감소(수학)

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수학에서 축소는 표현을 더 단순한 형태로 다시 쓰는 것을 말한다. 예를 들어 분자를 가능한 가장 작은 정수 분모를 가진 분모로 다시 쓰는 과정을 '분수 축소'라고 한다. 급진적 기호 아래 가능한 가장 작은 정수(또는 "뿌리")로 급진적(또는 "뿌리")의 표현을 다시 쓰는 것을 "급진적(급진적)의 감소"라고 한다. 표현에서 다른 급진주의 아래에 나타나는 급진주의자의 수를 최소화하는 것을 급진주의를 나타내는 것이라고 한다.

대수학

선형대수학에서 축소는 일련의 방정식이나 행렬에 단순한 규칙을 적용하여 더 단순한 형태로 바꾸는 것을 말한다. 행렬의 경우 행렬의 행 또는 열을 조작하는 과정이 포함되므로 일반적으로 각각 행 축소 또는 열 축소라고 한다. 종종 감소의 목적은 매트릭스를 "행 축소형" 또는 "행 축소형"으로 변환하는 것이다. 이것이 가우스 제거의 목표다.

미적분학.

미적분학에서 환원이란 부품별 통합 기법을 사용하여 보다 단순한 형태로 환원하여 통합을 평가하는 것을 말한다.

정적(관) 감소

동적 분석에서 정적 감소는 자유도를 감소시키는 것을 말한다. 정적 감소는 선형 대수적 문제의 단순화를 참조하기 위해 유한요소해석에서도 사용될 수 있다. 정적 감소는 몇 가지 반전 단계를 요구하기 때문에 값비싼 매트릭스 연산이며 용액에 오류가 발생하기 쉽다. FEA 문제에서 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\\\K_{22}\end{bmatrix}{\gin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\end{bmatrix}}}}={\begin{bmatrix}}}}}}}}}}}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

여기서 K와 F를 알고 K, x, F를 위와 같이 하위 계수로 나눈다. F가₂ 0만 포함하고 x만₁ 원하는 경우 K는 다음과 같은 방정식 체계를 산출하도록 줄일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{remissed}\end{bmatrix}{bmatrix}{\gin{bmatrix}}}{\bmatrix}}}}{begin{bmatrix}}}}}F_{1}\end{bmatrix}}$

${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {11,}_{}}$ ${\displaystyle {\text{감소}}_{}}$된 ${\$는) 다음과 같이 방정식 집합을 작성하여 구한다$$.

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}:{1}:{1}$

(1)

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

(2)

식 (2)는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} $$($K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\$의 역직성 가정)$$에 대해 해결할 수 있다.

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

그리고 (1)로 대체한다.

${\displaystyle K_{11}x_{1}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

그러므로

${\displaystyle K_{11,{\text{remed}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{1}K_{21}.}$

유사한 방식으로, 해당 값이 x인_i F의 행이나 컬럼 i는 해당 값을 원하지 않을 경우 제거될 수 있다. 감소된 K는 다시 감소될 수 있다. 참고로, 각 감소에는 역전이 필요하며, 각 역전은 계산비용 O(n³)를 가진 연산이기 때문에 대부분의 대형 매트릭스는 계산시간을 줄이기 위해 미리 처리된다.

역사

9세기에 페르시아의 수학자 알-크와리즈미의 알자브르는 감산된 항을 방정식의 반대편으로 옮기고, 같은 항을 방정식의 반대편에서 취소하는 것을 언급하면서 "축소"와 "균형"의 기본 개념을 소개했다. 이것은 알-크와리즈미가 원래 알자브르라고 표현한 작전이다.^[1] "알지브라"라는 이름은 그의 책 제목에 있는 "알자브르"에서 유래되었다.

참조