순서론

Order theory
주제별 가이드는 순서 이론 개요를 참조하십시오.

순서론은 이원 관계를 이용하여 질서의 직관적인 개념을 조사하는 수학의 한 분야이다.이것은 "이것은 저것보다 작다" 또는 "이것보다 앞선다"와 같은 문장을 기술하기 위한 공식적인 프레임워크를 제공합니다.이 문서에서는 필드에 대해 소개하고 기본적인 정의를 제공합니다.순서 이론 용어의 목록은 순서 이론 용어집에서 찾을 수 있습니다.

배경과 동기

순서는 수학과 컴퓨터 공학 같은 관련 분야 어디에나 있다.초등학교에서 자주 논의되는 첫 번째 순서는 자연수의 표준 순서입니다. 예를 들어, "2는 3보다 작다", "10은 5보다 크다", 또는 "Tom은 Sally보다 쿠키를 적게 가지고 있는가?"입니다.이 직관적인 개념은 정수나 실수와 같은 다른 숫자의 집합의 차수로 확장될 수 있습니다.다른 숫자보다 크거나 작다는 개념은 일반적으로 숫자 체계(숫자 체계와 비교)의 기본적인 직관 중 하나이다.어순의 다른 친숙한 예로는 사전의 단어 알파벳 순서와 사람들의 집단 내 직계 혈통의 계보를 들 수 있다.

질서의 개념은 매우 일반적이며, 순서 또는 상대량에 대한 즉각적이고 직관적인 느낌을 가진 문맥을 넘어 확장됩니다.다른 맥락에서 명령은 봉쇄 또는 전문화의 개념을 포착할 수 있습니다.추상적으로, 이러한 유형의 순서는 부분집합 관계에 해당된다. 예를 들어, "소아과 의사는 의사이다", "원은 단지 특수한 경우 생략형일 뿐이다."

자연수의 "보다 작음"이나 단어의 알파벳 순서와 같은 일부 순서는 특별한 특성을 가지고 있습니다. 즉, 각 요소는 다른 모든 요소와 비교될 수 있습니다. 즉, 보다 작거나(나중에), 또는 보다 크거나 같습니다.그러나 다른 많은 주문은 그렇지 않습니다.예를 들어, 집합 집합의 부분 순서: 새 집합과 개 집합은 모두 동물 집합의 부분 집합이지만, 새와 개는 다른 집합의 부분 집합을 구성하지 않는다.비교할 수 없는 요소가 존재하는 "하위 집합" 관계와 같은 순서를 부분 순서라고 합니다.모든 요소의 쌍이 비교 가능한 순서는 총 순서입니다.

질서론은 일반적인 환경에서 그러한 예로부터 발생하는 질서의 직관을 포착한다.이것은 관계 θ가 수학적 순서여야 하는 속성을 지정함으로써 달성됩니다.이 보다 추상적인 접근방식은 매우 타당합니다. 왜냐하면 어떤 특정한 질서의 세부사항에 초점을 맞추지 않고도 일반적인 환경에서 수많은 이론들을 도출할 수 있기 때문입니다.이러한 통찰력은 추상적이지 않은 애플리케이션으로 쉽게 이전할 수 있습니다.

광범위한 실용적인 순서 사용에 의해 수많은 특별한 종류의 순서 집합이 정의되었으며, 그 중 일부는 그들만의 수학 분야로 성장했다.또한, 질서 이론은 질서 관계의 다양한 등급에 제한되지 않고, 그들 사이의 적절한 기능도 고려합니다.함수에 대한 순서 이론 속성의 간단한 예는 단조 함수가 자주 발견되는 분석에서 나온 것입니다.

기본 정의

이 섹션에서는 집합론, 산술 및 이진 관계 개념을 바탕으로 순서 집합을 소개합니다.

부분 순서 세트

순서는 특수한 이진 관계입니다.P가 집합이고 θ가 P에 대한 관계라고 가정하자(집합에 대한 관계'는 '거주자 간의 관계'를 의미한다.다음으로 θ는 반사적, 반대칭적, 전이적, 즉 P의 모든 a, b 및 c에 대해 다음과 같은 부분 순서입니다.

a (비활성)
a ≤ b 및 b ≤ a이면 a = b(대칭성)
a b b 및 b ≤ c일 경우 a c c(비활성)입니다.

부분 순서가 있는 집합을 의도한 의미가 명확할 경우 부분 순서 집합, 포셋 또는 그냥 순서 집합이라고 합니다.이러한 성질을 확인함으로써 자연수, 정수, 유리수, 실수에 대한 잘 알려진 차수가 모두 위와 같은 차수임을 즉시 알 수 있다.단, 이들 예에서는 임의의 2개의 요소가 비교 가능하다는 추가 특성이 있습니다.즉, P의 모든 a와 b에 대해 다음과 같은 특성이 있습니다.

a b b 또는 b aa.

이 속성이 포함된 부분 주문을 전체 주문이라고 합니다.이러한 순서를 선형 순서 또는 체인이라고도 합니다.익숙한 순서가 대부분 선형이지만 집합의 부분 집합 순서는 그렇지 않은 예를 제공합니다.또 다른 예는 나눗셈성(또는 "is-a-factor-of") 관계에 의해 제시됩니다.두 자연수 n과 m에 대해 n이 m을 나머지 없이 나누면 n m으로 쓴다.이것이 부분적인 순서를 낳는다는 것을 쉽게 알 수 있다.임의의 집합에서 항등 관계 =는 두 개의 서로 다른 요소가 모두 비교할 수 없는 부분 순서이기도 합니다.또한 부분 순서와 등가 관계인 유일한 관계이기도 합니다.포셋의 많은 고급 특성은 주로 비선형 차수에 대해 흥미롭다.

포셋 시각화

60의 모든 제수 집합의 Hasse 다이어그램, 부분적으로 제수로 정렬됨

해시 다이어그램은 부분 주문의 요소와 관계를 시각적으로 나타낼 수 있습니다.이는 정점이 포셋의 요소이고 순서 관계가 정점의 모서리와 상대적인 위치로 나타나는 그래프 도면입니다.순서는 상향식으로 작성됩니다.요소 x가 (선행)y보다 작을 경우 x에서 y로 향하는 경로가 존재합니다.종종 요소를 연결하는 가장자리가 서로 교차해야 하지만 요소를 가장자리 내에 배치해서는 안 됩니다.유익한 연습은 (나눗셈 관계)에 의해 정렬된 13보다 작거나 같은 자연수 집합에 대한 Hasse 도표를 그리는 것입니다.

일부 무한 집합도 유한한 하위 차수에 줄임표(...)를 겹쳐서 그릴 수 있습니다.이것은 자연수에서는 잘 작동하지만, 0보다 큰 직계승자가 없는 실수에서는 실패하지만, 비슷한 종류의[vague] 다이어그램과 관련된 직관을 얻을 수 있는 경우가 꽤 많습니다.

주문 내 특수 요소

부분적으로 순서가 매겨진 세트에는 특별한 역할을 하는 요소가 있을 수 있습니다.가장 기본적인 예는 포셋의 최소 요소에 의해 제시됩니다.예를 들어, 1은 양의 정수 중 가장 작은 요소이고 빈 집합은 부분 집합 순서에서 가장 작은 집합입니다.형식적으로 요소 m은 다음과 같은 경우 최소 요소이다.

m a a, 주문의 모든 요소 a에 대하여.

0이라는 표기는 숫자와 관련이 없는 경우에도 최소 요소에 대해 자주 사용됩니다.그러나 숫자 집합의 순서에서는 숫자 0이 항상 최소인 것은 아니기 때문에 이 표기는 부적절하거나 애매할 수 있습니다.위의 나눗셈 순서에서 예를 제시하겠습니다.여기서 1은 다른 모든 숫자를 나눕니다.반대로 0은 다른 모든 숫자로 나누어진 숫자입니다.그러므로 그것은 그 질서의 가장 위대한 요소이다.최소 및 최대 원소에 대한 다른 자주 사용되는 용어는 바닥과 상단 또는 0과 단위입니다.

실수의 예에서 알 수 있듯이 최소 및 최대 요소는 존재하지 않을 수 있습니다.하지만 그들이 존재한다면, 그들은 항상 특별합니다.반대로 집합 {2,3,4,5,6}의 나눗셈 관계를 고려하십시오.이 세트에는 위아래가 없지만 요소 2, 3, 5에는 아래 요소가 없고 4, 5, 6에는 위 요소가 없습니다.이러한 요소를 최소 및 최대라고 합니다.형식적으로 다음과 같은 경우 요소 m은 최소이다.

µm은 순서의 모든 요소 a에 대해 = m을 의미합니다.

with과 yields를 교환하면 최대값의 정의가 나타납니다.예에서 보듯이, 많은 최대 요소가 있을 수 있으며 일부 요소는 최대 및 최소가 될 수 있습니다(예: 위의 5).단, 최소 요소가 있는 경우 이 요소는 순서의 유일한 최소 요소입니다.다시, 무한 포즈에서 최대 요소는 항상 존재하는 것은 아닙니다. 즉, 서브셋 포함에 의해 순서가 지정된 무한 집합의 모든 유한 부분 집합 집합 집합 집합 집합은 많은 반례 중 하나를 제공합니다.특정 조건에서 최대 원소의 존재를 보증하는 중요한 도구는 조른의 레마입니다.

부분적으로 순서가 지정된 집합의 하위 집합이 순서를 상속합니다.우리는 이미 자연수의 부분집합 {2,3,4,5,6}을(를) 유도 나눗셈순서로 고려하여 이것을 적용했다.이제 순서의 일부 하위 집합과 관련하여 특별한 포셋 요소도 있습니다.이를 통해 상한이 정의됩니다.일부 포지트 P의 부분 집합 S가 주어졌을 때, S의 상한은 S의 모든 요소 위에 있는 P의 요소 b이다.형식적으로 이것은

s µ b(S의 모든 s에 대해서).

하한을 다시 정의하려면 순서를 반전합니다.예를 들어 -5는 정수의 부분 집합으로서 자연수의 하한입니다.집합 집합이 주어진 경우, 부분 집합 순서 하의 집합의 상한이 결합에 의해 주어집니다.사실, 이 상한은 매우 특별합니다. 모든 세트를 포함하는 가장 작은 집합입니다.따라서 집합 집합의 최소 상한을 찾았습니다.이 개념은 supremum 또는 join이라고도 하며 세트S의 경우 최소 상한을 sup(S) 또는 Sstyle \ S로 표기합니다.반대로, 최대 하한은 infimum 또는 meet로 알려져 inf(S) S(\ S로 표시됩니다.이러한 개념은 순서 이론의 많은 응용에서 중요한 역할을 합니다.2개의 요소 와 y에는 각각 sup({x,y})과 inf({x,y})에 대해 x yx y를 .

예를 들어, 1은 정수의 부분 집합으로서 양의 정수 중 최소값입니다.

다른 예로 자연수에 대한 관계를 다시 생각해 보겠습니다.두 숫자의 최소 상한은 두 숫자에 의해 나누어진 가장 작은 수, 즉 숫자의 최소 공배수입니다.가장 큰 하한이 최대 공약수로 주어집니다.

이중성

이전 정의에서는 이전 정의의 순서를 뒤집는 것만으로 개념을 정의할 수 있다는 점을 자주 언급했습니다.이는 "최소"와 "최고"의 경우, "최소"와 "최대"의 경우, "상한"과 "하한"의 경우 등에 해당합니다.이것은 순서 이론의 일반적인 상황입니다: 주어진 순서는 방향을 바꾸는 것만으로 반전될 수 있습니다.그림적으로 하세 도표를 하향식으로 뒤집습니다.이는 이른바 이중, 역순 또는 역순서를 생성합니다.

모든 질서 이론의 정의에는 이중성이 있습니다. 즉, 역순서에 정의를 적용함으로써 얻게 되는 개념입니다.모든 개념은 대칭이기 때문에 이 연산은 부분 차수의 정리를 보존합니다.주어진 수학적 결과에 대해 순서를 뒤집고 모든 정의를 이중으로 대체하면 또 다른 유효한 정리를 얻을 수 있다.이것은 하나의 가격에 두 개의 정리를 얻을 수 있기 때문에 중요하고 유용하다.순서론의 이중성에 관한 기사에서 더 많은 세부사항과 예를 찾을 수 있다.

신규 주문 구성

주어진 주문에서 주문을 구성하는 방법은 여러 가지가 있습니다.이중 순서는 하나의 예입니다.또 다른 중요한 구성은 두 개의 부분 순서 집합의 데카르트 곱으로, 요소 쌍에 대한 곱 순서와 함께 취합된다.순서는 (a, x) ( (b, y) if (및 if) if (및 if) if (및 if) if (및 if) if (이 정의에서 관계 기호 in에 세 가지 다른 의미가 있음을 주의해 주십시오.)두 포셋의 분리 결합은 주문 구성의 또 다른 전형적인 예입니다. 여기서 주문은 원래 주문의 (분리된) 결합일 뿐입니다.

각 부분 순서 「」는, a< b를 b가 아닌 a로 정의함으로써, 이른바 엄밀한 순서<가 됩니다.이 변환은 a < b 또는 a = b일 경우 µ b를 설정하여 반전할 수 있습니다.두 개념은 동일하지만 상황에 따라서는 한 개념이 다른 개념보다 더 편리할 수 있습니다.

주문간 기능

두 세트의 순서 관계에 관련된 특정 추가 속성을 가진 부분 순서 집합 간의 함수를 고려하는 것이 합리적입니다.이 문맥에서 발생하는 가장 기본적인 조건은 단조로움입니다.poset P에서 poset Q로의 함수 f는 p의 θ b가 Q의 f(a) θ f(b)를 의미할 경우 단조롭거나 순서가 유지된다(여기서 두 관계는 서로 다른 세트에 적용되므로 엄밀하게는 다르다).이 암시의 반작용은 순서반영적인 함수, 즉 f(a) f f(b)가 b b를 의미하는 위와 같은 함수 f로 이어진다.한편, a가 f(a) f f(b)를 의미할 경우, 함수는 순서 반전 또는 반음일 수도 있다.

순서 포함은 순서 유지와 순서 반영을 모두 하는 순서 사이의 함수 f입니다.이러한 정의의 예는 쉽게 찾을 수 있습니다.예를 들어, 자연수를 후속수에 매핑하는 함수는 자연 순서에 대해 단조로운 것이 분명합니다.이산 순서, 즉 항등 순서 "="로 정렬된 집합의 함수 또한 단조롭다.각 자연수를 대응하는 실수에 매핑하는 것은 순서 삽입의 예를 제공한다.파워셋의 집합 보완은 안티톤 함수의 예입니다.

중요한 질문은 두 주문이 "본질적으로 동일한" 경우, 즉 요소의 이름 변경까지 동일한 경우입니다.순서 동형은 이러한 이름을 정의하는 함수입니다.순서 동형은 단조 반전을 갖는 단조 분사 함수이다.이것은 불사적 명령의 포함과 같습니다.따라서 순서 매립의 화상 f(P)는 항상 P와 동형이며, 이것은 「포함」이라는 용어를 정당화한다.

보다 정교한 유형의 함수는 이른바 갈로아 연결로 제공됩니다.단조 갈로아 접속은 순서 동형의 일반화로 볼 수 있다.왜냐하면 그것들은 역방향의 두 함수의 쌍으로 구성되기 때문이다.이 쌍은 서로 "완전히" 반비례하지만, 여전히 밀접한 관계를 가지고 있다.

포셋에 대한 또 다른 특수 유형의 자가 변형은 폐쇄 연산자로, 단조롭기만 한 것이 아니라, f(x) = f(f(x))와 확장(또는 인플레이션), 즉 x ( f(x)이것들은 수학에서 나타나는 모든 종류의 "닫힘"에 많은 응용이 있다.

단순한 순서 관계와 양립할 수 있을 뿐만 아니라, Poset간의 기능은 특수한 요소나 구조에 관해서도 잘 동작할 수 있다.예를 들어, 최소 요소를 가진 포셋에 대해 이야기할 때, 이 요소를 보존하는 단조 함수, 즉 최소 요소를 최소 요소에 매핑하는 단조 함수만 고려하는 것이 타당해 보일 수 있습니다.이항 인피마 δ가 존재하는 경우 모든 x와 y에 대해 f(x y y) = f(x) f f(y)를 요구하는 것이 합리적 특성일 수 있습니다.이러한 모든 특성, 그리고 실제로 더 많은 특성은 한계 보존 함수의 레이블로 컴파일될 수 있습니다.

마지막으로 순서를 바꾸는 기능에서 순서를 바꾸는 것으로, 뷰를 반전할 수 있습니다.실제로 두 포셋 P와 Q 사이의 함수는 점순서로 정렬할 수 있다.두 함수 f와 g에 대해, 우리는 f(x) ≤ g if f(x) g g(x)를 P의 모든 원소 x에 대해 갖는다.이것은 예를 들어 함수 공간이 중요한 역할을 하는 도메인 이론에서 발생합니다.

특수 주문 유형

순서 이론에서 연구되는 많은 구조들은 추가적인 성질을 가진 순서 관계를 사용한다.사실, 일부 명령이 아닌 일부 관계도 특별한 관심사가 됩니다.주로 선주문 개념이 언급되어야 한다.사전 순서는 반사적이고 과도적이지만 반드시 반대칭일 필요는 없는 관계입니다.각 프리오더는 a b b 및 b a a의 경우 a가 b에 상당하는 요소 간에 동등성 관계를 유도한다.이 관계에 관해 동등한 모든 요소를 식별함으로써 프리오더를 차수로 변환할 수 있다.

주문 항목의 수치 데이터에서 여러 가지 순서를 정의할 수 있다. 즉, 총 주문은 각 항목에 서로 다른 실수를 붙이고 해당 항목의 순서를 비교함으로써 이루어진다.대신 서로 다른 항목이 동일한 수치 점수를 갖는 것이 허용되면 완전히 약한 순서를 얻을 수 있다.비교하기 전에 두 점수를 고정된 임계값으로 분리하도록 요구하면 반값의 개념이 생기며, 항목별로 임계값이 변동하도록 허용하면 간격 순서가 생성됩니다.

단순하지만 유용한 추가 속성은 비어 있지 않은 모든 하위 집합이 최소 요소를 갖는 이른바 근거가 있는 것으로 이어집니다.선형 순서에서 부분 순서로 잘 정리하면, 빈 부분 집합이 아닌 모든 부분 집합이 유한한 수의 최소 요소를 가질 경우 집합이 부분적으로 잘 정렬됩니다.

다른 많은 종류의 명령은 특정 집합의 인피마와 슈프리마의 존재가 보장될 때 발생합니다.일반적으로 주문의 완전성이라고 불리는 이 측면에 초점을 맞추면 다음을 얻을 수 있습니다.

  • 유계 포셋, 즉 최소 및 최대 요소를 가진 포셋(빈 서브셋의 최상부 및 최소부)
  • 격자는 비어있지 않은 모든 유한 집합이 최고와 최저를 갖는 것이다.
  • 완전 격자, 모든 세트에는 최고와 최저가 있고
  • 유도 부분 명령(dcpos)은 모든 유도 부분 집합의 존재를 보장하고 도메인 이론에서 연구됩니다.
  • 보수가 있는 부분 순서 또는 poc [1]세트는 a a . \ a a \ a =0 . ==== a 0 .\ displaystylea = 0 .

그러나 한 걸음 더 나아가 모든 유한한 비공백 인피마가 존재한다면, θ는 보편대수의 의미에서 총이항연산으로 볼 수 있다.따라서 격자에서는 두 가지 연산 θ와 θ를 사용할 수 있으며 다음과 같은 동일성을 제공하여 새로운 속성을 정의할 수 있습니다.

모든 x, y 및 z에 대해 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)입니다.

이 상태를 분포도라고 하며 분포 격자를 발생시킵니다.질서 이론의 분배성에 관한 기사에서 논의되는 몇 가지 중요한 분배 법칙들이 있다.대수 연산과 정의 항등식을 통해 종종 지정되는 몇 가지 추가 순서 구조는 다음과 같다.

둘 다 부정이라고 불리는 새로운 작업을 도입합니다.두 구조 모두 수학 논리학에서 역할을 하며, 특히 부울 대수는 컴퓨터 과학에서 주요 응용 분야를 가지고 있습니다.마지막으로, 수학의 다양한 구조는 퀀텀ales의 경우와 같이 순서를 훨씬 더 대수적인 연산과 결합하여 덧셈 연산의 정의를 가능하게 한다.

포셋의 다른 많은 중요한 특성들이 존재한다.예를 들어 포셋 내의 모든 닫힌 간격[a, b]이 유한한 경우 포셋은 로컬로 유한합니다.국소적으로 유한 포셋은 유한 유계 포셋의 오일러 특성을 정의하는 데 사용될 수 있는 발생 대수를 생성한다.

정렬된 집합의 하위 집합

순서부 집합에서는, 소정의 순서에 근거해 많은 타입의 특수 서브 세트를 정의할 수 있습니다.단순한 예는 상위 집합입니다. 즉, 상위 집합 위에 있는 모든 요소를 순서대로 포함하는 집합입니다.형식적으로, P에서의 집합 S의 위쪽 닫힘은 P에서의 집합 {x}에 의해 주어지며, S의 y는 y ≤ x이다.위쪽 폐쇄와 동일한 집합을 위쪽 집합이라고 합니다.하위 세트는 이중으로 정의됩니다.

더 복잡한 하위 집합은 이상이며, 이상에는 각각의 두 요소가 이상 내에서 상한을 갖는 추가 특성이 있습니다.그들의 이중은 필터로 주어진다.관련 개념은 방향 서브셋의 개념으로, 이상과 마찬가지로 유한 서브셋의 상한을 포함하지만 하위 집합일 필요는 없습니다.또한, 이는 종종 사전 주문 집합으로 일반화됩니다.

부분 집합으로서 선형 순서인 부분 집합을 사슬이라고 한다.반대 개념인 반체인(antichain)은 비교할 수 있는 두 가지 요소가 없는 부분 집합이다. 즉, 이산 순서이다.

관련 수리 영역

대부분의 수학 영역은 순서를 하나 또는 다른 방법으로 사용하지만, 단순한 적용을 훨씬 넘어서는 관계를 가진 몇몇 이론들도 있다.질서 이론과 관련된 주요 접점과 함께 이들 중 일부를 아래에 제시합니다.

유니버설 대수

이미 언급했듯이, 보편대수의 방법과 형식주의는 많은 질서 이론적인 고려를 위한 중요한 도구이다.특정한 동일성을 만족시키는 대수적 구조의 관점에서 순서를 공식화하는 것 외에도, 대수학과의 다른 연관성도 확립할 수 있다.예를 들어 부울 대수와 부울링 사이의 대응으로 볼 수 있습니다.다른 문제는 주어진 발전기 집합에 기초한 자유 격자와 같은 자유 구성의 존재와 관련이 있다.더욱이, 폐쇄 연산자는 보편 대수 연구에서 중요하다.

토폴로지

토폴로지에서는 순서가 매우 중요한 역할을 합니다.사실, 열린 집합의 집합은 완전한 격자, 더 정확히는 완전한 헤이팅 대수(또는 "프레임" 또는 "로케일")의 고전적인 예를 제공한다.필터와 그물은 순서 이론과 밀접하게 관련된 개념이며 집합의 폐쇄 연산자를 사용하여 위상을 정의할 수 있습니다.이러한 관계를 넘어, 토폴로지는 개방 집합 격자의 관점에서만 볼 수 있으며, 이는 무의미한 토폴로지의 연구로 이어진다.또, 토폴로지의 기초 세트의 요소의 자연적 사전 순서는, 이른바 특화 순서, 즉 토폴로지가 T인0 경우에는, 실제로는 부분 순서이다.

반대로 순서론에서는 위상 결과를 이용하는 경우가 많다.열린 토폴로지 세트로 간주할 수 있는 순서의 서브셋을 정의하는 방법은 다양합니다.포셋(X, θ) 상의 토폴로지를 고려하여 θ를 전문화 순서로서 유도하는 가장 좋은 토폴로지는 알렉산드로프 토폴로지로, 모든 상위 세트를 오픈으로 한다.반대로, 전문화 순서를 유도하는 가장 거친 위상은 상위 위상이며, 서브베이스로서 주요 이상(즉, 일부 x의 경우 {y in X y x x} 형식의 집합)의 보완을 가진다.또한 특화 차수가 θ인 토폴로지는 순서 정합성이 있을 수 있으며, 이는 오픈 세트가 θ에 대해 "directed suprema"에 의해 접근 불가능함을 의미한다.순서 정합성이 가장 뛰어난 토폴로지는 Scott 토폴로지로 Alexandrov 토폴로지보다 거칠습니다.이 정신에서 세 번째 중요한 토폴로지는 로슨 토폴로지입니다.이러한 토폴로지와 질서 이론의 개념 사이에는 밀접한 관계가 있습니다.예를 들어, 함수는 스콧 토폴로지에 관해 연속적인 경우에만 지향성 우위성을 보존합니다(이 때문에 이 순서의 이론적 특성은 스콧-연속성이라고도 불립니다).

범주론

Hasse 도표를 사용한 주문의 시각화는 간단한 일반화를 통해 큰 요소 아래에 작은 요소를 표시하는 대신 그래프의 가장자리에 방향을 지정하여 주문의 방향을 표시할 수 있습니다.이와 같이 각 순서는 유도 비순환 그래프와 동등하다고 간주됩니다.여기서 노드는 포셋의 요소이며 a에서 b로의 유도 경로가 존재하는 것은 a. b. 비순환 요건을 폐기하면 모든 사전 주문도 얻을 수 있습니다.

모든 전이 가장자리를 갖춘 경우, 이러한 그래프는 특수 범주일 뿐이며, 여기서 요소는 객체이고 두 요소 사이의 각 형태소 집합은 최대 단일 항목입니다.주문 간 함수는 범주 간 함수가 됩니다.질서가론의 많은 생각들은 단지 작은 범주이론의 개념일 뿐이다.예를 들어, 최소값은 단지 범주형 곱입니다.보다 일반적으로, 범주적 한계(또는 콜리밋)라는 추상적 개념 하에서 인피마와 슈프리마를 포착할 수 있다.범주형 아이디어가 발생하는 또 다른 장소는 (단일음) 갈로아 연결의 개념으로, 한 쌍의 인접 함수와 동일합니다.

그러나 범주 이론은 더 큰 규모의 질서 이론에도 영향을 미칩니다.위에서 설명한 바와 같이 적절한 기능을 가진 포셋의 클래스는 흥미로운 범주를 형성합니다.제품 주문과 같은 주문 구성을 범주별로 설명할 수도 있습니다.차수의 범주가 다른 범주(예: 위상 공간)와 범주적으로 동일한 경우 추가적인 통찰력이 발생합니다.이 연구 라인은 다양한 표현 이론으로 이어지며, 종종 스톤 이중성의 레이블로 수집됩니다.

역사

앞에서 설명한 바와 같이, 수학에서 순서는 어디에나 있습니다.그러나 부분 명령에 대한 최초의 명시적 언급은 아마도 19세기 이전에 발견될 것이다.이런 맥락에서 조지 불의 작품은 매우 중요하다.게다가 찰스 샌더스 피어스, 리하르트 데데킨드, 에른스트 슈뢰더의 작품들 또한 질서론의 개념을 고려했다.

질서 기하학의 기여자는 1961년 교과서에 기재되어 있다.

1882년 패쉬가 처음으로 질서의 기하학이 측량을 고려하지 않고 개발될 수 있다고 지적한 것이다.그의 공리 체계는 페아노, 힐베르트, 베블렌에 의해 점차 개선되었다.

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1901년 버트런드 러셀은 시리즈의 생성을 통해 아이디어의 기초를 탐구하는 [2]"질서의 개념에 대하여"를 썼다.그는 수학의 원리 (1903)의 4부에서 그 주제로 돌아왔다.러셀은 이항관계 aRb가 a에서 b로 진행되는 감각과 반대의 의미를 갖는 역관계, 그리고 감각은 "질서와 급수의 원천"이라고 언급했다.(p 95) 그는 임마누엘[3] 칸트가 "논리적인 반대와 긍정과 부정의 반대 사이의 차이를 알고 있었다"는 것을 인정한다.그는 칸트가 "비대칭 관계의 논리적 중요성에 대해 처음 주의를 환기시켰기 때문에" 칭찬받을 만하다고 썼다.

부분 순서 집합의 줄임말인 포셋이라는 용어는 Garrett Birkhoff에 의해 그의 영향력 있는 책인 Ratites [4][5]Theory의 제2판에서 만들어졌습니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Roller, Martin A. (1998), Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem (PDF), Southampton Preprint Archive, archived from the original (PDF) on 2016-03-04, retrieved 2015-01-18
  2. ^ 버트랜드 러셀(1901) 마인드 10(2)
  3. ^ 임마누엘 칸트 (1763) 베르수흐 덴 베그리프 데 네가티븐 그로세 인 다이 웰트웨이시스하이트 에인주푸렌
  4. ^ Birkhof 1940, 페이지 1
  5. ^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)". jeff560.tripod.com.

레퍼런스

외부 링크

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