표면적

솔리드 객체의 표면적은 객체의 표면이 차지하는 ^[1]총 면적의 척도입니다.곡면의 존재에서 표면적의 수학적 정의는 1차원 곡선의 호 길이 또는 다면체(즉, 평평한 다각형 면을 가진 물체)의 표면적의 정의보다 훨씬 더 많이 관여한다. 이 경우 표면적은 면적의 합이다.구와 같은 매끄러운 표면에는 파라메트릭 표면으로 표현하여 표면적이 지정됩니다.이 표면적의 정의는 미적분법에 기초하고 편도함수와 이중적분을 포함한다.

표면적의 일반적인 정의는 20세기 초에 헨리 르베그와 헤르만 민코프스키에 의해 추구되었다.그들의 작업은 기하학적 측도 이론의 발전으로 이어졌고, 기하학적 측도 이론은 모든 차원의 불규칙한 물체에 대한 표면적의 다양한 개념을 연구했다.중요한 예는 표면의 민코프스키 함량이다.

정의.

많은 단순한 표면의 영역은 고대부터 알려져 왔지만, 면적의 엄격한 수학적 정의는 많은 주의를 요한다.이것은 기능을 제공해야 한다.

${\displaystyle S\map to A(S)}$

몇 가지 자연 요구 사항을 충족하는 특정 등급의 표면에 양의 실수를 할당합니다.표면적의 가장 기본적인 특성은 가감성입니다. 전체 면적은 부품 면적의 합입니다.보다 엄밀하게 말하면, 표면 S가 경계 이외에는 겹치지 않는 완전히 많은 조각₁ S, …, S의_r 결합이라면,

$(\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

평평한 다각형 모양의 표면적은 기하학적으로 정의된 면적과 일치해야 합니다.표면적이 기하학적 개념이기 때문에, 합치하는 표면의 면적은 동일해야 하며 면적은 표면 모양에만 의존해야 하며 공간에서의 위치와 방향에 의존해서는 안 된다.이것은 표면적이 유클리드 운동 그룹에서 불변함을 의미합니다.이러한 특성은 조각별 평활이라고 하는 광범위한 기하학적 표면의 표면적을 고유하게 특징짓습니다.이러한 표면은 파라메트릭 형태로 표현될 수 있는 최종 다수의 조각으로 구성됩니다.

${\displaystyle S_{D}:\vec {r}=vec {r}}(u,v),\display(u,v)\in D}$

$연속{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 미분 가능한 함수 r ${\displaystyle \to }$. {{$displaystyle {r}}.$$$ 개별 조각의 면적은 다음 공식에 의해 정의됩니다.

$\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left {vec {r}_{u}\times \vec {r}_{v}\right \du,dv.}$

따라서 S의 면적은_D 파라메트릭 UV 평면에서 해당 영역 D의 표면에 대한 $정규{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 벡터 ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ×$$ $→$ v {style ${$v$}_{display${v$}\$times ${v$$}}$의 길이를 적산하여 구한다.그런 다음 표면적의 부가성을 사용하여 조각의 면적을 합산하여 전체 표면의 면적을 구합니다.주 공식은 다양한 종류의 표면에 특화할 수 있으며, 특히 그래프 z = f(x,y) 및 회전 표면에 대한 공식을 제공한다.

곡선의 호 길이와 비교하여 표면적의 미묘한 점 중 하나는 표면적을 단순히 주어진 매끄러운 표면에 근접하는 다면체 모양의 영역의 한계로 정의할 수 없다는 것이다.Herman Schwarz는 이미 실린더의 경우 근사 평면을 다르게 선택하면 면적의 제한 값이 달라질 수 있다는 것을 입증했습니다. 이 예를 Schwarz ^[2][3]랜턴이라고 합니다.

표면적의 일반적인 정의에 대한 다양한 접근법은 19세기 말과 20세기 초에 헨리 르베그와 헤르만 민코프스키에 의해 개발되었다.부분적인 매끄러운 표면의 경우 표면적에 대한 고유한 자연 개념이 있지만, 표면이 매우 불규칙하거나 거칠면 해당 표면에 영역을 할당하지 못할 수 있습니다.전형적인 예는 스파이크가 촘촘하게 퍼져 있는 표면입니다.이런 유형의 표면은 프랙탈 연구에서 많이 발생합니다.기하학적 측도 이론에서는 그 기능을 부분적으로 충족하고 매우 심하게 불규칙한 표면에서도 정의될 수 있는 영역의 개념의 확장이 연구된다.이러한 확장의 구체적인 예는 표면의 민코프스키 함량이다.

공통식

공통 고형물의 표면적

모양.	방정식	변수
큐브	${\displaystyle 6s^{2}}$	s = 측면 길이
입방체	${\displaystyle 2\left(lb+param+param\right)}$	= 길이, b = 폭, h = 높이
삼각 프리즘	${\displaystyle bh+l\left(p+q+r\오른쪽)}$	b = 삼각형의 기본 길이, h = 삼각형의 높이, l = 삼각형의 기본 사이의 거리, p, q, r = 삼각형의 변
모든 프리즘	${\displaystyle 2B+Ph}$	B = 하나의 베이스 면적, P = 하나의 베이스 둘레, h = 높이
구	$\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$	r = 구 반지름, d = 직경
반구	${\displaystyle 3\pi r^{2}}$	r = 반구 반지름
반구형 셸	$\displaystyle \pi \left(3R^{2}+r^{2}\오른쪽)}$	R = 반구의 외부 반지름. r = 반구 내부 반지름.
구면 루네	${\displaystyle 2r^{2}\theta}$	r = 구면 반지름, θ = 이면각
토러스	$\displaystyle \left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi^{2}Rr}$	r = 마이너 반지름(튜브의 중심), R = 메이저 반지름(튜브 중심에서 토러스 중심까지의 거리)
닫힌 실린더	$\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\오른쪽)}$	r = 원형 베이스의 반지름, h = 실린더의 높이
원뿔의 곡면적	${\displaystyle\pi rcsrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs}$	${\displaystyle s=syslogrt {r^{2}+h^{2}}}}}$ s = 원뿔의 경사 높이, r = 원형 베이스의 반지름, h = 원뿔 높이
원뿔의 전체 표면적	${\displaystyle \pi r\left(r+{\displayrt {r^{2}+h^{2}}\right)=\pi r\left(r+s\right)}$	s = 원뿔의 경사 높이, r = 원형 베이스의 반지름, h = 원뿔 높이
피라미드	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}$	B = 베이스 면적, P = 베이스 둘레, L = 경사 높이
정사각형 피라미드	${{displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2bcrt {leftfrac {b}{2}\right)^{2}+h^{2}}}}}$	b = 기본 길이, s = 경사 높이, h = 수직 높이
직사각형 피라미드	${{displaystyle lb+lcrt {leftfrac {b}{2}}\right}^{2}+h^{2}}}+b(왼쪽)\frac {l}{2}}\오른쪽)^{2}+h^{2}}}}$	= 길이, b = 폭, h = 높이
사면체	$(\displaystyle {3}} a^{2})$	a = 측면 길이
회전면	${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{f(x){\displayrt {1+(f')(x)}^{2}}}개}개}개}개$
파라메트릭 서페이스	$\displaystyle \iint _ {D} \ vert \ vec { r } _ { u } \ times \ vec { r } _ { v } \ right \ vert dA }$	${\displaystyle \stackrel{}{r}}$ $→$ {\$displaystyle {r}}$ =$$ 표면의 파라메트릭 벡터 방정식 ${\displaystyle {\stackrel{}{}r}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$u {\$displaystyle {r}_{u}$ =$$$$u에 $대한{\displaystyle }$ r $→$ {\$displaystyle {$$r}}$의 $부분{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 도함수 ${\displaystyle {\stackrel{}{r}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$ {\$displaystyle {r}_{v}}$ =$$ v$${\$displaystyle$ v$}$에 대한 r $→$ {\$displaystyle {r}}$의 편도함수 ${\displaystyle D}${\$displaystyle$ D$}$ =$$ 그림자 영역

반지름과 높이가 동일한 구와 원통 표면적의 비율

아래 공식을 사용하여 동일한 반지름과 높이의 구와 실린더의 표면적이 2:3의 비율임을 알 수 있다.

반지름은 r, 높이는 h(구면에서는 2r)라고 합니다.

이 비율의 발견은 아르키메데스 ^[4]덕분이다.

화학과

표면적은 화학역학에서 중요하다.물질의 표면적을 늘리면 일반적으로 화학 반응 속도가 증가한다.예를 들어, 고운 분말의 철은 연소하는 반면, 고체 블록에서는 구조물에 사용할 수 있을 정도로 안정적입니다.다른 용도에서는 최소 또는 최대 표면적이 바람직할 수 있습니다.

생물학에서

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유기체의 표면적은 체온 조절과 소화 조절과 같은 몇 가지 고려사항에서 중요하다.동물들은 이빨을 사용하여 음식을 더 작은 입자로 빻아서 소화에 사용할 수 있는 표면적을 늘린다.소화관을 덮고 있는 상피조직은 미세빌리를 포함하고 있어 흡수 가능한 면적을 크게 증가시킨다.코끼리는 큰 귀를 가지고 있어서 자신의 체온을 조절할 수 있습니다.다른 경우, 동물들은 표면적을 최소화해야 한다. 예를 들어, 사람들은 열 손실을 최소화하기 위해 추울 때 팔을 가슴 위로 접을 것이다.

셀의 표면적 대 체적비(SA:V)는 부피가 표면적보다 훨씬 더 빠르게 증가하기 때문에 크기에 대한 상한을 부과하며, 따라서 물질이 세포막을 통해 내부로부터 세포간 공간 또는 다른 세포로 확산되는 속도를 제한합니다.실제로 세포를 반지름 r의 이상적인 구면으로서 나타내면 부피와 표면적은 각각 V = (4/3)µr³, SA = 4µr이다².따라서 표면적 대 체적비는 3/r입니다.따라서 셀의 반경이 1μm이면 SA:V 비는 3이지만 셀의 반경이 10μm이면 SA:V 비는 0.3이 됩니다.셀 반지름이 100일 경우 SA:V 비율은 0.03입니다.따라서 부피가 커짐에 따라 표면적이 급격히 감소합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 둘레 길이
• 투영 면적
• BET 이론, 재료의 특정 표면적을 측정하는 기술
• 구면적
• 표면적분

레퍼런스

• Yu.D. Burago; V.A. Zalgaller; L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Area", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• Thinkwell의 지표면 비디오