케플러 추측

Kepler conjecture

17세기 수학자 겸 천문학자인 요하네스 케플러의 이름을 딴 케플러 추측(Kepler assume)은 3차원 유클리드 공간에서 구체 패킹에 관한 수학적인 정리다. 동일한 크기의 구체 충진 공간의 배열은 입방형 클로즈패킹(얼굴 중심 입방형)과 육각형 클로즈패킹 배열보다 더 큰 평균 밀도를 가지지 않는다고 명시하고 있다. 이러한 배열의 밀도는 약 74.05%이다.

1998년, 토마스 헤일스는 페제스 토스(1953년)가 제안한 접근법에 따라 케플러 추측에 대한 증거를 가지고 있다고 발표했다. Hales의 증거는 복잡한 컴퓨터 계산을 사용하여 많은 개별적인 사례들을 점검하는 것을 포함한 피로에 의한 증거다. 심판들은 할리스의 증거의 정확성에 대해 "99% 확실하다"고 했고, 케플러 추측이 정리로서 받아들여졌다. 2014년 헤일스가 단장을 맡은 플라이스펙 프로젝트팀은 이사벨과 홀 라이트 인증 보조원을 결합해 케플러 추측에 대한 정식 증빙 완료를 발표했다. 2017년 수학 포럼 파이(Forum of Mathematics, Pi)라는 학술지에 정식 증명이 받아들여졌다.[1]

배경

입방형 클로즈 패킹(왼쪽) 및 육각형 클로즈 패킹(오른쪽) 다이어그램.

큰 용기에 같은 크기의 작은 구를 채운다고 상상해 보십시오. 같은 구슬을 가진 도자기 갤런 항아리를 말하라. 배열의 "밀도"는 모든 구슬의 총 부피를 항아리의 부피로 나눈 것과 같다. 항아리에 있는 구슬의 수를 최대화한다는 것은 항아리의 옆면과 바닥 사이에 쌓인 구슬의 배열을 만들어 가능한 한 밀도가 가장 높아서 구슬들이 서로 빽빽하게 채워지도록 하는 것을 의미한다.

실험 결과, 구슬을 단단하게 배열하려는 노력 없이 무작위로 떨어뜨리면 약 65%[2]의 밀도를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 그러나 다음과 같이 구슬을 조심스럽게 배열하면 더 높은 밀도를 얻을 수 있다.

  1. 대리석의 첫 번째 층은 육각 격자(벌집 패턴)로 배열한다.
  2. 패턴에 상관없이 위에 있는 가장 낮은 눕혀진 틈새와 첫 번째 층의 구슬 사이에 다음 층의 구슬을 놓으십시오.
  3. 구슬이 항아리의 상단 가장자리에 도달할 때까지 이전 층의 가장 낮은 간격을 세 번째 층과 나머지 층에 대해 채우는 동일한 절차를 계속한다.

각 단계마다 다음 층을 어떻게 배치할 것인가에 대해 최소한 두 가지 선택이 있기 때문에, 그렇지 않으면 구를 쌓는 이 계획되지 않은 방법은 셀 수 없이 무한히 많은 동일한 밀도의 패킹을 만들어낸다. 이 중 가장 잘 알려진 것이 큐빅 클로즈패킹과 육각형 클로즈패킹이다. 이 각각의 배열은 평균 밀도를 가지고 있다.

케플러 추측에 따르면 이것이 가능한 최선의 방법이라고 한다. 구슬의 다른 배열은 평균 밀도가 더 높은 것이 아니다. 1~3단계와 동일한 절차를 따를 수 있는 놀랄 만큼 많은 다양한 준비가 가능함에도 불구하고, 어떤 포장도 동일한 항아리에 더 많은 구슬을 장착할 수 없다.

오리진스

Strena Seu de Nive Sexangula의 도표 중 하나, 케플러 추측을 보여준다.

이 추측은 요하네스 케플러(1611)가 자신의 논문 '6각형 눈송이에 대하여'에서 처음 진술한 것이다. 그는 1606년 영국의 수학자 겸 천문학자 토마스 해리엇과 서신교환을 한 결과, 구체 배치를 연구하기 시작했다. 해리엇은 해리엇에게 쌓여있는 대포알을 셀 수 있는 공식을 찾아달라고 부탁했던 월터 롤리 경의 친구였고 조수였다; 이 과제는 결국 롤리의 수학자 지인으로 하여금 대포알을 쌓는 가장 좋은 방법이 무엇인지 궁금해하게 만들었다.[3] 해리엇은 1591년에 다양한 쌓기 패턴에 대한 연구를 발표했고, 초기 버전의 원자 이론을 발전시켰다.

19세기

케플러는 그 추측에 대한 증거를 가지고 있지 않았고, 다음 단계는 칼 프리드리히 가우스(1831)에 의해 취하게 되었는데, 그는 그 구들을 규칙적인 격자로 배열해야 한다면 케플러 추측이 사실임을 증명했다.

이것은 케플러 추측을 반증하는 어떤 포장 배열도 불규칙적인 것이어야 한다는 것을 의미했다. 그러나 가능한 모든 불규칙한 배치를 제거하는 것은 매우 어려운 일이며, 이것이 케플러의 추측을 증명하기 어렵게 만든 것이다. 사실, 충분히 작은 부피에 걸쳐 입방체 클로즈 패킹 배열보다 밀도가 높은 불규칙한 배열들이 있지만, 더 큰 부피를 채우기 위해 이러한 배열들을 확장하려는 어떤 시도도 이제는 항상 그들의 밀도를 감소시키는 것으로 알려져 있다.

가우스 이후, 19세기에 케플러 추측을 증명하는 데는 더 이상의 진전이 없었다. 1900년에 David Hilbert는 그것을 그의 수학 미해결 문제 23개의 목록에 포함시켰다. 그것은 Hilbert의 18번째 문제의 일부분이다.

20세기

해결책을 향한 다음 단계는 라슬로 페제스 토스에 의해 취해졌다. 페제스 토스(1953)는 모든 배열의 최대 밀도(정규와 불규칙)를 결정하는 문제가 유한(그러나 매우 큰) 계산 수로 줄어들 수 있다는 것을 보여주었다. 이것은 탈진에 의한 증거가 원칙적으로 가능하다는 것을 의미했다. Fejes Toth가 깨달은 것처럼, 충분히 빠른 컴퓨터는 이 이론적인 결과를 문제에 대한 실질적인 접근으로 바꿀 수 있다.

한편, 가능한 어떤 구들의 배열의 최대 밀도에 대한 상한선을 찾으려는 시도가 있었다. 영국의 수학자 클로드 암브로즈 로저스(1958년 참조)는 약 78%의 상한 값을 설정했고, 이후 다른 수학자들의 노력도 이 값을 약간 줄였지만, 이는 여전히 큐빅 클로즈 패킹 밀도 약 74%보다 훨씬 컸다.

1990년 우이샹은 케플러 추측을 입증했다고 주장했다. 이 증거는 브리태니커 백과사전(Britannica)과 사이언스(Science)에 의해 찬사를 받았고, AMS-MAA의 연석회의에서도 히샹(Hsiang)이 표창을 받았다.[4]우이샹(1993, 2001년)은 기하학적 방법을 사용하여 케플러 추측을 증명했다고 주장했다. 그러나 가보르 페제스 토스(Laszlo Fejes Toth의 아들)는 논문 리뷰에서 "세부적인 것에 관한 한 주요 진술 중 상당수는 납득할 만한 증거가 없다는 것이 내 의견"이라고 밝혔다. 할레스(1994)는 흐엉의 작품에 대해 세세하게 비판했고, 이에 흐엉(1995)이 응수했다. 현재의 합의는 흐샹의 증거가 불완전하다는 것이다.[5]

할리스의 증거

Fejes Toth(1953)에 의해 제안된 접근법에 따라, 당시 미시간 대학의 Thomas Hales는 150개의 변수를 가진 함수를 최소화함으로써 모든 배열의 최대 밀도를 찾을 수 있다고 결정했다. 1992년 대학원생인 새뮤얼 퍼거슨의 도움을 받아, 그는 5,000개 이상의 서로 다른 구들의 구성 각각에 대해 이 기능의 가치에 대한 하한을 찾기 위해 체계적으로 선형 프로그래밍 방법을 적용하는 연구 프로그램에 착수했다. 입방체 근접 패킹 배열의 함수 값보다 큰 이러한 모든 구성에 대해 하한(함수 값에 대한)이 발견될 수 있다면, 케플러 추측이 입증될 것이다. 모든 경우에 대한 하한을 찾기 위해 약 100,000개의 선형 프로그래밍 문제를 해결하는 것이 포함되었다.

1996년 자신의 프로젝트의 진행 상황을 발표하면서, 할레스는 종말이 눈앞에 보이지만, 완성하는 데 1, 2년이 걸릴지도 모른다고 말했다. 1998년 8월 Hales는 그 증거가 완성되었다고 발표했다. 그 단계에서는 250페이지의 노트와 3기가바이트의 컴퓨터 프로그램, 데이터, 결과 등으로 구성되었다.

증거의 특이한 성격에도 불구하고, 수학 연보 편집자들은 12명의 심판이 그것을 수락한다면, 그것을 출판하기로 동의했다. 2003년, 4년간의 작업 끝에, 심판단장인 가보르 페제스 토스는, 패널이 증거의 정확성에 대해 「99% 확실」하다고 보고했지만, 모든 컴퓨터 계산의 정확성을 증명할 수는 없었다.

헤일스(2005)는 100페이지 분량의 논문을 발표하면서 자신의 증빙자료 중 비컴퓨터 부분을 상세히 기술했다. Hales & Perguson(2006)과 몇몇 후속 논문들은 계산적인 부분을 설명했다. Hales와 Ferguson은 2009년 이산 수학 분야에서 뛰어난 논문으로 풀커슨 상을 받았다.

형식적인 증거

2003년 1월, 헤일즈는 케플러 추측에 대한 완전한 공식적인 증거를 생산하기 위한 협력 프로젝트의 시작을 발표했다. HOL Light, Isabelle과 같은 자동화된 증명 확인 소프트웨어로 검증할 수 있는 공식적인 증거를 만들어 입증의 타당성에 대해 남아 있는 불확실성을 제거하는 것이 목적이었다. 이 프로젝트는 F, P, K가 케플러의 공식 증빙을 위해 서 있는 Flyspeck라고 불린다. Hales는 완전한 공식적인 증거를 만드는 데 약 20년의 시간이 걸릴 것이라고 추정했다. Hales는 2012년에 공식적인 증빙을 위한 "블루프린트"를 처음 출판했다;[6] 이 프로젝트의 완성은 2014년 8월 10일에 발표되었다.[7] 2015년 1월 헤일스와 21명의 협력자는 '케플러 추측의 공식적인 증거'라는 제목의 논문을 arXiv에 제출해 추측을 입증했다고 주장했다.[8] 2017년 수학포럼 학술지에 정식 증빙서류가 채택됐다.[1]

관련 문제

투에의 정리
일반 육각형 패킹은 평면(1890)에서 가장 밀도가 높은 원 패킹이다. 밀도는 π⁄√12.
케플러 추측의 2차원 아날로그; 증거는 초보적이다. Henk와 Ziegler는 이 결과를 1773년 Lagrange에 귀속시켰다(참고문헌, 페이지 770 참조).
2010년 초와 정씨의 간단한 증거는 포화 서클 패킹에서 원의 중심인 점 집합에 딜라우나이 삼각측량을 사용한다.[9]
육각형 벌집추측
평면을 동일한 구역으로 분할하는 가장 효율적인 칸막이는 일반 육각형 타일링이다.[10]
Thue의 정리 관련.
도데카메랄 추측
같은 구를 포장에 넣은 구의 보로노이 다면체의 부피는 적어도 인라디우스 1을 가진 일반 도면체의 부피다. 맥러플린의 증명서, 1999년 모건 상을 받았다.[11]
케플러 추측에 대한 Hales의 증거와 유사한 기술을 사용하는 관련 문제. L에 의한 추측. 1950년대 Fejes Toth.
켈빈 문제
3차원에서 가장 효율적인 거품은 무엇인가? 이것은 켈빈 구조로 해결되는 것으로 추측되었고, 이것은 100년 이상 동안 널리 믿어져 왔으며, 1993년에 웨이어-의 발견으로 반증되었다.펠란 구조. 웨이어의 놀라운 발견켈빈 추측의 펠란 구조와 분산은 케플러 추측에 대한 할레스의 증거를 받아들이는데 있어서 주의를 기울이는 한 가지 이유다.
고차원의 구체 패킹
2016년 마리나 비아조프스카는 치수 8과 24의 최적 구면 포장 증거를 발표했다.[12] 그러나 1, 2, 3, 8, 24 이외의 치수의 최적 구면 포장 문제는 여전히 열려 있다.
울람의 포장 추측
구체보다 최적의 포장밀도가 낮은 볼록고체가 있는지 알 수 없다.

참조

  1. ^ a b Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29 May 2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". Forum of Mathematics, Pi. 5: e2. doi:10.1017/fmp.2017.1.
  2. ^ Li, Shuixiang; Zhao, Liang; Liu, Yuewu (April 2008). "Computer simulation of random sphere packing in an arbitrarily shaped container". Computers, Materials and Continua. 7: 109–118.
  3. ^ Leutwyler, Kristin (1998-09-14). "Stack 'em Tight". Scientific American. Retrieved 2021-11-15.
  4. ^ Hales, Thomas C. (June 1994). "The Status of the Kepler Conjecture". The Mathematical Intelligencer. 16 (3): 47–58. doi:10.1007/BF03024356. S2CID 123375854.
  5. ^ Singh, Simon (1997). Fermat's Last Theorem. New York: Walker. ISBN 978-0-80271-331-5.
  6. ^ Hales, Thomas C. (2012). Dense Sphere Packings: A Blueprint for Formal Proofs. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 400. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-61770-3.
  7. ^ "Project Flyspeck". Google Code.
  8. ^ Hales, Thomas; et al. (9 January 2015). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". arXiv:1501.02155 [math.MG].
  9. ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (22 September 2010). "A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing". arXiv:1009.4322 [math.MG].
  10. ^ Hales, Thomas C. (20 May 2002). "The Honeycomb Conjecture". arXiv:math/9906042.
  11. ^ [1][데드링크]
  12. ^ Klarreich, Erica (March 30, 2016), "Sphere Packing Solved in Higher Dimensions", Quanta Magazine

출판물

외부 링크