연속체 가설

Continuum hypothesis

수학에서 연속 가설(약칭 CH)은 무한 집합의 가능한 크기에 대한 가설이다. 다음과 같이 명시되어 있다.

정수실수 사이카디널리티가 엄격히 구분되는 세트는 없다.

선택 공리(ZFC)를 가진 제로멜로-프라엔켈 집합 이론에서 이는 알레프 수에서 0= 1 }에 해당하는 등식이다

연속 가설은 1878년 게오르크 칸토어에 의해 진전되었으며,[1] 그 진실이나 거짓을 규명하는 것은 1900년에 제시된 힐베르트의 23개 문제 중 첫 번째다. 이 문제에 대한 대답은 ZFC와는 무관하므로 연속 가설이나 그 부정이 ZFC 세트 이론에 공리로 추가될 수 있으며, 결과 이론은 ZFC가 일관성이 있는 경우에만 일관성이 있다. 이러한 독립성은 폴 코헨에 의해 1963년에 증명되었고, 1940년 커트 괴델의 초기 작품을 보완하였다.[2]

가설의 이름은 실제 숫자에 대한 연속체라는 용어에서 유래한다.

역사

칸토르는 연속체 가설이 사실이라고 믿었고 수년간 그것을 증명하려고 노력했지만 허사였다.[3] 그것은 1900년 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 발표된 데이비드 힐버트의 중요한 공개 질문 목록에 첫 번째가 되었다. 자명적인 집합론은 아직 공식화되지 않은 시점에 있었다. 커트 괴델은 1940년에 연속 가설의 부정, 즉 중간 카디널리티를 가진 집합의 존재는 표준 집합 이론에서 증명될 수 없다는 것을 증명했다.[2] 연속체 가설의 독립성(즉, 중간 크기의 집합이 존재하지 않는 것의 실현 불가능성)의 후반부는 폴 코헨에 의해 1963년에 증명되었다.[4]

무한 집합의 카디널리티

두 세트는 서로 에 편향(일대일 대응)이 있을 경우 카디널리티기수 번호가 같다고 한다. 직관적으로 두 세트 ST가 동일한 카디널리티를 갖는다는 것은 S의 모든 요소가 T의 정확히 하나의 요소와 짝을 이루도록 하는 방식으로 S의 요소를 T의 요소와 "pair off"할 수 있다는 것을 의미한다. 따라서 세트 {banana, 사과, 배}은(는) {노란색, 빨간색, 녹색}과(와) 동일한 카디널리티를 갖는다.

정수 집합이나 합리적인 숫자의 집합과 같은 무한 집합이 있으면, 두 집합 사이의 편향의 존재는 증명하기가 더욱 어려워진다. 겉으로 보기에 이성적인 숫자들은 연속적인 가설에 대한 하나의 예를 형성한다: 정수는 이성들의 적절한 부분집합을 형성하며, 그것은 그들 스스로가 실재의 적절한 부분집합을 형성하기 때문에, 직관적으로, 이성적인 숫자보다 이성적인 숫자들이 더 많고, 실수가 더 많다. 그러나 이러한 직관적 분석은 결함이 있으며, 세 가지 세트가 모두 무한하다는 사실을 제대로 고려하지 않는다. 이성적인 숫자들은 실제로 정수와 일대일 대응으로 배치될 수 있고, 따라서 이성적인 숫자들의 집합은 정수들의 집합과 같은 크기(카디날리티)이다. 그들은 둘 다 셀 수 있는 집합이다.

칸토어는 정수 집합의 카디널리티가 실수 집합의 카디널리티보다 절대적으로 작다는 두 가지 증거를 제시했다(칸토어의 첫 번째 불가분 증명칸토어의 대각선 주장 참조). 그러나 그의 증거는 정수의 카디널리티가 실제 숫자의 카디널리티보다 어느 정도 낮은지 전혀 알 수 없다. 칸토르는 이 질문에 대한 가능한 해결책으로 연속 가설을 제안했다.

연속 가설은 실수의 집합이 정수 집합의 카디널리티보다 큰 가능한 최소 카디널리티를 가지고 있다고 말한다. 즉, 실수의 모든 집합인 S는 정수에 일대일로 매핑되거나 실수는 S에 일대일로 매핑될 수 있다. 그 진짜 숫자는 정수의 powerset과equinumerous, R=2ℵ 0{\displaystyle \mathbb{R}=2^{\aleph_{0}}}과 연속체 가설은엔 ℵ 0<>정해진 S{S\displaystyle}은;S<>2ℵ 0{\displaystyle \aleph_{0}<, S<>2^{\aleph_{0}}}. .

선택의 공리를 가정하면 }보다 큰 가장 작은 기수 {1{\ \01}가 있고 연속체 가설은 차례로 동등 = 2[5]1}에한다.

ZFC로부터의 독립

제르멜로-프라엔켈 집합론(ZF)으로부터 연속 가설(CH)의 독립성은 커트 괴델과 폴 코헨의 결합 작업에서 비롯된다.

괴델은[2] 선택의 공리(AC)를 채택(ZFC를 만드는 것)하더라도 CH를 ZF로부터 반증할 수 없다는 것을 보여주었다. 괴델의 증거는 CH와 AC가 ZF의 공리만을 가정하여 ZF 집합 이론의 내부 모델인 구성 가능한 우주 L을 보유하고 있음을 보여준다. ZF 자체가 일관성이 있다면 추가 공리가 ZF와 일치한다는 것을 보여주는 추가 공리가 있는 ZF의 내부 모델의 존재는 추가 공리가 ZF와 일치한다는 것을 보여준다. 괴델의 불완전성 이론 때문에 후자의 조건은 ZF 자체에서 증명될 수 없지만, 사실이라고 널리 믿어지고 있으며 더 강한 세트 이론으로 증명될 수 있다.

코헨은[4][6] CH가 ZFC 공리로부터 증명될 수 없다는 것을 보여줌으로써 전체적인 독립성 증명이 완성되었다. 코헨은 자신의 결과를 증명하기 위해 세트 이론의 표준 도구가 된 강제 방법을 개발했다. 본질적으로 이 방법은 CH가 보유하는 ZF의 모델에서 시작하여, CH가 새로운 모델에서 보유하지 않는 방식으로 원본보다 더 많은 세트를 포함하는 다른 모델을 구성한다. 코헨은 1966년에 그의 증거로 필즈 메달을 받았다.

방금 설명한 독립성 증명은 CH가 ZFC와는 독립적이라는 것을 보여준다. 추가 연구는 CH가 ZFC의 맥락에서 알려진 모든추기경 공리로부터 독립적이라는 것을 보여주었다.[7] 더구나 연속체의 카디널리티는 쾨니히의 정리와 일치하는 어떤 추기경이 될 수 있다는 것이 증명되었다. A result of Solovay, proved shortly after Cohen's result on the independence of the continuum hypothesis, shows that in any model of ZFC, if is a cardinal of uncountable cofinality, then there is a forcing extension in which . However, per König's thoorem, (가) Ω인 또는 1 \ 이라고 가정하는 것은 일관되지 않는다

연속체 가설은 분석, 점 집합 위상측정 이론의 많은 문장과 밀접하게 관련되어 있다. 그 독립의 결과로, 그 분야에서의 많은 실질적인 추측들이 그 후에 또한 독립적인 것으로 나타났다.

ZFC로부터의 독립은 ZFC 내에서 CH를 증명하거나 반증하는 것이 불가능하다는 것을 의미한다. 그러나 괴델과 코헨의 부정적인 결과는 연속 가설의 모든 관심을 처분하는 것으로 보편적으로 받아들여지지 않는다. 힐버트의 문제는 여전히 활발한 연구 주제로 남아있다; 우딘[8][9] 피터 쾰너에게[10] 현재 연구 현황에 대한 개요를 알아보세요.

연속체 가설은 ZFC에 독립적으로 나타난 첫 번째 진술이 아니었다. 1931년에 발표된 괴델의 불완전성 정리의 즉각적인 결과는 ZFC가 일관성이 있다고 가정하고 ZFC와 독립된 ZFC의 일관성을 나타내는 공식 성명(각 적절한 괴델 번호 매기기 체계마다 하나씩)이 있다는 것이다. 연속 가설과 선택의 공리는 ZF 세트 이론과 무관하다고 보여지는 첫 번째 수학적 진술들 가운데 하나였다.

연속체 가설의 찬반 논쟁

괴델은 CH가 거짓이며, CH가 ZFC와 일치한다는 그의 증거는 Zermelo-Fraenkel 공리가 집합의 우주를 적절하게 특성화하지 못한다는 것을 보여줄 뿐이라고 믿었다. 괴델은 평론가였기 때문에 증명가능성과는 무관하게 진술의 진실과 거짓을 주장하는 데 문제가 없었다. 코헨은 형식주의자였지만 CH를 거부하는 경향이 있었다.[11]

역사적으로, "부유하고 큰" 우주 세트를 선호하는 수학자들은 CH에 반대하는 반면, "니트"와 "통제 가능한" 우주를 선호하는 수학자들은 CH를 암시하는 구성성의 공리를 찬성하고 반대한다. 보다 최근에 매튜 포먼존재론적 극대주의가 실제로 CH를 지지하는 데 사용될 수 있다고 지적했는데, 이는 동일한 실물을 가진 모델들 중에서 "더 많은" 실물을 가진 모델들이 CH를 만족시킬 수 있는 더 나은 기회를 가지기 때문이다.[12]

또 다른 관점은 집합의 개념이 CH가 참인지 거짓인지를 판별하기에 충분히 구체적이지 않다는 것이다. 이러한 관점은 괴델의 첫 불완전성 정리 이전인 1923년 스콜렘에 의해 일찍이 진전되었다. 스콜렘은 현재 스콜렘의 역설로 알려진 것을 근거로 주장했고, 이러한 공리는 세트와 추기경의 기본적인 속성을 확립하기에 충분하기 때문에 나중에 ZFC의 공리로부터 CH의 독립에 의해 지지를 받았다. 이러한 관점에 반하여 주장하기 위해서는 직관에 의해 지탱되는 새로운 공리를 증명하고 CH를 한 방향 또는 다른 방향으로 해결하는 것으로 충분할 것이다. 구성성의 공리가 CH를 해결하지만, CH가 일반적으로 거짓으로 간주되는 이상 직관적으로 참이라고 간주되지 않는다.[13]

비록 이러한 공리들이 현재 수학계에서 폭넓게 수용되는 것을 발견하지 못하였지만, 연속체 가설에 시사하는 최소한 두 개의 다른 공리가 제안되었다. 1986년 크리스 프릴링은[14] CH의 부정은 확률에 대한 특정한 직관으로부터 도출된 진술인 프리링의 대칭 공리와 동등하다는 것을 보여줌으로써 CH에 반대하는 주장을 제시했다. 프레일링은 이 공리가 "직관적으로 사실"이라고 믿지만 다른 이들은 동의하지 않았다. W가 개발한 CH에 대한 어려운 논쟁. 휴 우딘은 2000년부터 상당한 관심을 끌었다.[8][9] 포먼은 우딘의 주장을 노골적으로 거부하지 않고 주의를 촉구한다.[15]

솔로몬 페퍼만은 CH가 확실한 수학 문제가 아니라고 주장해왔다.[16] 그는 한정된 정량자에 대해서는 고전적 논리를 수용하지만 무한정자에 대해서는 직관적 논리를 사용하는 ZF의 반직관적 하위시스템을 이용한 "정의" 이론을 제안하며, 반직관적 이론이 증명할 수 있다면 명제 은 수학적으로 "확실하다"고 제안한다 그는 CH가 이 개념에 따라 확실하지 않다고 추측하며, 따라서 CH가 진리값을 갖지 않는 것으로 간주되어야 한다고 제안한다. 피터 코엘너는 페퍼만의 기사에 대해 비판적인 논평을 썼다.[17]

Joel David Hamkins는 다중우주의 이론에 대한 다중우주의 접근방식을 제안하고 "연속 가설은 다중우주의 행동방식에 대한 우리의 광범위한 지식에 의해 다중우주의 관점에 정착되며, 그 결과 이전에 기대했던 방식으로 더 이상 정착될 수 없다"[18]고 주장한다. 이와 관련, 사하론 셀라는 "세트 이론의 흥미로운 문제들이 결정될 수 있다는 순수한 플라토닉 견해에 동의하지 않는다"고 썼다. 우리는 단지 추가적인 공리를 발견하기만 하면 된다. 제 정신은 우리가 ZFC에 부합하는 많은 가능한 이론들을 가지고 있다는 겁니다."[19]

일반화된 연속체 가설

The generalized continuum hypothesis (GCH) states that if an infinite set's cardinality lies between that of an infinite set S and that of the power set of S, then it has the same cardinality as either S or . That is, for any infinite cardinal < < 2 <\displaystyle \ GCH는 다음과 같다.

+ = α }}[5] 모든 서수 {\}}에 대해 내각적으로 칸토르의 알레프 가설이라고 함).

The beth numbers provide an alternate notation for this condition: for every ordinal . The continuum hypothesis is the special case for the ordinal . GCH was first suggested by Philip Jourdain.[20] GCH의 초기 역사는 무어를 참조하라.[21]

CH와 마찬가지로 GCH도 ZFC와 무관하지만, 시에르피에스키도 ZF + GCH가 선택(AC)의 공리(따라서 결정성의 공리, AD의 부정)를 함축하고 있으므로 선택과 GCH는 ZF에서 독립적이지 않으며, GCH가 유지되고 AC가 실패하는 ZF 모델은 없다. 이를 증명하기 위해, 시에르피에스키는 GCH가 모든 카디널리티 n이 일부 알레프 수보다 작으므로 주문할 수 있음을 암시한다는 것을 보여주었다. This is done by showing that n is smaller than which is smaller than its own Hartogs number—this uses the equality ; for the full proof, see Gillman.[22]

쿠르트 괴델은 GCH가 ZF + V=L(모든 세트가 서수들에 비해 구성 가능하다는 공리)의 결과물이며 따라서 ZFC와 일치한다는 것을 보여주었다. GCH가 CH를 암시하듯이 CH가 실패하는 코헨의 모델은 GCH가 실패하는 모델이기 때문에 GCH는 ZFC에서 증명할 수 없다. W. B. Easton used the method of forcing developed by Cohen to prove Easton's theorem, which shows it is consistent with ZFC for arbitrarily large cardinals to fail to satisfy . 훨씬 후의, 포어맨과 Woodin이(매우 큰 추기경들의 일관성을 가정해)이 2κ 을 일치한다;κ+{\displaystyle 2^{\kappa}>, \kappa ^{+}}모든 무한한 카디널 κ{\displaystyle \kappa}에서나 있다. 그 뒤에 Woodin x2κ의 일관성 κ++{\displays을 보여 줌으로써 이런 확장된 것을 증명했다.tyle마다{\ 카미 메리모비치는[23]n≥에 대해 2가κ κ의 n번째 후계자라는 것이 ZFC와 일치한다는 것을 보여주었다. 반면 파타이[24] 라슬로는 만약 γ이 서수이고 각 무한 추기경 κ에 대해 2가κ κ의 γ번째 후계자라면 γ은 유한하다는 것을 증명했다.

무한 집합 A와 B의 경우, A에서 B로 주사를 맞으면 A의 하위 집합에서 B의 하위 집합으로 주사를 맞힌다. Thus for any infinite cardinals A and B, . If A and B are finite, the stronger inequality holds. GCH는 이 엄격하고 강한 불평등이 유한한 추기경뿐만 아니라 무한의 추기경들을 지탱하고 있음을 암시한다.

GCH가 주요 지수에 미치는 영향

일반화된 연속체 가설은 2를 베이스로 하는 추기경 지수를 직접적으로 언급할 뿐이지만, 그것으로부터 모든 경우에 있어서 추기경 지수의 값 α 을 추론할 수 있다. GCH는 다음을 암시한다.[25]

α = = + 1 \aleph }^{\1α β+1;
when β+1 < α and , where cf is the cofinality operation; and
when β+1 < α and .

첫 번째 동일성(αβ+1)은 다음과 같다.

그 동안:
+ = α

세 번째 동일성(β+1 < () 은 다음과 같다

, by König's theorem, while:

Where, for every γ, GCH is used for equating and ; is used as it is equivalent to the axiom of choice.

참고 항목

참조

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원천

추가 읽기

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외부 링크