 이론은 구성주의, 유한 집합 이론, 계산 가능 집합 ^[25][26]이론과 같은 이론에 대한 다양한 대안을 해석할 수 있습니다.토포이는 또한 ZF로부터 선택의 독립성을 강요하고 논의하기 위한 자연스러운 설정을 제공하고 무의미한 토폴로지와 스톤 공간에 ^[27]대한 프레임워크를 제공합니다.

활발한 연구 분야는 단가적인 기초와 그것과 관련된 호모토피형 이론입니다.호모토피 유형 이론 내에서 집합은 호모토피 0 유형으로 간주될 수 있으며, 집합의 보편적 속성은 더 높은 귀납 유형의 귀납적 및 재귀적 속성에서 발생합니다.선택 공리와 배제된 중간의 법칙과 같은 원리는 집합론에서 고전적인 공식화에 해당하는 방식으로 공식화될 수도 있고 아마도 유형 이론에 고유한 뚜렷한 방식의 스펙트럼으로 공식화될 수도 있습니다.이러한 원칙들 중 일부는 다른 원칙들의 결과로 증명될 수 있습니다.이러한 공리적 원리의 다양한 제형은 다양한 수학적 ^[28][29]결과를 도출하기 위해 필요한 제형의 상세한 분석을 가능하게 합니다.

수학교육의 집합론

집합론이 현대 수학의 기초로 인기를 얻으면서 수학교육에서 순진한 집합론의 기초를 조기에 도입하자는 주장이 힘을 얻고 있습니다.

1960년대 미국에서 뉴 수학 실험은 추상적 개념 중 기초 집합론을 초등학생들에게 가르치는 것을 목표로 했지만 많은 비판을 받았습니다.유럽 학교들의 수학 강의 계획서는 이 추세를 따랐고, 현재 모든 학년에 다른 수준의 과목을 포함하고 있습니다.벤 다이어그램은 초등학생들에게 기본적인 집합론적 관계를 설명하기 위해 널리 사용됩니다. (비록 존 벤이 용어 논리에 대한 추론의 타당성을 평가하는 과정의 일부로 원래 고안되었지만)

집합 이론은 학생들에게 논리 연산자(NOT, AND, OR)를 소개하는 데 사용되며, 부울 논리는 다양한 프로그래밍 언어에서 사용되기 때문에 컴퓨터 프로그래밍을 배울 때 유용할 수 있는 집합의 의미론적 또는^[30] 규칙 설명(예: "A 문자로 시작하는 달")을 제공합니다.마찬가지로 다중 집합 및 목록과 같은 집합 및 기타 수집과 유사한 개체는 컴퓨터 과학 및 프로그래밍에서 일반적인 데이터 유형입니다.

그 외에도, 집합들은 다른 종류의 숫자들을 말할 때 수학 교수법에서 일반적으로 언급됩니다(자연수의 집합 N$${\$displaystyle \mathbb {N$$}},$ 정수의 Z${\displaystyle$ \mathbb ${Z$$},$ 실수의 R ${\displaystyle$ \$mathbb {R}$등$$).수학적 함수를 한 집합(도메인)에서 다른 집합(범위)까지의 관계로 정의할 때.

참고 항목

• 집합론 용어집
• 클래스(집합이론)
• 집합론 주제 목록
• 관계형 모형 – 집합론에서 차용
• 벤 다이어그램

메모들

참고문헌

• Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
• Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6

추가열람

• Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0903-4, ISBN 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
• Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
• Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
• Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory and the Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
• Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6

외부 링크

• Daniel Cunningham, 인터넷 철학 백과사전의 집합론 기사
• 호세 페레이로스, [스탠퍼드 철학 백과사전]의 "집합이론의 초기 발전" 기사.
• 포맨, 매튜, 카나모리 아키히로, 에드.집합론 편람. 3권, 2010년각 장은 집합론에서 현대 연구의 몇 가지 측면을 조사합니다.데블린(1993)을 참조하는 확립된 기초 집합 이론은 다루지 않습니다.
• "Axiomatic set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 쇤플라이스, 아서 (1898).클라인의 백과사전에 나오는 남성들.
• 집합론에 관한 온라인 책, 도서관 및 기타 도서관의 도서관 자료
• Rudin, Walter B. (April 6, 1990). "Set Theory: An Offspring of Analysis". Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Archived from the original on 2021-10-31 – via YouTube.