행렬(수학)

수학에서 행렬(복수행렬)은 숫자, 기호 또는 식들의 직사각형 배열 또는 표로 행과 열에 배열되어 있으며, 이러한 물체의 수학적 객체 또는 속성을 나타내기 위해 사용됩니다.

예를들면,

행이 두 개이고 열이 세 개인 행렬입니다.이것은 종종 "2×3 행렬", "2×3 행렬", 또는 2×3 차원의 행렬로 불린다.

더 이상의 사양 없이 행렬은 선형 지도를 나타내며 선형 대수에서 명시적인 계산을 허용합니다.그러므로, 행렬의 연구는 선형 대수의 큰 부분이고, 추상 선형 대수의 특성과 연산은 행렬의 관점에서 표현될 수 있다.예를 들어, 행렬 곱셈은 선형 지도의 구성을 나타냅니다.

모든 행렬이 선형 대수와 관련된 것은 아니다.이것은 특히 그래프 이론, 발생 행렬 및 인접 ^[1]행렬의 경우이다.이 글은 선형 대수에 관련된 행렬에 초점을 맞추고 있으며, 달리 명시되지 않는 한 모든 행렬은 선형 지도를 나타내거나 그렇게 볼 수 있다.

행과 열의 수가 같은 행렬인 정사각형 행렬은 행렬 이론에서 중요한 역할을 합니다.주어진 치수의 정사각형 행렬은 비변환 고리를 형성하며, 이것은 비변환 고리의 가장 일반적인 예 중 하나입니다.정사각형 행렬의 행렬식은 행렬과 관련된 숫자이며, 이는 정사각형 행렬 연구의 기본입니다. 예를 들어, 정사각형 행렬에 0이 아닌 행렬식이 있는 경우에만 반전이 가능하며, 정사각형 행렬의 고유값이 다항식 행렬식의 근입니다.

기하학에서 행렬은 기하학적 변환(예: 회전) 및 좌표 변화를 지정하고 표현하는 데 널리 사용됩니다.수치 분석에서, 많은 계산 문제들은 행렬 계산으로 줄임으로써 해결되며, 이것은 종종 거대한 차원의 행렬로 계산되는 것을 포함한다.행렬은 수학의 대부분의 영역과 대부분의 과학 분야에서 직접 또는 기하학과 수치 해석에서 사용됩니다.

정의.

행렬은 숫자(또는 다른 수학적 객체)의 직사각형 배열로, 행렬의 엔트리라고 합니다.행렬은 덧셈과 ^[2]곱셈과 같은 표준 연산을 따릅니다.일반적으로 필드 F 위의 행렬은 ^[3][4]F의 원소의 직사각형 배열입니다.실행렬과 복소행렬은 각각 실수 또는 복소수인 행렬이다.보다 일반적인 유형의 엔트리는 다음과 같습니다.예를 들어, 이것은 실제 매트릭스입니다.

${\displaystyle \mathbf {A} = displaystyle {bmatrix}-1.3&0.6\20.4&5.5\9.7&-6.2\end {bmatrix}.}$

행렬의 숫자, 기호 또는 식을 항목 또는 요소라고 합니다.행렬에서 엔트리의 수평선과 수직선을 각각 행과 열이라고 합니다.

크기

행렬의 크기는 행렬에 포함된 행과 열의 수로 정의됩니다.행렬에 포함할 수 있는 행과 열의 수(통상적인 의미)에는 제한이 없습니다.m 행과 n 열이 있는 행렬을 m × n 행렬 또는 m-by-n 행렬이라고 하며 m과 n은 그 차원이라고 합니다.예를 들어, 위의 행렬 A는 3 × 2 행렬이다.

행이 1개인 행렬을 행 벡터라고 하고 열이 1개인 행렬을 열 벡터라고 합니다.행과 열의 수가 같은 행렬을 정사각형 ^[5]행렬이라고 합니다.행이나 열(또는 둘 다)이 무한히 많은 행렬을 무한 행렬이라고 합니다.컴퓨터 대수 프로그램과 같은 일부 상황에서는 행이 없거나 열이 없는 빈 행렬이라고 불리는 행렬을 고려하는 것이 유용합니다.

매트릭스 크기 개요

이름.	크기	예	묘사
행 벡터	1 × n	${\displaystyle\bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}$	행이 하나 있는 행렬로, 때로는 벡터를 나타내는 데 사용됩니다.
열 벡터	n × 1	$(\displaystyle\bmatrix\\1\\8\end{bmatrix})$	하나의 열이 있는 행렬로, 때로는 벡터를 나타내는 데 사용됩니다.
정사각형 행렬	n × n	$(\displaystyle {bmatrix}9&13&5\1&11&7\2&6&3\end {bmatrix})$	행과 열의 수가 동일한 행렬로, 반사, 회전 또는 전단 등의 벡터 공간에서 그 자체로 선형 변환을 나타내는 데 사용되기도 합니다.

표기법

매트릭스는 일반적으로 상자 괄호 또는 괄호로 작성됩니다.

${\displaystyle \mathbf{A}={\begin{bmatrix}a_{11}&, a_{12}&, \cdots &, a_{1n}\\a_{21}&, a_{22}&, \cdots, a_{2n}\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\a_{m1}& &, a_{m2들}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&, a_{12}&, \cdots &, a_{1n}\\a_{21}&, a_{22}&, \cdots &, a_{2n}\\\vdots &, \vdots &am.\ddots, \vdots \\a_{m1}&, a_{m2들}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right & p/&)\in \mathbb {R}^{m\times n}.}$

심볼 매트릭스 표기법의 세부 사항은 매우 다양하며, 몇 가지 일반적인 경향도 있다.행렬은 보통 대문자(위 예의 A 등)를 사용하여 기호화되지만, 두 개의 첨자 인덱스(예: a₁₁ 또는 a_1,1)가 있는 대응하는 소문자는 엔트리를 나타냅니다.행렬을 상징하기 위해 대문자를 사용하는 것 외에도, 많은 작가들은 행렬을 다른 수학적 개체와 더 잘 구별하기 위해 일반적으로 굵은 글씨로 된 특별한 인쇄 스타일을 사용합니다.대체 표기법에는 굵은 글씨체($A___displaystyle\underline{A}}}$의 $경우$와 같이)와 함께 변수 이름에 이중 밑줄을 사용하는 방법이 있습니다.

행렬 A의 i번째 행과 j번째 열의 엔트리는 행렬의 i, j, (i,j) 또는 (i,j)번째 엔트리로 불리기도 하며, 가장 일반적으로 a 또는 a로_ij 표시됩니다_i,j.이 엔트리에 대한 대체 표기법은 A[i,j] 또는_i,j A입니다.예를 들어, 다음 행렬 A의 (1,3) 엔트리는 5(a, a_1,3, A[1,3] 또는 A로도_1,3 표시됨₁₃)입니다.

$\displaystyle \mathbf {A} = red {5} & 0 \ \ 2 & 0 & 11 & 8 \ 19 & 3 & 12 \ end { bmatrix } = red { bmatrix }$

때때로 행렬의 엔트리는 = f(i, j)와 같은_i,j 공식에 의해 정의될 수 있다.예를 들어, 다음 행렬 A의 각 엔트리는 a = i - j 공식에_ij 의해 결정된다.

$\displaystyle \mathbf {A} = {b { bmatrix } 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \ 2 & 0 & 1 \ end { bmatrix }$

이 경우 행렬 자체는 대괄호 또는 이중 괄호 안에 있는 공식으로 정의될 수 있습니다.예를 들어, 위의 행렬은 A = [i-j] 또는 A = (i-j)로 정의됩니다.행렬 크기가 m × n인 경우, 위의 식 f(i, j)는 i = 1, ..., m 및 j = 1, ..., n에 대해 유효하다. 이는 별도로 지정하거나 m × n을 첨자로 사용하여 나타낼 수 있다.예를 들어, 위의 행렬 A는 3 × 4이며 A = [i - j](i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) 또는 A = [i - j]_3×4로 정의할 수 있습니다.

일부 프로그래밍 언어는 m-×-n 행렬을 나타내기 위해 이중 첨자 배열(또는 배열 배열)을 사용합니다.일부 프로그래밍 언어에서는 어레이 인덱스의 번호를 0에서 시작합니다.이 경우 m-by-n 매트릭스의 엔트리는 0 i i m m - 1 및0 j j n n - ^[6]1로 인덱싱됩니다.이 글은 열거형이 1부터 시작되는 수리적 글쓰기에서 더 일반적인 관례를 따릅니다.

아스타리스크는 매트릭스 내의 행 또는 컬럼 전체를 나타낼 때 사용되기도 합니다.예를_i,∗ 들어 a는 A의 i행^th, a는_∗,j A의 j열을^th 나타냅니다.

모든 m-by-n 실행렬 집합은 종종 M${\displaystyle (m,}$ ${\displaystyle n}$ $),$ {$displaystyle {M}(m,$ n), ${\displaystyle {또는}_{}}$ M ${\displaystyle {\times }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$로 $표시$됩니다$.{displaystyle {m}_{m\times$ n$}\mathbb${R$$$}.}$ 다른 필드 또는 마찬가지로 링 위에 있는 모든 m-by-n 행렬 집합은 R로 $표시$됩니다.$}(m,n$,R$$$),}$ $또는{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$M ${\displaystyle m_{}}$× ${\displaystyle n}$($R$ {$M}_{m\times$n}($R).$} m$$ = n인 경우$,$ 즉 정사각형 행렬의 경우${\displaystyle ,M}$ ( n${\displaystyle }$,$R$ ) , {$displaystyle$ {$M}$( $n$, R$$ ) 、$m$ M ( R ) 、 \$displaystyle$ { $M$} _ {$n$ （ R$$） 。} M$$^[7]$.$ $대신{\displaystyle \mathcal{}}$ M$.\displaystyle$ M$$$.$을 사용하는 $경우$가 많습니다$.\$mathcal ${\displaystyle$}

기본 조작

외부 비디오
행렬을 구성, 추가 및 증식하는 방법 - Bill Shillito[8], TED ED

행렬 수정에는 행렬 덧셈, 스칼라 곱셈, 전치, 행렬 곱셈, 행 연산 및 하위 ^[9]행렬이라고 하는 많은 기본 연산이 있습니다.

추가, 스칼라 곱셈 및 전치

행렬에 대해 수행된 연산

작동	정의.	예
추가	두 m-by-n 행렬 A와 B의 합 A+B는 입력 단위로 계산됩니다. (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j. 여기서 1 µi µm 및 1 µj µn.	${\displaystyle {bmatrix}1&3&1&0\end {bmatrix}+{\display {bmatrix}={bmatrix}1+3+5+1+7+0+0={displaystyle {bmatrix}1&1&1+7&0&0&0&0\end{bmatrix}}$
스칼라 곱셈	숫자 c(추상 대수학 용어로 스칼라라고도 함)와 행렬 A의 곱 cA는 A의 모든 엔트리에 c를 곱하여 계산된다. (cA)i,j = c · Ai,j. 이 연산은 스칼라 곱셈이라고 불리지만, "스칼라 곱"은 때때로 "내적"의 동의어로 사용되기 때문에 혼란을 피하기 위해 그 결과를 "스칼라 곱"이라고 명명하지 않는다.	${\displaystyle 2\cdot {bmatrix}1&-3\4&2&5\end {bmatrix}=cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\cdot 4&2\cdot 5\end {bmatrix}=16>cdot$
전위	m-by-n 행렬 A의 전치는 행을 열로 변환하여 형성된 n-by-m 행렬T A(A 또는tr A라고도 함)입니다. (AT)i,j = Aj,i.	${\displaystyle {bmatrix}1&3&0&-6&7\end {bmatrix}^{\mathrm {T}={bmatrix}1&0\\2&-6\3&7\end {bmatrix}}$

숫자의 친숙한 특성은 행렬의 연산까지 확장된다. 예를 들어 덧셈은 가환적이다. 즉, 행렬 합계는 합계의 순서에 의존하지 않는다.A + B = B + A.^[10]전치는 (cA)^T = c(A^T) 및 (A + B)^T = A + B로 표현되는 덧셈^T 및^T 스칼라 곱셈과 호환된다.마지막으로 (A^T)^T = A.

행렬 곱셈

두 행렬의 곱셈은 왼쪽 행렬의 열 수가 오른쪽 행렬의 행 수와 동일한 경우에만 정의됩니다.A가 m-by-n 행렬이고 B가 n-by-p 행렬인 경우, 행렬 곱 AB는 A의 해당 행과 ^[11]B의 해당 열의 점곱에 의해 입력되는 m-by-p 행렬입니다.

${\displaystyle [\mathbf {AB}_{i,1}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a,{i,r},{j},$

여기서 1 i i ≤m 및 1 j j ^[12]pp 입니다.예를 들어, 제품의 밑줄 친 항목 2340은 (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340으로 계산된다.

${\displaystyle {\underline {bmatrix} {\underline {2}} {\underline {4} {\underline {4} {\underline {bmatrix} {\underline {1000} {\underline {100} {\underline {\bmatrix}} {\} {\bmatrix}\end { aligned}}$

행렬 곱셈은 행렬의 크기가 다양한 산물이 ^[13]정의될 때마다 규칙(AB)C = A(BC) 및 (A + B)C = AC + BC뿐만 아니라 C(A + B) = CA + CB(좌우 분포)를 만족한다.곱 AB는 BA를 정의하지 않고 정의할 수 있다. 즉, A와 B가 각각 m-by-n 및 n-by-k 행렬이고 m µk인 경우이다.두 제품이 모두 정의되어 있더라도 일반적으로 동일할 필요는 없습니다.즉, 다음과 같습니다.

AB , BA,

즉,^[11] 행렬 곱셈은 곱이 요인의 순서와 독립적인 (합리, 실수 또는 복소수) 숫자와 뚜렷한 대조를 이루며 가환되지 않습니다.두 행렬이 서로 통근하지 않는 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {bmatrix} 1&2\\end {bmatrix} {\displaystyle {bmatrix} 0&1\\\end {bmatrix} = displaystyle {bmatrix} 0&1&3\end {bmatrix}}$

반면에.

${\displaystyle {bmatrix} 0&1\\\end {bmatrix} {\displaystyle {bmatrix} 1&2\3&4\end {bmatrix} = displaystyle {bmatrix} 3&4\end {bmatrix}.}$

방금 설명한 일반적인 행렬 곱셈 외에도, 곱셈의 형태로 간주될 수 있는 행렬에 대한 덜 자주 사용되는 다른 연산들, 예를 들어 하다마르 곱과 크로네커 ^[14]곱이 존재한다.그것들은 실베스터 방정식과 같은 행렬 방정식을 풀 때 발생한다.

행 조작

행 조작에는, 다음의 3 종류가 있습니다.

1. 행 추가, 즉 행을 다른 행에 추가하는 것입니다.
2. 행의 모든 엔트리에 0이 아닌 상수를 곱하는 행 곱셈
3. 행 스위칭, 즉 매트릭스의 두 행을 교환합니다.

이러한 연산은 선형 방정식을 풀고 행렬 역수를 찾는 등 여러 가지 방법으로 사용됩니다.

서브매트릭스

행렬의 서브매트릭스는 행 및/^[15][16][17]또는 열의 집합을 삭제함으로써 얻을 수 있다.예를 들어, 다음 3x4 행렬에서 3행과 2열을 제거하여 2x3 하위 행렬을 구성할 수 있습니다.

$({displaystyle \mathbf {A} = scolor {bmatrix} 1&\color {2}&\color {red} {6}&8\color {red} {9}&\color {red}{10}&\color {12}&\color {endrow} {right})}$

행렬의 부계수와 보조 계수는 특정 하위 ^[17][18]행렬의 결정 인자를 계산하여 구한다.

주요 서브매트릭스는 특정 행과 열을 제거하여 얻은 정사각형 서브매트릭스이다.정의는 작성자에 따라 다릅니다.일부 저자에 따르면 주요 하위행렬은 남아 있는 행 지수 집합이 ^[19][20]남아 있는 열 지수 집합과 동일한 하위행렬이다.다른 저자는 주요 하위행렬을 k개의 행과 열이 남아 있는 ^[21]행과 열로 정의한다. 이러한 유형의 하위행렬은 선도적 하위행렬이라고도 ^[22]한다.

선형 방정식

행렬은 여러 선형 방정식, 즉 선형 방정식 시스템을 콤팩트하게 쓰고 작업하는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어, A가 m-by-n 행렬이고, x는 n개의 변수₁ x, x₂, ..., x의_n 열 벡터(즉, n×1 행렬)를 나타내고, b는 m×1 열 벡터일 경우, 행렬 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle \mathbf {Ax} = \mathbf {b}$

선형^[23] 방정식의 체계와 같다

$({displaystyle {m,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\&\\vdots \\a_{1}x_{1}x_{2}+cdots +a}+cdots$

행렬을 사용하면 모든 방정식을 따로 작성하는 것보다 더 간단하게 해결할 수 있습니다.n = m이고 방정식이 독립적일 경우, 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$

여기서⁻¹ A는 A의 역행렬이다.A에 역수가 없는 경우, 일반화된 역수를 사용하여 솔루션을 찾을 수 있습니다.

선형 변환

행렬과 행렬 곱셈은 선형 변환(선형 맵이라고도 함)과 관련될 때 필수적인 특징을 드러냅니다.실수 m-by-n 행렬 A는 R의ⁿ 각 벡터 x를 R의^m 벡터인 (소수) 곱 Ax에 매핑하는 선형 변환ⁿ R → R을^m 발생시킨다. 반대로 각 선형 변환 f:Rⁿ → R은^m 고유 m-by-n 행렬 A에서 발생한다: 명시적으로 A의 (i, j)-엔트리는 f(e_j)의^th i 좌표이며, 여기서_j e = (0, …, 1, …, 0)는 j 위치에^th 1을 갖는 단위 벡터이다.행렬 A는 선형 지도 f를 나타내며, A는 f의 변환 행렬이라고 한다.

예를 들어, 2×2 행렬은

${\displaystyle \mathbf {A} = {b { bmatrix }a&c\\b&d\end {bmatrix}}$

단위 정사각형을 (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d)에서 정점이 있는 평행 사각형으로 변환한 것으로 볼 수 있습니다.오른쪽의 평행사변형은 A에 각 열${\displaystyle }$벡터 [${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\end{array}],}$ [${\displaystyle \begin{array}{c}1\mathrm{}\end{array}}$0${\displaystyle ],}$ [$]($ 스타일 ${begin{bmatrix}0\\\end{bmatrix}, {\begin{bmatrix}1\\end{bmatrix},$ {\$bgin{$bmatrix}\$1\$end})를 곱하여 구한다.$\syslog{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$를 차례로 선택합니다.이러한 벡터는 단위 정사각형의 정점을 정의합니다.

다음 표는 R의 연관된² 선형 맵과 함께 몇 개의 2×2 실제 행렬을 보여준다.파란색 원고는 녹색 그리드와 모양에 매핑됩니다.원점(0,0)은 검은색 점으로 표시됩니다.

수평 전단 (m = 1.25)	수직축을 통한 반사	스퀴즈 맵핑 r = 3/2일 때	스케일링 3/2의 배수로	회전 π/6 = 30°
$1&1을 표시합니다.25\\0&1\end {bmatrix}}$	$(\displaystyle {bmatrix}-1&0\\0&1\end {bmatrix})$	${\displaystyle{bmatrix}{\frac {3}{2}}\0&{\frac {2}{3}}\end {bmatrix}}$	${\displaystyle {\frac {3} {2}} {\frac {3} {2}} \end {bmatrix}}$	$(\displaystyle\bmatrix\cos\leftfrac\pi }{6}\오른쪽)\\sin \leftfac\frac\leftfac\frac\frac\frac\pi }{6}\rend{bmatrix}}$

행렬과 선형 지도 사이의 1 대 1 대응에서, 행렬 곱셈은 ^[24]지도의 구성에 해당합니다: k-by-m 행렬 B가 다른 선형 지도^m g: R^k → R을 나타내면, 구성 g µf는 BA에 의해 표현됩니다.

(g ≤ f(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

마지막 등식은 위에서 언급한 행렬 곱셈의 연관성에서 비롯된다.

행렬 A의 순위는 행렬의 선형 독립 행 벡터의 최대 수로, 선형 독립 열 ^[25]벡터의 최대 수와 같습니다.마찬가지로 ^[26]A가 나타내는 선형 지도의 화상의 치수이다.순위-무질성 정리는 행렬의 커널에 순위를 더한 차원이 ^[27]행렬의 열 수와 같다는 것을 말한다.

정사각형 행렬

정사각형 행렬은 행과 ^[5]열의 수가 같은 행렬입니다.n-by-n 행렬은 순서 n의 제곱 행렬로 알려져 있습니다.같은 차수의 두 개의 정사각형 행렬을 더하고 곱할 수 있습니다.엔트리는_ii 정사각형 행렬의 주 대각선을 형성합니다.행렬의 왼쪽 상단 모서리에서 오른쪽 하단 모서리까지 이어지는 가상의 선 위에 있습니다.

주요 유형

이름.	n = 3인 예제
대각행렬	${\displaystyle {bmatrix}a_{11}&0\\0&a_{22}&0\\0&a_{33)\\end{bmatrix}}$
하부 삼각 행렬	${\displaystyle {bmatrix}a_{11}&0\a_{21}&a_{22}&0\a_{31)&a_{32}&a_{33}\\end{bmatrix}}$
상부 삼각 행렬	${\displaystyle {bmatrix}a_{11}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{33)\\end{bmatrix}}$

대각 행렬 및 삼각 행렬

주 대각선 아래에 있는 A의 모든 항목이 0인 경우 A를 상위 삼각 행렬이라고 합니다.마찬가지로 주 대각선 위에 있는 A의 모든 항목이 0이면 A를 하위 삼각 행렬이라고 합니다.주 대각선 외부에 있는 모든 엔트리가 0인 경우 A를 대각선 행렬이라고 합니다.

아이덴티티 매트릭스

크기 n의 항등행렬_n I는 예를 들어 주 대각선의 모든 요소가 1이고 다른 모든 요소가 0인 n-by-n 행렬입니다.

$\displaystyle \mathbf {I} _{1} = \mathbf {I} _{2} = \mathbmatrix 1 & 0 & 1 \ end { bmatrix } , \ldots , \ \ mathbf {I} _ { n } = \ matrix { 0 }$

이것은 차수 n의 정사각형 행렬이며 특별한 종류의 대각 행렬이기도 합니다.이 행렬을 곱하면 행렬이 변경되지 않기 때문에 이를 항등 행렬이라고 합니다.

모든_n m-by-n_m 행렬 A에 대해 AI = IA = A.

아이덴티티 매트릭스의 0이 아닌 스칼라 배수는 스칼라 매트릭스라고 불립니다.행렬 엔트리가 필드로부터 온 경우, 스칼라 행렬은 행렬 곱셈 하에서 필드의 0이 아닌 요소의 곱셈 그룹과 동형인 그룹을 형성합니다.

대칭행렬 또는 대칭행렬

전치 행렬 A와 같은 정사각형 행렬 A = A는^T 대칭 행렬입니다.대신 A가 전치의 음수인 경우, 즉 A = -A이면^T A는 스큐-변형 행렬입니다.복소 행렬에서 대칭은 종종 A = A를 만족시키는^∗ 에르미트 행렬의 개념으로 대체된다. 여기서 별이나 별표는 행렬의 켤레 전치, 즉 A의 복소 켤레 전치이다.

스펙트럼 정리에 따르면, 실대칭 행렬과 복소수 에르미트 행렬은 고유기저를 가진다. 즉, 모든 벡터는 고유 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있다.두 경우 모두 모든 고유값이 ^[28]실수입니다.이 정리는 행과 열이 무한히 많은 행렬과 관련된 무한 차원 상황으로 일반화할 수 있습니다.

역행렬 및 역행렬

정사각형 행렬 A는 다음과 같은 행렬 B가 존재하는 경우 가역행렬 또는 비단수행렬이라고 불린다.

AB = BA = I_n,^[29][30]

여기서_n I는 주 대각선에 1이 있고 다른 대각선에 0이 있는 n×n 항등 행렬이다.만약 B가 존재한다면, 그것은 유일하고 A의 역행렬이라고 불리며 A로 표기된다⁻¹.

확정행렬

양의 유한 행렬	부정행렬
$(\displaystyle {bmatrix} {\frac {1} {4}} & 0 & 1 \ \ \ end { bmatrix } )$	${\displaystyle{bmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end {bmatrix}}$
Q(x, y) = 1/4배22 + y	Q(x, y) = 12/4 x2 - 1/4 y
Q(x,y)=1과 같은 점 (타원).	Q(x,y)=1과 같은 점 (하이퍼볼라).

대칭 실행렬 A는 연관된 2차 형식이 다음과 같은 경우 양의-확정행렬이라고 불린다.

f(x) = xA^T x

는 0이 아닌 모든 R의 벡터ⁿ x에 대해 양의 값을 가집니다.f(x)가 음의 값만 산출하면 A는 음의 정의 값이고 f가 음의 값과 양의 값을 모두 산출하면 A는 ^[31]부정 값입니다.2차 형식 f가 음이 아닌 값(양 또는 영)만 산출하면 대칭행렬은 양-반 유한(또는 양이 아닌 값만 산출하면 음-반 유한)이라고 불립니다. 따라서 행렬은 양-반 유한도 음-반 유한도 아닐 때 정확하게 무한합니다.

대칭행렬은 모든 고유값이 양의 행렬인 경우에만 양의 정의 행렬입니다.^[32] 즉, 행렬이 양의 반유한이고 반전할 수 있습니다.오른쪽 표에는 2x2 행렬에 대한 두 가지 가능성이 나와 있습니다.

대신 두 개의 다른 벡터를 입력으로 허용하면 ^[33]A와 관련된 쌍선형 형식이 생성됩니다.

B_A(x, y) = xAy^T.

복소행렬의 경우 대칭행렬, 2차형, 쌍선형형 및 전치x가^T 각각 에르미트행렬, 에르미트형, 세스크라이너형 및 켤레 전치x로^H 대체되어 동일한 용어와 결과가 적용된다.

직교 행렬

직교 행렬은 열과 행이 직교 단위 벡터(즉, 직교 벡터)인 실제 항목이 있는 정사각형 행렬입니다.마찬가지로 행렬 A의 전치가 역행렬과 같으면 행렬 A는 직교입니다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} =\mathbf {A} ^{-1},}$

그것은 수반한다

$\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathbf {T} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} =\mathbf {I} _{n}}$

여기서_n i는 크기 n의 항등 행렬입니다.

직교 행렬 A는 반드시 반전 가능(역⁻¹ A = A), 단일^T 행렬(A⁻¹ = A*) 및 정규 행렬(A*A = AA*)입니다.직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 -1입니다.특수 직교 행렬은 행렬이 +1인 직교 행렬입니다.선형 변환으로서 행렬식 +1을 가지는 모든 직교 행렬은 반사가 없는 순수한 회전이다.즉, 변환은 변환된 구조의 방향을 유지하는 반면, 행렬식 -1을 가지는 모든 직교 행렬은 방향을 반전시킨다. 즉, 순수 반사와 (가능성이 있는 null) 회전의 구성이다.항등 행렬은 행렬식 1을 가지며 각도 0에 의한 순수 회전입니다.

직교 행렬의 복소 유사체는 단일 행렬이다.

주요 업무

추적하다

정사각형 행렬 A의 트레이스 tr(A)는 대각선 엔트리의 합계입니다.행렬 곱셈은 위에서 설명한 것과 같이 가환적이지 않지만, 두 행렬의 곱의 궤적은 요인의 순서와 독립적입니다.

tr(AB) = tr(BA).

이것은 행렬 곱셈의 정의에서 바로 나온 것입니다.

${\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {AB})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr}(\mathbf {BA})}.$

따라서 두 개 이상의 행렬의 곱의 추적이 행렬의 순환 순열과는 무관하지만, 일반적으로 임의 순열에는 적용되지 않는다(예를 들어, 일반적으로 tr(ABC) tr tr(BAC)).또한 행렬의 궤적은 전치 행렬의 궤적과 같다. 즉,

tr(A) = tr(A^T).

행렬식

정사각형 행렬 A(det(A) 또는 A)의 행렬식은 행렬의 특정 속성을 인코딩하는 숫자입니다.행렬식이 0이 아닌 경우에만 행렬을 반전할 수 있습니다.절대값은 단위 정사각형(또는 큐브) 이미지의 면적(R² 단위) 또는 볼륨(R 단위³)과 같으며, 기호는 해당 선형 지도의 방향에 해당합니다. 즉, 방향이 보존된 경우에만 행렬식이 양수입니다.

2x2 행렬의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle\det{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}=ad-bc).}$^[34]

3-x3 행렬의 행렬식에는 6개의 항(사루스의 규칙)이 포함됩니다.더 긴 라이프니츠 공식은 이 두 공식을 모든 ^[35]차원으로 일반화한다.

제곱행렬 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다.

det(AB) = det(A) · det(B) 또는 대체 표기법 사용:

AB = A · B ^[36]。

행의 배수를 다른 행에 추가하거나 열의 배수를 다른 열에 추가해도 행렬식은 변경되지 않습니다.두 행 또는 두 열을 바꾸면 행렬식에 -1을 ^[37]곱하여 행렬식에 영향을 줍니다.이러한 연산을 사용하여 모든 행렬을 더 낮은(또는 더 높은) 삼각 행렬로 변환할 수 있으며, 이러한 행렬의 경우 행렬식은 주 대각선 엔트리의 곱과 같습니다. 이것은 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 제공합니다.마지막으로, 라플라스 확장은 행렬식을 부행렬,^[38] 즉 더 작은 행렬의 행렬식으로 표현한다.이 확장은 라이프니츠 공식과 동등하다고 볼 수 있는 행렬식의 재귀적 정의에 사용할 수 있다(일치 엔트리인 1-by-1 행렬의 행렬식 또는 0-by0 행렬의 행렬식인 1)행렬식은 두 개의 관련된 정사각형 행렬의 행렬식 나눗셈이 각 시스템의 ^[39]변수 값에 해당하는 크레이머 규칙을 사용하여 선형 시스템을 해결하기 위해 사용될 수 있습니다.

고유값 및 고유벡터

0이 아닌 벡터 v가 다음을 만족한다.

${\displaystyle Av=\lambda v}$

각각 ^[40][41]A의 고유값과 고유 벡터라고 합니다.숫자 θ는 A-δI가_n 반전할 수 없는 경우에만 n×n 행렬 A의 고유값으로, 다음과 같다.

$\displaystyle \det(\mathbf {A} -\displayda \mathbf {I} )= 0 。}$^[42]

결정식 det(XI-A_n)의 평가에 의해 주어진 부정 X의 다항식_A p를 A의 특성 다항식이라고 한다.이것은 차수 n의 단일 다항식이다.따라서 다항식_A p(항식) = 0은 최대 n개의 다른 해, 즉 ^[43]행렬의 고유값을 가집니다.A의 항목이 실제인 경우에도 이러한 항목은 복잡할 수 있습니다.케일리-해밀턴 정리에 따르면, p_A(A) = 0, 즉 행렬 자체를 특성 다항식으로 치환한 결과는 0 행렬을 생성한다.

계산적 측면

매트릭스 계산은 종종 다른 기술을 사용하여 수행할 수 있습니다.많은 문제는 직접 알고리즘 또는 반복적인 접근방식으로 해결할 수 있습니다.예를 들어 n이 ^[44]무한대 경향일 때 벡터 x가_n 고유 벡터로 수렴하는 시퀀스를 구함으로써 정사각형 행렬의 고유 벡터를 얻을 수 있다.

각 특정 문제에 가장 적합한 알고리즘을 선택하려면 사용 가능한 모든 알고리즘의 효과와 정밀도를 모두 확인하는 것이 중요합니다.이러한 문제를 연구하는 영역을 수치 선형 ^[45]대수라고 한다.다른 수치 상황과 마찬가지로 두 가지 주요 측면은 알고리즘의 복잡성과 수치 안정성이다.

알고리즘의 복잡성을 결정하는 것은 예를 들어 행렬의 곱셈과 같은 일부 알고리즘을 수행하기 위해 스칼라의 추가 및 곱셈과 같은 기본 연산이 얼마나 필요한지에 대한 상한 또는 추정치를 찾는 것을 의미합니다.위에 주어진 정의를 사용하여 두 n-by-n 행렬의 행렬 곱셈을 계산하려면 n개의 곱셈이 필요하다³. 왜냐하면 곱셈의 n개의² 엔트리에 대해 n개의 곱셈이 필요하기 때문이다.Strassen 알고리즘은 이 "n개의 ^[46]곱셈만 필요로^2.807 하는 "nive" 알고리즘보다 성능이 우수합니다.세련된 어프로치에는 컴퓨팅 디바이스의 특정 기능도 포함되어 있습니다.

많은 실제 상황에서 관련된 행렬에 대한 추가 정보가 알려져 있다.중요한 경우는 희박한 행렬, 즉 엔트리가 대부분 0인 행렬입니다.예를 들어, 스파스 행렬 A에 대한 선형 시스템 Ax = b를 풀기 위해 특별히 조정된 알고리즘이 있다.^[47]

알고리즘은 입력값의 약간의 편차가 결과의 큰 편차로 이어지지 않는 한 대략적으로 수치적으로 안정적입니다.예를 들어, Laplace 확장을 통해 행렬의 역수를 계산하면(adj(A)는 A의 인접 행렬을 나타냅니다)

A⁻¹ = adj(A) / det(A)

행렬의 행렬식이 매우 작을 경우 유의한 반올림 오차가 발생할 수 있습니다.행렬의 노름은 행렬의 ^[48]역 계산과 같은 선형 대수 문제의 조건화를 포착하는 데 사용될 수 있습니다.

대부분의 컴퓨터 프로그래밍 언어는 배열을 지원하지만 매트릭스용 명령어가 내장되어 있지는 않습니다.대신 현재 사용되는 거의 모든 프로그래밍 언어로 어레이에서 매트릭스 연산을 제공합니다.매트릭스 조작은 컴퓨터의 ^[49]초기 수치 응용 프로그램 중 하나였다.오리지널 Dartmouth BASIC은 1964년 제2판 구현 이후 어레이에 매트릭스 산술용 명령어가 내장되어 있었습니다.1970년대 초 HP 9830과 같은 일부 엔지니어링 데스크톱 컴퓨터에는 매트릭스용 BASIC 명령을 추가하기 위한 ROM 카트리지가 있었습니다.APL과 같은 일부 컴퓨터 언어는 행렬을 조작하도록 설계되었으며,^[50] 다양한 수학 프로그램을 사용하여 행렬을 사용한 컴퓨팅을 지원할 수 있습니다.

분해

매트릭스를 보다 쉽게 접근할 수 있는 형태로 렌더링하는 몇 가지 방법이 있습니다.일반적으로 행렬 분해 또는 행렬 인수분해 기법이라고 합니다.이 모든 기술의 관심은 행렬식, 순위 또는 역행렬과 같은 문제의 행렬의 특정 특성을 보존하여 변환을 적용한 후 이러한 양을 계산하거나 특정 행렬 연산을 어떤 유형의 행렬에 대해 알고리즘적으로 수행하기가 더 쉽다는 것입니다.

LU 분해 계수 행렬은 하한(L)과 상한 삼각 행렬(U)^[51]의 곱으로 표시됩니다.이 분해가 계산되면 선형 시스템은 정방향 및 역방향 치환이라는 간단한 기술을 통해 보다 효율적으로 해결할 수 있습니다.마찬가지로 삼각 행렬의 역행렬도 알고리즘적으로 계산하기가 더 쉽습니다.가우스 소거법도 유사한 알고리즘입니다.행렬을 열 에켈론 ^[52]형식으로 변환합니다.두 방법 모두 행렬에 적절한 기본 행렬을 곱하여 행 또는 열을 구성하고 한 행의 배수를 다른 행에 추가하는 방식으로 진행됩니다.특이치 분해는 임의의 행렬 A를 곱^∗ UDV로 나타내며, 여기서 U와 V는 단일 행렬이고 D는 대각 행렬이다.

eigendecomposition 또는 대각화는 곱 VDV로서⁻¹ A를 나타냅니다.여기서 D는 대각행렬이고 V는 적절한 ^[53]반전행렬입니다.A를 이 형식으로 쓸 수 있는 경우 대각선화라고 합니다.보다 일반적으로 모든 행렬에 적용할 수 있는 조던 분해는 행렬을 조던 정규 형식으로 변환한다. 즉,^[54] 행렬의 유일한 0이 아닌 엔트리가₁ 주_n 대각선에 배치되고 주 대각선 바로 위에 있는 엔트리와 동일한 엔트리를 가진 행렬이다(오른쪽 참조).eigendecomposition이 주어졌을 때, A의^th n제곱(즉, n배 반복 행렬 곱셈)은 다음을 통해 계산할 수 있다.

Aⁿ = (VDV⁻¹)ⁿ = VDV⁻¹⁻¹...VDV⁻¹ = VDVⁿ⁻¹

대각행렬의 거듭제곱은 대각선 엔트리의 거듭제곱을 취함으로써 계산할 수 있으며, 이는 A에 대한 거듭제곱보다 훨씬 쉽습니다.이것은 행렬 지수^A e를 계산하는 데 사용될 수 있는데, 이는 선형 미분 방정식, 행렬 로그 및 ^[55]행렬의 제곱근을 푸는 데 자주 발생하는 필요성입니다.수치적으로 좋지 않은 상황을 피하기 위해 Schur 분해와 같은 추가 알고리즘을 ^[56]사용할 수 있습니다.

추상적 대수학적 측면과 일반화

행렬은 다양한 방법으로 일반화할 수 있습니다.추상대수는 보다 일반적인 필드나 심지어 링에 입력된 행렬을 사용하는 반면, 선형대수는 선형 지도의 개념으로 행렬의 속성을 코드화한다.열과 행이 무한히 많은 행렬을 고려할 수 있습니다.또 다른 확장은 숫자의 배열로 종종 실현될 수 있는 벡터가 아닌 고차원적인 숫자의 배열로 볼 수 있는 텐서인 반면, 행렬은 직사각형 또는 2차원 ^[57]숫자의 배열이다.행렬은 특정 요구 사항에 따라 행렬 그룹으로 알려진 그룹을 형성하는 경향이 있습니다.마찬가지로 특정 조건에서 행렬은 행렬 고리라고 하는 고리를 형성합니다.행렬의 곱은 일반적으로 가환적이지는 않지만 특정 행렬은 행렬 필드라고 알려진 필드를 형성합니다.

보다 일반적인 엔트리가 있는 매트릭스

이 기사에서는 입력이 실수 또는 복소수인 행렬에 초점을 맞춥니다.그러나 행렬은 실수나 복소수보다 훨씬 더 일반적인 유형의 입력으로 고려될 수 있습니다.일반화의 첫 번째 단계로 R 또는 C 대신 임의의 필드, 즉 덧셈, 빼기, 곱셈 및 나눗셈 연산이 정의되고 올바르게 동작하는 세트를 사용할 수 있다.예를 들어 유리수나 유한 필드.예를 들어, 부호화 이론은 유한 필드에 걸쳐 행렬을 사용합니다.고유값이 고려되는 곳이라면, 이들은 다항식의 근이기 때문에 행렬의 엔트리보다 더 큰 필드에만 존재할 수 있습니다. 예를 들어, 실제 엔트리가 있는 행렬의 경우에는 복잡할 수 있습니다.행렬의 엔트리를 더 큰 필드의 요소로 재해석할 수 있는 가능성(예를 들어, 엔트리가 모두 실제인 복잡한 매트릭스로 보는 것)은 각 정사각형 행렬이 전체 고유값 집합을 소유하도록 고려할 수 있습니다.또는 처음부터 C와 같이 대수적으로 닫힌 필드에 입력된 행렬만 고려할 수 있습니다.

보다 일반적으로, 링 R에 엔트리가 있는 행렬은 ^[58]수학에서 널리 사용된다.링은 분할 연산이 필요하지 않다는 점에서 필드보다 더 일반적인 개념입니다.동일한 행렬의 덧셈 및 곱셈 연산이 이 설정에도 적용됩니다.R 위의 모든 제곱 n-by-n 행렬의 집합 M(n, R) (M(R)^[7]이라고도_n 함)은 행렬 고리라고 불리는 고리이며, 왼쪽 R-모듈^{n [59]}R의 내형 고리와 동형이다.환 R이 가환적, 즉 곱셈이 가환적이라면, M(n, R)은 R에 대한 (n = 1이 아닌 한) 유니터리 비유환적 대수이다.교환환 R 위의 정사각형 행렬의 행렬식은 여전히 라이프니츠 공식을 사용하여 정의할 수 있다. 이러한 행렬식은 행렬식이 R에서 반전 가능한 경우에만 반전 가능하며, 모든 0이 아닌 원소가 ^[60]반전 불가능한 필드 F 위의 상황을 일반화한다.슈퍼링 위의 행렬을 ^[61]슈퍼매트릭스라고 합니다.

매트릭스의 모든 엔트리가 항상 같은 링에 있는 것은 아닙니다.또, 어느 링에도 있는 것은 아닙니다.한 가지 특별하지만 일반적인 경우는 블록 행렬로, 입력 자체가 행렬인 행렬로 간주될 수 있습니다.엔트리는 정사각형 행렬일 필요는 없습니다.따라서 링의 멤버일 필요는 없습니다.다만, 그 사이즈는 특정의 호환성 조건을 만족시킬 필요가 있습니다.

선형 지도와의 관계

선형 지도ⁿ R → R은^m 위에서 설명한 것처럼 m-by-n 행렬과 동일합니다.보다 일반적으로, 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 지도 f: V → W는, 다음과 같은 행렬 A = (a_ij)에 의해 설명될 수 있다. 밑면₁ v, ..., v, 그리고_n w₁, w (n은_m V의 차원이고 m은 W의 차원이다.)

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\qquad {mbox{for}\j=1,\ldots,n}$

즉, A의 열 j는 W의 기저 벡터_i w로 v의 화상을_j 나타내므로 행렬 A의 엔트리를 일의로 결정한다.매트릭스는 베이스의 선택에 따라 달라집니다.베이스의 선택이 다르면 다른 동등한 ^[62]매트릭스가 생성됩니다.위의 많은 구체적인 개념들은 이 관점에서 재해석될 수 있는데, 예를 들어 전치행렬^T A는 이중 ^[63]기저에 대해 A에 의해 주어진 선형 지도의 전치(transpose matrix A)를 들 수 있다.

이러한 특성은 보다 자연스럽게 재작성할 수 있다. 즉, 구도로 곱셈을 갖는 $필드{\displaystyle }$k\$displaystyle$k에$$ 엔트리가 있는 모든 행렬의 범주는 이 필드의 유한 차원 벡터 공간 및 선형 맵의 범주와 동등하다.

보다 일반적으로 m×n 행렬 세트는 임의의 링 R에 대해 자유 모듈^m R과ⁿ R 사이의 R-선형 맵을 통일성으로 표현하기 위해 사용할 수 있다.이러한 맵의 n = m 구성이 가능하며, 이는 R의ⁿ 내형 고리를 나타내는 n×n 행렬의 행렬 고리를 발생시킨다.

매트릭스 그룹

그룹은 이진 연산, 즉 임의의 두 개체를 세 번째 개체로 결합하는 연산과 함께 일련의 개체로 구성된 수학적 구조입니다.^[64]오브젝트가 행렬이고 그룹연산이 행렬 ^[65][66]곱셈인 군을 행렬군이라고 한다.모든 원소는 가역 행렬이어야 하므로 가장 일반적인 행렬 그룹은 일반 선형 그룹이라고 하는 주어진 크기의 모든 가역 행렬의 그룹입니다.

행렬 곱과 역행렬 아래에 보존되는 행렬의 속성은 추가 행렬 그룹을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어, 주어진 크기의 행렬과 행렬식이 1인 행렬은 특수 선형 ^[67]그룹이라고 하는 일반 선형 그룹의 부분군을 형성합니다.조건에 따라 결정되는 직교 행렬

MM^T = I,

직교 ^[68]그룹을 형성합니다.모든 직교 행렬에는 행렬식 1 또는 -1이 있습니다.행렬식이 1인 직교 행렬은 특수 직교 그룹이라는 부분군을 형성합니다.

대칭군의 ^[69]정규 표현을 고려함으로써 알 수 있듯이, 모든 유한군은 행렬군과 동형이다.일반 그룹은 ^[70]표현 이론을 통해 비교적 잘 알려진 매트릭스 그룹을 사용하여 연구할 수 있다.

무한행렬

무한대의 객체일 경우 이러한 행렬을 명시적으로 기록할 수 없는 경우에도 행 및/또는^[71] 열이 무한히 많은 행렬을 고려할 수 있습니다.중요한 것은 세트 인덱싱 행의 모든 요소와 세트 인덱싱 열의 모든 요소에 대해 잘 정의된 엔트리가 있다는 것입니다(이러한 인덱스 집합은 자연수의 하위 집합일 필요도 없습니다).덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱셈 및 전이의 기본 연산은 여전히 문제 없이 정의할 수 있습니다. 그러나 행렬 곱셈은 결과 엔트리를 정의하기 위해 무한합산을 포함할 수 있으며 일반적으로 정의되지 않습니다.

R이 유니티인 환이라면 우측 R 모듈로서 M $=$ $i$ I $R의$내형상환 {$i\$$in I}$ R은$$열 $유한행렬{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{F}}_{}}$ $(R)의$환과 $동형이다.$각 mns에는 0이 아닌 엔트리가 완전히 포함되어 있습니다.왼쪽 R 모듈로 간주되는 M의 내형상은 행 유한 $행렬{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ R ${\displaystyle {\mathrm{F}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ I$)$ \$displaystyle \mathrm${RFM}$_{I}(R)}$이라는 유사한 객체를 생성하며, 각 행에는 0이 아닌 엔트리가 매우 많습니다.

무한 행렬을 사용하여 선형 지도를 기술하는 경우, 다음과 같은 이유로 열이 0이 아닌 제한된 수의 항목만 포함하는 행렬만 사용할 수 있습니다.행렬 A가 선형 지도 f: V→W를 기술하기 위해서는 두 공간의 기저를 선택해야 한다. 정의상 이것은 공간의 모든 벡터가 기저 벡터의 (표준) 선형 조합으로 고유하게 쓰여질 수 있다는 것을 의미하므로 계수의 (열) 벡터 v로 쓰여지는 엔트리_i v만이 0이 아니라는 것을 기억하라.이제 A의 열은 W를 기준으로 V의 개별 기저 벡터 f개 단위로 이미지를 기술합니다. 이것은 이 열들이 0이 아닌 엔트리가 완전히 많은 경우에만 의미가 있습니다.그러나 A의 행에는 제한이 없다. 제품 A·v에는 0이 아닌 v의 계수가 매우 많으므로, 제품의 무한합으로 주어지더라도 모든 입력은 0이 아닌 항을 매우 많이 포함하므로 잘 정의되어 있다.또한, 이는 A의 열의 선형 조합을 형성하는 것으로, A의 열은 각각 0이 아니기 때문에 결과적으로 0이 아닌 엔트리가 매우 많다.특정 유형의 두 행렬의 곱은 잘 정의되며(열-색인 집합과 행-색인 집합이 일치하는 경우), 동일한 유형이며 선형 지도의 구성에 해당합니다.

R이 노멀링일 경우 행 또는 열의 미세도 조건을 완화할 수 있습니다.규범이 있으면 유한합 대신 절대 수렴 급수를 사용할 수 있습니다.예를 들어, 열 합계가 절대적으로 수렴된 시퀀스인 행렬이 링을 형성합니다.마찬가지로 행 합계가 절대 수렴 급수인 행렬도 고리를 형성합니다.

무한 행렬은 또한 수렴 및 연속성 질문이 발생하는 힐베르트 공간에서 연산자를 설명하는 데 사용될 수 있으며, 이는 다시 특정 제약 조건을 부과해야 한다.그러나 매트릭스의 명확한 관점은 문제를 ^[72]난독화하는 경향이 있으며, 대신 추상적이고 더 강력한 함수 분석 도구를 사용할 수 있다.

빈 행렬

빈 행렬은 행 또는 열(또는 둘 다)의 수가 ^[73][74]0인 행렬입니다.빈 행렬은 제로 벡터 공간을 포함하는 맵을 처리하는 데 도움이 됩니다.예를 들어 A가 3x0 행렬이고 B가 0x3 행렬이라면 AB는 3차원 공간 V에서 자기 자신으로의 늘 맵에 대응하는 3x3 제로 행렬이고 BA는 0x0 행렬이다.빈 행렬에 대한 일반적인 표기법은 없지만, 대부분의 컴퓨터 대수 시스템은 행렬을 사용하여 만들고 계산할 수 있습니다.0x0 행렬의 행렬식은 라이프니츠 공식에서 발생하는 빈 산물에 대하여 다음과 같이 1이다.이 값은 또한 유한 차원 공간에서 그 자신으로의 항등식이 결정식 1을 갖는다는 사실과 일치한다. 이 사실은 종종 결정식의 특성화의 일부로 사용된다.

적용들

수학과 다른 과학 모두에서 행렬의 응용 분야는 수없이 많다.그들 중 일부는 단지 행렬에 있는 숫자의 집합의 콤팩트한 표현을 이용한다.예를 들어, 게임 이론과 경제학에서, 페이오프 매트릭스는 플레이어가 주어진 (확실한) 대안들 중 어떤 것을 ^[75]선택하느냐에 따라 두 플레이어의 보상을 부호화한다.텍스트 마이닝 및 자동화된 시소러스 컴파일은 tf-idf와 같은 문서 용어 행렬을 사용하여 여러 ^[76]문서에서 특정 단어의 빈도를 추적합니다.

복소수는 특정 실제 2x2 행렬로 나타낼 수 있습니다.

$({displaystyle a+ib\left arrow} ({bmatrix} a&-b&a\end{bmatrix})$

복소수와 행렬의 덧셈과 곱셈은 서로 대응한다.예를 들어, 2x2 회전 행렬은 위와 같이 어떤 복소수 절대값 1의 곱셈을 나타냅니다.일반적으로^[77] 사분위수와 클리포드 대수에 대해서도 비슷한 해석이 가능하다.

Hill 암호와 같은 초기 암호화 기술도 행렬을 사용했습니다.그러나 행렬의 선형 특성 때문에 이러한 코드는 비교적 ^[78]깨지기 쉽습니다.컴퓨터 그래픽스는 아핀 회전 행렬을 사용하여 객체를 표현하고 객체의 변환을 계산하기 위해 매트릭스를 사용하여 이론적인 카메라 ^[79]관찰에 대응하여 3차원 객체를 2차원 화면에 투영하는 등의 작업을 수행합니다.다항식 링 위의 행렬은 제어 이론 연구에 중요하다.

화학은 다양한 방법으로 행렬을 이용하는데, 특히 분자 결합과 분광학을 논하기 위해 양자 이론을 사용한 이후로 더욱 그러하다.예를 들어, 하트리의 분자 궤도를 얻기 위해 루탄 방정식을 푸는 데 사용되는 중첩 행렬과 Fock 행렬이 있다.Fock 메서드

그래프 이론

유한 그래프의 인접 행렬은 그래프 ^[80]이론의 기본 개념이다.그래프의 어떤 정점이 모서리로 연결되어 있는지 기록합니다.두 개의 다른 값(예: 각각 "예" 및 "아니오"와 같은 1과 0의 의미)만 포함하는 행렬을 논리 행렬이라고 합니다.거리(또는 비용) 행렬에는 ^[81]모서리의 거리에 대한 정보가 포함됩니다.이러한 개념은 하이퍼링크로 연결된 웹사이트나 도로 등으로 연결된 도시에 적용될 수 있습니다. 이 경우 매트릭스는 0이 아닌 항목을 거의 포함하지 않는 매우 조밀한 경우가 아니라면 희박한 경향이 있습니다.따라서 네트워크 이론에서는 특별히 맞춤화된 매트릭스 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

해석 및 지오메트리

미분 가능 함수 θ: Rⁿ → R의 헤시안 행렬은 여러 좌표 방향에 대한 θ의 두 번째 도함수로 구성된다.^[82]

$\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\frac ^{2}f{\f},\flash x_{i},\flash x_{j}}\right]}$

이것은 함수의 국소 성장 거동에 대한 정보를 부호화합니다. 즉, 임계점 x = (x_n, ..., x₁), 즉 θ의 첫 번째 부분 도함수${\displaystyle \mathrm{}f}$/${\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ x$$ ${\display$ \$style$ f$/\display x_{i$}}가$$ 소실되는 점에서 헤시안 행렬이 양의 경우 함수는 국소 최소값을 갖습니다.2차 프로그래밍은 행렬에 부착된 함수와 밀접하게 관련된 2차 함수의 전역 최소값 또는 최대값을 찾는 데 사용할 수 있습니다(위 ^[83]참조).

기하학적 상황에서 자주 사용되는 또 다른 행렬은 미분 가능한 지도 f: Rⁿ → R의^m 자코비 행렬이다. 만약 f₁, ..., f가_m f의 성분을 의미한다면, 자코비 행렬은 다음과 같이 정의된다^[84].

${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\frac x_{j}}\right]_{1\leq i,1\leq j\leq n}.}$

n > m, 그리고 야코비 행렬의 순위가 최대값 m에 도달하면, f는 암묵적 함수 ^[85]정리에 의해 그 점에서 국소적으로 반전할 수 있다.

편미분방정식은 방정식의 최고차 미분연산자의 계수행렬을 고려하여 분류할 수 있다.타원 편미분 방정식의 경우, 이 행렬은 양의 유한이며,^[86] 이는 문제의 방정식의 가능한 해 집합에 결정적인 영향을 미칩니다.

유한 요소 방법은 복잡한 물리적 시스템을 시뮬레이션하는 데 널리 적용되는 편미분 방정식을 풀기 위한 중요한 수치 방법입니다.부분 선형 함수에 의해 일부 방정식에 대한 해법을 근사하려고 시도합니다. 여기서 조각은 충분히 미세한 그리드에 대해 선택되고 행렬 ^[87]방정식으로 다시 주조될 수 있습니다.

확률론 및 통계학

확률행렬은 행이 확률 벡터인 정사각형 행렬로, 즉 입력이 음이 아닌 최대 합계가 1이다.확률행렬은 최종적으로 많은 ^[88]상태를 가진 마르코프 사슬을 정의하는데 사용된다.확률행렬의 행은 해당 행에 대응하는 상태에 있는 일부 입자의 다음 위치에 대한 확률분포를 제공한다.마르코프 연쇄와 같은 흡수 상태의 특성, 즉 어떤 입자가 최종적으로 획득하는 상태는 전이 ^[89]행렬의 고유 벡터를 읽어낼 수 있다.

통계는 또한 다양한 ^[90]형태의 행렬을 사용한다.기술 통계는 종종 데이터 행렬로 표현될 수 있는 데이터 집합을 기술하는 것과 관련이 있으며, 이는 차원 축소 기법의 적용을 받을 수 있다.공분산 행렬은 여러 랜덤 ^[91]변수의 상호 분산을 인코딩합니다.행렬을 사용하는 또 다른 기술은 선형 최소 제곱으로, 선형 함수에 의해 유한 쌍의 집합(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_N, y_N)에 근사하는 방법이다.

y_i ≈ ax_i + b, i = 1, ..., N

행렬의 ^[92]특이값 분해와 관련하여 행렬의 관점에서 공식화할 수 있습니다.

랜덤 행렬은 입력이 난수인 행렬로, 행렬 정규 분포와 같은 적절한 확률 분포를 따릅니다.확률론을 넘어 수론에서 ^[93][94]물리학에 이르기까지 다양한 분야에 적용된다.

물리학의 대칭성과 변화

선형 변환과 이와 관련된 대칭은 현대 물리학에서 중요한 역할을 합니다.예를 들어, 양자장 이론에서 소립자는 특수 상대성 이론의 로렌츠 그룹의 표현으로 분류되며, 더 구체적으로 말하면 스핀 그룹에서의 그들의 행동에 의해 분류된다.파울리 행렬과 보다 일반적인 감마 행렬을 포함하는 구체적인 표현은 스피너 ^[95]역할을 하는 페르미온의 물리적 설명의 필수적인 부분이다.가장 가벼운 세 쿼크의 경우 특별한 단일 그룹 SU(3)를 포함하는 군 이론 표현이 있다. 물리학자들은 계산을 위해 겔-만 행렬로 알려진 편리한 행렬 표현을 사용한다. 겔-만 행렬은 강력한 핵 상호작용에 대한 현대적 설명의 기초를 이루는 SU(3) 게이지 그룹에도 사용된다.양자 색역학Cabibbo-Kobayashi-Maskawa 행렬은 약한 상호작용에 중요한 기본 ^[96]쿼크 상태가 특정 질량을 가진 입자를 정의하는 기본 쿼크 상태와 동일하지 않고 선형적으로 관련되어 있다는 사실을 나타낸다.

양자 상태의 선형 조합

양자역학의 첫 번째 모델(하이젠베르크, 1925)은 양자 ^[97]상태에 작용하는 무한 차원 행렬에 의해 이론의 연산자를 표현했다.이것을 매트릭스 역학이라고도 합니다.한 가지 특별한 예는 양자 시스템의 "혼합" 상태를 기본 ^[98]"순수" 고유 상태의 선형 조합으로 특징짓는 밀도 행렬이다.

또 다른 매트릭스는 실험 입자 물리학의 초석을 형성하는 산란 실험을 기술하기 위한 핵심 도구 역할을 한다.입자 가속기에서 발생하는 비상호작용 입자가 서로 향해 작은 상호작용 영역에서 충돌하는 등의 충돌 반응은 새로운 비상호작용 입자와 그 결과 발생하는 입자 상태의 스칼라 곱과 잉고입자 상태의 선형 조합으로 설명할 수 있다.선형 조합은 S-행렬로 알려진 행렬에 의해 주어지며,^[99] 이 행렬은 입자 간의 가능한 상호작용에 대한 모든 정보를 암호화합니다.

통상 모드

물리학에서 행렬의 일반적인 응용은 선형 결합 고조파 시스템에 대한 기술이다.이러한 시스템의 운동 방정식은 행렬 형태로 설명될 수 있으며, 질량 행렬은 운동 항을 주기 위해 일반화 속도를 곱하고 힘 행렬은 변위 벡터를 곱하여 상호작용을 특징짓는다.해를 구하는 가장 좋은 방법은 행렬 방정식을 대각선으로 하여 시스템의 고유 벡터, 즉 정규 모드를 결정하는 것입니다.이러한 기술은 분자의 내부 역학, 즉 상호 결합 성분 ^[100]원자로 구성된 시스템의 내부 진동과 관련하여 매우 중요합니다.또한 전기 ^[101]회로의 기계적 진동과 진동을 설명하는 데도 필요합니다.

기하학 광학

기하학적 광학은 추가적인 매트릭스 응용 프로그램을 제공합니다.이 근사 이론에서는 빛의 파동성이 무시된다.그 결과 광선이 실제로 기하학적 광선인 모델이 탄생했습니다.광학 소자에 의한 광선의 편향이 작을 경우, 주어진 광선에 대한 렌즈 또는 반사 소자의 작용은 광선 전달 매트릭스 분석이라고 불리는 2x2 매트릭스와 함께 2성분 벡터의 곱셈으로 표현될 수 있습니다: 벡터의 성분은 광선의 기울기와 광축으로부터의 거리입니다.매트릭스는 광학 소자의 속성을 부호화합니다.실제로 렌즈면에서의 굴절을 기술하는 굴절행렬과 다른 굴절행렬이 적용되는 다음 굴절면에 대한 기준면의 변환을 기술하는 번역행렬의 두 종류가 있다.렌즈 및/또는 반사 소자의 조합으로 구성된 광학 시스템은 구성 요소 ^[102]매트릭스의 곱에서 생성된 매트릭스로 간단히 설명됩니다.

일렉트로닉스

전통적인 망사 분석과 전자 공학에서의 결절 분석은 행렬로 설명할 수 있는 선형 방정식의 시스템으로 이어집니다.

많은 전자 구성 요소의 동작은 매트릭스를 사용하여 설명할 수 있습니다.A를 성분의 입력전압₁ v와 입력전류₁ i를 소자로 하는 2차원 벡터, B를 성분의 출력전압₂ v와 출력전류₂ i를 소자로 하는 2차원 벡터라고 하자.그런 다음 전자 부품의 거동은 B = H · A로 설명할 수 있습니다. 여기서 H는 임피던스 요소 1개₁₂(h), 어드미턴스₂₁ 요소 1개(h) 및 무차원 요소 2개(h₁₁ 및₂₂ h)를 포함하는 2 x 2 행렬입니다.이제 회로를 계산하면 행렬을 곱하는 것으로 줄어듭니다.

역사

행렬은 선형 방정식을 푸는 데 오랜 역사를 가지고 있지만 1800년대까지 배열로 알려져 있었습니다.기원전 10-2세기에 쓰여진 중국의 수학술 9장은 행렬식의 개념을 포함한 연립 ^[103]방정식을 풀기 위한 배열 방법의 첫 번째 사례이다.1545년 이탈리아 수학자 Gerolamo Cardano는 Ars Magna를 ^[104]발표하면서 이 방법을 유럽에 도입했다.일본의 수학자 세키는 1683년에 ^[105]연립 방정식을 풀기 위해 같은 배열 방법을 사용했다.네덜란드의 수학자 얀 드 위트는 1659년 저서 곡선의 요소 (1659년)^[106]에서 배열들을 이용한 변형을 표현했다.1700년에서 1710년 사이에 Gottfried Wilhelm Leibniz는 정보나 솔루션을 기록하기 위한 어레이의 사용을 공표하고 50개가 넘는 ^[104]어레이 시스템을 실험했습니다.크라머는 1750년에 그의 규칙을 제시했다.

매트릭스(mater-mother에서^[107] 유래한 "womb"^[108]를 뜻하는 라틴어)라는 용어는 1850년 제임스 조셉 실베스터에 의해 만들어졌으며, 그는 행렬을 오늘날 마이너라고 불리는 여러 행렬, 즉 기둥과 행을 제거함으로써 원래의 행렬에서 파생되는 작은 행렬의 행렬을 발생시키는 물체로 이해했다.1851년 논문에서 실베스터는 다음과 같이 설명합니다.

나는 이전 논문에서 "매트릭스"를 직사각형 배열의 항으로 정의했으며, 이 항에서 공통 ^[109]부모의 자궁에서와 같이 다른 결정 인자의 시스템이 생성될 수 있다.

Arthur Cayley는 이전에 했던 것처럼 조사되는 계수의 회전 버전이 아닌 행렬을 사용한 기하학적 변환에 대한 논문을 발표했다.대신, 그는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산을 이러한 행렬의 변환으로 정의하고 참인 연관성과 분배 특성을 보여주었다.케일리는 행렬 곱셈의 비가환적 특성과 행렬 ^[104]덧셈의 가환적 특성을 조사하고 입증했습니다.초기 행렬 이론은 배열의 사용을 거의 결정식으로 제한했고 Arthur Cayley의 추상 행렬 연산은 혁명적이었다.그는 방정식 체계로부터 독립된 행렬 개념을 제안하는 데 중요한 역할을 했다.1858년 케일리는 케일리-해밀턴 ^[104]정리를 제안하고 증명한 행렬 이론에^[110][111] 관한 회고록을 출판했다.

영국의 수학자 커스버트 에드먼드 컬리스는 1913년에 행렬에 현대 괄호 표기법을 최초로 사용했고 동시에 행렬 a가 ih 행과 j번째 ^[104]열을 가리키는 행렬을_i,j 나타내기 위해 A = [a_i,j] 표기법의 첫 번째 의미 있는 사용을 증명했다.

결정인자에 대한 현대 연구는 몇 가지 ^[112]출처에서 비롯되었다.가우스는 수이론 문제로 2차 형식의 계수, 즉 x + xy - 2y와² 같은² 식과 3차원의 선형 맵을 행렬에 연관시켰다.아이젠슈타인은 이러한 개념을 더욱 발전시켰는데, 현대 용어로는 행렬곱이 비환사적이라는 비평을 포함한다.Cauchy는 행렬 A = [a_i,j]의 행렬식을 정의하여 행렬식에 대한 일반적인 진술을 최초로 증명했다: 다항식에서 거듭제곱_j^k a를 a로_jk 대체한다.

1 2 a i < ( - $){$ $displaystyle a$_ {$1}$ a$_$ { $n }$ \ $cdots$ a _ { n } \ $cdots$_ { i（$a _$ { $j$} - $a$_ { $i$} \ ;} ,

여기서 δ는 표시된 용어의 곱이다.그는 또한 1829년에 대칭행렬의 고유값이 ^[113]실재한다는 것을 보여주었다.야코비 Sylvester—which의 국내(또는 극소)수준에서 기하학적 변환을 묘사하는데 사용될 수 있고 위를 참조하십시오. 크로네커 Vorlesungen Theorie der Determinanten[114]과 바이어 슈트라스의 벳술 Determinantentheorie,[115]은 1903년에 출판된 처음 치료 determina 죽über"기능적 결정 요인"—later라고 불리는 야코비 결정 인자들이 공부를 했다.nts은 공리코시의 공식과 같은 이전의 보다 구체적인 접근법과는 달리, 사실상.그 시점에서는 결정요인이 확립되어 있었다.

많은 정리들이 작은 행렬에 대해서만 처음 확립되었다. 예를 들어, 케일리는 앞서 언급한 회고록에서 2×2 행렬에 대해, 해밀턴은 4×4 행렬에 대해 증명하였다.프로베니우스는 쌍선형 형태를 연구하면서 정리를 모든 차원으로 일반화했다(1898년).또한 19세기 말, 빌헬름 조던에 의해 가우스-요르단 제거가 확립되었다.20세기 초에 행렬은 선형대수학의 중심적인 역할을 수행했는데, 이는 부분적으로 행렬이 이전 세기의 초복소수 ^[116]체계를 분류하는 데 사용되었기 때문이다.

하이젠베르크, 보른, 조던의 행렬 역학의 시작은 무한히 많은 행과 ^[117]열을 가진 행렬을 연구하게 했다.나중에, 폰 노이만은 힐베르트 공간의 선형 연산자와 같은 기능적 분석 개념을 더 발전시킴으로써 양자 역학의 수학적 공식을 수행했다. 힐베르트 공간은, 매우 대략적으로 말하면, 유클리드 공간에 해당하지만, 독립적인 방향은 무한하다.

수학에서 "매트릭스"라는 단어의 다른 역사적 사용법

그 단어는 적어도 역사적으로 중요한 두 명의 저자에 의해 특이한 방식으로 사용되어 왔다.

버트랜드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 프린키피아 매스매티카(1910–1913)에서 환원성의 공리라는 맥락에서 "매트릭스"라는 단어를 사용합니다.그들은 이 공리를 모든 함수를 하위 유형 중 하나로 순차적으로 감소시켜 "하위"(0차)에서 함수가 확장과 동일하도록 하기 위한 수단으로 제안했다.

"아무리 많은 변수라도 명백한 변수를 포함하지 않는 함수에 행렬의 이름을 붙이자.그리고 행렬 이외의 가능한 함수는 일반화를 통해 행렬로부터 도출된다. 즉, 문제의 함수가 모든 가능한 값 또는 인수 중 하나의 값에서 참이라는 명제를 고려함으로써, 다른 인수 또는 인수가 결정되지 않은 채로 남아 있다."^[118]

예를 들어, 두 변수 x및 y의 함수 Φ(), y)단일 변수의 기능의 예를 들어, y 컬렉션에"고려하고"함수에서"개인"짓의 모든 가능한 값을 변수인데 대신에 교체 그리고 단일 변수는 y의 기능의 결과 수집, 그것은, ∀ai:Φ(짓, y), 수 있게 줄여질 수 있다. 있다변수 y 대신 치환된 "개별_i" b의 모든 가능한 값에 대한 함수를 "계산"하여 값의 "변수"로 줄인다.

bba_ji : :(a_ij, b).

Alfred Tarski는 1946년 논리 ^[119]입문서에서 수학 논리학에서 사용되는 진실 표의 개념과 동의어로 "행렬"이라는 단어를 사용했다.

「 」를 참조해 주세요.

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외부 링크

• MacTutor: 행렬과 행렬식
• 초기 사용 페이지의 행렬과 선형 대수
• 행렬 및 벡터에 대한 기호의 초기 사용