수치 분석

Numerical analysis
주석이 달린 바빌로니아 점토판 YBC 7289(기원전 1800–1600년).2의 제곱근의 근사치는 6진법 숫자인 4자리 숫자이다.1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...[1]

수치 분석은 (이산수학과 구별되는) 수학적 분석의 문제에 대해 (기호 조작과 대조적으로) 수치 근사치를 사용하는 알고리즘의 연구이다.정확한 문제보다는 대략적인 문제 해결 방법을 찾는 것이 수치적 방법에 대한 연구입니다.수치 분석은 공학과 물리과학의 모든 분야에 적용되며, 21세기에는 생명, 사회과학, 의학, 비즈니스, 그리고 예술에도 적용된다.현재의 컴퓨팅 능력의 성장에 따라 보다 복잡한 수치 분석을 사용할 수 있게 되어 과학 및 엔지니어링 분야에서 상세하고 현실적인 수학적 모델을 제공할 수 있게 되었습니다.수치 분석의 예로는 천체 역학(행성, 별 및 은하의 운동 예측), 데이터 [2][3][4]분석의 수치 선형 대수, 그리고 의학 및 생물학에서 살아있는 세포를 시뮬레이션하기 위한 확률 미분 방정식과 마르코프 사슬이 있다.

현대 컴퓨터 이전에 수치 방법은 종종 큰 인쇄 테이블의 데이터를 사용하여 손 보간 공식에 의존했다.20세기 중반 이후, 컴퓨터는 필요한 함수를 대신 계산했지만, 많은 동일한 공식들이 소프트웨어 [5]알고리즘에 계속 사용되고 있다.

수치적 관점은 최초의 수학적인 글쓰기로 거슬러 올라간다.예일 바빌로니아 컬렉션(YBC 7289)의 태블릿은 단위 정사각형에서의 대각선 길이인 2의 제곱근60진수 근사치를 제공한다.

수치 분석은 이 오랜 전통을 이어간다. 숫자로 변환되어 실제 측정에만 적용 가능한 정확한 심볼 답변을 제공하는 대신 지정된 오차 범위 내의 대략적인 솔루션을 사용한다.

개요

수치 분석 분야의 전반적인 목표는 다음과 같은 다양한 어려운 문제에 대해 근사하지만 정확한 해결책을 제공하기 위한 기법의 설계와 분석이다.

  • 수치예보를 실현하기 위해서는 고도의 수치적 방법이 필수적이다.
  • 우주선의 궤적을 계산하려면 일반 미분 방정식의 정확한 수치 해법이 필요하다.
  • 자동차 회사들은 자동차 충돌에 대한 컴퓨터 시뮬레이션을 사용함으로써 차량의 충돌 안전성을 향상시킬 수 있다.이러한 시뮬레이션은 기본적으로 편미분 방정식을 수치적으로 푸는 것으로 구성됩니다.
  • 헤지펀드(민간투자펀드)는 모든 수치분석 분야의 도구를 사용하여 주식과 파생상품가치를 다른 시장 참여자보다 더 정확하게 계산하려고 시도한다.
  • 항공사들은 항공권 가격, 비행기 및 승무원 배정, 연료 수요를 결정하기 위해 정교한 최적화 알고리즘을 사용한다.역사적으로, 그러한 알고리즘은 운영 연구의 중복 분야 내에서 개발되었다.
  • 보험회사는 보험수리적 분석을 위해 수치 프로그램을 사용한다.

이 섹션의 나머지 부분에서는 수치 분석의 몇 가지 중요한 주제를 개략적으로 설명합니다.

역사

수치 분석 분야는 현대 컴퓨터의 발명보다 수 세기 앞서 있다.선형 보간법은 이미 2000년도 더 전에 사용되었습니다.뉴턴의 방법, 라그랑주 보간 다항식, 가우스 소거 또는 오일러의 방법같은 중요한 알고리즘의 이름에서 알 수 있듯이, 과거의 많은 위대한 수학자들은 수치 분석에 [5]몰두했다.

손으로 쉽게 계산할 수 있도록 보간 지점 및 함수 계수와 같은 데이터의 공식과 표를 사용하여 큰 책을 제작했다.일부 함수에 대해 종종 소수점 16자리 이상으로 계산되는 이러한 표를 사용하면 주어진 공식에 연결하기 위해 값을 찾아보고 일부 함수의 매우 좋은 수치 추정치를 얻을 수 있습니다.이 분야의 공식은 Abramowitz와 Stegun에 의해 편집된 NIST 출판물로, 일반적으로 사용되는 수많은 공식과 함수, 그리고 많은 점에서 그 가치가 수록된 1000페이지 이상의 책이다.컴퓨터를 사용할 수 있게 되면 함수 값은 더 이상 유용하지 않지만, 여전히 많은 공식 목록이 매우 유용합니다.

기계식 계산기는 또한 수동 계산을 위한 도구로 개발되었다.이 계산기들은 1940년대에 전자 컴퓨터로 발전했고, 그 후 이 컴퓨터들이 관리 목적으로도 유용하다는 것을 알게 되었다.그러나 컴퓨터의 발명은 수치 [5]분석 분야에도 영향을 끼쳤다. 왜냐하면 지금은 더 길고 복잡한 계산이 가능하기 때문이다.

직접 및 반복 방법

해결의 문제를 고려하다

3x3 + 4 = 28

알 수 없는 수량 x에 대해

직접법
3x3 + 4 = 28.
뺄셈 4 3x3 = 24.
3으로 나누다 x3 = 8 。
입방근을 구하다 x = 2 。

반복법의 경우, 이등분법을 f(x3) = 3x - 24에 적용한다.초기값은 a = 0, b = 3, f(a) = -24, f(b) = 57입니다.

반복법
a b 중앙의 f(중간)
0 3 1.5 −13.875
1.5 3 2.25 10.17...
1.5 2.25 1.875 −4.22...
1.875 2.25 2.0625 2.32...

이 표를 통해 솔루션이 1.875와 2.0625 사이라는 결론을 내릴 수 있습니다.알고리즘은 0.2 미만의 오차로 그 범위의 임의의 숫자를 반환할 수 있습니다.

이산화와 수치 통합

Schumacher (Ferrari) in practice at USGP 2005.jpg

2시간의 레이스에서, 차의 속도는 3개의 순간으로 측정되어 다음 표에 기록된다.

시간을 0:20 1:00 1:40
km/h 140 150 180

분해는 차량의 속도가 0:00에서 0:40까지, 그리고 0:40에서 1:20까지, 그리고 마지막으로 1:20에서 2:00까지 일정하다고 말할 수 있습니다.예를 들어, 처음 40분 동안 이동한 총 거리는 약 (2/3 h x 140 km/h) = 93.3 km이다.이를 통해 이동 총 거리93.3km + 100km + 120km = 313.3km로 추정할 수 있다. 이는 변위가 속도적분이기 때문에 리만 합을 사용한 수치 적분의 한 예이다(아래 참조).

잘못된 조건의 문제:함수 f(x) = 1/(x - 1)를 취합니다.f(1.1) = 10 f(1.001) = 1000: 0.1 미만의 x 변화는 거의 1000의 f(x) 변화로 바뀐다.x = 1에 가까운 f(x)를 평가하는 것은 잘못된 조건의 문제입니다.

적절한 조건의 문제:반면, x = 10 근처에서 동일한 함수 f(x) = 1/(x - 1)를 평가하는 것은 적절한 조건의 문제입니다.를 들어, f(10) = 1/9 111 0.199 f(11) = 0.1: x의 변화가 적으면 f(x)의 변화가 적습니다.

직접 방법은 한정된 수의 단계로 문제에 대한 해결책을 계산합니다.이 방법들은 무한정밀 산술로 수행된다면 정확한 답을 줄 것이다.예를 들어 가우스 소거, 선형 방정식의 시스템을 풀기 위한 QR 인수분해 방법 및 선형 프로그래밍심플렉스 방법을 포함한다.실제로는 유한 정밀도가 사용되며, 그 결과는 (안정성을 가정한) 참해 근사치입니다.

직접 방법과 달리 반복 방법은 제한된 수의 단계로 종료되지 않을 것으로 예상된다.초기 추측에서 시작하여 반복 방법은 한계 내에서만 정확한 해로 수렴되는 연속적인 근사치를 형성합니다.충분히 정확한 해법이 (바람직하게) 언제 발견되었는지를 결정하기 위해 종종 잔차를 포함하는 수렴 테스트가 지정됩니다.무한정밀 산술을 사용하더라도 이러한 방법은 (일반적으로) 한정된 수의 단계 내에서 해답에 도달할 수 없습니다.예를 들어 뉴턴의 방법, 이등분법, 야코비 반복 등이 있다.계산 행렬 대수학에서, 반복 방법은 일반적으로 큰 [6][7][8][9]문제에 필요하다.

수치 분석에서는 직접 방법보다 반복 방법이 더 일반적이다.GMRES 및 공역 구배법 등 일부 방법은 원칙적으로 직접적이지만 일반적으로 그렇지 않은 것처럼 사용된다.이러한 방법의 경우 정확한 해법을 얻기 위해 필요한 단계 수가 너무 커서 반복 방법과 동일한 방식으로 근사치를 받아들인다.

이산화

또한, 연속적인 문제는 때때로 연속적인 문제의 해결책과 유사한 것으로 알려진 이산적인 문제로 대체되어야 합니다. 이 과정을 '이산화'라고 합니다.를 들어, 미분방정식의 는 함수이다.이 함수는 한정된 양의 데이터로 표현되어야 합니다. 예를 들어 이 도메인이 연속체일지라도 도메인에서 제한된 수의 점에서의 값으로 표현되어야 합니다.

오류 생성 및 전파

오류 연구는 수치 분석의 중요한 부분을 형성한다.문제를 해결할 때 오류가 발생할 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다.

반올림

반올림 오류는 유한 메모리를 가진 기계에서 모든 실수를 정확하게 나타내는 것이 불가능하기 때문에 발생합니다(이것은 모든 실용적인 디지털 컴퓨터입니다).

잘라내기 및 분리 오류

잘라내기 오차는 반복 방법이 종료되거나 수학적 절차가 근사되고 근사 해법이 정확한 해법과 다를 때 커밋된다.마찬가지로 이산화는 이산문제의 해법이 연속문제의 해법과 일치하지 않기 때문에 이산화 오류를 유발한다.의 예에서 3 x + 의 해는 10회 반복한 후 약 1.99가 됩니다.따라서 잘라내기 오류는 약 0.01입니다.

오류가 생성되면 계산으로 전파됩니다.예를 들어 컴퓨터에서 + 연산은 정확하지 않습니다.+ + + + \ a + + + + } 의 계산은 더욱 부정확합니다.

수학적 절차가 근사될 때 잘라내기 오류가 생성됩니다.함수를 정확하게 통합하려면 영역의 무한합을 찾아야 하지만, 수치적으로는 영역의 유한합만 찾을 수 있으므로 정확한 솔루션의 근사치를 구할 수 있습니다.마찬가지로 함수를 미분하기 위해 미분 요소는 0에 근접하지만 수치적으로는 미분 요소의 0이 아닌 값만 선택할 수 있습니다.

수치 안정성 및 명확한 문제

수치 안정성은 수치 분석의 개념이다.알고리즘은 원인이 무엇이든 계산 [10]중에 오류가 크게 커지지 않으면 '숫자적으로 안정적'이라고 불립니다.이는 문제가 '조건이 잘 갖춰진' 경우 발생합니다. 즉, 문제 데이터가 [10]조금만 변경되면 해결 방법이 아주 조금만 변경됩니다.반대로 문제가 '조건이 맞지 않는' 경우 데이터의 작은 오류는 큰 오류로 [10]커집니다.

원래의 문제와 그 문제를 해결하기 위해 사용되는 알고리즘은 모두 '조건이 잘 갖춰져 있다'거나 '조건이 맞지 않다'고 할 수 있으며, 어떤 조합도 가능하다.

따라서 조건이 잘 갖춰진 문제를 해결하는 알고리즘은 수치적으로 안정적이거나 수치적으로 불안정할 수 있습니다.수치 분석 기술은 잘 배치된 수학 문제를 풀기 위한 안정적인 알고리즘을 찾는 것이다.예를 들어, 2의 제곱근(약 1.41421)을 계산하는 것은 적절한 방법입니다. 알고리즘이 초기 근사치0 x 20 x = 1.4에서 시작하여 개선된 추측1 x, x2 을 계산하는 방법으로 이 문제를 해결합니다.그러한 방법 중 하나는 유명한 바빌로니아 방법으로, x = xk/2 + 1/xk 주어진다k+1.'추정 X'라고 불리는 또 다른 방법은 x = (xk2 2- 2k) + [note 1]x이다k+1. 각 계획의 몇 가지 반복은 아래 표 형식으로 계산되며, 초기 추측 x0 = 1.4 및 x0 = 1.42이다.

바빌로니아인 바빌로니아인 메서드 X 메서드 X
x0 = 1.4 x0 = 1.42 x0 = 1.4 x0 = 1.42
x1 = 1.4142857... x1 = 1.41422535... x1 = 1.4016 x1 = 1.12026896
x2 = 1.414213564... x2 = 1.41421356242... x2 = 1.4028614... x2 = 1.14056...
... ...
x1000000 = 1.41421... x27 = 7280.2284...

바빌로니아 방법은 초기 추측과 상관없이 빠르게 수렴하는 반면, 방법 X는 초기 추측0 x = 1.4로 매우 느리게 수렴하고 초기 추측0 x = 1.42로 발산한다.따라서 바빌로니아 방법은 수치적으로 안정적이지만 방법 X는 수치적으로 불안정합니다.

수치 안정성은 기계가 유지하는 유효 자릿수에 영향을 받습니다.최상위 십진수 4자리만 유지하는 기계를 사용하는 경우, 두 개의 동등한 함수에 의해 유의성 상실의 좋은 예가 제시될 수 있습니다.
( ) ( + -) { ( + +x } } 、 ( 1 + .{ \ g ( x ) { { \ + } + { \ } } 。
결과 비교
그리고.
위의 두 결과를 비교함으로써 유의성 손실(여기서는 감산이 정확하게 계산되었음에도 불구하고 근사치 감산으로부터 인근 501})과 대한 치명적인 취소로 인한 손실)이 결과에 큰 영향을 미친다는 이 명백하다.ven 비록 두 기능이 다음과 같이 동등하지만
무한 정밀도를 사용하여 계산한 원하는 값은 11.174755입니다.
  • 이 예는 Mathew; MATLAB을 사용한 수치적 방법에서 가져온 수정이다.

연구 분야

수치 분석 분야는 많은 하위 분야를 포함한다.주요 항목 중 일부는 다음과 같습니다.

함수의 값 계산

보간:온도가 1:00에서 20도에서 3:00에 14도로 변화하는 것을 관찰하면 이 데이터의 선형 보간은 2:00에서 17도, 오후 1:30에서 18.5도로 결론을 내릴 수 있습니다.

추정:한 나라의 국내총생산(GDP)이 연평균 5% 성장해 지난해 1000억 명이라면 올해는 1050억 명으로 추정할 수 있다.

A line through 20 points

회귀:선형 회귀 분석에서는 n개의 점을 지정하면 해당 n개의 점을 가능한 한 가깝게 통과하는 선이 계산됩니다.

How much for a glass of lemonade?

최적화:레모네이드가 레모네이드 판매대에서 잔당 1.00달러에 판매되고 레모네이드가 하루에 197잔 팔릴 수 있으며 0.01달러 증가할 때마다 레모네이드 한 잔이 덜 판매된다고 가정합니다.만약 1.485달러를 충전할 수 있다면 이윤은 극대화되지만, 정액으로 충전해야 하는 제약으로 인해 1.48달러 또는 잔당 1.49달러를 청구하면 둘 다 하루 최대 220.52달러의 수익을 얻을 수 있다.

Wind direction in blue, true trajectory in black, Euler method in red

미분 방정식:방의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 바람을 불어넣기 위해 100개의 선풍기를 설치한 후 깃털이 바람에 떨어지면 어떻게 될까요?깃털은 매우 복잡한 기류를 따를 것이다.한 가지 근사치는 매초 깃털 부근에 바람이 부는 속도를 측정하고, 같은 속도로 직진하듯 1초간 모의 깃털을 전진시킨 후 다시 풍속을 측정하는 것이다.이것은 상미분 방정식을 풀기 위한 오일러 방법이라고 불립니다.

가장 간단한 문제 중 하나는 주어진 지점에서 함수를 평가하는 것입니다.가장 간단한 접근방식은 수식에 숫자를 넣는 것만으로 효율적이지 않을 수 있습니다.다항식의 경우, 더 나은 접근법은 호너 방식을 사용하는 것인데, 호너 방식이 필요한 곱셈과 덧셈의 수를 감소시키기 때문이다.일반적으로 부동소수점 산술 사용으로 발생하는 반올림 오차를 예측하고 제어하는 것이 중요합니다.

보간, 외삽 및 회귀

보간은 다음 문제를 해결합니다. 여러 지점에서 알 수 없는 함수의 값이 주어진 경우, 주어진 지점 사이의 다른 지점에서 해당 함수의 값은 무엇입니까?

외삽법은 보간법과 매우 유사하지만, 이제 지정된 점을 벗어난 지점에서 알 수 없는 함수의 값을 [11]찾아야 합니다.

회귀 분석도 비슷하지만 데이터가 부정확하다는 점을 고려합니다.일부 점 및 이러한 점(오류 있음)에서 일부 함수의 값을 측정하면 알 수 없는 함수를 찾을 수 있습니다.최소 제곱법은 이를 실현하는 한 가지 방법입니다.

방정식 및 방정식 시스템 풀기

또 다른 근본적인 문제는 주어진 방정식의 해법을 계산하는 것입니다.방정식이 선형인지 여부에 따라 두 가지 경우가 일반적으로 구분됩니다.예를 들어, 2 + (\ 이지만 x2 + 5 =3 (\3)은 선형적이지 않습니다.

선형 방정식의 시스템을 푸는 방법의 개발에 많은 노력을 기울였다.표준 직접 방법, 즉 일부 행렬 분해를 사용하는 방법은 가우스 제거, LU 분해, 대칭(또는 은둔자) 및 양의-확정 행렬대한 콜레스키 분해, 비제곱 행렬에 대한 QR 분해이다.야코비 방법, 가우스-세이델 방법, 연속 과완화켤레 경사 방법[12] 같은 반복 방법이 일반적으로 대형 시스템에 선호된다.매트릭스 분할을 사용하여 일반적인 반복 방법을 개발할 수 있습니다.

루트 검색 알고리즘은 비선형 방정식을 풀기 위해 사용됩니다(함수의 루트가 함수가 0을 산출하는 인수이기 때문에 이름이 붙여졌습니다).함수가 미분 가능하고 도함수가 알려진 경우, 뉴턴의 방법이 인기 있는 [13][14]선택입니다.선형화는 비선형 방정식을 푸는 또 다른 기술이다.

고유값 또는 특이값 문제 해결

가지 중요한 문제는 고유값 분해 또는 특이값 분해의 관점에서 표현될 수 있습니다.예를 들어 스펙트럼 화상 압축[15] 알고리즘은 특이치 분해에 기초한다.통계량에서 해당하는 도구를 주성분 분석이라고 합니다.

최적화

최적화 문제는 주어진 함수가 최대(또는 최소화)되는 시점을 요구합니다.종종 점은 몇 가지 제약 조건도 충족해야 합니다.

최적화 필드는 목적 함수의 형식과 제약 조건에 따라 여러 하위 필드로 더욱 분할됩니다.예를 들어, 선형 프로그래밍은 목적 함수와 제약 조건이 모두 선형인 경우를 다룹니다.선형 프로그래밍에서 유명한 방법은 심플렉스 방법입니다.

라그랑주 승수 방법은 제약이 있는 최적화 문제를 제약이 없는 최적화 문제로 줄이기 위해 사용할 수 있습니다.

통합 평가

수치적분(숫자 직교라고도 함)은 일정한 적분의 [16]을 요구합니다.일반적인 방법으로는 뉴턴-코츠 공식(중점 규칙이나 심슨의 규칙 등) 또는 가우스 직교법 [17]중 하나를 사용합니다.이러한 방법은 "분할 및 정복" 전략에 의존합니다. 즉, 비교적 큰 집합의 적분은 작은 집합의 적분으로 분해됩니다.이러한 방법들이 계산 작업 측면에서 엄청나게 비싸지는 고차원에서는 몬테 카를로 또는 준 몬테 카를로 방법(몬테 카를로 적분[18] 참조), 또는 약간 큰 차원에서는 희박한 그리드방법을 사용할 수 있다.

미분 방정식

수치 분석은 또한 (대략적인 방법으로) [19]상미분방정식과 편미분방정식의 해법을 계산하는 것과 관련이 있다.

편미분방정식은 우선 방정식을 이산화하여 유한차원 부분공간에 [20]도입함으로써 해결된다.이것은 유한 요소법,[21][22][23] 유한 차분법 [24]또는 (특히 엔지니어링에서)[25] 유한 체적법에 의해 수행될 수 있다.이러한 방법의 이론적 정당화에는 기능 분석의 이론이 수반되는 경우가 많다.이것은 그 문제를 대수 방정식의 해법으로 줄여준다.

소프트웨어

20세기 후반 이후 대부분의 알고리즘은 다양한 프로그래밍 언어로 구현되었습니다.Netlib 저장소에는 주로 FortranC에 있는 수치 문제에 대한 다양한 소프트웨어 루틴 컬렉션이 포함되어 있습니다.다양한 수치 알고리즘을 구현하는 상용 제품에는 IMSL NAG 라이브러리가 있습니다. 자유 소프트웨어 대안으로 GNU Scientific Library가 있습니다.

수년간 왕립통계학회Applied Statistics(이러한 "AS" 함수의 코드는 여기에 있음)에 수많은 알고리즘을 발표했으며, ACM마찬가지로 Transactions on Mathematical Software(이하 "TOMS" 코드는 여기에 있음)에 발표했다.해군 지상전 센터는 여러 차례 수학 서브루틴 라이브러리(여기 코드)를 발행했다.

MATLAB,[26][27][28] TK Solver, S-PLUSIDL[29] 같은 인기 있는 수치 컴퓨팅 애플리케이션과 FreeMat, Scilab,[30][31] GNU Octab(Matlab과 유사), IT+(C++ 라이브러리)와 같은 자유 및 오픈 소스 대안이 있습니다.R(S-PLUS와 유사), Julia, Python [32] 프로그래밍 언어 및 NumPy, SciPy[34][35][36],[33] SymPy 등의 라이브러리가 있습니다.퍼포먼스는 매우 다양합니다.일반적으로 벡터 및 매트릭스 연산은 고속이지만 스칼라 루프의 속도는 몇 [37][38]배 이상 차이가 날 수 있습니다.

매스매티카와 같은 많은 컴퓨터 대수 시스템은 또한 더 정확한 [39][40][41][42]결과를 제공할 수 있는 임의 정밀 산술의 이용 가능성으로부터 이익을 얻는다.

또한 수치 해석과 관련된 간단한 문제를 해결하기 위해 스프레드시트 소프트웨어를 사용할 수 있습니다.를 들어 Excel에는 매트릭스를 포함하여 수백 의 함수가 있으며, 이 함수는 내장된 "솔러"와 함께 사용될 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 이것은 x ( 2 -)2 + () { x = (}- +고정점 반복으로, 해법에는 2{\반복은f( {\ fx부터 오른쪽으로 이동합니다. 1 .4< \} 1 입니다. 1}> {\}=42 > {\하여 분산됩니다.

레퍼런스

인용문

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원천

외부 링크

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