완전수

숫자 6의 완전 번호 상태 그림

수론에서, 완전수는 숫자 자체를 제외한 양의 제수의 합과 같은 양의 정수이다.예를 들어, 6은 1, 2, 3(자체 제외)의 제수를 가지며, 1 + 2 + 3 = 6이므로 6은 완벽한 숫자입니다.

숫자 자체를 제외한 숫자의 제수를 합한 합을 명사합이라고 합니다.따라서 완전수는 명사합과 같은 값입니다.마찬가지로, 완전수는 자신을 포함한 모든 양의 제수의 절반인 숫자이며, 기호에서는 $\sigma _{1}(n)=2n$ 1 ( $\sigma _{1}(n)=2n$ $\sigma _{1}(n)=2n$ $\sigma _{1}(n)=2n$ ({1} $(n) =$ 2 $\sigma _{1}(n)=2n$ n 입니다 $\sigma _{1}(n)=2n$ .여기서 $\sigma _{1}$ 1 \ $display$ style \ $displays$ _ {1} = 2 n 。여기서 1 1 \ display $style$ \ $displesignors$ _ { $1}$ is $\sigma _{1}$ the is - - the the the - - - equival equival - equival equival equival equival equival equival - equival equival equival equival equival equival - - equival equival equival equival equival equival equival equival equival equival equival equival예를 들어, 28은 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28로 완벽합니다.

이 정의는 유클리드의 원소(VII.22)부터 등장하여 έ,ςς μό (완전, 이상 또는 완전수)라고 불리고 있습니다.또한 Euclid는q ( $q(q+1)/2$ q + $q(q+1)/2$ ) $q(q+1)/2$ / 2 ( \ $displaystyle q$ ( $q$ + 1) / $q(q+1)/2$ 2 ( \ $displaystyle$ q $q$ )가 $q(q+1)/2$ $p$ 의정수 $p$ $2^{p}-1$ - $1$ ( \ $displaystyle$ $2^{$ p}- $1$ (현재는 메르센 소수라고 불리고 있는) 형식의 $소수인$ 경우 $q(q+1)/2$ q ( $q(q+1)/2$ + 1 ) / $q(q+1)/2$ ( \ $displaystyle$ q + 1)가 짝수라는 $q(q+1)/2$ 을 증명했다.2천년 후, 레온하르트 오일러는 모든 짝수가 이 ^[1]형태라는 것을 증명했다.이것은 유클리드로 알려져 있다.오일러 정리

홀수 완전수가 존재하는지, 무한히 많은 완전수가 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.처음 몇 개의 완전수는 6, 28, 496 및 8128입니다(OEIS의 시퀀스 A000396).

역사

기원전 약 300년에 유클리드는 2 - 1이 소수이면 2^p^p−1(2^p - 1)가 완벽하다는 것을 보여주었다.처음 4개의 완벽한 숫자는 초기 그리스 수학에서 알려진 유일한 숫자였고, 수학자 니코마우스는 ^[2]서기 100년경에 8128을 기록했다.현대 언어에서 니코마치에서는 모든 완벽한 숫자는 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ( $2^{n-1}(2^{n}-1)$ - $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ) $({displaystyle$ 2 $^{n-1}$ ( $2^{n}-1)$ $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 이며 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ , $2^{n}-1$ 서 $2^{n}-1$ - $2^{n}-1$ (\ $displaystyle$ 2 $^{n}-1)$ 은 $2^{n}-1$ ^[3]^[4]소수라고 증명하지 않는다.그는 n 자체가 소수여야 한다는 $것$ 을 모르는 것 같다.그는 또한 완벽한 숫자가 번갈아 6 또는 8로 끝난다고 말합니다.(처음 5개의 완벽한 숫자는 6, 8, 6, 8, 6, 6으로 끝나지만 6번째 숫자도 6으로 끝납니다.)알렉산드리아의 필로는 1세기 책 창조에 대하여에서 세계는 6일 만에 창조되었고 달은 28일 만에 공전한다고 주장하면서 6과 28이 완벽하기 때문에 완벽한 숫자를 언급하고 있다.필로의 뒤를 이어 오리겐과 ^[5]맹인 디디무스가 이어지는데, 그는 10,000보다 작은 딱 4개의 완벽한 숫자가 있다는 관찰을 덧붙인다.^[6]성 아우구스티누스는 서기 5세기 초 신의 도시(서 11권 30장)에 완벽한 숫자를 정의하며, 6이 가장 작은 완전수이기 때문에 6일 만에 세상을 창조했다는 주장을 되풀이한다.이집트 수학자 이스마일 이븐 팔루스 (1194–1252)는 다음 세 개의 완벽한 숫자 (33,550,336; 8,589,869,056; 그리고 137,438,691,328)를 언급했고,^[7] 현재 틀린 것으로 알려진 몇 개의 숫자를 더 나열했다.다섯 번째 완전수에 대한 유럽인들의 첫 번째 언급은 알려지지 않은 ^[8]수학자에 의해 1456년에서 1461년 사이에 쓰여진 원고이다.1588년, 이탈리아 수학자 피에트로 카탈디는 여섯 번째 (8,589,869,056)와 일곱 번째 (137,438,691,328)완전수를 확인했고, 또한 유클리드의 법칙에서 얻은 모든완전수는 6이나 ^[9]^[10]^[11]8로 끝난다는 것을 증명했다.

짝수 짝수

수학의 미해결 문제:

완벽한 숫자가 무한히 많나요?

(수학에서 풀리지 않은 문제가 더 많다)

유클리드는 2 - 1이 소수^p(원소, 제안)일^p 때 2(2 - 1)가 짝수라는 것을^p−1 증명했습니다.IX.36)

예를 들어, 첫 번째 4개의 완전수는 다음과 같이 p가 소수인 2^p(2 - 1) 공식에^p−1 의해 생성됩니다.

p = 2: 2¹(2² - 1) = 2 × 3 = 6

p = 3: 2²(2³ - 1) = 4 × 7 = 28

p = 5: 2⁴(2⁵ - 1) = 16 × 31 = 496

p = 7: 2⁶(2⁷ - 1) = 64 × 127 = 8128.

2-1^p 형식의 소수들은 수 이론과 완벽한 숫자를 공부한 17세기 승려 마린 메르센의 이름을 따서 메르센 소수라고 알려져 있다.2 - 1이 소수가 되려면^p p 자체가 소수가 되어야 한다.그러나 p가 소수인 2 - 1 형식의^p 모든 숫자가 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 2 - 1 = 2047 = 23 × 89는 ^[12]소수인¹¹ 것은 아니다.사실 메르센 소수는 매우 드물어서 2,610,944개의 소수 p에서 43,112,[13]609까지^p, 2-1은 47개의 소수입니다.

니코마치(Nicomachus)는 $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$ (증거 없이) $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$ 완벽한 숫자는 $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$ - $1$ ( $2n$ - 1 $)\left$ (2^{n}-1\right $)$ $2^{n}-1$ 이며, 여기서 $2^{n}-1$ $2^{n}-1$ ({ $display style$ 2 $^{n}-1\$ right $2^{n}-1$ )은 $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$ 소수라고 밝혔지만, Iben al-Haythen (아즈)는 약간 다르게 말했다.완벽한 숫자는 그런 ^[14]형태입니다.18세기에 이르러서야 레온하르트 오일러는 공식^p−1 2(2^p - 1)가 모든 짝수 완전수를 산출한다는 것을 증명했다.따라서, 짝수와 메르센 소수 사이에는 1대 1의 대응관계가 있다. 각 메르센 소수에는 짝수 짝수가 생성되며, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.이 결과는 종종 유클리드로 언급된다.오일러 정리

GIMPS 분산 컴퓨팅 프로젝트에 의한 철저한 검색 결과, 최초의 48개의 짝수 완전수는 2(2 - 1)인^p−1^p 것으로 나타났습니다.

p = 2, 3, 5, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132091, 85391, 7539, 7568OEIS의 ^[15]0043).

p = 74207281, 77232917 및 82589933인 세 개의 더 높은 완전수 또한 발견되었다.이 범위 내에 다른 것이 있을 수 있지만, GIMPS에 의한 초기 테스트에서는 109332539 미만의 p에 대해 다른 완벽한 수치는 발견되지 않았습니다.2018년 12월^[update] 현재 51개의 메르센 소수가 ^[16]알려져 있으며, 따라서 51개의 짝수(이 중 가장 큰 숫자는 4972만 4,095자리 2^82589933 × (2 - 1)이다^82589932.완벽한 수가 무한히 많은지, 메르센 소수가 무한히 많은지는 알려지지 않았다.

각^p−1 짝수는^p 2(2 - 1)번째 삼각수(1 - 2)번째 삼각수(1 - 2^p - 1)와^p 두 번째^p−1 육각수(1 - 1)이다.또한 6을 제외한 각 짝수 완전수는 ((2^p + 1)/3)번째 중심 비각수이며, 처음^(p−1)/2 2개의 홀수 입방체(2-1의^(p+1)/2 세제곱까지 홀수 입방체)의 합계와 같다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(2^{2}-1\right)&, =1+2+3,\\[8pt]28=2^ᆱ\left(2^{3}-1\right)&, =1+2+3+4+5+6+7=1^ᆲ+3^ᆳ,\\[8pt]496=2^ᆴ\left(2^{5}-1\right)&, =1+2+3+\cdots +29+30+31\\&, =1^ᆵ+3^ᆶ+5^ᆷ+7^ᆸ,\\[8pt]8128=2^ᆹ\left(2^{7}-1\right)&, =1+2+3+\cdots +125+126+127\\&, =1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^ᆩ,\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\오른쪽)&=1+2+3+\cdots +8189+8191\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+cdots +123^{3}+125^{3}+cdots^{3}+cdots^{3}.\end { aligned}}

짝수(6 제외)는 형식입니다.

\displaystyle T_{2^{p}-1=1+{\frac\left(2^{p}-2\right)\times \left(2^{p}+1\right)}{2}=1+9\times T_{\left(2^{p}-2\right)/3}}

각 결과 삼각수₇ T = 28, T₃₁ = 496, T₁₂₇ = 8128(완벽한 수에서 1을 뺀 후 9로 결과를 나눈 후)에서 T = 3, T = 55₁₀₄₂₂₇₃₀, T = 903, T = 3727815,^[17] ...로₂ 시작하는 수열은 3 또는 5로 끝난다.이것은 다음과 같이 재구성할 수 있습니다.짝수 완전수의 자리수(6 제외)를 더하고, 그 결과 얻은 자리수를 더하고, 1 자리수(디지털 루트라고 불린다)를 얻을 때까지 이 프로세스를 반복하면, 항상 숫자1이 생성됩니다.예를 들어 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 및 1 + 0 = 1이므로 8128의 디지털 루트는 1입니다.이는 홀수 소수 p의 모든 완전수^p−1 2(2 - 1)와^p 실제로 홀수 정수 m에 대한 형식^m−1 2(2^m - 1)의 모든 숫자와 함께 작동합니다(꼭 소수일 필요는 없습니다).

그^p−1 형태인^p 2(2 - 1) 때문에, 모든 짝수는 p 1 뒤에 p - 1 0이 이어지는 이진 형식으로 표현된다. 예를 들어, 다음과 같다.

6₁₀ = 2² + 2¹ = 110₂,

28₁₀ = 2⁴ + 2³ + 2² = 11100₂,

496₁₀ = 2⁸ + 2⁷ + 2⁶⁵ + 2 + 2⁴ = 11110000₂ 및

8128₁₀ = 2¹² + 2¹¹¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ = 11111000000₂.

그러므로 모든 짝수는 치명적인 숫자이다.

모든 짝수 완전수는 실용적인 숫자이기도 하다(cf).관련 개념).

홀수 완전수

수학의 미해결 문제:

홀수 만점수가 있나요?

(수학에서 풀리지 않은 문제가 더 많다)

다양한 결과를 얻었지만 홀수 완전수가 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.1496년, 자크 르페브르는 유클리드의 법칙이 모든 완벽한 ^[18]숫자를 제공한다고 말했고, 따라서 홀수 완전수는 존재하지 않는다고 암시했다.오일러는 이렇게 말했다: "혹시...홀수 완전수는 가장 어려운 질문입니다.^[19]최근 칼 포메런스는 홀수 완전수는 ^[20]존재하지 않아야 한다는 발견적 논거를 제시했습니다.모든 완전수는 또한 오레의 조화수이며, 1 외에 홀수 오레의 조화수가 없다는 추측도 있다.홀수 완전수에 대해 증명된 특성들 중 많은 것들이 데카르트의 수에도 적용되며, 페이스 닐슨은 그 숫자에 대한 충분한 연구가 홀수 완전수가 ^[21]존재하지 않는다는 증거로 이어질 수 있다고 제안했다.

홀수 완전수 N은 다음 조건을 충족해야 합니다.

N > 10¹⁵⁰⁰ 입니다.^[22]
N은 ^[23]105로 나누어지지 않는다.
N은 N 1 1(mod 12), N n 117(mod 468) 또는 N 81 81(mod 324)의 형식이다.^[24]
N은 형식입니다.

{\displaystyle N=q^{\alpha}p_{1}^{2e_{1}\cdots p_{k}^{2e_{k}},

여기서:

q, p₁, ..., p는_k 별개의 홀수 소수(Uler)입니다.
q αα 11 ( mod 4 ) ( Euler )
$N$ 의 최소 소수 인수는 $최대$ $}$ ^[25]
j의 경우⁶² q ^[22]> 10 또는⁶² p > 10 중 하나입니다^α_j^2e_j.
$({displaystyle N<2^{k+1}-2^{k+1}}})$ ^[26]^[27]
$\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ 1 + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ 3 + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ k $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ k - $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ 25 $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ { \ $displaystyle$ \ $alpha$ + $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ 2 e _ { 1 } + 2 $e$ _ { } + 2 $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ e _ { $k$ } + 2 e _ { $k$ } \ $geq$ { $66$ k - $191$ ^[25]^[28]}
$qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ 1 $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ p $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ k $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ < $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ 26 $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ （ $displaystyle qp$ _ { $1}p$ _ {2 $}p$ _ {3 $}$ \ $cdots p$ _ { $k$ } < $2N^$ { \ $frac$ { $17$ } { $26$ } $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ ^[29]。

$N$ 의 최대 소수 인수는 10보다 크고⁸^[30] $3$ 보다 작습니다 $.$ $N}}}.$
두 번째로 큰 소인수는 ^[32]10보다 크고⁴ ${\sqrt[{5}]{2N}}$ 보다 ${\sqrt[{5}]{2N}}$ 작습니다{ $displaystyle$ { ${\sqrt[{5}]{2N}}$ 5 ${\sqrt[{5}]{2N}}$ } { $2$ $N$ ^[33]
세 번째로 큰 소인수는 ^[34]100보다 ${\sqrt[{6}]{2N}}.$ ${\sqrt[{6}]{2N}}.$ 보다 작습니다 $({$ $displaystyle$ { $sqrt$ [ { $6$ } { $2N$ } 。 $}$ ^[35]
N에는 최소 101개의 소수 인자와 최소 10개의 개별 소수 ^[22]^[36]인자가 있습니다.3이 N의 요인 중 하나가 아니라면 N에는 최소 12개의 뚜렷한 소수 ^[37]요인이 있습니다.

또한₁ 지수 e, ..., e에_k 대해 몇 가지 사소한 결과가 알려져 있다.

모든_i e 1 1(mod 3)^[38]은 아닙니다.
모든_i e 2 2(mod 5)^[39]는 아닙니다.
모든_i e 1 1(mod 3) 또는 2(mod 5)의 경우 N의 최소 소수 인수는 10과 ^[39]10 사이에¹⁰⁰⁰ 있어야⁸ 합니다.
보다 일반적으로, 모든_i 2e+1이 주어진 유한 집합 S에서 소인수를 갖는다면, N의 최소 소인수는 ^[39]S에만 의존하는 효과적인 계산 가능한 상수보다 작아야 한다.
(e₁, ..., e_k)= (1, ..., 1, 2, ..., 2)가 t1 및 u twos일 경우 $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ ( $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ - $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ ) / $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ µ $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ 2 $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ + $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ { style ( $t-1)$ / $4$ \ $leq$ u\ $leq$ 2t + { \ $rt$ \ $alpha }$ ^[40]。
(e₁, ..., e_k) ( (1, ..., 1, 3),^[41] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).^[42]
e $=$ 인 $경우 1$ ...= $e k$ = $e,$ 그렇다면
- e는 ^[43]3, 5, 24,^[44] 6, 8, 11, 14 또는 ^[42]18일 수 없습니다.
- $k\leq 2e^{2}+8e+2$ $k\leq 2e^{2}+8e+2$ $k\leq 2e^{2}+8e+2$ 2 + $k\leq 2e^{2}+8e+2$ + $k\leq 2e^{2}+8e+2$ ({ $displaystyle$ k $\leq 2e^{2}+8e+2})$ $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ N < $2$ $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ e $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ + $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ e + $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ ({ $2^4^$ 2e^{ $2}+8e+3$ ^[45]

1888년 실베스터는 이렇게 말했다.^[46]

...그 문제에 대한 오랜 명상을 통해 나는 그러한 [홀수 만점수]의 존재, 말하자면 사방이 복잡하게 얽혀 있는 상황으로부터 도망치는 것은 기적에 가깝다고 만족했다.

마이너 결과

모든 짝수 완전수는 매우 정확한 형태를 가지고 있다; 홀수 완전수는 존재하지 않거나 희귀하다.완벽한 숫자에 대한 많은 결과들이 실제로 증명하기는 매우 쉽지만 표면적으로는 인상적입니다.그 중 일부는 리처드 가이의 강력한 소수의 법칙에 따라 결정됩니다.

x + 1 형식의³ 유일한 짝수는 28입니다(Makowski 1962).^[47]
28은 또한 두 양의 정수의 합인 유일한 짝수이다. (갈라르도 2010)^[48]
완전수 N의 제수의 역수는 2가 되어야 합니다(이 값을 얻으려면 완전수 , $\sigma _{1}(n)=2n$ ( $\sigma _{1}(n)=2n$ ) $=$ 2 $\sigma _{1}(n)=2n$ (\ $displaystyle \displaystyle$ _ ${1}(n$ )= $2n$ 의 정의를 취하고 양쪽을 n으로 나눕니다).
- 6의 경우 $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ 1 $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ + $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ / $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ + $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ / $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ + $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ / $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ $=$ 2 ({ $displaystyle$ 1/ $6+1$ /3 $+1/2+1/1=2$ 가 $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ .
- 28의 $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ $28$ + $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ / $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ + 1 $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ / $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ + $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ / $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ + $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ / $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ + 1 / $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ $=$ $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ (\ $displaystyle 1/28$ + 1 / $14$ + 1 / $7$ + 1 / $4$ + $1$ / 2 $= 2$ ）。
N은 완벽한 ^[49]제곱이 될 수 없으므로, 완벽한 수의 제수(짝수든 홀수든)는 짝수여야 합니다.
- 이 두 결과로부터 모든 완전수는 오레의 조화수라는 것을 알 수 있습니다.
짝수 완전수는 사다리꼴 숫자가 아닙니다. 즉, 두 양의 비연속 삼각수의 차이로 나타낼 수 없습니다.사다리꼴이 아닌 수에는 3종류의 짝수, 2의 거듭제곱 및 $2^{n-1}(2^{n}+1)$ - 1 $2^{n-1}(2^{n}+1)$ ( $2^{n-1}(2^{n}+1)$ + 1) $2^{n-1}(2^{n}+1)$ 의 수 ({ $displaystyle$ 2 $^{$ $n-1}$ ( $2^{n}+1))$ 가 있으며, $2^{n}+1$ + 1 $2^{n}+1$ (2^{ $n}+$ 1)의 $2^{n-1}(2^{n}+1)$ $2^{n}+1$ 곱으로 구성된 완벽한 수 ( $2n$ 1)와 같은 식으로 구성되어 있다.메르센 ^[50]프라임에서 나온 버즈야
n보다 작은 완전수는 c $c{\sqrt {n}}$ (\ $displaystyle$ c ${\sqrt {n$ 보다 작습니다.여기서 c >0은 ^[51]상수입니다. $o({\sqrt {n}})$ 는 little-o ^[52]표기법을 사용하여 $o$ ( $o({\sqrt {n}})$ $){\sqrt$ { $n$ 입니다 $.$
모든 짝수는 6 또는 28로 끝납니다.기본값 10은 6을 제외하고, 유일한 짝수는 1, 기본값 9로 끝은 ^[53]^[54]9입니다.따라서 특히 6 이외의 모든 짝수 완전수의 디지털 루트는 1입니다.
정사각형이 없는 유일한 완전수는 ^[55]6이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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v t 나눗셈 기반 정수 집합
개요	정수 인수분해 제수 유니터리 제수 약수 함수 소인수 산술의 기본 정리
인수분해 폼	프라임 컴포지트 세미프라임 프로닉 슈페닉 정사각형 프리 강력한. 완벽한 파워 아킬레스 매끄러운 규칙적인. 러프 비일상적인.
제약 제수합	완벽하다 거의 완벽하다 준감염성 곱셈완료 헤미퍼펙트 초완벽 초퍼펙트 유니터리 퍼펙트 반완벽 실용적인. 에르데스-니콜라스
제수가 많다	풍부한 원시 풍족 풍부. 과잉 어마어마하게 높은 컴포지트 뛰어난 컴포지트 이상하다.
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