혁명의 표면

혁명의 표면은 회전의 축을 중심으로 곡선(제너트릭스)을 회전시켜 만들어진 유클리드 공간의 표면이다.^[1]

직선에 의해 발생하는 회전 표면의 예는 선이 축에 평행한지 여부에 따라 원통형 및 원뿔형 표면이다. 어떤 직경을 중심으로 회전하는 원은 그 구를 생성하며, 그 구를 그 다음이 큰 원이며, 원이 원의 내부를 교차하지 않는 축을 중심으로 회전하면 그 자체로 교차하지 않는 토러스(링토러스)를 생성한다.

특성.

평면이 축을 통과하는 혁명의 표면 부분을 경혈 단면이라고 한다. 임의의 경맥 부분은 그것과 축에 의해 결정되는 평면의 제너레이터로 간주할 수 있다.^[2]

축에 수직인 평면에 의해 만들어진 회전 표면의 단면은 원이다.

하이퍼볼로이드(한 장 또는 두 장의 시트 중 하나)와 타원형 파라볼로이드의 특수한 경우는 혁명의 표면이다. 이러한 표면은 축에 수직인 단면이 모두 원형인 2차 표면으로 식별할 수 있다.

면적식

곡선이 모수함수 x(t), y(t)로 설명되며, 일정 간격[a,b]에 걸쳐 trange가 되고, 회전축이 y축이라면, A_y 영역은 적분에 의해 주어진다.

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\dx \overdt}\오른쪽)^{2}+\{dy \overdt}\{dydy \d}^{2}}:\,t,}$

x(t)가 끝점 a와 b 사이에 음수가 되지 않는 경우. 이 공식은 파푸스의 중심 정리와 동등한 미적분학이다.^[3] 수량

${\displaystyle {\sqrt}\\좌측dx \overdt}\우측)^{2}+\좌측dy \overdt}\우측)^{2}}:$

피타고라스의 정리로부터 왔고, 호 길이 공식에서와 같이 곡선의 호들의 작은 부분을 나타낸다. 수량 2πx(t)는 파푸스의 정리에서 요구하는 대로 이 작은 부분의 (중심) 경로다.

마찬가지로 회전축이 x축이고 y(t)가 절대 음수가 되지 않는 경우 그 면적은 다음과 같이 주어진다^[4].

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\dx \over dt}\오른쪽)^{2}+\좌측({dy \over dt}\오른쪽)^{2}}\,dt.}$

연속 곡선이 함수 y = f(x), ≤ x ≤ b로 설명되면 적분은

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$

X축을 중심으로 한 회전 및

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt{1+\왼쪽({\frac {d}{dx}}\오른쪽)^{2}}\,dx}$

Y 축 주위의 회전(provided ≥ 0). 이것들은 위의 공식에서 나온 것이다.^[5]

예를 들어, 단위 반지름을 가진 구형 표면은 t가 [0,196]을 초과하는 경우, y(t) = sin(t), x(t) = cos(t) 곡선에 의해 생성된다. 따라서 그 면적은

${\displaystyle {\reasoned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$

반지름 r이 있는 구형 곡선의 경우, y(x) = √r² - x가² x 축을 중심으로 회전함

${\displaystyle {\reasoned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$

최소 회전 표면은 표면적을 최소화하는 두 점 사이의 곡선 회전 표면이다.^[6] 변동의 미적분학에서 기본적인 문제는 이 최소의 회전 표면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다.^[6]

혁명의 최소 표면은 평면과 카테노이드 두 개뿐이다.^[7]

좌표식

$x축$을 ${\displaystyle \mathrm{중심}}$으로 y$$${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle y=f(x)}$이(가) 설명한 곡선을 회전시켜 주어진 회전 표면은 원통형 좌표에 $r{\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$ $r$$=f(z)}$로 가장 간단하게 설명할 수 있다$.$ 데카르트 좌표에서, $이$는 parametrization을 z ${\\dision$으로 산출한다$.$$e \theta }$ as ${\displaystyle (f(z)\cos(\theta ),f(z)\sin(\theta ),z)}$. If instead we revolve the curve around the y-axis, then the curve is described in cylindrical coordinates by ${\displaystyle z=f(r)}$, yielding the expression ${\displaystyle (r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),f(}$${\displaystyle r}$${\displaystyle }$)${\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),$$f$$(r)}$ 매개 변수 $r{\displaystyle }$${\displaystyle \theta$

x와 y가 매개 $변수{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 관점에서 정의되면$,$ 우리는 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $t$$}$ 및 $\theta$ ${\displaystyle \theta$ $}$의 측면에서 파라메트리제이션(parametrization)을 얻는다$.$ $만약{\displaystyle }$ x가$$t$${\$displaystyt$}의$$함수라면$,$ 그 다음 the curve around the x-axis is described in cylindrical coordinates by the parametric equation ${\displaystyle (r,\theta ,z)=(y(t),\theta ,x(t))}$, and the surface of revolution obtained by revolving the curve around the y-axis is described by ${\displays$$tyle (r,\theta ,z)=(x(t),\theta ,y(t))}$. In Cartesian coordinates, these (respectively) become ${\displaystyle (y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t))}$ and ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),x(t)\sin(\theta ),y(t))}$. 그런 다음 표면적에 대한 위의 공식은 이러한 파라메트리제이션들을 사용하여 표면 위로 상수함수 1의 표면 적분을 취함으로써 나타난다.

지리학

경맥은 항상 혁명의 표면에서 지질학이다. 다른 지오디컬들은 클레라우트의 관계에 의해 지배된다.^[8]

토로이드

구멍이 뚫린 혁명의 표면을 혁명의 축이 표면과 교차하지 않는 것을 토로이드라고 한다.^[9] 예를 들어 직사각형이 가장자리 중 하나에 평행한 축을 중심으로 회전하면 중공 사각형 링이 생성된다. 만약 회전한 형상이 원이라면, 그 물체를 토러스라고 부른다.

적용들

혁명의 표면의 사용은 물리학과 공학에서 많은 분야에서 필수적이다. 특정 물체가 디지털로 설계되었을 때, 이와 같은 회전은 설계되는 물체의 길이와 반지름을 측정할 필요 없이 표면적을 결정하는 데 사용될 수 있다.

참고 항목

• 채널 표면, 회전 표면 일반화
• 가브리엘 혼
• 일반 헬리코이드
• 레몬(지오메트리), 원형 아크 회전 표면
• 리우빌 표면, 혁명 표면의 또 다른 일반화
• 솔리드 오브 레볼루션
• 스피로이드
• 표면 적분
• 변환 표면(차이 지오메트리)

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Surface of Revolution". MathWorld.
• "Surface de révolution". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French).