인도 수학

인도 수학은 기원전 1200년부터^[2] 18세기 말까지 인도 아대륙에서^[1] 출현했다.인도 수학의 고전기 (400~1200 CE)에, 아랴바타, 브라흐마굽타, 바스카라 2세, 바라하미히라와 같은 학자들에 의해 중요한 공헌이 이루어졌다.오늘날 사용되고^[3] 있는 십진법은 인도 ^[4]수학에서 처음 기록되었다.인도의 수학자들은 숫자,^[5] 음수,^[6] 산수, ^[7]대수로서의 0의 개념에 대한 연구에 초기에 공헌했다.게다가 삼각법은^[8] 인도에서 더욱 발전했고, 특히 사인(^[9]sine)과 코사인(cosine)의 현대적 정의가 그곳에서 발전했다.이러한 수학적 개념은 중동, 중국, 그리고^[7] 유럽으로 전해졌고 현재 수학의 많은 영역의 기초를 이루는 추가적인 발전을 이끌었다.

고대와 중세 인도의 수학 작품은 모두 산스크리트어로 구성되었으며, 학생의 암기를 돕기 위해 규칙이나 문제를 운문으로 매우 절약되게 기술한 경전의 한 부분으로 구성되었다.이어서 문제를 보다 상세하게 설명하고 해결의 정당성을 제공하는 산문 해설(때로는 여러 학자에 의한 여러 해설)로 구성된 두 번째 섹션이 이어졌다.산문 부분에서 형태(따라서 암기)는 관련된 ^[1][10]생각만큼 중요하게 여겨지지 않았다.모든 수학적 저작물은 대략 기원전 500년까지 구두로 전달되었다; 그 후, 그것들은 구두와 원고 양식으로 전달되었다.인도 아대륙에서 만들어진 현존하는 가장 오래된 수학 문서는 1881년 페샤와르(현 파키스탄) 인근 바흐샬리 마을에서 발견되었으며 기원후 ^[11][12]7세기 것으로 보인다.

이후 인도 수학에서 획기적인 것은 15세기에 케랄라 학파의 수학자들에 의해 삼각함수(사인, 코사인, 아크 탄젠트)에 대한 급수 확장의 발전이었다.유럽에서 미적분이 발명되기 2세기 전에 완성된 그들의 놀라운 연구는 현재 (기하 ^[13]급수를 제외하고) 멱급수의 첫 번째 예로 여겨지는 것을 제공했다.그러나, 그들은 분화와 통합의 체계적인 이론을 공식화하지 않았고, 그들의 결과가 케랄라 ^{[14][15][16][17]}밖으로 전달되었다는 직접적인 증거도 없다.

선사 시대

하라파, 모헨조다로, 그리고 인더스 계곡 문명의 다른 유적지에서의 발굴은 "실용 수학"의 사용 증거를 밝혀냈다.인더스 문명인들은 크기가 4:2:1인 벽돌을 제작하여 벽돌 구조의 안정성에 유리하다고 여겼다.그들은 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500의 비율에 기초한 표준화된 체중 시스템을 사용했으며, 단위 중량은 약 28그램(영국 온스 또는 그리스 온스와 거의 동일함)이었다.그들은 육면체, 배럴, 원추, 실린더를 포함한 규칙적인 기하학적 형태로 무게를 대량 생산하여 기초 ^[18]기하학에 대한 지식을 입증했다.

인더스 문명의 거주자들은 또한 길이 측정을 높은 정확도로 표준화하려고 노력했다.그들은 길이의 단위(약 1.32인치 또는 3.4cm)를 10개의 동일한 부분으로 나눈 자(모헨조 다로 자)를 설계했다.고대 모헨조다로에서 만들어진 벽돌은 종종 ^[19][20]이 길이의 단위에서 정수배인 치수를 가지고 있었다.

껍데기로 만들어진 중공의 원통형 물체는 로탈(기원전 2200년)과 도라비라(Dholavira)에서 발견되며 ^[21]항성을 위한 별의 위치를 결정할 수 있을 뿐만 아니라 평면에서 각도를 측정할 수 있는 능력이 있는 것으로 입증되었다.

베다 시대

과학의 역사 테크놀로지의 인도 아대륙
발명품 인도의 과학 방글라데시의 과학 파키스탄의 과학
과목별
수학 천문학 캘린더 측정 시스템 측정 단위 지도 제작 지리 인쇄 야금학 코인지 인도 연금술 전통의학 농업 교육 아키텍처 브릿지 운송 해양사 내비게이션 군사의
v t

삼히타와 브라흐마나

베다 시대의 종교 문서들은 많은 숫자의 사용에 대한 증거를 제공한다.야주르베다사히타(Yajurvedasahithita-, 기원전 1200~900년) 무렵에는 10개의¹² 숫자가 ^[2]텍스트에 포함되어 있었다.예를 들어, 아오바메다 동안 행해지고, 일출 직전, 일출 직후에 행해지는 안나호마(음식의 기원)의 말미에 있는 만트라(성스러운 낭송)는 100에서 ^[2]1조까지의 10의 힘을 일으킨다.

우박, sahasra("2000"103)봉영, 우박 samudra("억"109, 말 그대로"바다")에("억,"108), 우박 nyarbuda에("10만"107), 우박 arbuda에("만"106), 우박 prayuta에("만,"105), 우박 niyuta에("만,"104), 우박 ayuta에("100,"102)śata에, 우박 madhya(1010"10억"에, l.iterally"그uṣas(새벽), vyuṣṭi(황혼)봉영, 우박으로 때리시고 Middle"), anta에 권세에 아부하다.("hundred billion,"1011년, 점등하여야 한다.,"end"), parārdha에 모두 인사하게 해.("one trillion,"1012년이 켜진다.,"beyond parts"), 우박, 우박(창천), 하 svarga에(문제가 상승하고 있다.), 우박 udita(하나의 단지 상승했다), 우박 udyat에(하나의 인상될 예정이다)udeṣyat.il지o martya (세계) 모두에게 박수!^[2]

부분 분수에 대한 해법은 Rigvedic People에게 Purush Sukta(RV 10.90.4)의 상태로 알려졌다.

4분의 3을 더하면 푸루샤는 올라갔고, 4분의 1은 다시 이곳에 왔다.

사타파타 브라흐마나(c.기원전 7세기)는 술바 수트라와 ^[22]유사한 의례적인 기하학적 구조에 대한 규칙을 포함하고 있다.

①울바 수트라

울바 수트라 (문자 그대로 베다 산스크리트어로 "화음의 비호") (기원전 700년 경-400년 경)에는 제물 ^[23]제단 건설에 대한 규칙이 열거되어 있습니다.울바 수트라스에서 고려된 대부분의 수학적인 문제는 형태는 다르지만 같은 영역을 차지하는 화재 제단 건설의 "단일 신학적 요건"^[24]에서 비롯된다.각 층이 200개의 벽돌로 구성되고 인접한 두 층이 ^[24]벽돌의 배열이 일치하지 않는 조건과 함께, 제단은 불에 탄 벽돌의 다섯 층으로 구성되어야 했다.

(Hayashi 2005, p.363)에 따르면, 울바 수트라스에는 "구 바빌로니아인들에게 이미 알려져 있었지만, 현존하는 가장 오래된 피타고라스 정리의 언어적 표현"이 포함되어 있다.

직사각형(사각형)의 대각선 로프(akṣaya-rajju)는 옆면(parrvvamanni)과 수평면(tiryammanni)이 각각 ^[25]따로 생산한다.

문장은 수트라이기 때문에 반드시 압축되어 있고, 로프가 무엇을 만들어 내는지는 자세히 설명되지 않지만, 문맥은 그 길이에 의해 만들어진 정사각형 영역을 명확하게 함축하고 있기 때문에 교사가 ^[25]학생에게 그렇게 설명했을 것이다.

그것들은 디오판토스 ^[27]방정식의 특별한 경우인 피타고라스 세 ^[26]배의 목록을 포함합니다.그것들은 또한 원을 제곱하고 ^[28]"사각형을 도는" 것에 대한 진술도 포함하고 있다.

Baudhayana(c.8세기 기원전).`Baudhayana Sulba Sutra, 가장 잘 알려 진 Sulba Sutra는(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25), 그리고(12일 35,37)[29]뿐만 아니라 정사각형의 옆에 대한 피타 고라스의 정리에 관한 성명과 같은 단순한 피타 고라스배의 예로 이루어져는 대자로 누워 있는 밧줄. diag정사각형은 원래 ^[29]정사각형의 두 배의 면적을 만듭니다."또한 피타고라스 정리(사각형 변에 대한)의 일반적인 진술도 포함되어 있다."사각형의 대각선 길이를 따라 뻗은 밧줄은 수직과 수평이 ^[29]함께 만드는 영역을 만듭니다." Baudhayana는 ^[30]2의 제곱근을 표현합니다.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}-{\frac {1}{3\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

표현은 소수점 이하 5자리까지 정확하며, 실제 값은 1.41421356입니다.^[31]이 표현은 고대 바빌로니아 시대(1900–^[30]1600 BC)의 메소포타미아^[32] 명판에서 발견된 표현과 구조가 유사합니다.

${\displaystyle {\frac {24} {60}} + {\frac {511} {60^{2}} + {\frac {10} {60^{3}} = 1.41421297\ldots }$

소수점 이하 5자리까지 정확하고, 6진법으로 22를 나타낸다.

수학자 S.G. 다니, 바빌로니아 설형 문자는 태블릿 플림턴 322에 따르면 1850년 기원전에 메소포타미아에서 C.1850년 BCE[33]"(13500,12709,18541)이것은 원시적인 triple,[34]특히,에 정교한 이해는 주제에 있는지 여부를 나타내는 값을 포함한 꽤나 큰 항목과 15개의 피타 고라스배가 들어 있"을 쓴 것이다. 말하였다.`t헤세판들은 술바수트라 시대보다 몇 세기 앞서 있고, 몇몇 세 개의 문맥적 외관을 고려하면,^[35] 비슷한 이해가 인도에도 있었을 것이라고 예상하는 것이 타당합니다."Dani는 계속 말한다:

설바수트라의 주요 목적은 제단의 구조와 거기에 포함된 기하학적 원리를 기술하는 것이었기 때문에, 설바수트라의 세 가지 주제는 잘 이해되었다 하더라도 여전히 설바수트라에 나타나지 않았을 수 있다.설바수트라에서 세 배의 발생은 건축 입문서나 다른 유사한 응용 영역에서 볼 수 있는 수학과 비슷하며, 그 당시 주제에 대한 전반적인 지식과 직접적으로 일치하지 않을 것이다.불행하게도, 다른 동시대 소스가 발견되지 않았기 때문에, 이 문제를 ^[35]만족스럽게 해결하는 것은 결코 불가능할 수도 있다.

총 3편의 설바경이 작곡되었다.나머지 두 권인 마나바(기원전 750–650년)가 작곡한 마나바 술바 수트라와 아파탐바(기원전 600년)가 작곡한 아파탐바 술바 수트라는 보드하야나 술바 수트라와 유사한 결과를 포함하고 있었다.

비야카라나

베다 시대의 중요한 랜드마크는 산스크리트 문법학자 파시니 (기원전 520–460년)의 작품이었다.그의 문법은 부울 논리, 눌 연산자, 문맥 자유 문법의 초기 사용을 포함하며, 백커스-나우르 형식의 선구자(기술 프로그래밍 ^[36][37]언어에서 사용됨)를 포함한다.

핑갈라 (기원전 300년 - 기원전 200년)

수학에 기여한 베다 이후의 학자들 중 가장 주목할 만한 사람은 운율 산스크리트어인 '찬다스 샤스트라'를 저술한 음악 이론가 핑갈라(기원전 300-200년)이다.음절 조합의 열거에 관한 그의 연구에서 핑갈라는 비록 이항 정리 ^[38][39]자체에 대한 지식이 없었지만 파스칼의 삼각형과 이항 계수 모두를 우연히 발견했다는 증거가 있다.핑갈라의 작품에는 피보나치 수(maatraemeru)의 기본 개념도 포함되어 있다.찬다경 전체가 살아남지는 못했지만 할라유다의 10세기 해설이 남아 있다.파스칼 삼각형을 메루프라스타라(문자 그대로 메루산으로 가는 계단)라고 부르는 할라유다는 이렇게 말한다.

정사각형을 그리다.정사각형의 절반에서 시작하여 그 아래에 유사한 정사각형을 두 개 그립니다. 이 두 개 아래에 다른 정사각형을 세 개 그립니다.마킹은 첫 번째 사각형에 1을 넣는 것으로 시작해야 합니다.두 번째 줄의 두 칸에 각각 1씩 넣으세요.세 번째 줄에서는 끝에 있는 두 개의 정사각형에 1을 넣고 가운데 사각형에는 그 위에 있는 두 개의 정사각형에 있는 자릿수의 합을 넣습니다.네 번째 줄에 끝에 있는 두 개의 정사각형에 1을 넣으세요.가운데 칸에는 각각 위의 두 칸에 자릿수의 합을 넣으세요.이 방법으로 진행하십시오.이 행들 중에서 두 번째 행은 한 음절의 조합이고 세 번째 행은 두 음절의 조합입니다.^[38]

이 텍스트는 Pingala가 조합 ^[39]ID를 인식하고 있었음을 나타냅니다.

${displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

카티아야나

카티야나(기원전 3세기)는 베다 수학자의 마지막 인물로 유명하다.그는 일반 피타고라스 정리, 소수점 5자리까지의 제곱근 계산 등 많은 기하학을 제시한 카티야나 술바 수트라를 썼다.

자인 수학 (기원전 400–200 CE)

종교와 철학으로서의 자이나교는 가장 유명한 대표자인 위대한 마하비라스와미(기원전 6세기)보다 앞서지만, 수학적인 주제에 대한 대부분의 자이나교서는 기원전 6세기 이후에 작성되었다.자인 수학자들은 베다 시대의 수학과 "고전 시대"의 수학 사이의 중요한 연결고리로서 역사적으로 중요하다."

자인 수학자들의 중요한 역사적 공헌은 인도의 수학을 종교적이고 의식적인 제약으로부터 해방시키는 데 있다.특히, 매우 큰 숫자와 무한의 열거에 대한 그들의 매력으로 인해 그들은 숫자를 세 종류로 분류하게 되었다: 열거할 수 있는 것, 셀 수 없는 것, 그리고 무한.무한이라는 단순한 개념에 만족하지 않고, 그들의 텍스트는 다섯 가지 유형의 무한을 정의합니다: 한 방향으로 무한, 두 방향으로 무한, 면적으로 무한, 모든 곳에서 무한, 그리고 영원히 무한입니다.게다가, 자인 수학자들은 제곱과 입방체와 같은 숫자의 단순한 거듭제곱(및 지수)에 대한 표기법을 고안했고, 이것은 그들이 간단한 대수 방정식(베이지가니타 사미카란)을 정의할 수 있게 했다.자인 수학자들은 또한 0을 나타내기 위해 shunya(산스크리트어로 글자 그대로 공허함)라는 단어를 사용한 최초의 사람이기도 하다.천 년 이상 지난 후, 그들의 호칭은 인도에서 유럽까지 번역과 번역의 곡절 끝에 영어 단어 "제로"가 되었다.(제로 참조: 어원)

수리야 프라즈납티 외에도, 수학에 관한 중요한 자인 업적은 Sthananga Sutra (기원전 300년–200년); ^[40]인도 수학에서 가장 먼저 알려진 인수설명을 포함하는 Anuyogadwara Sutra (기원전 200년–100년)와 Satkhanda Sutra (기원전 2세기)를 포함했다.중요한 자인 수학자들은 두 개의 천문학 작품인 Bhadrabahu (기원전 298년 사망), Bhadrabahavi-Samhita와 Surya Prajinapti에 대한 해설을 쓴 Bhadrabahu (기원전 298년 사망), Tiloyapanati라고 불리는 수학 교재를 쓴 Yativrisham Accharya (기원전 176년 경), 그리고 Um)를 포함했다.철학과 형이상학은 타트와르타디가마 수트라 바쉬야라고 불리는 수학 작품을 구성했다.

구전

고대와 중세 초기 인도의 수학자들은 거의 모든 산스크리트 판디트(paḍita "학습한 사람")^[41]로 산스크리트 언어와 문학에 대해 훈련을 받았고, "문법 (vyakaraaa), 실행 (mgesmagessa), 논리 (nyaya)"^[41]에 대한 공통의 지식을 가지고 있었다.고대 인도에서는 '들린 것'(산스크리트어로 rruti)을 암송하는 것이 성문 전달에 큰 역할을 했다.암기와 암송은 의식과 문법에 관한 논문뿐만 아니라 철학과 문학 작품을 전달하는데도 사용되었다.고대 인도의 현대 학자들은 "수천 ^[42]년 동안 엄청나게 부피가 큰 문서들을 구술로 보존해 온 인도 팬디들의 정말로 놀라운 업적"에 주목했다.

암기 스타일

고대 인도 문화는 이 문서들이 세대에서 세대로 전해지는 ^[43]데 엄청난 에너지를 소비했다.예를 들어, 신성한 베다의 암송에는 같은 원문의 최대 11가지 형식이 포함되어 있었다.그 후, 그 본문들은 서로 다른 암송된 버전들을 비교함으로써 "증명서"를 받았다.암송의 형태로는 문자 그대로 "메쉬 암송"이라는 단어가 포함되었는데, 이 두 단어는 처음에는 원래의 순서로 암송되었다가, 그 다음에는 역순으로 반복되었다가, 마침내 원래의 ^[44]순서로 반복되었다.낭독은 다음과 같이 진행되었습니다.

또 다른 형태의 암송에서는, dhvaja-p^[44] (ha(문자 그대로 "깃발 암송")의 N개 단어를 처음 두 단어와 마지막 두 단어를 조합하여 암송(및 기억)한 후 다음과 같이 진행하였다.

(필리오자트 2004, 페이지 139)에 따르면 가장 복잡한 형태의 암송인 가나-파냐(문자 그대로 "밀도 암송")는 다음과 같은 형태를 취했다.

이 방법들이 효과적이었음을 증명하는 가장 오래된 인도 종교서인 에그베다(기원전 1500년 경)를 다른 해석 ^[44]없이 단일 텍스트로 보존했다.수학 원문을 외우는 데도 비슷한 방법이 사용되었는데, 베다 시대 말기(기원전 500년경)까지 구전으로만 전달되었다.

수트라 장르

고대 인도의 수학 활동은 신성한 베다에 대한 "방법론적 반사"의 일부로 시작되었는데, 베다 가스 또는 "베다의 고대" (기원전 ^[45]7-4세기)라고 불리는 작품의 형태를 취했다.성문(음성학)과 성문(음성학)을 사용하여 성문(聖文)의 소리를 보존하고, 문법과 니룩타(어학)를 사용하여 의미를 보존하고, 칼파( ( ()와 조티(oti)를 사용하여 정확한 시기에 제사를 지내야 한다는 것이 6가지 규율을 낳았다.수학은 마지막 두 분야인 의식과 천문학에서 생겨났다.고대 인도에서는 베다 가스가 문자 사용 바로 전에 사용되었기 때문에, 그것들은 독점적인 구전 문헌의 마지막을 형성했다.그것들은 고도로 압축된 니모닉 형태인 sudtra(문자 그대로 "스레드")로 표현되었다.

수트라를 아는 사람들은 음소가 거의 없고 모호함이 없고, 본질을 담고 있으며, 모든 것을 마주하고 있고, 중단이 없고,^[45] 반대할 수 없는 것으로 알고 있다.

"자연어 ^[45]허용 범위를 넘어" 줄임표 사용, 긴 설명 이름 대신 기술 이름 사용, 처음과 마지막 항목만 언급함으로써 목록 요약, 마커와 ^[45]변수 사용 등 여러 가지 수단을 통해 극단적으로 간결하게 할 수 있었다.수트라는 텍스트를 통한 의사소통이 "전체 명령의 일부일 뿐"이라는 인상을 준다.나머지 지시는 이른바 '구루시야 파람파라'에 의해 전파되어 일반인에게 공개되지 않고 비밀에 ^[46]부쳐졌을지도 모른다.수트라에서 달성된 간결성은 Baudhaiyana baulba Sudtra (기원전 700년)의 다음 예에서 확인할 수 있습니다.

베다 시대의 가정불은 네모난 받침대를 만들고 각 층에 21개의 벽돌을 쌓은 5개의 벽돌로 구성되어야 했다.제단을 구성하는 한 가지 방법은 줄이나 밧줄을 사용하여 정사각형의 한 면을 3개의 동일한 부분으로 나누고, 다음으로 가로(또는 수직) 면을 7개의 동일한 부분으로 나눈 다음, 정사각형을 21개의 합동 직사각형으로 세분하는 것이었다.그런 다음 벽돌을 구성 직사각형 모양으로 설계하고 층을 만들었습니다.다음 층을 형성하기 위해 같은 공식이 사용되었지만 벽돌은 가로로 ^[47]배열되었다.그런 다음 이 과정을 세 번 더 반복하여 (교대 방향으로) 공사를 완료했습니다.Baudhayana Sulba Sudtra에서는 이 절차를 다음과 같이 설명합니다.

Ⅱ.64. 4등분을 7등분으로 한 후, 1등분을 3등분으로 한다.
II.65. 다른 층에서는 [브릭]^[47]의 북쪽을 가리키고 있습니다.

(필리오자트 2004, 페이지 144)에 따르면, 제단을 만드는 주례는 몇 가지 도구와 재료만을 가지고 있다: 코드(산스크리트어, 라주어, f.)와 두 개의 말뚝(산스크리트어, 샨쿠어, m.) 그리고 벽돌을 만들기 위한 점토(산스크리트어, iṣaka, f.)수트라에서는 형용사 "횡단"이 무엇을 충족시키는지 명시적으로 언급하지 않음으로써 정합이 이루어지지만, 사용된 (산스크리트어) 형용사의 여성적 형태로부터 쉽게 "코드"를 유추할 수 있다.마찬가지로, 두 번째 절에서는 "bricks"가 명시적으로 언급되지 않고 "North-pointing"이라는 여성 복수형으로 다시 유추된다.마지막으로, 첫 번째 스탠자는 벽돌의 첫 번째 레이어가 동서 방향으로 향한다고 명시적으로 말하지 않지만, 두 번째 스탠자에서 "북쪽 포인트"에 대한 명시적인 언급도 암시합니다. 왜냐하면, 만약 방향이 두 레이어에서 동일하다면, 그것은 전혀 언급되지 않거나 f에서만 언급될 것이기 때문입니다.irst staunerst staune.이 모든 추론은 주례사가 자신의 ^[47]기억에서 공식을 떠올리면서 한 것이다.

쓰여진 전통: 산문 해설

수학과 다른 정확한 과학의 복잡성이 증가함에 따라, 글쓰기와 계산이 모두 필요했다.그 결과, 많은 수학 작품들이 필사본에 기록되기 시작했고, 그 후 세대에서 세대로 복사되고 다시 복사되었다.

오늘날 인도는 약 3천만 권의 원고를 보유하고 있는 것으로 추정되는데, 이는 세계에서 가장 큰 수기 판독 자료이다.인도 과학의 문학 문화는 적어도 기원전 5세기까지 거슬러 올라간다.그때 인도에 들어온 메소포타미아 징조 문학과 천문학의 요소에서 알 수 있듯이...경구 ^[48]보존.

최초의 수학 산문 해설은 천문학 및 수학에 관한 저작인 아랴바야(Aryabhaṭya, 499 CE)였다.아랴바냐의 수학적 부분은 33개의 수트라(운문 형식)로 구성되었지만, 어떠한 ^[49]증거도 없었다.그러나 (하야시 2003, 페이지 123)에 의하면, 「이것은 반드시 저자가 증명하지 않았던 것은 아니다.아마도 전시 스타일의 문제였을 것이다.바스카라 1세(600 CE 이후)부터 산문 해설은 점점 더 많은 파생어(upapatti)를 포함하기 시작했다.바스카라 1세의 아랴바야 해설은 다음과 같은 구조를 ^[49]가지고 있다.

• Aryabhaaa의 운문으로 규칙('sudtra')
• Bhaskara I의 해설은 다음과 같습니다.
  • 규칙 설명(당시 파생은 아직 드물었지만 나중에 더 보편화됨)
  • 예(udeakaaka)는 보통 운문으로 되어 있습니다.
  • 수치 데이터의 설정(냐사/스타하파나)
  • 솔루션의 작업(karana).
  • 답변 검증(pratyakaraaa, 문자 그대로 "확신하기 위해").이것들은 13세기에 이르러서는 드물어졌고,^[49] 그 무렵에는 추론이나 증거가 선호되었다.

일반적으로, 어떤 수학적 주제에 대해서도, 고대 인도의 학생들은 처음에 수트라를 암기했는데, 앞서 설명한 바와 같이, 수트라는 설명적인 세부 사항에서 "의도적으로 불충분"^[48]했다(맨뼈의 수학 규칙을 간결하게 전달하기 위해).그 후 학생들은 분필보드와 먼지 보드(먼지로 덮인 보드)에 글을 쓰면서 산문 해설의 주제를 풀어나갔다.수학 작업의 주요 요소인 후자의 활동은 나중에 수학자-천문학자인 브라흐마굽타(^[50]기원전 7세기 경)에게 천문학적인 계산을 "먼지 작업"으로 특징짓게 하는 것이었다.

숫자와 십진법

오늘날 사용되고 있는 소수점 이하 자릿수 체계는 처음에는 인도에서 기록되었고, 그 다음에는 이슬람 세계로, 그리고 결국에는 ^[51]유럽으로 전파된 것으로 잘 알려져 있다.시리아 주교 세베루스 세보크는 서기 7세기 중반에 ^[51]숫자를 표현하는 인디언들의 "9개의 사인"에 대해 썼다.하지만, 어떻게, 언제, 어디에서 소수점 첫째 자리 값 체계가 발명되었는지는 ^[52]명확하지 않다.

인도에서 사용된 최초의 문자는 북서쪽의 간다라 문화에서 사용된 카로슈 문자였다.그것은 아람어에서 유래한 것으로 보이며 기원전 4세기부터 기원후 4세기까지 사용되었다.거의 동시에, 또 다른 문자인 브라흐메 문자는 아대륙의 대부분에 나타났고, 나중에 남아시아와 동남아시아의 많은 문자의 기반이 되었다.두 스크립트 모두 처음에는 자리수 체계에 ^[53]기반하지 않은 숫자 기호와 숫자 체계를 가지고 있습니다.

인도와 동남아시아에서 소수 자릿수의 가장 오래된 증거는 서기 ^[54]1천년 중반부터이다.인도 구자라트의 동판에는 이 판의 ^[54]진위여부에 대해서는 약간의 의문이 있지만 소수점 값 표기법으로 쓰여진 서기 595년의 날짜가 언급되어 있다.683년을 기록한 십진법은 인도 문화의 영향이 ^[54]컸던 인도네시아와 캄보디아의 돌 비문에서도 발견되었다.

더 오래된 텍스트 출처가 있지만, 이러한 텍스트의 현존하는 사본은 훨씬 더 ^[55]후대의 것입니다.아마도 그러한 가장 초기의 출처는 ^[55]기원후 1세기로 추정되는 불교 철학자 바수미트라의 작품일 것이다.상인들의 계산 구덩이에 대해 바수미트라는 "같은 점토 세는 조각이 단위 위치에 있을 때, 그것은 ^[55]수백에서 백으로 표시된다"고 말한다.그러한 언급은 그의 독자들이 소수점 가치 표현에 대한 지식을 가지고 있었다는 것을 암시하는 것처럼 보이지만, "그러나 그들의 암시의 간결함과 날짜의 모호함은 이 ^[55]개념의 발전의 연대를 확실히 확립하지 못한다."

세 번째 십진법은 운문 구성 기법에서 사용되었으며, 후에 기술 ^[56]서적의 초기 산스크리트 작가들에 의해 사용된 부타-산키아(Buta-sankhya, 문자 그대로 "객체 번호")로 명명되었다.많은 초기 기술 작품들이 운문으로 구성되었기 때문에, 자연계나 종교계에서는 숫자와 일치하는 물건들로 숫자가 종종 표현되었다. 이것은 각 숫자에 다대1의 대응을 가능하게 했고 운문의 구성을 ^[56]더 쉽게 만들었다.예를 들어 (Plofker 2009)에 따르면 숫자 4는 "베다" (이들 중 4개가 있었기 때문에), 숫자 32는 "치아" (32개로 구성되어 있기 때문에), 숫자 1은 "달"^[56] (1개만 있기 때문에)로 나타낼 수 있다.따라서 숫자 규칙은 숫자를 오른쪽에서 ^[56]왼쪽으로 열거하는 것이기 때문에 Veda/teeth/moon은 10진수 1324에 해당합니다.오브젝트 번호를 사용한 최초의 참조는 스푸지드바하의 269년 경 산스크리트어 텍스트인 야바나자타카(문자 그대로 "그리스 호로스코프")로, 헬레니즘 ^[57]점성술의 잃어버린 작품에 대한 초기(기원전 150년 경 150년 경).이러한 사용은 적어도 인도의 ^[56]천문학 및 점성술 문헌 독자들에게는 서기 3세기 중반까지 십진법 가치 체계가 친숙했다는 것을 입증하는 것으로 보인다.

인도의 소수점 자릿수 체계는 기원전 ^[58]1천년 중반부터 중국 숫자판에 사용된 기호를 기반으로 한다는 가설이 있다.(Plofker 2009)에 따르면

이 계수판들은 인디언의 계수구처럼 소수점 이하 가치 구조를 가지고 있었다.인도인들은 이러한 소수 자릿수 값 "로드 숫자"를 중국 불교 순례자나 다른 여행자들로부터 배웠을 수도 있고, 혹은 그들은 이전의 비위치 가치 체계로부터 독립적으로 그 개념을 발전시켰을 수도 있다. 어느 하나의 ^[58]결론을 확인할 수 있는 문서적 증거가 남아 있지 않다.

바흐샬리 필사본

현존하는 가장 오래된 수학 필사본은 박살리 필사본으로,^[59] 서기 8세기에서 12세기 사이에 인도 아대륙 북서부 지역에서 사용되었던 아라다 문자로 "불교 잡종 산스크리트어"^[12]로 쓰여진 자작나무 껍질 필사본이다.이 원고는 1881년 한 농부가 페샤와르 인근 바크샬리 마을의 돌 울타리를 파다가 발견됐다.저자 불명의 이 원고는 현재 옥스포드 대학의 보들리언 도서관에 보존되어 있으며, 최근 연대는 ^[60]서기 224-383년이다.

현재 남아 있는 원고는 70장의 잎이 있으며, 그 중 일부는 파편이다.수학적인 내용은 운문으로 쓰여진 규칙과 예와 ^[59]예에 대한 해답을 포함한 산문 해설로 구성되어 있다.다루는 주제에는 산술(분할, 제곱근, 손익, 단순 관심, 3의 법칙, 규칙 반칙)과 대수(동시 선형 방정식과 2차 방정식)와 산술 급수가 포함된다.또한 기하학적 문제(불규칙한 고체의 부피에 대한 문제 포함)도 몇 가지 있습니다.Bakhshali 필사본은 또한 ^[59]"0에 대해 점이 있는 소수 자릿수 값 체계를 사용한다."문제의 대부분은 선형 방정식 시스템으로 이어지는 '균등화 문제'로 알려진 범주이다.fragment III-5-3v의 예를 다음에 나타냅니다.

한 상인은 일곱 마리의 아사바 말을, 두 번째는 아홉 마리의 하야 말을, 세 번째는 열 마리의 낙타를 가지고 있다.그들은 각각 다른 동물들에게 하나씩 두 마리의 동물을 준다면 그들의 동물의 가치에서 동등하게 부유하다.각 동물의 가격과 각 ^[61]상인이 소유한 동물의 총 가치를 구하십시오.

예시와 함께 제공되는 산문 해설은 4개의 ^[61]미지의 3개의 방정식으로 변환하고 가격을 모두 정수라고 가정함으로써 문제를 해결한다.

2017년에, 이 원고의 세 가지 샘플은 3개의 다른 세기의 방사성 탄소 연대 측정법에 의해 나타났다: 서기 224년에서 383년, 서기 680년에서 779년, 그리고 서기 885년에서 993년.어떻게 다른 세기의 조각들이 함께 ^[62][63][64]포장되게 되었는지는 알려지지 않았다.

고전기(400~1600)

이 시기는 종종 인도 수학의 황금기로 알려져 있다.이 시기에는 아랴바타, 바라하미히라, 브라흐굽타, 바스카라 I, 마하비라, 바스카라 2세, 상암그라마의 마다하바, 닐라칸타 소마야지와 같은 수학자들이 수학의 많은 분야에 더 넓고 명확한 형태를 주었다.그들의 공헌은 아시아, 중동, 그리고 결국 유럽으로 확산될 것이다.베다 수학과는 달리, 그들의 업적은 천문학적, 수학적 공헌을 모두 포함했다.사실, 그 시기의 수학은 '성상과학'에 포함되었고 수학 과학 (가이타 또는 탄트라), 별자리 점성술 (호라 또는 자타카), 그리고 점 (사히타)^[50]의 세 가지 하위 분야로 구성되었다.이 3자 분열 5의 초기 작품, 수리아 Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta, Vasishtha Siddhanta과 Paitamaha Siddhanta, 나의 아직도 초기 작품들이었던 각색(말 그대로 panca,"5,"siddhānta,"심의의 결론", 575년 CE)—of Varāhamihira의 6세기 compilation—Pancasiddhantika[65]에서 엿볼 수 있다.적시다오타미아, 그리스, 이집트, 로마, 인도 천문학.앞에서 설명한 바와 같이, 주요 원문은 산스크리트 시로 구성되었고, 산문 해설이 ^[50]뒤따랐다.

5, 6세기

수리아 싯단타

그 작자는 알려지지 않았지만, Surya Siddhanta (400년경)는 현대 ^{[citation needed]}삼각법의 뿌리를 가지고 있다.외래어가 많아 메소포타미아나 ^{[66][better source needed]}그리스의 영향을 받아 쓴 것으로 보는 작가도 있다.

이 고대 텍스트에서는 처음으로 ^{[citation needed]}다음을 삼각 함수로 사용합니다.

• 사인(Jya).
• 코사인(코야).
• 역사인(Otkram jya).

또한 다음과 같은 ^{[citation needed]}초기 용도가 포함되어 있습니다.

• 접선.
• 보안관님

후에 아리아바타와 같은 인도의 수학자들은 이 텍스트를 언급했고, 후에 아랍어와 라틴어 번역은 유럽과 중동에서 매우 영향력이 있었다.

체디 달력

이 체디 달력(594)은 현재 보편적으로 사용되고 있는 현대적 장소 가치 힌두-아랍 숫자 체계를 초기에 사용한다.

아랴바타 1세

아랴바타 (476–550)는 아랴바티야를 썼다.그는 332shlokas에서 수학의 중요한 기본 원리를 설명했다.이 논문의 내용은 다음과 같습니다.

• 이차 방정식
• 삼각법
• ,의 값은 소수점 4자리까지입니다.

아리아바타는 또한 현재 사라진 아리아 싯단타를 썼다.Aryabhata의 공헌은 다음과 같습니다.

삼각법:

('Aryabhata's 사인표'도 참조).

• 삼각 함수를 도입했습니다.
• 사인(jya)을 반각과 반현 사이의 현대적인 관계로 정의합니다.
• 코사인(kojya)을 정의.
• versine(utkrama-jya)을 정의했습니다.
• 역사인(otkram jya)을 정의했습니다.
• 대략적인 수치 계산 방법을 제공하였다.
• 사인, 코사인 및 베르사인 값의 초기 표가 0° ~ 90°에서 소수점 이하 4자리까지의 3.75° 간격으로 포함되어 있습니다.
• 삼각식 sin (n + 1)x - sin nx = sin nx - sin (n - 1)x - (1/sin) sin nx 를 포함한다.
• 구면 삼각법.

산술:

• 연속 분수

대수:

• 연립 2차 방정식의 해.
• 최신 방법과 동등한 방법으로 선형 방정식의 정수 해.
• 부정 선형 방정식의 일반 해.

수리 천문학:

• 다음과 같은 천문학 상수에 대한 정확한 계산:
  • 일식.
  • 월식.
  • 정육면체의 합계에 대한 공식은 ^[67]적분학의 발전에 있어 중요한 단계였다.

바라하미히라

바라하미히라 (505–587)는 판차 싯단타를 제작했습니다.그는 사인 및 코사인 표를 소수점 이하 4자리까지 정확하고 사인 및 코사인 함수와 관련된 다음 공식을 포함하여 삼각법에 중요한 기여를 했습니다.

• $\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• $(\displaystyle \sin(x)=\cos \leftfrac {pi }{2}}-x\right)$
• ${\displaystyle {1-\cos(2x)}{2}=\sin^{2}(x)}$

7, 8세기

7세기에, 두 개의 분리된 분야인 산수와 대수가 인도 수학에서 나타나기 시작했다.이 두 가지 분야는 나중에 파스가이타(말 그대로 "알고리즘의 수학")와 부자가이타(이 경우 ^[68]방정식의 해를 생성할 수 있는 잠재력을 가진 미지의 씨앗을 나타내는 "식물의 씨앗의 수학"으로 조명)로 불릴 것이다.브라흐마 스푸아 싯단타 (628 CE)라는 천문학 작품에서 브라흐마 스푸아 싯단타 (12년과 18년)는 이 분야에 전념하는 두 개의 장을 포함했다.제12장은 66개의 산스크리트 시로 구성되어 있는데, "기본 연산"(입방근, 분수, 비율, 물물교환 포함)과 "실용 수학"(혼합, 수학 급수, 평면 형상, 벽돌 쌓기, 목재 톱질, ^[69]곡물 쌓기 포함)의 두 부분으로 나뉘었다.뒷부분에서 그는 순환 사변형의 ^[69]대각선에 관한 그의 유명한 정리를 말했다.

브라흐마굽타의 정리:순환 사각형에 서로 수직인 대각선이 있는 경우, 대각선의 교차점에서 사각형의 어느 한 변으로 그려지는 수직선은 항상 반대쪽을 양분합니다.

제12장에는 또한 순환 사변형(헤론의 공식의 일반화)의 영역에 대한 공식과 합리적인 삼각형(즉, 합리적인 변과 합리적인 영역을 가진 삼각형)에 대한 완전한 설명이 포함되었다.

브라흐마굽타의 공식:a, b, c, d의 변 길이가 각각 a, b, d인 순환 사변형의 면적 A는 다음과 같이 주어진다.

${{displaystyle A=sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},$

여기서 s는 s ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a\frac{}{}}$+${\displaystyle \frac{b}{}}$ +${\displaystyle \frac{c}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}}$로 $주어진{\displaystyle }$ 세미 $페리미터$입니다. {{$displaystyle$ s$=secfrac {a+b+c+d}{2}}$$}$

합리적 삼각형에 관한 브라흐마굽타의 정리:$$ $,$ b${\displaystyle ,}$ c(\$displaystyle a,$ b$$$,$ c)와 $유리면적$을 가진 삼각형은 다음과 같은 형태이다.

${\displaystyle a=snapfrac {u^{2}}{v}+v,\b=snapfrac {u^{2}}{w}+w,\c=snapfrac {u^{2}}{v}+{\frac {u^{2}}{w}-(v+w)}}}$

일부 $유리수{\displaystyle }$u, $,$ {\$displaystyle$u, $v,$ w$$$\displaystyle$ w$\}$^[70]의 경우.

18장은^[69] 0과 음수를 포함한 산술 연산에 대한 규칙으로 시작된 103개의 산스크리트 구절을 포함하고 있으며 주제의 첫 번째 체계적 처리로 여겨진다.규칙(${\displaystyle \mathrm{a}}$+ 0 $=$${\displaystyle }${\$displaystyle$a+$0$=\$a}$ 및 a × $0 =$0 {\$displaystyle$ a\$times$ 0=0$\}$ $포함{\displaystyle }$)은 모두 정확했지만, 한 가지 $예외$는 0 ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ {$0}{0$}=$0$^[69]이었다. 장 후반부에서 그는 2차 방정식의 첫 번째(아직 완전하지는 않지만)를 제시했다.

${\displaystyle\ax^{2}+bx=c}$

[제곱계수]에 [제곱계수]를 곱한 절대수에 [중간항 계수]의 제곱근을 더하면 [중간항 계수]를 [제곱계수]의 2배로 나눈 값이 ^[71]됩니다.

이는 다음과 같습니다.

${{displaystyle x=syslogfrac {{\syslogrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

또한 18장에서 브라흐마굽타는 펠 [72]방정식의 (적분해)를 찾는 데 진전을 이룰 수 있었다.

${\displaystyle\x^{2}-Ny^{2}=1,}$

$여기$서 N$(\displaystyle$ N$)$은 제곱이 아닌 정수입니다.그는 다음과 같은 ^[72]정체성을 발견함으로써 이 작업을 수행했습니다.

브라흐마굽타의 항등식${\displaystyle :}$ (${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle 2}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}{}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ( ${\displaystyle {x\mathrm{}-}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2 )$=$ ( x${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$y${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle 2}$(${\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$y ) 2 ($표시$ 스타일$\$ ($x^{2}-Ny^{2-ny=')$ 2 ($x^2$')$^{2}-N(xy'+x'y)$$^{2$$}}:$ 브라흐마굽타는 ^[72]디오판투스의 초기 신분을 일반화한 것이다.^[72]

Lemma(브라흐마굽타):$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x{}_{}}$1, y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}{\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$ x$=x_{1},\\y=y_{1}\}$인 ${\displaystyle 경우{}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$$=$ k${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$의 해(\${\displaystyle {}_{}}$$\x^{2}-Ny^{2$}=$k_1}$ 및$$ $=$ x $2$의 ${\displaystyle {해\mathrm{}}_{}}$(\$displaysty_2).$$\ x^{2}-Ny^{2}=k_{2$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2 + ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ y${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle y}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$2 + ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}{}_{}}$1 $({style$x$= x _ {$1$}$ $x _ {$2$}$ y $_ {$2} +$x$ _ ${$2$}$ y $_${1} $\$}는${\displaystyle {}^{}x}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$의 해입니다.

그런 다음 그는 이 보조항목을 사용하여 하나의 해로 주어진 Pell 방정식의 무한히 많은 (적분) 해를 생성하고 다음과 같은 정리를 진술했다.

정리(Brahmagupta):${\displaystyle x{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ {\$displaystyle$\$x^{2}-Ny^{2$}=$k}$ 공식에$$ k $=$ ±${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$±${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- $(\displaystyle$\$$k=\$pm$ 4$,\pm$ 2$,-1)$ 중$$ ${\displaystyle 하나}$에 대한 정수해가 있는 경우, 펠 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\x^{2}-Ny^{2}=1}$

에는 정수 ^[73]솔루션도 있습니다.

브라마굽타는 실제로 정리를 증명한 것이 아니라 그의 방법을 사용하여 예를 들어 보았다.그가 제시한 첫 번째 예는 다음과 같다.^[72]

예(Brahmagupta):다음과 같은 ${\displaystyle 정수}$x ,$$ \ $displaystyle \ x$ , \$y$ \ $}$ 를$$ 찾습니다.

${\displaystyle \x^{2}-92y^{2}=1}$

그의 논평에서, 브라마굽타는 "이 문제를 1년 안에 푸는 사람은 수학자입니다."^[72]라고 덧붙였다.그가 제공한 솔루션은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\x=1151,\y=120}$

바스카라 1세

바스카라 1세 (600–680년경)는 마하바스카리야, 아랴바샤야, 라구바스카리야라는 그의 책에서 아랴바타의 작업을 확장했다.그는 다음을 작성했다.

• 불확정 방정식의 해.
• 사인 함수의 합리적인 근사치입니다.
• 표를 사용하지 않고 예각의 사인값을 계산하기 위한 공식으로 소수점 두 자리로 수정됩니다.

9세기부터 12세기까지

비라세나

비라세나(8세기)는 카르나타카 만야케타의 라슈트라쿠타 왕 아모하바르샤의 궁정에서 수학했다.그는 자인 수학에 대한 해설인 Dhavala를 썼다.

• ardhaccheda의 개념에 대해 다루고 있으며, 한 숫자가 반감될 수 있는 횟수를 반으로 줄일 수 있습니다.이는 ^[74][75]2의 거듭제곱에 적용할 경우 이진 로그와 일치하지만 다른 숫자에 따라 다르며 2-adic 순서와 더 유사합니다.
• 베이스 3(추적)과 베이스 4(추적)에 대해 동일한 개념입니다.

Virasena는 다음과 같이 말했다.

• 일종의 무한 절차에 의한 좌골의 부피의 유도입니다.

다발라에 있는 수학 자료의 대부분은 이전 작가들, 특히 쿤다쿤다, 샤마쿤다, 텀블루라, 사만타바드라, 바파데바에 기인할 수 있으며 서기 ^[75]200년에서 600년 사이에 쓴 연대기들에 기인한다고 생각된다.

마하비라

유명한 자인 수학자들 중 마지막이었던 카르나타카 출신의 마하비라 아카랴 (800-870년경)는 9세기에 살았고 라슈트라쿠타 왕 아모하바르샤의 후원을 받았다.그는 수치 수학에 관한 Ganit Saar Sangraha라는 책을 썼고, 또한 다양한 수학적 주제에 대한 논문을 썼다.여기에는 다음과 같은 계산이 포함됩니다.

• 영
• 정사각형
• 큐브
• 제곱근, 입방근 및 이를 넘어 확장되는 급수
• 평면 형상
• 솔리드 지오메트리
• 그림자 주조에 관한 문제
• 원 안의 타원과 사변형의 면적을 계산하기 위해 도출된 공식입니다.

Mahavira:

• 음수의 제곱근이 존재하지 않는다고 단언함
• 항이 산술 급수의 제곱인 급수의 합계를 제공하고 타원의 면적과 둘레에 대한 경험적 규칙을 제공합니다.
• 입방정식을 풀었다.
• 4차 방정식을 풀었다.
• 5차 방정식과 고차 다항식을 풀었어요
• 고차 다항식 방정식의 일반 해를 제공:
  • ${\displaystyle\ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a440frac {x^{n}-1}{x-1}=p}$
• 불확정 이차 방정식을 풀었다.
• 불확정 입방정식을 풀었다.
• 불확정 고차 방정식을 풀었다.

슈리다라

벵골에 살았던 슈리다라 (870년경-930년경)는 나브 샤티카, 트리 샤티카, 파티 가니타라는 제목의 책을 썼다.그는 다음과 같이 말했다.

• 구체의 부피를 찾는 데 적합한 규칙입니다.
• 2차 방정식을 푸는 공식입니다.

파티가니타는 산수와 측량에 관한 작품입니다.다음과 같은 다양한 작업을 처리합니다.

• 기본 조작
• 제곱근과 입방근을 추출합니다.
• 분수.
• 0과 관련된 작업에 대해 8가지 규칙이 지정되었습니다.
• 다른 산술 급수와 기하 급수의 합산 방법, 이것은 이후의 연구에서 표준 참고 자료가 될 것이다.

만줄라

아리아바타의 미분 방정식은 10세기에 만줄라(또한 문잘라)에 의해 정교하게 설명되었고, 그는 그 표현이^[76] 다음과 같은 것을 깨달았다.

$(\displaystyle\\sin w'-\sin w)$

대략 이라고 표현될 수 있다

$\ displaystyle \ ( w ' - w)\cos w}$

그는 이 식을 아리아바타의 미분 ^[76]방정식에 대입함으로써 생긴 미분 방정식을 풀고 미분 개념을 이해했다.

아랴바타 2세

아리아바타 2세 (920년–1000년)는 슈리다라에 대한 해설과 마하-싯단타 천문학 논문을 썼다.마하-시단타는 18장으로 구성되어 있으며, 다음과 같은 내용을 다루고 있습니다.

• 수치 수학(Ank Ganit).
• 대수학.
• 부정식(쿠타카)의 해.

슈리파티

슈리파티 미슈라 (1019–1066)는 19장의 천문학에 관한 주요 저서인 싯단타 세하라와 슈리다라의 작품을 바탕으로 한 125절의 불완전한 산술 논문인 가닛 틸라카를 썼다.그는 주로 다음과 같은 일을 했다.

• 순열과 조합.
• 연립 부정 선형 방정식의 일반 해.

그는 또한 디코티다카라나의 저자로 다음과 같은 20개의 시로 이루어진 작품이었다.

• 일식.
• 월식.

흐루바마나사는 다음과 같은 내용의 105절의 작품이다.

• 행성 경도 계산
• 일식
• 행성 통과입니다.

네미찬드라 싯단타 차크라바티

Nemichandra Siddhanta Chakravati (1100년경)는 Gome-mat Saar라는 수학 논문을 썼다.

바스카라 2세

바스카라 2세 (1114–1185)는 수학자이자 천문학자이며 시단타 시로마니, 릴라바티, 비자간타, 골라 아다하야, 그리하 가니탐, 카란 카우투할과 같은 많은 중요한 논문을 썼다.그의 많은 기고문은 나중에 중동과 유럽으로 전해졌다.그의 공헌은 다음과 같다.

산술:

• 이자계산
• 산술적 및 기하학적 수열
• 평면 형상
• 솔리드 지오메트리
• 그노몬의 그림자
• 조합의 솔루션
• 0으로 나누면 무한하다는 걸 증명해줬죠

대수:

• 두 개의 제곱근을 갖는 양의 수를 인식합니다.
• 넘치다.
• 몇 가지 알 수 없는 제품을 사용한 작업입니다.
• 솔루션:
  • 이차 방정식.
  • 입방정식.
  • 4차 방정식.
  • 알 수 없는 방정식이 두 개 이상 있습니다.
  • 알 수 없는 2차 방정식이 두 개 이상 있습니다.
  • 차크라발라법을 사용한 펠 방정식의 일반적인 형태.
  • Chakravala 방법을 사용한 일반 부정 이차 방정식.
  • 불확정 입방정식.
  • 불확정 사분방정식.
  • 불확정 고차 다항식

지오메트리:

• 피타고라스의 정리를 증명했다.

미적분:

• 미적분학을 생각해냈죠
• 파생상품을 발견했다.
• 차동계수를 검출했다.
• 차별화가 심화되었습니다.
• 롤의 정리는 평균값 정리(미적분과 분석의 가장 중요한 이론 중 하나)의 특별한 경우라고 진술했다.
• 사인 함수의 미분 유도.
• 계산 ,, 소수점 이하 5자리까지 맞춥니다.
• 태양 주위를 도는 지구의 자전 길이를 소수점 이하 9자리까지 계산.

삼각법:

• 구면 삼각법의 발달
• 삼각 공식:
  • $\displaystyle \\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • $\displaystyle \\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

케랄라 수학 (1300-1600)

케랄라 천문학 및 수학 학파는 남인도 케랄라에 있는 상암그라마의 마드하바에 의해 설립되었으며 파라메시바라, 닐라칸타 소마야지, 예스타데바, 아치우타 피샤라티, 멜파투르 나라야나 바타티리, 파니쿠타 파니쿠타 등 멤버에 포함되어 있다.그것은 14세기와 16세기 사이에 번성했고 이 학교의 최초 발견은 나라야나 바타티리 (1559–1632)로 끝난 것으로 보인다.천문학적 문제를 해결하기 위해 케랄라 학파 천문학자들은 독립적으로 많은 중요한 수학 개념을 만들었다.가장 중요한 결과인 삼각함수의 급수 전개는 닐라칸타의 저서 탄트라상라하와 저자 불명의 탄트라상라하-바키아에 대한 해설에서 산스크리트어로 주어졌다.정리는 증거 없이 언급되었지만 사인, 코사인 및 역탄젠트의 급수에 대한 증거는 1세기 후 예스타데바가 말레이람어로 쓴 작품인 육티바사(^[77]c.1500–c.1610)에서 제공되었다.

아이작 뉴턴과 고트프리드 라이프니츠에 의해 유럽에서 미적분이 개발되기 수 세기 전에 미적분의 세 가지 중요한 일련의 확장을 발견한 것은 성과였다.그런데 그 중요한 삼각 함수는, 분화, 용어 통합에 의해 용어, 통합 시험, 비선형 방정식의 해결책을 반복 방법 테일러 시리즈 사업 확장을 개발할 수 있었다 하지만 케랄라 학교 때문에, 이론은 곡선 아래 이 지역은 필수적이다, 그들은 d. calculus,[78]를 개발하지는 않았습니다ev미분이나 통합의 이론도 ^[67]미적분의 기본 정리도 도망치지 않았다.케랄라 학파에 의해 얻어진 결과는 다음과 같다.

• (표준) 기하급수:1 - x $=$ + + 2+ 3 + x4 + ($x$< 1 \ $displaystyle$\$frac${ $1 }$ { 1 - } $=$1 +$x$ + $x ^$ {$2}$ + x$^$ { 4$}$ + $cdots$ (x < 1)
• $결과$에 대한 반강성 증명(아래의 "유도" 주석 $참조{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$) : ^[77]큰$$n에$$ ${\displaystyle {대해}^{}{\mathrm{}}^{}}$ p +${\displaystyle {}^{}{2}^{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{p}}^{}}{}}$ +${\displaystyle \frac{p^{}}{}}$n p +${\displaystyle \frac{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{}}$+ 1 \ $displaystyle$ 1$^{p}$ + 2$^{p$} + \ $cdots$+$n$} \$。$
• 그러나 수학적 귀납의 직관적인 사용으로 귀납 가설은 공식화되거나 ^[77]증명에 사용되지 않았다.
• sin x, cos x 및 arctan ^[78]x에 대해 (테일러-매클로린) 무한 급수를 얻기 위해 (어떤 것이 될 것인가) 미분 및 적분학의 아이디어 적용.탄트라상그라하-바키야는 운문으로 급수를 제공하며, 수학적 표기법으로 번역하면 다음과 ^[77]같이 쓸 수 있다.

$({displaystyle r\arctan\frac {y}{x}}\right}=cdot {1}{x}-{\frac {1}{x}}-{cdot {frac {1}{3}}+{\frac {5}}{cdfrac {x})$

$({displaystyle r\sin x=x-xparcfrac {x^{2}+r^{2}}) {xparc frac {x2} {x2}} {cdots {x2} {(4^{2}+4)r^{2}}) {cdots} - cdots}$

${\displaystyle r-\cos x=rcosfrac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}{\frac {x2}{\frac {x2}}{(4^{2}-4)r^2}}+cdots},$

여기서 r = 1의 경우, 직렬은 다음과 같은 삼각 함수에 대한 표준 멱급수로 감소합니다.

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}}{3!}+{\frac {x^{5}}{5}!}-{\frac {x^{7}}{7}!}}+\cdots }$

그리고.

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}}{2!}+{\frac {x^{4}}{4}!}-{\frac {x^{6}}{6}!}}+\cdots }$

• 이러한 결과를 증명하기 위해 원의 호를 수정(길이 계산)하는 방법(직교법을 사용한 라이프니츠의 후기 방법, 즉 원의 호 아래 면적의 계산은 사용되지 않았다.)^[77]
• ${\displaystyle \arctan \delta }$x(\$displaystyle \arctan$x)의$$ 직렬 확장을 사용하여 ^[77]δ의 라이프니츠 공식:

${\displaystyle {\frac {1}{4}=1-{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}-{\frac {1}{7}+\cdots}$

• 관심 계열의 유한 합계에 대한 오차의 합리적인 근사치입니다.예를 들어 ${\displaystyle {시리즈}_{}}$ 오류 $f{\displaystyle {}_{}i}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$ + 1 $){$ $displaystyle$f_${i}(n$1)}(n 홀수일 경우, i = 1, 2, 3)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {1}{4} + {\frac {1}{5}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}+(-1) f_i(n+1)$

${\displaystyle {\text{}f_{1}(n)=paramfrac {1}{2n},\f_{2}=paramfrac {n/2}+1},\f_{3}(n)=paramfrac {(n/2)^{2}+1}{(2)}/2)}.}$

• $오차항{\displaystyle }$ 조작을 통해 $§$ {\$displaystyle \pi$^[77]에 대한 보다 빠른 수렴 급수를 도출합니다.

${\displaystyle {{frac } {4} = flac {3} {4} + {\frac {1} {5^{3}-3}} - {\frac {1} {7^{3}-7} : \cdots }$

• 개량된 급수를 사용하여 유리식을 ^[77]도출하여 π의 경우 10448/33215를 소수점 이하 9자리까지 수정한다(예: 3.141592653).
• 이러한 ^[77]결과를 계산하기 위해 직감적인 한계 개념을 사용합니다.
• 일부 삼각 ^[67]함수의 반강성(위의 한계 비고 참조) 미분 방법입니다.그러나 함수의 개념을 공식화하거나 지수함수나 로그함수에 대한 지식을 가지고 있지 않았다.

케랄라 학파의 작품은 영국인 C.M.에 의해 서양을 위해 최초로 쓰여졌다. 1835년쯤.휘쉬에 따르면 케랄라 수학자들은 "완전한 유동체계의 토대를 마련했고" 이 작품들은 "외국의 ^[80]어떤 작품에서도 찾아볼 수 없는 유동체 형태와 급수를 가지고 있다"고 한다.

그러나 휘쉬의 결과는 거의 무시되었고, 1세기 후 C가 케랄라 학파의 발견을 다시 조사하기 전까지도 거의 무시되었다.라자고팔과 그의 동료들이요그들의 일 Yuktibhāṣā의arctan 시리즈는 정현 및 여현 series[83]고, 죄 및 여현arctan(영어 번역과 해설과 함께)에 시리즈 Tantrasangrahavakhya의 산스크리트어의 시문을 제공하는 두개의 신문의 Yuktibhāṣā의 증거를 위해 두 papers,[81][82] 논평에서 이 증거에 논평을 포함한다.[84][85]

나라야나 판디트는 14세기 수학자로 두 개의 중요한 수학 작품인 가니타 카우무디와 대수학 논문인 비즈가니타 바탐사를 작곡했다.나라야나는 또한 카르마프라디피카(또는 카르마파다티)라는 제목의 바스카라 2세의 라일라바티에 대한 정교한 해설의 저자로 여겨진다.상암그라마의 마다바 (1340년경-1425년)는 케랄라 학파의 창시자였다.비록 그가 1375년에서 1475년 사이에 쓰여진 카라나 파다티를 썼을 가능성이 있지만, 우리가 그의 작품에 대해 정말로 아는 것은 후대의 학자들의 작품에서 나온 것이다.

파라메시바라 (1370년경–1460년)는 바스카라 1세, 아리아바타, 바스카라 2세의 작품에 대한 논평을 썼다.바스카라 2세의 라일라바티에 대한 해설인 그의 라일라바티 바샤는 그의 중요한 발견들 중 하나를 포함하고 있습니다: 바로 평균 가치 정리 버전입니다.닐라칸타 소마야지 (1444–1544)는 탄트라 삼그라하를 구성했다 (이 책은 1501년에 쓰여진 익명의 탄트라상그라하-비야키아와 유크티디파이카라는 이름의 추가적인 해설을 '반파'했다).그는 마드하바의 기부금을 상세하게 설명하고 확대했다.

시트라바누(c. 1530)는 케랄라 출신의 16세기 수학자로 두 개의 미지의 연립 대수 방정식의 21가지 시스템에 정수해를 주었다.이러한 유형은 다음 7가지 형식의 가능한 방정식 쌍입니다.

$({displaystyle {argined}&x+y=a,\xy=b,\xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\x^{3}=f,x^{3}-y^{3}=end}}) 정렬됨$

각각의 경우에 대해, 시트라바누는 그의 통치에 대한 설명과 정당성, 그리고 예를 들었다.그의 설명 중 일부는 대수적인 반면 다른 것들은 기하학적인 것이다.예스타데바 (1500–1575년)는 케랄라 학교의 또 다른 멤버였다.그의 주요 작품은 케랄라의 지역 언어인 말라얄람어로 쓰인 육티바샤였다.예스타데바는 마드하바와 다른 케랄라 학파 수학자들에 의해 이전에 발견된 대부분의 수학 이론과 무한 급수의 증거를 제시했다.

유럽 중심주의의 고발

수학에 대한 인도의 공헌은 현대사에서 제대로 인정받지 못했고, 유럽중심주의의 결과로 인도 수학자들에 의한 많은 발견과 발명은 현재 문화적으로 서구 수학자들의 탓이라고 제안되어 왔다.G. G. Joseph의 "ethnomatematics"에 대한 견해에 따르면:

[그들의 작업]은 고전적인 유럽 중심 궤도에 대해 제기된 몇 가지 반론을 받아들인다.[인도 및 아랍 수학에 대한] 인식은 모두 그리스 수학에 비해 중요성에 대한 경멸적인 거부로 완화되기 쉽다.다른 문명(특히 중국과 인도)의 기여는 그리스 출처의 차용자로 인식되거나 주류 수학 발전에 작은 기여만 한 것으로 인식된다.특히 인도와 중국 수학의 경우, 최근의 연구 결과에 대한 개방성은 슬프게도 ^[86]결여되어 있습니다."

수학사학자 플로리안 카조리는 그와 다른 사람들이 "디오판투스가 인도에서 ^[87]대수적 지식을 처음 엿본 것 같다"고 제안했다.그러나 그는 또한 "힌두교 수학의 일부가 그리스에서 기원한 것이 확실하다"^[88]고 썼다.

위의 섹션에서 논의된 바와 같이, 보다 최근에 케랄라 학파의 수학자들에 의해 인도에서 삼각함수에 대한 무한급수(17세기 후반에 그레고리, 테일러, 그리고 맥로린에 의해 재발견되었습니다.일부 학자들은 최근 이러한 결과에 대한 지식이 무역상들과 예수회 ^[89]선교사들에 의해 케랄라에서 무역로를 통해 유럽으로 전달되었을 수도 있다고 제안했다.케랄라는 중국과 아라비아, 그리고 1500년경부터 유럽과 계속 접촉했다.통신 경로의 존재와 적절한 연대표가 그러한 전송을 가능하게 한다.그러나 관련 원고를 통한 직접적인 증거는 없다.^[89]데이비드 브레수드에 따르면, "인도의 일련의 작품이 19세기까지 ^[78][90]인도를 넘어서, 심지어 케랄라 외곽에서도 알려졌다는 증거는 없다."

아랍과 인도 학자들은 17세기 이전에 ^[67]미적분의 일부로 여겨지는 것을 발견했다.하지만, 뉴턴과 라이프니츠가 했던 것처럼, 그들은 "도함수와 적분의 두 통일된 주제 하에서 많은 다른 생각들을 결합하고, 둘 사이의 관계를 보여주며, 미적분을 오늘날 우리가 가지고 ^[67]있는 위대한 문제 해결 도구로 바꾸지는 않았다."모두 뉴턴과 라이프니츠의 지적 직업과 그들의 일을 그다지 자체고 있지 않다;[67]그러나 확실성 여부를 뉴턴과 라이프니츠의 직속 선임,"특히, 페르마와 로베르발:캐나다 동부, 일부 인도 이슬람 mathematici의 아이디어 중 깨달 알려지지 않았다 좋은 문서화되고 있다.굴러다녔다.현재 ^[67]인식되지 않는 정보원을 통해 이루어집니다.이것은 특히 스페인과 마그레브의 원고 컬렉션에서 현재 연구의 활발한 영역이다.이 연구는 특히 CNRS에서 ^[67]추진되고 있다.

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메모들

레퍼런스

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추가 정보

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• 를 클릭합니다Sen, S. N.; Bag, A. K., eds. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava, with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy.
• 를 클릭합니다Shukla, K. S., ed. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy.
• 를 클릭합니다Shukla, K. S., ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy.

외부 링크

• 인도의 과학과 수학
• St Andrews University, 2000, MacTutor History of Mathematic Archive, 인도 수학 개요.
• 인도 수학자
• 세인트 앤드류스 대학교 맥튜터 수학 기록 보관소의 고대 인도 수학 색인, 2004.
• 인도 수학: 균형을 바로잡기 위해, 수학 역사에 학생 프로젝트.이안 피어스.MacTutor History of Mathematic Archive, St Andrews University, 2002.
• BBC에서 본 인도 수학
• InSIT 2009는 인도 첸나이 Anna University 컴퓨터 과학부가 실시하는 취학 아동 대상 인도 전통 과학 워크숍입니다.
• 고대 인도의 수학 R.스리다란
• 고대 인도의 조합법
• S. 라마누잔 이전의 수학