복리

유효이자율

다양한 복합 주파수에서 최초 1,000달러 투자 시 연 20%의 이자를 받는 효과

복리후생은 대출금이나 예금 원금에 이자를 더하는 것, 즉 원금에 이자를 더하는 것이다.이는 이자를 재투자하거나 대출받은 자본에 이자를 더하거나 차입자에게 지급을 요구하여 다음 기간의 이자와 이전에 누적된 이자를 합친 결과이다.금융과 경제에서는 복리가 표준이다.

복리후생은 당기 원금에 과거 누적이자가 가산되지 않아 복리후생이 없는 단순이자와 대조된다.단순연간이자율은 기간당 이자액에 연간의 기간을 곱한 값이다.단순 연간 이자율은 명목 이자율이라고도 한다(물가상승률에 따라 조정되지 않은 이자율과 혼동하지 말 것).

복합 주파수

복합빈도는 누적이자를 정기적으로 지급하거나 자본화(계정에 대한 신용)하는 횟수이다.빈도는 년, 반기, 분기, 월, 주, 일 또는 연속(또는 만기까지 전혀 아님)입니다.

예를 들어, 이자가 연간 이자율로 표현된 월별 자본금은 복합빈도가 12이고 기간은 월 단위로 측정된다는 것을 의미한다.

복합화의 효과는 다음에 따라 달라집니다.

적용되는 명목 이자율 및
주파수 이자는 복합적입니다.

연등가율

명목금리는 복합빈도가 다른 대출 간에 직접 비교할 수 없다.이자부금융상품을 비교하기 위해서는 명목금리와 복합금리가 모두 필요하다.

소비자가 소매금융상품을 보다 공정하고 쉽게 비교할 수 있도록 하기 위해 많은 국가는 금융기관에 대해 비교기준으로 예금이나 선불의 연간 복리금리를 공시하도록 요구하고 있다.연등가 기준 금리는 시장마다 유효연간비율(EAPR), 연등가율(AER), 유효이자율, 유효연간비율, 연율수익률 및 기타 조건으로 다양하게 언급될 수 있다.유효연간이자율은 1년 말까지 지급될 누적이자 총액을 원금으로 나눈 값이다.

이러한 레이트를 정의하는 규칙에는 보통 다음 두 가지 측면이 있습니다.

이율은 연환산 복리후생이자율이다.
이자 이외의 요금이 부과될 수 있습니다.고객이 부과하고 제품과 직접 관련된 수수료 또는 세금 효과가 포함될 수 있습니다.정확히 어떤 수수료와 세금이 포함되거나 제외되는지는 국가에 따라 다르며, 이러한 용어의 사용은 일관되지 않을 수 있으며 현지 관행에 따라 달라질 수 있기 때문에 서로 다른 국가 간에 비교될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.

예

40년간 초기 10,000달러 투자 시 15%의 복리

최초 10,000달러 투자 시 연간 배당금 1.5%
40년간 총 배당금 266,864달러
이 시나리오에서는 배당이 재투자되지 않았습니다.

인플레이션은 40년 이상 서로 다른 비율로 악화되었다.

8 %

7 %

6 %

5%

4%

3%

2%

1%

1,000 브라질 헤알(BRL)은 브라질 저축 계좌에 연간 20%씩 예치되며, 연간 합산됩니다.1년 말에 1,000 × 20% = 200 BRL 이자가 계좌에 입금됩니다.이 계정은 두 번째 해에 1,200 × 20% = 240 BRL의 수익을 올립니다.
월 1%의 금리는 단순 연 12%의 금리(공칭 금리)에 해당하지만 복합 효과를 감안하면 연 12.68%(1.01¹²~1)에 해당한다.
회사채와 국채의 이자는 보통 연 2회 지급된다.지급이자액(매 6개월)은 공시이자율을 2로 나눈 후 원금으로 곱한 금액이다.연간 복합 이율은 공시 이율보다 높다.
캐나다의 주택담보대출은 일반적으로 반기마다 월별(^[1]또는 더 빈번한) 상환과 복합된다.
미국의 주택담보대출은 복리가 아닌 상각대출을 사용한다.이러한 대출의 경우, 상각일정을 사용하여 원리금 지급을 적용하는 방법을 결정한다.이러한 대출에서 발생한 이자는 원금에 추가되지 않고, 지급이 적용되면 매달 상환된다.
예를 들어 파생상품의 가치평가에서 연속적 배합법을 사용하는 것이 수학적으로 더 간단할 수 있다.이러한 금융상품의 가격을 지속적으로 복합하는 것은 이토 미적분의 자연스러운 결과이며, 금융파생상품은 한도에 도달하고 파생상품이 연속적으로 평가될 때까지 계속 증가하는 빈도로 평가된다.

할인 상품

미국과 캐나다의 T-Bills(단기 정부채무)는 다른 관례를 가지고 있다.이자는 할인 기준으로 (100 - P)/Pbnm으로 ^{[clarification needed]}계산되며, 여기서 P는 지급된 가격입니다.이자는 1년으로 정규화하는 대신 일수 t: (365/t)×100으로 비례한다(일수 계산 규칙 참조).

계산

주기적 복합화

원금 $합계$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 에 $P$ $복리$ I(\ $displaystyle$ I $I$ 를 더한 총 누적값은 다음 ^[2]^[3]공식으로 계산됩니다.

A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt

여기서:

A가 최종 금액입니다.
P는 원래 원금 합계입니다.
r은 명목 연간 이자율이다.
n은 복합 주파수입니다.
t는 관심이 적용되는 시간의 전체 길이입니다(r과 같은 시간 단위, 보통 년을 사용합니다).

발생한 총 복리후생금액은 최초 ^[4]원금을 뺀 최종값이다.

I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\오른쪽)^{nt}-P

예 1

1,500달러의 원금이 은행에 예치되어 있으며 분기별로 합산하여 연 4.3%의 금리를 지불한다고 가정합니다.
6년 후의 잔액은 위의 공식을 사용하여 구한다. P = 1500, r = 0.043(4.3%), n = 4, t = 6:

A=times \left(1+{\frac {0.04}{4}}\오른쪽)^{4\times 6}\약 1938.84

따라서 6년 후의 A 금액은 약 1,938.84달러입니다.

이 금액에서 원본 원금을 차감하면 다음과 같은 이자를 받을 수 있다.

1938.84-1984=438.84

예 2

같은 금액인 1,500달러를 격년(매 2년)에 한 번 복리후생한다고 가정합니다.(이것은 실제로 매우 이례적입니다.)6년 후의 잔액은 위의 공식을 사용하여 구한다. 즉, P = 1500, r = 0.043(4.3%), n = 1/2(2년마다 이자를 곱), t = 6:

{{displaystyle A=169회(1+(0.043회 2)^{6}{2}}\약 1921).24}

따라서 6년 후의 잔액은 약 1,921.24달러입니다.

수령 이자는 이 금액에서 원금을 빼서 계산할 수 있다.

(\displaystyle 1921.24-1992=421.24)

배합빈도가 낮아 이전 사례보다 이자율이 낮아졌다.

누적함수

주 P는 단순히 계수이기 때문에 단순화를 위해 종종 떨어지며 대신 결과 누적 함수를 사용합니다.누적 함수는 시간이 지나면 1달러가 얼마나 증가하는지 보여준다.

단순 및 복리 누적 함수는 다음과 같다.

a(t)=1+rt

{{displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}}\right)^{nt}

$nt=1$ t $nt=1$ $nt=1$ { $displaystyle$ nt $=$ 1 $nt=1$ 인 경우 이 두 기능은 동일합니다.

연속 배합

연간 배합 기간의 수인 n이 제한 없이 증가하므로 연속 배합으로 알려져 있으며, 이 경우 유효 연율은 e - $1$ 의 $상한$ 에^r 도달한다. $여기$ 서 e는 자연 로그의 기초가 되는 수학 상수이다.

연속 배합은 n이 무한대로 가는 한계치를 취함으로써 달성되는 배합 주기를 무한히 작게 만드는 것으로 생각할 수 있다.이 한계에 대한 수학적 증거는 지수 함수의 정의를 참조하십시오.연속 배합 기간 t 후의 양은 초기 양 P의₀ 관점에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P(t)=P_{0}e^{rt}.

관심의 힘

연속 배합에서는 $배합기간$ n(\ $style$ n $)$ 이 $n$ 무한대인 경향이 있으므로 연속 배합금리를 관심력 $\delta$ {\(\ $displaystyle \delta$ 이라고 한다.

수학에서, 축적 함수는 종종 자연 로그의 기저인 e로 표현된다.이것은 이자 공식을 조작하기 위해 미적분의 사용을 용이하게 한다.

연속 미분 가능한 누적 함수 a(t)에 대해, 관심의 힘 또는 보다 일반적으로 로그 또는 연속 복합 수익은 다음과 같이 정의된 시간의 함수이다.

_{t}=snfrac {a'(t)}{a(t)}=snfrac {d}{dt}}\ln a(t)

이것은 누적 함수의 로그 도함수입니다.

반대로:

a(t)=e^{\int_{0}^{t}\display_{s},ds},

(a

a(0)=1

(

a(0)=1

)

=

({style

a(0)=

1

이므로 이는 제품 일체형의 특정 사례로 볼 수 있습니다.)

위의 공식이 미분 방정식 형식으로 작성될 경우 관심의 힘은 단순히 변화량의 계수입니다.

da(t)=\display_{t}a(t),dt

연 이자율이 일정한 복리의 경우, 이자의 힘은 상수이며, 이자의 힘의 관점에서 이자를 합산하는 누적 함수는 e의 단순 거듭제곱이다.

\displaystyle =\ln(1+r)

또는

a(t)=e^{t\display}

이자의 효력은 연간 유효이자율보다는 작지만 연간 유효할인율보다는 크다.이것은 전자 접기 시간의 역수입니다.금리 표기법을 참조하십시오.

팽창력을 모델링하는 방법은 $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ t $=$ p + $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ 1 + $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ s $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ {\ $displaystyle \displaystyle _{t}=p+{s\over {1+$ display $^{st$ }}}}}} 공식으로 $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ , 여기서 p, r 및 s는 추정됩니다.

복합기준

한 복합기준에서 다른 복합기준으로 금리를 전환하려면 다음을 사용하십시오.

{\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{r_{1}}{n_{1}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}-1\right]{n_{2}},

여기서₁ r은 복합 주파수₁ n의 이자율₂, r은 복합 주파수₂ n의 이자율입니다.

이자가 지속적으로 복합되는 경우 사용

\displaystyle =n\ln {left(1+{\frac {r}{n}}\right}},

$\delta$ 서 ${\$ { $displaystyle$ \ $display }$ 는 $\delta$ 연속 복리 기준 이자율이고 r은 복리 빈도 n을 갖는 이자율입니다.

매월 상환된 대출금 또는 담보대출 상환액

상각된 대출금 및 주택담보대출의 이자는 대출금이 상환될 때까지 매월 원활하게 상환된다.지불 공식은 다음 인수에서 찾을 수 있습니다.

정확한 월지급 공식

정확한 월지급 공식( c $\display style$ c $c$ 은 다음과 같습니다.

{{displaystyle c=snap {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}

또는 동등하게

c=syslogfrac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}

여기서:

$\displaystyle$ c $=$ 월급
$P$ {\ $displaystyle$ P} = $P$ 주계약
$r$ $\$ $displaystyle$ r= $r$ 월 이자율
$n$ $\$ $displaystyle$ n= $n$ 지급기간수

이는 매달 상환해야 할 금액이 얼마나 남았는지를 고려해 도출할 수 있다.
첫 달 이후 남은 주계약자는

P_{1}=(1+r) P-c,

즉, 최초 금액에 이자를 더한 금액에서 지급액을 뺀 금액입니다.
대출금 전액을 한 달 후에 상환하면

P_{1}=0,

그렇게

P=syslogfrac {c}{1+r}

두 번째

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

(

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

+

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

)

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

-

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

\

displaystyle P_{2

} = (

1

+

r

)

P_{1

} -

c

} 이

P_{2}=(1+r)P_{1}-c

남았습니다.

P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c

만약 대출금이 두 달 후에 전부 상환된다면

P_{2}=0,

그렇게

P=syslogfrac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^2}}}

이 방정식은 n개월의 기간을 일반화합니다. ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ j ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ 1 ( ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ + ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ ) ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ \ $textstyle$ P $= c$ \ $sum$ _ { j ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ = $1$ }^{n $}{\frac$ { $1}{(1+r)^j$ ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ 합계를 갖는 기하급수입니다 $.$

{{displaystyle P=param frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{n}}\오른쪽)}

다시 정렬하여 줄 수 있습니다.

{{displaystyle c=snfrac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)}}=snfrac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}}}

스프레드시트 수식

스프레드시트에서는 PMT() 함수를 사용합니다.구문은 다음과 같습니다.

PMT(이자율, number_payments, present_value, future_value, [Type])

자세한 내용은 Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets를 참조하십시오.

예를 들어, 이자율이 6%(0.06/12), 25년 * 오후 12시, PV가 150,000달러, FV가 0인 경우, 유형은 0이다.

= PMT(0.06/12, 25 * 12, -48000, 0, 0) = $966.45

대략적인 월지급 공식

를 몇%이내에서 정확은 A공식을 전형적인 미국 지폐율(나는 8%{I<\displaystyle, 8\%}과 용어들 T{\displaystyle T}=10–30년 <)이 월간 노트 1에 비하면 적은 점:r<><1{\displaystyle r<.<1}는 ln ⁡(1+r)≈ r{\displaystyle에 의해 발견될 수 있다. \ln(1+r)\approx r} $\ln(1+r)\approx r$ 심플하게 할 수 있습니다.

c\apprough {1-e^{-nr}}=blac {P}{n}}{\flac {1-e^{-nr}}}

이것은 보조 변수를 정의하는 것을 제안합니다.

Y\equiv nr=IT

c_{0}\equiv {frac {P}{n}}.

$c_{0}$ 서 c $(\$ 은 $c_{0}$ n $(\display n)$ $n$ 로 $n$ 상환되는 무이자 대출에 필요한 월 지급액입니다.이러한 변수의 관점에서 근사치를 작성할 수 있습니다.

c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}

${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ f ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ Y ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ - ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ - ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ \ $textstyle f$ (Y) \ $equiv$ { ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ 1 - e^ { - $Y }$ - { \ $frac$ { Y } { ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ } - { \ frac { Y } {2} }는 짝수입니다 ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ .

f(Y)=f(-Y)

이는 Y $(\displaystyle$ Y $Y$ 의 짝수 파워로 확장할 수 있음을 의미합니다.

${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ Y 1 ${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ - ${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ - ${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ ( \ $frac$ { $Y$ } { 1 - e ^ { - $Y$ } )는 ${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ Y( \ $display$ $style$ Y )의 $Y$ 짝수 검정력 + Y $Y/2.$ / $Y/2.$ ( \ $display style$ Y / 2 $Y/2.$ )로 확장할 수 있습니다 $.$

그때 정의하면 편리할 것이다.

X=black {1}{2}}Y=sqfrac {1}{2}}IT

하도록

c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}

확장 가능:

c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}-{\frac {1}{45}X^{4}+\cdots\right}}

여기서 줄임표는 $X$ 의 짝수승(\ $displaystyle$ X $X$ 보다 높은 차수를 나타냅니다.확장

P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)

는 X $X\leq 1$ 1 { $displaystyle$ X \ $leq$ 1 $X\leq 1$ }에서 1% 이상 유효합니다.

주택담보대출의 지급 예

만기 30년, 어음 금리 4.5%의 10,000달러 담보대출의 경우, 우리는 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

T=30

I=0.045

그러면

X=black {1}{2}}IT=.675

하도록

\displaystyle P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{2}\right)=$33.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}

정확한 지불금액은 P $=$ 02(\ $displaystyle$ P $=\$608.$ 02)이므로 $P=\$608.02$ 대략 1/6%의 과대평가입니다.

투자: 월예금

원금(초기) 예금과 반복 예금이 주어졌을 때, 투자의 총 수익률은 단위 시간 당 얻은 복리로 계산할 수 있다.필요한 경우, 추가 비반복성 예금과 반복성 예금에 대한 이자도 동일한 공식 내에서 정의할 수 있다(아래 ^[5]참조).

$P$ $\$ $displaystyle$ P= $P$ 원금예금
$r$ $\$ $displaystyle$ r= $r$ 수익률(표준)
$M$ {\ $displaystyle$ M $}$ = $M$ 월간예금 및
$t$ $\$ $displaystyle$ t= $t$ 시간(개월)

각 예금에 대한 복합 이자는 다음과 같습니다.

{{displaystyle M'=M(1+r)^{t}}

그리고 전체 기간에 걸쳐 모든 반복예금을 더한다(예금이 원금 투자로 시작되면 i는 0에서 시작하고, 예금이 다음 달에 시작되면 i는 1에서 시작한다).

M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}

기하 급수 인식:

M

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

M

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

i

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

-

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

(

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

+

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

)

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

(

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

+

r

)

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

{ \

display

style

M '

= M

\

sum

_ {

i =

0

}

{ \

frac

{

1

1/(1+r)

}

{ (

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

1/(1+r)

+

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

1/(1+r)

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

)

1/(1+r)

} displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay

M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}

1 /

r

)

P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}+P(1+r)^{t}

두 가지 이상의 유형의 예금(반복 또는 비반복)이 발생하는 경우 얻은 복합값은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

{\text{Value}=M{(1+r)^{t}-1}{r}+P(1+r)^{t}+k{(1+r)^t-x}-1}{r}+C(1+r)^t-y}

여기서 C는 각 일시금, k는 비월 반복 예금, x와 y는 신규 예금과 모델링 기간 t의 총 기간 간의 시간 차이입니다.

각 반복예금의 정확한 날짜와 금액을 알 수 없을 때 수익률을 역계산하는 실제 추정치는 다음과 같다.^[6]

r=\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t

또는

r=\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}\right)^{1/t}-1

역사

대출자들이 청구할 때 복리후생은 한때 최악의 고리대금업으로 여겨졌고 로마법과 많은 다른 ^[7]나라의 관습법에 의해 혹독한 비난을 받았다.

피렌체의 상인 프란체스코 발두치 페골로티는 약 1340년의 그의 책 프라티카 델라 메르카투라에 복합 관심 표를 제공했습니다.1%에서 8%의 금리에 대해 최대 20년간 ^[8]100리라의 이자를 준다.Luca Pacioli(1494)의 Summa de 산술집에서는 복리로 투자하는 연수가 두 배가 되도록 하려면 이자율을 72로 나누어야 한다는 72의 규칙을 제시한다.

1613년에 출판된 리처드 위트의 책 산술적 질문은 복합 관심사에 획기적인 사건이었다.이전의 작가들이 수학 교과서의 단 한 장에 걸쳐 복합적인 관심사를 간략하게 다룬 반면, 그것은 전적으로 그 주제에 전념했다.위트의 책은 10%(당시 대출이 가능한 최고 이자율)와 부동산 리스 평가와 같은 다른 목적을 위한 다른 이자율에 근거한 표를 제시했습니다.위트는 런던의 수학 개업의였고 그의 책은 124개의 작업 ^[9]^[10]예시로 표현의 명확성, 통찰력, 계산의 정확성으로 유명하다.

Jacob Bernouli는 1683년에 복합 관심사에 대한 질문을 연구하여 $e$ 를 $e$ 발견했습니다.

19세기, 그리고 아마도 그 이전에, 페르시아 상인들은 그들의 ^[11]머릿속에서 쉽게 계산할 수 있는 월 지급 공식에 약간 수정된 선형 테일러 근사치를 사용했다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#twebo-ga:s_6^{[permanent dead link]} 이익법(캐나다), 법무부.이자법은 주택담보대출에 부과해야 할 이자율을 "미리 계산하지 않고 매년 또는 반년마다 계산한다"는 명세서를 포함하지 않는 한 이자를 회수할 수 없다고 명시하고 있다.실제로 은행은 반기 이율을 사용한다.
^ "Compound Interest Formula". qrc.depaul.edu. Retrieved 2018-12-05.
^ Investopedia Staff (2003-11-19). "Continuous Compounding". Investopedia. Retrieved 2018-12-05.
^ "Compound Interest Formula - Explained". www.thecalculatorsite.com. Retrieved 2018-12-05.
^ "Using Compound Interest to Optimize Investment Spread".
^ http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "투자의 네 가지 기둥과 모틀리 바보가 추천"
^ 이 문서에는 현재 공용 도메인에 있는 게시물의 텍스트가 포함되어 있습니다.: 누락 또는 비어 있습니다(도움말).
^ Evans, Allan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura. Cambridge, Massachusetts. pp. 301–2.
^ Lewin, C G (1970). "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries. 96 (1): 121–132. doi:10.1017/S002026810001636X.
^ Lewin, C G (1981). "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries. 108 (3): 423–442. doi:10.1017/S0020268100040865.
^ Milanfar, Peyman (1996). "A Persian Folk Method of Figuring Interest". Mathematics Magazine. 69 (5): 376. doi:10.1080/0025570X.1996.11996479.

[1] ttp://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#twebo-ga:s_6^{[permanent dead link]} 이익법(캐나다), 법무부.이자법은 주택담보대출에 부과해야 할 이자율을 "미리 계산하지 않고 매년 또는 반년마다 계산한다"는 명세서를 포함하지 않는 한 이자를 회수할 수 없다고 명시하고 있다.실제로 은행은 반기 이율을 사용한다.

[2] "Compound Interest Formula". qrc.depaul.edu. Retrieved 2018-12-05.

[3] Investopedia Staff (2003-11-19). "Continuous Compounding". Investopedia. Retrieved 2018-12-05.

[4] "Compound Interest Formula - Explained". www.thecalculatorsite.com. Retrieved 2018-12-05.

[5] "Using Compound Interest to Optimize Investment Spread".

[6] ttp://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "투자의 네 가지 기둥과 모틀리 바보가 추천"

[r1728-7] 이 문서에는 현재 공용 도메인에 있는 게시물의 텍스트가 포함되어 있습니다.: 누락 또는 비어 있습니다(도움말).

[8] Evans, Allan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura. Cambridge, Massachusetts. pp. 301–2.

[9] Lewin, C G (1970). "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries. 96 (1): 121–132. doi:10.1017/S002026810001636X.

[10] Lewin, C G (1981). "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries. 108 (3): 423–442. doi:10.1017/S0020268100040865.

[11] Milanfar, Peyman (1996). "A Persian Folk Method of Figuring Interest". Mathematics Magazine. 69 (5): 376. doi:10.1080/0025570X.1996.11996479.

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