게오르크 칸토어

Georg Cantor
게오르크 칸토어
칸토어, 1910
태어난
게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어

(1845-03-03)1845년 3월 3일
죽은1918년 1월 6일 (1918-01-06) (72세)
할레, 독일 제국 작센 주
국적.독일의
모교
유명함집합론
배우자.
발리 구트만
(m. 1874)
시상식실베스터 메달 (1904)
과학경력
필드수학
인스티튜트스할레 대학교
논문DEA 등식버스 secundi gradus in determinatis (1867)
박사 지도교수

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (/ˈk ænt ɔːr/KAN-tor, 독일어: [ˈɡ ːɔʁˈɛʁ 다이난트 ˈɪtv ɔʁˈˈ칸트 ː]; 3월 3일 [OS. 19. 1845년 2월] – 1918년 1월 6일)은 수학자였습니다.그는 수학의 기본 이론이 된 집합론의 창조에 중추적인 역할을 했습니다.칸토어는 무한 집합과 잘 정렬된 집합을 정의하고, 두 집합의 구성원 간의 일대일 대응의 중요성을 확립했고, 실수자연수보다 더 많다는 것을 증명했습니다.이 정리에 대한 칸토어의 증명 방법은 무한대의 존재를 암시합니다.그는 기수서수 그리고 그들의 산술을 정의했습니다.칸토어의 작품은 철학적으로 매우 흥미로운 것으로, 그가 잘 알고 있던 사실입니다.[2]

원래 칸토어의 정수론은 직관에 어긋나는 것으로 여겨졌고, 심지어 충격적이었습니다.이것은 레오폴드 크로네커와 앙리 푸앵카레[3] 같은 수학 동시대의 사람들과 나중에 헤르만 바일L. E. J. 브라우어의 저항에 부딪히게 하였고, 루트비히 비트겐슈타인철학적 반대를 제기하였습니다.독실한 루터교 기독교인 칸토어는 그 이론이 신에 의해 그에게 전달되었다고 믿었습니다.[4][5]어떤 기독교 신학자들은 (특히 신학파) 칸토어의 업적을 신의[6] 본질에서 절대적 무한성에 대한 도전으로 여겼는데, 한 때는 트랜스피니트 수에 대한 이론과 범신론[7] 동일시하기도 했는데, 이 명제는 칸토어가 강력하게 거부한 것이었습니다.모든 신학자들이 칸토어의 이론에 반대한 것은 아닙니다; 저명한 신 학파 철학자 콘스탄틴 구트베를레는 그것에 찬성했고 요한 침례교 프란젤린 추기경은 그것을 타당한 이론으로 받아들였습니다 (칸토어가 중요한 설명을 한 후).[8]

칸토어의 업적에 대한 반대는 때때로 격렬했습니다.레오폴트 크로네커의 공개적인 반대와 인신공격에는 칸토어를 "과학적인 사기꾼", "이탈자", "젊음의 부패자"로 묘사하는 것이 포함되었습니다.[9]크로네커는 칸토어의 증명들이 대수적인 수는 셀 수 없고 초월수는 셀 수 없다는 것에 반대했고, 결과는 현재 표준 수학 교육과정에 포함되어 있습니다.칸토어가 죽은 지 수십 년 후에 쓴 글에서 비트겐슈타인은 수학이 "집합 이론의 사악한 관용구들을 끝까지 꿰뚫고 있다"고 한탄했고, 그는 이것을 "웃기고" "잘못된" "터무니없는 헛소리"라고 일축했습니다.[10]칸토어가 1884년부터 그의 삶의 말기까지 반복적으로 우울증을 앓은 것은 많은 동시대 사람들의 적대적인 태도 때문이라고 비난 받아 왔지만,[11] 일부 사람들은 이 에피소드들이 양극성 장애의 가능성 있는 징후라고 설명합니다.[12]

혹독한 비판은 나중에 칭찬과 맞먹었습니다.1904년 왕립학회는 수학 분야에서 수여할 수 있는 최고의 영예인 실베스터 메달을 수여했습니다.[13]데이비드 힐베르트는 "누구도 칸토어가 창조한 낙원에서 우리를 쫓아내지 말라"고 선언함으로써 비평가들로부터 그것을 옹호했습니다.[14][15]

전기

청소년과 학업

칸토어, 1870년경

러시아 제국의 상트페테르부르크에서 1845년에 태어난 게오르크 칸토어는 11살까지 그 도시에서 자랐습니다.여섯 자녀 중 장녀였던 그는 뛰어난 바이올리니스트로 평가받았습니다.그의 할아버지 프란츠 ö (1788–1846) (바이올리니스트 조셉 ö의 동생)은 러시아 제국 오케스트라의 유명한 음악가이자 솔리스트였습니다.칸토어의 아버지는 상트페테르부르크 증권거래소의 회원이었고, 그가 병에 걸렸을 때, 가족은 1856년에 독일로 이주하여 비스바덴으로, 후 프랑크푸르트로 이주하여 상트페테르부르크의 겨울보다 더 온화한 겨울을 보냈습니다.1860년, 칸토어는 다름슈타트레알 학교에서 우수한 성적으로 졸업했습니다.1862년 8월, 그는 후에 현재의 Technische Universität Darmstadt라는 "Höhere Gewerbeschule Darmstadt"를 졸업했습니다.[17][18]1862년 취리히에 있는 스위스 연방 폴리테크닉 대학에 입학했습니다.1863년 6월 아버지의 사망으로 상당한 유산을 받은 뒤 베를린 대학교로 편입하여 레오폴트 크로네커, 카를 바이어슈트라스, 에른스트 쿰머의 강의에 참석했습니다.[19]그는 1866년 여름 괴팅겐 대학교에서 수학 연구를 위한 센터에서 보냈습니다.칸토어는 좋은 학생이었고, 1867년에 박사학위를 받았습니다.[19][20]

교사와 연구원

칸토어는 1867년에 베를린 대학교에서 정수론에 관한 논문을 제출했습니다.베를린 여학교에서 짧게 가르친 후, 그는 할레 대학에서 자리를 잡았고, 그곳에서 그의 전 생애를 보냈습니다.그는 1869년 할레 대학교에 부임하면서 발표한 정수론에 관한 논문으로 필수 재활 치료를 받았습니다.[20][21]

1874년, 칸토어는 발리 구트만과 결혼했습니다.그들은 6명의 자녀를 두었는데, 마지막(루돌프)는 1886년에 태어났습니다.캔터는 아버지로부터 물려받은 유산 덕분에 적은 학자금에도 불구하고 가족을 부양할 수 있었습니다.칸토어는 하르츠 산맥에서 신혼여행을 하는 동안, 2년 전 휴가 중에 스위스 인터라켄에서 만났던 리차드 데데킨트와 수학 토론을 하며 많은 시간을 보냈습니다.

칸토어는 1872년에 특임교수로 승진했고 1879년에 정교수가 되었습니다.[20][19]34세에 후기 순위에 오른 것은 주목할 만한 업적이었지만, 칸토어는 그 당시 독일의 선두 대학이었던 베를린의 더 명문 대학의 석좌를 원했습니다.하지만, 그의 작품은 그것이 가능하기에는 너무 많은 반대에 부딪혔습니다.[22]1891년 사망할 때까지 베를린에서 수학을 이끌었던 크로네커는 칸토어를 동료로 두는 것에 대해 점점 더 불편해했고,[23] 그를 젊은 세대의 수학자들에게 자신의 생각을 가르친 것에 대해 "젊음의 부패자"로 인식했습니다.[24]더 나쁜 것은, 수학계 내에서 확고한 인물이자 칸토어의 전 교수였던 크로네커가 1874년 칸토어의 첫 번째 주요 출판물의 출판을 의도적으로 연기한 이후로 칸토어의 연구의 추진력에 근본적으로 동의하지 않았다는 것입니다.[20]현재 수학에서 구성적 관점의 창시자 중 한 명으로 보이는 크로네커는 칸토어의 집합론을 싫어했는데, 그 이유는 칸토어의 집합론이 어떤 성질을 만족시키는 집합의 존재를 주장하면서도, 그 성질을 만족시키는 집합의 구체적인 예는 제시하지 않았기 때문입니다.칸토어가 베를린에 자리를 신청할 때마다 그는 거절당했고, 그 과정은 보통 크로네커와 관련이 있었기 때문에,[20] 칸토어는 크로네커의 입장이 그가 할레를 떠나는 것을 불가능하게 만들 것이라고 믿게 되었습니다.

1881년 칸토어의 할레 동료 에두아르트 하이네가 세상을 떠났습니다.할레는 하이네의 빈 의자를 데데킨트 하인리히 M에게 제공하자는 칸토어의 제안을 받아들였습니다. 베버프란츠 메르텐스가 그 순서였지만, 그 자리를 제공받은 후 각각 거절했습니다.프리드리히 방게린이 결국 임명되었지만, 그는 결코 칸토어와 친하지 않았습니다.

1882년, 칸토어와 데데킨트의 수학적 대응이 막을 내렸는데, 이는 데데킨트가 할레의 의자를 거절한 결과로 보입니다.[25]칸토어는 또한 스웨덴의 괴스타 미타그레플러와 또 다른 중요한 서신을 주고받기 시작했고 곧 미타그레플러의 저널 악타마티카에 출판하기 시작했습니다.그러나 1885년, Mittag-Leffler는 Cantor가 Acta에 제출한 논문에서 철학적 성격과 새로운 용어에 대해 우려했습니다.[26]그는 이 논문이 증거가 되는 동안 캔터에게 를 철회해달라고 요청했고, 이 논문은 "약 100년이 너무 빨랐다"고 썼습니다. 캔터는 이에 응했지만, 미타그레플러와의 관계와 서신 교환을 축소하고, 제3자에게 "미타그레플러가 마음대로 했다면, 저는 1984년까지 기다려야 했는데, 제가 보기에는 너무 빨랐던 것 같습니다.엄청난 요구!하지만 물론 악타마티카에 대해서는 다시는 알고 싶지 않습니다."[27]

칸토어는 1884년 5월에 처음으로 알려진 우울증을 겪었습니다.[19][28]그의 작품에 대한 비판은 그의 마음을 짓눌렀습니다: 1884년에 그가 미타그 레플러에게 쓴 52통의 편지들은 모두 크로네커를 언급했습니다.이 편지들 중 한 구절은 칸토어의 자신감에 손상을 입혔음을 보여주고 있습니다.

... 나는 내가 언제 과학 연구의 연속으로 돌아갈지 모릅니다.지금 저는 그것으로 아무것도 할 수 없고, 제 강의의 가장 필요한 의무로 제 자신을 제한합니다. 필요한 정신적 신선함만 있다면 과학적으로 활동하는 것이 얼마나 행복할까요?[29]

이 위기가 그로 하여금 수학보다는 철학 강의에 지원하게 만들었습니다.그는 또한 프랜시스 베이컨윌리엄 셰익스피어의 것으로 추정되는 희곡들을 썼다는 증거가 있을지도 모른다고 생각하며 엘리자베스 문학에 대한 집중적인 연구를 시작했습니다. (셰익스피어의 저자 문제 참조) 이것은 결국 1896년과 1897년에 출판된 두 개의 팜플렛으로 귀결되었습니다.[30]

칸토어는 그 후 곧 회복되었고, 그 후 그의 대각선 주장정리를 포함하여 더 중요한 공헌을 했습니다.그러나, 그는 1891년 12월 29일 크로네커가 사망한 후에도 1874-84년의 놀라운 논문의 높은 수준을 다시는 달성하지 못했습니다.[20]그는 결국 크로네커와 화해를 모색했고, 성사시켰습니다.그럼에도 불구하고 이들을 나누는 철학적 갈등과 어려움은 계속되었습니다.

1889년 칸토어는 독일 수학 협회를 설립하는 데 중요한 역할을 했고,[20] 1891년 할레에서 처음으로 그의 대각선 주장을 소개한 회의를 주재했습니다. 그의 명성은 크로네커의 연구에 대한 반대에도 불구하고 이 학회의 첫 회장으로 선출될 수 있을 만큼 충분히 강했습니다.크로네커가 그에게 보여준 반감은 차치하고, 칸토어는 그에게 회의 연설을 하도록 초대했지만, 크로네커는 그의 아내가 그 당시 스키 사고로 입은 부상으로 죽어가고 있었기 때문에 그렇게 할 수 없었습니다.게오르크 칸토어는 또한 1897년 스위스 취리히에서 열린 첫 번째 국제 수학자 대회의 설립에 중요한 역할을 했습니다.[20]

말년과 죽음

1884년 칸토어의 입원 이후 1899년까지 그가 어떤 요양소에도 있었다는 기록은 없습니다.[28]그 두 번째 입원 직후, 캔터의 막내 아들 루돌프가 12월 16일에 갑자기 사망했고(캔터는 바코니아 이론윌리엄 셰익스피어에 대한 그의 견해에 대한 강의를 하고 있었고), 이 비극은 캔터의 수학에 대한 열정의 많은 부분을 고갈시켰습니다.[31]칸토어는 1903년에 다시 병원에 입원했습니다.1년 후, 그는 제3회 국제 수학자 대회에서 줄리어스 쾨니히가 발표한 논문에 격분하고 동요했습니다.이 논문은 트랜스피니트 집합론의 기본 원리가 거짓임을 증명하고자 했습니다.그 신문이 그의 딸들과 동료들 앞에서 읽혀졌기 때문에, 칸토어는 자신이 공개적으로 모욕을 당한 것으로 인식했습니다.[32]에른스트 체르멜로는 하루도 지나지 않아 쾨니히의 증명이 실패했음을 증명했지만, 칸토어는 여전히 흔들리며 잠시 신에게 의문을 제기했습니다.[13]칸토어는 평생 만성 우울증에 시달렸고, 이 때문에 여러 차례 교편을 잡지 못했고 여러 요양원에 반복적으로 갇혀있었습니다.1904년의 사건들은 2-3년의 간격을 두고 일련의 입원에 앞서 있었습니다.[33]그러나 1903년 도이체 수학자-베레이니궁 회의에서 집합론의 역설(부랄리-포르티 역설, 칸토어의 역설, 러셀의 역설)을 강의하고 1904년 하이델베르크에서 열린 국제수학자대회에 참석하는 등 수학을 완전히 포기하지는 않았습니다.

1911년 칸토어는 세인트루이스 대학교 설립 500주년 기념식에 초청된 저명한 외국 학자 중 한 명이었습니다. 스코틀랜드의 앤드류스.칸토어는 새로 출판된 프린시피아 수학자가 칸토어의 작품을 반복적으로 인용한 버트런드 러셀을 만나기를 희망하며 참석했지만 만남은 성사되지 않았습니다.다음 해, 세인트 앤드류스는 칸토어에게 명예 박사 학위를 수여했지만, 병으로 인해 직접 학위를 받는 것이 불가능했습니다.

칸토어는 1913년에 은퇴했고, 제1차 세계대전 동안 가난하고 영양실조로 고통 받으며 살았습니다.[34]그의 70번째 생일을 축하하는 공개 행사는 전쟁 때문에 취소되었습니다.1917년 6월, 그는 마지막으로 요양원에 들어갔고 집에 갈 수 있게 해달라고 아내에게 계속해서 편지를 썼습니다.게오르크 칸토어는 1918년 1월 6일 그의 생애 마지막 해를 보냈던 요양원에서 치명적인 심장마비를 일으켰습니다.[19]

수학작품

1874년에서 1884년 사이의 칸토어의 작품은 집합론의 기원입니다.[35]이 연구 이전에, 집합의 개념은 아리스토텔레스의 개념으로 거슬러 올라가 수학의 시작부터 암시적으로 사용되어 왔던 다소 기초적인 개념이었습니다.아무도 집합론이 사소한 내용을 가지고 있다는 것을 깨닫지 못했습니다.칸토어 이전에는 유한 집합(이해하기 쉬운 집합)과 "무한"(수학적 논의보다는 철학적 논의의 주제로 간주되는 집합)만이 존재했습니다.무한 집합에 가능한 많은 크기가 있다는 것을 증명함으로써, 칸토어는 집합 이론이 사소하지 않고 연구될 필요가 있다는 것을 확립했습니다.집합론은 수학의 모든 전통적인 영역(예를 들어 대수학, 해석학, 위상수학 등)으로부터 수학적 대상(예를 들어 수와 함수)에 대한 명제를 하나의 이론으로 해석한다는 점에서 현대 수학에서 기초 이론의 역할을 하게 되었습니다.증명하거나 반증할 수 있는 표준 공리 집합을 제공합니다.집합론의 기본 개념은 현재 수학 전반에 걸쳐 사용되고 있습니다.[36]

그의 초기 논문들 중 하나에서,[37] 칸토어는 실수집합이 자연수의 집합보다 "더 많다"는 것을 증명했습니다. 처음으로, 이것은 다른 크기의 무한한 집합이 존재한다는 것을 보여주었습니다.그는 또한 집합론에서 일대일 대응(이하 "1대1 대응"이라 칭함)의 중요성을 가장 먼저 인식했습니다.그는 유한 집합과 무한 집합정의하는 데 이 개념을 사용하여 후자를 셀 수 있는 집합(또는 셀 수 없이 무한한 집합)과 셀 수 없는 집합(수 없이 무한한 집합)으로 세분화했습니다.[38]

칸토어는 위상수학에서 중요한 개념들과 그것들의 카디널리티와의 관계를 발전시켰습니다.예를 들어, 그는 헨리 존 스티븐 스미스가 1875년에 발견한 칸토어 집합밀도가 높은 [39]은 없지만 모든 실수의 집합과 같은 카디널리티를 가지고 있는 반면, 유리수는 어디에나 밀도가 있지만 셀 수 있다는 것을 보여주었습니다.그는 또한 끝점이 없는 모든 계산 가능한 밀집 선형 순서유리수와 동형이라는 것을 보여주었습니다.

칸토어는 집합 이론에서 A의 모든 가능한 부분 집합의 집합인 집합 A거듭제곱 집합과 같은 기본 구조를 도입했습니다.그는 나중에 A가 무한 집합일 때도 A의 거듭제곱 집합의 크기가 A의 크기보다 엄밀하게 크다는 것을 증명했습니다; 이 결과는 곧 칸토어의 정리로 알려지게 되었습니다.칸토어는 자연수의 산술을 확장시킨 무한 집합의 전체 이론산술을 발전시켰습니다.기수에 대한 그의 표기법은 히브리어 문자 ℵ 알프)로 자연수를 첨자로 사용했습니다. 서수에 대해 그는 그리스 문자 ω(오메가)를 사용했습니다.이 표기법은 오늘날에도 여전히 사용되고 있습니다.

칸토어에 의해 소개된 연속체 가설1900년 파리에서 열린 국제 수학자 대회에서의 연설에서 데이비드 힐버트가 그의 23개의 열린 문제들 중 첫 번째로 제시한 것입니다.칸토어의 작품은 또한 힐베르트의 유명한 엔코미움을 넘어 호의적인 주목을 받았습니다.[15]미국 철학자 찰스 샌더스 피어스는 칸토어의 집합론을 높이 평가했고, 1897년 취리히에서 열린 제1회 국제수학자대회에서 칸토어가 공개 강연을 한 데 이어 아돌프 후르비츠자크 하다마드도 감탄을 표했습니다.그 의회에서 칸토어는 데데킨트와의 우정과 서신 교환을 다시 시작했습니다.1905년부터 칸토어는 영국의 숭배자이자 번역가인 필립 주데인과 함께 집합론의 역사와 칸토어의 종교적 사상에 관해 서신을 주고받았습니다.이것은 나중에 출판되었고, 그의 몇몇 전시 작품들도 마찬가지였습니다.

수론, 삼각급수 및 서수

캔터의 첫 10편의 논문은 정수론, 그의 논문 주제에 관한 것이었습니다.할레의 교수인 에두아르트 하이네의 제안으로 칸토어는 분석으로 눈을 돌렸습니다.하이네는 칸토어가 피터 구스타프 르준 디리클레, 루돌프 립시츠, 베른하르트 리만, 하이네 자신을 피했던 열린 문제해결해야 한다고 제안했습니다.캔터는 1869년에 이 문제를 해결했습니다.그는 이 문제를 연구하던 중 삼각 급수의 0의 집합 S의 n번째 유도 집합 S에서n 지수 n으로 발생한 트랜스피니트 서수를 발견했습니다.S를 0의 집합으로 하는 삼각급수 f(x)가 주어졌을 때, 칸토어는 S1 0의 집합으로 하는 또 다른 삼각급수를 만드는 과정을 발견했고, 여기서 S1 S극한점의 집합입니다. 만약k+1 Sk S의 극한점의 집합이라면, 그는 0k+1 S인 삼각급수를 만들 수 있습니다.집합 Sk 닫혀 있었기 때문에, 그들은 극한점을 포함하고, 집합1 S2, S, S, S3, S,...의 무한 감소 수열의 교집합은 극한점 집합을 형성했고, 그 후 그는 Sωω 극한점 Sω+1 집합을 가져야 한다는 것을 알아차렸습니다.그는 영원히 계속되는 예를 가지고 있었고, 여기 무한한 수의 ω, ω + 1, ω + 2, ...의 무한한 배열이 자연적으로 생겨났습니다.

1870년과 1872년 사이에 칸토어는 삼각급수에 대한 논문을 더 많이 발표했고, 무리수유리수수렴 순서로 정의하는 논문도 발표했습니다.1872년에 칸토어와 친구가 된 데데킨트는 그 해 에 데데킨트 으로 실수에 대한 그의 유명한 정의를 처음 제시한 논문에서 이 논문을 인용했습니다.칸토어는 무한한 카디널리티에 대한 그의 혁명적인 개념을 통해 수의 개념을 확장하는 동안 역설적으로 동시대의 오토 스톨츠와 폴 뒤 보이스 레이몽무한소 이론들에 반대하여 그것들을 "혐오"와 "수학의 콜레라 병균"으로 묘사했습니다.[41]칸토어는 또한 무한소의 불일치에 대한 잘못된 "증명"을 발표했습니다.[42]

집합론

수 없는 집합의 존재에 대한 칸토어의 대각선 논법의 예.[43]맨 아래에 있는 시퀀스는 위의 무한한 시퀀스 목록 어디에서도 발생할 수 없습니다.

수학의 한 분야로서 집합론의 시작은 종종 칸토어의 1874년 논문 [35]"Ubereine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"("모든 실수의 집합의 성질에 대하여")의 출판으로 특징지어집니다.[44]이 논문은 무한이 하나 이상이라는 엄밀한 증거를 제시한 최초의 논문이었습니다.이전에는 모든 무한 집합이 동일한 것(즉, "같은 크기" 또는 동일한 수의 원소를 갖는 것)으로 암묵적으로 가정되었습니다.[45]칸토어는 실수의 집합과 의 정수의 집합이 동일하지 않다는 것을 증명했습니다.다시 말해서, 실수는 셀 수 없습니다.그의 증명은 그가 1891년에 제시한 대각선 주장과 다릅니다.[46]칸토어의 글에는 초월수를 구성하는 새로운 방법도 포함되어 있습니다.초월수는 1844년 Joseph Liouville에 의해 처음 만들어졌습니다.[47]

Cantor는 두 개의 구성을 사용하여 이러한 결과를 확인했습니다.그의 첫 번째 구성은 실수 대수[48] 수열 a1, a, a23, a, …로 쓰는 방법을 보여줍니다.다시 말해, 실수 대수는 셀 수 있습니다.칸토어는 실수의 순서로 두 번째 작업을 시작합니다.이 시퀀스를 사용하여 교차점이 시퀀스에 없는 실수를 포함하는 중첩 구간을 구성합니다.실수의 모든 수열은 수열이 아닌 실수를 구성하는 데 사용될 수 있기 때문에 실수는 수열로 쓸 수 없습니다. 즉, 실수는 셀 수 없습니다.칸토어는 그의 구성을 실수의 수열에 적용함으로써 초월수를 생성합니다.칸토어는 자신의 구조가 더 많은 것을 증명한다고 지적합니다. 즉, 리우빌 정리의 새로운 증거를 제공합니다.모든 구간은 무한히 많은 초월수를 포함합니다.[49]칸토어의 다음 글은 초월수의 집합이 실수의 집합과 동일한 "힘"(아래 참조)을 가지고 있음을 증명하는 구성을 담고 있습니다.[50]

1879년과 1884년 사이에, 칸토어는 그의 집합론에 대한 소개를 함께 형성한 Mathematische Annalen에 일련의 글을 출판했습니다.동시에 수학적 개념은 직관적으로 주어진 것처럼 자연수에서 유한한 단계로 구성될 수 있을 때만 인정한다는 레오폴트 크로네커가 이끄는 칸토어의 이론에 대한 반대가 증가했습니다.실제 무한의 개념을 받아들이는 것은 수학 전체의 타당성에 도전하는 역설의 문을 열 것이기 때문에 크로네커에게 있어 칸토어의 무한의 위계는 허용될 수 없었습니다.[51]칸토어는 이 시기에 칸토어 세트도 선보였습니다.

1883년에 출판된 이 시리즈의 다섯 번째 논문인 "Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("집합체의 일반 이론의 기초")는 [52]여섯 개의 논문 중 가장 중요한 것이었고 별도의 논문으로도 출판되었습니다.그것은 칸토어의 비평가들에 대한 답변을 포함하고 있었고, 어떻게 트랜스피니트 수가 자연수의 체계적인 확장인지를 보여주었습니다.이것은 잘 정렬된 집합을 정의하는 것으로 시작합니다.그런 다음 순서 숫자를 순서가 잘 정렬된 집합의 순서 유형으로 소개합니다.칸토어는 기수와 서수의 덧셈과 곱셈을 정의합니다.1885년 칸토어는 순서형 이론을 확장하여 순서형의 특별한 경우가 되게 했습니다.

1891년, 그는 셀 수 없는 집합의 존재에 대한 그의 우아한 "대각형 주장"을 담은 논문을 발표했습니다.그는 칸토어의 정리를 증명하기 위해 같은 아이디어를 적용했습니다. 집합 A의 거듭제곱 집합의 거듭제곱은 엄밀하게 A의 거듭제곱보다 큽니다.이것은 무한 집합의 위계와 칸토어가 정의한 기수 및 순서 산술의 풍부함을 확립했습니다.그의 주장은 멈춤 문제의 해결과 괴델의 첫 번째 불완전성 정리의 증명에서 기본적입니다.칸토어는 1894년에 골드바흐 추측에 관해 썼습니다.

게오르크 칸토어의 정의를 담은 글의 통과.

1895년과 1897년, 칸토어는 수학자 아날렌펠릭스 클라인의 편집장 아래 두 부분으로 이루어진 논문을 발표했습니다.[53]첫 번째 논문은 집합, 부분 집합 등을 정의함으로써 지금은 대체로 수용 가능한 방식으로 시작합니다.기수와 서수 연산을 검토합니다.칸토어는 두 번째 논문에 연속체 가설의 증명이 포함되기를 원했지만, 잘 정렬된 집합과 순서수에 대한 자신의 이론을 드러내는 것으로 만족해야 했습니다.Cantor는 ABA의 부분 집합과 A의 부분 집합과 B의 부분 집합과 A의 부분 집합과 B의 부분 집합이 동등하다는 증명하려고 합니다.에른스트 슈뢰더는 이 정리를 조금 전에 언급했지만, 칸토어의 증명뿐만 아니라 그의 증명에도 결함이 있었습니다.펠릭스 번스타인(Felix Bernstein)은 1898년 박사 논문에서 정확한 증거를 제시했습니다. 따라서 칸토어-번스타인-슈뢰더 정리라는 이름이 붙여졌습니다.

일대일 대응

사함수

칸토어의 1874년 크렐 논문은 비록 그가 그 문구를 사용하지는 않았지만, 1대1 서신의 개념을 처음으로 도입한 것입니다.그런 다음 는 단위 사각형의 과 단위 선분의 점 사이에 1 대 1의 대응 관계를 찾기 시작했습니다.1877년 리처드 데데킨트에게 보낸 편지에서 칸토어는 더 강력한 결과를 증명했습니다. 임의의 양의 정수 n에 대하여 단위 선분 위의 점들과 n차원 공간의 모든 점들 사이에 1 대 1의 대응 관계가 존재한다는 것입니다.이 발견에 대해 칸토어는 데데킨트에게 다음과 같이 썼습니다. "젤 보이스, 메이스 제인 크로이스파스!"("나는 보지만 믿지 않아!")[54]그가 발견한 놀라운 결과는 기하학과 차원의 개념에 영향을 미칩니다.

1878년, 칸토어는 크렐의 저널에 또 다른 논문을 제출했는데, 그 논문에서 그는 1 대 1 대응의 개념을 정확하게 정의하고 "힘"(야콥 슈타이너에서 가져온 용어) 또는 집합의 "동등성"이라는 개념을 소개했습니다. 두 집합은 그들 사이에 1 대 1 대응이 존재한다면 (동일한 힘을 가진다).칸토어는 자연수와 1 대 1 대응 관계에 놓일 수 있는 집합을 정의하고, 유리수가 셀 수 있음을 증명했습니다.그는 또한 n차원 유클리드 공간 Rn 실수 R과 동일한 힘을 가지며, 셀 수 없을 정도로 무한한 R 사본의 을 갖는다는 것을 증명했습니다.그는 가산성을 개념으로 자유롭게 사용했지만, 1883년까지 "countable"이라는 단어를 쓰지 않았습니다.칸토어는 또한 차원에 대한 자신의 생각을 논의하면서 단위 간격과 단위 사각형 사이의 매핑연속적인 것이 아님을 강조했습니다.

이 논문은 크로네커를 불쾌하게 했고 칸토어는 그것을 철회하기를 원했지만, 데데킨트는 그렇게 하지 말라고 설득했고 카를 바이어슈트라스는 그것의 출판을 지지했습니다.[55]그럼에도 불구하고, 칸토어는 다시는 크렐레에게 어떤 것도 제출하지 않았습니다.

연속체 가설

칸토어는 나중에 연속체 가설 또는 CH로 알려진 것을 공식화한 최초의 사람이었습니다: 자연의 힘보다 크고 실제의 힘보다 작은 집합은 존재하지 않습니다(또는 이와 동등하게, 실제의 카디널리티는 최소한 알레프가 아니라 정확히 알레프가 됩니다).칸토어는 연속체 가설이 사실이라고 믿었고 그것을 증명하기 위해 여러 해 동안 노력했지만 허사였습니다.연속체 가설을 증명하지 못한 그의 무능력은 그에게 상당한 불안감을 주었습니다.[11]

칸토어가 연속체 가설을 증명하는 데 어려움이 있었던 것은 수학 분야의 나중의 발전에 의해 강조되었다: 1940년 쿠르트 괴델의 결과와 1963년 폴 코헨의 결과는 연속체 가설이 표준 저멜로-프랭켈 집합론과 선택 공리(콤비)를 사용하여 증명되거나 반증될 수 없다는 것을 암시합니다.국가("ZFC"라 함).[56]

절대무한, 질서정연한 정리와 역설

1883년 칸토어는 무한을 무한과 절대로 나누었습니다.[57]

트랜스피니트는 크기가 증가할 수 있는 반면 절대값은 증가할 수 없습니다.예를 들어, 서수 α는 α + 1로 증가할 수 있기 때문에 트랜스피니트입니다. 반면에 서수는 더 큰 서수가 없기 때문에 크기를 증가시킬 수 없는 절대 무한 수열을 형성합니다.[58]1883년에 칸토어는 "모든 집합은 잘 정렬될 수 있다"는 잘 정렬된 원칙을 소개하고 그것이 "사상의 법칙"이라고 말했습니다.[59]

칸토어는 그것을 증명에 사용함으로써 그의 절대적 무한에 대한 연구를 확장시켰습니다.1895년경, 그는 그의 질서정연한 원리를 정리로 간주하기 시작했고 그것을 증명하려고 시도했습니다.1899년, 그는 데데킨트에게 모든 무한 집합의 카디널리티는 알레프라는 동등한 알레프 정리의 증명을 보냈습니다.[60]첫째, 그는 두 가지 유형의 다중성을 정의했습니다: 일관된 다중성(집합)과 일관되지 않은 다중성(절대적으로 무한한 다중성).다음으로 그는 서수가 집합을 형성한다고 가정하고, 이것이 모순을 초래한다는 것을 증명하고, 서수가 일관되지 않은 다중성을 형성한다고 결론지었습니다.그는 이 일정하지 않은 다중성을 이용하여 알레프 정리를 증명했습니다.[61]1932년, Zermelo는 칸토어의 증명에서 건축을 비판했습니다.[62]

칸토어는 두 종류의 다중성이 존재한다는 것을 인식함으로써 역설을 피했습니다.그의 집합론에서 서수가 집합을 이룬다고 가정할 때 결과적인 모순은 서수가 일관되지 않은 다중성을 형성한다는 것만을 의미합니다.이와는 대조적으로 버트런드 러셀은 모든 컬렉션을 자산으로 취급했고, 이는 역설로 이어집니다.러셀의 집합론에서, 서수는 집합을 형성하므로, 결과적인 모순은 이론이 일관성이 없음을 의미합니다.1901년부터 1903년까지 러셀은 자신의 집합론이 일관성이 없다는 것을 암시하는 세 가지 역설, 즉 부랄리-포르티 역설(방금 언급), 캔터의 역설, 러셀 역설을 발견했습니다.[63]러셀은 역설을 발견하지 못했다고 믿었는데도 불구하고, 역설의 이름을 체사레 부랄리 포르티와 칸토어의 이름을 따서 지었습니다.[64]

1908년, 저멜로는 집합론에 대한 그의 공리계를 발표했습니다.그는 공리계를 발전시키는 두 가지 동기를 가지고 있었는데, 그것은 역설을 제거하고 그의 잘 정돈된 정리의 증명을 확보하는 것이었습니다.[65]체르멜로는 1904년에 선택 공리를 이용하여 이 정리를 증명했지만, 그의 증명은 다양한 이유로 비판을 받았습니다.[66]비판에 대한 그의 반응에는 그의 공리계와 잘 정돈된 정리의 새로운 증명이 포함되었습니다.그의 공리는 이 새로운 증명을 뒷받침하며, 집합의 형성을 제한함으로써 역설을 제거합니다.[67]

1923년 존 폰 노이만은 칸토어와 유사한 접근법, 즉 집합이 아닌 집합을 식별하고 다르게 취급함으로써 역설을 제거하는 공리계를 개발했습니다.폰 노이만(Von Neumann)은 클래스가 모든 세트의 클래스와 일대일 대응될 수 있다면 세트가 되기에는 너무 크다고 말했습니다.그는 집합을 어떤 계급의 한 구성원인 계급으로 정의하고 공리를 다음과 같이 진술했습니다.클래스와 모든 집합의 클래스 사이에 일대일 대응 관계가 있는 경우에만 클래스가 집합이 아닙니다.이 공리는 이러한 큰 계급들이 집합이 아니라는 것을 암시하는데, 이것은 어떤 계급의 구성원이 될 수 없기 때문에 역설을 제거합니다.[68]폰 노이만은 또한 그의 공리를 이용하여 잘 정돈된 정리를 증명했습니다.칸토어처럼 그는 서수가 한 집합을 이룬다고 가정했습니다.결과적인 모순은 모든 서수의 클래스가 집합이 아님을 의미합니다.그러면 그의 공리는 이 클래스와 모든 집합의 클래스 사이에 일대일 대응을 제공합니다.이 대응 관계는 모든 집합의 클래스를 잘 정렬하며, 이는 잘 정렬된 정리를 의미합니다.[69]1930년, 저멜로는 폰 노이만의 공리를 만족시키는 집합론의 모델을 정의했습니다.[70]

철학 종교 문학 칸토어 수학

실제 무한대의 존재에 대한 개념은 수학, 철학, 종교의 영역에서 중요한 공통 관심사였습니다.비록 그의 비평가들이 가지고 있는 것과 같은 형태는 아니지만, 신과 수학의 관계에 대한 정통성을 유지하는 것은 오랫동안 칸토어의 관심사였습니다.[71]그는 그의 그룬들라게이너 올게미넨 만니그팔티그케이츨레르 소개에서 이 학문들 사이의 교차점을 직접 다루었고, 거기서 그는 무한에 대한 그의 관점과 철학적 관점 사이의 연관성을 강조했습니다.[72]칸토어에게 그의 수학적 견해는 본질적으로 그들의 철학적, 신학적 함의와 연결되어 있었습니다. - 그는 절대적 무한을 하나님과 동일시했고,[73] 그는 무한한 수에 대한 그의 연구가 칸토어를 세상에 드러내도록 선택한 신에 의해 그에게 직접적으로 전달되었다고 여겼습니다.[5]그는 명백한 기독교 신앙이 그의 과학철학을 형성했던 독실한 루터교 신자였습니다.[74]Joseph Dauben은 Cantor의 기독교 신앙이 트랜스피니트 집합론의 발전에 미친 영향을 추적했습니다.[75][76]

수학자들 사이의 논쟁은 실제 무한의 본질에 관한 수학 철학의 반대되는 견해에서 비롯되었습니다.어떤 이들은 무한은 수학적으로 타당하지 않은 추상적인 것이라는 견해를 고수했고, 그것의 존재를 부정했습니다.[77]세 개의 주요 사상 학파(구성주의와 그 두 갈래, 직관주의유한주의) 출신의 수학자들은 이 문제에 대한 칸토어의 이론에 반대했습니다.크로네커와 같은 구성론자들의 경우, 실제 무한대에 대한 이러한 거부는 칸토어의 대각선 주장과 같은 비구성적인 증명이 무엇인가 존재한다는 충분한 증거라는 생각에 근본적으로 동의하지 않는 것에서 비롯되며, 대신 구성적인 증명이 필요하다고 주장합니다.직관주의는 또한 실제 무한이 어떤 종류의 현실의 표현이라는 생각을 거부하지만, 구성주의와는 다른 경로를 통해 결정에 도달합니다.첫째로, 칸토어의 주장은 실제 수학적 실체로서 유한한 수의 존재를 증명하기 위한 논리에 의존하는 반면, 직관주의자들은 수학적 실체가 논리적 명제로 환원될 수 없으며 대신 마음의 직관에서 비롯된다고 주장합니다.[78]둘째로, 인간의 마음은 무한한 집합을 직관적으로 구성할 수 없기 때문에, 현실의 표현으로서 무한이라는 개념 자체는 직관주의에서는 허용되지 않습니다.[79]L. E. J. 브라우어와 같은 수학자들과 특히 앙리 푸앵카레는 칸토어의 연구에 반대하는 직관주의적인 입장을 취했습니다.마지막으로, 비트겐슈타인의 공격은 유한론적이었습니다: 그는 칸토어의 대각선 주장이 기수 또는 실수의 집합의 의도와 그것의 확장을 혼동하여 집합을 생성하는 규칙의 개념을 실제 집합과 혼동한다고 믿었습니다.[10]

어떤 기독교 신학자들은 칸토어의 연구를 하나님의 본성에 있는 절대적 무한성의 유일성에 대한 도전으로 보았습니다.[6]특히 신토미즘 사상가들은 신 이외의 것으로 구성된 실제 무한의 존재가 "최고의 무한에 대한 신의 독점적인 주장"을 위태롭게 한다고 보았습니다.[80]칸토어는 이 견해가 무한에 대한 잘못된 해석이라고 강하게 믿었고, 집합론이 이 실수를 바로잡는 데 도움이 될 수 있다고 확신했습니다:[81] "... 유한한 종들은 조물주의 의도와 유한한 숫자만큼 그의 절대적인 무한한 의지를 마음대로 할 수 있습니다."[82]저명한 신학파 독일 철학자 콘스탄틴 구트베를레는 신의 본성에 반대하지 않는다고 주장하며 그러한 이론에 찬성했습니다.[8]

칸토어는 또한 그의 무한수 이론이 유물론결정론 모두에 위배된다고 믿었고, 그가 결정론적인 철학적 신념을 고수하지 않은 할레의 유일한 교수진이었다는 것을 깨달았을 때 충격을 받았습니다.[83]

칸토어에게 그의 철학이 자연에 대한 "유기적인 설명"을 제공하는 것이 중요했고, 1883년 그룬들라겐에서 그는 그러한 설명이 스피노자와 라이프니츠 철학의 자원을 이용해야만 가능하다고 말했습니다.[84]이러한 주장을 함에 있어 칸토어는 베를린에서 강의를 들은 FA 트렌델렌부르크의 영향을 받았을 수 있으며, 칸토어는 스피노자의 에티카 1권에 대한 라틴어 해설을 만들었습니다.FA 트렌델렌부르크는 칸토어의 하빌리테스 스크리프트의 심사관이기도 했습니다.[85][86]

1888년, 칸토어는 그의 집합론의 철학적 의미에 관한 여러 철학자들과의 서신을 출판했습니다.다른 기독교 사상가들과 권위자들이 그의 견해를 채택하도록 설득하기 위한 광범위한 시도에서, 칸토어는 한때 유한한 숫자의 이론을 범신론과 동일시함으로써 대답했던 요한 침례교 프란젤린 추기경과 같은 신학자들뿐만 [87]아니라 틸만 페쉬요셉 혼팀과 같은 기독교 철학자들과도 서신을 주고받았습니다.[7]비록 나중에 이 추기경은 칸토어의 몇 가지 설명 때문에 이 이론을 타당한 것으로 받아들였습니다.[8]칸토어는 심지어 교황 레오 13세에게 직접 한 통의 편지를 보냈고, 그에게 몇몇 팜플렛을 보냈습니다.[81]

칸토어의 수의 본질에 대한 철학은 수학이 물리적 현상의 영역으로부터 분리된 개념을 내적 현실의 표현으로서 긍정하고 증명할 수 있는 자유에 대한 믿음을 확인하게 했습니다.형이상학적 체계에 대한 유일한 제약은 모든 수학적 개념은 내적 모순이 없어야 한다는 것과 기존의 정의, 공리, 정리를 따른다는 것입니다.이 믿음은 "수학의 본질은 수학의 자유"라는 그의 주장에서 요약됩니다.[88]이런 생각들은 칸토어가 할레에서 만났던 에드먼드 후설의 생각들과 유사합니다.[89]

한편 칸토어 자신은 무한소를 "혐오"이자 "수학의 콜레라 병균"으로 묘사하며 극렬하게 반대했습니다.[41]

칸토어의 1883년 논문은 그가 자신의 생각이 직면하고 있는 반대를 잘 알고 있었다는 것을 보여줍니다: "...저는 이 프로젝트에서 수학적 무한성에 대해 널리 알려진 견해와 수의 본질에 대해 자주 옹호되는 의견에 대해 어느 정도 반대한다는 것을 알고 있습니다."[90]

따라서 그는 수학적 개념이 모순이 없고 이전에 수용된 개념으로 정의되는 한 자유롭게 도입될 수 있다고 주장하면서 이전의 연구를 정당화하는 데 많은 공간을 할애합니다.그는 또한 무한에 관하여 아리스토텔레스, 르네 데카르트, 조지 버클리, 고트프리트 라이프니츠, 베르나르 볼자노를 인용합니다.대신에, 그는 수학과 형이상학의 두 영역에서 항상 임마누엘 칸트의 철학을 강하게 거부했습니다.그는 B를 공유했습니다.러셀의 좌우명 "칸트 또는 칸토어"는 칸트를 "수학을 너무 잘 모르는 궤변적인 필리스틴 너머"라고 정의했습니다.[91]

칸토어의 혈통

기념패의 제목(러시아어): "이 건물은 1845년부터 1854년까지 위대한 수학자이자 집합론의 창시자인 게오르크 칸토어로 태어나고 살았습니다." 상트페테르부르크의 바실리예프스키 섬.

칸토어의 친조부모는 코펜하겐 출신으로 나폴레옹 전쟁의 혼란을 피해 러시아로 망명했습니다.그들에 대한 직접적인 정보는 거의 없습니다.[92]칸토어의 아버지 게오르크 발데마르 칸토어는 상트페테르부르크의 루터교 선교에서 교육을 받았으며, 그의 아들과의 서신 교환은 두 사람 모두 독실한 루터교 신자임을 보여줍니다.게오르크 발데마르의 기원이나 교육에 대해서는 확실히 알려진 것이 거의 없습니다.[93]칸토어의 어머니 마리아 안나 ö은 상트페테르부르크에서 태어난 오스트리아계 헝가리인으로 로마 가톨릭 신자에게 세례를 주었으며, 결혼과 동시에 개신교로 개종했습니다.그러나 칸토어의 형 루이가 어머니에게 보낸 편지에는 다음과 같은 내용이 적혀 있습니다.

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen undichim Principnoch sehrfür Gleichberechtigung der Hebräersein, im socialen Leben sindmir Christenliber...[93]

("우리가 유대인의 후손이 열 번이고, 비록 원칙적으로 히브리인의 동등한 권리를 전적으로 지지할지라도, 사회생활에서 나는 기독교인을 더 선호합니다."."). 그녀가 유대인의 [94]혈통임을 암시하는 것으로 읽힙니다.

전기 작가 에릭 템플 벨에 따르면, 비록 두 부모 모두 세례를 받았지만, 칸토어는 유대인 혈통이었다고 합니다.[95]1971년 영국의 수학사학자 아이버 그래튼-기니스는 "게오르크 칸토어의 전기를 향하여"라는 제목의 글에서 유대인 혈통의 증거를 찾을 수 없었다고 언급합니다(Annals of Science 27, pp. 345–391, 1971).(그는 또한 칸토어의 아내 발리 구트만이 유대인이었다고 진술합니다.)

1896년에 Paul Tannery에게 쓴 편지(Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306)에서, Cantor는 자신의 친조부모가 코펜하겐의 세파르딕 유대인 공동체의 구성원이었다고 진술합니다.구체적으로, 칸토어는 그의 아버지를 묘사할 때 "에리스타베르 인 코펜하겐 게보렌, 폰 이스라엘리첸 엘턴, 도르티겐 포르투갈리센 주덴게마인데..."라고 말합니다. (그는 지역 포르투갈-유대인 공동체 출신의 유대인 ('이스라엘 사람') 부모님의 코펜하겐에서 태어났습니다.)[96] 게다가, 칸토어의 외삼촌은 [97]헝가리의 바이올리니스트 조스입니다.Ef Böhm은 유대인으로 묘사되어 왔는데,[98] 이는 칸토어의 어머니가 적어도 부분적으로 헝가리 유대인 공동체의 후손임을 암시할 수 있습니다.[99]

베르트랑 러셀에게 보낸 편지에서 칸토어는 자신의 조상과 자기 인식을 다음과 같이 설명했습니다.

아버지도 어머니도 독일 혈통이 아니었으며, 첫 번째는 오스트리아 헝가리 혈통의 어머니인 코펜하겐에서 태어난 데인이었습니다.선생님, 제가 평범한 독일인이 아니라는 것을 아셔야 합니다. 저는 1845년 3월 3일 러시아의 수도 상트페테르부르크에서 태어났지만, 1856년에 11살인 아버지와 어머니, 형제, 자매와 함께 독일로 들어갔기 때문입니다.[100]

1930년대에 유대인의 조상에 대해 의문을 제기하는 진술이 문서화되어 있습니다.

게오르크 칸토어가 유대인의 혈통인지 여부에 대한 질문은 더 자주 논의되어 왔습니다.이에 대해 1937년 코펜하겐에 있는 덴마크 족보 연구소의 아버지에 대한 통지문에 다음과 같이 기록되어 있습니다. "1809년 또는 1814년에 태어난 게오르크 볼데마르 칸토어는 유대인 공동체의 등록부에 나타나지 않았고, 그는 의심의 여지 없이 유대인이 아니었다는 것이 이 증거입니다."[93]

전기

1970년대까지 칸토어에 대한 주요 학술적 출판물은 Arthur Moritz Schönflies(1927)의 짧은 논문 두 편으로 주로 Mittag-Leffler와 Fraenkel(1930)과 일치했습니다.둘 다 2등과 3등이었고 둘 다 그의 사생활에 큰 영향을 미치지 않았습니다.그 공백은 1937년 에릭 템플 벨의 《수학의 남자》(Men of Mathematics)에 의해 크게 채워졌는데, 칸토어의 현대 전기 작가 중 한 명은 이 책을 "아마도 수학 역사에 관한 가장 널리 읽히는 현대 책"으로 묘사하고 있으며, "최악의 책 중 하나"로 묘사하고 있습니다.[101]벨은 칸토어와 아버지의 관계를 오이디팔로, 칸토어와 크로네커의 차이를 두 유대인 사이의 다툼으로, 칸토어의 광기를 수학에 대한 인정을 받지 못한 것에 대한 낭만적 절망으로 제시합니다.Grattan-Guinness(1971)는 이러한 주장들 중 어느 것도 사실이 아니라는 것을 발견했지만, 다른 서술이 없기 때문에 그 동안의 많은 책들에서 발견될 수 있습니다.벨과는 별개로 다른 전설들이 있는데, 그 중에는 캔터의 아버지를 재단사라고 부르는 전설이 있는데, 이 전설은 알려지지 않은 부모에 의해 상트페테르부르크로 운송된 것입니다.[102]조지프 도벤의 전기에는 의 책에 대한 비평이 실려 있습니다.[103]Dauben 쓰기:

칸토어는 그의 가장 독설적인 서신들과 베이트레게의 일부를 토마에, 뒤 보이스 레이몬드, 스톨츠의 연구를 통해 이탈리아 수학을 감염시키기 위해 독일에서 퍼진 '수학의 무한소 콜레라균'이라고 묘사한 것을 공격하는 데 할애했습니다.무한소의 수용은 그 자신의 수론이 불완전하다는 것을 의미했습니다.따라서 토마에, 뒤부아 레이몽, 스톨츠, 베로네스의 작품을 받아들이는 것은 칸토어 자신의 창작물의 완벽함을 부정하는 것이었습니다.당연히 칸토어는 베로네스의 업적을 가능한 한 모든 방법을 동원하여 명예를 훼손하기 위한 철저한 캠페인을 벌였습니다.[104]

참고 항목

메모들

  1. ^ 그라탄-기네스 2000, 페이지 351.
  2. ^ 이 기사의 전기 자료는 대부분 1979년 Dauben에서 가져온 것입니다.Grattan-Guinness 1971, Purkert와 Ilgauds 1985는 유용한 추가 소스입니다.
  3. ^ Dauben 2004, p. 1.
  4. ^ Dauben, Joseph Warren (1979). Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite. princeton university press. pp. introduction. ISBN 9780691024479.
  5. ^ a b Dauben 2004, pp. 8, 11, 12-13.
  6. ^ a b Dauben 1977, 페이지 86; Dauben 1979, 페이지 120, 143.
  7. ^ a b Dauben 1977, 102쪽.
  8. ^ a b c Dauben 1979, chpt. 6.
  9. ^ Dauben 2004, p. 1; Dauben 1977, p. 89 15n.
  10. ^ a b 로디치 2007.
  11. ^ a b Dauben 1979, p. 280: "... Arthur Moritz Schönflys에 의해 대중화된 전통은 Kronecker의 끈질긴 비판과 Cantor의 연속체 가설을 확인하지 못한 Cantor의 반복되는 우울증 때문입니다."
  12. ^ Dauben 2004, p. 1. 본문에는 Halle Nervenklinik에서 칸토어의 진찰 의사 중 한 명인 정신과 의사 Karl Pollitt의 1964년 인용문이 포함되어 있으며, 칸토어의 정신 질환을 "순환성 조울증"이라고 언급하고 있습니다.
  13. ^ a b Dauben 1979, 페이지 248.
  14. ^ Hilbert(1926, p. 170): "Aus dem Paradies, das Cantoruns geschaffen, soluns niemand vertreiben könen." (말 그대로: "Cantor가 우리를 위해 창조한 낙원에서, 아무도 우리를 쫓아낼 수 없어야 합니다.")
  15. ^ a b Reid, Constance (1996). Hilbert. New York: Springer-Verlag. p. 177. ISBN 978-0-387-04999-1.
  16. ^ ru: 음악 백과사전 (м узыкальная энциклопедия)
  17. ^ "Georg Cantor (1845-1918)". www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Retrieved 14 September 2019.
  18. ^ Georg Cantor 1845-1918. Birkhauser. 1985. ISBN 978-3764317706.
  19. ^ a b c d e "Cantor biography". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved 6 October 2017.
  20. ^ a b c d e f g h Bruno, Leonard C.; Baker, Lawrence W. (1999). Math and mathematicians: the history of math discoveries around the world. Detroit, Mich.: U X L. p. 54. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.
  21. ^ O'Connor, John J; Robertson, Edmund F. (1998). "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor". MacTutor History of Mathematics.
  22. ^ Dauben 1979, 페이지 163.
  23. ^ Dauben 1979, p. 34.
  24. ^ Dauben 1977, 페이지 89 15n.
  25. ^ Dauben 1979, pp. 2-3; Grattan-Ginness 1971, pp. 354-355.
  26. ^ Dauben 1979, 138쪽.
  27. ^ Dauben 1979, 페이지 139.
  28. ^ a b Dauben 1979, 페이지 282.
  29. ^ Dauben 1979, 페이지 136; Grattan-Ginness 1971, 페이지 376-377.1884년 6월 21일자 편지.
  30. ^ Dauben 1979, 페이지 281-283.
  31. ^ Dauben 1979, 페이지 283.
  32. ^ König의 논문에 대한 논의는 Dauben 1979, pp. 248-250 참조.Cantor의 반응에 대해서는 Dauben 1979, pp. 248, 283 참조.
  33. ^ Dauben 1979, 페이지 283-284.
  34. ^ Dauben 1979, 페이지 284.
  35. ^ a b Johnson, Phillip E. (1972). "The Genesis and Development of Set Theory". The Two-Year College Mathematics Journal. 3 (1): 55–62. doi:10.2307/3026799. JSTOR 3026799.
  36. ^ Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory. Dover. p. 1. ISBN 9780486616308. With a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects.... As a consequence, many fundamental questions about the nature of mathematics may be reduced to questions about set theory.
  37. ^ 칸토어 1874
  38. ^ 수 있는 집합은 유한 집합이거나 숫자 집합입니다. 따라서 숫자 집합은 무한히 셀 수 있는 집합입니다.그러나 이 용어는 보편적으로 사용되지 않으며 때로는 "dumanable"이 "countable"의 동의어로 사용되기도 합니다.
  39. ^ 미국 칸토어 수학협회 앞의 칸토어 집합
  40. ^ Cooke, Roger (1993). "Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985". Archive for History of Exact Sciences. 45 (4): 281. doi:10.1007/BF01886630. S2CID 122744778.
  41. ^ a b Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2012). "A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography". Foundations of Science. 17 (1): 51–89. arXiv:1104.0375. doi:10.1007/s10699-011-9223-1. S2CID 119250310.
  42. ^ Ehrlich, P. (2006). "The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception. I. The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes" (PDF). Arch. Hist. Exact Sci. 60 (1): 1–121. doi:10.1007/s00407-005-0102-4. S2CID 123157068. Archived from the original (PDF) on February 15, 2013.
  43. ^ 이것은 칸토어의 1891년 논문의 첫 부분을 바짝 따라갑니다.
  44. ^ 칸토어 1874년영어 번역:Ewald 1996, 페이지 840-843.
  45. ^ 예를 들어, Galileo와 John Duns Scotus에 의해 제기된 기하학적 문제들은 모든 무한 집합들이 등분하다는 것을 암시했습니다.
  46. ^ 이를 위해 집합론에 대한 칸토어의 수학적 중요성에 대한 더 많은 정보가 필요합니다.
  47. ^ 리우빌, 조셉 (1844년 5월 13일)존재는 초월자를 의미하지 않습니다.
  48. ^ 실수 대수는 정수 계수를 갖는 다항식실수입니다.
  49. ^ Cantor의 글에 대한 자세한 내용은 Georg Cantor의 번째 집합론 글을 참조하십시오. Gray(821-822쪽)는 Cantor의 구조를 이용하여 초월수를 생성하는 컴퓨터 프로그램을 설명합니다.
  50. ^ 캔터의 구성은 초월 집합 T로 시작하여 셀 수 있는 부분 집합 {t}을(를) 제거합니다(예: t = e / n).이 집합을 T0 합니다.그런 다음 T = T ∪ {t} = T ∪ {t} ∪ {t}.실수 R = T ∪ {a} = T ∪ {t} ∪ {a}의 집합, 여기서 a는 실수 대수의 수열입니다.따라서 TR 둘 다 세 쌍의 서로소 집합의 합집합입니다.T0 셀 수 있는 두 세트.TR 사이의 일대일 대응은 f(t) = t t t tT, f(t) = t, f(t) = a의 함수에 의해 주어집니다. 칸토어는 실제로 그의 구성을 초월적인 것이 아니라 비이성적인 것에 적용하지만, 그는 실수의 집합에서 셀 수 있을 정도로 많은 수를 제거하여 형성된 모든 집합에 적용된다는 것을 알고 있었습니다(Cantor 1879, p. 4).
  51. ^ Dauben 1977, 페이지 89.
  52. ^ 캔터 1883년
  53. ^ 칸토어 (1895), 칸토어 (1897)영어 번역은 Cantor 1955 입니다.
  54. ^ Wallace, David Foster (2003). Everything and More: A Compact History of Infinity. New York: W. W. Norton and Company. p. 259. ISBN 978-0-393-00338-3.
  55. ^ Dauben 1979, 페이지 69, 324 63n.그 논문은 1877년 7월에 제출되었습니다.데데킨트는 이를 지지했지만 크로네커의 반대로 출판을 미뤘습니다.Weiersrass가 적극적으로 그것을 지지했습니다.
  56. ^ 어떤 수학자들은 이 결과가 문제를 해결했다고 생각하며, 기껏해야 CH나 CH의 부정의 공식적인 결과, 또는 그 중 하나를 암시하는 공리를 조사하는 것이 가능합니다.다른 사람들은 ZFC에 추가될 때 CH의 증명 또는 반박을 허용하거나 심지어 CH 자체에 대한 직접적인 증거를 허용하는 "자연적인" 또는 "가용적인" 공리를 계속 찾고 있습니다. 이들 중 가장 중요한 것은 W입니다. 휴 우딘.괴델의 마지막 논문 중 하나는 CH가 거짓이며, 연속체는 카디널리티 알레프-2를 가지고 있다고 주장합니다.
  57. ^ Cantor 1883, pp. 587–588; 영어 번역:Ewald 1996, 페이지 916-917.
  58. ^ Hallet 1986, 페이지 41-42.
  59. ^ 무어 1982, 페이지 42.
  60. ^ 무어 1982, 51쪽.동등성 증명:집합이 순서가 잘 되어 있으면, 알레프는 순서가 잘 되어 있는 집합의 추기경이므로, 집합의 추기경은 알레프가 됩니다.집합의 카디널리티가 알레프인 경우 집합과 알레프를 정의하는 잘 정렬된 집합 사이에는 일대일 대응 관계가 있기 때문에 잘 정렬될 수 있습니다.
  61. ^ Hallet 1986, 166-169쪽
  62. ^ 모순에 의한 증명인 칸토어의 증명은 카디널리티가 알레프가 아닌 집합 S가 있다고 가정함으로써 시작됩니다.서수에서 S까지의 함수는 서수마다 S의 다른 요소를 연속적으로 선택하여 구성됩니다.만약 이 구성에 요소가 부족하면, 함수는 S 집합을 잘 정렬합니다.이것은 S에 대한 가정과 모순되는 S의 카디널리티가 알레프임을 암시합니다.따라서 함수는 모든 서수를 일대일로 S에 매핑합니다.함수의 이미지S에 포함된 일관성 없는 하위 곱셈이므로 집합 S는 모순인 일관성 없는 곱셈입니다.Zermelo는 "시간의 직관은 여기서 모든 직관을 넘어서는 과정에 적용되고, 그것이 연속적인 임의적 선택을 할 수 있다고 가정되는 가상의 실체가 상정된다."(Hallet 1986, pp. 169–170)
  63. ^ 무어 1988, pp. 52-53; 무어와 가르시아디에고 1981, pp. 330-331
  64. ^ 무어와 가르시아디에고 1981, 331, 343쪽; 퍼커트 1989, 56쪽.
  65. ^ 무어 1982, pp. 158-160무어는 후자가 그의 주된 동기라고 주장합니다.
  66. ^ 무어는 이 비평에 한 장을 할애합니다: "저멜로와 그의 비평가들(1904-1908)", 무어 1982, 페이지 85-141.
  67. ^ 무어 1982, pp. 158-160Zermelo 1908, pp. 263-264; 영어 번역: van Heijenoort 1967, p. 202
  68. ^ Hallet 1986, pp. 288, 290–291.캔터는 일정하지 않은 다중성이 동일한 제약에 직면한다는 점을 지적하였는데, 그들은 어떤 다중성의 구성원이 될 수 없다는 것입니다(Halllet 1986, p. 286).
  69. ^ 할렛 1986, 페이지 291-292.
  70. ^ 저멜로 1930; 영어 번역:Ewald 1996, 페이지 1208-1233.
  71. ^ Dauben 1979, p. 295.
  72. ^ Dauben 1979, 페이지 120.
  73. ^ Hallet 1986, 페이지 13.토마스 아퀴나스의 글과 비교해보세요.
  74. ^ Hedman, Bruce (1993). "Cantor's Concept of Infinity: Implications of Infinity for Contingence". Perspectives on Science and Christian Faith. 45 (1): 8–16. Retrieved 5 March 2020.
  75. ^ Dauben, Joseph Warren (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. doi:10.2307/j.ctv10crfh1. ISBN 9780691024479. JSTOR j.ctv10crfh1. S2CID 241372960.
  76. ^ Dauben, Joseph Warren (1978). "Georg Cantor: The Personal Matrix of His Mathematics". Isis. 69 (4): 548. doi:10.1086/352113. JSTOR 231091. PMID 387662. S2CID 26155985. Retrieved 5 March 2020. The religious dimension which Cantor attributed to his transfinite numbers should not be discounted as an aberration. Nor should it be forgotten or separated from his existence as a mathematician. The theological side of Cantor's set theory, though perhaps irrelevant for understanding its mathematical content, is nevertheless essential for the full understanding of his theory and why it developed in its early stages as it did.
  77. ^ Dauben 1979, 페이지 225
  78. ^ Dauben 1979, 페이지 266.
  79. ^ Snapper, Ernst (1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism" (PDF). Mathematics Magazine. 524 (4): 207–216. doi:10.1080/0025570X.1979.11976784. Archived from the original (PDF) on August 15, 2012. Retrieved April 2, 2013.
  80. ^ Davenport, Anne A. (1997). "The Catholics, the Cathars, and the Concept of Infinity in the Thirteenth Century". Isis. 88 (2): 263–295. doi:10.1086/383692. JSTOR 236574. S2CID 154486558.
  81. ^ a b Dauben 1977, 페이지 85.
  82. ^ 캔터 1932, 페이지 404.Dauben 1977년 번역, 페이지 95.
  83. ^ Dauben 1979, 페이지 296.
  84. ^ Newstead, Anne (2009). "Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind". American Catholic Philosophical Quarterly. 83 (4): 533–553. doi:10.5840/acpq200983444.
  85. ^ Newstead, Anne (2009). "Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind". American Catholic Philosophical Quarterly. 84 (3): 535.
  86. ^ Ferreiros, Jose (2004). "The Motives Behind Cantor's Set Theory—Physical, Biological and Philosophical Questions" (PDF). Science in Context. 17 (1–2): 49–83. doi:10.1017/S0269889704000055. PMID 15359485. S2CID 19040786. Archived (PDF) from the original on 21 September 2020.
  87. ^ Dauben 1979, 144쪽.
  88. ^ Dauben 1977, 페이지 91-93.
  89. ^ Hill and Rosado Haddock(2000)은 Cantor, Husserl 및 Gottlob Frege에 대해 언급합니다.
  90. ^ "Dauben 1979, 96쪽.
  91. ^ 러셀, 버트런드 러셀의 자서전, 조지 앨런과 언윈 주식회사, 1971(런던), vol. 1, p. 217.
  92. ^ 를 들어, 할아버지의 사망 날짜에 대한 그라탄-기니스의 유일한 증거는 아들의 약혼식에서 서류에 서명했다는 것입니다.
  93. ^ a b c Purkert and Ilgauds 1985, p. 15.
  94. ^ 자세한 정보는 Dauben 1979, p. 1 및 주석; Grattan-Guinness 1971, pp. 350–352 및 주석; Purkert and Ilgauds 1985; 편지는 Achzel 2000, pp. 93–94, 1863년 Louis의 시카고 여행에서 온 것입니다.수취인이 포함되는지 여부는 영어와 같이 독일어에서는 애매합니다.
  95. ^ 맨 오브 수학: 위대한 수학자들의 삶과 업적 Zeno에서 Poincaré, 1937, E. T. Bell
  96. ^ Tannery, Paul (1934) Memoires Scientifique 13 서신, Gauthier-Villars, Paris, p. 306
  97. ^ Dauben 1979, 페이지 274.
  98. ^ 멘델존, 에즈라 (ed.) (1993) 현대 유대인과 그들의 음악적 의제, 옥스포드 대학 출판부, p. 9.
  99. ^ 이스메르주코켓?: zsido származásu nebesetes magyarok arcképcsarnoka, 이스tvan Reményi Gyenes Ex Libris, (부다페스트 1997) 132-133페이지
  100. ^ 러셀, 버트랜드.자서전, vol.I, 229쪽.원본에서 영어로; 원본에서와 마찬가지로 이탤릭체로.
  101. ^ 그라탄-기네스 1971, 페이지 350.
  102. ^ 그라탄-기니스 1971(p. 350, 노트 인용), 도벤 1979, p. 1 및 노트. (벨의 유대인 고정관념은 일부 전후 판본에서 제거된 것으로 보입니다.)
  103. ^ 도벤 1979년
  104. ^ Dauben, J.칸토리아 집합론의 전개, pp.~181–219.216-217쪽 참조.Bos, H.; Bun, R.; Dauben, J.; Grattan-Ginness, I.; Hawkins, T.; Pedersen, K.미적분학에서 집합론까지, 1630–1910.개론적인 역사.I. 그라탄-기니스 편집.Gerald Duckworth & Co., Ltd, London, 1980.

참고문헌

서지학

캔터의 삶에 대한 오래된 정보원들은 조심스럽게 다뤄져야 합니다.위의 섹션 § 전기를 참조하십시오.

영어 원문학

독일어 초급문학

이차 문헌

  • Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity. New York: Four Walls Eight Windows Publishing.Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity. New York: Four Walls Eight Windows Publishing.ISBN 0-7607-7778-0칸토어가 자주 언급되는 무한대의 대중적인 치료법.
  • Dauben, Joseph W. (June 1983). "Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory". Scientific American. 248 (6): 122–131. Bibcode:1983SciAm.248f.122D. doi:10.1038/scientificamerican0683-122.
  • Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought. Basel, Switzerland: Birkhäuser.Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought. Basel, Switzerland: Birkhäuser.ISBN 3-7643-8349-6 세트 이론에 대한 칸토어와 데데킨트의 기여에 대한 상세한 처리 내용을 담고 있습니다.
  • Halmos, Paul (1998) [1960]. Naive Set Theory. New York & Berlin: Springer.Halmos, Paul (1998) [1960]. Naive Set Theory. New York & Berlin: Springer.ISBN 3-540-90092-6
  • Hilbert, David (1926). "Über das Unendliche". Mathematische Annalen. 95: 161–190. doi:10.1007/BF01206605. S2CID 121888793.
  • Hill, C. O.; Rosado Haddock, G. E. (2000). Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics. Chicago: Open Court.Hill, C. O.; Rosado Haddock, G. E. (2000). Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics. Chicago: Open Court.ISBN 0-8126-9538-0 Cantor에 관한 3개의 챕터와 18개의 인덱스 항목.
  • Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Life, Work and Influence, in German). Vieweg, Braunschweig.
  • 뉴스테드, 앤 (2009)."자연, 숫자, 그리고 신성한 마음의 무한에 관한 칸토론"[1], 미국 가톨릭 철학 계간지, 83(4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444이 글은 도벤의 선구적인 역사적 업적을 인정하면서 스피노자와 라이프니츠의 철학에 대한 칸토어의 관계와 범신론적 영역에 대한 그의 관여를 심도 있게 논의합니다.캔터가 F.A에서 배운 것에 대해 간략하게 언급합니다.트렌델렌부르크.
  • Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Alfred A. Knopf.Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Alfred A. Knopf.ISBN 0-679-77631-1 16장은 칸토리안 사상이 현대 이론물리학의 선도자에게 흥미를 유발하는 방법을 보여줍니다.
  • Rucker, Rudy (2005) [1982]. Infinity and the Mind. Princeton University Press.Rucker, Rudy (2005) [1982]. Infinity and the Mind. Princeton University Press.ISBN 0-553-25531-2 Aczel과 비슷한 주제를 다루지만 좀 더 깊이 있습니다.
  • Rodych, Victor (2007). "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics". In Edward N. Zalta (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University..
  • 레오니다 라자리, 린피니토칸토어에디트리스 피타고라, 볼로냐, 2008

외부 링크