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양자역학

Quantum mechanics
다양한 에너지 준위에서 수소 원자에 있는 전자파동 함수. 양자역학은 공간에서 입자의 정확한 위치를 예측할 수 없고, 입자를 다른 위치에서 발견할 확률만 예측할 수 있습니다.[1] 더 밝은 영역은 전자를 찾을 확률이 더 높다는 것을 나타냅니다.

양자역학원자 규모 이하에서 자연의 행동을 설명하는 물리학의 기본 이론입니다.[2]: 1.1 양자화학, 양자장이론, 양자기술, 양자정보과학 등 모든 양자물리학의 근간입니다.

양자역학은 고전 물리학이 설명할 수 없는 많은 시스템을 설명할 수 있습니다. 고전 물리학은 자연의 많은 측면을 일반적인 (거시적인) 및 (광학적인) 미시적인 (광학적인) 규모로 설명할 수 있지만, 매우 작은 미시적인 (원자 및 아원자) 규모로 설명하기에는 충분하지 않습니다. 고전 물리학의 대부분의 이론은 대규모(거시적/미시적) 규모에서 유효한 근사치로 양자 역학에서 파생될 수 있습니다.[3]

양자 시스템은 에너지, 운동량, 각운동량 및 기타 양의 이산 값으로 양자화결합 상태를 가지고 있으며, 이러한 양을 연속적으로 측정할 수 있는 고전 시스템과는 대조적입니다. 양자계의 측정은 입자파동의 특성(파동-입자 이중성)을 모두 보여주며, 완전한 초기 조건(불확정성 원리)을 고려할 때 물리량의 값을 측정 전에 얼마나 정확하게 예측할 수 있는지에 한계가 있습니다.

양자역학은 1900년 막스 플랑크흑체복사 문제를 해결한 것, 광전효과를 설명한 1905년 알베르트 아인슈타인의 논문에서 에너지와 주파수의 대응 등 고전물리학과 조화를 이룰 수 없는 관측을 설명하기 위한 이론에서 점차 생겨났습니다. 미시적 현상을 이해하려는 초기의 시도는 현재 "오래된 양자 이론"으로 알려져 있으며, 닐스 보어, 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 폴 디랙 등에 의해 1920년대 중반에 양자역학의 완전한 발전을 이끌었습니다. 현대 이론은 특수하게 개발된 다양한 수학적 형식주의로 공식화됩니다. 중 하나에서 파동함수라는 수학적 실체는 입자의 에너지, 운동량 및 기타 물리적 특성을 측정할 수 있는 정보를 확률 진폭의 형태로 제공합니다.

개요 및 기본 개념

양자역학을 통해 물리적 시스템의 특성과 동작을 계산할 수 있습니다. 일반적으로 분자, 원자 및 아원자 입자와 같은 미시적 시스템에 적용됩니다. 수천 개의 원자를 가진 복잡한 분자를 유지하는 것으로 입증되었지만,[4] 인간에 대한 적용은 위그너의 친구와 같은 철학적 문제를 제기하며, 우주 전체에 대한 적용은 여전히 추측에 불과합니다.[5] 양자역학의 예측은 매우 높은 정확도로 실험적으로 검증되었습니다. 예를 들어, 양자전기역학(QED)으로 알려진 빛과 물질의 상호작용을 위한 양자역학의 정교화는 전자의 자기적 특성을 예측할 때 10분의12 1 이내로 실험과 일치하는 것으로 나타났습니다.[6]

이론의 근본적인 특징은 일반적으로 무슨 일이 일어날지 확실하게 예측할 수 없고 확률만 제공한다는 것입니다. 수학적으로 확률은 복소수의 절대값의 제곱을 취함으로써 발견되며, 이를 확률 진폭이라고 합니다. 이것은 물리학자 맥스 본의 이름을 딴 본 규칙으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 전자와 같은 양자 입자는 공간의 각 점에 확률 진폭을 연관시키는 파동 함수로 설명될 수 있습니다. 이러한 진폭에 Born 규칙을 적용하면 전자를 측정하기 위한 실험을 수행할 때 전자가 갖는 위치에 대한 확률 밀도 함수를 얻을 수 있습니다. 이것은 이론이 할 수 있는 최선의 방법입니다. 전자가 어디에서 발견될지 확실히 말할 수 없습니다. 슈뢰딩거 방정식은 한 순간에 해당하는 확률 진폭의 수집과 다른 순간에 해당하는 확률 진폭의 수집을 연관시킵니다.[7]: 67–87

양자역학의 수학적 규칙의 한 가지 결과는 서로 다른 측정 가능한 양 사이의 예측 가능성의 절충입니다.불확정성 원리의 가장 유명한 형태는 양자 입자가 아무리 준비되어 있거나 그것에 대한 실험이 아무리 세심하게 준비되어 있더라도, 그 위치의 측정을 위한 정확한 예측과 동시에 그 운동량의 측정을 위한 정확한 예측은 불가능하다는 것입니다.[7]: 427–435

양자역학의 수학적 규칙의 또 다른 결과는 이중 슬릿 실험으로 종종 설명되는 양자 간섭 현상입니다. 이 실험의 기본 버전에서는 레이저 빔과 같은 가간섭성 광원이 두 개의 평행한 슬릿으로 뚫린 플레이트를 비추고, 슬릿을 통과한 빛은 플레이트 뒤의 화면에서 관찰됩니다.[8]: 102–111 [2]: 1.1–1.8 빛의 파동 특성으로 인해 두 개의 슬릿을 통과하는 빛의 파동이 간섭하여 화면에 밝고 어두운 띠를 생성합니다. 이는 빛이 고전적인 입자로 구성되어 있다면 예상할 수 없는 결과입니다.[8] 그러나 빛은 항상 개별 입자로서 파동이 아닌 개별 입자로서 스크린에서 흡수되는 것으로 밝혀집니다. 간섭 패턴은 이러한 입자의 다양한 밀도를 통해 스크린에 나타납니다. 또한 슬릿에 검출기를 포함한 실험 버전에서는 검출된 각 광자가 (클래식 입자처럼) 하나의 슬릿을 통과하고 (파동처럼) 두 슬릿을 통과하지 않는 것으로 나타났습니다.[8]: 109 [9][10] 그러나 그러한 실험은 입자가 어느 슬릿을 통과하는지 감지하면 간섭 패턴을 형성하지 않는다는 것을 보여줍니다. 동작을 파동-입자 이중성이라고 합니다. 이중슬릿을 향해 발사하면 빛 외에도 전자, 원자, 분자 모두 같은 이중거동을 보이는 것으로 확인됩니다.[2]

양자역학이 예측하는 또 다른 비고전적 현상은 양자 터널링인데, 전위 장벽에 부딪혀 올라가는 입자는 그 운동 에너지가 전위의 최대치보다 작더라도 그 장벽을 넘을 수 있다는 것입니다.[11] 고전역학에서 이 입자는 갇힐 것입니다. 양자 터널링은 방사성 붕괴, 별의 핵융합, 주사 터널링 현미경터널 다이오드와 같은 응용 분야를 가능하게 하는 몇 가지 중요한 결과를 가지고 있습니다.[12]

양자계가 상호작용할 때 그 결과는 양자 얽힘의 생성이 될 수 있습니다. 그들의 특성이 너무 얽혀서 더 이상 개별 부분의 관점에서만 전체를 설명할 수 없습니다. 에르빈 슈뢰딩거는 얽힘을 "...양자역학의 특징, 고전적인 사고선으로부터의 완전한 이탈을 강요하는 것."[13] 양자 얽힘은 양자 컴퓨팅을 가능하게 하며 양자분배초밀도 코딩과 같은 양자 통신 프로토콜의 일부입니다.[14] 일반적인 오해와 달리 얽힘은 통신 없음 정리에서 알 수 있듯이 빛보다 빠르게 신호를 보낼 수 없습니다.[14]

얽힘에 의해 열린 또 다른 가능성은 "숨겨진 변수"를 테스트하는 것인데, 이는 양자 이론 자체에서 다루는 양보다 더 근본적인 가상의 특성이며, 이에 대한 지식은 양자 이론이 제공할 수 있는 것보다 더 정확한 예측을 가능하게 합니다. 가장 중요한 것은 벨의 정리인 결과들의 모음은 그러한 숨겨진 변수 이론의 광범위한 종류가 사실 양자 물리학과 양립할 수 없다는 것을 보여주었습니다. 벨의 정리에 따르면, 자연이 실제로 어떤 지역 숨은 변수 이론에 따라 작동한다면 벨 테스트의 결과는 특정하고 정량화 가능한 방식으로 제한됩니다. 많은 Bell 테스트가 수행되었으며 로컬 숨겨진 변수에 의해 부과된 제약 조건과 호환되지 않는 결과를 보여주었습니다.[15][16]

실제 관련된 수학을 소개하지 않고는 이러한 개념을 피상적인 방법 이상으로 제시할 수 없습니다. 양자역학을 이해하기 위해서는 복소수를 조작하는 것뿐만 아니라 선형대수, 미분방정식, 군론 등 더 발전된 과목들이 필요합니다.[17][18] 따라서 이 글은 양자역학의 수학적 공식을 제시하고 유용하고 자주 연구되는 몇 가지 예에 대한 적용을 조사할 것입니다.

수학 공식화

수학적으로 엄밀한 양자역학 공식에서 양자역학계의 상태는 (분리 가능한) 복소 공간 H H}}에 속하는 벡터ψpsi}입니다. 이 벡터는 힐베르트 공간 내적 아래에서 정규화된다고 가정됩니다. 즉, ⟨ ψ ψ ⟩ = 1 {\langpsi \rangle = 1}을(를) 따르며, 복소수 모듈러스 1(글로벌)까지 잘 정의됩니다. ψ {\ \psi } 및 α ψ {\displaystyle e^{i\alpha }\psi }는 동일한 물리적 시스템을 나타냅니다. 즉, 가능한 상태들은 일반적으로 복소 사영 공간이라고 불리는 힐베르트 공간의 사영 공간에 있는 점들입니다. 이 힐베르트 공간의 정확한 성질은 시스템에 따라 달라집니다. 예를 들어, 위치와 운동량을 설명하기 위해 힐베르트 공간은 복소 제곱 적분 함수 ( L의 공간입니다 단일 양성자의 스핀에 대한 힐베르트 공간은 단순히 일반적인 내부 곱을 갖는 2차원 복소 벡터 의 공간입니다.

위치, 운동량, 에너지, 스핀과 같은 관심 있는 물리량은 관측 가능량으로 표현되며, 이는 힐베르트 공간에 작용하는 에르미트 선형 연산자입니다. 양자 상태는 관측 가능한 것의 고유 벡터가 될 수 있는데, 이 경우를 고유 상태라고 하며, 이와 관련된 고유 값은 해당 고유 상태에서 관측 가능한 것의 값에 해당합니다. 더 일반적으로 양자 상태는 고유 상태의 선형 조합으로 양자 중첩으로 알려져 있습니다. 관측치가 측정되면 결과는 Born 규칙에 의해 주어진 확률을 가진 고유값 중 하나가 됩니다. 가장 간단한 경우 고유값λ \lambda }은(는) 축퇴되지 않고 ⟨ λ →, ψ ⟩ 2 {\\langle {\{\lambda },\langle ^{2}}, 여기서 λ → {\{\ {\lambda }}은(는) 연관된 고유 벡터입니다. 일반적으로 고유값은 퇴화되고 확률은⟨ ψ λ ψ ⟩ {\,P_ }\psirangle }에 의해 주어집니다 여기서 P λ {\P_{\lambda }}는 관련 고유 공간에 프로젝터입니다. 연속형의 경우 이러한 공식은 대신 확률 밀도를 제공합니다.

측정 후 결과λ \lambda }을(를) 획득한 경우 양자 는 λ vec {\lambda }},되지 않은 λ ψ / ⟨ ψ, P λ ψ ⟩ textstyle P_{\lambda}\ psi {\big /}\!일반적인 경우 따라서 양자역학의 확률적 특성은 측정이라는 행위에서 비롯됩니다. 이것은 양자 시스템의 가장 이해하기 어려운 측면 중 하나입니다. 그것은 두 과학자가 사고 실험을 통해 이러한 근본적인 원리를 명확히 하려고 시도했던 유명한 보어-아인슈타인 논쟁의 중심 주제였습니다. 양자역학의 공식화 이후 수십 년 동안, 무엇이 "측정"을 구성하는지에 대한 질문이 광범위하게 연구되었습니다. 양자역학에 대한 새로운 해석은 "파동 함수 붕괴"의 개념을 없애는 공식화되었습니다(예를 들어, 다중 세계 해석 참조). 기본적인 아이디어는 양자계가 측정 장치와 상호 작용할 때 각각의 파동 함수가 얽혀서 원래의 양자계가 독립적인 존재로 존재하지 않게 된다는 것입니다. 자세한 내용은 양자역학의 측정에 관한 기사를 참조하십시오.[19]

양자 상태의 시간 진화는 슈뢰딩거 방정식으로 설명됩니다.

서 H 는 시스템의 총 에너지에 해당하는 관측 가능한 값인 해밀턴을 나타내며,hbar}는 감소된 플랑크 상수입니다. ii\hbar}는 양자계가 고전계에 의해 근사화될 수 있는 경우 해밀턴이 고전 해밀턴으로 축소되도록 도입되며, 특정 한계에서 이러한 근사화를 수행하는 능력을 대응 원리라고 합니다.

이 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.

연산자 = - i /U(t) = e^{-hbar }는 시간 evolution 연산자로 알려져 있으며, 단일이라는 중요한 속성을 가지고 있습니다. 이 시간 진화는 초기 양자 상태ψ(0) psi(0)}가 주어지면 ψ(t) \psi(t)}가 나중에 무엇이 될지 확실하게 예측한다는 점에서 결정론적입니다.

그림 1: 확실한 에너지 준위를 갖는 수소 원자 내 전자의 파동함수에 대응하는 확률밀도(이미지 상단에서 하단으로 증가: n = 1, 2, 3, ...)와 각운동량(왼쪽에서 오른쪽으로 교차하여 증가: s, p, d, ...) 면적이 더 조밀하면 위치 측정에서 확률 밀도가 더 높습니다. 이러한 파동 함수는 고전 물리학에서 클라드니의 음향 진동 모드 수치와 직접적으로 유사하며, 또한 진동 모드이며, 날카로운 에너지를 가지고 있으므로 확실한 주파수를 가지고 있습니다. 각운동량과 에너지는 양자화되고 표시된 것과 같은 이산 만 취합니다. (음향의 공진 주파수도 마찬가지입니다.)

일부 파동 함수는 해밀턴의 고유 상태와 같이 시간에 독립적인 확률 분포를 생성합니다.[7]: 133–137 고전 역학에서 동적으로 취급되는 많은 시스템은 이러한 "정적" 파동 함수로 설명됩니다. 예를 들어, 여기되지 않은 원자의 단일 전자는 원자핵 주위를 원형 궤도로 움직이는 입자로 고전적으로 묘사되는 반면, 양자역학에서는 원자핵을 둘러싼 정적인 파동함수로 묘사됩니다. 예를 들어, 여기되지 않은 수소 원자에 대한 전자파 함수는 s 오비탈로 알려진 구형 대칭 함수입니다(그림 1).

슈뢰딩거 방정식의 분석 솔루션은 양자 고조파 발진기, 상자 안의 입자, 이수소 양이온수소 원자를 포함한 비교적 간단한 모델 해밀턴에 대해 알려져 있습니다. 심지어 두 개의 전자만을 포함하는 헬륨 원자도 완전한 분석적 처리를 위한 모든 시도를 거부하고 닫힌 형태의 용액을 인정하지 않았습니다.[21][22][23]

그러나 대략적인 해결책을 찾기 위한 기술이 있습니다. 섭동 이론이라고 불리는 한 가지 방법은 간단한 양자 역학 모델에 대한 분석 결과를 사용하여 약한 위치 에너지를 추가함으로써 관련이 있지만 더 복잡한 모델에 대한 결과를 만듭니다.[7]: 793 또 다른 근사 방법은 양자역학이 고전적인 행동으로부터 작은 편차만 생성하는 시스템에 적용됩니다. 그런 다음 이러한 편차는 고전적인 움직임을 기반으로 계산할 수 있습니다.[7]: 849

불확정성원리

기본 양자 형식주의의 한 가지 결과는 불확정성 원리입니다. 가장 친숙한 형태로, 이것은 양자 입자의 어떤 준비도 위치 측정과 운동량 측정 모두에 대해 동시에 정확한 예측을 의미할 수 없다고 말합니다.[24][25] 위치와 운동량은 모두 관측 가능한 것으로, 이는 에르미트 연산자에 의해 표현된다는 것을 의미합니다. 위치 연산자 운동량 연산자 (는) 통근하지 않고 오히려 표준 정류 관계를 만족합니다.

양자 상태가 주어지면 Born 규칙을 사용하면 X P 에 대한 기대 값과그들의 거듭제곱에 대한 기대 값을 계산할 수 있습니다. 관측 가능한 것에 대한 불확실성을 표준 편차로 정의하면 다음과 같습니다.

모멘텀에 대해서도 마찬가지입니다.

불확정성 원칙은 다음과 같습니다.

두 표준 편차는 원칙적으로 임의로 작게 만들 수 있지만 동시에 둘 다 만들 수는 없습니다.[26] 이 부등식은 임의의 쌍의 자기 인접 연산자 A B 로 일반화됩니다 이 두 연산자의 정류자는

그리고 이는 표준 편차의 곱에 대한 하한을 제공합니다.

표준 정류 관계의 또 다른 결과는 위치와 운동량 연산자가 서로의 푸리에 변환이므로 운동량에 따른 물체에 대한 설명은 위치에 따른 설명의 푸리에 변환이라는 것입니다. 운동량 의존성이 위치 의존성의 푸리에 변환이라는 것은 푸리에 분석에서 미분은 이중 공간의 곱셈에 해당하기 때문에 운동량 연산자가 위치에 따른 도함수를 취하는 것과 동등하다는 것을 의미합니다(/ℏ {\i/\hbar} 인자까지). 이것이 위치 공간의 양자 방정식에서 운동량 ℏ ∂ ∂x {\ {\frac {\}{\x로 대체되는 이유입니다. 그리고 특히 위치 공간의 비상대론적 슈뢰딩거 방정식에서 운동량 제곱 항은 라플라시안 시간 -ℏ 2 ^{2}}로 대체됩니다.

복합 시스템 및 얽힘

서로 다른 두 양자계를 함께 고려할 때 결합된 계의 힐베르트 공간은 두 성분의 힐베르트 공간의 텐서 곱입니다. 예를 들어 AB가 각각 힐베르트 공간 인 두 양자계라고 가정해 보겠습니다. 복합 시스템의 힐베르트 공간은 다음과 같습니다.

첫 번째 시스템의 상태가 벡터ψ A _{A}이고 두 번째 의 상태가ψ B psi _{B}}인 경우 복합 시스템의 상태는

합동 힐베르트 공간 의 모든 상태는 아닙니다.는 이러한 형태로 작성할 수 있지만, 중첩 원리는 이러한 "분리 가능" 또는 "제품 상태"의 선형 조합도 유효하다는 것을 의미하기 때문입니다. For example, if and are both possible states for system , and likewise and are both possible states for system , then

분리할 수 없는 유효한 결합 상태입니다. 분리할 수 없는 상태를 얽힘 상태라고 합니다.[27][28]

복합 시스템의 상태가 얽힌 경우 구성 요소 시스템 A 또는 시스템 B 중 어느 하나를 상태 벡터로 설명하는 것은 불가능합니다. 대신 두 성분 시스템에서 측정을 수행하여 얻을 수 있는 통계량을 설명하는 감소 밀도 행렬을 정의할 수 있습니다. 그러나 이는 반드시 정보 손실을 야기합니다. 개별 시스템의 감소된 밀도 행렬을 아는 것만으로는 복합 시스템의 상태를 재구성하기에 충분하지 않습니다.[27][28] 밀도 행렬이 더 큰 시스템의 하위 시스템의 상태를 지정하는 것처럼, 유사하게 양의 연산자측정(POVM)은 더 큰 시스템에서 수행된 측정의 하위 시스템에 미치는 영향을 설명합니다. POVM은 양자 정보 이론에서 광범위하게 사용됩니다.[27][29]

위에서 설명한 바와 같이 얽힘은 장치가 측정되는 시스템과 얽히는 측정 프로세스 모델의 핵심 특징입니다. 그들이 거주하는 환경과 상호 작용하는 시스템은 일반적으로 양자 비일관성으로 알려진 현상인 그 환경과 얽히게 됩니다. 이것은 실제로 양자 효과가 미시적인 것보다 큰 시스템에서 관찰하기 어려운 이유를 설명할 수 있습니다.[30]

제형 간 동등성

양자역학에는 수학적으로 동등한 공식이 많이 있습니다. 가장 오래되고 흔한 것 중 하나는 폴 디랙이 제안한 "변환 이론"으로, 양자역학의 가장 초기의 두 공식인 행렬역학(베르너 하이젠베르크가 발명한)과 파동역학(에르빈 슈뢰딩거가 발명한)을 통합하고 일반화합니다.[31] 양자역학의 대안적인 공식은 파인만경로 적분 공식으로, 양자역학적 진폭은 초기 상태와 최종 상태 사이의 모든 가능한 고전적 경로와 비고전적 경로의 합으로 간주됩니다. 이것은 고전역학에서 작용원리의 양자역학적 대응물입니다.[32]

대칭 및 보존 법칙

H H는 t t}의 각값에 대해 단일 시간 evolution U = - / U(t) = e^{-hbar }를 정의하기 때문에 시간 진화의 생성자로 알려져 있습니다. H H 사이의 이 관계로부터 로 통근하는 관찰 한 A A 보존됩니다. 기대값은 시간이 지나도 변하지 않습니다.[7]: 471 이 문장은 수학적으로 모든 에르미트 연산자 A t 로 매개변수화된 유니터리 연산자군을 생성할 수 있는 것으로 일반화합니다 에 의해 생성된 진화 아래에서 A)로 통근하는 관찰 가능한 으)는 모두 보존됩니다. 또한 아래에서 진화에 의해 보존되는 경우 에 의해 생성된 진화에 의해 보존됩니다 이것은 고전 (라그랑지안) 역학에서 에미 노에더에 의해 증명된 결과의 양자 버전을 의미합니다. 해밀턴의 모든 미분 가능한 대칭에 대해 해당하는 보존 법칙이 존재합니다.

자유 입자

자유공간에서 1차원으로 이동하는 가우스파 패킷의 위치공간 확률밀도

위치 자유도를 갖는 양자계의 가장 간단한 예는 단일 공간 차원의 자유 입자입니다. 자유 입자는 외부의 영향을 받지 않는 입자이므로 해밀턴은 운동 에너지로만 구성됩니다.

슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같이 주어집니다.

= ℏk {\ k}인 운동량 연산자의 고유 상태인 한 모든 평면파 - ℏ 22) {\(kx-2mt)}의 중첩입니다. 중첩의 계수는 초기 양자ψ(x, 0) {\{\k, 0)} psi(x, 0)}의 푸리에 변환인 ψ ^( 0) {\displaystyle \psi(x, 0)}입니다.

이들은 정규화 가능한 양자 상태가 아니기 때문에 솔루션이 단일 운동량 고유 상태 또는 단일 위치 고유 상태가 될 수 없습니다.[note 1] 대신 가우시안 웨이브 패킷을 고려할 수 있습니다.

푸리에 변환이 있고, 따라서 운동량 분포가 있습니다.

우리는 style 작게 만들수록 위치의 퍼짐은 작아지지만 운동량의 퍼짐은 커지는 것을 볼 수 있습니다. 반대로 style 를 더 크게 만들어 운동량의 퍼짐은 더 작게 만들지만 위치의 퍼짐은 더 커집니다. 이것은 불확실성 원리를 보여줍니다.

가우시안 파동 패킷이 시간에 따라 진화하도록 내버려 둘 때, 우리는 그 중심이 일정한 속도로 공간을 이동한다는 것을 알 수 있습니다 (힘이 작용하지 않는 고전적인 입자처럼). 그러나 시간이 지남에 따라 웨이브 패킷도 퍼지게 되므로 위치가 점점 더 불확실해집니다. 그러나 모멘텀의 불확실성은 일정하게 유지됩니다.[33]

상자 안의 입자

1차원 퍼텐셜 에너지 박스(또는 무한 퍼텐셜 우물)

1차원 퍼텐셜 에너지 박스의 입자는 구속이 에너지 준위의 양자화로 이어지는 수학적으로 가장 간단한 예입니다. 상자는 특정 영역 의 모든 곳에서 0의 위치 에너지를 가지며, 따라서 그 영역 의 모든 곳에서 무한한 위치 에너지를 갖는 것으로 정의됩니다.[24]: 77–78 방향의 1차원 케이스에 대해서는 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 쓸 수 있습니다.

다음으로 정의된 미분 연산자를 사용합니다.

이전 방정식은 고전적인 운동 에너지 아날로그를 연상시킵니다.

이 경우 입자의 운동 에너지와 일치하는 E E}를 갖는 상태ψpsi}를 사용합니다.

상자 안의 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

또는 오일러의 공식으로부터,

상자의 무한 전위 벽은 = = = x=에서 D 값을 결정합니다. 여기서ψ psi }은(는) 0이어야 합니다. , = 0 x=에서

D = = = L x=에서

여기서 은(는)ψpsi}이(가) norm 1을 갖는다는 가정과 충돌하므로 0일 수 없습니다. ⁡(kL) = 0 \sin()=0이므로 {\kL}은 πdisplaystyle \pi}의 정수 합니다.

k에 대한 이 제약 조건은 에너지 레벨에 대한 제약 조건을 의미하며, 다음과 같습니다.

유한 퍼텐셜 우물은 무한 퍼텐셜 우물 문제를 유한한 깊이를 가진 퍼텐셜 우물로 일반화하는 것입니다. 유한 퍼텐셜 우물 문제는 우물의 벽에서 파동 함수가 0으로 고정되지 않기 때문에 무한 상자 내 입자 문제보다 수학적으로 더 복잡합니다. 대신 파동함수는 우물 밖의 영역에서 0이 아니기 때문에 더 복잡한 수학적 경계 조건을 만족해야 합니다. 또 다른 관련 문제는 플래시 메모리주사 터널링 현미경과 같은 현대 기술의 성능에 중요한 역할을 하는 양자 터널링 효과에 대한 모델을 제공하는 직사각형 전위 장벽의 문제입니다.

고조파 발진기

고전역학(A-B) 및 양자역학(C-H)에서 고조파 발진기(, 스프링에 부착된 공)의 일부 궤적. 양자역학에서 공의 위치는 파동(파동함수라고 함)으로 표현되며, 실수 부분은 파란색으로, 허수 부분은 빨간색으로 표시됩니다. 궤도의 일부(예를 들어 C, D, E, F)는 정상파(또는 "정지 상태")입니다. 각 정상파 주파수는 오실레이터의 가능한 에너지 레벨에 비례합니다. 이러한 "에너지 양자화"는 발진기가 어떤 에너지도 가질 수 있는 고전 물리학에서는 일어나지 않습니다.

고전적인 경우와 마찬가지로 양자 고조파 발진기의 퍼텐셜은 다음과[7]: 234 같이 주어집니다.

이 문제는 사소하지 않은 슈뢰딩거 방정식을 직접 풀거나 폴 디랙이 처음 제안한 보다 우아한 "사다리 방법"을 사용하여 처리할 수 있습니다. 고유 상태는 다음과 같습니다.

여기서 Hn 헤르마이트 다항식입니다.

그리고 그에 상응하는 에너지 레벨은

이것은 결합 상태에 대한 에너지의 이산화를 보여주는 또 다른 예입니다.

마하-젠더 간섭계

마하-젠더 간섭계 도식

마하-젠더 간섭계(MZI)는 미분 방정식이 아닌 차원 2의 선형 대수와의 중첩 및 간섭 개념을 보여줍니다. 이중 슬릿 실험을 단순화한 버전이라고 볼 수 있지만, 지연 선택 양자 지우개, 엘리츠르-베이드만 폭탄 테스터, 양자 얽힘 연구 등 그 자체로 흥미로운 부분입니다.[34][35]

우리는 간섭계를 통과하는 광자가 각 지점에서 두 경로의 중첩에 있을 수 있다는 것을 고려하여 모델링할 수 있습니다: 왼쪽에서 시작하여 양쪽 빔 스플리터를 직선으로 지나 상단에서 끝나는 "아래" 경로와 아래에서 시작하여 양쪽 빔 스플리터를 직선으로 통과하는 "위" 경로입니다. 그리고 오른쪽에서 끝납니다. 따라서 광자의 양자 상태는 벡터ψ ∈ {\psi \ {C} ^{2}} 이며, 이는 "" 경로 ψ l= ( \psi } = {\begin {pmatrix} 1\0\end {}} 및 " 경로 ψu = (01) {\displaystyle \psi \\{pmatrix , + β u {\alpha \ {l \ _{복소 α의 경우 β {\displaystyle \alpha}입니다. 1 {\displaystyle \le, \ 1에는 2 + 2 1 {\}+ \^{2} 1이 필요합니다.

두 빔 스플리터 행렬 B = ( i 1) B = {\begin1& {pmatrix 즉, 광자가 빔 스플리터를 만나면 의 확률 진폭으로 동일한 경로에 머물거나 i의 확률 진폭으로 다른 경로에 반사됩니다 상부 암의 위상 변환기는 행렬 =( e δ φ) {\P=&0&e \Phiend{pmatrix}}로 모델링됩니다. 즉, 광자가 "상부" 경로에 있으면 인 위상인δφ {\displaystyle \Delta \Phi}를 얻을 수 있습니다. 그리고 하위 경로에 있으면 변경되지 않습니다.

그러면 왼쪽에서 간섭계로 들어오는 광자가 빔스플리터 위상 P 그리고 다른 빔스플리터 에 작용하여 상태가 됩니다

그리고 오른쪽 또는 위쪽에서 감지될 확률은 각각 다음과 같습니다.

따라서 마하-젠더 간섭계를 사용하여 이러한 확률을 추정하여 위상 이동을 추정할 수 있습니다.

광자가 빔 스플리터 사이의 "하부" 또는 "상부" 경로에 확실히 있다면 어떤 일이 일어날지 고려하는 것은 흥미롭습니다. 이것은 경로들 중 하나를 차단함으로써 또는 제1 빔 스플리터를 제거함으로써(그리고 원하는 대로, 왼쪽 또는 아래에서 광자를 공급함으로써) 달성될 수 있습니다. 두 경우 모두 더 이상 경로 간에 간섭이 발생하지 않으며, 확률은 위상δ φ{\ . {\style \Delta \Phi}에 관계없이 = =에 의해 제공됩니다. 이를 통해 광자가 첫 번째 빔 스플리터 이후에 이런저런 경로를 취하는 것이 아니라 두 경로의 진정한 양자 중첩 상태에 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.[36]

적용들

양자역학은 고전적인 방법으로는 설명할 수 없는 소규모의 이산적인 양과 상호작용과 관련하여 우리 우주의 많은 특징들을 설명하는 데 엄청난 성공을 거두었습니다.[note 2] 양자역학은 종종 모든 형태의 물질(전자, 양성자, 중성자, 광자 등)을 구성하는 아원자 입자의 개별 행동을 밝힐 수 있는 유일한 이론입니다. 고체 물리학과 재료 과학은 양자 역학에 의존합니다.[37]

현대 기술은 여러 측면에서 양자 효과가 중요한 규모로 작동합니다. 양자 이론의 중요한 응용 분야로는 양자 화학, 양자 광학, 양자 컴퓨팅, 초전도 자석, 발광 다이오드, 광학 증폭기 및 레이저, 마이크로프로세서와 같은 트랜지스터반도체, 자기 공명 영상전자 현미경과 같은 의료 연구 영상이 있습니다.[38] 많은 생물학적 및 물리적 현상에 대한 설명은 화학적 결합, 특히 거대 분자 DNA의 본질에 뿌리를 두고 있습니다.

다른 과학 이론과의 관계

고전역학

양자역학의 규칙들은 계의 상태 공간이 힐베르트 공간이며 계의 관측 가능한 것들은 그 공간의 벡터에 작용하는 에르미트 연산자라고 주장하지만, 어떤 힐베르트 공간이나 어떤 연산자를 알려주지는 않습니다. 이것들은 물리적 예측을 하는 데 필요한 단계인 양자 시스템의 정량적 설명을 얻기 위해 적절하게 선택할 수 있습니다. 이러한 선택을 하기 위한 중요한 지침은 양자 역학의 예측이 큰 양자 수의 체제에서 고전 역학의 예측으로 감소한다는 휴리스틱인 대응 원리입니다.[39] 특정 시스템의 확립된 고전 모델에서 시작하여 대응 한계에서 고전 모델을 발생시킬 기본 양자 모델을 추측할 수도 있습니다. 이 접근법을 양자화라고 합니다.[40]: 299 [41]

양자역학이 원래 공식화되었을 때 대응 한계가 비상대론적 고전역학인 모델에 적용되었습니다. 예를 들어, 양자 고조파 발진기의 잘 알려진 모델은 발진기의 운동 에너지에 대해 명시적으로 비상대론적인 표현을 사용하므로 고전 고조파 발진기의 양자 버전입니다.[7]: 234

양자 수가 많지 않은 혼돈 시스템에서는 복잡성이 발생하며, 양자 혼돈은 이러한 시스템에서 고전 설명과 양자 설명 사이의 관계를 연구합니다.[40]: 353

양자 비간섭성은 양자 시스템이 일관성을 잃어 일반적으로 많은 양자 효과를 표시할 수 없게 되는 메커니즘입니다. 양자 중첩은 단순히 확률적 혼합물이 되고 양자 얽힘은 단순히 고전적 상관관계가 됩니다.[7]: 687–730 양자 일관성은 일반적으로 거시적 규모에서 명확하지 않지만 절대 영점에 가까운 온도에서는 양자 행동이 거시적으로 나타날 수 있습니다.[note 3]

고전 시스템의 많은 거시적 특성은 부분의 양자 거동의 직접적인 결과입니다. 예를 들어, 부피가 큰 물질의 안정성, 고체의 강성, 물질의 기계적, 열적, 화학적, 광학적, 자기적 특성은 모두 양자역학의 법칙에 따른 전하의 상호작용의 결과입니다.[42]

특수상대성과 전기역학

양자역학을 특수 상대성 이론과 결합하려는 초기의 시도는 슈뢰딩거 방정식을 클라인-고든 방정식이나 디랙 방정식과 같은 공변 방정식으로 대체하는 것을 포함했습니다. 이 이론들은 많은 실험 결과를 설명하는 데 성공했지만, 입자의 상대론적 생성과 소멸에 대한 소홀함에서 비롯된 특정한 불만족스러운 특성을 가지고 있었습니다. 완전한 상대론적 양자 이론은 (고정된 입자 집합이 아닌) 장에 양자화를 적용하는 양자장 이론의 발전을 필요로 했습니다. 최초의 완전한 양자장 이론인 양자전기역학전자기 상호작용에 대한 완전한 양자적 설명을 제공합니다. 양자전기역학은 일반 상대성 이론과 함께 지금까지 고안된 가장 정확한 물리 이론 중 하나입니다.[43][44]

양자장 이론의 전체 장치는 종종 전기 역학 시스템을 설명하는 데 불필요합니다. 양자역학이 시작된 이래로 사용되어 온 더 간단한 접근법은 전하를 띤 입자를 고전 전자기장에 의해 작용하는 양자역학적 물체로 취급하는 것입니다. 예를 들어 수소 원자의 기본 양자 모델은 고전적인 / π ϵ 0r) {\4\ \}r)} 쿨롱 전위를 사용하여 수소 원자의 전기장을 설명합니다. 마찬가지로 스턴-게를라흐 실험에서는 하전 입자를 양자계로 모델링하고 배경 자기장을 고전적으로 설명합니다.[40]: 26 전자기장의 양자 변동이 하전 입자에 의한 광자 방출과 같이 중요한 역할을 하는 경우 이 "반고전적" 접근법은 실패합니다.

강한 핵력약한 핵력에 대한 양자장 이론도 개발되었습니다. 강한 핵력의 양자장 이론을 양자 색역학이라고 하며, 쿼크글루온과 같은 핵하 입자의 상호작용을 설명합니다. 약한 핵력과 전자기력은 물리학자 압두스 살람, 셸던 글래쇼, 스티븐 와인버그에 의해 양자화된 형태로 단일 양자장 이론(일명 전자약 이론)으로 통일되었습니다.[45]

일반 상대성 이론과의 관계

양자 이론과 일반 상대성 이론의 예측은 엄격하고 반복되는 경험적 증거에 의해 뒷받침되었지만, 그들의 추상적 형식주의는 서로 모순되며 일관되고 응집력 있는 하나의 모델에 통합하기가 매우 어렵다는 것이 입증되었습니다. 중력은 입자 물리학의 많은 분야에서 무시할 수 있으므로 일반 상대성 이론과 양자 역학 간의 통합은 이러한 특정 응용 분야에서 시급한 문제가 아닙니다. 그러나 양자 중력에 대한 올바른 이론의 부재는 물리 우주론과 물리학자들이 우아한 "모든 것에 대한 이론"(TOE)을 찾는 데 중요한 문제입니다. 따라서 두 이론 사이의 불일치를 해결하는 것이 20세기와 21세기 물리학의 주요 목표였습니다. 이 TOE는 아원자 물리학의 모델뿐만 아니라 단일 힘 또는 현상에서 자연의 네 가지 기본 힘을 도출합니다.[46]

그러기 위한 한 가지 제안은 끈이론인데, 끈이론은 입자물리학의 점 같은 입자이라고 불리는 1차원 물체로 대체된다고 가정합니다. 끈 이론은 이 끈들이 공간을 통해 전파되고 서로 상호 작용하는 방법을 설명합니다. 끈의 크기보다 큰 거리 척도에서 끈은 일반 입자처럼 보이는데, 끈의 질량, 전하 및 기타 특성은 끈의 진동 상태에 따라 결정됩니다. 끈 이론에서 끈의 많은 진동 상태 중 하나는 중력을 전달하는 양자역학 입자인 중력자에 해당합니다.[47][48]

또 다른 인기 이론은 루프 양자 중력(LQG)으로 중력의 양자적 특성을 설명하며 따라서 양자 시공간 이론입니다. LQG는 표준 양자역학과 표준 일반 상대성 이론을 병합하여 적용하려는 시도입니다. 이 이론은 공간을 스핀 네트워크라고 불리는 유한한 고리로 "직조된" 극도로 미세한 직물이라고 설명합니다. 시간이 지남에 따라 스핀 네트워크가 진화하는 것을 스핀 폼(spin foam)이라고 합니다. 스핀 폼의 특징적인 길이 척도는 플랑크 길이로 약 1.616×10−35 m이며, 따라서 플랑크 길이보다 짧은 길이는 LQG에서 물리적으로 의미가 없습니다.[49]

철학적 함의

물리학에서 해결되지 않은 문제:

양자역학에 대한 선호되는 해석이 있습니까? "상태의 중첩"과 "파동함수 붕괴"와 같은 요소를 포함하는 현실에 대한 양자적 설명은 어떻게 우리가 인식하는 현실을 만들어 낼까요?

양자역학의 많은 반직관적인 측면과 결과는 그 시작부터 강력한 철학적 논쟁과 많은 해석을 불러일으켰습니다. 양자 역학의 확률론적 특성, 파동 함수 붕괴 및 관련 측정 문제의 어려움, 양자 비국소성에 대한 논쟁이 중심입니다. 아마도 이러한 문제에 대해 존재하는 유일한 합의는 합의가 없다는 것일 것입니다. 리차드 파인만은 "아무도 양자역학을 이해하지 못한다고 안전하게 말할 수 있다고 생각합니다."라고 말한 적이 있습니다.[50] 스티븐 와인버그(Steven Weinberg)에 따르면, "이제 양자역학에 대한 완전히 만족스러운 해석은 없습니다."[51]

닐스 보어, 베르너 하이젠베르크와 다른 물리학자들의 견해는 종종 "코펜하겐 해석"으로 함께 분류됩니다.[52][53] 이러한 견해에 따르면 양자역학의 확률적 특성은 결국 결정론적 이론으로 대체될 일시적인 특징이 아니라 "인과성"이라는 고전적 개념의 최종 포기입니다. 특히 보어는 다양한 실험 상황에서 얻은 증거의 보완적인 특성 때문에 양자역학적 형식주의의 잘 정의된 적용은 항상 실험 배열을 참조해야 한다고 강조했습니다. 보어,[54] 하이젠베르크,[55] 슈뢰딩거,[56] 파인만,[2] 자일링거[57] 등 양자물리학 분야 노벨상 수상자들은 물론 21세기 양자재단 연구자들도 코펜하겐형 해석을 채택했습니다.[58]

양자 이론의 창시자 중 한 명인 알버트 아인슈타인결정론국소성과 같은 소중한 형이상학적 원리를 존중하지 않는 것으로 보이는 것 때문에 어려움을 겪었습니다. 양자역학의 의미와 위상에 대한 아인슈타인의 보어와의 오랜 교류는 현재 보어-아인슈타인 논쟁으로 알려져 있습니다. 아인슈타인은 양자역학의 근본은 분명히 멀리서 행동하는 것을 금지하는 이론이어야 한다고 믿었습니다. 그는 양자역학이 불완전하며, 열역학이 유효한 것과 유사하지만 근본적이지 않은 이론이지만, 그 이면에 있는 근본적인 이론은 통계역학이라고 주장했습니다. 1935년 아인슈타인과 그의 공동 연구자인 보리스 포돌스키네이선 로젠은 국소성의 원리가 양자역학의 불완전성을 의미한다는 주장을 발표했는데, 이 주장나중에 아인슈타인-포돌스키-로젠 역설이라고 불립니다.[note 4] 1964년 존은 EPR의 국소성 원리가 결정론과 함께 실제로 양자역학과 양립할 수 없다는 것을 보여주었습니다: 그것들은 얽힌 입자에 의해 위반될 수 있는 거리 시스템에 의해 생성되는 상관 관계에 대한 제약을 암시했습니다.[63] 그 이후로 이러한 상관 관계를 얻기 위해 여러 실험을 수행했으며, 그 결과 실제로 벨 부등식을 위반하여 지역성과 결정론의 결합을 위조했습니다.[15][16]

보미안 역학은 양자 역학을 명시적으로 비국소적으로 만드는 대가로 양자 역학을 결정론적으로 만들기 위해 재구성하는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다. 파동 함수는 물리적 시스템뿐만 아니라 비국소 안내 방정식 하에서 결정론적으로 진화하는 실제 위치에도 기인합니다. 물리계의 진화는 항상 슈뢰딩거 방정식과 안내 방정식에 의해 주어집니다. 파동 함수의 붕괴는 절대 없습니다. 이렇게 하면 측정 문제가 해결됩니다.[64]

1956년에 공식화된 에버렛의 다세계 해석은 양자 이론이 설명하는 모든 가능성이 대부분 독립적인 평행 우주로 구성된 다중 우주에서 동시에 발생한다고 주장합니다.[65] 이는 파동 패킷 붕괴의 공리를 제거한 결과입니다. 측정된 시스템과 측정 장치의 모든 가능한 상태는 관찰자와 함께 실제 물리적 양자 중첩 상태로 존재합니다. 다중 우주는 결정론적이지만, 우리는 다중 우주를 전체적으로 관찰하지 않고 한 번에 하나의 평행한 우주만 관찰하기 때문에 확률에 의해 지배되는 비결정론적 행동을 인식합니다. 이것이 정확히 어떻게 작동해야 하는지는 많은 논쟁의 대상이 되어 왔습니다. 이를 이해하고 Born 규칙을 도출하기 위한 여러 시도가 있었지만,[66][67] 성공 여부에 대한 합의는 없었습니다.[68][69][70]

관계형 양자역학은 1990년대 후반 코펜하겐형 아이디어의 현대적 파생물로 등장했고,[71] QBism은 몇 년 후에 개발되었습니다.[72]

역사

막스 플랑크는 양자 이론의 아버지로 여겨집니다.

양자역학은 경우에 따라 이전에 관찰되었던 현상을 설명할 필요성에 의해 20세기 초에 개발되었습니다. 빛의 파동성에 대한 과학적 탐구는 로버트 훅, 크리스티안 하위헌스, 레온하르트 오일러와 같은 과학자들이 실험적 관찰을 바탕으로 빛의 파동 이론을 제안하면서 17세기와 18세기에 시작되었습니다.[73] 1803년 영국의 다수학 토마스 영은 그 유명한 이중 슬릿 실험을 묘사했습니다.[74] 실험은 빛의 파동 이론을 일반적으로 수용하는 데 큰 역할을 했습니다.

19세기 초, 존 돌턴아메데오 아보가드로화학 연구는 제임스 클러크 맥스웰, 루트비히 볼츠만 등이 기체의 운동 이론을 확립하기 위해 기초한 아이디어인 물질의 원자 이론에 무게를 실었습니다. 운동 이론의 성공은 물질이 원자로 구성되어 있다는 이론에 더 많은 신빙성을 주었지만, 그 이론은 양자역학의 발전으로만 해결될 수 있는 단점도 가지고 있었습니다.[75] 그리스 철학에서 원자에 대한 초기의 개념은 원자가 분할할 수 없는 단위라는 것이었지만, 19세기에는 아원자 구조에 대한 가설이 공식화되었습니다. 이와 관련하여 중요한 발견 중 하나는 마이클 패러데이가 1838년에 기체가 담긴 유리관 내부에서 전기 방전에 의한 빛을 저압으로 관측한 것입니다. 율리우스 플뤼커, 요한 빌헬름 히토르프, 외젠 골드스타인은 패러데이의 연구를 계속하고 개선하여 음극선을 발견했고, J. J. 톰슨은 전자라고 불릴 아원자 입자로 구성되어 있다는 것을 발견했습니다.[76][77]

흑체복사 문제는 1859년 구스타프 키르히호프에 의해 발견되었습니다. 1900년에 막스 플랑크는 에너지가 분리된 "양자"(또는 에너지 패킷)에 복사되고 흡수된다는 가설을 제안하여 흑체 복사의 관측 패턴과 정확하게 일치하는 계산을 산출했습니다.[78] 퀀텀(quantum)이라는 단어는 라틴어에서 유래한 것으로, "얼마나 대단한가" 또는 "얼마나 대단한가"[79]를 의미합니다. 플랑크에 따르면, 에너지의 양은 주파수(ν)에 비례하는 크기(E)의 "원소"로 나누어 생각할 수 있습니다.

\ ,

플랑크 상수가 있는 곳입니다. 플랑크는 이것이 방사선의 흡수와 방출 과정의 한 측면일 뿐 방사선의 물리적 실체가 아니라고 조심스럽게 주장했습니다.[80] 사실 그는 자신의 양자 가설을 큰 발견이라기보다는 정답을 맞추기 위한 수학적 속임수로 여겼습니다.[81] 그러나 1905년 알베르트 아인슈타인은 플랑크의 양자 가설을 현실적으로 해석하여 특정 물질에 빛이 비추면 물질에서 전자가 방출될 수 있는 광전 효과를 설명하는 데 사용했습니다. 닐스 보어는 방사선에 대한 플랑크의 아이디어를 수소의 스펙트럼선을 성공적으로 예측한 수소 원자의 모델로 발전시켰습니다.[82] 아인슈타인은 이 아이디어를 더 발전시켜 빛과 같은 전자기파도 주파수에 따라 이산적인 에너지 양을 가진 입자(나중에 광자라고 함)로 설명될 수 있음을 보여주었습니다.[83] 아인슈타인은 그의 논문 "방사선의 양자론"에서 원자에 의한 에너지의 흡수와 방출을 설명하기 위해 에너지와 물질의 상호작용을 확장했습니다. 당시 그의 일반 상대성 이론에 가려졌지만, 이 논문은 레이저의 기초가 [84]된 방사선의 자극 방출의 기초가 되는 메커니즘을 분명히 설명했습니다.[85]

1927년 브뤼셀에서 열린 솔베이 회의는 다섯 번째 세계 물리 회의였습니다.

이 단계는 오래된 양자 이론으로 알려져 있습니다. 결코 완전하거나 자기 일관성이 없는 오래된 양자 이론은 오히려 고전 역학에 대한 발견적 수정의 집합이었습니다.[86][87] 이 이론은 이제 현대 양자역학의 반고전적 근사치로 이해됩니다.[88][89] 이 시기의 주목할 만한 결과로는 위에서 언급한 플랑크, 아인슈타인, 보어의 연구 외에도 고체의 비열에 관한 아인슈타인과 피터 데비의 연구, 보어와 헨드리카 요한나리우웬의 고전물리학이 반자성을 설명할 수 없다는 증명, 그리고 아놀드 조머펠트가 특수 상대론적 효과를 포함하도록 보어 모델을 확장한 것입니다.[86][90]

1920년대 중반에 양자역학은 원자 물리학의 표준 공식이 되기 위해 개발되었습니다. 1923년 프랑스의 물리학자 루이브로이는 입자가 파동의 특성을 나타낼 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지라고 말하면서 물질파에 대한 자신의 이론을 제시했습니다. 드브로이의 접근법을 바탕으로 1925년 독일의 물리학자 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단[91][92] 행렬역학을, 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 파동역학을 발명하면서 현대 양자역학이 탄생했습니다. 보른은 1926년 7월 슈뢰딩거의 파동함수에 대한 확률론적 해석을 도입했습니다.[93] 그리하여 양자물리학의 전 분야가 등장하게 되었고, 1927년 제5차 솔베이 회의에서 더욱 폭넓은 수용을 이끌어냈습니다.[94]

1930년까지 양자역학은 데이비드 힐베르트, 폴 디랙, 존 폰 노이만[95] 의해 더욱 통일되고 공식화되었으며, 측정, 현실에 대한 우리 지식의 통계적 특성, '관찰자'에 대한 철학적 추측에 더욱 중점을 두었습니다. 그 이후로 양자 화학, 양자 전자, 양자 광학양자 정보 과학을 포함한 많은 분야에 스며들었습니다. 또한 현대 원소 주기율표의 여러 특징에 대한 유용한 틀을 제공하고, 화학 결합원자의 거동과 컴퓨터 반도체의 전자 흐름을 설명하므로 많은 현대 기술에서 중요한 역할을 합니다. 양자역학은 매우 작은 것의 세계를 설명하기 위해 만들어졌지만, 초전도체[96] 초유체와 같은 몇 가지 거시적인 현상을 설명하는 것도 필요합니다.[97]

참고 항목

설명주

  1. ^ 운동량 고유 상태는 제곱 적분이 불가능한 무한한 범위의 완벽한 단색파일 것입니다. 마찬가지로 위치 고유 상태는 디랙 델타 분포이며 제곱 적분이 불가능하고 기술적으로 함수가 전혀 아닙니다. 따라서 둘 다 입자의 힐베르트 공간에 속할 수 없습니다. 물리학자들은 때때로 그 공간 밖의 요소들로 구성된 힐베르트 공간에 대한 허구의 "베이스"를 소개합니다. 이것들은 계산 편의를 위해 발명되었으며 물리적 상태를 나타내지 않습니다.[24]: 100–105
  2. ^ 예를 들어, 고체 물리학의 후속 기술인 트랜지스터(vol III, pp. 14-11 ff), 집적 회로(vol II, pp. 8-6) 및 레이저(vol III, pp. 9-13)와 같은 양자 역학을 사용하는 일부 기술 응용에 대한 파인만 강의를 참조하십시오.
  3. ^ 거시적 양자 현상, 보스-아인슈타인 응축수, 양자 기계를 보다.
  4. ^ 공개된 EPR 주장의 형태는 포돌스키 때문이었고, 아인슈타인 자신도 이에 만족하지 않았습니다. 아인슈타인은 자신의 출판물과 서신에서 양자역학이 불완전한 이론이라고 주장하기 위해 다른 주장을 사용했습니다.[59][60][61][62]

참고문헌

  1. ^ Born, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" [On the Quantum Mechanics of Collision Processes]. Zeitschrift für Physik. 37 (12): 863–867. Bibcode:1926ZPhy...37..863B. doi:10.1007/BF01397477. S2CID 119896026.
  2. ^ a b c d Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3. California Institute of Technology. ISBN 978-0-201-50064-6. Retrieved 19 December 2020.
  3. ^ Jaeger, Gregg (September 2014). "What in the (quantum) world is macroscopic?". American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
  4. ^ Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patrick Zwick; Filip Kiałka; Sebastian Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (September 2019). "Quantum superposition of molecules beyond 25 kDa". Nature Physics. 15 (12): 1242–1245. Bibcode:2019NatPh..15.1242F. doi:10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID 203638258.
  5. ^ Bojowald, Martin (2015). "Quantum cosmology: a review". Reports on Progress in Physics. 78 (2): 023901. arXiv:1501.04899. Bibcode:2015RPPh...78b3901B. doi:10.1088/0034-4885/78/2/023901. PMID 25582917. S2CID 18463042.
  6. ^ Fan, X.; Myers, T. G.; Sukra, B. A. D.; Gabrielse, G. (2023-02-13). "Measurement of the Electron Magnetic Moment". Physical Review Letters. 130 (7): 071801. arXiv:2209.13084. Bibcode:2023PhRvL.130g1801F. doi:10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID 36867820.
  7. ^ a b c d e f g h i j Zwiebach, Barton (2022). Mastering Quantum Mechanics: Essentials, Theory, and Applications. MIT Press. ISBN 978-0-262-04613-8.
  8. ^ a b c Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T. (2011). Quantum Physics for Poets. US: Prometheus Books. ISBN 978-1-61614-281-0.
  9. ^ Müller-Kirsten, H. J. W. (2006). Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. US: World Scientific. p. 14. ISBN 978-981-256-691-1.
  10. ^ Plotnitsky, Arkady (2012). Niels Bohr and Complementarity: An Introduction. US: Springer. pp. 75–76. ISBN 978-1-4614-4517-3.
  11. ^ Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.
  12. ^ Trixler, F. (2013). "Quantum tunnelling to the origin and evolution of life". Current Organic Chemistry. 17 (16): 1758–1770. doi:10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233. PMID 24039543.
  13. ^ Bub, Jeffrey (2019). "Quantum entanglement". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  14. ^ a b Caves, Carlton M. (2015). "Quantum Information Science: Emerging No More". In Kelley, Paul; Agrawal, Govind; Bass, Mike; Hecht, Jeff; Stroud, Carlos (eds.). OSA Century of Optics. The Optical Society. pp. 320–323. arXiv:1302.1864. Bibcode:2013arXiv1302.1864C. ISBN 978-1-943580-04-0.
  15. ^ a b Wiseman, Howard (October 2015). "Death by experiment for local realism". Nature. 526 (7575): 649–650. doi:10.1038/nature15631. ISSN 0028-0836. PMID 26503054.
  16. ^ a b Wolchover, Natalie (7 February 2017). "Experiment Reaffirms Quantum Weirdness". Quanta Magazine. Retrieved 8 February 2020.
  17. ^ Baez, John C. (20 March 2020). "How to Learn Math and Physics". University of California, Riverside. Retrieved 19 December 2020. there's no way to understand the interpretation of quantum mechanics without also being able to solve quantum mechanics problems – to understand the theory, you need to be able to use it (and vice versa)
  18. ^ Sagan, Carl (1996). The Demon-Haunted World: Science as a Candle in the Dark. Ballantine Books. p. 249. ISBN 0-345-40946-9. "For most physics students, (the "mathematical underpinning" of quantum mechanics) might occupy them from, say, third grade to early graduate school – roughly 15 years. [...] The job of the popularizer of science, trying to get across some idea of quantum mechanics to a general audience that has not gone through these initiation rites, is daunting. Indeed, there are no successful popularizations of quantum mechanics in my opinion – partly for this reason.
  19. ^ Greenstein, George; Zajonc, Arthur (2006). "8 Measurement". The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics (2nd ed.). Jones and Bartlett. p. 215. ISBN 978-0-7637-2470-2. Archived from the original on 2023-01-02.
  20. ^ Weinberg, Steven (2010). Dreams Of A Final Theory: The Search for The Fundamental Laws of Nature. Random House. p. 82. ISBN 978-1-4070-6396-6.
  21. ^ Zhang, Ruiqin; Deng, Conghao (1993-01-01). "Exact solutions of the Schrödinger equation for some quantum-mechanical many-body systems". Physical Review A. 47 (1): 71–77. Bibcode:1993PhRvA..47...71Z. doi:10.1103/PhysRevA.47.71. ISSN 1050-2947. PMID 9908895.
  22. ^ Li, Jing; Drummond, N. D.; Schuck, Peter; Olevano, Valerio (2019-04-01). "Comparing many-body approaches against the helium atom exact solution". SciPost Physics. 6 (4): 040. arXiv:1801.09977. Bibcode:2019ScPP....6...40L. doi:10.21468/SciPostPhys.6.4.040. ISSN 2542-4653.
  23. ^ Drake, Gordon W. F. (2023). "High Precision Calculations for Helium". In Drake, Gordon W. F. (ed.). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics. Springer Handbooks. Cham: Springer International Publishing. pp. 199–216. doi:10.1007/978-3-030-73893-8_12. ISBN 978-3-030-73892-1.
  24. ^ a b c d Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2005). Quantum Mechanics. Translated by Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, Dan. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-16433-X.
  25. ^ Landau, L.D.; Lifschitz, E.M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. OCLC 2284121.
  26. ^ 의 섹션 3.2. 이 사실은 예를 들어 양자 광학에서 실험적으로 잘 알려져 있습니다. 예를 들어 chap 2 및 그림 2.1을 참조하십시오.
  27. ^ a b c Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC 844974180.
  28. ^ a b Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
  29. ^ Wilde, Mark M. (2017). Quantum Information Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. arXiv:1106.1445. doi:10.1017/9781316809976.001. ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC 973404322. S2CID 2515538.
  30. ^ Schlosshauer, Maximilian (October 2019). "Quantum decoherence". Physics Reports. 831: 1–57. arXiv:1911.06282. Bibcode:2019PhR...831....1S. doi:10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID 208006050.
  31. ^ Rechenberg, Helmut (1987). "Erwin Schrödinger and the creation of wave mechanics" (PDF). Acta Physica Polonica B. 19 (8): 683–695. Retrieved 13 June 2016.
  32. ^ Feynman, Richard P.; Hibbs, Albert R. (2005). Steyer, Daniel F. (ed.). Quantum Mechanics and Path Integrals (Emended ed.). McGraw-Hill. pp. v–vii. ISBN 978-0-486-47722-0.
  33. ^ Mathews, Piravonu Mathews; Venkatesan, K. (1976). "The Schrödinger Equation and Stationary States". A Textbook of Quantum Mechanics. Tata McGraw-Hill. p. 36. ISBN 978-0-07-096510-2.
  34. ^ Paris, M. G. A. (1999). "Entanglement and visibility at the output of a Mach–Zehnder interferometer". Physical Review A. 59 (2): 1615–1621. arXiv:quant-ph/9811078. Bibcode:1999PhRvA..59.1615P. doi:10.1103/PhysRevA.59.1615. S2CID 13963928.
  35. ^ Haack, G. R.; Förster, H.; Büttiker, M. (2010). "Parity detection and entanglement with a Mach-Zehnder interferometer". Physical Review B. 82 (15): 155303. arXiv:1005.3976. Bibcode:2010PhRvB..82o5303H. doi:10.1103/PhysRevB.82.155303. S2CID 119261326.
  36. ^ Vedral, Vlatko (2006). Introduction to Quantum Information Science. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921570-6. OCLC 442351498.
  37. ^ Cohen, Marvin L. (2008). "Essay: Fifty Years of Condensed Matter Physics". Physical Review Letters. 101 (25): 250001. Bibcode:2008PhRvL.101y0001C. doi:10.1103/PhysRevLett.101.250001. PMID 19113681. Retrieved 31 March 2012.
  38. ^ Matson, John. "What Is Quantum Mechanics Good for?". Scientific American. Retrieved 18 May 2016.
  39. ^ Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2008). Modern Physics (5th ed.). W.H. Freeman and Company. pp. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.
  40. ^ a b c Peres, Asher (1993). Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer. ISBN 0-7923-2549-4.
  41. ^ Baez, John C. (2019-02-26). "The Math That Takes Newton Into the Quantum World". Nautilus Quarterly. Retrieved 2024-03-23.
  42. ^ "Atomic Properties". Academic.brooklyn.cuny.edu. Retrieved 18 August 2012.
  43. ^ Hawking, Stephen; Penrose, Roger (2010). The Nature of Space and Time. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3474-7.
  44. ^ Tatsumi Aoyama; Masashi Hayakawa; Toichiro Kinoshita; Makiko Nio (2012). "Tenth-Order QED Contribution to the Electron g-2 and an Improved Value of the Fine Structure Constant". Physical Review Letters. 109 (11): 111807. arXiv:1205.5368. Bibcode:2012PhRvL.109k1807A. doi:10.1103/PhysRevLett.109.111807. PMID 23005618. S2CID 14712017.
  45. ^ "The Nobel Prize in Physics 1979". Nobel Foundation. Retrieved 16 December 2020.
  46. ^ Overbye, Dennis (10 October 2022). "Black Holes May Hide a Mind-Bending Secret About Our Universe – Take gravity, add quantum mechanics, stir. What do you get? Just maybe, a holographic cosmos". The New York Times. Retrieved 10 October 2022.
  47. ^ Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John (2007). String theory and M-theory: A modern introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86069-7.
  48. ^ Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.
  49. ^ Rovelli, Carlo; Vidotto, Francesca (2014). Covariant Loop Quantum Gravity: An Elementary Introduction to Quantum Gravity and Spinfoam Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-14811-2.
  50. ^ Feynman, Richard (1967). The Character of Physical Law. MIT Press. p. 129. ISBN 0-262-56003-8.
  51. ^ Weinberg, Steven (2012). "Collapse of the state vector". Physical Review A. 85 (6): 062116. arXiv:1109.6462. Bibcode:2012PhRvA..85f2116W. doi:10.1103/PhysRevA.85.062116. S2CID 119273840.
  52. ^ Howard, Don (December 2004). "Who Invented the 'Copenhagen Interpretation'? A Study in Mythology". Philosophy of Science. 71 (5): 669–682. doi:10.1086/425941. ISSN 0031-8248. S2CID 9454552.
  53. ^ Camilleri, Kristian (May 2009). "Constructing the Myth of the Copenhagen Interpretation". Perspectives on Science. 17 (1): 26–57. doi:10.1162/posc.2009.17.1.26. ISSN 1063-6145. S2CID 57559199.
  54. ^ Bohr, N. (1928). "The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory". Nature. 121 (3050): 580–590. Bibcode:1928Natur.121..580B. doi:10.1038/121580a0.
  55. ^ Heisenberg, Werner (1971). Physics and philosophy: the revolution in modern science. World perspectives (3 ed.). London: Allen & Unwin. ISBN 978-0-04-530016-7. OCLC 743037461.
  56. ^ Schrödinger, Erwin (1980) [1935]. Trimmer, John (ed.). ""Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik."" [The Present Situation in Quantum Mechanics]. Naturwissenschaften. 23 (50): 844–849. doi:10.1007/BF01491987. JSTOR 986572. S2CID 22433857.
  57. ^ Ma, Xiao-song; Kofler, Johannes; Zeilinger, Anton (2016-03-03). "Delayed-choice gedanken experiments and their realizations". Reviews of Modern Physics. 88 (1): 015005. arXiv:1407.2930. Bibcode:2016RvMP...88a5005M. doi:10.1103/RevModPhys.88.015005. ISSN 0034-6861. S2CID 34901303.
  58. ^ Schlosshauer, Maximilian; Kofler, Johannes; Zeilinger, Anton (1 August 2013). "A snapshot of foundational attitudes toward quantum mechanics". Studies in History and Philosophy of Science Part B. 44 (3): 222–230. arXiv:1301.1069. Bibcode:2013SHPMP..44..222S. doi:10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID 55537196.
  59. ^ Harrigan, Nicholas; Spekkens, Robert W. (2010). "Einstein, incompleteness, and the epistemic view of quantum states". Foundations of Physics. 40 (2): 125. arXiv:0706.2661. Bibcode:2010FoPh...40..125H. doi:10.1007/s10701-009-9347-0. S2CID 32755624.
  60. ^ Howard, D. (1985). "Einstein on locality and separability". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 16 (3): 171–201. Bibcode:1985SHPSA..16..171H. doi:10.1016/0039-3681(85)90001-9.
  61. ^ Sauer, Tilman (1 December 2007). "An Einstein manuscript on the EPR paradox for spin observables". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 38 (4): 879–887. Bibcode:2007SHPMP..38..879S. CiteSeerX 10.1.1.571.6089. doi:10.1016/j.shpsb.2007.03.002. ISSN 1355-2198.
  62. ^ Einstein, Albert (1949). "Autobiographical Notes". In Schilpp, Paul Arthur (ed.). Albert Einstein: Philosopher-Scientist. Open Court Publishing Company.
  63. ^ Bell, J. S. (1 November 1964). "On the Einstein Podolsky Rosen paradox". Physics Physique Fizika. 1 (3): 195–200. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.
  64. ^ Goldstein, Sheldon (2017). "Bohmian Mechanics". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  65. ^ Barrett, Jeffrey (2018). "Everett's Relative-State Formulation of Quantum Mechanics". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  66. ^ Everett, Hugh; Wheeler, J. A.; DeWitt, B. S.; Cooper, L. N.; Van Vechten, D.; Graham, N. (1973). DeWitt, Bryce; Graham, R. Neill (eds.). The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton Series in Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. v. ISBN 0-691-08131-X.
  67. ^ Wallace, David (2003). "Everettian Rationality: defending Deutsch's approach to probability in the Everett interpretation". Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 34 (3): 415–438. arXiv:quant-ph/0303050. Bibcode:2003SHPMP..34..415W. doi:10.1016/S1355-2198(03)00036-4. S2CID 1921913.
  68. ^ Ballentine, L. E. (1973). "Can the statistical postulate of quantum theory be derived? – A critique of the many-universes interpretation". Foundations of Physics. 3 (2): 229–240. Bibcode:1973FoPh....3..229B. doi:10.1007/BF00708440. S2CID 121747282.
  69. ^ Landsman, N. P. (2008). "The Born rule and its interpretation" (PDF). In Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (eds.). Compendium of Quantum Physics. Springer. ISBN 978-3-540-70622-9. The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle.
  70. ^ Kent, Adrian (2010). "One world versus many: The inadequacy of Everettian accounts of evolution, probability, and scientific confirmation". In S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (eds.). Many Worlds? Everett, Quantum Theory and Reality. Oxford University Press. arXiv:0905.0624. Bibcode:2009arXiv0905.0624K.
  71. ^ Van Fraassen, Bas C. (April 2010). "Rovelli's World". Foundations of Physics. 40 (4): 390–417. Bibcode:2010FoPh...40..390V. doi:10.1007/s10701-009-9326-5. ISSN 0015-9018. S2CID 17217776.
  72. ^ Healey, Richard (2016). "Quantum-Bayesian and Pragmatist Views of Quantum Theory". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  73. ^ Born, Max; Wolf, Emil (1999). Principles of Optics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64222-1. OCLC 1151058062.
  74. ^ Scheider, Walter (April 1986). "Bringing one of the great moments of science to the classroom". The Physics Teacher. 24 (4): 217–219. Bibcode:1986PhTea..24..217S. doi:10.1119/1.2341987. ISSN 0031-921X.
  75. ^ Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 1. California Institute of Technology. ISBN 978-0-201-50064-6. Retrieved 30 September 2021.
  76. ^ Martin, Andre (1986), "Cathode Ray Tubes for Industrial and Military Applications", in Hawkes, Peter (ed.), Advances in Electronics and Electron Physics, Volume 67, Academic Press, p. 183, ISBN 978-0-08-057733-3, Evidence for the existence of "cathode-rays" was first found by Plücker and Hittorf ...
  77. ^ Dahl, Per F. (1997). Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson's Electron. CRC Press. pp. 47–57. ISBN 978-0-7503-0453-5.
  78. ^ Mehra, J.; Rechenberg, H. (1982). The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 1: The Quantum Theory of Planck, Einstein, Bohr and Sommerfeld. Its Foundation and the Rise of Its Difficulties (1900–1925). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90642-3.
  79. ^ "Quantum – Definition and More". Merriam-Webster Dictionary. Archived from the original on Oct 26, 2012. Retrieved 18 August 2012.
  80. ^ Kuhn, T. S. (1978). Black-body theory and the quantum discontinuity 1894–1912. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-502383-1.
  81. ^ Kragh, Helge (1 December 2000). "Max Planck: the reluctant revolutionary". Physics World. Retrieved 12 December 2020.
  82. ^ Stachel, John (2009). "Bohr and the Photon". Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle. The Western Ontario Series in Philosophy of Science. Vol. 73. Dordrecht: Springer. pp. 69–83. doi:10.1007/978-1-4020-9107-0_5. ISBN 978-1-4020-9106-3.
  83. ^ Einstein, A. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" [On a heuristic point of view concerning the production and transformation of light]. Annalen der Physik. 17 (6): 132–148. Bibcode:1905AnP...322..132E. doi:10.1002/andp.19053220607. See에서 재인쇄된 "아인슈타인의 양자 가설에 대한 초기 연구", ibid. 134-148쪽.
  84. ^ Einstein, Albert (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung" [On the Quantum Theory of Radiation]. Physikalische Zeitschrift (in German). 18: 121–128. Bibcode:1917PhyZ...18..121E. 번역본:
  85. ^ Ball, Philip (2017-08-31). "A century ago Einstein sparked the notion of the laser". Physics World. Retrieved 2024-03-23.
  86. ^ a b ter Haar, D. (1967). The Old Quantum Theory. Pergamon Press. pp. 3–75. ISBN 978-0-08-012101-7. LCCN 66-29628.
  87. ^ Bokulich, Alisa; Bokulich, Peter (2020-08-13). "Bohr's Correspondence Principle". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  88. ^ "Semi-classical approximation". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 1 February 2020.
  89. ^ Sakurai, J. J.; Napolitano, J. (2014). "Quantum Dynamics". Modern Quantum Mechanics. Pearson. ISBN 978-1-292-02410-3. OCLC 929609283.
  90. ^ Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press. pp. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.
  91. ^ 데이비드 에드워즈, "양자역학의 수학적 기초", 종합, 42권, 1호/1979년 9월, 1-70쪽.
  92. ^ 에드워즈, "양자장 이론의 수학적 기초: 페르미온, 게이지 필드 및 초대칭, Part I: 격자 필드 이론, International J. of Order. Phys., Vol. 20, No. 7 (1981).
  93. ^ Bernstein, Jeremy (November 2005). "Max Born and the quantum theory". American Journal of Physics. 73 (11): 999–1008. Bibcode:2005AmJPh..73..999B. doi:10.1119/1.2060717. ISSN 0002-9505.
  94. ^ Pais, Abraham (1997). A Tale of Two Continents: A Physicist's Life in a Turbulent World. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-01243-1.
  95. ^ Van Hove, Leon (1958). "Von Neumann's contributions to quantum mechanics" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 64 (3): Part 2:95–99. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10206-2. Archived (PDF) from the original on Jan 20, 2024.
  96. ^ Feynman, Richard. "The Feynman Lectures on Physics Vol. III Ch. 21: The Schrödinger Equation in a Classical Context: A Seminar on Superconductivity, 21-4". California Institute of Technology. Archived from the original on 15 Dec 2016. Retrieved 24 November 2015. ...it was long believed that the wave function of the Schrödinger equation would never have a macroscopic representation analogous to the macroscopic representation of the amplitude for photons. On the other hand, it is now realized that the phenomena of superconductivity presents us with just this situation.
  97. ^ Packard, Richard (2006). "Berkeley Experiments on Superfluid Macroscopic Quantum Effects" (PDF). Physics Department, University of California, Berkeley. Archived from the original (PDF) on 25 November 2015. Retrieved 24 November 2015.

추가읽기

다음 제목들은 모두 일하는 물리학자들에 의해 최소한의 기술적 장치를 사용하여 양자 이론을 일반인들에게 전달하려고 시도합니다.

더 기술적인 것:

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