조화 평균

수학에서 조화 평균은 여러 종류의 평균 중 하나이며, 특히 피타고라스 평균 중 하나입니다.평균^[1] 환율을 원하는 상황에 적합할 수 있습니다.

고조파 평균은 주어진 관측치 집합의 역수 산술 평균의 역수로 표현될 수 있습니다.간단한 예로 1, 4, 4의 고조파 평균은 다음과 같습니다.

${{displaystyle \frac {1^{-1}+4^{-1}}={-1}={}{{\right}}={\frac {1}{1}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}}={1,5}}.}$

정의.

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양의 $실수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2,$…,$ n(\$displaystyle x_{1}, x_{2},\ldots,x_{n})$의 조화 평균 H는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle H=subfrac {n}{\frac {1}{x_{1}}+{\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}=subfrac {n}{\sum \sum _ {i=1}^{n}{\frac {x}}}}}={x}{x}}}}}{x}_i}}}}+{\cdocdocdocdotsubfrac {\frac {\cdotsubfrac {n}}}}}}}}}}}}$

위 방정식의 세 번째 공식은 조화 평균을 역수의 산술 평균의 역수로 나타냅니다.

다음 공식으로부터:

${\displaystyle H=param frac {n\cdot \param _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \param _{i=1}{x_{i}}{\param \param _{j=1}^{n_j}}}{\param frac {\param fright}.}$

고조파 평균이 산술적 및 기하학적 평균과 관련이 있다는 것은 더욱 명백하다.양의 입력에 대한 산술 평균의 역수 쌍수입니다.

${\displaystyle 1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})}$

고조파 평균은 슈어 오목함수이며, 그 인수의 최소값에 의해 지배된다.이는 임의의 양의 인수 집합에 ${\displaystyle 대해}$최소값(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$1 …${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ n )${\displaystyle (}$ ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ … x n )${\displaystyle min}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ( x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ …$x$n ) \ $display style \min$ ( x ${$1$}$ $\ldots x${ $n}$ \$leq$H ( $x${ { 1 } ) 。따라서 적어도 하나의 값을 변경하지 않은 상태에서 일부 값을 더 큰 값으로 변경함으로써 고조파 평균을 임의로 크게 만들 수 없습니다.

조화 평균은 또한 오목하며, 이는 Schur-corcavity보다 더 강한 특성입니다.그러나 음수 값을 사용하면 평균이 오목하지 않으므로 양수만 사용하도록 주의해야 합니다.

다른 수단과의 관계

조화 평균은 세 개의 피타고라스 평균 중 하나입니다.적어도 한 쌍의 동일하지 않은 값을 포함하는 모든 양의 데이터 집합에서 고조파 평균은 항상 세 가지 평균 ^[3]중 가장 작은 반면, 산술 평균은 항상 세 가지 중 가장 크고 기하 평균은 항상 사이에 있습니다.(빈 데이터 집합의 모든 값이 동일한 경우 세 가지 평균은 항상 서로 동일합니다. 예를 들어 {2, 2, 2)의 고조파, 기하학 및 산술 평균은 모두 2입니다.)

이는 검정력 평균의 특수한 경우₋₁ M입니다.

$\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\오른쪽)= M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=param frac {n}{x_{1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}}}.$

숫자 목록의 조화 평균은 목록의 최소 요소를 강하게 향하기 때문에 (산술 평균에 비해) 큰 특이치의 영향을 완화하고 작은 특이치의 영향을 악화시키는 경향이 있다.

산술 평균은 종종 조화 ^[4]평균을 요구하는 장소에서 잘못 사용됩니다.예를 들어, 아래의 속도 예제에서는 산술 평균 40이 부정확하고 너무 큽니다.

조화 평균은 아래 방정식에서 볼 수 있듯이 다른 피타고라스 평균과 관련이 있습니다.이는 분모를 n회 곱한 숫자의 산술 평균으로 해석하지만 매번 j번째 항을 생략함으로써 알 수 있습니다.즉, 첫 번째 항에서는 첫 번째 항을 제외한 모든 n개의 숫자를 곱하고, 두 번째 항에서는 두 번째 항을 제외한 모든 n개의 숫자를 곱하는 식입니다.산술 평균에 해당하는 n을 제외한 분자는 n의 거듭제곱에 대한 기하 평균입니다.따라서 n번째 고조파 평균은 n번째 기하학 및 산술 평균과 관련이 있습니다.일반적인 공식은

${\displaystyle H\left(x_{1},x_{n}\right)=\frac {left(G\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\frac^{n}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\오른쪽)}}= frac(G\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\right)^{n}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}^{n}x_i}}{\frac {1}{x_i}}{\frac {1}{x}}{\frac {n}{n}}{\frac {n}}{n}}{\frac {n}}}}}{\frac {n}}}}}}{\fr}}}}}}}{{n}}}}}}}}}}}}}}}}{\fr}$

동일하지 않은 숫자의 집합이 평균 보존 확산(즉, 집합의 두 개 이상의 요소가 산술 평균을 변경하지 않고 서로 "확산"되는 경우)되면 고조파 평균은 항상 ^[5]감소합니다.

두 개 또는 세 개의 수의 조화 평균

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두 개의 숫자

${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$(\$ $및$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2(\$displaystyle x_{2$ $두{\displaystyle {}_{}}$ 숫자만의 특수한 경우 고조파 평균을 쓸 수 있습니다.

$displaystyle$$$$}}\qquad$} ${\displaystyle \frac{\mathrm{또는<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; H=\{\backslash frac\; \{2x\_\{1\}x\_\{2\}\}\{x\_\{1\}+x\_\{2\}\}\}\backslash qquad\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/fab1e3ad7cee3b3e93e2d0562ca1132b1df341fb"\; style="vertical-align:\; -2.171ex;\; width:18.252ex;\; height:5.509ex;">}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1H}}{}=\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ /${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$x${\displaystyle \frac{}{}}$1) ${\displaystyle \frac{+}{}}$ ${\displaystyle \frac{(1{}_{}}{}}$ /${\displaystyle \frac{{}_{}{x\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$)$2$. { displaystyle \$qquad$ {1}$$${$$H}}=flac {(1/x_{1}+(1/x_{2})}{2}}$$입니다.$$}$

이 특별한 경우 고조파 평균은 산술 $평균{\displaystyle }$ A ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x\frac{{}_{}{1\mathrm{}}_{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$ {\$displaystyle$ A =$flac {x_{1}+x_{2$}와 관련이 있습니다.$}}{2}}$ 및 $기하평균{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}_{}{}_{}}\sqrt{{x\mathrm{}}_{}}}$2 , {\$displaystyle$ G=$sqrt$ {$x_{$1}$x_$${$2}},

${\displaystyle H=black {G^{2}}}{A}}=G\cdot\leftfrac{G}{A}}\right)}$

산술적 및 기하학적 평균의 부등식에 의해 ${\displaystyle \frac{\mathrm{GA}}{}1}$ 1$(style {tfrac {G}{A}}\leq$1)이므로, 이는 n = 2의 경우 H a G(실제로 모든 n에 적용되는 성질)를 나타낸다.또한 G ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{H}}${\$displaystyle$ G$=sqrt {AH$ 즉 두 숫자의 기하 평균이 산술 평균과 조화 평균의 기하 평균과 같다는 $것$을 의미한다.

숫자 3개

${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$(\$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2$(\$ $및$ x $(\$의 특수한 경우 고조파 평균을 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle H=black {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

3개의 양수 H, G, A는 각각 다음과 같은 부등식이 유지되는 경우에만^{[6]: p.74, #1834} 3개의 양수의 조화, 기하, 산술 평균이다.

${\displaystyle {A^{3}} {G^{3}} + {\frac {G^{3}} {H^{3}}+1\leq{frac{3}{4}}\left(1+{\frac{A}{H}}\right)^{2}$

가중 고조파 평균

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$무게{\displaystyle {}_{}}$ $({$ ...,$({displaystyle w_{$$n$})이 데이터 ${\displaystyle {세트x\mathrm{}}_{}}$1({$displaystyle x_{$1$\},$ ..., ${\displaystyle x_{}}$n({$displaystyle x_{n$에 관련되어 있는 경우 가중 고조파 평균은 다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle H=frac {i=1}^{n}w_{i}}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}=\left\frac {i=1}^{n}w_{i}}{{i}}}{{{i}}}}}{{\frac\frac\frac {{{{{{{i}_frac {i}}_{{{{{{{{{{{{{frac}}}}}}}}}}_frac}_}$

가중되지 않은 조화 평균은 모든 가중치가 동일한 특수한 경우로 간주할 수 있습니다.

예

물리학에서

평균 속도

비율과 비율이 관련된 많은 상황에서 고조파 평균이 올바른 평균을 제공합니다.예를 들어, 차량이 속도 x(예: 60km/h)에서 외부로 특정 거리 d를 이동하고 속도 y(예: 20km/h)에서 동일한 거리를 반환하는 경우, 평균 속도는 산술 평균(40km/h)이 아닌 x와 y의 조화 평균(30km/h)이다.총 이동 시간은 그 평균 속도로 전 거리를 이동한 것과 같습니다.이는 다음과 ^[8]같이 입증할 수 있습니다.

는 전 여행에 평균 속도.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac.각 세그먼트의 시간 Den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}Total 거리 traveled/Sum 2d/d/x+d/y)2/1/x+1/y게 국가 주의적 관점에서 서술.

그러나 차량이 속도 x에서 일정 시간 주행한 후 속도 y에서 동일한 시간 주행하는 경우 평균 속도는 x와 y의 산술 평균이며, 위의 예에서는 40km/h입니다.같은 원리가 2개 이상의 세그먼트에 적용됩니다.각 서브트립이 같은 거리를 커버하는 경우 평균 속도는 모든 서브트립 속도의 조화 평균입니다.각 서브트립이 같은 시간을 소비하는 경우 평균 속도는 모든 서브트립 속도의 산술 평균입니다(n인 경우).어느 쪽이든 가중 고조파 평균 또는 가중 산술 평균이 필요합니다.연산평균은 트립의 각 부분의 속도를 그 부분의 지속시간만큼 가중치 부여하고, 고조파평균은 대응하는 가중치가 거리이다.어느 경우든 계산식은 총 거리를 총 시간으로 나누도록 감소합니다.)

그러나 "거리에 의한 가중치"의 경우 고조파 평균을 사용하지 않을 수 있다."저속"(km당 시간 단위)이 속도의 역수인 주행의 "저속"을 찾는 것이 문제를 제기합니다.트립 슬로우가 발견되면 이를 반전시켜 "참" 평균 트립 속도를 구한다.각 트립 세그먼트 i에 대해 저속_i s = 1/속도입니다_i.그런 다음 각각의 거리로 가중된 s의_i 가중 산술 평균을 취한다(선택적으로 가중치를 트립 길이로 나누어 1로 합산하도록 정규화된 가중치로).이것에 의해, 진정한 평균의 저속(km당 시간 단위)을 얻을 수 있습니다.고조파 평균에 대한 지식이 없어도 수행할 수 있는 이 절차는 고조파 평균을 사용하여 이 문제를 해결할 때 사용하는 것과 동일한 수학적 연산에 해당한다는 것이 밝혀졌습니다.따라서 이 경우 고조파 평균이 작동하는 이유를 설명합니다.

밀도

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마찬가지로 구성 요소의 밀도 및 질량 백분율(또는 동등한 질량 백분율)이 주어진 합금의 밀도를 추정하고자 하는 경우, 합금의 예측 밀도(원자 패킹 효과로 인한 전형적으로 작은 부피 변화 제외)는 개별 밀도의 가중 고조파 평균이다.처음에 예상할 수 있는 가중 산술 평균이 아닌 질량에 의해 계산된다.가중 산술 평균을 사용하려면 밀도는 부피로 가중해야 합니다.질량 단위를 요소별로 레이블링하고 유사한 요소-매스만 취소되도록 하면서 문제에 치수 분석을 적용하면 이것이 명확해집니다.

전기

한쪽이 2개의 전기저항을 병렬로 접속하는 경우, 하나는 저항x(예를 들어 60Ω)이고 다른 한쪽은 저항y(예를 들어 40Ω)를 갖는 경우, 효과는 동일한 저항의 2개의 저항을 사용한 경우와 동일하며, 양쪽 모두 x 및 y(48Ω)의 고조파 평균과 동일하다. 어느 경우든 24Ω이다.a) 직렬 콘덴서 또는 병렬 인덕터에도 동일한 원리가 적용됩니다.

그러나 저항을 직렬로 연결하는 경우 평균 저항은 x와 y의 산술 평균입니다(총 저항은 x와 y의 합과 동일).이 원리는 병렬 캐패시터 또는 직렬 인덕터에 적용됩니다.

위의 예와 마찬가지로, 세 개 이상의 저항, 콘덴서 또는 인덕터가 연결되어 있는 경우에도 동일한 원리가 적용됩니다. 단, 모든 저항기가 병렬 또는 직렬로 연결되어 있는 경우입니다.

반도체의 "전도성 유효 질량"은 세 가지 결정학적 방향에 ^[9]따른 유효 질량의 조화 평균으로도 정의된다.

광학

다른 광학식에서는 ^[10]초점거리 f가 렌즈로부터의 피사체 u 및 피사체 v 거리의 고조파 평균의 1/f= 1/u+1/v가 되도록 박렌즈 방정식 1/f=1/u+1/v를 고쳐 쓸 수 있다.

재무 부문

가중 고조파 평균은 가격 수익비(P/E)와 같은 배수의 평균을 내는 데 선호되는 방법이다.가중 산술 평균을 사용하여 이러한 비율을 평균화할 경우, 높은 데이터 포인트에 낮은 데이터 포인트보다 더 큰 가중치가 부여됩니다.반면 가중 고조파 평균은 각 데이터 ^[11]점의 가중치를 올바르게 부여합니다.단순 가중 산술 평균은 P/E와 같은 비가격 정규화 비율에 적용될 때 위쪽으로 치우쳐 있으며, 이는 균등화된 수익에 기초하기 때문에 수치적으로 정당화될 수 없다. 이는 왕복 여정에 대해 차량 속도를 평균화할 수 없는 것과 같다(위 ^[12]참조).

예를 들어 시가총액 1500억 달러, 이익 50억 달러(P/E 30)와 시가총액 10억 달러, 이익 100만 달러(P/E 1000)의 두 회사를 생각해 보겠습니다.첫 번째 종목에 30%, 두 번째 종목에 70%가 투자된 두 종목으로 구성된 지수를 생각해 보십시오.우리는 이 지수의 P/E 비율을 계산하고 싶습니다.

가중 산술 평균 사용(잘못됨):

${\displaystyle P/E=0.3배 30+0.7배 1000=709}$

가중 고조파 평균 사용(정답):

${\displaystyle P/E=black {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}\약 93.46}$

따라서 이 지수의 93.46의 정확한 P/E는 가중 고조파 평균을 사용해야만 찾을 수 있으며 가중 산술 평균은 이를 상당히 과대평가한다.

기하학에서

어떤 삼각형이든, 첨탑의 반지름은 고도의 고조파 평균의 3분의 1이다.

B와 C로부터의 거리 q와 t, PA와 BC의 교집합이 P로부터의 거리 y인 등변삼각형 ABC의 원주호 BC상의 임의의 점 P에 대해 y는 q와 ^[13]t의 고조파 평균의 절반이라는 것을 알 수 있다.

다리 a와 b, 그리고 빗변에서 직각까지의 고도 h를 갖는 직각 삼각형에서 h²는 a²와 b²의 ^[14][15]고조파 평균의 절반이다.

t와 s(t > s)를 빗변 c를 갖는 직각삼각형의 두 내접 정사각형의 변이라고 하자.그러면 s²는 c²와 t²의 고조파 평균의 절반과 같습니다.

사다리꼴에 정점 A, B, C 및 D가 순차적으로 있고 평행 변 AB와 CD가 있다고 가정합니다.E를 대각선의 교집합으로 하고, F를 DA변, G를 BC변으로 하여 FEG가 AB 및 CD와 평행하도록 한다.FG는 AB와 DC의 조화 평균입니다(이것은 유사한 삼각형을 사용하여 증명할 수 있습니다).

이 사다리꼴 결과의 한 가지 적용은 교차 사다리 문제이며, 그림과 같이 두 개의 사다리가 골목을 가로질러 마주보고 있으며, 각각 한쪽 측면벽의 밑부분에 발이 있고, 하나는 높이 A에서 벽에 기대고 다른 하나는 높이 B에서 반대쪽 벽에 기대고 있다.사다리는 골목 바닥에서 h 높이로 교차한다.그러면 h는 A와 B의 조화 평균의 절반이다.이 결과는 벽이 기울어져 있지만 여전히 평행하고 "높이" A, B 및 h가 벽과 평행한 선을 따라 바닥에서 거리로 측정되는 경우에도 유지됩니다.이것은 사다리꼴의 면적 공식과 면적 덧셈 공식을 사용하여 쉽게 증명할 수 있다.

타원에서 반직장(초점에서 단축에 평행한 선을 따라 타원까지의 거리)은 초점으로부터의 타원의 최대 및 최소 거리의 조화 평균이다.

기타 과학 분야

컴퓨터 과학, 특히 정보 검색과 기계 학습에서 정밀도(예측된 양수당 참된 양수)와 호출(실제 양수당 참된 양수)의 조화 평균은 알고리즘과 시스템의 평가를 위한 종합 성능 점수로서 종종 사용됩니다. F-점수(또는 F-척도).일반적으로 음의 수가 많고 ^[16]알려지지 않은 반면 양의 클래스만 관련성이 있기 때문에 정보 검색에 사용됩니다.따라서 정확한 양의 예측이 예측 양의 수와 실제 양의 수와 관련하여 측정되어야 하는지에 대한 트레이드오프이므로, 두 가능한 분모의 산술 평균인 추정 양의 수와 비교하여 측정된다.

그 결과는 사람 또는 시스템이 함께 일하는 문제에서 기초 대수학에서 발생한다.예를 들어, 가스 펌프가 4시간 만에 풀장을 배수할 수 있고 배터리 펌프가 6시간 만에 동일한 풀장을 배수할 수 있는 경우, 두 펌프가 함께 배수하는 데는 2.4시간인 6/4/6 + 4 시간이 소요됩니다.이것은 6과 4의 고조파 평균의 절반이다: 2·6·4/6 + 4 = 4.8.즉, 두 유형의 펌프에 대한 적절한 평균은 고조파 평균이며, 한 쌍의 펌프(2개의 펌프)에서는 이 고조파 평균 시간의 절반이 걸리는 반면, 두 쌍의 펌프(4개의 펌프)에서는 이 고조파 평균 시간의 1/4이 소요됩니다.

수문학에서 고조파 평균은 층(예를 들어 지질학 또는 토양)에 수직인 흐름에 대한 유압 전도도 값의 평균을 내는 데 유사하게 사용됩니다. 층에 평행한 흐름은 산술 평균을 사용합니다.이러한 평균화의 명백한 차이는 수문학이 저항률의 역수인 전도율을 사용한다는 사실로 설명된다.

세이버메트릭스에서 선수의 전력-속도 수치는 홈런과 도루 합계의 조화 평균입니다.

모집단 유전학에서 조화 평균은 인구 조사 크기의 변동이 유효 모집단 크기에 미치는 영향을 계산할 때 사용됩니다.조화 평균은 모집단 병목 현상과 같은 사건이 유전적 표류 속도를 증가시키고 모집단의 유전적 변이의 양을 감소시킨다는 사실을 고려한다.이것은 병목현상을 따라오는 매우 적은 수의 개인이 유전자의 풀로 인해 앞으로 여러 세대에 걸쳐 인구에 존재하는 유전적 변이를 제한한다는 사실에 기인한 결과이다.

자동차의 연비를 고려할 때 일반적으로 갤런당 마일(mpg)과 100km당 리터라는 두 가지 측정값이 사용됩니다.이러한 양의 치수는 차량 범위의 연비 평균값을 구할 때 서로 역수이므로(한 척은 부피당 거리, 다른 척도는 거리당 거리), 즉, 100km당 리터 수로 표현되는 연비의 평균값을 갤로당 마일로 변환하는 다른 척도의 조화 평균을 생성합니다.n은 갤런당 마일 단위로 표시되는 연비의 조화 평균을 생성합니다.개별 연료 소비량에서 차량 비행대의 평균 연료 소비량을 계산할 때, 비행대가 갤런당 마일을 사용하는 경우 고조파 평균을 사용해야 하며, 비행대가 100km당 리터를 사용하는 경우 산술 평균을 사용해야 한다.미국에서는 CAFE 표준(연방 자동차 연료 소비 표준)이 고조파 평균을 사용한다.

화학과 핵물리학에서 서로 다른 종(분자 또는 동위원소)으로 구성된 혼합물의 입자당 평균 질량은 각각의 질량 분율에 의해 가중된 개별 종 질량의 조화 평균에 의해 주어진다.

베타 분포

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형상 모수α와 β를 가진 베타 분포의 조화 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle H=frac {\alpha +\alpha -1} {\text {}\alpha > 1,\,\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0}$

α < 1인 고조파 평균은 정의되지 않습니다. 왜냐하면 정의되는 식은 [0, 1]에서 경계가 없기 때문입니다.

α = β로 한다.

${\displaystyle H=black {2\alpha-1}}$

α = β의 경우 조화 평균의 범위는 α = β = 1의 경우 0부터 α = β → β의 경우 1/2까지이다.

다음은 한 파라미터가 유한(비제로)하고 다른 파라미터가 이들 제한에 근접한 한계값입니다.

${\displaystyle {\alpha \to 0}H&=text{미정의}}\lim _{\alpha \to 1)H&=\lim _{\lim \to 0}H&=\lim \lim \to \infty }H&{\lim \te}H&gth}{\lim \infty}H&gth}{\t}{\t}{\t}{\t}}}{\lim\aligned}{\lam}}{\langed}}{\t}$

기하 평균을 사용하면 고조파 평균이 4개의 모수 사례에서 최대우도 추정에 유용할 수 있습니다.

이 분포에는 두 번째 고조파 평균(H_{1 − X})도 있습니다.

${\displaystyle H_{1-X}=syslogfrac {\text {\text on }}\syslogs >1,\&,\alpha >0}$

β < 1인 이 고조파 평균은 정의되지 않는다. 왜냐하면 정의식은 [0, 1]에서 경계가 없기 때문이다.

위 식에서 α = β로 한다.

${\displaystyle H_{1-X}=\displayfrac {2\display-1}}$

α = β의 경우 조화 평균의 범위는 α = β = 1의 경우 0부터 α = β → β의 경우 1/2까지이다.

다음은 한 파라미터가 유한(비제로)하고 다른 파라미터가 이러한 한계에 접근하는 한계입니다.

${\displaystyle {\displaystyle \to 0}H_{1-X}&=lim_{\displaystext}\lim {\display\to 1)H_{1-X}&=\lim_{1-X}\lim_{1-}$

두 고조파 평균은 비대칭이지만 α = β일 때 두 평균은 같다.

대수 정규 분포

대수 정규 분포의^[17] 조화 평균( H )은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\flac^{2}\right),}$

여기서 μ는 산술 평균이고 μ는² 분포의 분산입니다.

고조파 평균과 산술 평균은 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle\frac{H}}=1+C_{v},}$

여기서_v C는 변동 계수입니다.

기하학적(G), 산술적 및 조화적 평균은 다음과 같이 관련된다^[18].

${\displaystyle H\mu = G^{2}}$

파레토 분포

유형 1 파레토 분포의^[19] 조화 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha}}}\오른쪽)}$

여기서 k는 스케일 파라미터,α는 형상 파라미터입니다.

통계 정보

랜덤 표본의 경우 고조파 평균은 위와 같이 계산됩니다.평균과 분산은 모두 무한할 수 있습니다(평균에 1/0 형식의 항이 하나 이상 포함된 경우).

평균 및 분산의 표본 분포

표본 m의 평균은 분산² s와 함께 점근 정규 분포를 따릅니다.

${\displaystyle s^{2}=flac {m\left[\operatorname {E} \leftflac {1}{x}-1\right]}{m^{2}n}}}$

평균 자체의^[20] 분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var} \left\frac {1} {x} \right} = snmfrac {m\left[\operatorname {E} \left\frac {1}-1\right] } {nm^{2}}}$

여기서 m은 왕복선의 산술 평균, x는 변동량, n은 모집단 크기, E는 기대 연산자입니다.

델타법

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분산이 무한하지 않고 중심 한계 정리가 표본에 적용된다고 가정하면, 분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(H)=sq {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

여기서 H는 조화 평균이고 m은 왕복의 산술 평균이다.

${{displaystyle m=margetfrac {1}{n}}\sum {frac {1}{x}}.}$

s는² 데이터의 역수 분산입니다.

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var}\leftflac {1}{x}\right}$

n은 표본의 데이터 포인트 수입니다.

잭나이프법

평균이 ^[21]알려진 경우 분산을 추정하는 잭나이프 방법이 가능합니다.이 방법은 'delete m' 버전이 아닌 일반적인 'delete 1'입니다.

이 방법에서는 먼저 표본의 평균(m)을 계산해야 합니다.

${\displaystyle m=subfrac {n}{\sum {frac {1}{x}}}}$

여기서 x는 샘플 값입니다.

그런 다음 일련의_i 값 w가 계산됩니다.

${\displaystyle w_{i}=sum frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

다음으로_i w의 평균(h)을 구합니다.

${\displaystyle h=subfrac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

평균의 분산은 다음과 같습니다.

$({displaystyle {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

그런 다음 t 검정을 사용하여 평균에 대한 유의성 검정 및 신뢰 구간을 추정할 수 있습니다.

크기 편중 표본 추출

랜덤 변수의 분포가 f(x)라고 가정합니다.또한 변수가 선택될 확률이 변수에 비례한다고 가정합니다.이를 길이 기반 또는 크기 바이어스 샘플링이라고 합니다.

μ를 모집단의 평균으로 하자.그러면 크기 바이어스 모집단의 확률 밀도 함수 f*(x )는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f^{*}(x)=syslogfrac {syslog(x)}{\mu }}$

이 길이 바이어스 분포^* E(x )의^[20] 기대치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {E}^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac ^{2}}{\mu ^{2}}\right]$

여기서 θ는² 분산입니다.

고조파 평균의 기대치는 길이가 아닌 바이어스 버전E(x )와 동일합니다.

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}$

길이 편중 표본 추출 문제는 섬유 제조^[22] 혈통^[23] 분석과 생존^[24] 분석 등 여러 분야에서 발생한다.

아크만 등표본에서 ^[25]길이 기반 편향을 검출하기 위한 테스트를 개발했다.

변수 이동

X가 양의 랜덤 변수이고 q >0일 경우 모든 > > 0에^[26] 대해

${\displaystyle \operatorname {Var} \left [ {\frac {1} {(X+\epsilon)^{q}}\right]<\operatorname {Var} \left ({\frac {1} {X^{q}}}\right)}$

순간

X와 E(X)가 0보다^[26] 클 경우

$\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1} {X} \right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}$

이것은 젠슨의 부등식에서 비롯된다.

Gurland는 임의의 n > 0에 대해 양의 값만 취하는 분포에 대해^[27]

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {frac {Frac {F} \left(X^{n}\right)}.}$

상황에^[28] 따라서는

${\displaystyle \operatorname {E}(a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

여기서 ~는 대략 다음과 같습니다.

샘플링 속성

변수(x)가 대수 정규 분포에서 추출된다고 가정하면 H에는 다음과 같은 몇 가지 추정 변수가 있을 수 있습니다.

$디스플레이 스타일H_{1}&=flac {n}{\sum \leftflac {1} {x}}\\\\H_{2}&=hcfrac {\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]{2}{\frac {1}{n}\sum (x)}\\\\sum fright}\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}}s^{2}\right)\end{aligned}}$

어디에

${\displaystyle m=sumfrac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}=sum frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

이₃ 중 H가 ^[29]25개 이상의 표본에 대한 최선의 추정치일 것입니다.

치우침 및 분산 추정기

H의^[30] 바이어스₁ 및 분산에 대한 1차 근사치는 다음과 같다.

$\ displaystyle \ operatorname { left }H_{1}\right]&=hcfrac {HC_{v}}{n}\\operatorname {Var}\left[H_{1}\right]&=snfrac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

여기서_v C는 변동 계수입니다.

마찬가지로, H의₃^[30] 치우침과 분산에 대한 1차 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle {begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}\left[1+C_{v}{2}}{2}}\right]\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\오른쪽)}{n}}\left [1+{\frac {1+C_{v}{2}}{4}\right]\end{aligned}}}$

수치 실험에서₃ H는 일반적으로 ^[30]H보다₁ 고조파 평균의 우수한 추정치입니다. H는₂ H와 거의₁ 유사한 추정치를 생성합니다.

메모들

환경보호청은 ^[31]물의 최대 독소 수치를 설정할 때 조화 평균을 사용할 것을 권장합니다.

지구물리학적 저수지 공학 연구에서 고조파 평균은 널리 사용된다.^[32]

「 」를 참조해 주세요.

• 콘트라하모닉 평균
• 일반화 평균
• 조화수
• 비율(수학)
• 가중평균
• 병렬 합계
• 기하 평균
• 가중 기하 평균
• HM-GM-AM-QM 부등식

레퍼런스

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Harmonic Mean". MathWorld.
• 평균, 산술 및 고조파 평균(컷 더 노트)