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삼각법

Trigonometry

삼각법(Trigonometry,[1] )은 삼각형 길이와 각도 사이의 관계를 연구하는 수학의 한 분야이다.이 분야는 기원전 3세기 헬레니즘 세계에서 기하학의 응용에서 천문학 [2]연구에 이르기까지 등장했다.그리스인들은 화음의 계산에 초점을 맞춘 반면, 인도의 수학자들은 [3]사인 같은 삼각비(삼각함수라고도 함)에 대한 값의 가장 초기의 알려진 표를 만들었다.

역사를 통틀어 삼각법은 측지학, 측량, 천체역학, [4]항법 등의 분야에 적용되어 왔다.

삼각법은 많은 동일성으로 알려져 있다.이러한 삼각 항등식[5][6] 식을 단순화하거나, 보다 유용한 형태의 식을 찾거나,[7] 방정식을 풀기 위해 삼각식을 다시 쓰는 데 일반적으로 사용됩니다.

역사

최초삼각법 표를 만든 것으로 알려진 히파르코스는 "삼각법의 아버지"[8]로 묘사되었다.

수메르 천문학자들은 원의 360도 [9]분할을 사용하여 각도 측정을 연구했습니다.그들, 그리고 나중에 바빌로니아인들은 비슷한 삼각형의 변의 비율을 연구했고 이 비율의 몇몇 특성들을 발견했지만, 그것을 삼각형의 변과 각도를 찾는 체계적인 방법으로 바꾸지는 않았다.고대 누비아인들도 비슷한 [10]방법을 사용했다.

기원전 3세기에 유클리드아르키메데스같은 헬레니즘 수학자들화음원의 내접각의 성질을 연구했고, 대수학보다는 기하학적으로 제시했지만 현대의 삼각 공식과 동등한 이론을 증명했다.기원전 140년, 히파르코스(소아시아 니케아 출신)는 현대의 사인값 표와 유사한 첫 번째 코드 표를 주었고 삼각법과 구면 삼각법의 [11]문제를 해결하기 위해 그것들을 사용했다.서기 2세기에, 그리스-이집트 천문학자 프톨레마이오스(이집트 알렉산드리아 출신)는 그의 알마게스트 [12]11장 제1권에 상세한 삼각법 표(프톨레미의 코드 표)를 구성했다.프톨레마이오스는 그의 삼각함수를 정의하기 위해 현의 길이를 사용했는데,[13] 이것은 오늘날 우리가 사용하는 사인법과의 작은 차이입니다.(우리가 sin(θ)이라고 부르는 값은 프톨레마이오스의 테이블에서 관심각의 두 배(2θ)에 대한 코드 길이를 찾아보고 그 값을 두 개로 나누면 찾을 수 있습니다.)더 상세한 표가 만들어지기까지 수 세기가 흘렀고, 프톨레마이오스의 논문은 중세 비잔틴, 이슬람, 그리고 나중에는 서유럽 세계에서 다음 1200년 동안 천문학에서 삼각법 계산을 수행하는데 사용되었다.

현대의 사인 법칙은 Surya Siddhanta에서 처음 증명되었으며, 그 특성은 5세기 인도의 수학자이자 천문학자 Aryabhata[14]의해 더욱 입증되었습니다.이 그리스와 인도의 작품들은 중세 이슬람 수학자들에 의해 번역되고 확장되었다.10세기까지 이슬람 수학자들은 6개의 삼각함수를 모두 사용하고 그 값을 표로 만들어 구면 [15][16]기하학 문제에 적용했습니다.페르시아박식가 나시르 알-딘 알-투시는 그 자체로 [17][18][19]수학적인 학문으로서 삼각법의 창시자로 묘사되어 왔다.Nas-r al-Dnn al-Tus was는 삼각법을 천문학으로부터 독립된 수학 분야로 취급한 최초의 사람이었고, 구면 삼각법을 현재의 [20]형태로 발전시켰다.그는 구면 삼각법에 직각 삼각형의 6가지 뚜렷한 경우를 열거했고, 그의 섹터 그림에서 평면과 구면 삼각형의 사인 법칙을 명시하고, 구면 삼각형의 접선 법칙을 발견했으며, 이 두 [21]법칙 모두에 대한 증거를 제공했다.삼각함수와 방법에 대한 지식은 프톨레마이오스의 그리스 알마게스트의 라틴어 번역과 함께 바타니와 나시르 알-딘 [22]알-투시같은 페르시아와 아랍 천문학자들작품통해 서유럽에 도달했다.북유럽 수학자에 의한 삼각법에 관한 초기 작품들 중 하나는 15세기 독일 수학자 레지오몬타누스의 드 트라이앵글리스인데, 그는 몇 [23]년 동안 함께 살았던 비잔틴 그리스 학자 바실리오스 베사리온 추기경으로부터 알마게스트의 사본을 쓰도록 격려받고 제공받았다.동시에, 그리스어에서 라틴어로의 알마게스트의 또 다른 번역은 트레비존드[24]크레탄 조지에 의해 완성되었다.삼각법은 16세기 북유럽에서 여전히 거의 알려지지 않았기 때문에 니콜라우스 코페르니쿠스는 기본 개념을 설명하기 위해 두 장의 De revolutionibus orbium coelestium을 할애했다.

내비게이션의 수요와 넓은 지리적 지역의 정확한 지도에 대한 증가하는 필요성에 의해, 삼각법은 [25]수학의 주요 분야로 성장했다.바르톨로마이우스 피티스커스는 1595년에 [26]그의 삼각메트리아를 발표하면서 이 단어를 처음으로 사용했다.Gemma Frisius는 최초로 삼각 측량 방법을 오늘날에도 여전히 측량할 때 사용되었다고 설명했다.복소수를 삼각법에 완전히 통합시킨 사람은 레온하르트 오일러였다.17세기 스코틀랜드 수학자 제임스 그레고리, 18세기 콜린 맥로린작품은 삼각 [27]급수의 발전에 영향을 미쳤다.또한 18세기에 브룩 테일러는 일반적인 테일러 [28]시리즈를 정의했다.

삼각비

이 직각 삼각형에서 sin A = a/h; cos A = b/h; tan A = a/b.

삼각비는 직각 삼각형의 모서리 사이의 비율입니다.이러한 비율은 알려진 각도 A의 다음 삼각 함수에 의해 지정됩니다. 여기서 a, b h는 첨부 그림의 변의 길이를 나타냅니다.

  • 사인 함수(sin), 빗변과 반대쪽의 변의 비율로 정의됩니다.
  • 코사인 함수(cos)는 빗변에 대한 인접 다리(각도와 직각을 연결하는 삼각형의 측면)의 비율로 정의됩니다.
  • 접선 함수(탄)는 인접한 다리에 대한 반대쪽 다리의 비율로 정의됩니다.

빗변은 직각삼각형의 90도 각도와 반대되는 변입니다. 삼각형의 가장 긴 변이며 각도 A에 인접한 두 변 중 하나입니다.인접한 다리는 각도 A에 인접한 다른 쪽이다.반대쪽각도 A와 반대쪽입니다.수직기저라는 용어는 각각 반대쪽과 인접쪽을 가리킬 때도 있습니다.아래의 니모닉스를 참조하십시오.

예각 A가 동일한 두 개의 직각 삼각형이 [29]유사하므로 삼각비 값은 각도 A에만 의존합니다.

이러한 기능의 상호 작용은 각각 csecant(csc), secant(sec) 및 cotangent(cot)로 명명됩니다.

코사인, 코탄젠트 및 코센트는 각각 "co-"[30]로 약칭되는 보각의 사인, 탄젠트 및 초각이기 때문에 이러한 이름이 붙습니다.

이러한 함수로, 사인법칙[31]코사인 법칙을 사용하여 임의 삼각형에 대한 거의 모든 질문에 대답할 수 있다.이러한 법칙은 두 변과 포함된 각도 또는 두 변과 한 변 또는 세 변이 알려진 즉시 삼각형의 나머지 각도와 변을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

기억력

기억의 일반적인 용도는 삼각법에서 사실과 관계를 기억하는 것이다.예를 들어, 직각 삼각형의 사인, 코사인 및 탄젠트 비율을 문자 문자열로 표현하여 기억할 수 있습니다.예를 들어 니모닉은 SOH-CAH-TOA입니다.[32]

사인 = 반대 hypot 빗변
코사인 = 인접 hypot 빗변
접선 = 반대 adjacent 인접

문자를 기억하는 한 가지 방법은 발음하는 것입니다(예: /soˌkˈtoʊ/SOH-k-TOH-,, 크라카토아[33]유사).또 다른 방법은 글자를 문장으로 확대하는 것입니다. 예를 들어 "Some Old Hippie Catched Another Hippie Trippin' On Acid"[34]와 같은 것입니다.

단위 원 및 공통 삼각법 값

그림 1a – 단위 원을 사용하여 정의된 각도 θ의 사인 및 코사인.
회전방향에 따른 기호 및 키 각도 표시

삼각비는 평면의 원점을 중심으로 한 반지름 1의 [35]원인 단위 원을 사용하여 나타낼 수도 있습니다.이 설정에서는, 각도 표준 위치에 배치된 종선. A{\displaystyle y=\sin}.[35]⁡ 이 표현 다음에 같은 흔하게 발견되는 삼각 가치의 계산을 가능케 해 주는 x)못 말리겠고 ⁡{\displaystyle x=\cos}과 y)죄를 점(x, y)의 단 위원 교차할 것이다. )레:[36]

기능. 0
사인
코사인
접선 한정되지 않은
섹터 한정되지 않은
동일. 한정되지 않은 한정되지 않은
코탄젠트 한정되지 않은 한정되지 않은

실수 또는 복합 변수의 삼각 함수

단위 원을 사용하면 삼각 비의 정의를 모든 양의 인수와 음의[37] 인수로 확장할 수 있습니다(삼각 함수 참조).

삼각함수 그래프

다음 표에는 6가지 주요 삼각 [38][39]함수의 그래프 속성이 요약되어 있습니다.

기능. 기간 도메인 범위 그래프
사인 Sine one period.svg
코사인 Cosine one period.svg
접선 Tangent-plot.svg
섹터 Secant.svg
동일. Cosecant.svg
코탄젠트 Cotangent.svg

역삼각함수

6개의 주요 삼각 함수는 주기적이기 때문에 주입식(또는 1 대 1)이 아니므로 반전할 수 없습니다.그러나 삼각함수의 영역을 제한함으로써 이러한 함수를 [40]: 48ff 반전시킬 수 있습니다.

역삼각함수의 이름과 해당 도메인 및 범위는 다음 [40]: 48ff [41]: 521ff 표에서 확인할 수 있습니다.

이름. 통상 표기법 정의. 실제 결과를 위한 x 도메인 통상적인 원금값의 범위
(라디안)
통상적인 원금값의 범위
(표준)
아크신 y = 아크신(x) x = sin(y) - 1 † x "/2" "y" "/2" -90° y y 9090°
아크코신 y = arccos(x x = cos(y) - 1 † x 0 y y 0 y y 180 180°
아크탄젠트 y = arctan(x) x = 황갈색(y) 모든 실수 - param/2 < y < param/2 - 90° < y < 90°
아크코탄젠트 y = arccot(x) x = 요람(y) 모든 실수 0 < y < > 0° < y < 180°
아아시칸트 y = arcsec(x) x = (y) x - - 1 또는1 x x 0 y y < / 2 orた 2 2 < y > 0° † y < 90° 또는 90° < y 180 180°
아크코스칸트 y = arccsc(x) x = csc(y) x - - 1 또는1 x x -syslog/2 y y < 0 또는0 < y > / 2 -90° † y < 0° 또는 0° < y † 90°

전력 시리즈 표현

실수 변수의 함수로 간주할 때 삼각비는 무한 급수로 나타낼 수 있습니다.예를 들어 사인 및 코사인에는 다음과 [42]같은 표현이 있습니다.

이러한 정의를 통해 복소수[43]대한 삼각 함수를 정의할 수 있습니다.실수 변수 또는 복소 변수의 함수로 확장되는 경우, 다음 공식은 복소 지수 함수를 유지합니다.

삼각함수로 작성된 이 복잡한 지수함수는 특히 유용합니다.[44][45]

삼각 함수 계산

삼각함수는 수학표에서 [46]가장 먼저 사용된 것 중 하나였다.이러한 표는 수학 교과서에 통합되었고 학생들은 더 높은 [47]정확도를 얻기 위해 값을 찾는 방법과 나열된 값 사이를 보간하는 방법을 배웠다.슬라이드 규칙에는 삼각함수에 [48]대한 특수 척도가 있습니다.

과학적 계산기에는 주요 삼각함수(sin, cos, tan, 그리고 때로는 cis와 그 역함수)[49]를 계산하기 위한 버튼이 있습니다.대부분 각도, 라디안, 때로는 그라디언각도 측정 방법을 선택할 수 있습니다.대부분의 컴퓨터 프로그래밍 언어는 삼각 [50]함수를 포함하는 함수 라이브러리를 제공합니다.대부분의 개인용 컴퓨터에서 사용되는 마이크로프로세서 칩에 내장된 부동소수점 단위 하드웨어에는 삼각함수를 [51]계산하기 위한 명령이 내장되어 있습니다.

기타 삼각 함수

앞서 언급한 6가지 비율 외에도, 오늘날에는 거의 사용되지 않지만 역사적으로 중요한 추가적인 삼각함수가 있습니다.이, haversine(haversin(θ))1(θ))sin2(θ/2)),[53]은 어떤(exsec(θ))sec(θ)− 1컵, 그리고excosecant(excsc(θ))exsec(π/2 − θ))c이 화음(crd(θ)x2sin(θ/2)하고 20m현정시(versin(θ))1− cos(θ)x2sin2(θ/2))(는 초기 tables[52]에 나타났다.),coversine(coversin(θ))1− sin(θ))versin(π/2 − θ))을 포함한다sc(θ)− 1이러한 함수 간의 자세한 관계는 삼각 아이덴티티 목록을 참조하십시오.

적용들

천문학

수세기 동안, 구면 삼각법은 태양, 달, 그리고 별의 [54]위치를 찾고, 일식을 예측하고,[55] 행성의 궤도를 설명하는 데 사용되어 왔다.

현대에는 위성 항법 [16]시스템뿐만 아니라 천문학에서 가까운 [56]별까지의 거리를 측정하기 위해 삼각 측량 기술이 사용된다.

내비게이션

육분제는 지평선에 대한 태양이나 별의 각도를 측정하는 데 사용됩니다.삼각법과 해양 크로노미터를 사용하여 배의 위치를 측정할 수 있습니다.

역사적으로 삼각법은 범선의 위도와 경도를 찾고 항로를 표시하며 [57]항해 중 거리를 계산하는 데 사용되어 왔다.

Trigonometry는 여전히 GPS무인 [58]자동차용 인공지능과 같은 수단을 통해 내비게이션에 사용되고 있다.

측량

토지 측량에서 삼각법은 [59]물체 사이의 길이, 면적 및 상대 각도를 계산하는 데 사용됩니다.

더 큰 규모로 삼각법은 지형에서 [60]랜드마크 사이의 거리를 측정하는 데 사용됩니다.

주기 함수

s ( ) \ displaystyle 빨간색)는 서로 다른 진폭과 조화롭게 관련된 주파수를 가진 6개의 사인 함수의 합입니다.이들의 합계를 푸리에 급수라고 한다.진폭 대 주파수나타내는 푸리에 S() { S파란색)는 6개의 주파수(홀수 고조파)와 그 진폭(1/홀수)을 나타냅니다.

사인 및 코사인 함수는 음파와 광파를 설명하는 것과 같은 주기 함수 [61]이론의 기본입니다.푸리에 는 모든 연속적이고 주기적인 함수가 삼각함수의 무한합으로 설명될 수 있다는 것을 발견했습니다.

비주기적 함수조차도 푸리에 변환을 통해 사인 및 코사인 적분으로 나타낼 수 있습니다.이것은 양자역학[62][63]통신분야, 특히 응용분야가 있다.

광학 및 음향

삼각법은 [65]음향학 [65]광학학을 포함한 많은 물리 [64]과학에서 유용합니다.이러한 영역에서는 음파와 광파기술하고 경계 및 전송 관련 [66]문제를 해결하는 데 사용됩니다.

기타 응용 프로그램

는 삼각 법이나 삼각 함수는을 사용하는 다른 분야 음악 theory,[67]측지, 오디오 synthesis,[68]architecture,[69]electronics,[67]biology,[70]의료 영상(CT스캔과 초음파)[71]chemistry,[72]수 이론(그리고 cryptology)[73]seismology,[65]meteorology,[74]oceanography,[75]이미지 compression,[76]phonet을 포함한다.Ics,[77]economics,[78]전기 공학, 정비공.al 공학, 토목 공학,[67] 컴퓨터 그래픽스,[79][67] 지도 제작, 결정학[80] 및 게임 [79]개발.

아이덴티티

a, b, c 및 각각 반대각 A, B, C를 가진 삼각형

삼각법은 많은 동일성, 즉 모든 가능한 [81]입력에 대해 참인 방정식으로 알려져 있습니다.

각도만 포함하는 동일성은 삼각함수 동일성으로 알려져 있습니다.삼각형 [82]항등식으로 알려진 다른 방정식은 주어진 삼각형의 변과 각도를 모두 관련짓습니다.

삼각형 아이덴티티

다음 동일성에서 A, BC는 삼각형의 각도이고 a, b c는 각 각도와 반대되는 삼각형의 변의 길이이다(그림 [83]참조).

사인 법칙

임의의 삼각형의 사인 법칙("사인 규칙"이라고도 함)은 다음과 같습니다.[84]

여기서 { 삼각형의 면적이고 R은 삼각형의 외접 원의 반지름입니다.

코사인 법칙

코사인 법칙(코사인 공식 또는 "코스 규칙")은 피타고라스 정리를 임의의 삼각형으로 확장한 것입니다.[84]

또는 동등하게:

접선의 법칙

프랑수아 비에트가 개발접선법칙은 삼각형의 알려지지 않은 모서리를 풀 때 코사인 법칙의 대안으로 삼각법 [85]표를 사용할 때 보다 간단한 계산을 제공합니다.다음 항목에 의해 지정됩니다.

지역

a와 b와 C 사이의 각도가 주어졌을 때 삼각형의 면적은 두 변의 길이와 [84]두 변 사이의 각도의 사인 곱의 절반으로 주어진다.

헤론의 공식은 삼각형의 면적을 계산하는 데 사용될 수 있는 또 다른 방법이다.이 공식은 삼각형이 a, b, c 길이의 변을 가지고 있고, 반주위가 다음과 같다면

삼각형의 면적은 다음과 같습니다.[86]

여기서 R은 삼각형의 원주 반지름입니다.

삼각 항등식

피타고라스의 동일성

다음 삼각 항등식피타고라스 정리 및 모든 [87]값에 대한 유지와 관련이 있습니다.


두 번째 및 세 번째 방정식은 첫 번째 방정식을 각각 2 \ \{2} { 2 A \ {2} { 것입니다.

오일러 공식

i x + x {}=\ xx라는 공식은 e와 허수 단위 i의 관점에서 사인, 코사인 및 탄젠트에 대해 다음과 같은 분석적 동일성을 생성합니다.

기타 삼각 항등식

일반적으로 사용되는 다른 삼각 아이덴티티에는 반각 아이덴티티, 각도 합계와 차이 아이덴티티,[29] 곱 대 합 아이덴티티가 포함된다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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참고 문헌

추가 정보

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