선형대수

선형대수학은 다음과 같은 선형 방정식에 관한 수학의 한 분야입니다.

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}$

다음과 같은 선형 맵:

${\displaystyle(x_{1},\ldots,x_{n})\maps to a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

벡터공간에서의 ^[1][2][3]표현과 행렬을 통한 표현.

선형대수학은 수학의 거의 모든 영역에서 중심입니다.예를 들어, 선형대수학은 선, 평면, 회전과 같은 기본적인 물체를 정의하는 것을 포함하여 기하학의 현대적인 표현에서 기본적입니다.또한 수학적 분석의 한 분야인 함수해석학은 선형대수를 함수의 공간에 적용하는 것으로 볼 수 있습니다.

선형대수학은 많은 자연현상을 모델링하고 그러한 모델로 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 대부분의 과학과 공학 분야에서도 사용됩니다.선형 대수로 모델링할 수 없는 비선형 시스템의 경우, 점에서 다변량 함수의 미분이 해당 점 근처의 함수에 가장 적합한 선형 맵이라는 사실을 사용하여 1차 근사치를 처리하는 데 종종 사용됩니다.

역사

가우시안 소거라고 불리는 동시 선형 방정식을 풀기 위한 절차(계산봉을 사용)는 고대 중국 수학 텍스트 제8장: 수학 예술에 관한 아홉 장의 직사각형 배열에 등장합니다.그 용도는 2~^[4]5개의 방정식으로 구성된 18개의 문제에 설명되어 있습니다.

선형 방정식 체계는 1637년 르네 데카르트가 기하학에서 좌표를 도입하면서 유럽에서 생겨났습니다.사실, 데카르트 기하학이라고 불리는 이 새로운 기하학에서, 선과 평면은 선형 방정식으로 표현되며, 그들의 교차점을 계산하는 것은 선형 방정식의 체계를 푸는 것에 해당합니다.

선형 시스템을 해결하기 위한 최초의 체계적인 방법은 행렬식을 사용했고 1693년 라이프니츠에 의해 처음으로 고려되었습니다.1750년 가브리엘 크라머는 현재 크라머의 법칙이라고 불리는 선형 체계의 명확한 해결책을 제공하기 위해 이를 사용했습니다.나중에, 가우스는 측지학의 ^[5]진보로 처음에 등재된 제거 방법에 대해 더 자세히 설명했습니다.

1844년 헤르만 그라스만은 오늘날 선형대수학이라고 불리는 새로운 주제를 포함한 그의 "확장 이론"을 출판했습니다.1848년 제임스 조셉 실베스터는 자궁을 뜻하는 라틴어인 행렬이라는 용어를 소개했습니다.

선형대수학은 복소평면에서 언급된 아이디어와 함께 성장했습니다.예를 들어, C$${\$displaystyle \mathbb {C}}$의 두 숫자 w와 z는 w – z의 차이를 가지며, 선분 wz와 0(w - z)은 길이와 방향이 같습니다.세그먼트들은 등분극입니다.4차원 계 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$개의 쿼터니언이 W.R에 의해 발견되었습니다. 1843년 해밀턴.^[6]벡터라는 용어는 공간의 한 점을 나타내는 v = xi + yj + zk로 소개되었습니다.4차 이온 차이 p – q는 또한 pq까지의 구간 등분극을 생성합니다.다른 초복소수 체계들도 기저를 갖는 선형 공간이라는 개념을 사용했습니다.

아서 케일리는 1856년에 행렬 곱셈과 역행렬을 도입하여 일반적인 선형군을 가능하게 했습니다.그룹 표현의 메커니즘은 복소수와 초복소수를 설명하는 데 사용할 수 있게 되었습니다.결정적으로, 케일리는 행렬을 나타내기 위해 한 글자를 사용했고, 따라서 행렬을 집합체로 취급했습니다.그는 또한 행렬과 행렬식 사이의 연관성을 깨닫고 "제가 보기에는 행렬식 ^[5]이론보다 앞서야 할 행렬 이론에 대해 할 말이 많을 것입니다"라고 썼습니다.

벤자민 피어스는 그의 선형 연상 대수학 (1872)을 출판했고, 그의 아들 찰스 샌더스 피어스는 ^[7]그 작업을 나중에 연장했습니다.

전신은 설명 체계를 필요로 했고, 1873년 A Treatise on Electric and Magnetism은 힘의 장이론을 도입했고 표현을 위해 미분기하학을 필요로 했습니다.선형대수학은 편평 미분기하학이며 다양체와의 접선공간에서 사용됩니다.시공간의 전자기 대칭은 로렌츠 변환으로 표현되며, 선형 대수학의 역사 중 많은 부분이 로렌츠 변환의 역사입니다.

벡터 공간에 대한 최초의 현대적이고 더 정확한 정의는 1888년 ^[5]페아노에 의해 소개되었습니다. 1900년에는 유한 차원 벡터 공간의 선형 변환 이론이 등장했습니다.선형대수학은 이전 세기들의 많은 아이디어와 방법들이 추상대수학으로 일반화되었던 20세기 전반에 그것의 현대적인 형태를 취했습니다.컴퓨터의 발달은 가우시안 제거와 행렬 분해를 위한 효율적인 알고리즘에 대한 연구의 증가로 이어졌고, 선형 대수는 모델링과 ^[5]시뮬레이션을 위한 필수적인 도구가 되었습니다.

벡터공간

19세기까지 선형대수학은 선형방정식과 행렬의 체계를 통해 도입되었습니다.현대 수학에서는 벡터 공간을 통한 표현이 일반적으로 선호되는데, 이는 더 합성적이고 더 일반적이며(유한 차원의 경우에만 국한되지 않음) 개념적으로 더 간단하지만 더 추상적이기 때문입니다.

필드 F 위의 벡터 공간(종종 실수의 필드)은 다음 공리를 만족시키는 두 개의 이진 연산을 갖춘 집합 V입니다.V의 원소는 벡터, F의 원소는 스칼라라고 불립니다.첫 번째 연산인 벡터 덧셈은 임의의 두 벡터 v와 w를 취하고 세 번째 벡터 v+w를 출력합니다.두 번째 연산인 스칼라 곱셈은 임의의 스칼라 a와 임의의 벡터 v를 취하고 새로운 벡터 av를 출력합니다.덧셈과 스칼라 곱셈이 만족해야 하는 공리는 다음과 같습니다.(아래 목록에서 u, v, w는 V의 임의 원소이며, a, b는 필드 F의 임의 스칼라입니다.)^[8]

공리	시그니피케이션
덧셈 연관성	u + (v + w) = (u + v) + w
덧셈의 교환성	u + v = v + u
덧셈의 항등요소	V에는 V의 모든 v에 대해 v + 0 = v가 되도록 0 벡터(또는 단순히 0)라고 불리는 원소 0이 존재합니다.
덧셈의 역수	V의 모든 v에 대하여, v의 덧셈 역이라고 불리는 원소 -v가 존재하며, 이는 v + (-v) = 0입니다.
벡터 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분포성	a(u + v) = au + av
필드 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분포성	(a + b)v = av + bv
스칼라 곱셈과 필드 곱셈의 호환성	a(bv) = (ab)v [a]
스칼라 곱셈의 항등식 요소	1v = v, 여기서 1은 F의 곱셈 항등식을 나타냅니다.

앞의 4개의 공리는 V가 덧셈 아래의 아벨 군이라는 것을 의미합니다.

특정 벡터 공간의 요소는 다양한 성질을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 수열, 함수, 다항식 또는 행렬일 수 있습니다.선형대수학은 모든 벡터공간에 공통적으로 존재하는 이러한 객체의 특성과 관련이 있습니다.

선형 지도

선형 맵은 벡터 공간 구조를 보존하는 벡터 공간 사이의 매핑입니다.필드 F 위의 두 벡터 공간 V와 W가 주어졌을 때, 선형 맵(일부 맥락에서 선형 변환 또는 선형 매핑이라고도 함)은 맵입니다.

${\displaystyle T:V\W}에(와) 연결$

덧셈 및 스칼라 곱셈과 호환되는 것, 즉

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v}),\displaystyle T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

V의 임의의 벡터 u,v 및 F의 스칼라 a에 대하여.

이것은 임의의 벡터 u, v in V 와 스칼라 a, b in F 에 대하여 하나가

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$

V = W가 동일한 벡터 공간일 때, 선형 맵 T : V → V는 V 위의 선형 연산자로도 알려져 있습니다.

두 벡터 공간 사이의 사영 선형 맵(즉, 두 번째 공간의 모든 벡터는 첫 번째 공간에서 정확히 하나와 연관되어 있음)은 동형입니다.동형 사상은 선형 구조를 보존하기 때문에, 선형 대수학의 관점에서 두 동형 벡터 공간은 벡터 공간 특성을 사용하여 구별할 수 없다는 점에서 "본질적으로 동일"합니다.선형대수학에서 필수적인 질문은 선형 지도가 동형인지 아닌지를 시험하는 것이고, 만약 그것이 동형이 아니라면, 지도의 커널이라고 불리는 범위(또는 이미지)와 영벡터에 매핑된 요소들의 집합을 찾는 것입니다.이 모든 질문은 가우스 제거 또는 이 알고리즘의 일부 변형을 사용하여 해결할 수 있습니다.

부분공간, 범위 및 기저

유도 연산 하에서 벡터 공간 자체에 있는 벡터 공간의 하위 집합에 대한 연구는 많은 수학적 구조와 마찬가지로 기본적입니다.이러한 부분 집합을 선형 부분 공간이라고 합니다.더 정확하게 말하면, 필드 F 위의 벡터 공간 V의 선형 부분 공간은 모든 u, W의 v 및 F의 모든 a에 대해 u + v와 au가 W에 있도록 V의 부분 집합 W입니다. (이 조건들은 W가 벡터 공간임을 암시하기에 충분합니다.)

예를 들어, 선형 맵 T : V → W가 주어졌을 때, V의 이미지 T(V)와 0의 역 이미지 T(0)(커널 또는 널 스페이스라고 함)는 각각 W와 V의 선형 부분 공간입니다.

부분공간을 형성하는 또 다른 중요한 방법은 벡터의 집합 S의 선형결합을 고려하는 것입니다: 모든 합의 집합

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

여기서₁ v, v₂, ..., v는_k S에서, a₁, a₂, ..., a는_k F에서 S의 스판이라 불리는 선형 부분공간을 형성합니다.S의 스팬은 S를 포함하는 모든 선형 부분공간의 교집합이기도 합니다.즉, S를 포함하는 (포함 관계의 경우) 가장 작은 선형 부분 공간입니다.

벡터 집합은 다른 벡터들의 스팬에 없는 경우 선형으로 독립적입니다.동치로, 벡터의 집합 S는 S의 원소들의 선형 조합으로 0 벡터를 표현하는 유일한 방법이 모든 계수 a에_i 대해 0을 취하는 것이라면 선형 독립적입니다.

벡터 공간에 걸쳐 있는 벡터 집합을 스패닝 집합 또는 생성 집합이라고 합니다.만약 스패닝 집합 S가 선형적으로 종속적이라면(선형적으로 독립적이지 않음), S의 일부 원소 w는 S의 다른 원소들의 스패닝에 있고, 만약 하나가 S에서 w를 제거한다면 스패닝은 동일하게 유지될 것입니다.선형 독립적인 스패닝 세트를 얻을 때까지 S의 요소를 계속 제거할 수 있습니다.벡터 공간 V에 걸쳐 있는 이러한 선형 독립 집합을 V의 기저라고 합니다.기저의 중요성은 최소 생성 집합과 최대 독립 집합이라는 사실에 있습니다.더 정확히 말하면, S가 선형 독립 집합이고, T가 S ⊆ T인 스패닝 집합이라면, S ⊆ B ⊆ T인 기저 B가 존재합니다.

벡터 공간 V의 임의의 두 기저는 V의 차원이라 불리는 동일한 카디널리티를 갖습니다. 이것이 벡터 공간에 대한 차원 정리입니다.또한 동일한 필드 F 위의 두 벡터 공간은 동일한 ^[9]차원을 갖는 경우에만 동형입니다.

만약 V의 어떤 기저(따라서 모든 기저)가 유한한 수의 원소를 가진다면, V는 유한 차원 벡터 공간입니다.U가 V의 부분 공간이면 U ≤ dim V.V가 유한 차원인 경우, 차원의 동일성은 U = V를 의미합니다.

U와₁₂ U가 V의 부분공간이라면,

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

여기서 U + U는 U ∪ U의 범위를 나타냅니다.

행렬

행렬을 사용하면 유한 차원 벡터 공간과 선형 맵을 명시적으로 조작할 수 있습니다.따라서 그들의 이론은 선형 대수학의 필수적인 부분입니다.

V를 필드 F 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하고, (v₁, v₂, ..., v_m)를 V의 기저(따라서 V의 차원)라고 합니다.기초의 정의에 따라, 지도는

${\displaystyle {\display{aligned}(a_{1},\ldots,a_{m})&\maps to a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\toV\end{aligned}}$

는 F의 m개 원소들의 수열의 집합인 F에서^m V로의 사영입니다.만약 F가 벡터 공간의 표준 구조를 갖추고 있다면^m, 이것은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈이 성분별로 이루어지는 벡터 공간의 동형입니다.

이 동형 사상은 이 동형 사상 하에서 벡터를 그것의 역상, 즉 좌표 벡터 (a_1m, ..., a) 또는 열 행렬로 나타낼 수 있게 합니다.

${\displaystyle {\display{bmatrix}a_{1}\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}}$

W가 기저 (w₁, ..., w)를_n 갖는 또 다른 유한 차원 벡터 공간이라면, W에서 V까지의 선형 맵 f는 기저 요소의 값, 즉 (f(w₁), ..., f(w_n))에 의해 잘 정의됩니다.따라서 f는 해당하는 열 행렬의 목록으로 잘 표현됩니다.즉, 만약

${\displaystyle f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m}}$

j = 1, ..., n일 경우 f는 행렬로 표시됩니다.

${\displaystyle {\display{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\vdots &\\ddots &\a_{m,n}\end{bmatrix}}$

행과 열이 m개입니다.

행렬 곱셈은 두 행렬의 곱이 대응하는 선형 맵의 구성의 행렬이고, 행렬과 열 행렬의 곱이 표현된 선형 맵을 표현된 벡터에 적용한 결과를 나타내는 열 행렬인 방식으로 정의됩니다.유한 차원 벡터 공간 이론과 행렬 이론은 정확히 같은 개념을 표현하기 위한 두 개의 다른 언어라는 것을 따릅니다.

서로 다른 기저에서 동일한 선형 변환을 부호화하는 두 행렬을 유사 행렬이라고 합니다.기본 행 및 열 작업을 통해 한 행렬을 다른 행렬로 변환할 수 있는 경우에만 두 행렬이 유사하다는 것을 증명할 수 있습니다.W에서 V로의 선형 맵을 나타내는 행렬의 경우 행 연산은 V의 기저 변화에 해당하고 열 연산은 W의 기저 변화에 해당합니다. 모든 행렬은 0개의 행과 0개의 열로 경계를 이룰 수 있는 항등 행렬과 유사합니다.벡터 공간의 측면에서, 이것은 W에서 V까지의 임의의 선형 맵에 대해, W의 기저의 일부가 V의 기저의 일부에 객관적으로 매핑되고, W의 나머지 기저 요소가 있다면 0으로 매핑되는 기저가 있음을 의미합니다.가우시안 제거는 이러한 기본 연산을 찾고 이 결과를 증명하기 위한 기본 알고리즘입니다.

선형계

유한한 변수 집합, 예를₁ 들어 x, x₂, x, ..., x_n, 또는 x, y, ..., z의 유한한 선형 방정식 집합을 선형 방정식 또는 선형 ^{[11][12][13][14][15]}시스템이라고 합니다.

선형 방정식 체계는 선형 대수학의 기본적인 부분을 형성합니다.역사적으로 선형대수와 행렬 이론은 그러한 시스템을 해결하기 위해 개발되었습니다.벡터공간과 행렬을 통한 선형대수의 현대적인 표현에서, 많은 문제들이 선형 시스템의 관점에서 해석될 수 있습니다.

예를 들어, 다음과 같이 합니다.

${\displaystyle {\display{alignat}{7}2x&;+\n&y&;-\n&z&;=\;&&&8\-3x&;-\n\n\n&y&\n\n=\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalignat}}$

(S)

선형 체계가 되다

그러한 시스템에 그 행렬을 연관지을 수 있습니다.

${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\-3&1&2\-2&2\end{array}}\right.}$

그리고 그것의 오른쪽 멤버 벡터.

${\displaystyle \mathbf {v} = {\display{bmatrix}8\-11\-3\end{bmatrix}}$

T를 행렬 M과 관련된 선형 변환이라 합니다.계(S)의 해는 벡터입니다.

${\displaystyle \mathbf {X} = {\display{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}}$

그렇게

${\displaystyle T(\mathbf {X} )=\mathbf {v},}$

그것은 v의 t에 의한 전상의 한 요소입니다.

(S')를 관련된 동차계라 하자, 여기서 방정식의 오른쪽이 0이 된다고 하자:

${\displaystyle {\display{alignat}{7}2x&;+\n&y&;-\n&z&;=\;&&0\-3x&;-\n\n&y&\n\n\n\n\n=\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\"alignat}}$

(S')

(S')의 해는 정확히 T 또는 M의 커널의 원소입니다.

가우시안 소거는 증강 매트릭스에 대한 기본 행 연산을 수행하는 것으로 구성됩니다.

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{cc}M&\mathbf{v} \end{array}}\!\right]=\left[{\rrrr}2&1&-1&8\\-3&1&2&-11\-2&2&-3\end{array}}\right]}$

줄을 줄인 사다리 형태로 만들 수 있습니다.이러한 행 연산은 연립 방정식의 해 집합을 변경하지 않습니다.예제에서 감소된 에코론 형태는

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{cc}M&\mathbf{v} \end{array}}\!\right]=\left[{\rrrr}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right],}$

시스템(S)에 고유한 솔루션이 있음을 보여주는 것

${\displaystyle {\display{aligned}x&=2\y&=3\z&=-1입니다.\end{aligned}}$

선형 시스템에 대한 이러한 행렬 해석을 통해 선형 시스템을 해결하고 순위, 커널, 행렬 역수의 계산을 포함하는 행렬 및 선형 변환에 대한 많은 작업에 동일한 방법이 적용될 수 있음을 알 수 있습니다.

내동형 및 정방행렬

선형 내형은 벡터 공간 V를 자신에 매핑하는 선형 맵입니다.만약 V가 n개의 원소들의 기저를 가지면, 그러한 내형은 크기 n의 정사각형 행렬로 표현됩니다.

일반적인 선형 맵과 관련하여, 선형 내형과 제곱 행렬은 그들의 연구를 기하학적 변환, 좌표 변화, 이차 형태 및 수학의 많은 다른 부분을 포함하여 수학의 많은 부분에서 사용되는 선형 대수의 중요한 부분으로 만드는 몇 가지 특정한 특성을 가지고 있습니다.

행렬식

정방행렬 A의 행렬식은 다음과^[16] 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}$

여기서_n S는 n개 원소의 모든 순열의 그룹이고, ε는 순열이며, (-1)^σ 순열의 패리티입니다.행렬식이 반전 가능한 경우에만 행렬이 반전 가능합니다(예: 스칼라가 필드에 속한 경우 0이 아님).

크레이머의 법칙은 n개의 미지수에서 n개의 선형 방정식 체계의 해를 결정하는 요소의 관점에서 폐쇄형 표현입니다.크레이머의 규칙은 해에 대한 추론에 유용하지만, n = 2 또는 3을 제외하고는 가우스 제거가 더 빠른 알고리즘이기 때문에 해를 계산하는 데 거의 사용되지 않습니다.

내형론의 결정 요인은 일부 순서 기반의 관점에서 내형론을 나타내는 행렬의 결정 요인입니다.이 결정 요인은 기초의 선택과 무관하기 때문에 이 정의는 타당합니다.

고유값 및 고유벡터

f가 장 F에 대한 벡터 공간 V의 선형 내형이면, f의 고유 벡터는 F의 어떤 스칼라 a에 대해 f(v) = av가 되는 V의 0이 아닌 벡터 v입니다.이 스칼라 a는 f의 고유값입니다.

만약 V의 차원이 유한하고 기저가 선택되었다면, f와 v는 각각 정방행렬 M과 열 행렬 z로 표현될 수 있고, 고유벡터와 고유값을 정의하는 방정식은

${\displaystyle Mz=az.}$

항등식 행렬 I을 사용하여, 주 대각선의 항등식을 제외하고, 항등식 행렬 I을 다시 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

z가 0이 아닌 것으로 추정되므로, 이는 M – aI가 단수 행렬임을 의미하며, 따라서 이 행렬식 det (M - aI)은 0과 같습니다.따라서 고유값은 다항식의 근이 됩니다.

${\displaystyle \det(xI-M)}$

만약 V가 차원 n이라면, 이것은 행렬의 특성 다항식(또는 내형의 특성 다항식)이라고 불리는 차원 n의 단다항식이며, 기껏해야 n개의 고유값이 있습니다.

만약 고유 벡터로만 구성된 기저가 존재한다면, 이 기저에서 f의 행렬은 매우 간단한 구조를 갖습니다: 그것은 주 대각선의 원소들이 고유값이고 다른 원소들은 0인 대각행렬입니다.이 경우 내형과 행렬은 대각화가 가능하다고 합니다.더 일반적으로, 스칼라의 장을 확장한 후에 대각화가 가능해진다면, 내형과 행렬도 대각화가 가능하다고 말합니다.이러한 확장된 의미에서 특성 다항식이 제곱이 없는 경우 행렬은 대각화가 가능합니다.

대칭 행렬은 항상 대각화 가능합니다.대각화가 불가능한 행렬이 있으며, 가장 간단한 것은

${\displaystyle {\display{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}}$

(그 제곱은 영 행렬이고, 영이 아닌 대각 행렬의 제곱은 절대 영이 아니기 때문에 대각화가 가능하지 않습니다.)

내형이 대각화가 가능하지 않을 때, 대각선처럼 단순하지는 않지만 단순한 형태를 갖는 기저가 존재합니다.프로베니우스 정규 형식은 스칼라 필드를 확장할 필요가 없으며 특성 다항식을 행렬에서 즉시 읽을 수 있게 합니다.요르단 정규 형식은 모든 고유값을 포함하기 위해 스칼라 필드를 확장해야 하며, 주 대각선 바로 위에 있고 1과 같은 일부 항목만 대각선 형식과 다릅니다.

이중성

선형 형태는 필드 F 위의 벡터 공간 V에서 스칼라 F의 필드까지의 선형 지도이며, 그 자체 위의 벡터 공간으로 간주됩니다.점별 덧셈과 스칼라 곱셈으로 갖추어진 선형 형태는 V의 이중 공간이라 불리는 벡터 공간을 형성하며 보통 V*^[17] 또는 V'^[18][19]를 나타냅니다.

만약 v, ..., v가 V의 기저라면(V가 유한 차원임을 의미함), i = 1, ..., n에 대해 선형 맵 v*를 정의할 수 있으며, 만약 j ≠ i일 경우 v*(v) = 1, v*(v) = 0이 되도록 할 수 있습니다.이 선형 맵들은 V, ..., v의_n 이중 기저라고 불리는 V*의₁ 기저를 형성합니다. (V가 유한 차원이 아니라면 v*는_i 유사하게 정의될 수 있습니다; 이들은 선형적으로 독립적이지만 기저를 형성하지는 않습니다.

V의 경우 지도.

${\displaystyle f\to f(\mathbf {v} )}$

는 V* 의 선형 형태입니다.이것은 V에서 V*의 쌍대라고 불리는 V*의 쌍대형인 (V*)*로의 표준 선형 맵을 정의합니다.이 표준 맵은 V가 유한 차원이면 동형이며, 이를 통해 V를 쌍대칭으로 식별할 수 있습니다.(무한 차원의 경우 표준 맵은 주입적이지만, 주관적이지는 않습니다.)

따라서 유한 차원 벡터 공간과 그 이중성 사이에는 완전한 대칭이 있습니다.이는 이러한 맥락에서 브라켓 표기법을 자주 사용하도록 동기를 부여합니다.

${\displaystyle \displayle f,\mathbf {x} \rangle }$

f(x)를 나타내기 위해.

듀얼 맵

허락하다

${\displaystyle f:V\W}에(와) 연결$

직선 지도가 되다W의 모든 선형 형태에 대해 합성 함수 h∘f는 V의 선형 형태입니다.선형 맵을 정의합니다.

${\displaystyle f^{*}:W^{*}\toV^{*}$

이중 공간 사이에, 이중 공간 또는 전치 공간이라고 불립니다.

만약 V와 W가 유한 차원이고, M이 일부 순서 기저의 행렬 f라면, 이중 기저 위에 있는 f*의 행렬은 행과 열을 교환하여 얻은 M의 전치^T M입니다.

만약 벡터 공간의 요소와 그 이중성이 열 벡터로 표현된다면, 이 이중성은 다음과 같이 브라켓 표기법으로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle \displaystyle h^{\mathsf {T}}, M\mathbf {v} \rangle =\mathsf {T}M,\mathbf {v} \rangle.}$

이 대칭성을 강조하기 위해, 이 평등의 두 멤버는 때때로 쓰여집니다.

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle.}$

내부제품공간

선형대수학은 이러한 기본 개념 외에도 내부 곱과 같은 추가 구조를 가진 벡터 공간도 연구합니다.내부 곱은 이선형 형태의 예시이며, 길이와 각도를 정의할 수 있도록 함으로써 벡터 공간에 기하학적 구조를 부여합니다.공식적으로 내부 제품은 지도입니다.

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle : V\times V\to F}$

이는 모든 벡터 u, v, win V와 모든 스칼라 a에 대해 다음의 세 가지 공리를 만족합니다.^[20][21]

• 켤레 대칭:

  ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle = {\overline {\mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}}$

R ${\$에서는 대칭입니다.

• 첫 번째 인수의 선형성:

  ${\displaystyle {\display{aligned}\mathbf {u},\mathbf {v} \rangle &=a\mathbf {u},\mathbf {v} \rangle입니다.\\\\mathbf {u} +\mathbf {v},\mathbf {w} \rangle &=\mathbf {u},\mathbf {w} \rangle +\mathbf {v},\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}$

• 양의 선명도(Positive-definitivity

  ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$

v = 0에 대해서만 동일하게 적용됩니다.

V에서 벡터 v의 길이는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \ \\mathbf {v} \^{2}=\displayle \mathbf {v},\mathbf {v} \rangle,}$

코시-슈바르츠 부등식을 증명할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \leq \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ .}$

특히 수량이

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u},\mathbf {v} \rangle } {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \}}\leq 1,}$

따라서 이 양을 두 벡터 사이의 각도의 코사인이라 부를 수 있습니다.

만약 ⟨u, v⟩ = 0이라면 두 벡터는 직교합니다. 정규 기저는 모든 기저 벡터의 길이가 1이고 서로 직교하는 기저입니다.임의의 유한 차원 벡터 공간이 주어지면, 정규 기저는 그램-슈미트 절차에 의해 발견될 수 있습니다.만약 v = a v + ⋯ + a v라면, 정규 기저는 특히 다루기 쉽습니다.

${\displaystyle a_{i}=\displayle \mathbf {v},\mathbf {v} _{i}\rangle.}$

내부 제품은 다양한 유용한 개념의 구성을 용이하게 합니다.예를 들어, 변환 T가 주어졌을 때, 우리는 그것의 에르미트 결합 T*를 다음을 만족시키는 선형 변환으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\displayle \mathbf {u} , T^{*}\mathbf {v} \rangle .}$

T가 TT* = T*T를 만족하면 T를 normal이라 합니다.정규 행렬은 V에 걸쳐 있는 고유 벡터의 정규 시스템을 갖는 행렬임이 밝혀졌습니다.

기하학과의 관계

1637년 르네 데카르트가 데카르트 좌표를 도입하면서 시작된 선형대수와 기하학 사이에는 강한 관계가 있습니다.현재 데카르트 기하학이라고 불리는 이 새로운 (당시) 기하학에서 점은 세 개의 실수(일반적인 3차원 공간의 경우)의 시퀀스인 데카르트 좌표로 표시됩니다.선과 평면인 기하학의 기본 객체는 선형 방정식으로 표현됩니다.따라서 선과 평면의 교차점을 계산하는 것은 선형 방정식의 시스템을 해결하는 것입니다.이것이 선형대수를 발전시키는 주요 동기 중 하나였습니다.

변환, 회전, 반사, 강체 운동, 등각, 투영 등과 같은 대부분의 기하학적 변환은 선을 선으로 변환합니다.선형 맵의 관점에서 정의되고 특정되며 연구될 수 있음을 알 수 있습니다.이것은 투영 공간의 변환으로 간주될 때 호모그래피 및 뫼비우스 변환의 경우이기도 합니다.

19세기 말까지 기하학적 공간은 점, 선, 평면(합성 기하학)과 관련된 공리에 의해 정의되었습니다.이 날짜 즈음에는 벡터 공간을 포함하는 구성(예: 투영 공간 및 아핀 공간 참조)으로 기하 공간을 정의할 수도 있는 것으로 나타났습니다.두 접근법은 본질적으로 ^[22]동등한 것으로 나타났습니다.고전 기하학에서, 포함된 벡터 공간은 실제 위의 벡터 공간이지만, 구조는 임의의 필드 위의 벡터 공간으로 확장될 수 있으므로 유한 필드를 포함한 임의의 필드 위의 기하학을 고려할 수 있습니다.

현재 대부분의 교과서는 선형대수학에서 기하학적 공간을 도입하고 있으며, 기하학은 초등 수준에서 선형대수학의 하위 분야로 제시되는 경우가 많습니다.

사용량 및 애플리케이션

선형대수학은 수학의 거의 모든 영역에서 사용되므로 수학을 사용하는 거의 모든 과학 영역에서 관련성이 있습니다.이러한 응용프로그램은 몇 가지 광범위한 범주로 나눌 수 있습니다.

주변공간의 기하학

주변 공간의 모델링은 기하학을 기반으로 합니다.이 공간과 관련된 과학들은 기하학을 널리 사용합니다.이것은 단단한 신체 역학을 설명하기 위한 역학 및 로봇 공학, 지구 형상을 설명하기 위한 측지학, 장면과 평면 표현 사이의 관계를 설명하기 위한 원근성, 컴퓨터 비전 및 컴퓨터 그래픽, 그리고 다른 많은 과학적 영역의 경우입니다.

이러한 모든 응용 분야에서 합성 기하학은 일반적인 설명과 정성적인 접근법을 위해 종종 사용되지만, 명시적인 상황을 연구하기 위해서는 좌표로 계산해야 합니다.이를 위해서는 선형대수를 많이 사용해야 합니다.

함수해석학

함수 분석은 함수 공간을 연구합니다.힐베르트 공간과 같이 추가적인 구조를 가진 벡터 공간입니다.따라서 선형 대수는 특히 양자 역학(파동 함수)을 포함하는 함수 분석 및 응용의 기본적인 부분입니다.

복잡계 연구

대부분의 물리 현상은 편미분 방정식으로 모델링됩니다.그것들을 해결하기 위해, 사람들은 보통 해결책들이 탐색되는 공간을 작은 상호작용하는 세포들로 분해합니다.선형 시스템의 경우 이 상호작용에는 선형 함수가 포함됩니다.비선형 시스템의 경우, 이 교호작용은 종종 선형 ^[b]함수에 의해 근사됩니다.이를 선형 모형 또는 1차 근사치라고 합니다.선형 모델은 매개 변수화를 보다 ^[23]쉽게 관리할 수 있기 때문에 복잡한 비선형 실세계 시스템에 자주 사용됩니다.두 경우 모두 일반적으로 매우 큰 행렬이 포함됩니다.기상 예측(또는 보다 구체적으로, 대기 모델링을 위한 매개 변수화)은 전체 지구 대기를 폭 100km와 높이 100km의 셀로 나누는 실제 응용의 전형적인 예입니다.

과학적 계산

거의 모든 과학적 계산은 선형 대수를 포함합니다.결과적으로 선형 대수 알고리즘은 고도로 최적화되었습니다.BLAS와 LAPACK은 가장 잘 알려진 구현입니다.효율성 향상을 위해, 일부는 실행 시간에 자동으로 알고리즘을 구성하여 컴퓨터의 특수성(캐시 크기, 사용 가능한 코어 수 등)^{[citation needed]}에 맞게 조정합니다.

일반적으로 그래픽 처리 장치(GPU)인 일부 프로세서는 선형 ^{[citation needed]}대수의 연산을 최적화하기 위해 행렬 구조로 설계됩니다.

확장 및 일반화

이 절에서는 선형대수학에 관한 초등 교과서에는 일반적으로 나타나지 않지만 고급 수학에서는 선형대수학의 일부로 일반적으로 간주되는 몇 가지 관련 주제를 제시합니다.

모듈이론

필드의 곱셈 역수의 존재는 벡터 공간을 정의하는 공리와 관련이 없습니다.따라서 스칼라의 장을 링 R로 대체할 수 있으며, 이것은 모듈 over R, 즉 R-module이라고 불리는 구조를 제공합니다.

선형 독립성, 스팬, 기저 및 선형 맵(모듈 동형화라고도 함)의 개념은 벡터 공간에 대한 모듈에 대해 정확히 정의되며, R이 필드가 아닌 경우 어떠한 기저도 갖지 않는 모듈이 있다는 본질적인 차이가 있습니다.기본이 되는 모듈은 자유 모듈이고 유한 집합에 의해 확장되는 모듈은 유한 생성 모듈입니다.유한 생성된 자유 모듈 사이의 모듈 동형화는 행렬로 표현될 수 있습니다.환 위의 행렬 이론은 환이 교환인 경우에만 결정 인자가 존재하고, 환 위의 제곱 행렬은 환 안에 곱셈 역수가 있는 경우에만 반전 가능하다는 점을 제외하고는 장 위의 행렬 이론과 비슷합니다.

벡터 공간은 (동형화까지) 차원에 의해 완전히 특징지어집니다.일반적으로 모듈에 대해서는 유한하게 생성된 모듈에 국한하더라도 이러한 완전한 분류가 없습니다.그러나 모든 모듈은 자유 모듈의 동형 사상의 코커널입니다.

정수에 대한 모듈은 반복되는 덧셈으로 식별될 수 있으므로 아벨리안 그룹으로 식별될 수 있습니다.아벨 군 이론의 대부분은 주 이상 영역에 걸친 모듈로 확장될 수 있습니다.특히, 주 아이디얼 영역에 걸쳐 자유 모듈의 모든 서브모듈은 자유롭고, 유한 생성 아벨 군의 기본 정리는 주 링에 걸쳐 유한 생성 모듈로 바로 확장될 수 있습니다.

선형 방정식을 풀기 위한 알고리즘과 선형 방정식 시스템이 있는 많은 링이 있습니다.그러나 이러한 알고리즘은 일반적으로 필드 위의 유사한 알고리즘보다 훨씬 높은 계산 복잡성을 가집니다.자세한 내용은 환 위의 선형 방정식을 참조하십시오.

다중선형대수와 텐서

이 섹션은 위키피디아의 품질 기준을 충족시키기 위해 정리가 필요할 수 있습니다.구체적인 문제는 다음과 같습니다.위에서 이중 공간을 고려하고, 이 주제에 대한 이해할 수 있는 요약을 위해 섹션을 다시 작성해야 합니다. 가능하다면 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주세요. (2018년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

다중선형대수학에서는 다중변수 선형 변환, 즉 여러 개의 다른 변수 각각에 선형인 매핑을 고려합니다.이러한 탐구의 선은 자연스럽게 선형 지도 f : V → F로 구성된 벡터 공간 V*라는 이중 공간의 아이디어로 이어집니다. 여기서 F는 스칼라의 장입니다.다중선형 맵 T : V → F는 V*의 요소의 텐서 곱을 통해 설명할 수 있습니다.

벡터 덧셈과 스칼라 곱 외에 이선 벡터 곱 V × V → V가 있다면 벡터 공간을 대수라고 합니다. 예를 들어, 연관 대수는 (정사각형 행렬의 대수 또는 다항식의 대수와 같이) 연관 벡터 곱을 갖는 대수입니다.

위상벡터공간

이 섹션은 확장이 필요합니다.추가하여 도움을 줄 수 있습니다.(2018년 9월)

유한 차원이 아닌 벡터 공간은 종종 추적 가능한 추가 구조를 필요로 합니다.노름 벡터 공간은 노름이라고 불리는 함수와 함께 요소의 "크기"를 측정하는 벡터 공간입니다.표준은 요소들 사이의 거리를 측정하는 메트릭을 유도하고, 연속 지도의 정의를 허용하는 토폴로지를 유도합니다.이 메트릭은 한계와 완전성을 정의할 수도 있습니다. 즉, 완전한 메트릭 공간을 바나흐 공간이라고 합니다.내부 생성물의 추가 구조(결합 대칭 세스킬린 형태)와 함께 완전한 메트릭 공간은 힐베르트 공간으로 알려져 있으며, 어떤 의미에서는 특별히 잘 행동하는 바나흐 공간입니다.함수해석학은 선형대수학의 방법을 수학해석학의 방법과 함께 적용하여 다양한 함수공간을 연구합니다. 함수해석학의 중심 연구대상은 바나흐 공간인 L개의 공간과 그 중 유일한 힐베르트 공간인 정방적분함수의 L개의² 공간입니다^p.함수 분석은 양자역학, 편미분 방정식 이론, 디지털 신호 처리 및 전기 공학에서 특히 중요합니다.또한 푸리에 변환 및 관련 방법의 기초가 되는 기초 및 이론적 프레임워크를 제공합니다.

참고 항목

• 기본 매트릭스 (컴퓨터 비전)
• 기하대수
• 선형 프로그래밍
• 선형회귀분석, 통계적 추정방법
• 선형대수학 주제 목록
• 다중선형대수
• 수치 선형대수
• 변환행렬

해설서

인용문

일반 출처 및 인용 출처

추가열람

역사

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외부 링크

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• 일부 수학 단어의 가장 초기에 알려진 사용에 대한 행렬 및 선형 대수 용어
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