산술 기하학

Arithmetic geometry
기하학
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The hyperelliptic curve defined by has only finitely many rational points (such as the points and ) by Faltings's theorem.

수학에서 산술 기하학은 대수 기하학에서 숫자 이론의 문제들에 이르기까지 대략적인 기법을 적용하는 것이다.[1] 산술 기하학은 대수적 변종들의 이성적인 점들에 대한 연구인 디오판틴 기하학을 중심으로 이루어진다.[2][3]

좀 더 추상적인 용어로 산술 기하학은 정수 링의 스펙트럼에 대한 유한형식의 체계 연구로 정의할 수 있다.[4]

개요

산술 기하학에 관심 있는 고전적인 대상들은 합리적인 점들이다: 숫자 필드, 유한 필드, p-adic 필드 또는 함수 필드, 즉 실수를 제외하고 대수적으로 닫히지 않는 필드 위에 다항 방정식의 시스템의 해법 집합이다. 합리적인 점은 산술적 복잡성을 측정하는 높이 함수로 직접 특성화할 수 있다.[5]

비알골적으로 폐쇄된 분야에 걸쳐 정의되는 대수적 변종들의 구조는 현대적인 대수적 기하학의 추상적 발달과 함께 생겨난 관심의 중심 영역이 되었다. 유한한 분야에 걸쳐서, étal cohomology는 대수적 변종과 관련된 위상학적 불변리를 제공한다.[6] p-adic Hodge 이론은 복잡한 숫자에 걸친 변종들의 공상학적 특성이 p-adic 분야를 넘는 변종들로 확장되는지를 검사할 수 있는 도구를 제공한다.[7]

역사

19세기: 초기 산술 기하학

19세기 초 칼 프리드리히 가우스는 합리적인 계수를 가진 동종 다항식 방정식에 대한 0이 아닌 정수 해법이 존재하는 것을 관측했다.[8]

1850년대에 레오폴트 크로네커는 크로네커-베버 정리를 공식화하고, 분열 이론을 도입했으며, 숫자 이론과 대수학 사이에 수많은 다른 연결고리를 만들었다. 그런 다음 그는 힐버트가 나중에 정수에 대한 다항식 고리의 인용구인 링만으로 숫자 이론을 작동시키겠다는 목표를 정리한 12번째 문제로서 수정한 형태로 내놓은 일반화인 "주겐트라움"[9]을 추측"을 했다.

20세기 초중반: 대수적 발달과 웨일 추측

1920년대 후반, 안드레 웨일은 모델-와일 정리에 이르는 박사학위 연구와 대수 기하학과 숫자 이론 사이의 깊은 연관성을 보여주었는데, 이것은 아벨리아 품종의 이성적 지점이 정밀하게 생성된 아벨리아 집단임을 증명한다.[10]

대수 기하학의 현대적 기초는 1930년대와 1940년대에 오스카 자리스키 등에 의한 가치평가 이론과 이상론 등 현대적 상호교역적 대수학을 바탕으로 발전되었다.[11]

1949년 안드레 웨일은 유한한 분야에 걸친 대수학 변종들의 국부적 제타 기능에 대한 획기적인 추측을 제기하였다.[12] 이러한 추측들은 대수 기하학과 숫자 이론 사이의 틀을 제시했는데, 이는 1950년대와 1960년대에 알렉산더 그로텐디크가 (장-피에르 세레와 함께) 쉬프 이론을 사용한 기초와 이후의 계략 이론을 다시 연구하도록 촉진했다.[13] 베르나르 드워크는 1960년에 네 가지 웨일 추측(로컬 제타 함수의 이성성) 중 하나를 증명했다.[14] 그로텐디크는 1965년까지 (미카엘 아르틴과 장 루이 베르디에와 함께) 두 개의 웨일 추측을 증명하기 위해 에탈 코호몰로지 이론을 개발했다.[6][15] 웨일 추측의 마지막(리만 가설의 아날로그)은 피에르 들랭에 의해 1974년에 마침내 증명될 것이다.[16]

20세기 중후반: 모듈화, p-adic 방법 등의 개발

1956년에서 1957년 사이 타니야마 유타카(田中山)와 시무라 고로(石村)가 타니야마-고로의 포즈를 취했다.타원형 곡선과 모듈형 형태에 관련된 시무라 추측(현재 모듈형 정리라고 알려져 있다)[17][18] 이 연결은 궁극적으로 1995년 앤드루 와일즈가 개발한 모듈러 리프팅의 대수 기하학적 기하학적 기법을 통해 숫자 이론에서 페르마의 마지막 정리를 증명하는 첫 번째 증거로 이어질 것이다.[19]

시무라 고로는 1960년대에 모듈러 곡선의 일반화로 시무라 품종을 도입하였다.[20] 1979년 이후 시무라 품종은 랑란즈 프로그램에서 추측을 시험하는 자연적인 예시 영역으로서 결정적인 역할을 해왔다.[21]

1977년과 1978년 논문에서 배리 마주르는 타원곡선의 가능한 비틀림 부분군의 전체 목록을 통해 비틀림 추측을 증명했다. 이 정리에 대한 Mazur의 첫 번째 증거는 특정 모듈형 곡선의 합리적 점의 완전한 분석에 의존했다.[22][23] 1996년, 토션 추측의 증거는 로크 메렐에 의해 모든 수 분야로 확대되었다.[24]

1983년 게르트 팔팅스는 1보다 큰 속들의 곡선이 미세하게 많은 합리적 점만을 가지고 있다는 것을 증명하면서 모르델 추측을 증명했다(Mordell-Weil 정리는 미세성과 반대로 합리적인 점 집합의 유한한 생성만을 보여준다).[25][26]

2001년, GL에n 대한 지역 랭글랜드 추측의 증거는 특정 시무라 품종의 기하학에 근거했다.[27]

2010년대에 피터 숄즈는 갈루아 표현과 체중-모노드로미 추측의 특정 사례에 적용하여 p-adic 분야를 넘어 산술 기하학에서 완벽한 공간과 새로운 코호몰로지 이론을 개발했다.[28][29]

참고 항목

참조

  1. ^ Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Retrieved 22 March 2019.
  2. ^ Klarreich, Erica (June 28, 2016). "Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry". Retrieved March 22, 2019.
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Retrieved March 22, 2019.
  4. ^ nLab의 산술 기하학
  5. ^ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. pp. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
  6. ^ Jump up to: a b Grothendieck, Alexander (1960). "The cohomology theory of abstract algebraic varieties". Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. pp. 103–118. MR 0130879.
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Résumé des cours, 1965–66". Annuaire du Collège de France. Paris: 49–58.
  8. ^ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. p. 1. ISBN 978-0125062503.
  9. ^ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. pp. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courre algébrikes, Acta Math 52, (1929) 페이지 281-315는 그가 수집한 ISBN 0-387-90330-5에 재인쇄되었다.
  11. ^ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David (eds.). Algebraic surfaces. Classics in mathematics (second supplemented ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915.
  12. ^ Weil, André (1949). "Numbers of solutions of equations in finite fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393. 안드레 웨일 ISBN 0-387-90330-5에 의한 오우브레스 사이언티크/수집논문 재인쇄
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherents". The Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915.
  14. ^ Dwork, Bernard (1960). "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631–648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494.
  15. ^ Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. "Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L". Séminaire Bourbaki. 9. Paris: Société Mathématique de France. pp. 41–55. MR 1608788.
  16. ^ Deligne, Pierre (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (1): 273–307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258.
  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). "Problem 12". Sugaku (in Japanese). 7: 269.
  18. ^ Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections". The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064.
  19. ^ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255.
  20. ^ Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
  21. ^ Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF). In Borel, Armand; Casselman, William (eds.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. pp. 205–246.
  22. ^ Mazur, Barry (1977). "Modular curves and the Eisenstein ideal". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287.
  23. ^ Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. "Rational isogenies of prime degree". Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129–162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230.
  24. ^ Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (in French). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424.
  25. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (in German). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
  26. ^ Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (in German). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
  27. ^ Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. 151. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802.
  28. ^ "Fields Medals 2018". International Mathematical Union. Retrieved 2 August 2018.
  29. ^ Scholze, Peter. "Perfectoid spaces: A survey" (PDF). University of Bonn. Retrieved 4 November 2018.