요인 함수의 확장
감마 실제 축의 일부를 따라 감마 함수를 표시합니다.
일반정의 Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma(z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt} 응용분야 미적분학, 수리해석학, 통계학, 물리학
수학 에서 감마 함수(Gamma function, 그리스 알파벳 의 대문자 감마 인 γ로 표시됨)는 복소수 에 대한 요인 함수 의 일반적인 확장입니다.감마 함수는 양이 아닌 정수를 제외한 모든 복소수에 대해 정의됩니다. 모든 양의 정수 n 에 대하여,
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! . {\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)!\",}
다니엘 베르누이(Daniel Bernouli )가 유도한 양의 실수 부분을 갖는 복소수의 경우, 감마 함수는 수렴 부적절 적분 을 통해 정의됩니다.
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t , ℜ ( z ) > 0 . {\displaystyle \Gamma(z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}{\text{d}}t,\qquad \Re(z)>0\",}
그러면 감마 함수는 함수가 단순 극 을 갖는 0과 음의 정수를 제외한 모든 복소 평면에서 동형 인 메로포름 함수 에 대한 이 적분 함수의 분석적 연속 으로 정의됩니다.
감마 함수는 0이 없으므로 역수 감마 함수 1 / (z ) 전체 함수 입니다. 사실, 감마 함수는 음의 지수 함수의 멜린 변환 에 해당합니다.
Γ ( z ) = M { e − x } ( z ) . {\displaystyle \Gamma(z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,}
요인 함수의 다른 확장이 있지만 감마 함수가 가장 일반적이고 유용합니다. 그것은 다양한 확률-분포 함수의 구성요소이며, 따라서 그것은 결합학뿐만 아니라 확률 과 통계학 분야에서도 적용 가능합니다.
동기 x 1 {\displaystyle Gamma(x+1)} ( 감마 함수는 다음과 같은 보간 문제의 해결책으로 볼 수 있습니다.
"x 에 대한 양의 정수 값에서 y (x - 1)! 에 의해 주어진 점 (x ,y )매끄러운 곡선을 구하세요." 처음 몇 개의 요인에 대한 그림을 보면 이러한 곡선을 그릴 수 있음을 알 수 있지만, x의 크기 에 의존하지 않는 곡선을 정확하게 설명하는 공식을 갖는 것이 좋습니다. 요인 공식 인 x! = 1 × 2 × ⋯ × x 는 x가 자연수 (또는 양의 정수)일 때만 유효하므로 x 의 비 integer 값에 직접 사용할 수 없습니다.상대적으로 말하면 인수에 대한 간단한 풀이는 없습니다. x! 를 표현하는 데에는 합, 곱, 거듭제곱, 지수함수 또는 로그 의 유한한 조합이 충분하지 않습니다. 그러나 미적분학 의 적분 및 한계 와 같은 도구를 사용하여 인수에 대한 일반적인 공식을 찾는 것은 가능합니다. 이에 대한 좋은 해결책은 감마 함수입니다.[1]
요인을 비정수까지 연속적으로 무한히 확장할 수 있습니다. 고립된 점 집합을 통해 무한히 많은 곡선을 그릴 수 있습니다. 감마 함수는 (양 이 아닌 정수를 제외하고) 분석적인 가장 유용한 솔루션이며 몇 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있습니다. 그러나 정수 m에 대한 k sin m x 와 같이 양의 정수에 0인 분석 함수를 추가하면 해당 속성을 가진 다른 함수가 제공되기 때문에 요인을 확장하는 유일한 분석 함수는 아닙니다. 이러한 함수는 유사감마 함수 로 알려져 있으며, 가장 유명한 것이 하다마드 함수입니다.[2]
파란색의 감마 함수인 γ(z )는 녹색의 γ(z ) + sin( πz )과 함께 표시됩니다. 양의 정수에서 교차점을 주목합니다. 둘 다 요인과 비정수에 대한 유효한 분석 연속입니다. 위의 보간을 만족시키는 것보다 더 제한적인 성질은 계승 함수의 번역된 버전을 정의하는 재발 관계 를 만족시키는 것입니다.[3] [4]
f ( 1 ) = 1 , {\displaystyle f(1)=1,} f ( x + 1 ) = x f ( x ) , {\displaystyle f(x+1)=xf(x),}
임의의 양의 실수 x 에 대하여. 그러나 이것은 함수 g x ) e x g (0)1 에 대하여 g (x ) = g (x +1)g (x 보어-몰러업 정리에서 나옵니다. f 대수적 으로 볼록하다는 조건 (또는 ln {\displaystyle \ln \circ f} 볼록하다는 의미의 "super-convex")을 추가하면 양의 실제 입력에 대해 f 여기서 f 의 고유한 분석 연속 을 사용하여 감마 함수를 모든 실수 값과 복소수 값(음의 정수 및 0 제외)으로 확장할 수 있습니다.[6]
정의. 주정의 표기법 γ( z ) displaystyle Gamma(z)} Legendre 에 기인합니다. 복소수 z 의 실수 부분이 엄밀하게 양수일 경우( ℜ( z ) 0 {\displaystyle \Re(z) 0 적분
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma(z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt}
절대적 으로 수렴하며, 두 번째 종류 의 오일러 적분 이라고 합니다. (엘러의 첫 번째 종류의 적분은 베타 함수입니다.[1] 부품별 통합 을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
Mathematica를 사용하여 생성된 색과 범례 및 1000개의 플롯 점을 사용하여 복소 평면에서 감마 함수의 절대값 그림을 3D로 표시합니다. Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t = [ − t z e − t ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ z t z − 1 e − t d t = 절름발이 t → ∞ ( − t z e − t ) − ( − 0 z e − 0 ) + z ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\&={\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int_{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\&=\lim _{t\to \infty }\left (-t^{z}e^{-0}\right)-\left (-0^{z}e^{-0}\right)+z\int_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\dt. \end{aligned}} -tze t 0 {\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0} t , {\displaystyle t\to \infty,}
Γ ( z + 1 ) = z ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t = z Γ ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z+1)&=z\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt\&=z\Gamma(z). \end{aligned}}
γ (1 ) {\displaystyle Gamma )} (
Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ t 1 − 1 e − t d t = ∫ 0 ∞ e − t d t = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\&=1. \end{aligned}}
따라서 귀납법 에 의해 임의의 양의 정수 n에 대해 γ ( n ) 1 displaystyle \Gamma ( n-1)!} 구체적으로, 기본 케이스는 γ 1 ) 1 0 ! {\displaystyle \Gamma (1 0!} , n 1 ) N ( n n )! n ! {\displaystyle \Gamma (n \Gamma ( (n-1)! =n
항등식 γ ( z z 1 {\textstyle \Gamma ( frac {\Gamma (z+1)}{z}}} z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 대한 적분 공식을 모든 복소수 z 에 대해 정의된 메로모형 함수로 고유하게 확장 할 수 있으며, 0보다 작거나 같은 정수는 제외합니다.[1] 일반적으로 감마 함수라고 하는 확장 버전입니다.[1]
대체 정의 동등한 정의가 많이 있습니다.
무한곱이라는 오일러의 정의 고정 정수 m {\displaystyle m} 정수 {\displaystyle n}
절름발이 n → ∞ n ! ( n + 1 ) m ( n + m ) ! = 1 . {\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {n!\,\left(n+1\right) ^{m}}{(n+m)! }}=1\,.}
m {\displaystyle m} 그러나 임의의 정수 m {\displaystyle m} 임의 z displaystyle } .
절름발이 n → ∞ n ! ( n + 1 ) z ( n + z ) ! = 1 . {\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)! }}=1\,.} 양변에 z 1 ) ! displaystyle z-1)!} Γ ( z ) = ( z − 1 ) ! = 1 z 절름발이 n → ∞ n ! z ! ( n + z ) ! ( n + 1 ) z = 1 z 절름발이 n → ∞ ( 1 ⋯ n ) 1 ( 1 + z ) ⋯ ( n + z ) ( 2 1 ⋅ 3 2 ⋯ n + 1 n ) z = 1 z ∏ n = 1 ∞ [ 1 1 + z n ( 1 + 1 n ) z ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z)&=(z-1)! \\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty}n! {\frac {z! }{(n+z)! }}(n+1)^{z}\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty}(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left ({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\[8pt]&={\frac {1}^{z}}\left[{\frac {1}{\frac {z}}}}\left[{\frac {1}{\frac {n}}}}\left[1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right. \end{aligned}} 오일러로 인한 이 무한 곱 은 [8] 모든 {\displaystyle z} 직관적으로 이 공식은 γ(z ) {\displaystyle \Gamma(z)} ( n + 1 ) n ! displaystyle \Gamma(n n! } 정수 {\displaystyle n} , n 1 ) z {\displaystyle (n 1)^{z} γ ( n z 1 ) {\displaystyle \Gamma(n 1 γ(x 1 ) ) {\displaystyle Gamma +1) \Gamma )} {\displaystyle 1}번 z ) {\displaystyle Gamma )} {\displaystyle (
위어스트라스의 정의 Weiersstrass 로 인한 감마 함수의 정의는 양이 아닌 정수를 제외한 모든 복소수 z 에 대해서도 유효합니다.
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n , {\displaystyle \Gamma(z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty}}\left(1+{\frac {z}{n}\right)^{-1}^{z/n}} 여기서 γ ≈ 0 .577216 {\displaystyle \gamma \ 577216} 오일러-마스케로니 상수 입니다. 1 z ) {\displaystyle 1/\Gamma (z)} 하다마드 제품 을 개작한 형태입니다.
세 정의의 동등성 증명
적분 정의와 Weiersstrass 정의의 동등성
적분 정의에 의해, 관계 γ ( 1 z z {\displaystyle \Gamma (z+1 z\ 감마(z)} 하다마드 인수분해 정리 ,
1 Γ ( z ) = z e c 1 z + c 2 ∏ n = 1 ∞ e − z n ( 1 + z n ) , z ∈ C ∖ Z 0 − {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma(z))}=ze^{c_{1}z+c_{2}}\prod _{n=1}^{\infty}e^{-{\frac {z}{n}}\left(1+{\frac {z}{n}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-} 일부 상수 c 1 ,2 {\displaystyle c_{1}, c_{2} {\displaystyle 1/\Gamma} ) displaystyle 함수 ( z ) displaystyle \Gamma(z)\ 1 z displaystyle z to c 2 displaystyle {2 2 displaystyle 2\pi ) ( 1 ) 1 {\ 표시 스타일 \Gamma(1)=1 e − c 1 = ∏ n = 1 ∞ e − 1 n ( 1 + 1 n ) = 익스피드 ( 절름발이 N → ∞ ∑ n = 1 N ( 로그. ( 1 + 1 n ) − 1 n ) ) = 익스피드 ( 절름발이 N → ∞ ( 로그. ( N + 1 ) − ∑ n = 1 N 1 n ) ) = 익스피드 ( 절름발이 N → ∞ ( 로그. N + 로그. ( 1 + 1 N ) − ∑ n = 1 N 1 n ) ) = 익스피드 ( 절름발이 N → ∞ ( 로그. N − ∑ n = 1 N 1 n ) ) = e − γ . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{-c_{1}}&=\prod_{n=1}^{\infty}e^{-{\frac {1}{n}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\ \&=\exp \left(\lim _{N\to \infty})\sum _{n=1}^{N}\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}\right)\right)\right) \&=\exp \left(\lim _{N\to \infty})\left(\log(N+1)-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}}\right)\right)\right) \&=\exp \left(\lim _{N\to \infty})\left(\log N+\log \left(1+{\frac {1}{N}}\right) -\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}}\right)\right) \&=\exp \left(\lim _{N\to \infty})\left(\log N-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}}\right)\right)\right) \&=e^{-\gamma }. \end{aligned}} 어떤 정수 k displaystyle k} 2 ik {\displaystyle c_{1 +2\piik} . z ) R {\displaystyle \in \mathbb {R} setmus } \mathbb _{0} 경우 0 displaystyle 0} 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ e − z n ( 1 + z n ) , z ∈ C ∖ Z 0 − . {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma(z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty}e^{-{\frac {z}{n}}\left(1+{\frac {z}{n}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}.
바이어슈트라스 정의와 오일러 정의의 등가성
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n = 1 z 절름발이 n → ∞ e z ( ln n − 1 − 1 2 − 1 3 − ⋯ − 1 n ) e z ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n ) ( 1 + z ) ( 1 + z 2 ) ⋯ ( 1 + z n ) = 1 z 절름발이 n → ∞ 1 ( 1 + z ) ( 1 + z 2 ) ⋯ ( 1 + z n ) e z ln ( n ) = 절름발이 n → ∞ n ! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , z ∈ C ∖ Z 0 − {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod_{n=1}^{\infty}}\left(1+{\frac {z}{n}\right)^{z/n}\&={\frac {1}{z}\lim_{n\infty}e^{z\left(\ln-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-\cdots -{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {e^{z\left(1+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}}+{\cdots +{\frac {1}{n}\right)}}{\left(1+z\right)}}{\lef. t(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right) }}\&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty}{\frac {1}{\left(1+z\right)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right) }}e^{z\ln \left(n\right) }\&=\lim _{n\to \infty}{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots(z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}\end{aligned}} 허락하다 Γ n ( z ) = n ! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) {\displaystyle \Gamma _{n}(z)={\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots(z+n)}} 그리고. G n ( z ) = ( n − 1 ) ! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle G_{n}(z)={\frac {(n-1)!n^{z}}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}}} 그리고나서 Γ n ( z ) = n z + n G n ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}(z)={\frac {n}{z+n}}G_{n}(z)} 그리고. 절름발이 n → ∞ G n + 1 ( z ) = 절름발이 n → ∞ G n ( z ) = 절름발이 n → ∞ Γ n ( z ) = Γ ( z ) , {\displaystyle \lim _{n\to \infty}G_{n+1}(z)=\lim _{n\to \infty}G_{n}(z)=\lim _{n\to \infty}\Gamma _{n}(z)=\Gamma (z),} 그러므로 Γ ( z ) = 절름발이 n → ∞ n ! ( n + 1 ) z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , z ∈ C ∖ Z 0 − . {\displaystyle \Gamma(z)=\lim _{n\to \infty}{\frac {n!(n+1)^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}} 그리고나서 n ! ( n + 1 ) z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) = ( 2 / 1 ) z ( 3 / 2 ) z ( 4 / 3 ) z ⋯ ( ( n + 1 ) / n ) z z ( 1 + z ) ( 1 + z / 2 ) ( 1 + z / 3 ) ⋯ ( 1 + z / n ) = 1 z ∏ k = 1 n ( 1 + 1 / k ) z 1 + z / k , z ∈ C ∖ Z 0 − {\displaystyle {\frac {n!(n+1)^{z}}{z(z+1)\cdots(z+n)}={\frac {(2/1)^{z}(3/2)^{z}(4/3)^{z}\cdots((n+1)/n)^{z}{z(1+z)(1+z/2)(1+z/3)\cdots(1+z/n)} }}={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(1+1/k)^{z}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-} n {\displaystyle n\to infty}
특성. 일반적 감마 함수에 대한 다른 중요한 함수 방정식은 오일러의 반사 공식 입니다.
Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π 죄악의 π z , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\frac {\pi}{\sin \pi}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}}
그 뜻은
Γ ( z − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − z ) Γ ( 1 + z ) Γ ( n + 1 − z ) , n ∈ Z {\displaystyle \Gamma(z-n)= (-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma(-z)\Gamma(1+z)}{\ 감마(n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z}}
그리고 레전드 복제 공식 .
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) . {\displaystyle \Gamma(z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi}}\;\Gamma(2z)}
오일러 반사식 유도
증명 1
오일러의 무한 곱을 사용할 수 있습니다.
Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 / n ) z 1 + z / n {\displaystyle \Gamma(z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty}{\frac {(1+1/n)^{z}}{1+z/n}} 계산을 해 보다 1 Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = 1 ( − z ) Γ ( − z ) Γ ( z ) = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z / n ) ( 1 + z / n ) ( 1 + 1 / n ) − z ( 1 + 1 / n ) z = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) = 죄악의 π z π , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma(1-z)\Gamma(z)}}={\frac {1}{(-z)\Gamma(-z)\Gamma(z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty}}{\frac {(1-z/n)^{-z}(1+1/n)^{z}}=z\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {z^{2}}}{n^{2}}\right)={\frac {\sin \pi z}}{\pi}},,,} 여기서 마지막 평등은 알려진 결과 입니다. 비슷한 파생은 Weiersstrass의 정의에서 시작됩니다.
증명2
먼저 우리는 그것을 증명합니다.
I = ∫ − ∞ ∞ e a x 1 + e x d x = ∫ 0 ∞ v a − 1 1 + v d v = π 죄악의 π a , a ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}\, dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{a-1}{1+v}}\, dv={\frac {\pi}{\sin \pi a}},\quad a\in (0,1)} R {\displaystyle R {\displaystyle C_{ R }, R displaystyle R+2\pii } 및 R displaystyle R+2\pii} R R displaystyle R\in {R}^{+} . 그리고 잔재 정리 에 의해, ∫ C R e a z 1 + e z d z = − 2 π i e a π i . {\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}\, dz=-2\piie^{a\pi i}} 허락하다 I R = ∫ − R R e a x 1 + e x d x {\displaystyle I_{R}=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}\, dx} 그리고 I R '{\ displaystyle I_{R}'} 그러면 I R I {\displaystyle I_{R}\to } R {\displaystyle R\to \infty} R -e 2 ia {\displaystyle I_{R e^{2\pia} I_{R A {\ displaystyle A_{R}} ∫ A R e a z 1 + e z d z ≤ ∫ 0 2 π e a ( R + i t ) 1 + e R + i t d t ≤ C e ( a − 1 ) R {\displaystyle \left \int _{A_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}\,dz\right \leq \int _{0}^{2\pi}}\left {\frac {e^{a(R+it)}{1+e^{R+it}}\right \,dt\leq Ce^{(a-1)R}} 일부 상수 {\displaystyle C} , 1 {\displaystyle a<1} , R {\displaystyle R\to \infty} 0 {\displaystyle } . R {\displaystyle R\to \infty} 0 {\displaystyle 0} . I − e 2 π i a I = − 2 π i e a π i , {\displaystyle I-e^{2\pia} I=-2\piie^{a\pi i},} 어느쪽에서 I = π 죄악의 π a , a ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle I = {\frac {\pi}{\sin \pia}},\quad a\in (0,1)입니다. 그리고나서 Γ ( 1 − z ) = ∫ 0 ∞ e − u u − z d u = t ∫ 0 ∞ e − v t ( v t ) − z d v , t > 0 {\displaystyle \Gamma(1-z)=\int _{0}^{\infty}e^{-u}u^{-z}\,du=t\int _{0}^{\infty}e^{-vt}(vt)^{-z}\, dv,\quad t>0} 그리고. Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − t ( 1 + v ) v − z d v d t = ∫ 0 ∞ v − z 1 + v d v = π 죄악의 π ( 1 − z ) = π 죄악의 π z , z ∈ ( 0 , 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z)\Gamma(1-z)&=\int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}v^{-z}\, dv\,dt\&=\int _{0}^{\infty}{\frac {v^{-z}}{\frac {\pi}{\sin \pi(1-z)}\&={\frac {\pi}{\sin \pi z}},\&={\frac {\pi}{\sin \pi z}},\quad z\in (0,1). \end{aligned}} 모든 z 0 , 1 ) {\displaystyle z\in (0, )} 분석적 의해 z displaystyle z\ \mathbb setminus {Z}
범례 복제 공식 유도
베타 함수 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
B ( z 1 , z 2 ) = Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) = ∫ 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B}(z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma(z_{1})\Gamma(z_{2})}{\Gamma(z_{1}+z_{2}}}}=\int_{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.}
z 1 2 {\displaystyle z_{1 2} z}
Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z ) = ∫ 0 1 t z − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t . {\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma(2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.}
치환 후 t 1 u 2 {\displaystyle frac {1 }{2 }}} 우리
Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z ) = 1 2 2 z − 1 ∫ − 1 1 ( 1 − u 2 ) z − 1 d u . {\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma(2z)}={\frac {1}{2^{2z-1}}\int _{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{z-1}\,du.}
함수 1 u 2 z {\ displaystyle (1 ^{2})^{z-1}}
2 2 z − 1 Γ 2 ( z ) = 2 Γ ( 2 z ) ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) z − 1 d u . {\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma(2z)\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}
이제 가정해보겠습니다.
B ( 1 2 , z ) = ∫ 0 1 t 1 2 − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t , t = s 2 . {\displaystyle \mathrm {B} \left ({\frac {1}{2}},z\right)=\int_{0}^{1}t^{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}}
그리고나서
B ( 1 2 , z ) = 2 ∫ 0 1 ( 1 − s 2 ) z − 1 d s = 2 ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) z − 1 d u . {\displaystyle \mathrm {B} \left ({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}
이는 다음을 암시합니다.
2 2 z − 1 Γ 2 ( z ) = Γ ( 2 z ) B ( 1 2 , z ) . {\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma(2z)\mathrm {B} \left ({\frac {1}{2}},z\right)}
부터
B ( 1 2 , z ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) , Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \mathrm {B} \left ({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left ({\frac {1}{2}}\right) \Gamma(z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left ({\frac {1}{2}\right)={\sqrt {\pi}},}
범례 복제 공식은 다음과 같습니다.
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) . {\displaystyle \Gamma(z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi}}\;\Gamma(2z)}
중복 공식은 곱셈 정리 의 특수한 경우입니다(식 5.5.6 참조).
∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi)^{\frac {m-1}{2}}\;m^{\frac {1}{2}-mz}\;\Gamma(mz)}
한계 정의에서 알 수 있는 간단하지만 유용한 속성은 다음과 같습니다.
Γ ( z ) ¯ = Γ ( z ¯ ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z ¯ ) ∈ R . {\displaystyle {\overline {\Gamma(z)}}=\Gamma({\overline {z})\;\오른쪽 화살표 \;\Gamma(z)\Gamma({\overline {z}})\in \mathbb {R}.}
특히 z bi
Γ ( a + b i ) 2 = Γ ( a ) 2 ∏ k = 0 ∞ 1 1 + b 2 ( a + k ) 2 {\displaystyle \Gamma (a+bi) ^{2}= \Gamma (a) ^{2}\prod _{k=0}^{\infty}{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}}{(a+k)^{2} }}}}}}
실제 부분이 정수 또는 반 정수인 경우, 이는 닫힌 형태 로 유한하게 표현될 수 있습니다.
Γ ( b i ) 2 = π b 죄스러운 π b Γ ( 1 2 + b i ) 2 = π 으스스한 π b Γ ( 1 + b i ) 2 = π b 죄스러운 π b Γ ( 1 + n + b i ) 2 = π b 죄스러운 π b ∏ k = 1 n ( k 2 + b 2 ) , n ∈ N Γ ( − n + b i ) 2 = π b 죄스러운 π b ∏ k = 1 n ( k 2 + b 2 ) − 1 , n ∈ N Γ ( 1 2 ± n + b i ) 2 = π 으스스한 π b ∏ k = 1 n ( ( k − 1 2 ) 2 + b 2 ) ± 1 , n ∈ N {\displaystyle {\begin{aligned} \Gamma(bi) ^{2}&={\frac {\pi}{b\sinh \pi b}}\[1ex]\left \Gamma \left ({\tfrac {1}{2}+bi\right)\right ^{2}&={\frac {\pi}{\cosh \pi b}\[1ex]\left \Gamma \left(1+bi\right)\right ^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\[1ex]\left \Gamma \left(1+n+bi\right)\right ^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\left \left \left ^{\pi b} _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2) }\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left \Gamma \left (-n+bi\right)\right ^{2}&={\frac {\pi}{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2) }\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left \Gamma \left ({\tfrac {1}{2}\pm n+bi\right)\right ^{2}&={\frac {\pi}{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2} }\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}
정수 또는 반 정수 실수부 인수의 절대값 공식 증명
먼저 z bi {\displaystyle bi} .
Γ ( b i ) Γ ( 1 − b i ) = π 죄악의 π b i {\displaystyle \Gamma(bi) \Gamma (1-bi)={\frac {\pi}{\sin \pi bi}} 재발 관계를 두 번째 기간에 적용하면, 우리는 − b i ⋅ Γ ( b i ) Γ ( − b i ) = π 죄악의 π b i {\displaystyle -bi\cdot \Gamma(bi) \Gamma (-bi)={\frac {\pi}{\sin \pi bi}} 단순한 재배열을 통해 Γ ( b i ) Γ ( − b i ) = π − b i 죄악의 π b i = π b 죄스러운 π b {\displaystyle \Gamma(bi) \Gamma(-bi)={\frac {\pi}{-bi\sin \pi bi}={\frac {\pi}{b\sinh \pi b}}
둘째, z 2 bi {\displaystyle tfrac {1}{2}} bi} .
Γ ( 1 2 + b i ) Γ ( 1 − ( 1 2 + b i ) ) = Γ ( 1 2 + b i ) Γ ( 1 2 − b i ) = π 죄악의 π ( 1 2 + b i ) = π cos π b i = π 으스스한 π b {\displaystyle \Gamma({\tfrac {1}{2}}+bi)\ 감마 \left(1-({\tfrac {1}{2}}+bi)\right)=\Gamma({\tfrac {1}{2}}+bi)\ 감마({\tfrac {1}{2}}-bi)={\frac {\pi}{\sin \pi({\tfrac {1}{2}}+bi)} }={\frac {\pi}{\cos \pi bi}={\frac {\pi}{\cosh \pi b}}
실제 부분이 정수z {\displaystyle z} 빠르게 유도합니다.
아마도 비정수 인수에서 감마 함수의 가장 잘 알려진 값은 다음과 같습니다.
Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left ({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi}},}
반사 또는 복제 공식에서 z 12 {\textstyle frac {1}{2}} , 1 z 2 12 {\textstyle z_{1 z_{2 frac {1}{2}}} 주어진 베타 함수 와의 관계를 사용 치환 displaystyle {\sqrt z} , 가우시안 적분 을 만들어 냅니다. 일반적으로 n {\displaystyle n}
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( n − 1 2 n ) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π ( − 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left ({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)!\over 4^{n}n! }}{\sqrt {\pi}}={\frac {(2n-1)!!! }{2^{n}}}{\sqrt{\pi}}}={\binom{n-{\frac{1}{2}}}{n}}n! {\sqrt {\pi}}\[8pt]\ 감마 \left ({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n!\over (2n)! }}{\sqrt {\pi}}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!! }}{\sqrt {\pi}}={\frac {\sqrt {\pi}}{{\binom {-1/2}{n}}n! }}\end{aligned}}
여기서 이중 요인 2 n ( 2 n 1 2 n 3 ( 3 1 {\displaystyle ( )!!! =(2n-1)(2n-3)\cdots(3)(1 함수의 특정 값을 참조 하십시오.
다른 찾음 12 Gamma \left frac {1}{2}}\right sqrt {\pi }} r ) {\displaystyle } ( 가우스의 디감마 정리 에 따르면,모든 합리적인 값에서 밀접하게 관련된 디감마 함수 에 대해 그렇게 하는 것이 가능합니다. 그러나 이 숫자 γ( r ) {\displaystyle \Gamma(r)} γ(n r ) {\displaystyle Gamma +r)}이( 가 ) 임의의 정수 displaystyle 초월수 이고 π displaystyle \pi ( 와 ) 대수적으로 독립적 이라는 것이 증명되었으며, 각 분수 r = 14 13 23 34 56 {\textstyle }{6 {\frac 1}{4 {\frac 3}, {\frac }{3 {\ }, {\frac 4}}, frac }, 6 [10]
감마 함수의 도함수는 다음과 같은 다감마 함수 ψ(z )의 관점에서 설명됩니다.
Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ ( 0 ) ( z ) . {\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma(z)\psi ^{(0)}(z)}
양의 정수 m 에 대하여 감마 함수의 도함수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
Mathematica에서 생성된 색을 사용하여 -2-2i 부터 6+2i 까지의 복소평면에서 감마 함수의 그림
Γ ′ ( m + 1 ) = m ! ( − γ + ∑ k = 1 m 1 k ) = m ! ( − γ + H ( m ) ) , {\displaystyle \Gamma' (m+1)=m! \left (-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m! \left(-\gamma +H(m)\right)\..}
여기서 H(m)은 m번째 조화수 이고 γ는 오일러-마스케로니 상수 입니다.
ℜ (z ) {\displaystyle (z) 0}의 감마 {\displaystyle 번째
d n d z n Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t ( ln t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}\Gamma(z)=\int _{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}
( z } 대한 함수 적분 기호 아래의 미분 기법을 사용하여 유도할 수 있습니다.)
아이덴티티 사용하기
Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! ∑ π ⊢ n ∏ i = 1 r ζ ∗ ( a i ) k i ! ⋅ a i ζ ∗ ( x ) := { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)= (-1)^{n}n! \sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i}) } {k_{i}! \cdota_{i}}\qquad \zeta^{*}(x): ={\begin{case}\zeta(x)&x\neq 1\\\gamma&x=1\end{case}}
여기서 ζ z ) {\displaystyle \zeta (z)} 리만 제타 함수 이고 π {\displaystyle \pi} 다음 displaystyle n} 분할 입니다.
π = a 1 + ⋯ + a 1 ⏟ k 1 조건. + ⋯ + a r + ⋯ + a r ⏟ k r 조건. , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{terms}} +\cdots +a_{r} _{k_{r}} +\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{terms}}}
우리는 특히 감마 함수의 로랑 급수 확장을 가지고 있습니다.
Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) . {\displaystyle \Gamma(z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}\right)z-{\tfrac {1}{6}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\pi ^{2}}+2\zeta(3)z^{2}+O(z^{3})}.
부등식 양의 실수로 제한될 때 감마 함수는 엄격하게 대수적으로 볼록한 함수 입니다. 이 속성은 다음의 세 가지 동등한 방법 중 하나로 표시될 수 있습니다.
임의의 두 양수 x 1 {\displaystyle {1} 2 {\displaystyle x_{2 t 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0, , Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma(x_{1})^{t}\Gamma(x_{2})^{1-t}} 임의의 양의 실수 x 1 {\ displaystyle x_{1}, x 2 {\ displaystyle x_{2}}, x 2 {\ displaystyle x_{2}} x 1 {\ displaystyle x_{1}} ( Γ ( x 2 ) Γ ( x 1 ) ) 1 x 2 − x 1 > 익스피드 ( Γ ′ ( x 1 ) Γ ( x 1 ) ) . {\displaystyle \left({\frac {\Gamma(x_{2})}}{\Gamma(x_{1}}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}}{\Gamma(x_{1}}}}\right).} 임의의 양수 {\displaystyle 대하여 Γ ″ ( x ) Γ ( x ) > Γ ′ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}}} 이러한 문장 중 마지막은 본질적으로 정의상 ψ ( 1 ) ( x ) displaystyle 1)} x) 0} 1 ) {\displaystyle \psi ^{(1)}} 함수 입니다. 따라서 감마 함수의 로그 볼록성을 증명하려면 ψ 1 ) {\displaystyle \psi ^{(1)}} x 에 대해 양의 항으로만 구성된 열 표현이 있음을 관찰하면 충분합니다.
로그 볼록성과 젠슨의 부등식 은 임의의 양의 실수 x 1 , x displaystyle x_{1},\ldots, {n a 1 , …, {\ displaystyle a_{1},\ldots, a_{n
Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n a 1 + ⋯ + a n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) a 1 ⋯ Γ ( x n ) a n ) 1 a 1 + ⋯ + a n . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}}{a_{n}}+\cdots +a_{n}}\right)\leq {\bigl(}\Gamma(x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma(x_{n})^{a_{n}}^{\frac {1}+\cdots +a_{n}}^{\frac {1}}
감마 함수의 비율에도 한계가 있습니다. 가장 잘 알려진 것은 고츠키의 부등식 으로, 임의의 양의 실수 x 와 임의 (0, 1)에 대하여,
x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s . {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma(x+1)}{\ 감마(x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}}
스털링 공식 복소 평면에서 감마 함수를 나타냅니다. 각 점 z {\displaystyle z} ( z ) {\displaystyle \Gamma(z)} . 모듈러스 γ( z ) {\ displaystyle \Gamma(z)} 복소 감마 함수의 절대값에 대한 3차원 그림 증가하는 양의 실수 변수에 대한 γ ( x ) {\displaystyle \Gamma(x)} 스털링 공식 에 의해 주어집니다.
Γ ( x + 1 ) ∼ 2 π x ( x e ) x , {\displaystyle \Gamma(x+1)\sim {\sqrt {2\pix x}}\left({frac {x}{e}}\right)^{x}} 여기서 기호 {\displaystyle \sim} x {\textstyle x\to +\infty} . β {\displaystyle \ , exp β displaystyle \exp(\ x)} .
x {\displaystyle x\to +\infty}
Γ ( x + α ) ∼ Γ ( x ) x α , α ∈ C . {\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}
잔재물 양이 아닌 z {\displaystyle z} 오일러의 적분은 ℜ( z ) ≤ 0 {\displaystyle \Re(z)\leq 0} 분석적 연속 을 갖습니다. 분석적 연속을 찾는 한 가지 방법은 오일러의 적분을 양의 인수에 사용하고, 반복 공식을 반복 적용하여 정의역을 음수로 확장하는 것입니다.[1]
Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma(z)={\frac {\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n)}},} z {\displaystyle n } n {\displaystyle n} 분모 곱 displaystyle z} , , -2 , displaystyle 0 -1 ,\ldots} . 나누는 것을 피하기 위해 해당 점에서 정의되지 않아야 합니다. 이 함수는 양이 아닌 정수에서 단순 극 을 갖는 메로모형 함수 입니다.[1]
복소 변수 z {\displaystyle z} f {\displaystyle f} 단순 극 c {\displaystyle c} {\displaystyle f}
레스 ( f , c ) = 절름발이 z → c ( z − c ) f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res}(f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)}
단순 z {\displaystyle n,}
( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle(z+n)\Gamma(z)={\frac {\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}} z n {\displaystyle n,} Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)= \Gamma (1)=1} 분모와 분모. z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle z(z+1)\cdots(z+n-1)=-n(1-n)\cdots(n-1-n)= (-1)^{n}n!.} 따라서 해당 지점의 감마 함수 잔기는 다음과 같습니다.[12] 레스 ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res}(\Gamma,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n! }}.} 감마 ∞로 임의로 0에 가깝지만 실제 선을 따라 모든 곳에서 0이 아닙니다.γ(z ) {\displaystyle z) z {\displaystyle } 역수 감마 함수 1 γ(z ) {\textstyle {\frac {1}{\Gamma(z)}} 0 1 , 2 , {\displaystyle 1 2,\ldots } 함수 입니다.
미니마와 맥시멈 실제 선에서 감마 함수는 z +1.46163214496836234126 ≈ +0.88560319441088870027 감마 함수는 이 최소값의 어느 쪽이든 상승합니다. γ(z - 0 .5) γ(z + 0 .5)의 1 .5(1) = γ(2) = +1입니다. γ(z - 1 ) γ(z + 1 )의 φ ≈ +1.618 로 황금비율 이며, 공칭값은 γ(φ - 1 ) γ(φ + 1) = φ! ≈ +1.44922960226989660037
감마 displaystyle z} displaystyle z+ 사이 [12] 비양수 정수 사이의 감마 함수의 극값은 γ γ(-0.50408300826454938526...) = -3.54464361115500508912..., (-1.57349847316239045877...) = 2.30240725833968013582..., γ 245(-2.61072086844414465000...) = -0.8813635840124192009 3.635293366490109783...) 0. 12753983436625043..., 4.65323761743142441 -0.05277963958731940076...
적분 표현 두 번째 종류의 오일러 적분 외에도 감마 함수를 적분으로 표현하는 많은 공식이 있습니다. 예를 들어, z 의 실수 부분이 양수일 때,[21]
Γ ( z ) = ∫ − ∞ ∞ e z t − e t d t {\displaystyle \Gamma(z)=\int _{-\infty}^{\infty}e^{zt-e^{t}\,dt} 그리고[22] Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( 로그. 1 t ) z − 1 d t , {\displaystyle \Gamma(z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}
Γ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ t 2 z − 1 e − t 2 d t {\displaystyle \Gamma(z)=2\int _{0}^{\infty}t^{2z-1}e^{-t^{2}}\,dt}
세 e x {\displaystyle t e^{-x}, t log {\displaystyle log }, 그리고 t x^{2}. 특히 마지막 적분은 반 정수 인수에서의 감마 함수와 가우스 적분 사이의 연결을 명확하게 합니다. z 1 / 2{\displaystyle 1/2} 1 / 2) 2 0 2 t {\textstyle \Gamma (1/2 sqrt {\pi 2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt}.
감마 함수에 대한 비네의 첫 번째 적분 공식은 z 의 실수 부분이 양수일 때 다음과 같이 말합니다.[25]
로그. Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) 로그. z − z + 1 2 로그. ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma(z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi)+\int _{0}^{\infty}}\left ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}\right){\frac {e^{t}},{t},dt.} 오른쪽의 적분은 라플라스 변환 으로 해석할 수 있습니다. 그것은, 로그. ( Γ ( z ) ( e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma(z))\left ({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\piz}}\right)={\mathcal {L}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1}}\right)(z).
비네의 두 번째 적분 공식은 z 의 실수 부분이 양수일 때 다음과 같이 기술합니다.[26]
로그. Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) 로그. z − z + 1 2 ln ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ 아크탄 ( t / z ) e 2 π t − 1 d t . {\displaystyle \log \Gamma(z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi)+2\int _{0}^{\infty}{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1},dt.}
C 행켈 등고선 이라고 하자, 리만 구의 점 ∞에서 시작하여 끝나는 경로를 의미하며, 이 경로의 단위 접선 벡터는 경로 의 시작에서 -1 로 수렴하고, 끝에서 1 로 수렴하며, 이는 0을 중심으로 한 권수 가 1이고 [0, ∞]와 교차하지 않습니다.[0, ∞] t 가 음의 실제 축에 있을 때 로그 (- t ) {\displaystyle \log(-t)} 로그 (- t ) z 가 정수가 아니라고 가정합니다.그렇다면 감마 함수에 대한 행켈의 공식은 다음과 같습니다.[27]
Γ ( z ) = − 1 2 i 죄악의 π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma(z)=-{\frac {1}{2i\sin \piz}}\int_{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 여기 z 1{\displaystyle (-t)^{z-1}} exp z 1 log t {\displaystyle ((z-1))\log t))} . 반사 공식은 밀접하게 연관된 표현식으로 이어집니다. 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma(z)}}={\frac {i}{2\pi}}\int_{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,} z
연속 분율 표현 감마 함수는 연속 된 두 분수 의 합으로 나타낼 수도 있습니다.[28] [29]
Γ ( z ) = e − 1 2 + 0 − z + 1 z − 1 2 + 2 − z + 2 z − 2 2 + 4 − z + 3 z − 3 2 + 6 − z + 4 z − 4 2 + 8 − z + 5 z − 5 2 + 10 − z + ⋱ + e − 1 z + 0 − z + 0 z + 1 + 1 z + 2 − z + 1 z + 3 + 2 z + 4 − z + 2 z + 5 + 3 z + 6 − ⋱ {\displaystyle \Gamma(z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1}{\cfrac {z-1}{2+2-z+2}{\cfrac {z-2}{2+4-z+3}{\cfrac {z-3}{2+6-z+4}{\cfrac {z-4}{2+8-z+5}{\cfrac {z-5}{2+10-z+\dots}}}}}}}}}}}}{\cfrac {e^{-1}}{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {z+1}{\cfrac {z+3}{\cfrac {z+4-{\cfrac {z+2}}}}}}}}}}}}}. 여기서 z C {\displaystyle z\in \mathbb {C} .
푸리에 급수 전개 감마 함수의 로그 는 0 z 1 {\displaystyle 0 z :} 푸리에 급수 확장을 갖습니다.
ln Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln 2 ) + ( 1 − z ) ln π − 1 2 ln 죄악의 ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln n n 죄악의 ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \gamma(z)=\left ({\frac {1}{2}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n= 1}^{\infty}{\frac {\ln}{n}}\sin(2\pi nz),}
이것은 오랫동안 에른스트 쿰머 의 것으로 여겨졌습니다. 에른스트 쿰머는 1847년에 그것을 유도했습니다.[30] [31] 하지만, 이아로슬라프 블라고친 은 칼 요한 말스텐 이 1842년에 이 시리즈를 처음 도출했다는 것을 발견했습니다.[32] [33]
라베 공식 1840년 Joseph Ludwig Raabe 는 다음을 증명했습니다.
∫ a a + 1 ln Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 π + a ln a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma(z)\, dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.} 특히 a 0 {\displaystyle 0} ∫ 0 1 ln Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma(z)\, dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi.}
후자는 적분의 리만 합에 대한 표현을 제공하는 위의 곱셈 공식의 로그를 사용하여 유도될 수 있습니다. → {\displaystyle to \infty
파이 함수 가우스 가 처음 도입한 대체 표기법은 π {\displaystyle \Pi}
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\ 감마(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z}\,dt,}
음이 아닌 모든 정수 n {\displaystyle n} n ! {\displaystyle \Pi ( !} .
파이 함수를 사용하여 반사 공식은 다음과 같은 형태를 취합니다.
Π ( z ) Π ( − z ) = π z 죄악의 ( π z ) = 1 sinc ( z ) {\displaystyle \Pi(z)\Pi(-z)={\frac {\piz}{\sin(\piz)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc}(z)}}
여기서 sinc 는 정규화된 sinc 함수 이고, 곱셈 정리는 다음과 같은 형태를 갖습니다.
Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left ({\frac {z}{m}\right)\,\Pi \left ({\frac {z-1}{m}\right)\cdots \Pi \left ({\frac {z-m+1}{m}\right)=(2\pi)^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}\Pi(z)\.
우리는 또한 때때로 발견합니다.
π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi(z)={\frac {1}{\Pi(z)}}\,}
역수 감마 함수 와 마찬가지로 모든 복소수에 대해 정의되는 전체 함수 입니다.이 π( z ) {\displaystyle \pi(z)} (z ) {\displaystyle \pi \left(z\right (z ) {\displaystyle \left(z\right)} 없습니다 .
반지름 1 가진 n-엘립사이드의 , …, r n
V n ( r 1 , … , r n ) = π n 2 Π ( n 2 ) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left ({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}}
다른 기능과의 관계 감마 함수를 정의하는 위의 첫 번째 적분에서는 적분의 한계가 고정되어 있습니다. 상한 및 하한 불완전 감마 함수 는 적분의 하한 또는 상한(각각)이 변할 수 있도록 하여 얻은 함수입니다. 감마 함수는 공식에 의해 베타 함수 와 관련이 있습니다. B ( z 1 , z 2 ) = ∫ 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t = Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) . {\displaystyle \mathrm {B}(z_{1},z_{2})=\int_{0}^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma(z_{1})\,\Gamma(z_{2})}{\Gamma(z_{1}+z_{2}}}. 감마 함수의 로그 도함수 를 디감마 함수 라고 합니다. 상위 도함수는 다감마 함수 입니다. 유한장 또는 유한환 에 대한 감마 함수의 유사체는 지수 합의 한 종류인 가우스 합입니다.역수 감마 함수 는 전체 함수 로 특정 주제로 연구되어 왔습니다.감마 함수는 또한 (z ) {\displaystyle \zeta(z)} 제타 함수와 중요한 관계에서 나타납니다. π − z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) . {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}\;\Gamma \left ({\frac {z}{2}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}\;\Gamma \left ({\frac {1-z}{2}\right)\;\zeta (1-z)} 다음 공식에도 나타납니다. ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta(z)\Gamma(z)=\int _{0}^{\infty}{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}}},} 이 값은 ℜ( z ) 1 {\displaystyle \Re(z) 1} .
Lerch로 인해 감마 함수의 로그는 다음 공식을 만족합니다. 로그. Γ ( z ) = ζ H ′ ( 0 , z ) − ζ ′ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma(z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),} 여기서 ζ H {\displaystyle \zeta _{H} 후르비츠 제타 함수 이고 ζ {\displaystyle \zeta} 감마 함수는 늘어난 지수 함수 와 관련이 있습니다. 예를 들어, 그 함수의 순간들은 ⟨ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ d t t n − 1 e − ( t τ ) β = τ n β Γ ( n β ) . {\displaystyle \lang \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty}}dt\,t^{n-1}\,e^{-\left ({\frac {t}{\tau }\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }\Gamma \left ({n \over \beta }\right)}. 특정값 소수점 뒤의 첫 20자리까지 포함하면 감마 함수의 일부 특정 값은 다음과 같습니다.
Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right) &=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\\\\Gamma \left (-{\tfrac {1}{2}\right)&=&-2{\sqrt {\pi}}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\\\Gamma \left ({\tfrac {1}{2}\right) &=&{\sqrt {\pi}}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\\Gamma (1)&=&0! &=&+1\\\Gamma \left ({\tfrac {3}{2}}\right) &=&{\tfrac {\pi }}{2}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\\\\\\Gamma (2)&1! &=&+1\\\Gamma \left ({\tfrac {5}{2}}\right) &=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\\\\Gamma(3)&2! &=&+2\\\Gamma \left ({\tfrac {7}{2}}\right) &=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\\\\\Gamma(4)&=&3!&+6\end{array}} (OEIS 의 시퀀스 A245886 , A019707 , A002161 , A01974 , A245884 및 A245885 참조). 복소수 감마 함수는 양이 아닌 정수에 대해서는 정의되지 않지만, 이러한 경우에는 리만 구 에서 ∞로 값을 정의할 수 있습니다. 역수 감마 함수 는 다음 값에서 잘 정의 되고 분석 됩니다(복소 평면 전체 에서). 1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma(3)}}={\frac {1}{\Gamma(2)}}={\frac {1}{\Gamma(1)}}={\frac {1}{\Gamma(0)}=0.}
로그감마함수 분석 함수 로그 γ(z ) 감마 및 계승 함수는 중간 크기의 인수에 대해 매우 빠르게 증가하기 때문에, 많은 컴퓨팅 환경은 감마 함수의 자연 로그를 반환하는 함수를 포함합니다(종종 이름이 주어짐). lgamma아니면 lngamma프로그래밍 환경에서 또는 gammaln스프레드시트에서); 이는 훨씬 더 느리게 증가하며, 조합 계산의 경우 매우 큰 값을 곱하고 나누는 대신 로그를 더하고 뺄 수 있습니다. 종종 다음과[34]
ln Γ ( z ) = − γ z − ln z + ∑ k = 1 ∞ [ z k − ln ( 1 + z k ) ] . {\displaystyle \ln \Gamma(z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty}\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}
이 함수의 도함수인 디감마 함수 도 흔히 볼 수 있습니다. 기술적 및 물리적 응용의 맥락에서, 예를 들어, 파동 전파를 이용한, 함수
ln Γ ( z ) = ln Γ ( z + 1 ) − ln z {\displaystyle \ln \Gamma(z)=\ln \Gamma(z+1)-\ln z}
Mathematica 13.1 함수를 사용하여 생성된 색을 사용하여 복소 평면에서 -2-2i부터 2+2i까지의 로그 감마 함수의 그림복소도3D 는 이웃한 스트립으로부터 너비 1인치 z 의 한 스트립에서 함수 값을 결정할 수 있기 때문에 자주 사용됩니다. 특히, 실제 부품이 큰 z 에 대한 좋은 근사치를 시작으로 원하는 z 까지 단계적으로 내려갈 수 있습니다. Carl Friedrich Gauss 의 암시에 따라, Rocktaeschel(1922)은 ln ( Z ) {\displaystyle \ln(\Gamma(z))} Re(z )에 대한 근사치를 제안했습니다.
ln Γ ( z ) ≈ ( z − 1 2 ) ln z − z + 1 2 ln ( 2 π ) . {\displaystyle \ln \Gamma(z)\prox(z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi)}
이 방법을 사용하여 보다 작은 Re(z ) 비아(P.E)로 ln( γ(z )) 을 z 에 대해 정확하게 근사시킬 수 있습니다. 뵈메르(Böhmer, 1939)
ln Γ ( z − m ) = ln Γ ( z ) − ∑ k = 1 m ln ( z − k ) . {\displaystyle \ln \Gamma(z-m)=\ln \Gamma(z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k).}
스털링의 근사에 기초한 ln( γ(z )) 및 γ(z )
Γ ( z ) ∼ z z − 1 2 e − z 2 π ( 1 + 1 12 z + 1 288 z 2 − 139 51 840 z 3 − 571 2 488 320 z 4 ) {\displaystyle \Gamma(z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi}}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}-{{\frac {571}{2,488\,320z^{4}}\right)}
일정한 arg ( ∞에서 z → π. (OEIS 의 시퀀스 A001163 및 A001164 참조)보다 "자연스러운" 프레젠테이션에서:
ln Γ ( z ) = z ln z − z − 1 2 ln z + 1 2 ln 2 π + 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 + o ( 1 z 5 ) {\displaystyle \ln \Gamma(z)=z\ln z-z-{\tfrac {1}{2}}\ln z+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}+{\frac {1}{1260z^{5}}+o\left ({\frac {1}{z^{5}}\right)}
일정한 arg ( ∞에서 z → π. (OEIS 의 시퀀스 A046968 및 A046969 참조)마지막 확장에서 z 1−k k > 1인 항들의 계수는 단순합니다.
B k k ( k − 1 ) {\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}} 여기서 B k 베르누이 숫자 입니다.
또한 감마 함수는 다음과[35] 찰스 헤르미트 에 의해 유도됨)를 갖습니다.
로그. Γ ( 1 + x ) = x ( x − 1 ) 2 ! 로그. ( 2 ) + x ( x − 1 ) ( x − 2 ) 3 ! ( 로그. ( 3 ) − 2 로그. ( 2 ) ) + ⋯ , ℜ ( x ) > 0. {\displaystyle \log \Gamma(1+x)={\frac {x(x-1)}{2! }}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3! }}}(\log(3)-2\log(2)+\cdots,\quad \Re(x)>0.}
특성. 보어-몰러업 정리는 요인 함수를 양의 실수로 확장하는 모든 함수 중 감마 함수만 로그 볼록 , 즉 자연 로그 가 양의 실수 축에서 볼록하다는 것을 나타냅니다.또 다른 특징은 빌란트 정리 에 의해 주어집니다.
감마 함수는 동시에 다음을 만족시키는 유일한 함수입니다.
( 1 ) 1 {\displaystyle Gamm a (1)=1 γ ( z 1 = z γ {\displaystyle \Gamma ( z +1)= z\비양수 정수를 제외한z {\displaystyle z} 감마(z)}, 정수 n , lim n z 1 textstyle lim _{n\to \infty}{\frac {\Gamma (n+z)}{\ 모든 복소수 z {\displaystyle z} 감마(n)\n^{z}}=1} . 특정한 의미에서, ln( γ) 함수는 더 자연스러운 형태이며, 함수의 일부 고유 속성을 더 명확하게 만듭니다. 눈 에 띄는 예 로 LN(γ) 의 테일러 급수 는 다음과 같습니다.
ln Γ ( z + 1 ) = − γ z + ∑ k = 2 ∞ ζ ( k ) k ( − z ) k ∀ z < 1 {\displaystyle \ln \Gamma(z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta(k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \모든 \; z <1}
ζ(k) 는 리만 제타 함수를 k 로 나타냅니다.
따라서 다음 속성을 사용합니다.
ζ ( s ) Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s e t − 1 d t t {\displaystyle \zeta(s)\Gamma(s)=\int _{0}^{\infty}}{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}} ln( γ) 함수에 대한 적분 표현을 찾을 수 있습니다.
ln Γ ( z + 1 ) = − γ z + ∫ 0 ∞ e − z t − 1 + z t t ( e t − 1 ) d t {\displaystyle \ln \Gamma(z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}\,dt}
또는 z 1 을 설정하여 γ의 적분값을 구하면 γ항을 적분값으로 바꾸어 위 공식에 포함시켜 다음을 얻을 수 있습니다.
ln Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − z t − z e − t − 1 + z t ( e t − 1 ) d t . {\displaystyle \ln \Gamma(z+1)=\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}\,dt\.}
유리 z 에 대한 감마 함수의 로그에 대한 특수 공식도 있습니다. 예를 들어 k {\displaystyle k} {\displaystyle n} k n {\displaystyle k<n} k n 2인 {\displaystyle k\neq n/2\..}
ln Γ ( k n ) = ( n − 2 k ) ln 2 π 2 n + 1 2 { ln π − ln 죄악의 π k n } + 1 π ∑ r = 1 n − 1 γ + ln r r ⋅ 죄악의 2 π r k n − 1 2 π 죄악의 2 π k n ⋅ ∫ 0 ∞ e − n x ⋅ ln x 으스스한 x − cos ( 2 π k / n ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma \left({\frac {k}{n}}\right) ={}&{\frac {\,(n-2k)\ln 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\ln \pi -\n \sin {\frac {\pi k}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\ln r\,}{r}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}\&{{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\! \!{\frac {\,e^{-nx}\! \cdot \ln x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pik/n)\,}},\,{\mathrm {d}}x\end{aligned}}}
참조.[36]
로그 감마를 통한 통합 적분
∫ 0 z ln Γ ( x ) d x {\displaystyle \int_{0}^{z}\ln \Gamma(x)\,dx}
반스 G-함수 로[37] [38] 반스 G-함수 참조 ).
∫ 0 z ln Γ ( x ) d x = z 2 ln ( 2 π ) + z ( 1 − z ) 2 + z ln Γ ( z ) − ln G ( z + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma(x)\, dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi)+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\ln \Gamma(z)-\lnG(z+1)}
여기서 Re(z ) > -1 .
후르비츠 제타 함수 로 표기할 수도 있습니다.[39] [40]
∫ 0 z ln Γ ( x ) d x = z 2 ln ( 2 π ) + z ( 1 − z ) 2 − ζ ′ ( − 1 ) + ζ ′ ( − 1 , z ) . {\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma(x)\, dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi)+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z)'}
z 1 {\displaystyle 1}
∫ 0 1 ln Γ ( x ) d x = 1 2 ln ( 2 π ) , {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma(x)\, dx={\frac {1}{2}}\ln(2\pi),} 이것 역시 라베의 공식 의 결과입니다. O. 에스피노사와 뷔. Moll은 ln {\displaystyle \ln \Gamma} . ∫ 0 1 ln 2 Γ ( x ) d x = γ 2 12 + π 2 48 + 1 3 γ L 1 + 4 3 L 1 2 − ( γ + 2 L 1 ) ζ ′ ( 2 ) π 2 + ζ ′ ′ ( 2 ) 2 π 2 , {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln^{2}\Gamma(x) dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2){\pi ^{2}}+{\frac {\zeta ^{\prime }(2){2\pi ^{2}}}+{\frac {\pi ^{2}}}} 여기서 L1 {\displaystyle L_{1}} 12 ln ( 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi )} .
D. H. 베일리와 그의 공동[42]
L n := ∫ 0 1 ln n Γ ( x ) d x {\displaystyle L_{n}: =\int_{0}^{1}\ln^{n}\Gamma(x)\, dx} n 1 , {\displaystyle 1,2} 비텐 제타 함수 및 그 유도체.
또한, 다음과 같은 것도 알려져[43]
절름발이 n → ∞ L n n ! = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {L_{n}}{n! }}=1.}
근사치 요인과의 감마(파란색 선) 비교(파란색 점) 및 스털링 근사(빨간색 선) 감마 함수의 복잡한 값은 스털링의 근사치 또는 란초스 근사치 를 사용하여 근사화할 수 있습니다.
Γ ( z ) ∼ 2 π z z − 1 / 2 e − z ~하듯이 z → ∞ 인에 아그 ( z ) < π . {\displaystyle \Gamma(z)\sim {\sqrt {2\pi}}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as}}z\to \infty {\hbox{in}}\left \arg(z)\right <\pi.} 이 는 z가 무한대로 갈수록 근사치와 참값의 비율이 한계치 1에 가까워진다는 점에서 정확합니다.
오일러 적분에 부품별 적분 을 적용하여 Re z 1 , 2 ] {\displaystyle \operatorname }(z)\in [1, 임의의 양수 x 에 대하여 감마 함수를 쓸 수 있습니다.
Γ ( z ) = ∫ 0 x e − t t z d t t + ∫ x ∞ e − t t z d t t = x z e − x ∑ n = 0 ∞ x n z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) + ∫ x ∞ e − t t z d t t . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma(z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}+\int _{x}^{\infty}e^{z}\,{\frac {dt}e^{t}\,{\frac {dt}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{{z(z+1)\cdots(z+n)}}+\int _x}^{\infty}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}. \end{aligned}}
Re(z ) ∈ [1,2] 및 x 1 {\displaystyle x\geq 1} (x 1 ) e {\displaystyle x+1)e^{-x} . x {\displaystyle } {\displaystyle } 마지막 2 {\displaystyle 2^{-N} . 감마 함수는 위의 영상 시리즈로 정밀도 N개 {\displaystyle N}
E.A에 의해 어떤 대수적인 논쟁(합리적인 논쟁 포함)에 대한 오일러 감마 함수의 계산을 위한 빠른 알고리즘이 구성되었습니다. 카라츠바.[44] [45] [46]
1 / 24 산술-기하학 평균 반복을 사용하여 감마 함수를 빠르게 평가할 수도 있습니다(감마 함수의 특정 값 참조 ).[47]
적용들 한 저자는 감마 함수를 "가장 일반적인 특수 함수, 또는 그 중 가장 '특수한' 함수로 설명합니다. 다른 초월 함수 […]는 '특수'라고 불리는데, 이는 여러분이 많은 전문 수학적 주제를 멀리함으로써 그들 중 일부를 피할 수 있기 때문입니다. 반면 감마 함수 γ(z )
통합문제 감마 함수는 양자 물리학 , 천체 물리학 , 유체 역학 과 같은 다양한 분야에서 응용을 찾습니다.[49] 감마 함수의 관점에서 공식화된 감마 분포 는 광범위한 과정을 모형화하기 위해 통계학 에 사용됩니다. 예를 들어 지진이 발생하는 사이의 시간입니다.[50]
그러한 맥락에서 감마 함수가 유용한 주된 이유는 시간 또는 공간에서 기하급수적으로 붕괴되는 과정을 설명하는 유형f t ) g t {\ displaystyle t) e^{-g )}} 그러한 식들의 적분은 기본 해가 존재하지 않을 때 감마 함수의 관점에서 때때로 해결될 수 있습니다. 예를 들어 f g u a {\displaystyle a\cdot t}
∫ 0 ∞ t b e − a t d t = 1 a b ∫ 0 ∞ u b e − u d ( u a ) = Γ ( b + 1 ) a b + 1 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}\int_{0}^{\infty }u^{b}d\left ({\frac {u}{a}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.
적분이 전체 양의 실수선을 따라 수행된다는 사실은 감마 함수가 무한히 계속되는 시간 의존적 과정의 누적을 설명하거나 값이 무한 공간에서 분포의 총합이 될 수 있음을 의미할 수 있습니다.
물론 유한한 과정의 누적을 설명하기 위해 0과 ∞ 이외의 적분 한계를 취하는 것이 유용하며, 이 경우 일반적인 감마 함수는 더 이상 해가 아닙니다. 그 해를 불완전 감마 함수 라고 합니다. (양의 실수선 전체를 적분하여 얻은 일반적인 감마 함수는 때때로 대조에 대한 완전한 감마 함수라고 불립니다.)
지수함수적으로 붕괴하는 함수의 중요한 범주는 가우스 함수 의 범주입니다.
a e − ( x − b ) 2 c 2 {\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}} 그리고 오류 함수와 같은 그의 적분.이러한 함수와 감마 함수 사이에는 많은 상호 관계가 있습니다. 특히 γ(12 {\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)} displaystyle sqrt pi}} 정규 분포의 정규화 인자에서 발견 된 것과 "동일합니다.
지금까지 논의한 적분은 초월 함수를 포함하지만 감마 함수는 순수 대수 함수의 적분에서도 발생합니다. 특히, 대수 방정식에 의해 정의된 곡선 인 타원과 렘니세이트 의 호 길이 는 특별한 경우 감마 함수 측면에서 평가될 수 있는 타원 적분 에 의해 주어집니다. 감마 함수는 n차원초구 의 "부피"와 "면적" 을 계산하는 데도 사용될 수 있습니다.
제품계산 요인 곱을 일반화하는 감마 함수의 능력은 즉시 수학의 여러 영역에서 응용으로 이어집니다. 조합학 에서, 그리고 확률 이론 및 검정력 시리즈 계산과 같은 영역에서 확장됩니다. 연속적인 정수들의 곱을 포함하는 많은 식들은 인자들의 일부 조합으로 쓰여질 수 있는데, 가장 중요한 예는 아마도 이항 계수의 예일 것입니다.
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n! } {k!(n-k)! }}.}
이항 계수 예제는 음수로 확장할 때 감마 함수의 특성이 자연스러운 이유를 설명합니다. 이항 계수는 n개 의 원소 집합에서 k개 의 원소를 선택하는 방법의 수를 제공합니다. k n k n이면 (n k )! 는 음의 정수의 계승이므로 인자의 감마 함수 정의를 사용하면 무한이며 무한으로 나누면 0의 기대값이 됩니다.
요인을 감마 함수로 대체하여 그러한 공식을 복소수까지 확장할 수 있습니다. 일반적으로 각 요인이 지수 변수의 유리 함수 인 모든 곱에 대해 유리 함수를 선형 식으로 인수분해합니다. P Q p 1 , …,p m q 1 , q 를n 갖는 차수 m 과 n 의 단다항식이라면, 우리는 다음을 갖습니다.
∏ i = a b P ( i ) Q ( i ) = ( ∏ j = 1 m Γ ( b − p j + 1 ) Γ ( a − p j ) ) ( ∏ k = 1 n Γ ( a − q k ) Γ ( b − q k + 1 ) ) . {\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod_{j=1}^{m}{\frac {\Gamma(b-p_{j}+1)}{\ 감마(a-p_{j}}}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}{\frac {\Gamma(a-q_{k})}{\Gamma(b-q_{k}+1)}\right)}}
감마 함수를 수치로 계산하는 방법이 있다면 그런 제품의 수치를 계산하는 것은 쉬운 일입니다. 오른쪽에 있는 감마 함수의 수는 다항식의 정도에만 의존하므로 b a 가 5인지 10인지는5 중요하지 않습니다. 적합한 한계를 사용하면 왼쪽 제품에 0이나 극이 포함된 경우에도 방정식이 유지되도록 할 수 있습니다.
한계를 취함으로써 무한히 많은 인자를 가진 특정 유리곱을 감마 함수 측면에서도 평가할 수 있습니다. Weiersstrass 인수분해 정리 로 인해, 분석 함수는 무한 곱으로 쓰여질 수 있고, 이것들은 때때로 감마 함수의 유한 곱 또는 몫으로 표현될 수 있습니다.우리는 이미 한 가지 두드러진 예를 보았습니다: 반사 공식은 본질적으로 사인 함수를 두 감마 함수의 곱으로 나타냅니다. 이 공식을 시작으로 지수함수는 물론 삼각함수와 쌍곡선함수를 모두 감마함수로 표현할 수 있습니다.
초기하학적 함수 와 그 특수한 경우를 포함한 더 많은 함수들은 멜린-반스 적분 이라 불리는 감마 함수의 곱과 몫의 복잡한 윤곽 적분 을 통해 나타낼 수 있습니다.
해석수론 감마 함수의 응용은 리만 제타 함수 의 연구입니다. 리만 제타 함수의 기본 성질은 다음과 같은 함수식 입니다.
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π − s 2 = Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) π − 1 − s 2 . {\displaystyle \Gamma \left ({\frac {s}{2}}\right)\zeta(s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}=\Gamma \left ({\frac {1-s}{2}\right)\zeta(1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.
무엇보다도, 이것은 복소 평면에서 메로모형 함수에 대한 제타 함수의 분석적 연속 에 대한 명시적인 형태를 제공하고 제타 함수가 실선에서 무한히 많은 소위 "삼중한" 0을 가지고 있다는 즉각적인 증거로 이어집니다. Borwein 등은 이 공식을 "수학에서 가장 아름다운 발견 중 하나"라고 부릅니다.[51] 그 타이틀에 대한 또 다른 경쟁자는 아마
ζ ( s ) Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s e t − 1 d t t . {\displaystyle \zeta(s)\;\Gamma(s)=\int _{0}^{\infty}{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}
두 공식은 베른하르트 리만 이 1859년에 발표한 논문 "Uber die Anzahl der Primzahlen under ener gebenenen 수학적 분석의 도구를 사용하여 소수 를 연구하는 수학의 한 분야인 해석적 수론 의 발전에서 중요한 사건 중 하나. 이산형 개체로 간주되는 계승수는 많은 소인수를 포함하기 때문에 고전적인 수론에서 중요한 개념이지만, 리만은 연속적인 확장에 대한 사용을 발견했고, 이는 거의 틀림없이 더 중요한 것으로 밝혀졌습니다.
역사 감마 함수는 역사상 가장 저명한 수학자들의 관심을 끌었습니다. 1963년 쇼베넷 상을 수상한 기사 에서 필립 J. 데이비스 에 의해 기록된 그것의 역사는 18세기 이후 수학의 많은 주요 발전을 반영합니다. 데이비스의 말에 따르면, "각 세대는 감마 함수에 대해 흥미로운 무언가를 발견했습니다. 아마 다음 세대도 그럴 것입니다."[1]
18세기: 오일러와 스털링 다니엘 베르누이 가 크리스티안 골드바흐 에게 보낸 편지, 1729년 10월 6일계승을 정수가 아닌 논쟁으로 확장하는 문제는 1720년대 다니엘 베르누이 와 크리스티안 골드바흐 에 의해 처음 고려되었습니다. 특히 1729년 10월 6일자 Bernouli가 Goldbach에게 보낸 편지에서 Bernouli는 제품 표현을[52]
x ! = 절름발이 n → ∞ ( n + 1 + x 2 ) x − 1 ∏ k = 1 n k + 1 k + x {\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty}\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod_{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}} 음의 정수를 제외한 x
레너드 오일러 는 후에 두 가지 다른 정의를 내렸는데, 첫 번째 정의는 그의 적분이 아니라 음의 정수 무한 곱 이었습니다.
n ! = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ) n 1 + n k , {\displaystyle n! =\prod _{k=1}^{\infty}{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right) ^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}\,,}
그 중 그는 1729년 10월 13일자 편지를 통해 골드바흐에게 알렸습니다. 그는 1730년 1월 8일에 골드바흐에게 다시 편지를 써서, 그의 완전한 표현의 발견을 발표했습니다.
n ! = ∫ 0 1 ( − ln s ) n d s , {\displaystyle n! =\int _{0}^{1}(-\lns)^{n}\,ds\..}
이 값 -1 보다 클 때 유효합니다(즉, ℜ n )) 1 {\displaystyle \Re(n) -1}). 변수 t -lns 오일러는 상트페테르부르크 에 제출한 논문 "De progressionibus transcendentibus sequ quarum termini generales algebraic darinequent"(초월적 진행에 대하여, 일반적인 용어가 대수적으로 주어질 수 없는 것)에서 그의 결과를 발표했습니다. 1729년 11월 28일 페테르부르크 아카데미 .[53] 오일러는 반사 공식을 포함하여 감마 함수의 중요한 함수 특성 중 일부를 추가로 발견했습니다.
오일러와 동시대의 제임스 스털링 도 계승에 대한 연속식을 찾으려고 시도했고, 오늘날 스털링의 공식 으로 알려진 것을 생각해 냈습니다. 스털링의 공식은 n! 을 잘 추정하지만, 정수가 아닌 경우에도 정확한 값을 제공하지는 않습니다. 오류를 수정하는 그의 공식의 확장은 스털링 자신과 자크 필리프 마리 비네 에 의해 주어졌습니다.
19세기: 가우스, 바이어슈트라스 그리고 레전드르 오일러의 논문 제1면 칼 프리드리히 가우스 는 오일러의 곱을 다음과 같이 다시 썼습니다.
Γ ( z ) = 절름발이 m → ∞ m z m ! z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + m ) {\displaystyle \Gamma(z)=\lim _{m\to \infty}{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+m)}}
감마 함수의 새로운 성질을 발견하기 위해 이 공식을 사용했습니다. 오일러는 복소수 이론의 선구자였지만, 가우스가 처음 한 것처럼 복소수의 계승을 고려하지 않은 것으로 보입니다.[54] 가우스는 또한 감마 함수의 곱셈 정리 를 증명하고 감마 함수와 타원 적분 사이의 연관성을 조사했습니다.
카를 바이어슈트라스 는 또 다른 곱 표현으로부터 시작하여 복잡한 분석 에서 감마 함수의 역할을 확립했습니다.
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ ( 1 + z k ) − 1 e z k , {\displaystyle \Gamma(z)={\frac {e^{-\gamma z}{z}}\prod _{k=1}^{\infty}}\left(1+{\frac {z}{k}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}
여기 오일러-마스케로니 상수 입니다.Weiersstrass는 원래 자신의 제품을 1 / 1 이 결과에 영감을 받아 그는 바이어슈트라스 인수화 정리 라고 알려진 것을 증명했습니다. 즉, 모든 함수는 복소 평면에서 0보다 높은 곱으로 쓰여질 수 있다는 것입니다. 즉 , 기본 정리 를 일반화하는 것입니다.
감마 함수라는 이름과 기호 γ는 1811년경 아드리앙 마리 레전드르 에 의해 소개되었습니다. 레전드르는 오일러의 적분 정의를 현대적인 형태로 다시 썼습니다. 기호가 그리스 감마 대문자임에도 불구하고 함수 이름을 "감마 함수" 또는 "감마 함수"로 써야 하는지에 대한 허용된 표준이 없습니다(일부 저자는 단순히 "감마 함수"로 γ 함수"로 씁니다). 가우스로 인한 대안적인 "pi 함수" 표기법 π(z ) z
구별되는 기호를 사용하여 "". 계승"과 감마 함수를 구별하는 이유, 특히 감마 함수가 단순히 " γ(n ) = n (n + 1) = n! 으로 정규화되어야 하는 이유를 묻는 것은 정당합니다. 지수 x n 대한 표기법은 정수에서 복소수 x z 변경 없이 일반화되었다고 생각합니다. 정규화에 대한 레전드레의 동기는 알려지지 않은 것으로 보이며, 몇몇 사람들에 의해 번거롭다는 비판을 받고 있습니다(예를 들어, 20세기 수학자 코넬리우스 란초스 는 그것을 "어떤 합리성도 무효"라고 불렀고 대신 z [55] 레전드레의 정규화는 어떤 공식들은 단순화하지만 다른 공식들은 복잡하게 만듭니다. 현대적 관점에서, 감마 함수의 전설 정규화는 리 군 R + Haar 측정 {\ textstyle {\frac {dx}{x}} 문자 −x x z 적분입니다. 따라서 이러한 정규화는 감마 함수가 가우스 합의 연속적인 유사체라는 것을 더 명확하게 합니다.[56]
19-20세기: 감마 함수 특성화 감마 함수에 대해 많은 수의 정의가 제공되었다는 것은 다소 문제가 있습니다. 동일한 함수를 설명하지만 동등성을 증명하는 것은 완전히 간단하지 않습니다. 스털링은 그의 확장된 공식이 오일러 의 감마 함수와 정확히 일치한다는 것을 증명한 적이 없습니다 .[57] 각 공식에 대한 전문적인 증거를 찾는 대신, 감마 함수를 식별하는 일반적인 방법을 갖는 것이 바람직할 것입니다.
증명하는 한 가지 방법은 감마 함수를 특징짓는 미분 방정식 을 찾는 것입니다. 응용수학에서 대부분의 특수한 함수는 미분방정식의 해로 발생하는데, 미분방정식의 해는 독특합니다. 그러나 감마 함수는 단순한 미분 방정식을 만족하지 않는 것으로 보입니다. 오토 홀더는 1887년에 그러한 방정식의 해가 감마 함수의 반복 공식을 만족시킬 수 없음을 보여줌으로써 감마 함수가 적어도 어떤 대수적 미분 방정식도 만족시키지 않는다는 것을 증명했고, 이는 초월적 초월 함수 로 만들었습니다.이 결과를 ö더 정리 라고 합니다.
감마 함수의 명확하고 일반적으로 적용 가능한 특성은 1922년까지 주어지지 않았습니다. 그리고 나서 하랄드 보어와 요하네스 몰러럽은 보어-몰러럽 정리 z 에 대해 양이면서 로그로 볼록하고 또 다른 특징은 빌란트 정리 에 의해 주어집니다.
보어-몰러업 정리는 감마 함수를 정의하는 데 사용되는 여러 공식에 대해 로그 볼록성을 비교적 쉽게 증명할 수 있기 때문에 유용합니다. 더 나아가, 감마 함수를 특정 공식으로 정의하는 대신, 보어-몰러업 정리의 조건을 정의로 선택하고, 조건을 만족하는 모든 공식을 감마 함수를 연구하는 출발점으로 선택할 수 있습니다. 부르바키 그룹 은 이 방법을 사용했습니다.
Borwein & Corless는[58]
참조표 및 소프트웨어 감마 함수는 현대 컴퓨터의 수학적으로 단순한 함수처럼 쉽게 계산할 수 있지만, 물론 프로그래밍 가능한 포켓 계산기를 사용하더라도 항상 그런 것은 아닙니다. 20세기 중반까지, 수학자들은 수작업으로 만든 표에 의존했습니다; 감마 함수의 경우, 특히 1813년 가우스에 의해 계산된 표와 1825년 레전드르에 의해 계산된 표.[59]
Jahnke and Emde [de ]상위 함수 표 에서 복소 감마 함수의 절대값을 손으로 그린 그래프.1909년 독일에서 처음 출판된 Jahnke and Emde [de ]공식 곡선 사용한 함수 마이클 베리(Michael Berry )에 따르면, "복잡한 평면에서 감마 함수의 극을 보여주는 3차원 그래프의 J&E 출판물은 거의 상징적인 지위를 얻었습니다."[60]
이론 물리학에서 복잡한 감마 함수에 대한 응용이 발견된 1930년대까지 감마 함수의 실제 값 외에는 실제로 필요한 것이 거의 없었습니다. 1950년대에 전자 컴퓨터가 표를 생산하는 데 사용될 수 있게 되면서, 복합 감마 함수에 대한 몇 가지 광범위한 표가 발표되었는데, 그 중에는 미국 국립 표준국 의 소수점 12자리까지 정확한 표가 포함되어 있습니다.[1]
-4.5-2.5i에서 4.5+2.5i까지의 감마함수의 Janhke and Emde(식과 곡선이 있는 함수표, 1945)에 의한 유명한 복소도 재현 감마 함수와 로그의 이중 정밀 부동 소수점 구현은 이제 TK Solver , Matlab , GNU Octave , GNU Scientific Library 와 같은 대부분의 과학 컴퓨팅 소프트웨어 및 특수 함수 라이브러리에서 사용할 수 있습니다. 감마 함수는 C 표준 라이브러리(math.h )에도 추가되었습니다. 임의의 정밀도 구현 은 Mathematica 나 Maple과 같은 대부분의 컴퓨터 대수 시스템 에서 사용할 수 있습니다. PARI/GP , MPFR 및 MPFUN 에는 자유로운 임의 정밀도 구현이 포함되어 있습니다.Windows Calculator 및 GNOME Calculator와 같은 일부 소프트웨어 계산기 에서는 입력 x가 정수가 아닌 값일 때 요인 함수가 γ(x+1)을 반환합니다.
참고 항목 메모들 ^ a b c d e f g h i j k l m n Davis, P. J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function" . American Mathematical Monthly 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786 . JSTOR 2309786 . Retrieved 3 December 2016 . ^ "Is the Gamma function misdefined? Or: Hadamard versus Euler — Who found the better Gamma function?" .^ Beals, Richard; Wong, Roderick (2010). Special Functions: A Graduate Text ISBN 978-1-139-49043-6 28페이지 발췌 ^ Ross, Clay C. (2013). Differential Equations: An Introduction with Mathematica ISBN 978-1-4757-3949-7 식 G.2 293페이지 ^ Kingman, J. F. C. (1961). "A Convexity Property of Positive Matrices". The Quarterly Journal of Mathematics . 12 (1): 283–284. Bibcode :1961QJMat..12..283K . doi :10.1093/qmath/12.1.283 . ^ Weisstein, Eric W. "Bohr–Mollerup Theorem" . MathWorld ^ Davis, Philip. "Leonard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function" (PDF) . maa.org . ^ Bonvini, Marco (9 October 2010). "The Gamma function" (PDF) . Roma1.infn.it . ^ Askey, R. A. ; Roy, R. (2010), "Series Expansions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 ^ Waldschmidt, M. (2006). "Transcendence of Periods: The State of the Art" (PDF) . Pure Appl. Math. Quart . 2 (2): 435–463. doi :10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 Archived (PDF) from the original on 6 May 2006. ^ "How to obtain the Laurent expansion of gamma function around $z=0$?" . Mathematics Stack Exchange . Retrieved 17 August 2022 .^ a b Weisstein, Eric W. "Gamma Function" . MathWorld ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A030169" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A030171" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A178840" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A175472" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A175473" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A175474" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A256681" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A256682" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.^ Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2007). Table of Integrals, Series, and Products (Seventh ed.). Academic Press. p. 893. ISBN 978-0-12-373637-6 ^ Whittaker and Watson, 12.2 예제 1. ^ Detlef, Gronau. "Why is the gamma function so as it is?" (PDF) . Imsc.uni-graz.at . ^ Pascal Sebah, Xavier Gourdon. "Introduction to the Gamma Function" (PDF) . Numbers Computation . ^ 휘태커와 왓슨, 12.31 ^ 휘태커와 왓슨, 12시 32분입니다 ^ 휘태커와 왓슨, 12.22 ^ "Exponential integral E: Continued fraction representations (Formula 06.34.10.0005)" .^ "Exponential integral E: Continued fraction representations (Formula 06.34.10.0003)" .^ Bateman, Harry; Erdélyi, Arthur (1955). Higher Transcendental Functions . McGraw-Hill. ^ Srivastava, H. M.; Choi, J. (2001). Series Associated with the Zeta and Related Functions . The Netherlands: Kluwer Academic. ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results" . Ramanujan J . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5 . S2CID 120943474 . ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Erratum and Addendum to "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results"Ramanujan J . 42 (3): 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z . S2CID 125198685 . ^ "Log Gamma Function" . Wolfram MathWorld . Retrieved 3 January 2019 .^ "Leonhard Euler's Integral: An Historical Profile of the Gamma Function" (PDF) . Archived (PDF) from the original on 12 September 2014. Retrieved 11 April 2022 .^ Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations". Journal of Number Theory . 148 : 537–592. arXiv :1401.3724 doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009 . ^ Alexejewsky, W. P. (1894). "Über eine Classe von Funktionen, die der Gammafunktion analog sind" [On a class of functions analogous to the gamma function]. Leipzig Weidmanncshe Buchhandluns . 46 : 268–275. ^ Barnes, E. W. (1899). "The theory of the G -function". Quart. J. Math . 31 : 264–314. ^ Adamchik, Victor S. (1998). "Polygamma functions of negative order" . J. Comput. Appl. Math . 100 (2): 191–199. doi :10.1016/S0377-0427(98)00192-7 ^ Gosper, R. W. (1997). " ∫ n / 4 m / 6 log F ( z ) d z {\displaystyle \textstyle \int _{n/4}^{m/6}\log F(z)\,dz} q -series and related topics". J. Am. Math. Soc . 14 . ^ Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2002). "On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1". The Ramanujan Journal . 6 (2): 159–188. doi :10.1023/A:1015706300169 . S2CID 128246166 . ^ Bailey, David H.; Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2015). "On Eulerian log-gamma integrals and Tornheim-Witten zeta functions". The Ramanujan Journal . 36 (1–2): 43–68. doi :10.1007/s11139-012-9427-1 . S2CID 7335291 . ^ Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). "Integrals of powers of loggamma" . Proc. Amer. Math. Soc . 139 (2): 535–545. doi :10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 ^ E.A. 카라츠바, 초월 기능에 대한 빠른 평가. 문제. inf. transmission. Vol.27, No.4, pp. 339-360 (1991) ^ E.A. Karatsuba, 초월함수의 빠른 평가를 위한 새로운 방법에 관하여 러스, 수학. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246-247 (1991) ^ E.A. Karatsuba "빠른 알고리즘과 FEE 방법 " ^ Borwein, J. M.; Zucker, I. J. (1992). "Fast evaluation of the gamma function for small rational fractions using complete elliptic integrals of the first kind". IMA Journal of Numerical Analysis . 12 (4): 519–526. doi :10.1093/IMANUM/12.4.519 . ^ Michon, G.P. "Wayback Machine 에서 2010년 1월 9일 보관 된 삼각법 및 기본 기능 " 숫자 나.2007년 5월 5일 검색. ^ Chaudry, M. A. & Zubair, S. M. (2001). 응용 프로그램을 이용한 불완전 감마 함수 분류 37페이지 ^ 라이스, J. A. (1995) 수학적 통계와 데이터 분석 (제2판)p. 52–53 ^ Borwein, J.; Bailey, D. H. & Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics . A. K. Peters. p. 133. ISBN 978-1-56881-136-9 ^ "Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729 - 1826)" .^ 오일러의 논문은 Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57에 발표되었습니다. 원래 기사의 스캔 사본을 포함하는 오일러 아카이브의 E19 -- 디프로그레스티버스 초월 버스 석차항 일반론 대수학 다린퀸트 를 참조하십시오. ^ Remmert, R. (2006). Classical Topics in Complex Function Theory . Translated by Kay, L. D. Springer. ISBN 978-0-387-98221-2 ^ Lanczos, C. (1964). "A precision approximation of the gamma function". J. SIAM Numer. Anal. Ser. B . 1 (1): 86. Bibcode :1964SJNA....1...86L . doi :10.1137/0701008 . ^ Ilker Inam; Engin Büyükaşşk (2019). Notes from the International Autumn School on Computational Number Theory ISBN 978-3-030-12558-5 205페이지 발췌 ^ Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms) . Addison-Wesley. ^ Borwein, Jonathan M. ; Corless, Robert M. (2017). "Gamma and Factorial in the Monthly". American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 125 (5): 400–24. arXiv :1703.05349 Bibcode :2017arXiv170305349B . doi :10.1080/00029890.2018.1420983 . S2CID 119324101 .^ "What's the history of Gamma_function?" . yearis.com . Retrieved 5 November 2022 .^ Berry, M. (April 2001). "Why are special functions special?" . Physics Today . ^ "microsoft/calculator" . GitHub . Retrieved 25 December 2020 .^ "gnome-calculator" . GNOME.org . Retrieved 3 March 2023 . 추가열람 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). "Chapter 6" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Andrews, G. E. ; Askey, R.; Roy, R. (1999). "Chapter 1 (Gamma and Beta functions)". Special Functions . New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2 Artin, Emil (2006). "The Gamma Function". In Rosen, Michael (ed.). Exposition by Emil Artin: a selection . History of Mathematics. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society.Askey, R. ; Roy, R. (2010), "Gamma function" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Birkhoff, George D. (1913). "Note on the gamma function" . Bull. Amer. Math. Soc . 20 (1): 1–10. doi :10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 MR 1559418 .Böhmer, P. E. (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [Differential Equations and Definite Integrals ]. Leipzig: Köhler Verlag. Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function". American Mathematical Monthly 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786 . JSTOR 2309786 . Post, Emil (1919). "The Generalized Gamma Functions" . Annals of Mathematics . Second Series. 20 (3): 202–217. doi :10.2307/1967871 . JSTOR 1967871 . Retrieved 5 March 2021 . Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). "Section 6.1. Gamma Function" . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 Rocktäschel, O. R. (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments ]. Dresden: Technical University of Dresden . Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics . New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3 Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis ISBN 978-0-521-58807-2
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b301cf833bbeb5b493611c0f2f7764d8849f23)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aece978380b3b2581821b9066cb93db40d381ea4)
사각형의 위쪽에서 유사한 적분이라 합니다.그러면 I 
얻는
짝수이므로
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffed8d1a7ed3494701db7d9c051026d3991d8d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e88441c75db099825561c7f17455c5379f3311e)
(가) 양수가 되도록 합니다.
함수 
![{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f504445afbe43a5da3b485cb6814b33ea64eb6a)
+ 
_gamma_function_from_-4.5-2.5i_to_4.5%2B2.5i.svg)
