평균값 정리

수학에서 평균값 정리는 대략 두 끝점 사이에 주어진 평면 호에 대해 호에 대한 접선이 그것의 끝점을 통해 두 끝점을 통과하는 부분과 평행한 점이 적어도 한 점 있다고 말한다. 그것은 실제 분석에서 가장 중요한 결과 중 하나이다. 이 정리는 구간의 점에서 파생상품에 대한 국부적 가설에서 출발하는 구간에 대한 함수에 대한 진술을 입증하는 데 사용된다.

좀 더 정확히 말하면, $정리$에서는 f$${\$displaystyle$$$f$}$이($가$) 닫힌 간격$[, b$]에 대한 연속 함수이고 열린 간격$b$ )에 따라 다를 수 있는 경우$,$${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$)$$${\$$displaystyle$ $c}$이$($$가)$ ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은$$ 점 $c{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle c}$이 존재한다고 기술하고 있다. $c$ ${\displaystyle c}$의 접선은 엔드포인트$(,{\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle f(b}$ )${\$ $)\}\},$ 즉,

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

역사

이 정리의 특별한 사례는 인도의 케랄라 천문학교의 파라메쉬바라(1370–1460)가 고빈다스바미(Goverindasvai)와 바르스카라 2세에 대한 논평에서 처음 서술한 것이다.^[1] 제한된 형태의 정리는 1691년 미셸 롤에 의해 증명되었다; 그 결과는 현재 롤의 정리라고 알려진 것이었고, 미적분학의 기법 없이 다항식들에 대해서만 증명되었다. 현대적 형태의 평균값 정리는 1823년 아우구스틴 루이 코치에 의해 명시되고 증명되었다.^[2] 이 정리의 많은 변이들이 그 이후로 증명되었다.^[3][4]

형식명세서

$f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$${\displaystyle ]}$→ R ${\$$displaystyle f$$:[a,b]\to \mathb {R}}은($는) 닫힌 간격$[,$ ${\displaystyle b}$에 대한 연속 함수가 되고$$$,$ 있는 간격${\displaystyle (,b}$ )$${\$displaystyle (a$$,b)$에 따라 달라지도록 한다 그런 다음${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (a,b)}$에 다음과 같은$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) 있다.

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

평균값 정리는 롤의 정리를 일반화한 것으로, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle f(a)=f(b)}$를 가정하여 위의 오른쪽이 0이 되도록 한다$.$

평균값 정리는 조금 더 일반적인 설정에서 여전히 유효하다. ${\displaystyle f}$${\displaystyle }$:${\displaystyle a}$ ,$$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이$($가$)$ [ $,$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a$$,b$$]}$에 있는 모든$$$x$에 대해 연속된다고 $가정$하면 $된다$.

${\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

exists as a finite number or equals ${\displaystyle \infty }$ or ${\displaystyle -\infty }$. If finite, that limit equals ${\displaystyle f'(x)}$. An example where this version of the theorem applies is given by the real-valued cube root function mapping ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$, 그 파생상품이 기원에서 무한대로 발전하는 경향이 있다는 겁니다

상이한 함수가 실제 값어치가 아닌 복잡하게 값을 매긴다면, 전술한 바와 같이 정리는 거짓이라는 점에 유의한다. ${\displaystyle {예}^{}}$를 들어 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $실제{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 $($ x ) = e x i {\$displaystyle f(x$)=$e^{xi}$를 정의하십시오$.$ 그러면

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$

$반면{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$'(x)\neq$ 0$}$은(는$$) 모든 실제 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에 대해$.$

이러한 형식적인 진술은 라그랑주의 평균값 정리라고도 한다.^[5]

증명

The expression ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ gives the slope of the line joining the points ${\displaystyle (a,f(a))}$ and ${\displaystyle (b,f(b))}$, which is a chord of the graph of ${\displaystyle f}$, while ${\displaystyle f'(x)}$$$ 점$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x )에서 원곡선에 접선의 기울기를 부여한다$.$ {\$displaystyle (x,f(x)}.$ 따라서 평균값 정리는 부드러운 곡선의 어떤 화음을 주어, 우리는 그 지점에서 곡선의 접선이 화음과 평행하도록 화음의 끝점 사이에 놓여 있는 점을 발견할 수 있다고 말한다. 다음의 증거는 이러한 생각을 예시하고 있다.

$g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$을(를) 정의하십시오$.$ $여기$서 r {\$displaystyle r}$은(는$)$ 상수입니다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은$({\displaystyle }$는) a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 연속적이고$$$$ ${\displaystyle (,}$ )${\displaystyle$($a$$,b)}$에 따라 다르므로$,$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $g$$}$도 마찬가지. 이제 r ${\displaystystyle$ g$}$을 선택하여$$ $}$의 정리 조건을 만족시키려$$ 한다. 즉

${\displaystyle {\f(b)=g(b)&\ifff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\&\iff r={\frac(b)-f(a){b-a}}.\end{정렬}}}$

By Rolle's theorem, since ${\displaystyle g}$ is differentiable and ${\displaystyle g(a)=g(b)}$, there is some ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle (a,b)}$ for which ${\displaystyle g'(c)=0}$ , and it follows from the equality ${\displaystyl$$e$ $g(x)=f(x)-rx}.$

${\displaystyle {\regated}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'-r=0\\&g'\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\&\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\end{arged}}}$

시사점

정리 1: f가 실선의 임의적인 간격 I에 따라 정의된 연속적인 실제 값 함수라고 가정한다. 만약 내가 존재하는 간격의 모든 내부 지점에서 f의 파생상품이 0이라면, f는 내부에서도 일정하다.

증명: 내가 존재하는 간격의 모든 내부 지점에서 f의 파생값이 0이라고 가정한다. I에서 (a, b) 임의로 열린 간격이 되게 한다. 평균값 정리에 의해 (a,b)에는 다음과 같은 점 c가 존재한다.

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

이것은 f(a) = f(b)라는 것을 암시한다. 따라서 f는 I의 내부에서도 일정하므로 연속성에 의해 I에서도 일정하다. (이 결과의 다변량 버전은 아래를 참조하십시오.)

설명:

• 구간 I의 끝점에는 차별성이 아닌 f의 연속성만 필요하다. 한 지점에 파생상품이 존재한다는 것은 이 시점의 연속성을 내포하고 있기 때문에, 내가 개방된 간격이라면 연속성에 대한 가설을 명시할 필요가 없다. (기사 파생상품의 섹션 연속성 및 차별성을 참조하십시오.)
• f의 차별성은 반차별성에 관한 글에서 제시된 증거인 일방적인 차별성으로 완화될 수 있다.

정리 2: 이들 함수의 영역(a, b)의 간격(a, b)에 있는 모든 x에 대해 f'(x) = g'(x)이면 f - g는 상수 또는 f = g + c는 상수일 경우(a, b)이다.

교정: 간격(a, b)에 F = f - g, F' = f' - g' = 0으로 설정하므로 위의 정리 1은 F = f - g가 상수 c 또는 f = g + c임을 나타낸다.

정리 3: 만일 F가 간격 I에서 f의 해독제라면, F의 가장 일반적인 해독제는 F(x) + c인데 여기서 c는 상수다.

증명: 위의 정리 2에서 직접 파생된 것이다.

코치의 평균값 정리

확장된 평균값 정리라고도 알려진 코치의 평균값 정리는 평균값 정리의 일반화다.^[6] 그것은 다음과 같다: $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$g}$이(가${\displaystyle )}$ 닫힌 간격${\displaystyle }$[$a,b]$에서 연속적이고$$ 열린$$ 간격 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle (a$$,b$$)$에서 서로 다른 기능인 경우$,$ $일부{\displaystyle }$^[5] c${\displaystyle }$( $(,$ ${\displaystyle b}$ $)$이 있다$.$

$[\displaystyle (f(b)-f(a)g')g'(c)=(g(b)-g(a)f')'(c)].}$

$물론{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle g}$( b${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(a)\neq$ g$(b)}$ 및 $g$ (${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle g'(c)\neq 0$에 해당하는 경우, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

기하학적으로 이것은 곡선의^[7] 그래프에 약간의 접선이 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\begin}[a,b]\to \mathb {R}^{2}\\\t\mapsto(f(t),g(t)\end{case}}}}}$

which is parallel to the line defined by the points ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ and ${\displaystyle (f(b),g(b))}$. However, Cauchy's theorem does not claim the existence of such a tangent in all cases where ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ and ${\displaystyle (f(b),g(b)}$${\displaystyle (f(b),g(b))}$ are distinct points, since it might be satisfied only for some value ${\displaystyle c}$ with ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$, in other words a value for which the mentioned curve is stationary; in such points no tangent to the curve is likely to be defined at all. 이 상황의 한 예는 다음과 같은 곡선을 나타낸 것이다.

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\오른쪽),}$

간격${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, 1${\displaystyle }$]$${\$displaystyle$[-$1$${\displaystyle ,}$1$]$ {\displaystyle(-1,1)}에서 (${\displaystyle 1,0)}$ ${\$$displaystyle(-1,0)}($으)로$$ 이동하지만$,$ t${\displaystyle }$= ${\displaystytle t=$0}에 고정점(사실상 정지점)이 있다$.$

코치의 평균값 정리는 L'Hippital's rule을 증명하는 데 사용될 수 있다. ${\displaystyle \mathrm{평균값}}$ 정리는 $g{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t)=t}$일 때 Cauchy의 평균값 정리의 특별한 경우다$.$

카우치 평균값 정리 증명

카우치의 평균값 정리의 증명은 평균값 정리의 증명과 같은 사상에 근거한다.

• Suppose ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$. Define ${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$, where ${\displaystyle r}$ is fixed in such a way that ${\displaystyle h(a)=h(b)}$, namely

  ${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{정렬}}}$

  $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle g}$은$({\displaystyle }$는) 연속적이고$({\displaystyle }$는${\displaystyle )}$${\displaystyle a}$$,$ b ) {\$displaystyle$$($a$,b)}$에 따라 다르므로$,$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $h$$}$도 마찬가지. 전반적으로 h ${\$displaystystyle h$}$의 정리$$ 조건을 만족시킨다. 결과적으로 다음과 같은 것이 있다$.$ ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$)의 c ${\displaystyle (a,$${\displaystyle b}$$)}$에 $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle h'(c)=0}.$이제 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 정의를 사용하여 다음 작업을$$ 수행할 수 있다.

  ${\displaystyle 0=h'(c)=f'-'(c)-'-'\leftency\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\오른쪽)g'(c)이다.}$

  따라서 다음과 같다.

  ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c),}$

  결과를 암시하는 ^[5]거지
• If ${\displaystyle g(a)=g(b)}$, then, applying Rolle's theorem to ${\displaystyle g}$, it follows that there exists ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle (a,b)}$ for which ${\displaystyle g'(c)=0}$. Using this choice of ${\displaystyle c}$, Cauchy's mean value t히엄이 버티다

결정요인에 대한 일반화

${\displaystyle f}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle f,g,}$ $및$ h ${\displaystyle h}$이$({\displaystyle }$가$)$ ${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 연속적으로$$ 있는 (,${\displaystyle b}$ )${\displaystyle$ (a$,b$)}에서 서로 다른 함수라고$$ 가정해 보십시오$.$ 정의

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\f(a)&g(a)\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}}}}$

$D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle (,b}$) ${\displaystyle c\in (a,b)}$이(${\displaystyle 가}$) 있으며, 이러한 D ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ D$'(c)=0}$이(가) 있다$.$

에 유의하십시오.

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)\f(a)&g(a)\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}}}}$

그리고 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$가 ${\displaystyle \mathrm{h}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle h(x)=1}$을 배치하면$,$ 우리는 Cauchy의 평균값 정리를 얻는다. ${\displaystyle \mathrm{h}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle h(x)=1}$$및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{g<img\; alt="h(x)=1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6397dc3ddab50b85f5c07df2d057a05b65442572"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.739ex;\; height:2.843ex;">}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle g(x)=x}$을(를) 배치하면 Lagrange의 평균값 정리가 나온다$$.

The proof of the generalization is quite simple: each of ${\displaystyle D(a)}$ and ${\displaystyle D(b)}$ are determinants with two identical rows, hence ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$. The Rolle's theorem implies that there exists ${\displaystyle c\in (a,b)}$ such that $$${\displaystyle {}^{}\mathrm{D}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ D$'(c)=0}$.

여러 변수의 평균값 정리

평균값 정리는 다중 변수의 실제 함수에 일반화된다. 요령은 파라메트리제이션(parametrization)을 사용하여 한 변수의 실제 함수를 만든 다음, 1변수 정리를 적용하는 것이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$의 개방된 볼록 부분 집합으로$$ 하고 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$G\to \mathb {R}은($는) 서로 다른 함수가 된다$$. $points{\displaystyle x}$ , y${\displaystyle }${$$G {\$displaystyle$$x,y\in$ G$}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{수정}}$하고 g${\displaystyle (}$t ${\displaystyle )}$=${\displaystyle \mathrm{f}}$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$) x + ${\displaystyle ty}$){\$displaysty g(t$)=f${\big (}-t)x+ty$${\$$big$ $)}}}}}}.$ g는 하나의$$ 변수에서 서로 다른 기능을 제공하므로 평균값 정리를 통해 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

0과 1 사이의$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 대해. 그러나 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= y${\displaystyle }$( ) =${\displaystyle y}$ ( ) ${\$$displaystyle$ g$(1)=f(y)}$ 및$$ $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ g $(0)=f$$(x$$)\},$ 계산 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($c)$는 명시적으로$$ 다음과 같다.

${\displaystyle f(y)-f(x)=\big (}-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

여기서 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdla }$은(는) 그라데이션 및 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ 도트 제품을 나타낸다$$. 이는 하나의 변수에서 정리와 정확히 유사하다는 점에 유의한다(경우 ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 1 ${\displaystyle n=1}$의 경우 이것은$$ 하나의 변수에서 정리가 된다). Cauchy-Schwarz 불평등에 의해 이 방정식은 다음과 같은 추정치를 제공한다.

${\displaystyle {\Bigl }f(y)-f(x){\Bigr }\leq {\bigla f{\bigla f{\bigla (}-c)x+cy{\bigl }\bigr }\}y-x{\\\\bigl}빅러 }}$

특히 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 부분파생상품이 경계일$$ 때 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 립스키츠 연속형(따라서 균일하게 연속형)이다$$.

위의 적용으로 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 열리고 연결되어 있고 $모든{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 부분파생물이 0이면$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 일정하다는$$ 것을 증명한다. Pick some point ${\displaystyle x_{0}\in G}$, and let ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$. We want to show ${\displaystyle g(x)=0}$ for every ${\displaystyle x\in G}$. For that, let ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$. Then E는 닫혀 있고 비어 있지 않다. 또한 열려 있다: ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle x\in E}$에 대해,$$

${\displaystyle {\Big }g(y){\Big }={\big }g(y)-g(x){\Big }\big }leq(0){\Big }y-x{\\\big }y-x{\big }큰 }=0}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 일부 이웃에 있는$$ $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$에 대해$.$ (여기서는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 y$${\$displaysty y}$이(가) 서로 충분히 가까운 것이$$ 중요하다.) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 연결되어 $있으므로{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$= G ${\displaystyle E=G}$로 결론짓는다$.$

위의 주장은 좌표가 없는 방식으로 만들어지며, $따라서{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G$}이$$(가) Banach 공간의 하위 집합인 경우에 일반화된다.

벡터 값 함수의 평균 값 정리

벡터 값 함수에 대한 평균값 정리의 정확한 유사성은 없다.

수학적 분석의 원칙에서 루딘은 1차원 사례에서 평균값 정리가 적용되는 많은 동일한 상황에 적용할 수 있는 불평등을 제공한다.^[8]

그의 고전적인 논문에서 장 디우도네(Jean Dieudonné)는 평균값 정리를 무시하고 평균값의 불평등으로 대체하는데 그 증거가 건설적이지 않고 평균값을 찾을 수 없고 응용 분야에서는 평균값만 있으면 된다. Analysis I의 Serge Lang은 순간반사로서 적분 형태의 평균값 정리를 사용하지만, 이러한 사용은 파생상품의 연속성을 요구한다. Henstock-Kurzweil 적분을 사용하면 모든 파생상품은 Henstock-Kurzweil 통합이 가능하므로 파생상품은 연속적이어야 한다는 추가적인 가정 없이 평균값 정리를 통합형식으로 할 수 있다. 문제는 대략 다음과 같다. If f : U → R^m is a differentiable function (where U ⊂ Rⁿ is open) and if x + th, x, h ∈ Rⁿ, t ∈ [0, 1] is the line segment in question (lying inside U), then one can apply the above parametrization procedure to each of the component functions f_i (i = 1, …, m) of f (in the above notation set y = x + h). 그렇게 함으로써 만족스러운 선 세그먼트에서 x + th_i 점을 찾는다.

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}=\cdla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

그러나 일반적으로 라인 세그먼트에 만족하는 점 x + t*h는 한 개도 없을 것이다.

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}=\cdla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

동시에 말이야 예를 들어, 다음을 정의하십시오.

${\displaystyle {\begin}f:[0,2\pi ]\mathb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x)\case}}}}}$

Then ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$, but ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ and ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ are never simultaneously zero as ${\displaystyle x}$ ranges over ${\displaystyle [}$${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\$.

그러나 벡터 값 함수에 대한 평균값 정리의 특정 유형의 일반화는 다음과 같이 얻는다. f는 열린 간격 I에 정의된 연속적으로 서로 다른 실제 가치 함수가 되게 하고, x와 x + h를 I의 지점이 되게 한다. 한 변수의 평균값 정리는 0과 1 사이에 다음과 같은 t*가 존재함을 알려준다.

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.}$

반면에, 우리는 미적분학의 근본적인 정리에 의해, 변수의 변화에 따라,

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h'(u)\,du=\좌(int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.}$

따라서 특정 지점 t*의 f value(x + t*h) 값이 평균 값으로 대체되었다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.}$

이 마지막 버전은 벡터 가치 함수로 일반화할 수 있다.

증명. f₁, …f는_m f의 구성요소를 나타내고 다음을 정의한다.

${\displaystyle {\begin}g_{i}:[0,1]\mathb {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\case}}}}}}$

그러면 우리는

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\오른쪽)dt=\sum _{j=1}{n}\왼쪽(\int _{0}^{1}{1}{\frac {\f_{i}{\propert x_{j}}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{정렬}}}$

이러한 주장은 Df가${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$components f ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\$ 성분으로 구성된 행렬이기 때문에 뒤따른다$.$

증거. let^m u in R은 적분들의 가치를 나타낸다.

${\displaystyle u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.}$

이제 (Cauchy-Schwarz 불평등 사용):

${\displaystyle \ u\ ^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)\,dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leq \int _{a}^{b}\ v(t)\ \cdot \ u\ \,dt=\ u\ \int _{a}^{b}\ v(t)\ \,dt}$

이제 양쪽 끝에서 u의 규범을 취소하는 것은 우리에게 원하는 불평등을 준다.

증거. Lemma 1과 2는 다음과 같다.

$\displaystyle \f(x)-f(x)\\left\\\{0}^{1}(x+th)\cdot h)\,dt\right\ \leq \lq \{0}^{0}^{1}\dot \ \\dt\lleq M\.}}}}$

명확한 통합을 위한 평균 값 정리

한정된 통합에 대한 첫 번째 평균값 정리

f : [a, b] → R을 연속함수로 한다. 그리고 [a, b]에는 다음과 같은 c가 존재한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

[a, b]에 대한 f의 평균값은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

우리는 f가 (a, b)의 일부 c에서 그것의 평균값을 달성하는 것으로 결론을 해석할 수 있다.^[10]

일반적으로 f : [a, b] → R이 연속적이고 g가 [a, b]에서 기호를 변경하지 않는 통합형 함수라면, (a, b)에는 다음과 같은 c가 존재한다.

${\displaystyle \int_{a}^{b(x)g(x)\,dx=f(c)\int_{a}^{b(x)\,dx.}$

명확한 통합에 대한 첫 번째 평균값 정리의 증명

f : [a, b] → R은 연속이고 g는 [a, b]에서 음이 아닌 통합 함수라고 가정한다. 극단값 정리에는 G가 음이 아니기 때문에 [a, ${\displaystyle b}$], $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M},$ ${\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; m\backslash leq\; f(x)\backslash leq\; M\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b1b505160b655c05a8eee0f63ae524413cf699d3"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:15.097ex;\; height:2.843ex;">}[,}$ ${\displaystyle b]}$ =${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle m}$], ${\displaystyle f[a,b]=[M,M$의 각 x에 대해 m과 m이 존재한다.

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

자, 자자

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

$I{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I=0$이면 그 이후로는

${\displaystyle 0\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq 0}$

수단

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)g(x)\,dx=0,}$

따라서 (a, b)의 모든 c에 대해

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.}$

만약 내가 0이라면,

${\displaystyle m\leq {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M.}$

중간값 정리를 통해 f는 간격의 모든 값[m, M]을 획득하므로 [a, b]의 일부 c에 대해서는

${\displaystyle f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$

그것은

${\displaystyle \int_{a}^{b(x)g(x)\,dx=f(c)\int_{a}^{b(x)\,dx.}$

마지막으로, g가 [a, b]에서 음수인 경우,

${\displaystyle M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,}$

그리고 우리는 여전히 위와 같은 결과를 얻는다.

QED

한정된 통합에 대한 두 번째 평균값 정리

확실한 통합을 위한 두 번째 평균값 정리라고 하는 여러 가지 약간 다른 이론들이 있다. 일반적으로 발견되는 버전은 다음과 같다.

G : [a, b] → R이 단조롭게 감소하는 양의 함수이고 φ : [a, b] → R이 통합 가능한 함수라면, (a, b)에는 다음과 같은 숫자 x가 존재한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b(t)\varphi(t)\,dt=G(a^{+})\{a}^{x}\varphi(t)\,dt.}$

${\displaystyle {}^{}}$서 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$+$){\displaystyle G(a^{+}}}$는 $\underset{}{lim}$x →$\underset{}{{}^{}}$ +$\underset{}{{}^{}}$ ($x$ $){\$ a$^{+}G(x)}}}}}}}}}$의 약자로$$,$$그 존재는 조건으로부터 나타난다. 간격(a, b)이 b를 포함하는 것이 필수적이라는 점에 유의한다. 이 요구사항이 없는 변종은 다음과 같다.^[11]

G : [a, b] → R이 단조(필수적으로 감소하고 양의 것은 아님) 함수이고 φ : [a, b] → R이 통합 가능한 함수라면, (a, b)에는 다음과 같은 숫자 x가 존재한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}{x}\varphi(t)\,dt+G(b^{-})\{x}^{b}\varphi(t)\,d.}$

벡터 값 함수에 대한 통합에 대한 평균 값 정리가 실패함

함수 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 다차원 벡터를 반환하면$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 도메인도$$ 다차원이라 하더라도 통합을 위한 MVT가 참이 아니다.

예를 들어 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -dension$$ 큐브에 정의된 다음과 같은 2차원 함수를 고려해 보십시오.

${\displaystyle {\respects}케이스}}G:[0,2\pi ]^{n}\mathb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots,x_{n})=\좌측(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdodots +x_{n}\cdots{n}\cards{n}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그런 다음 대칭성을 통해 해당 도메인에 대한$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 평균 값이 (0,0)임을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}G(x_{1},\dots,x_{n}}dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}}}$

그러나$$ ${\displaystyle 어디}$에나 G${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G=(0$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle G=(0,0$$)}$이$($가) 있는 점은 없다.

평균값 정리의 확률론적 아날로그

X와 Y는 E[X] < E[Y] < ∞과 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$X\$leq$ _${st}Y}($즉, X는 통상적인 확률적 순서에서 Y보다 작다)와 같은 음이 아닌 랜덤 변수가 되게 하라. 그리고 확률밀도함수를 갖는 절대 연속 비 음의 랜덤 변수 Z가 존재한다.

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \\rm{E}-{\rm{E}}}\\qquad x\geqslant 0.}$

g를 E[g(X)], E[g(Y)] < ∞과 같이 측정 가능하고 구별 가능한 함수가 되게 하고, 그 파생 g′을 모든 y ≥ x ≥ 0에 대해 [x, y] 간격으로 측정하고 Rieman-integrable하게 한다. 그렇다면 E[g′(Z)]는 유한하고^[12]

${\displaystyle {\rm {{E}[g(Y)]-{\rm {{E}[g(X)]={\rm {{E}[g'(Z)]\,[{\rm {E}-{\rm{E}(X)],[\rm {{E}-{\rm(X)].}$

복합분석에서의 일반화

위에서 지적한 바와 같이, 정리는 상이한 복합 가치 함수를 보유하지 않는다. 대신에 다음과 같이 정리의 일반화를 기술한다.^[13]

f : Ω → C는 오픈 볼록 세트 Ω에서 홀로모르픽 함수로 하고, a와 b는 Ω으로 구별되는 점이 되도록 한다. 그리고 다음과 같은 점 u, v on L_ab(a에서 b까지의 선 세그먼트)이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Re}(f'(u))=\\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im}(f'(v)=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right)}$

여기서 Re()는 실제 부분이고 Im()은 복합적인 가치 함수의 가상 부분이다.

참고 항목

• 뉴마크베타법
• 평균값 정리(분할된 차이)
• 경마장 원리
• 스톨라르스키 평균

메모들

외부 링크

• "Cauchy theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• PlanetMath: 평균값 정리
• Weisstein, Eric W. "Mean value theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Cauchy's Mean-Value Theorem". MathWorld.
• "Mean Value Organization: 칸 아카데미의 '평균가치 정리' 이면의 직감