함수 개념의 역사

History of the function concept

17세기에 미적분학의 발달과 관련하여 어떤 함수의 수학적 개념이 나타났는데, 예를 들어, 한 지점에서 그래프의 d/patchstyle {d} /\ {d}은 점의 x 좌표의 함수로 간주되었다.고대에는 기능들이 명시적으로 고려되지 않았지만, 그 개념의 일부 선행자들은 아마도 중세 철학자들과 오레스메와 같은 수학자들의 작품에서 볼 수 있을 것이다.

18세기의 수학자들은 전형적으로 함수를 분석적 표현에 의해 정의되는 것으로 간주했다.19세기에 와이어스트라스 등에 의한 분석의 엄밀한 전개, 분석적인 면에서의 기하학의 개혁, 칸토어에 의한 세트 이론의 발명에 대한 요구는 결국 한 세트에서 다른 세트로의 단일 가치 매핑으로서 함수의 훨씬 일반적인 현대적 개념으로 이어졌다.

17세기 이전의 기능

이미 12세기에 수학자 샤라프 알-딘 알-투시는 x x3 + d = b ⋅ x를2 x2 ⋅ (b – x) = d의 형태로 분석하여 왼손이 적어도 d의 값과 같아야만 해답을 얻을 수 있다고 밝혔다.그리고 나서 그는 이 표현의 최대값을 결정했다.이 표현의 고립은 "기능"이라는 개념에 대한 초기 접근법이라는 것은 논쟁의 여지가 있다.d보다 작은 값은 양의 해답이 없음을 의미하며, d와 같은 값은 하나의 해법에 해당하는 반면 d보다 큰 값은 두 해법에 해당한다.샤라프 알딘의 이러한 방정식 분석은 이슬람 수학에서는 주목할 만한 발전이었지만, 그의 연구는 이슬람 세계에서도, 유럽에서도, 그 당시에는 더 이상 추구되지 않았다.[1]

디우도네와 폰테에 따르면 17세기에 분석적 기하학과 미적분학의 발달로 함수 개념이 등장했다고 한다.[3]그럼에도 불구하고 메드베데프 대통령은 함수의 암묵적 개념은 고대 혈통을 가진 개념이라고 제안한다.[4]폰테는 또한 중세의 개념에 대해 보다 명시적인 접근법을 보고 있다.

역사적으로, 일부 수학자들은 기능 개념의 현대적인 공식화를 예견하고 근접했다고 볼 수 있다.그 중에는 오레스메(123–1382)도 있다…. 그의 이론에 따르면 독립적이고 종속적인 가변량에 대한 몇 가지 일반적인 생각이 존재하는 것 같다.[5]

1640년경 분석 기하학의 발달로 수학자들은 곡선에 관한 기하학적 문제와 "변수 좌표 x와 y" 사이의 대수학적 관계 사이를 갈 수 있게 되었다.[6] 미적분학은 변수 개념을 이용하여 18세기까지 지속되었다.[7]그러나 17세기 말에 이르러 라이프니즈와 베르누이의 상호작용에 '기능'이라는 용어가 쓰이게 되었다.[8]

분석에서 "기능"의 개념

함수(function)라는 용어는 1673년 고트프리트 라이프니즈가 좌표나 곡선의 경사 등 곡선의 점들과 관련된 수량을 설명하기 위해 문자 그대로 도입하였다.[9][10]요한 베르누이는 단일 변수로 만들어진 표현을 "기능"이라고 부르기 시작했다.1698년, 그는 라이프니츠와 "대수학적이고 초월적인 방법으로" 형성된 모든 양을 x의 함수라고 부를 수 있다는 데 동의했다.[11] 1718년, 그는 "변수와 일부 상수로 이루어진 모든 표현"[12]을 함수로 간주하게 되었다.알렉시스 클로드 클라이라우트(약 1734년)와 레온하르트 오일러는 함수의 값에 대해 익숙한 f를 도입했다.[13]

그 시기에 고려된 기능들을 오늘날 다른 기능이라고 부른다.이러한 유형의 기능에서는 한계와 파생상품에 대해 말할 수 있다. 두 가지 모두 입력 또는 입력의 변화에 따라 달라지는 출력의 측정 또는 출력 변화의 측정이다.그런 기능들이 미적분학의 기본이다.

오일러

1748년에 출판된 분석 인피니토룸에서 그의 기초적인 텍스트인 인트로덕티오 1권에서는 오일러는 본질적으로 변수와 상수를 포함하는 표현이나 공식으로서 스승 베르누이와 같은 함수의 정의를 내렸다(: x + x+ [14] 오일러 자신의 정의는 다음과 같이 읽는다.

가변 수량의 함수는 가변 수량 및 숫자 또는 상수 수량의 어떤 식으로든 구성된 분석적 표현이다.[15]

오일러는 또한 암묵적 방정식에 의해 값이 결정되는 다중값 함수를 허용했다.

그러나 1755년 기관 칼쿨리 차등에서 오일러는 함수의 보다 일반적인 개념을 다음과 같이 제시하였다.

특정한 양이 다른 양에 의존하여 후자가 변화할 때 변화를 겪는다면, 첫 번째 양을 두 번째의 함수라고 부른다.이 이름은 극도로 넓은 성격을 가지고 있다; 그것은 한 수량이 다른 수량으로 결정될 수 있는 모든 방법을 포괄한다.[16]

메드베데프는[17] "본질적으로 이것이 디리클레트의 정의로 알려지게 된 정의"라고 생각한다.Edwards는[18] 또한 오일러에게 함수의 일반적인 개념을 인정하며 더 나아가 이렇게 말한다.

이 수량들 사이의 관계는 공식에 의해 주어진다고 생각되지 않지만, 다른 한편으로 그들은 확실히 현대의 수학자들이 "기능"이라는 단어를 사용할 때 의미하는 일반적인 이론적, 어떤 것이든 제품 공간의 하위 집합으로 생각되지 않는다.

푸리에

푸리에 씨는 자신의 테오리 분석기 드 라 샤루르에서 임의 함수는 푸리에 시리즈로 대표될 수 있다고 주장했다.[19][20]푸리에에는 함수에 대한 일반적인 개념이 있었는데, 여기에는 연속적이지도 않고 분석적 표현으로 정의되지도 않은 함수가 포함되어 있었다.[21]진동현에 대한 파동 방정식의 해법에서 발생하는 함수의 성격과 표현에 관한 관련 질문들은 이미 달랑베르트와 오일러 사이에 논쟁의 대상이 되어 함수의 개념을 일반화하는 데 상당한 영향을 미쳤다.Luzin은 다음과 같이 관찰한다.

우리에게 옳아 보이는 기능과 그 정의에 대한 현대적인 이해는 푸리에의 발견 후에야 일어날 수 있었다.그의 발견은 진동하는 끈에 대한 논쟁에서 발생한 대부분의 오해들이 겉으로 보기에는 동일하지만 실제로는 크게 다른 두 개념, 즉 기능의 개념과 그것의 분석적 표현에 대한 개념의 혼란의 결과라는 것을 분명히 보여주었다.실제로 푸리에가 발견하기 전에는 '기능'과 '분석적 표현'의 개념 사이에 어떤 구별도 그려지지 않았고, 이들의 단절을 가져온 것은 바로 이 발견이었다.[22]

카우치

19세기 동안 수학자들은 수학의 모든 다른 분과를 공식화하기 시작했다.가장 먼저 그렇게 한 것 중 하나는 카우치였다; 그의 다소 부정확한 결과는 후에 기하학보다는 산술에 대한 미적분학 건설을 주창했던 위어스트라스에 의해 완전히 엄격해졌는데, 이것은 라이프니츠의 (분석 산술화 참조)에 대한 오일러의 정의를 선호했다.스미스에 따르면, 코치는 함수를 실제 또는 복잡한 숫자들을 포함하는 방정식에 의해 정의되는 것으로 생각했고, 암묵적으로 그것들이 연속적이라고 가정했다.

코치는 그의 분석 알제브리크 (1821년) 제1장 제1장에서 기능에 대해 몇 가지 일반적인 발언을 한다.거기서 그가 말하는 것으로 보아, 그는 통상적으로 함수를 분석적 표현(명시적이라면) 또는 방정식이나 방정식의 체계(묵시적이라면)에 의해 정의되는 것으로 간주하는 것이 분명하다. 그가 전임자와 다른 점은 함수가 제한된 범위에 대해서만 정의될 수 있는 가능성을 고려할 준비가 되어 있다는 것이다.독립 [23]변수의

로바체프스키와 디리클레트

니콜라이 로바체프스키와[24] 피터 구스타프 르주네 디리클레트는[25] 전통적으로 모든 첫 번째 원소가 고유한 두 번째 원소를 갖는 관계로서 함수에 대한 현대의 "공식적" 정의를 독립적으로 부여한 공로를 인정받고 있다.

로바체프스키(1834년)는 이렇게 쓰고 있다.

함수의 일반적인 개념은 x의 함수를 각 x에 대해 주어진 숫자로 정의하고 x에 따라 점진적으로 변화할 것을 요구한다.함수의 값은 분석적 표현에 의해 또는 모든 숫자를 검사하고 그 중 하나를 선택하는 수단을 제공하는 조건에 의해 제공될 수 있다. 또는 마지막으로 의존성이 존재하지만 여전히 알려지지 않은 상태로 남아 있을 수 있다.[26]

디리클레(1837)가 글을 쓰는 동안

이제 각 x에 해당하는 고유한 유한 y를, 그리고 더 나아가 x가 a에서 b까지의 에 걸쳐 연속적으로 범위할 때 y= f( 도 연속적으로 변화한다면, y를 이 구간에 대한 x의 연속 함수라고 부른다.여기서 y를 x에 의해 1에 의해 주어지는 것과 전체 간격에 걸쳐 같은 법칙에 의해 주어지는 것은 전혀 필요하지 않으며, 수학적 연산을 사용하여 표현되는 의존성으로 간주할 필요는 없다.[27]

이베스는 "수학의 학생은 미적분학 입문 과정에서 보통 기능의 디리클레 정의에 부합한다"고 단언한다.[28]

디리클레트의 이러한 공식화에 대한 주장은 임레 라카토스에 의해 논란이 되고 있다.

디리클레트의 작품에는 그런 정의가 전혀 없다.그러나 그가 이 개념을 전혀 몰랐다는 증거는 충분하다.예를 들어, 그의 [1837] 논문에서, 그가 단편적으로 연속적인 함수에 대해 논할 때, 그는 불연속성의 시점에서 함수의 두 가지 값이 있다고 말한다.[29]

그러나 가디너는 "...예를 들어 라카토스가 '[디리클레트]가 [현대 기능] 개념을 전혀 몰랐다는 충분한 증거가 있다"고 주장할 때, 내가 보기에 라카토스는 지나치는 것 같다"고 말한다.[30]더욱이 위에서 언급한 바와 같이, 디리클레의 논문은 (로바체프스키처럼) 실제 변수의 연속적인 기능에 대해서만 언급하고 있음에도 불구하고, 일반적으로 그에게 귀속되는 것의 선에 따른 정의를 포함하고 있는 것처럼 보인다.

이와 유사하게 라빈은 다음과 같이 관찰한다.

디리클레가 함수의 현대적 정의를 위해 얼마나 많은 신용을 받을 자격이 있는가 하는 것은 논쟁의 여지가 있는 문제인데, 부분적으로는 그의 정의를 지속적인 함수로 제한했기 때문이다.디리클레는 일반적으로 단순히 기능만이 아니라 지속적인 기능의 경우에도 어떠한 규칙이나 법칙도 요구되지 않는다는 것을 분명히 하기 위해 연속기능의 개념을 정의했다고 생각한다.이것은 오일러가 연속적인 함수를 단일 표현-또는 법칙에 의해 주어진 함수로 정의했기 때문에 특별히 강조할 만했을 것이다.그러나 나는 또한 분쟁을 해결할 충분한 증거가 있는지 의심스럽다.[31]

로바체프스키와 디리클레트는 임의의 통신의 개념을 도입한 최초의 사람 중 하나로 인정되었기 때문에, 이 개념은 때때로 함수의 디리클레트 또는 로바체프스키-디리클레트 정의라고 일컬어진다.[32]이 정의의 일반 버전은 나중에 부르바키(1939년)에 의해 사용되었고, 교육계에서는 함수에 대한 "디리클레-부르바키"의 정의로 언급하기도 한다.

데데킨드

부르바키 그룹의 창립 멤버 중 한 명이었던 디우도네(Dieudonné)는 자신의 작품에서 디데킨드(Dedekind)에게 기능의 정확하고 일반적인 현대적 정의를 인정한다. 신드는 1888년에 등장했지만 이미 1878년에 초안된 솔렌 다이 자클렌([33]sollen die Zahlen이었다.Dieudonné는 이전의 개념에서와 같이 자신을 실제(또는 복잡한) 함수에 구속하는 대신, 기능을 다음 두 집합 사이의 단일 값 매핑으로 정의한다고 관찰한다.

무엇이 새롭고 수학 전체에 필수적이어야 할 것은 함수에 대한 완전히 일반적인 개념이었다.[34]

하디

Hardy 1908, 페이지 26–28은 함수를 두 변수 x와 y 사이의 관계로서 정의했는데, "어떤 비율로 x의 일부 값이 y의 값에 해당된다"는 것이다.그는 x의 모든 값에 대해 함수를 정의하거나 x의 각 값을 y의 단일 값에 연결할 것을 요구하지 않았다.함수에 대한 이 넓은 정의는 일반적으로 현대 수학에서 함수로 간주되는 것보다 더 많은 관계를 포함한다.예를 들어 하디의 정의에는 다변량 함수와 계산가능성 이론에서 부분함수라고 하는 것이 포함된다.

1850년 이전의 논리학자의 "기능"

당시의 논리학자들은 주로 삼단논법(아리스토텔레스의 2000년식 등)을 분석하거나, 아우구스투스 드 모건(1847)이 "추론이 형성되는 방식에 따라 그 부분의 추론, 그리고 일반적인 격언과 논거 구성 규칙의 조사에 관여했다.s"[35] 이 때, (논리적) "기능"의 개념은 명시적이지는 않지만, 적어도 De Morgan과 George Boole의 작품에서는 그것은 암시되어 있다: 우리는 논증 형식의 추상화, 변수의 도입, 이러한 변수에 관한 상징 대수학의 도입, 그리고 집합 이론의 일부 개념을 본다.

De Morgan의 1847년 "공식 논리 OR, 추론의 미적분, 필요성과 개연성"은 "논리적 진실은 언급된 특정 사항이 아닌 진술의 구조에 따라 달라진다"고 본다; 그는 어떤 시간(사전 페이지 i)도 낭비하지 않는다: "제안의 형태에서, 코풀라는 용어처럼 추상적으로 만들어진다."그는 즉시 (p. 1) '제안'(현재의 명제 함수 또는 관계)을 'X는 Y'와 같은 형태로 주조하는데, 여기서 기호 X, 'is' 및 'Y'는 각각 주체, 코풀라, 술어를 나타낸다.While the word "function" does not appear, the notion of "abstraction" is there, "variables" are there, the notion of inclusion in his symbolism "all of the Δ is in the О" (p. 9) is there, and lastly a new symbolism for logical analysis of the notion of "relation" (he uses the word with respect to this example " X)Y " (p. 75) ) is there:

"A1)Y X를 찍으려면 Y를 찍어야 한다" [또는 X가 되려면 Y가 되어야 한다]
"A1 Y)X Y를 취하려면 X를 취해도 충분하다" [또는 Y가 되려면 X가 된다] 등

그의 1848년 <논리학의 본성>에서 그는 "논리적인 . . .는 보다 특별한 의미에 있다"고 주장하면서, "수치에 의한 추리의 과학"과 "계급"이라는 개념에 대해 간단히 논한다: "개인은 매우 다양한 속성을 가지고 있을 수 있기 때문에 매우 다양한 계급에 속할 수 있다.[36]De Morgan과 마찬가지로 그는 분석에서 도출된 "변수"라는 개념을 사용한다; 그는 "x로 분류된 소와 y로 분류된 소와 연결사 및 부호 + . . 우리는 x+y로 집합적인 분류의 소와 말을 나타낼 수 있다"는 예를 제시한다.[37]

"미분적분" 부울의 맥락에서 함수의 개념은 다음과 같이 정의되었다(서클 1849:

"변동이 일률적인 저 양을 독립 변수라고 한다.전자의 변동을 지칭하는 그 수량은 그것의 함수라고 한다.미분학은 모든 경우에 기능에서 한계까지 우리를 통과할 수 있게 해준다.이것은 특정 작전에 의해 이루어진다.그러나 바로 그 작전 아이디어에서는 . . . 역작전의 발상이 있다.그 역작용을 현시점에서 실현하는 것은 미적분학(Int[[38]egral]

논리학자의 "기능" 1850–1950

Eves는 "논리학자들이 수학의 정의적 발달의 시작 수준을 더욱 낮추기 위해 노력했고, 명제와 명제적 기능의 논리의 기초에서 집합론 또는 계급론을 도출하기 위해 노력했다"고 관찰한다.[39]그러나 19세기 후반에 이르러 수학의 기초에 대한 논리학자들의 연구는 중대한 분열을 겪고 있었다.첫 번째 집단인 논리학자들의 방향은 아마도 버트란드 러셀 1903 - "첫 번째, 모든 수학이 상징논리에서 따온다는 것을 보여주고, 두 번째로는 가능한 한 상징논리 그 자체의 원리가 무엇인지 발견하는 것" -에 의해 가장 잘 요약될 수 있을 것이다.

두 번째 논리학자 집단인 세트이론자들은 게오르크 칸토르의 '세트 이론'(1870–1890)과 함께 등장했지만, 러셀이 '기능'에 대한 프레지의 개념에서 파생될 수 있는 역설을 발견한 결과로서 부분적으로 추진되기도 했지만, 러셀이 제안한 해결책에 대한 반작용으로도 추진되었다.[40]제르멜로의 세트이론적 반응은 그의 1908년 세트이론 I의 기초에 대한 조사였다 – 최초의 자명 세트이론; 여기에서도 역시 "proposal function"의 개념이 작용한다.

조지 볼의 사상 법칙 1854; 존 벤의 상징 논리 1881

그의 사상의 법칙에 대한 조사에서 Boole은 이제 다음과 같이 기호 x의 관점에서 함수를 정의했다.

"8. 정의.– 기호 x를 포함하는 모든 대수적 표현은 x의 함수라고 하며, 축약형 f(x)로 나타낼 수 있다."[41]

그 후 Boole은 대수적 개념과 논리적 개념을 모두 정의하기 위해 대수적 표현을 사용했다. 예를 들어 1 - x는 논리적 NOT(x), xy는 논리적 AND(x,y), x + y는 논리적 OR(x, y), x(x + y)는 xx + xy, "특수법" xx = x2 = x = x = x = x = x.[42]

그의 1881년의 상징성 논리에서 벤"논리 함수"과 현대적인 상징 주의(x)f(y), y=f−1()),cf 페이지 xxi cm와 그 circle-diagrams 역사적으로 벤과,"그들의 연장에 관하여 명제",""계급 관계를"[43]는 개념"우리 조건자 'quantifying"포함 a의 관계를 설명하는 데 관련된 단어를 사용했다알몬드 excl두 클래스를 서로 사용" 및 "직접 함수"(10페이지에 모두 표시), 비x(43페이지)를 나타내는 변수에 대한 막대 등.실제로 그는 "논리적 기능"의 개념을 "클래스"[현대적 "set"]와 분명하게 동일시했다. 이 책에서 채택된 견해에 따르면, f(x)는 논리적인 계급 이외의 어떤 것도 나타내지 않는다.그것은 많은 단순한 클래스로 이루어진 복합 클래스일 수 있다; 그것은 특정한 역논리 연산에 의해 표시된 클래스일 수도 있고, 서로 동일한 클래스의 두 그룹으로 구성될 수도 있고, 무엇이 같은지, 그들의 차이가 0과 같다고 선언된 차이, 즉 논리 방정식으로 구성될 수도 있다.그러나 아무리 구성적이거나 파생되어도 우리와의 f(x)는 평범한 논리학에서 공평하게 자리를 찾을 수 있는 그런 논리적인 계층에 대한 일반적인 표현 이외의 것이 결코 될 수 없을 것이다.[44]

프레게 베그리프슈리프트 1879년

고틀롭 프레지의 베그리프슈리프트(1879년)는 주세페 페아노(1889년)보다 앞섰지만, 페아노는 1889년 출판된 이후까지 프레지에 대한 지식이 없었다.[45]두 작가 모두 러셀(1903)에게 강한 영향을 미쳤다.결국 러셀은 알프레드 노스 화이트헤드와 공동으로 저술한 그의 프린시비아 매스매티카(1913)를 통해 20세기 수학과 논리의 많은 부분에 영향을 주었다.

처음에 프레지는 전통적인 "주체와 술어"를 버리고, 그것들을 각각 논쟁과 기능으로 대체하며, 그는 "시간의 시험을 견뎌낼 것"이라고 믿는다.내용을 논쟁의 함수로 간주하는 것이 어떻게 개념 형성으로 이어지는가를 쉽게 알 수 있다.게다가, 만약, 또는, 그렇지 않거나, 있거나, 존재하거나, 일부, 전부 또는 기타 등등 단어들의 의미들 사이의 연관성에 대한 시연이 주목을 받을 만 하다."[46]

프레지는 예를 들어 "기능"에 대한 논의를 시작한다: "수소산은 이산화탄소보다 가볍다"라는[47] 표현으로 시작한다.이제 수소 기호(즉, "수소"라는 단어)를 제거하고 산소 기호(즉, "산소"라는 단어)로 대체한다. 이것은 두 번째 진술을 만든다.이렇게 다시 하고(즉, "질소"라는 단어를 사용하여) 질소 부호를 대체하며 "이것은 "산소" 또는 "질소"가 이전에 "수소"가 서 있던 관계로 들어가는 방식으로 의미를 바꾼다"[48]는 점에 주목한다.세 가지 진술이 있다.

  • "수소는 이산화탄소보다 가볍다."
  • "산소는 이산화탄소보다 가볍다."
  • "질소는 이산화탄소보다 가볍다."

이제 세 가지 모두에서 "관계의 총체성을 나타내는 안정적인 구성요소"를 관찰하십시오.[49] 이를 함수(즉, 함수)라고 부름.

"... 이산화탄소보다 가볍다"는 것이 그 기능이다.

프레게는 그 기능의 주장을 "[t]he sign[예: 수소, 산소 또는 질소]라고 부르며, 이러한 관계에 서 있는 물체를 나타내는 다른 물체가 대체할 수 있는 것으로 간주한다"고 한다.[50]그는 우리가 "수소는...보다 가볍다."라는 함수를 도출할 수 있었다고 언급하는데, 오른쪽에는 논쟁의 위치가 있다; 정확한 관찰은 피아노가 한다(아래 참조).마지막으로 프레지는 두 개 이상의 주장을 허용한다.예를 들어 다음과 같이 불변 부분(함수)을 산출하기 위해 "이산화 탄소"를 제거한다.

  • "...보다 가볍다."

The one-argument function Frege generalizes into the form Φ(A) where A is the argument and Φ( ) represents the function, whereas the two-argument function he symbolizes as Ψ(A, B) with A and B the arguments and Ψ( , ) the function and cautions that "in general Ψ(A, B) differs from Ψ(B, A)".그의 독특한 상징성을 이용하여 그는 독자들에게 다음과 같은 상징성을 통역한다.

"A는 속성 φ을 가지고 있다. --- ((A, B)는 "B stands in to to A" 또는 "B는 절차 to을 대상 A에 적용한 결과"로 번역할 수 있다.[51]

피아노의 산수 원리 1889년

페아노는 "기능"의 개념을 프레지(Frege)와 다소 유사하지만 정밀도는 없는 방식으로 정의했다.[52]첫 번째 Peano는 "K는 클래스, 또는 개체의 집계를 의미함"[53]이라는 부호를 정의하는데, 이 부호는 a = a, (a = b) = (b = a), IF (a = b) 및 (b = c) 그 다음 (a = c)의 [54]세 가지 단순한 동등 조건을 만족한다.그런 다음 φ, "x가 클래스 s의 객체라면 ifx라는 표현은 새로운 사물을 나타낸다"를 소개한다.Peano는 이 새로운 물체에 다음과 같은 두 가지 조건을 추가한다.첫째, 세 가지 평등 조건이 개체 xx를 유지한다는 것, 둘째, "x와 y가 클래스 s의 개체라면, x = y이면 wex = φy"를 추론할 수 있다고 가정한다.[55]이 모든 조건이 충족되는 경우, φ은 "기능 사전 설정"이다.마찬가지로 그는 "기능 우체국"을 식별한다.예를 들어, is이 a+를 미리 지정한 함수라면 xx는 a+x를 산출하고, φ이 postsign +a이면 x+a를 산출한다.[54]

베르트랑 러셀의 수학 원리 1903

캔토르와 페아노의 영향이 무엇보다 중요했지만,[56] 수학원리의 부록 A "프리지의 논리적 산술적 교리학"에서 러셀은 프레지의 기능 개념 "...프리지의 작업이 매우 중요한 지점"에 대한 논의에 도달하여 신중한 검토를 요구한다.[57]프레게의 베그리프슈크리프트 러셀에서 발견한 모순에 대해 1902년 프레게와 편지를 주고받은 것에 대해, 마지막 순간에 이 부분을 다루었다.

러셀에게 있어서 병든 개념은 "변수성"의 개념이다: "6".수학적 명제는 함축성을 주장한다는 사실뿐만 아니라 변수를 담고 있다는 사실에도 특징이 있다.변수의 개념은 논리가 다루어야 하는 가장 어려운 것 중 하나이다."현재로서는 첫눈에 보이지 않을 수 있는 모든 수학적 명제에 변수가 있다는 것을 분명히 하고 싶다."[58]

러셀에 의해 표현된 바와 같이, "명제의 상수를 변수로 바꾸는 과정은 일반화라고 불리는 것으로 이어지며, 우리에게 명제의 형식적인 본질을 부여한다.우리의 제안에서 어떤 용어가 변수로 바뀔 수 있는 한, 우리의 제안은 일반화될 수 있다; 그리고 이것이 가능한 한, 그것을 하는 것은 수학의 사업이다;[59] 이러한 일반화 러셀은 제안 함수를 명명했다."[60]실제로 그는 프레게의 베그리프슈크리프트를 인용하고 인용하며 프레게의 1891년 함수 und 베그리프의 생생한 예를 제시한다.그 "산술함수 2x3 + x의 본질은 x가 제거될 때, 즉 위의 인스턴스 2( 3) + ( )에서 남아 있는 것이다.x라는 주장은 함수에 속하지 않지만 둘이 함께 하는 것이 전체"를 만든다.[57]러셀은 프레지의 "기능"이라는 개념에 한 가지 의미로 동의한다: "그는 기능을 술어와 관계보다 더 근본적인 것으로 간주한다." 그러나 러셀은 프레지의 "주제와 주장의 이론"을 거절했다. 특히 "만약 명제에 a라는 용어가 일어난다면, 그 명제는 항상 하나의 명제로 분석될 수 있다고 생각한다.a에 [57]대한 주장

러셀의 "기능" 개념의 진화 1908–1913

러셀은 1908년 자신의 수학 논리에서 유형 이론에 근거한 자신의 생각을 그와 화이트헤드의 1910-1913년 프린키니아 매티매티카로 옮기곤 했다.프린세스 매티매티카 러셀이 프리지와 같이 제안적 함수의 근본을 고려했을 때, "proposital 함수는 "sin x"나 log x 또는 "x의 아버지"와 같이 더 일반적인 종류의 함수가 파생되는 근본적인 종류다.이러한 파생 함수들을 "설명 함수"라고 부른다.명제의 기능...은 명제적 기능의 특별한 경우다.[61]

제안 기능:그의 용어가 동시대와는 다르기 때문에 독자는 러셀의 '제언 기능'에 혼란스러워할 수도 있다.예를 들면 도움이 될 수 있다.러셀은 원형으로 명제 함수를 쓴다. 예를 들어, φŷ: "ŷŷ"은 상처를 입었다. (변수 y보다 곡절 또는 "hat"을 강조한다.예를 들어 변수 ŷ에 '밥', '이 새', '토끼 에밀리', 'y'의 4개 값만 할당한다.이 값들 중 하나를 가변 ŷ으로 대체하면 명제가 된다. 이 명제는 명제 함수의 "가치"라고 불린다.우리 예에서는 명제 함수의 4가지 가치가 있는데, 예를 들면 "밥이 다쳤다", "이 새가 다쳤다", "에밀리 토끼가 다쳤다", "y가 다쳤다" 등이다.명제가 중요한 경우(즉, 사실이 결정되는 경우) 명제는 진실 또는 거짓의 진실 가치를 갖는다.명제의 진리 값이 "진리"인 경우, 변수의 가치는 명제 기능을 만족한다고 한다.마지막으로, 러셀의 정의에 따르면, "클래스[세트]는 어떤 명제적 기능을 만족하는 모든 객체" (p. 23)이다."all"이라는 단어 – 이것이 "For all ∀"과 "instance ∃"의 현대적 관념이 치료법 (p. 15)에 들어가는 방법이다.

예제를 계속하려면:(수학/논리학 외부로부터) '밥이 다쳤다'는 명제가 '충성', '이 새가 다쳤다'는 진리값을 가지며, '에밀리'는 존재하지 않기 때문에 '에밀리'가 확실치 않은 진리값을 가지며, 'y가 다쳤다'는 진리값을 가지기 때문에 애매한 것으로 판단한다고 가정하자.nt y 자체는 모호하다.'밥이 다쳤다'와 '이 새는 다쳤다'라는 두 가지 명제가 유의미하지만(둘 다 진실값을 가지고 있다) 변수 ŷ의 '이 새'만이 명제 함수 φ: '이 새'를 만족시킨다.등급 α: α: ŷ:: "ŷŷ이 다쳤다"로 갈 때 변수 ŷ에 대한 네 가지 가치인 "Bob", "이 새", "Emily the rabbit", "y"와 각각의 진리 가치인 거짓, 진실, 불분명, 모호함을 고려하여 "이 새"만 포함된다.

러셀은 주장과 진실-기능 f(p)로 명제의 기능을 정의한다.[62]예를 들어, "주장을 가진 제안의 기능" p1: "NOT(p) AND q"를 형성하고 그 변수에 p: "Bob이 다쳤다" 및 q: "이 새는 다쳤다"의 값을 할당한다고 가정합시다. (우리는 NOT, AND, OR 및 INMIS의 논리적 연결로 제한되며 변수 p와 q에만 "중대한" 명제를 지정할 수 있다.그러면 "논쟁을 하는 명제의 기능"은 p1: NOT("밥이 다쳤다")와 "이 새는 다쳤다"이다.이 "논쟁이 있는 명제의 기능"의 진실 가치를 결정하기 위해 우리는 이를 "진실함수"에 제출한다. 예를 들어, f(p1): f("밥이 다쳤다")와 "이 새는 다쳤다")는 진실의 가치를 산출한다.

"다대일" 함수관계의 개념: 러셀은 먼저 "식별성"의 개념을 논한 다음, (2변수) 명제함수(즉, "관계") φŷ을 만족하는 고유한 값 ιx로 서술함수(페이지 30ff)를 정의한다.

N.B. 여기서 변수의 순서가 뒤바뀌었다는 것을 독자에게 경고해야 한다! y는 독립 변수, x는 종속 변수(예: x = sin(y))이다.[63]

러셀은 "y'y DEF= (exx)(x R y)와 관련하여 서 있는 물체"라는 서술적 함수를 상징한다.러셀은 "R'y는 y의 함수지만 명제적 함수[sic]는 아니다; 우리는 그것을 서술적 함수라고 부를 것이다.수학의 모든 통상적인 기능은 이런 종류의 것이다.따라서 우리의 표기법 "sin y"에는 "sin y"라고 쓰여 있을 것이고, "sin"은 sin y has to y"라는 관계를 의미할 것이다.[64]

형식주의자의 "기능": 데이비드 힐버트의 수학 공리화 (1904–1927)

데이비드 힐버트는 고전 수학을 "형식화"하는 목표를 "형식적인 자명론"으로 정했고, 이 이론은 일관성이 있다는 것을 증명해야 한다. 즉, 모순으로부터 자유로워야 한다.[65]Hilbert 1927 수학의 기초에서 그는 "객체"의 존재 측면에서 함수 개념을 틀로 만든다.

13. A(a) --> A(A) 여기서 ε(A)는 명제 A(a)가 어떤 사물을 조금이라도 보유한다면 확실히 보유하는 사물을 의미한다. ε을 논리적 ε-함수라고 부르자.[66][화살표에는 "임플라이스" algot이 표시된다.

그런 다음 힐버트는 ε 기능을 어떻게 사용해야 하는지, 첫째는 "모든 것을 위한" 개념과 "존재하는" 개념으로, 둘째는 "[명제]가 가지고 있는 대상"을 나타내기 위해, 마지막으로 그것을 선택 함수에 캐스팅하는 방법을 세 가지 방식으로 설명한다.

재귀 이론 및 계산 가능성:그러나 힐베르트와 그의 제자인 버네이스의 노력의 예상치 못한 결과는 실패였다; 괴델의 1931년의 불완전성 정리를 보라.그와 거의 동시에 힐베르트의 엔치성스프로 문제를 해결하기 위한 노력에서 수학자들은 "효과적으로 계산 가능한 함수"(Alonzo Church 1936), 즉 "유효한 방법"이나 "알고리즘", 즉 함수 계산에 성공할 노골적이고 단계적인 절차로 무엇을 의미하는지 정의하기 시작했다.Church의 람다 미적분(1936), 스테판 클린의 μ-recursive 함수(1936), 인간의 "컴퓨터"를 완전히 기계적인 "컴퓨터 기계"(Turing Machine 참조)로 대체한다는 앨런 튜링(1936–7)의 개념 등 알고리즘에 대한 다양한 모델이 속속 등장했다.이 모든 모델은 동일한 종류의 계산 가능한 함수를 계산할 수 있는 것으로 나타났다.Church의 논문은 이 등급의 함수들이 알고리즘에 의해 계산될 수 있는 모든 숫자-이론적 함수들을 소진시킨다고 한다.이러한 노력의 결과는 "기능적 미적분 K[Principia Mathematica]의 주어진 공식 U가 입증 가능한지 판단하기 위한 일반적인 과정은 있을 수 없다";[67] 독립성(수학적 논리학)과 계산가능성 이론에서 자세히 살펴보는 생생한 시연이었다.

"기능"의 이론적 설정 정의 개발

세트 이론은 드 모건(1847년), 제본(1880년), 벤(1881년), 프레게(1879년), 페아노(1889년) 등의 개념으로 논리학자들의 작업에서 시작되었다.It was given a push by Georg Cantor's attempt to define the infinite in set-theoretic treatment (1870–1890) and a subsequent discovery of an antinomy (contradiction, paradox) in this treatment (Cantor's paradox), by Russell's discovery (1902) of an antinomy in Frege's 1879 (Russell's paradox), by the discovery of more antinomies in the early 20th세기(예: 1897년 부랄리-포르티 역설과 1905년 리처드 역설)와 러셀의 복잡한 논리 처리에 대한[68] 저항으로, 그리고 그가 반론을 회피하기 위한 수단으로 제시한 환원성[69] 공리(1908년, 1910년–1913년)에 대한 혐오로 인해.

러셀의 역설 1902년

1902년 러셀은 프레게의 1879 베그리프슈크리프트가 자신의 주장이 되도록 함수를 허용했다는 것을 지적하는 편지를 프레게에게 보냈다. "반면, 그것은 또한 논쟁이 결정적이고 함수가 결정되지 않는 것일 수도 있다.[70] . .." 이 구속되지 않은 상황에서 러셀은 다음과 같은 패러독스를 형성할 수 있었다.

"너희들은...함수 또한 불확실한 요소로 작용할 수 있다.이것은 내가 이전에 믿었던 것이지만, 지금 이 견해는 다음과 같은 모순 때문에 나에게 의심스러운 것 같다.w를 술어가 되게 하라: 스스로 단정할 수 없는 술어가 되게 하라.과연 그 자체로 단정할 수 있을까?"[71]

프레지는 즉각 "당신이 모순을 발견하는 것은 나에게 가장 큰 놀라움을 안겨주었고, 그것이 내가 산수를 만들려고 했던 기초를 흔들었기 때문에 거의 경악이라고 말할 수 있다"고 대답했다.[72]

이때부터 수학의 기초의 전진적 발전은 "세트 이론과 원소 개념"에서처럼 틀에 박힌 "루셀의 역설"을 피하는 방법에 대한 연습이 되었다.[73]

스콜렘(1922년)이 수정한 제르멜로의 집합론(1908)

"기능"의 개념은 제르멜로의 공리 III, 즉 분리의 공리(Axiom der Aussonderung)로 나타난다.이 공리는 우리가 명제 함수 φ(x)를 사용하여 이전에 형성된 집합 M에서 부분 집합 M을Φ "분리"하도록 구속한다.

"AXiOM III. (분리의 축)명제 함수 φ(x)가 집합 M의 모든 요소에 대해 확실할 때마다, M은 φ(x)가 참인 M의 원소 x를 정확하게 포함하는 부분집합Φ M을 소유한다."[74]

범용 집합이 없기 때문에 - (비설정) 영역 B의 요소로부터 Axiom II를 통해 유래된 집합 - "...이것은 우리가 관계하는 한 러셀 반염의 발생"이다.[75]그러나 제르멜로의 '확실한 기준'은 부정확하며, 웨일, 프라운켈, 스콜렘, 폰 노이만 등에 의해 고정되어 있다.[76]

사실 스콜렘은 1922년 그의 "확실한 기준" 또는 "재산"을 "확실한 명제"로 언급하였다.

"…5가지 운영[논리적 연결, 분리, 부정, 보편적 정량화, 실존적 정량화][77]에 의한 ε b 또는 a = b 형식의 기초적 명제로 구성된 유한 표현.

반 헤이제노르트는 다음과 같이 요약한다.

"스콜렘의 뜻에서 속성은 . . . 단 하나의 술어 상수가 ε이고 가능할 수도 있는 첫 번째 순서의 간단한 술어 미적분에서 잘 형성된 공식에 의해 확실하다. =. ...오늘날 세트 이론의 공리화는 대개 논리적인 미적분학에 내재되어 있으며, 일반적으로 채택되는 것은 분리라는 공리의 공식화에 대한 Weyl과 Scolem의 접근법이다.[78]

이 인용구에서 독자는 용어의 변화를 관찰할 수 있다: "제시적 기능"의 개념은 언급된 곳이 없지만, 오히려 "공식", "predicate acculation", "predicate" 그리고 "논리적 미적분"이라는 단어를 본다.용어의 이러한 변화는 현대 집합 이론에서 "기능"을 다루는 섹션에서 더 많이 논의된다.

비에너-하우스도르프-쿠라토프스키의 정의 "순서된 쌍"은 1914-1921

주문 쌍이라는 개념의 역사는 명확하지 않다.위에서 지적한 바와 같이, 프레지(1879)는 2개의 주장함수 ψ(A, B)의 정의에서 직관적인 주문을 제안했다.1914년(아래 참조)의 노르베르트 비너(Norbert Wiener)는 자신의 치료가 본질적으로 "주문된 부부 집단으로서의 관계에 대한 슈뢰더의 치료에 역행한다"[79]고 관찰한다.러셀(1903)은 관계의 정의(예: ψ(A, B))를 '부부의 종류'로 간주하였으나 다음과 같이 거절하였다.

그는 "연애를 부부 집단으로 확대 해석할 수 있는 것으로 보고 싶은 유혹이 있다.이것은 모든 부부가 다른 쌍의 용어들 사이에 관계를 가지고 있지 않다고 주장하는 원시 명제의 필요성을 피하는 형식적인 장점이다.그러나 부부에게 이치를 부여하고, 참조된 [도메인]과 상대적[변론적 도메인]을 구별할 필요가 있다:그러므로 부부는 본질적으로 두 용어의 한 부류로부터 구별되며, 그 자체가 원시적인 관념으로 도입되어야 한다…. 그러므로 관계에 대한 강도 높은 관점을 취하고, 그들을 식별하는 것이 더 옳은 것 같다.r 수업보다는 반장반으로."[80]

1910–1913년까지, 그리고 프린세스 매티매틱스 러셀은 "수학은 항상 억양보다는 확장과 관련이 있다"와 "수업과 마찬가지로 관계도 연장선에서 취해져야 한다"[81]고 말하면서 관계의 강도 높은 정의에 대한 요건을 포기했다.러셀은 연장에 관계라는 개념을 증명하기 위해 주문된 커플의 개념을 받아들였다. "우리는 관계를 ... 커플의 한 부류로 간주할 수 있다.φ(x, y)로 결정된 관계는 φ(x, y)이 참인 부부(x, y)의 등급이다."[82]그는 각주를 통해 자신의 생각을 명확히 하고 다음과 같은 정의에 도달했다.

"그런 커플은 센스가 있다, 즉 x = y가 아닌 이상 부부(x, y)와는 다르다.우리는 그것을 "감각이 있는 부부"라고 부를 것이다. ... 주문된 부부라고도 할 수 있다.[82]

그러나 그는 계속해서 명령받은 부부들을 자신의 "상징적 치료"에 더 이상 소개하지 않을 것이라고 말하고, 그는 자신의 "매트릭스"와 그의 인기 없는 "환원성" 공리를 대신 제안한다.

반물질의 문제를 해결하려는 시도는 러셀이 1903년 수학원리의 부록 B에서 "유형의 강령"을 제안하게 했다.[83]몇 년 안에 그는 이런 개념을 다듬고 1908년 자신의 <유형론>에서 (단변수) 명제적 기능과 (이중변수) 관계를 "낮은" 형태(그리고 궁극적으로 완전히 확장된 형태로)로 축소하는 것이 목적이었던 환원성의 두 가지 공리를 제안할 것이다; 그와 알프레드 노스 화이트헤드는 이 학자들을 데리고 다닐 것이다."매트릭스"라고 불리는 추가적인 정교함으로 1910–1913 프린키니아 매티매티카로 넘어갔다.[84]첫 번째 공리는 *12.1이고, 두 번째 공리는 *12.11이다.두 번째 공리 *12.11 "관계 이론에만 관여한다"[85]를 Wiener의 말을 인용한다.그러나 두 공리는 모두 회의론과 저항에 부딪혔다. 자세한 내용은 축소가능성을 참조하십시오.1914년까지 노버트 비너(Norbert Wiener)는 화이트헤드와 러셀의 상징성을 이용하여 null 세트를 이용하여 관계를 순서쌍으로 표현함으로써 *12.11(축소성 공리의 "2변수" (관계) 버전) 공리를 없앴다.거의 동시에 하우스도르프(1914, 페이지 32)는 주문한 쌍(a, b)의 정의를 {{a,1}, {b, 2}로 내렸다.몇 년 후 쿠라토프스키(1921년)는 그 이후로도 널리 사용되고 있는 정의, 즉 {{a, b, {a}"[86]를 제시했다.Suppes (1960)에서 지적한 바와 같이, "이 정의는 관계 이론을 세트 이론으로 축소하는 데 역사적으로 중요했다.[87]

Wiener는 축소 가능성 공리의 관계형 *12.11 형식을 "축소"했지만 제안 기능 형식 *12.1을 축소하거나 변경하지 않았으며, 실제로 그는 이것을 "신분성, 설명, 계급 및 관계의 처리에 필수적"이라고 선언했다.[88]

쇤핀켈의 "기능"이라는 개념은 다수의 "상응" 1924년

정확히 다대일 대응으로서 "기능"이라는 일반적인 개념은 불명확하다.러셀은 1920년 수학철학개론에서 "모든 수학함수 결과가 1-다수의 [sic – 현대적 용법] 관계를 형성하는 것을 관찰해야 한다. 이런 의미에서 함수는 서술함수"라고 말했다.[89]합리적인 가능성은 "설명 함수" – R 'y DEF= ( (x)(x R y): "R과 y의 관계를 갖는 단일한 물체"의 개념이다.어떤 경우든 1924년까지 모세 쇤핀켈은 이 개념을 표현하면서 "잘 알려져 있다"고 주장했다.

"잘 알려진 바와 같이, 가장 단순한 경우에서 우리는 일부 수량 영역의 요소들, 인수 영역들, 함수 값의 영역들 사이의 일치성을 의미한다...따라서 각 인수 값에 최대 하나의 함수 값이 일치한다."[90]

윌라드 킨에 따르면 쇤핀켈 1924는 "...을 위해 제공했다.추상 집합 이론의 전집문제의 핵심은 쇤핀켈이 기능을 논쟁으로 내세우게 한다는 점이다.쇤핀켈에게 있어서, 사실상 프레지에 관해서, 클래스는 특별한 종류의 기능이다.그것들은 제안적인 기능이며, 그들의 가치는 진실 가치다.모든 기능은, 명제적 또는 그 외의 것은, 쇤핀켈 단위적 기능을 위한 것이다."[91]놀랍게도 쇤핀켈은 모든 수학을 오직 세 가지 기능만으로 구성된 극히 콤팩트한 기능적 미적분으로 축소시킨다.항상성, 퓨전(즉, 구성) 및 상호 배타성.Quine은 Haskell Curry(1958)가 이 작품을 "결투 논리학의 머리 밑"[92]으로 옮겼다고 언급한다.

폰 노이만의 1925년설

1925년까지 아브라함 프라운켈(1922년)과 소랄프 스콜렘(1922년)은 제르멜로의 1908년 세트 이론을 수정했다.그러나 폰 노이만은 이 공리화가 반론을 이끌 수 없다는 것을 확신하지 못했다.[93]그래서 그는 자신의 이론인 1925년 세트 이론의 공리화를 제안했다.[94]그것은 "기능" 개념의 "비교적", "이론적" 버전을 명시적으로 포함하고 있다.

"[제르멜로의 세트 이론과는 달리] [w]e는 그러나 "세트"가 아니라 "기능"을 공리화하는 것을 선호한다.후자의 개념은 확실히 전자를 포함한다. (더 정확히 말하면, 함수는 쌍들의 집합으로 간주될 수 있고, 세트는 두 개의 값을 취할 수 있는 함수로 간주될 수 있기 때문에, 두 개념은 완전히 동일하다.)"[95]

처음에 그는 I-객체 및 II-객체, I-객체(첫 번째 공리)인 두 개의 물체 A와 B, 그리고 결과 물체[x, y]와 (x, y)에서 얻은 구조적 속성으로[96] 순서를 가정하는 두 가지 유형의 "운행"으로 시작한다.두 개의 "개념"을 "논쟁"(I-objects)과 "기능"(II-objects)이라고 하는데, 두 개 "개념 기능"(그는 그것을 I-II objects라고 부른다)이 중복되는 곳은 "개론 기능"이다.그는 두 개의 "범용 2변수 연산" – (i) 연산 [x, y]: ". . . . 인수에 대한 함수 x 값을 읽는다. . . . 그것은 그 자체가 I형 개체다. (ii) 연산(x, y): . . . . . ("순서된 쌍 x, y"를 읽는다.) 변수 x와 y는 모두 인수여야 하고 그 자체도 (x, y)를 만든다.그것의 가장 중요한 특성은 x1 = x와2 y = y가12 (x1 = y2) = (x22 = y)"에서 따온다는 것이다.기능 쌍을 명확히 하기 위해 그는 "f(x) 대신, x와 마찬가지로 f가 이 절차에서 변수로 간주된다는 것을 나타내기 위해 [f,x]를 쓴다"고 언급한다."러셀의 첫 번째 이론에서, 순진한 집합 이론의 반론을 피하기 위해서, 우리는 특정한 기능들을 논쟁으로 취급하는 것을 포기해야 한다."[97]그는 이러한 "확실한 기능"[98]을 제한하기 위해 제르멜로의 개념을 채택했다.

Suppes는[99] von Neumann의 공리화가 "원래 Zermelo 시스템에 더 가까이 남아 있기 위해" 버네이즈에 의해 수정되었다고 관찰한다. 그는 두 개의 회원 관계를 도입했다. 세트 간, 세트 간, 클래스 간 두 개의 관계".그러자 괴델[1940][100]은 더 나아가 "그의 원초적인 관념은 세트, 계급, 멤버십의 개념이다(회원권만으로는 충분하지만)"[101]라는 이론을 수정했다.이 공리화는 현재 폰 노이만-베르나이-로 알려져 있다.괴델은 이론을 세웠다.

부르바키 1939년

1939년 부르바키는 데카르트 제품 E × F의 특정 부분집합으로서 함수에 대해 잘 알려진 순서 쌍 정의를 제공하는 것 외에 다음과 같은 사항을 제공하였다.

"E와 F는 구별될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있는 두 세트가 되게 하라.모든 x ∈ E에 대해 주어진 관계에 있는 고유한 y ∈ F가 존재하는 경우, E의 변수 요소 x와 F의 변수 요소 y 사이의 관계를 y에서 기능 관계라고 부른다. 이러한 방식으로 주어진 관계에 있는 모든 요소 x ∈ E 요소 y ∈ F와 연관되는 작업에 함수 이름을 부여한다.x, 그리고 함수는 주어진 함수 관계에 의해 결정된다고 한다.두 개의 동등한 기능 관계가 동일한 기능을 결정한다."

1950년부터

현대 집합 이론에서 "기능"의 개념

프라운켈(1922년)과 스콜렘(1922년)이 수정한 제르멜로의 세트 이론의 자명적이고 순진한 형태 모두 "기능"을 관계로서 정의하고, 관계를 순서 쌍들의 집합으로 정의하며, 순서 쌍을 두 개의 "불규칙적인" 집합으로 정의한다.

Suppes(1960) 자명 집합론이나 Halmos(1970) 순진한 집합론 독자는 분리라는 공리에서 함수-기호주의의 사용을 관찰하지만, 예를 들어 φ(x) (S)와 S(x) (할모스)에서는 "제안"이나 심지어 "첫 번째 순서 술어적"에 대한 언급은 보지 못할 것이다.그 자리에는 "물체 언어의 표현", "원자 공식", "원초 공식", "원자 문장"이 있다.

클레네(1952년)는 다음과 같은 말을 정의한다: "단어 언어에서 명제는 문장으로 표현된다.그러면 'predicate'는 열린 곳을 포함하는 불완전한 문장이나 문장 골격으로 표현된다.예를 들어, "__ is a man"은 술어를 표현한다.술어는 한 변수의 명제 함수다.술어는 종종 '속성'이라고 불린다.술어 미적분은 이러한 일반적인 의미의 'predicate', 즉 명제 함수'에서 술어의 논리를 다룰 것이다.[102]

1954년, Theory des Encancels(세트의 이론)의 Chaptre II에서 부르바키는 함수를 트리플 f = (F, A, B)로 정의했다.[103]여기서 F는 기능 그래프로, 두 쌍이 동일한 첫 번째 멤버를 가지지 않는 쌍의 집합을 의미한다.77페이지 (오피니언)부르바키 주(문학번역) : "이 보고서의 나머지 부분에서는 기능 그래프 대신 함수라는 단어를 사용하게 될 때가 있다.

Suppes(1960년)는 공식적으로 관계(p. 57)를 쌍들의 집합으로 정의하고, 함수(p. 86)는 두 쌍이 동일한 첫 번째 멤버를 갖지 않는 관계로 정의한다.

함수의 관계형식

수페스(1960년)와 할모스(1970년) 등에서 '제안함수'라는 단어가 사라진 이유는 타르스키(1946)가 용어에 대한 추가 설명과 함께 설명한다.

"x와 같은 표현은 변수를 포함하는 정수인데, 이 변수들을 상수에 의해 대체하면 SENTERENTIC [즉, proposal cf his index] function이라고 불린다.그러나 수학자들은 다른 의미를 가진 "기능"이라는 용어를 사용하기 때문에 이 표현을 그다지 좋아하지 않는다.……센티al 함수와 문장은 수학자들이 보통 FORMULAE라고 부른다(일반적으로 x + y = 5와 같은 수학적 기호로 구성된다."본질적 기능" 대신에 우리는 때때로 단순히 "감정"이라고 말하지만, 오해의 위험이 없는 경우에 한한다.[104]

타르스키는 기능의 관계형태를 "기능적 관계 또는 단순한 기능적 관계"[105]라고 부른다. 이 "기능적 관계"에 대해 논의한 후 그는 다음과 같이 주장한다.

"지금 우리가 고려하고 있는 함수의 개념은 본질적으로 보초적 [제안]의 개념과 지정적 함수의 개념과는 다르다...엄밀히 말하면...[이것들]은 논리학이나 수학의 영역에 속하지 않는다; 논리학이나 수학적인 진술을 구성하는 데 도움이 되는 표현의 특정 범주를 나타내지만, 그러한 진술에서 취급되는 것들을 나타내지 않는다…. 새로운 의미에서의 "기능"이라는 용어는 다른 한편으로, 순전히 논리적인 성격의 표현이다; 그것은 설계된다.es 논리와 수학에서 다루는 특정한 유형의 것"이라고 말했다.[106]

알프레드 타르스키의 "해석 아래 진실"에 대해 자세히 알아보십시오.

메모들

  1. ^ Katz, Victor; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 192. doi:10.1007/s10649-006-9023-7. S2CID 120363574.
  2. ^ 디우도네 1992 페이지 55.
  3. ^ "개별화된 수학 실체로서의 기능 개념의 출현은 미적분학의 시초까지 추적할 수 있다."(폰테 1992년)
  4. ^ "...우리는 [고대 그리스의 수학자들]에서 비교적 독립적인 연구 대상으로서 명시적인 형태로 구별되는 기능 의존의 개념을 발견하지 못하지만, 그럼에도 불구하고 그들이 연구한 기능적 대응의 많은 재고량을 알아차리지 않을 수 없다."(Medvedev 1991, 페이지 29–30)
  5. ^ 폰테 1992.
  6. ^ 가디너 1982, 페이지 255.
  7. ^ 가디너 1982 페이지 256.
  8. ^ Kleiner, Israel (2009). "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey". In Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson (eds.). Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History. MAA. pp. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0.
  9. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "History of the function concept", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  10. ^ Eves는 Leibniz가 처음 사용한 날짜를 1694년으로 하며, 또한 유사한 용어로 "곡선에 있는 점의 좌표, 곡선의 기울기 등과 같은 곡선과 연결된 모든 양을 나타내는 용어"와 관련된다(Eves 1990, 페이지 234).
  11. ^ N. Bourbaki (18 September 2003). Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Springer Science & Business Media. pp. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0.
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  15. ^ 오일러 1988, 페이지 3
  16. ^ 오일러 2000, 페이지 6
  17. ^ 메드베데프 1991, 페이지 47.
  18. ^ 에드워즈 2007, 페이지 47.
  19. ^ 푸리에 1822.
  20. ^ 푸리에 시대보다 훨씬 광범위하고 정밀한 개념의 기능, 통합, 그리고 융합에 대한 다른 개념들을 가진 현대의 수학자들은 푸리에와 동의하지 않을 것이다. (20세기 전환기에 이르기까지 병리학적으로 간주되고 "몬스터"라고 일컬어지는 기능의 예를 포함한다.푸리에 계수가 잘 정의되어 있더라도 푸리에 시리즈에서 완전히 임의 함수가 확장될 수 있다는 것.예를 들어, 콜모고로프(1922년)는 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 점으로 분산되는 르베그 통합 기능을 구축했다.그럼에도 불구하고 푸리에 시리즈에서는 매우 광범위한 기능이 확장될 수 있으며, 특히 분배의식의 수렴과 같이 보다 약한 형태의 수렴을 허용할 경우 더욱 그러하다.따라서 푸리에의 주장은 그의 시대적 맥락에서 합당한 것이었다.
  21. ^ 예를 들어, "일반 함수 f(x)는 값이나 서수의 순서인데, 각각 임의로...이 서열들이 어떤 일반법의 적용을 받는다고 결코 가정하지 않는다; 그들은 완전히 임의적인 방식으로 서로를 따를 수도 있고, 각각의 서열들은 마치 그것이 고유한 수량인 것처럼 정의된다.(푸리에 1822, 페이지 552)
  22. ^ 루진 1998, 페이지 263.(1930년대) 대소련 백과사전 초판에 등장한 루진(Luzin)의 글의 아베 션리처(Abe Shinitzer)가 번역했다.
  23. ^ 스미시스 1997, 페이지 187.
  24. ^ "삼각계 계열의 소멸에 대하여," 1834년(Lobachevsky 1951, 페이지 31–80)이다.
  25. ^ Uber die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusrehen," 1837년(Dirichlet 1889년, 페이지 135–160).
  26. ^ 1991년 메드베데프에서 인용한 로바체프스키 1951 페이지 43 페이지 58.
  27. ^ 메드베데프 1991년 60-61페이지에서 인용한 디리클레 1889 페이지 135.
  28. ^ Eves는 Dirichlet이 다음과 같은 공식에서 "[변수의 개념은 숫자 집합 중 하나를 나타내는 기호다; x와 y 두 변수가 너무 연관되어 있어서 x에 값이 할당될 때마다 어떤 규칙이나 통신에 의해 자동으로 y에 값이 할당되면 우리는 y가 (단일 값) 장난이라고 말한다.x의 이온변수 x . . . 를 독립 변수라고 하고 변수 y를 종속 변수라고 한다.x가 추정할 수 있는 허용 값은 함수의 정의 영역을 구성하고, y가 취한 값은 함수의 값의 범위를 구성한다. . . " 이 값은 두 숫자 집합 사이의 관계에 대한 기본 사상을 강조한다." Eves 1990, 페이지 235
  29. ^ Lakatos, Imre (1976). Worrall, John; Zahar, Elie (eds.). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. p. 151. ISBN 0-521-29038-4. 사후에 출판됨.
  30. ^ Gardiner, A. (1982). Understanding infinity,the mathematics of infinite processes. Courier Dover Publications. p. 275. ISBN 0-486-42538-X.
  31. ^ 라빈 1994, 페이지 34.
  32. ^ 자세한 내용은 메드베데프 1991, 페이지 55–70을 참조한다.
  33. ^ "세트 S의 매핑 φ에 의해 우리는 S의 각 요소 s에 φ(s)로 표시된 s의 이미지라고 불리는 독특하게 결정된 개체를 할당하는 법칙을 이해한다.디데킨드 1995, 페이지 9
  34. ^ 디우도네 1992 페이지 135.
  35. ^ 드 모건 1847 페이지 1
  36. ^ 1848년 Gratan-Guinness & Bornet 1997, 페이지 1, 2
  37. ^ 1848년 Gratan-Guinness & Bornet 1997, 페이지 6
  38. ^ Boole cerca 1849 Grattan-Guinness & Bornet 1997, 페이지 40의 수학 추론 철학을 포함하여 수학적 논리가 아닌 논리에 대한 기초 논술
  39. ^ Eves 1990, 222 페이지.
  40. ^ 이러한 비판의 일부는 강렬하다: 1967년, 페이지 151에 판 헤이제노르트의 유형 이론에 기초하여 러셀 1908a 수학 논리에 앞서 윌러드 콰인의 소개를 보라.또한 폰 노이만 1925년 판 헤이제노르트 1967, 페이지 395에서 세트 이론의 그의 축성화에 대한 소개도 참조하라.
  41. ^ 불 1854 페이지 86.
  42. ^ cf Boole 1854, 페이지 31–34.Boole은 37페이지에서 두 개의 대수적 뿌리 x = 0 또는 1과 함께 이 "특별법"에 대해 논한다.
  43. ^ 비록 그는 다른 사람들에게 공을 주지만, cf Venn 1881 페이지 6
  44. ^ 1881년, 페이지 86-87.
  45. ^ cf van Heijenoort's peano 1889 in van Heijenoort 1967.그의 논리적 상징성과 명제 개념의 대부분은 페아노가 "많은 작가들, 특히 부울"이라고 믿는다.각주 1에서 그는 Boole 1847, 1848, 1854, Schröder 1877, Peirce 1880, Jevons 1883, MacColl 1877, 1878a, 1880; cf van Heijenoort 1967, 페이지 86).
  46. ^ 1967년 반 헤이제노르트의 프레지 1879년, 페이지 7
  47. ^ 프레지의 정확한 단어는 "우리의 공식 언어로 표현"과 "표현", 반 헤이제노르트의 cf Frege 1879, 페이지 21–22이다.
  48. ^ 이 예는 반 헤이제노르트 1967, 페이지 21–22의 프레게 1879에서 나온 것이다.
  49. ^ 1967년 판 헤이제노르트의 프레지 1879 페이지 21-22
  50. ^ 프레지는 이 기능에 동일한 기호가 나타날 수 있는 다른 장소와 구별되는 주장을 배치해야 하는 "주장소"가 있을 것이라고 경고한다.그러나 그는 이러한 입장을 어떻게 나타내는지에 대해 더 깊이 연구하지 않고 러셀 1903은 이것을 관찰한다.
  51. ^ 1967년 판 헤이제노르트의 프레지 1879 페이지 21-24
  52. ^ "...페아노는 자신의 베그리프슈크리프트와 그 이후의 작품에서 프레게가 하는 것보다 훨씬 더 많은 근거를 커버할 작정이지만, 그는 프레게가 자기 전유물 분야에서 하는 것과 견줄 만한 그 어떤 깊이에도 그 근거를 대지 않는다." 판 헤이제노르트 1967, 페이지 85.
  53. ^ 반 헤이제노르트 1967 페이지 89.
  54. ^ a b 판 헤이제노르트 1967, 페이지 91.
  55. ^ 여기서 사용되는 모든 기호는 반 헤이제노르트 1967, 페이지 91)의 페아노 1889에서 왔다.
  56. ^ "수학에서 나의 주된 의무는, 실로 명백하게 드러난 바와 같이 게오르크 칸토르와 페이노 교수에게 있다.만약 내가 프레지 교수의 일을 더 일찍 알게 되었다면, 나는 그에게 많은 빚을 졌어야 했지만, 그것이 내가 이미 확립한 많은 결과에 독립적으로 도달했기 때문이다." 러셀 1903, 페이지 8.그는 또한 Boole의 1854년 사상의 법칙과 Ernst Schröder의 3권 1890, 1891 및 1895 cf Russell 1903, 페이지 10을 강조한다.
  57. ^ a b c 러셀 1903, 페이지 505.
  58. ^ 러셀 1903쪽 5-6쪽
  59. ^ 러셀 1903, 페이지 7.
  60. ^ 러셀 1903, 페이지 19.
  61. ^ 러셀 1910-1913:15
  62. ^ 화이트헤드와 러셀은 각각 1910–1913:6, 8
  63. ^ 타르스키 1946에도 비슷한 것이 나타난다.타르스키(Tarski)는 "관계 함수"를 "ONE-MOUNT [sic!] 또는 Functional READION(기능) 또는 단순히 기능"이라고 말한다.타르스키는 99페이지에 이러한 변수의 반전에 대해 언급한다.
  64. ^ 화이트헤드와 러셀은 1910–1913:31.이 논문은 반 헤이제노트가 그것을 화이트헤드 & 러셀 1910 불완전 상징으로 다시 인쇄할 만큼 충분히 중요하다. V. V. Quine이 V. Haijenoort 1967, 페이지 216–223에 해설한 내용
  65. ^ 클레인 1952 페이지 53.
  66. ^ 힐버트 인 판 헤이제노르트 1967, 페이지 466
  67. ^ 튜링 1936-7인치
  68. ^ 클레인 1952 페이지 45.
  69. ^ Eves 1990, 페이지 268, "이 공리의 비원리적이고 자의적인 성격은 혹독한 비판을 이끌어 냈으며, 후속 로지스틱 프로그램의 많은 개선은 미움받는 환원성의 공리를 피하기 위한 어떤 방법을 고안하려는 시도에 있다"고 말했다.
  70. ^ 1967년 반 헤이제노르트의 프레지 1879년, 페이지 23
  71. ^ 러셀(1902) 반 헤이제노르트의 프레게에게 보내는 편지, 1967 페이지 124
  72. ^ 프레지(1902) 반 헤이제노르트의 러셀에게 보내는 편지, 1967 페이지 127
  73. ^ 판 헤이제노르트의 러셀이 1967년 판 헤이제노르트에서 프레게에게 보낸 편지에 대한 논평, 페이지 124
  74. ^ 원본은 Van Heijenoort 1967, 페이지 202에서 in cf Zermelo 1908a 대신에 Old High German 기호를 사용한다.
  75. ^ 제르멜로 1908a in van Heijenoort 1967, 페이지 203
  76. ^ cf van Heijenoort 1967, 페이지 199에 있는 세트 이론 1의 기초에 있는 제르멜로 1908 조사 이전의 cf van Heijenoort의 논평
  77. ^ 판 헤이제노르트의 스콜렘 1922, 페이지 292–293
  78. ^ 판 헤이제노르트가 아브라함 프라운켈의 "확실한" 개념과 판 헤이제노르트 1967, 페이지 285에서 선택의 공리의 독립성에 대해 소개한 것이다.
  79. ^ 그러나 비에너(Wiener)는 반 헤이제노르트 1967, 페이지 226에서 날짜나 참조 cf Wiener 1914를 제공하지 않는다.
  80. ^ 러셀 1903 페이지 99.
  81. ^ 화이트헤드 & 러셀 1913 페이지 26에서 인용한 두 글귀
  82. ^ a b 화이트헤드 & 러셀 1913 페이지 26.
  83. ^ 러셀 1903, 페이지 523–529.
  84. ^ "*12 The Hierarchy of Types and the axiom of Reducibility". Principia Mathematica. 1913. p. 161.
  85. ^ 1914년 판 하이제노르트의 비에너 1967년 페이지 224
  86. ^ 1914년 바이에너에 앞서 판 하이제노르트의 해설 판 헤이제노르트 1967년, 페이지 224에 관계 논리의 단순화.
  87. ^ 1960년, 페이지 32.이 같은 점은 1967년 판 헤이제노르트 페이지 224에서 비에너(1914년) 이전 판 헤이제노르트의 논평에서도 나타난다.
  88. ^ 1914년 판 하이제노르트의 비에너 1967년 페이지 224
  89. ^ 러셀 1920, 페이지 46.
  90. ^ 쇤핀켈(1924년) 판 헤이제노르트 1967년 수학적 논리학의 구성 요소들에 관하여, 페이지 359
  91. ^ 쇤핑켈(1924년)에 앞선 W. V. Quine의 해설. 반 헤이제노르트 1967, 페이지 356의 수학논리의 구성블록에 대하여.
  92. ^ cf Curry and Feys 1958; Van Heijenoort 1967, 페이지 357의 Quine.
  93. ^ 폰 노이만의 역사에 대한 비평은 논리학자(예: 러셀 등)와 세트 테오리스트(예: 제르멜로 등)와 형식주의자(예: 힐버트), 반 헤이제노르트의 cf 폰 노이만 1925, 페이지 394–396 사이의 분열을 관찰한다.
  94. ^ 1925년 판 헤이제노르트에 등장한 것 외에, Supfes 1970:12는 1928a와 1929년의 두 가지를 더 인용하고 있다.
  95. ^ 폰 노이만 1925년 판 헤이제노르트 1967, 페이지 396
  96. ^ 그의 1930-1931년 수학철학과 힐버트의 증명 이론 버네이스는 (논리학 이론이 논리학 이론에서 숫자의 구성을 논리 공리에서 반박하는 맥락에서) "숫자 개념은 기초적인 구조 개념으로 판명된다"고 주장한다.본 논문은 ISBN 0-19-509632-0, 뉴욕 옥스퍼드 대학 출판부에서 1998년 브루워에서 힐버트까지 243페이지에 등장한다.
  97. ^ von Neumann 1925년 Van Heijenoort 1967, 페이지 396–398의 인용구
  98. ^ 이 개념은 요약하기가 쉽지 않다; 더 많은 것을 반 헤이제노르트 1967, 페이지 397에서 보라.
  99. ^ 393~394페이지의 폰 노이만의 논문에 대한 반 헤이제노르트의 소개도 참조하라.
  100. ^ cf 특히 괴델이 자신의 원시적 관념들을 계급, 계급, 계급, 계급과 계급, 계급과 계급, 또는 계급과 집합과 집합의 다이오드적 관계 ε이라고 선언하는 p. 35.괴델 1940 선택 공리와 일반화된 연속체 가설의 일관성, 뉴욕 옥스퍼드 대학 출판부, ISBN 0-19-514721-9 (v.2, pbk)의 커트 고델 수집 작품 제2권 33ff페이지에 나타난 집합 이론 공리의 공리.
  101. ^ Suppes 1960, 페이지 12 각주의 모든 인용구.그는 또한 "R. M. Robinson의 논문 [1937] [1937]이 폰 노이만의 원본에 가까운 단순화된 시스템을 제공한다"고 언급한다.
  102. ^ 클레인 1952페이지 143-145.
  103. ^ N.Bourbaki (1954). Elements de Mathematique,Theorie des Ensembles. Hermann & cie. p. 76.
  104. ^ 타르스키 1946, 페이지 5
  105. ^ 타르스키 1946, 페이지 98.
  106. ^ 타르스키 1946, 페이지 102.

참조

추가 읽기

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  • Frege, Gottlob (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle.
  • Kleiner, Israel (1989). "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 20 (4): 282–300. doi:10.2307/2686848. JSTOR 2686848.
  • Lützen, Jesper (2003). "Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis". In Roy Porter (ed.). The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences. Cambridge University Press. ISBN 0521571995. 접근 가능하고 변화무쌍한 역사적 발표.
  • Malik, M. A. (1980). "Historical and pedagogical aspects of the definition of function". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 11 (4): 489–492. doi:10.1080/0020739800110404.
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  • 레이첸바흐, 한스(1947) 상징논리의 요소 뉴욕 주 도버 출판사, ISBN 0-486-24004-5.
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  • Youschkevitch, A. P. (1976). "The concept of function up to the middle of the 19th century". Archive for History of Exact Sciences. 16 (1): 37–85. doi:10.1007/BF00348305 (inactive 31 October 2021).{{cite journal}}: CS1 maint : 2021년 10월 현재 DOI 비활성화(링크)

외부 링크

  • 컷 더 코튼의 기능.