파국론

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2018년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서, 재앙 이론은 역동적인 시스템 연구에서의 분기 이론의 한 분야다; 그것은 기하학에서 더 일반적인 특이성 이론의 특별한 경우다.

분리 이론은 작은 상황 변화에서 발생하는 갑작스러운 행동 변화로 특징지어지는 현상을 연구하고 분류하여 방정식 해법의 질적 특성이 방정식에 나타나는 매개변수에 어떻게 의존하는지 분석한다. 이것은 예를 들어 산사태의 예측 불가능한 시기와 규모와 같은 갑작스럽고 극적인 변화를 초래할 수 있다.

대재앙 이론은 1960년대 프랑스 수학자 르네 톰의 연구로 시작되었고, 1970년대 크리스토퍼 지만의 노력으로 큰 인기를 얻었다. 장기간에 걸친 안정적 평형을 매끄럽고 잘 정의된 전위함수(Lyapunov 함수)의 최소치로 파악할 수 있는 특수한 경우를 고려한다.

1970년대 후반에, 특히 생물학과 사회과학 분야에서, 그 범위를 벗어난 지역에 대한 재해 이론의 적용이 비판받기 시작했다.^[1][2] 자흘러와 서스맨은 1977년 네이처 기고문에서 "잘못된 추론, 억지스러운 가정, 잘못된 결과, 과장된 주장으로 특징지어진다"고 그러한 애플리케이션을 언급했다.^[3] 결과적으로, 재앙 이론은 응용 분야에서 덜 대중화되었다.^[4]

비선형 시스템의 특정 매개변수의 작은 변화는 평형을 나타내거나 사라지게 하거나, 유인에서 반발로, 또는 그 반대로 변화시켜 시스템의 행동의 크고 갑작스러운 변화를 초래할 수 있다. 그러나 더 큰 매개변수 공간에서 조사된 재해 이론은 그러한 분기점이 잘 정의된 질적 기하학적 구조의 일부로 발생하는 경향이 있음을 보여준다.

Elementary catastrophes

Catastrophe theory analyzes degenerate critical points of the potential function — points where not just the first derivative, but one or more higher derivatives of the potential function are also zero. These are called the germs of the catastrophe geometries. The degeneracy of these critical points can be unfolded by expanding the potential function as a Taylor series in small perturbations of the parameters.

When the degenerate points are not merely accidental, but are structurally stable, the degenerate points exist as organising centres for particular geometric structures of lower degeneracy, with critical features in the parameter space around them. If the potential function depends on two or fewer active variables, and four or fewer active parameters, then there are only seven generic structures for these bifurcation geometries, with corresponding standard forms into which the Taylor series around the catastrophe germs can be transformed by diffeomorphism (a smooth transformation whose inverse is also smooth).^{[citation needed]} These seven fundamental types are now presented, with the names that Thom gave them.

Potential functions of one active variable

Catastrophe theory studies dynamical systems that describe the evolution^[5] of a state variable ${\displaystyle x}$ over time ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}}$

In the above equation, ${\displaystyle V}$ is referred to as the potential function, and ${\displaystyle u}$ is often a vector or a scalar which parametrise the potential function. The value of ${\displaystyle u}$ may change over time, and it can also be referred to as the control variable. In the following examples, parameters like ${\displaystyle a,b}$ are such controls.

Fold catastrophe

${\displaystyle V=x^{3}+ax\,}$

When a<0, the potential V has two extrema - one stable, and one unstable. If the parameter a is slowly increased, the system can follow the stable minimum point. But at a = 0 the stable and unstable extrema meet, and annihilate. This is the bifurcation point. At a > 0 there is no longer a stable solution. If a physical system is followed through a fold bifurcation, one therefore finds that as a reaches 0, the stability of the a < 0 solution is suddenly lost, and the system will make a sudden transition to a new, very different behaviour. This bifurcation value of the parameter a is sometimes called the "tipping point".

Cusp catastrophe

${\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx\,}$

Diagram of cusp catastrophe, showing curves (brown, red) of x satisfying dV/dx = 0 for parameters (a,b), drawn for parameter b continuously varied, for several values of parameter a. Outside the cusp locus of bifurcations (blue), for each point (a,b) in parameter space there is only one extremising value of x. Inside the cusp, there are two different values of x giving local minima of V(x) for each (a,b), separated by a value of x giving a local maximum.

Cusp shape in parameter space (a,b) near the catastrophe point, showing the locus of fold bifurcations separating the region with two stable solutions from the region with one.

Pitchfork bifurcation at a = 0 on the surface b = 0

The cusp geometry is very common when one explores what happens to a fold bifurcation if a second parameter, b, is added to the control space. Varying the parameters, one finds that there is now a curve (blue) of points in (a,b) space where stability is lost, where the stable solution will suddenly jump to an alternate outcome.

But in a cusp geometry the bifurcation curve loops back on itself, giving a second branch where this alternate solution itself loses stability, and will make a jump back to the original solution set. By repeatedly increasing b and then decreasing it, one can therefore observe hysteresis loops, as the system alternately follows one solution, jumps to the other, follows the other back, then jumps back to the first.

However, this is only possible in the region of parameter space a < 0. As a is increased, the hysteresis loops become smaller and smaller, until above a = 0 they disappear altogether (the cusp catastrophe), and there is only one stable solution.

One can also consider what happens if one holds b constant and varies a. In the symmetrical case b = 0, one observes a pitchfork bifurcation as a is reduced, with one stable solution suddenly splitting into two stable solutions and one unstable solution as the physical system passes to a < 0 through the cusp point (0,0) (an example of spontaneous symmetry breaking). Away from the cusp point, there is no sudden change in a physical solution being followed: when passing through the curve of fold bifurcations, all that happens is an alternate second solution becomes available.

A famous suggestion is that the cusp catastrophe can be used to model the behaviour of a stressed dog, which may respond by becoming cowed or becoming angry.^[6] The suggestion is that at moderate stress (a > 0), the dog will exhibit a smooth transition of response from cowed to angry, depending on how it is provoked. But higher stress levels correspond to moving to the region (a < 0). Then, if the dog starts cowed, it will remain cowed as it is irritated more and more, until it reaches the 'fold' point, when it will suddenly, discontinuously snap through to angry mode. Once in 'angry' mode, it will remain angry, even if the direct irritation parameter is considerably reduced.

A simple mechanical system, the "Zeeman Catastrophe Machine", nicely illustrates a cusp catastrophe. In this device, smooth variations in the position of the end of a spring can cause sudden changes in the rotational position of an attached wheel.^[7]

Catastrophic failure of a complex system with parallel redundancy can be evaluated based on the relationship between local and external stresses. The model of the structural fracture mechanics is similar to the cusp catastrophe behavior. The model predicts reserve ability of a complex system.

그 밖의 적용 분야로는 화학 및 생물학 시스템에서^[8] 자주 접하게 되는 외부 전자의 전달과 부동산 가격을 모델링하는 것이 있다.^[9]

양분기와 정점 기하학은 단연코 재앙 이론의 가장 중요한 실제적인 결과들이다. 그것들은 물리학, 공학, 수학적 모델링에서 반복적으로 발생하는 패턴이다. 그들은 강력한 중력 렌즈 현상들을 만들어 내고, 천문학자들에게 블랙홀과 우주의 암흑 물질을 탐지하는 데 사용되는 방법들 중 하나를 제공하는데, 이는 중력렌즈 현상들이 먼 퀘이사의 여러 이미지를 생성하는 현상을 통해서이다.^[10]

나머지 간단한 파국 기하학은 비교적으로 매우 전문화되어 있으며, 호기심의 가치만을 위해 여기에 제시되어 있다.

제비꼬리 재앙

${\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx\,}$

제어 매개변수 공간은 3차원이다. 매개변수 공간에 설정된 분기는 접힌 분기 표면 3개로 구성되며, 접힌 분기 표면은 두 줄의 접힌 분기점에서 만나며, 이는 한 줄기의 제비꼬리 분기점에서 만난다.

매개변수가 접힌 분기 표면을 통과할 때, 최소 하나와 최대 하나의 잠재적 기능이 사라진다. 분기점에서 2개의 미니마와 1개의 최대치는 최소 한 개로 대체된다. 그 너머의 접힌 분기점은 사라진다. 제비꼬리 지점에서 2미니마와 2맥시마는 모두 x의 단일 값에서 만난다. 제비꼬리 너머에서 a > 0의 값의 경우 b와 c의 값에 따라 최대 최소 쌍이 하나 있거나 아예 없다. 두 개의 접힌 분기 표면과 두 개의 접힌 분기선이 만나는 두 개의 접힌 분기선이 < 0> 때문에 제비꼬리 지점에서 사라지며 접힌 분기 표면 하나만 남은 상태로 교체된다. 살바도르 달리의 마지막 그림인 '제비의 꼬리'는 이 재앙을 바탕으로 한 것이다.

나비 대재앙

${\displaystyle V=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx\,}$

매개변수 값에 따라, 전위함수는 접힌 분기점들의 로키로 분리된 3개, 2개 또는 1개의 다른 국소 미니마를 가질 수 있다. 나비점에서는 접힌 분기점의 서로 다른 3-서피스페이스, 첨간 분기점의 2-서피스페이스, 제비꼬리 분기선이 모두 만나 사라지며 0 >일 때 하나의 첨점 구조가 남게 된다.

Potential functions of two active variables

Umbilic catastrophes are examples of corank 2 catastrophes. They can be observed in optics in the focal surfaces created by light reflecting off a surface in three dimensions and are intimately connected with the geometry of nearly spherical surfaces: umbilical point. Thom proposed that the hyperbolic umbilic catastrophe modeled the breaking of a wave and the elliptical umbilic modeled the creation of hair-like structures.

Hyperbolic umbilic catastrophe

${\displaystyle V=x^{3}+y^{3}+axy+bx+cy\,}$

Elliptic umbilic catastrophe

${\displaystyle V={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy\,}$

Parabolic umbilic catastrophe

${\displaystyle V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy\,}$

Arnold's notation

Vladimir Arnold gave the catastrophes the ADE classification, due to a deep connection with simple Lie groups.^{[citation needed]}

• A₀ - a non-singular point: ${\displaystyle V=x}$.
• A₁ - a local extremum, either a stable minimum or unstable maximum ${\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}$.
• A₂ - the fold
• A₃ - the cusp
• A₄ - the swallowtail
• A₅ - the butterfly
• A_k - a representative of an infinite sequence of one variable forms ${\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }$
• D₄⁻ - the elliptical umbilic
• D₄⁺ - the hyperbolic umbilic
• D₅ - the parabolic umbilic
• D_k - a representative of an infinite sequence of further umbilic forms
• E₆ - the symbolic umbilic ${\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}}$
• E₇
• E₈

There are objects in singularity theory which correspond to most of the other simple Lie groups.

See also

References

Bibliography

• Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, et al., Bifurcation Theory And Catastrophe Theory, ISBN 3-540-65379-1
• Bełej,M. Kulesza, S. Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions. Folia Oeconomica Stetinensia. Volume 11, Issue 1, Pages 61–72, ISSN (Online) 1898-0198, ISSN (Print) 1730-4237, doi:10.2478/v10031-012-0008-7, 2013
• Castrigiano, Domenico P. L. and Hayes, Sandra A. Catastrophe Theory, 2nd ed. Boulder: Westview, 2004. ISBN 0-8133-4126-4
• Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
• Petters, Arlie O., Levine, Harold and Wambsganss, Joachim. Singularity Theory and Gravitational Lensing. Boston: Birkhäuser, 2001. ISBN 0-8176-3668-4
• Postle, Denis. Catastrophe Theory – Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks, 1980. ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
• Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
• Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978. ISBN 0-525-07812-6.
• Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972–1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

External links

• CompLexicon: Catastrophe Theory
• Catastrophe teacher
• Java simulation of Zeeman's catastrophe machine