실제 분석

수학에서, 실해석학은 실수, 수열과 수열,^[1] 그리고 실함수의 행동을 연구하는 수학 분석의 한 분야이다.실제 분석을 연구하는 실제 값 시퀀스 및 함수의 특정 특성에는 수렴, 한계, 연속성, 평활성, 미분성 및 통합성이 포함된다.

실제 분석은 복소수 및 그 함수의 연구를 다루는 복잡한 분석과 구별된다.

범위

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실수의 구성

실해석학의 정리는 실수체계의 특성에 의존하며, 실수는 반드시 확립되어야 한다.실수계는 셀 수 없는 집합(${\displaystyle \mathbb{}}$\$displaystyle \mathbb {R}$$$)과 + 및 θ로 표시된 2개의 이진 연산 및 < 순서로 구성됩니다.연산에서는 실수가 순서와 함께 필드, 순서 필드가 됩니다.실수계는 다른 완전 순서 필드가 그것과 동형이라는 점에서 유일한 완전 순서 필드입니다.직관적으로 완전성은 실수에 '갭'이 없다는 것을 의미합니다.이 속성은 실수와 다른 순서 필드(예를 들어 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$Q\$displaystyle\mathbb$ {Q$\})$를 구별하며, 실수 함수의 몇 가지 핵심 속성을 증명하는 데 중요합니다.실수의 완전성은 종종 최소 상한 속성으로 쉽게 표현된다(아래 참조).

실수의 순서 속성

실수는 복소수에는 없는 다양한 격자 이론 특성을 가지고 있다.또한, 실수는 순서 필드를 형성하고, 양수의 합과 곱 또한 양수이다.게다가 실수의 순서는 합계이며, 실수의 상한 속성은 다음과 같습니다.

상한을 갖는 R$(\$의 모든 비지 않은 서브셋은 최소 상한을 가지며, 이는 또한 실수입니다.

이러한 순서 이론 특성은 실제 분석에서 단조 수렴 정리, 중간값 정리 및 평균값 정리 같은 많은 기본 결과를 초래합니다.

그러나 실제 분석 결과는 실수에 대해 기술되어 있지만, 이러한 결과의 대부분은 다른 수학적 개체로 일반화될 수 있다.특히, 함수 분석과 연산자 이론의 많은 아이디어는 실수의 속성을 일반화한다 – 그러한 일반화에는 Riesz 공간과 양의 연산자의 이론이 포함된다.또한 수학자들은 복잡한 시퀀스의 실제 및 가상 부분이나 연산자 ^{[clarification needed]}시퀀스의 점별 평가를 통해 고려합니다.

실수의 위상 특성

실수 분석의 많은 이론들은 실수 직선의 위상 특성의 결과이다.위에서 설명한 실수의 순서 속성은 이러한 토폴로지 속성과 밀접하게 관련되어 있습니다.위상적인 공간으로서, 실수를. 대신에, 또는 거리 함수 d을 정의함으로써:는 순서 위상 기하학 위해<>에 의해 야기되는 표준 위상 기하학;{\displaystyle<>}다 R×R→ R≥ 0{\displaystyle d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq 0}}을 사용하여 절대 값 함수입니다. ~하듯이 ${\displaystyle d}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$ -${\displaystyle }{\displaystyle y}$ { $displaystyle$ d$(x,y$)= $x-y$ $\},$ 실수는 미터법의 원형적 예가 됩니다.$메트릭$ d$\displaystyle$d에$$ 의해 유도되는 토폴로지는 명령어$<\displaystyle$에 의해 유도되는 표준 토폴로지와 동일한 것으로 나타났습니다.본질적으로 위상적인 중간값 정리 같은 정리는 종종 R$$\$displaystyle \mathbb {R}$이$($가) 아닌 미터법 또는 위상 공간의 보다 일반적인 설정에서 증명될 수 있다.종종 이러한 증명은 직접 방법을 적용하는 고전적인 증명에 비해 짧거나 단순한 경향이 있다.

시퀀스

시퀀스는 도메인이 카운트 가능한 완전 순서 집합인 함수입니다.도메인은 보통 ^[2]자연수로 간주되지만, 음의 지수를 포함한 모든 정수의 집합에 의해 지수화된 양방향 시퀀스를 고려하는 것이 때때로 편리하다.

실제 분석에서 관심 있는 실제 값 시퀀스는 여기서 자연수로 색인화된 맵${\displaystyle }$a : ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to R\mathbb{}}$ : $n$ a {\$mathbb {N} \to$ \$mathbb {R}$ : n \$mapto a_{n$이다. $각{\displaystyle a}$($)$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a_{}}$ {\$displaystyle$ a(n$) → a_${n$}$ {n} or$$ a} } {n} } } or a} 。수열은 함수로 명시적으로 표기되는 경우는 거의 없습니다.대신 관례상 순서의 θ-tuple인 것처럼 표기되며,^[3] 괄호로 둘러싸인 개별 항 또는 일반 항은 다음과 같습니다.

한계 경향이 있는 $\underset{}{배열}$($\underset{}{즉}$, lim n$→$ $\underset{}{}{}_{}$ $a_{}${ $textstyle \lim$_ {$n\to \infty$}a_$${$n})$은 수렴이라고 하며, 그렇지 않은 경우에는 발산이라고 한다(자세한 내용은 한계 및 수렴에 대한 절 참조).만약 M∈ R{\displaystyle M\in \mathbb{R}}를 n<>M{\displaystyle a_{n}<>존재하는{\displaystyle(a_{n})}(는 n)real-valued 시퀀스 경계를 이루고 있다.M}모든 n에 ∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}. real-valued 순서(는 n){\displaystyle(a_{n})}은 monotonica.lly 증가 또는 감소: ★★★★★★★★★★★★★★★★★」각각 유지된다.어느 한쪽이 유지되면 시퀀스는 단조롭다고 합니다.연쇄 부등식이 여전히 < 또는 >로 대체된 by$\$$displaystyle\leq$${\displaystyle }$또는 $style$\displaystyle$\geq$로 유지되는 경우 단조성은 엄격합니다.

시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle a_{}}$ n$)$ {$displaystyle (a_{n})$ {displaystyle $($$b_{$$k})$$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{모든}_{}}_{}}$ 양의 $정수{\displaystyle }$k$${$displaystyle$$b_{k$}${\displaystyle }$$=$${\displaystyle {}_{}}$$a$_ {$n_{k}$인${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {다른}_{}}$ 시퀀스$$(b k) {displaystyle (a_{k})는$$ ($a$$)$ {$displaystyle$(a_{n$})$의${\displaystyle }$후속입니다$.$$}}$은(는) 엄밀하게 증가하는 자연수열입니다.

제한 및 수렴

대략적으로 말하면, 제한은 입력 또는 인덱스가 특정 ^[4]값에 접근할 때 함수 또는 시퀀스가 "접근"하는 값입니다.(변수가 바운드 없이 증가 또는 감소함에 따라 함수 또는 시퀀스의 동작을 다루는 경우 이 값에는 ±${\$ {$displaystyle \pm \infty}$기호가$$ 포함될 수 있습니다.)한계의 개념은 미적분학의 기초이며(그리고 일반적으로 수학적 분석), 그 형식적 정의는 연속성, 도함수, 적분 등의 개념을 정의하기 위해 사용된다(사실, 제한행동의 연구는 미적분과 수학적 분석을 수학의 다른 분과와 구별하는 특성으로 사용되어 왔다).ematics)

한계라는 개념은 17세기 말 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미적분을 만드는 함수에 비공식적으로 도입되었다.시퀀스의 경우, 이 개념은 19세기 말에 코치에 의해 도입되었고 볼자노와 바이얼스트래스에 의해 엄격해졌으며, 볼자노와 바이얼스트래스는 다음과 같은 현대적 δ-ition 정의를 내렸다.

정의.f$${\$displaystyle$ f$}$를 E$display$ R {\$displaystyle$ E$\subset$ \$mathbb {$$R$에 정의되어 있는 실수치 함수라고 $합니다{\displaystyle }$$.$$f$(${\displaystyle }$x ) { $displaystyle$$$x${\displaystyle }$$}$가 $0$에 $가까워질{\displaystyle {}_{}}$$$때 f$$(${\displaystyle x}$$$)의 $한계치$에 $가까워지는{\displaystyle }$ 경향이 $있다고{\displaystyle }$ $합니다$$.$x로서 x{\displaystyle)}접근법 0{\displaystyle x_{0}}은 L{L\displaystyle}ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}, δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}모든)∈ E{x\in E\displaystyle}, 0<>에)− x0개체와 같은;δ{\displaystyle 0<.;x-x_{0}<>\delta} f() -L $<\displaystyle$ f$(x)-L <\varepsilon$ 을 의미합니다.이것을 기호로 나타냅니다.

「」로 합니다.직관적으로 이 정의는 다음과 같이 생각할 수 있습니다.f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}_{}}$$(\$$displaystyle$ f$(x)\to$ L$($x$$)은$$x → $0$$(\$$displaystyle x\to$ x_${$0$\})$이라고 $합니다{\displaystyle }$.양수 ${\$ { $displaystyle$\ $varepsilon$$\}$이 주어진 경우 f$(x)$는 항상 찾을 수 있습니다.$style$L은$$ 0$({$$displaystyle$$$x$})$보다 작습니다.$단{\displaystyle }$$,$ x({$displaystyle$ f$\}$ $영역{\displaystyle }$)는$$x$$({$displaystyle x_0})$보다 작지만 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0({$displaystyle x_0$$과$는 구별됩니다.에서조건 0 < - 0 \ $displaystyle$0 < x - x _ {$0$ } < x - x$\underset{}{{}_{}}$ { 0$$} $=$ \ $textstyle \lim$_ {$x$ \ $to x$_ { $0 } f$ ( $x$) $=$ 를 $\underset{}{확인}$하는 것이 마지막 조건의 목적이다.L$}$은${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$)$ {$displaystyle f(x_{$0})의 값 자체에$$ 대해 아무런 의미도 없습니다.$실제로$ x 0$({$${0})$이 $\underset{}{존재}$하기 $위해$$({$$displaystyle f})$ $도메인$에 있을 필요는 없습니다$\underset{}{.}$

조금 다르지만 관련된 맥락에서 제한의 개념은$$n\$displaystyle$n이$$ 커졌을 때 $시퀀스{\displaystyle }$$)\displaystyle(a_{n})$의 동작에 적용됩니다.

정의.(${\displaystyle a_{}}$ n$)$ {$displaystyle (a_{n})$을 실수치 시퀀스라고 합니다$.{\displaystyle }$우리는 어떤ε 을 만약을 위해(는 n){\displaystyle(a_{n})}는{\displaystyle}에 전진;0{\displaystyle \varepsilon>0}, N{N\displaystyle} 자연수 존재한다고 말하다는 n≥ N{\displaystyle Nn\geq}은 − 오빠<>ε{\displaystyle a-a_{n}<>\varepsil을 의미한다.}. W에e는 이것을 상징적으로 로 쓴다.

(as)의 만약(는 n){\displaystyle(a_{n})}융합하지 못할 경우 우리가(는 n){\displaystyle(a_{n})}판정한다고 말한다.

실제 변수의 실수치 함수로 일반화하면 이 정의를 약간 수정(시퀀스$)$ {$displaystyle(a_{n})$하고$$ n$${$displaystyle a_{n}$이라는 ${\displaystyle {용어}_{}}$를 $함수{\displaystyle }$ f$${$displaystyle$ f$}$ 및$$ 값 $)$ 및 $자연수{\displaystyle }$N {$displaystyle$f$(x)$로 대체)합니다.$및{\displaystyle }$$$n$({$$displaystyle$ M$}$ 및$$ $({displaystyle$x$\})$의 $실수$에 의한 n$({$$displaystyle$ x$})$은 x${\displaystyle (\{}$$displaystyle$x})가 경계 없이 증가할 $때{\displaystyle }$ f$x)$의 $한계$를 $\underset{}{정의}$하며$,$ lim x $\underset{}{\mathrm{\to }}$ f$x)\$textstyle $\lim$ _${x\to\ftyle$ f$(x)$로 $\underset{}{표기}$됩니다$.$$quality{\displaystyle }$ x $\underset{}{\ge }$$$ ( \ $displaystyle$x \$$$geq$M$$ ) $x$${\displaystyle }$x quality ${\displaystyle \mathrm{quality}}$ M$$( \ $displaystyle$x \ $leq$$$M )$$$、${ \ $\underset{}{}$f ( x$$)가 바인드 없이 $감소$하면$$${\displaystyle f}$( x $)$의$제한$에 대응하는 정의가 나타납니다$.$

수렴되는 값이 불분명하거나 관련이 없는 경우에도 시퀀스가 수렴된다고 결론짓는 것이 유용할 수 있습니다.이러한 경우 코시 시퀀스의 개념이 유용합니다.

정의.(${\displaystyle a_{}}$ n$)$ {$displaystyle (a_{n})$을 실수치 시퀀스라고 합니다$.{\displaystyle }$우리는(는 n){\displaystyle(a_{n})}은 코시 열 경우ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}, N{N\displaystyle} 자연수 존재한다고 말한다는 m, n≥ N{m,n\geq N\displaystyle}은 m− 오빠<>ε{\displaystyle a_{m}-a_{n}<>\varepsilon}을 의미한다..

실제 값 시퀀스는 수렴된 경우에만 Cauchy임을 알 수 있습니다.이 실수의 속성은 표준 메트릭${\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle )}$ $)\displaystyle (\mathbb {R}$, \$cdot$이 부여된 실수는 완전한 메트릭 공간임을 나타냅니다.그러나 일반 메트릭 공간에서는 코시 시퀀스가 수렴할 필요가 없습니다.

또한 단조로운 실제 값 시퀀스의 경우 수렴하는 경우에만 시퀀스에 경계가 있음을 나타낼 수 있습니다.

균일한

숫자의 시퀀스 외에 E${\displaystyle r\mathbb{}}$R \ $displaystyle$ E$\subset \mathbb {R$의 함수 시퀀스, 즉 무한 순서 ${\displaystyle {함수}_{}\mathrm{패밀리}}$ ${\displaystyle fn\mathbb{}}$ : E$$ R \ $displaystyle$ f_${n}$에 $대해서도{\displaystyle }$ 언급할 수 있다.$E\to \mathbb {R$ (${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ { $displaystyle (f_{n)_{n=1}^{\infty$ 및 그 수렴 특성$.{\displaystyle }$단, 함수 시퀀스의 경우 포인트별 컨버전스와 균일한 컨버전스라고 하는2종류의 컨버전스를 구별할 필요가 있습니다.

대략적으로 말하면, ${\displaystyle {함수}_{}}$ fn$({$})을$$ 제한 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \to }$ $({$f:)로 수렴하는 것이다.E$\to \mathbb {R$$f\$displaystyle $f_{n}\rightarrow$ f$)$로 $표시$됨)는 단순히 x${\displaystyle e}$E(\$displaystyle$ x$\$$in$$$E$\},$ ${\displaystyle f_{}x)}$ ${\displaystyle \to }$ $x)$ {displaystyle$$$f_{n}(x)\$$to$f($x)$가 $n임$을 의미합니다${\displaystyle \mathrm{.}}$균등하게 수렴하는 일련의 함수도 점별로 수렴하지만 역방향으로는 수렴하지 않습니다.통일 통합}n{\displaystyle f_{n}조의,의 오류가 ε 을 내에 속하는 x의 E{x\in E\displaystyle}, 때마다 n≥ N{\displaystyle Nn\geq}, ∈ 일부 정수 N{\displa를 위해 값에 대한 f의 0{\displaystyle \varepsilon>0}{\displaystyle f}기능의 가족들이 필요하다.ysty$le$ N$.$ 함수 패밀리가 균일하게 수렴하려면(때로는 ${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$$$f { $displaystyle$ f$_$ { $n$} \ $rightarrows$f$$) 이러한 $(\displaystyle$ N$)$ 값은$$ 아무리 작은 경우에도 0$displaystyle \varepsilon$> $0)$에 존재해야 $합니다$.직감적으로 $충분히{\displaystyle }$큰 N({$displaystyle$N$\})$에 대해 ${\displaystyle {}_{,}}$ ${\displaystyle {\mathrm{fN}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {\mathrm{fN}}_{}}$ + 2$,$$$…({$Displaystyle$$f_{N+1$},$f_{N+$2},\$ldots}$의 함수가 모두 $폭{\displaystyle \mathrm{}}$의 튜브 내에 한정되어 있다고 상상하면 이 상황을 시각화할 수 $있습니다.$$E$의 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 값에 대해 f${\displaystyle }$-$${\(\$displaystyle$ $f-\varepsilon)$과${\displaystyle f}$ +$${\(\$displaystyle$$$f$+\varepsilon$ 사이의 값을 지정합니다$.$

포인트별 컨버전스와 균일한 컨버전스의 구별은 2개의 제한 연산 순서(예를 들어 제한, 도함수 또는 적분)를 교환할 때 중요합니다.교환이 올바르게 동작하기 위해서는 많은 실제 분석 이론이 균일한 컨버전스를 요구합니다.예를 들어 연속함수(아래 참조)의 시퀀스는 수렴이 균일할 경우 연속제한함수로 수렴하는 것이 보증되지만 수렴이 점 단위일 경우 제한함수가 연속적이지 않을 수 있습니다.Karl Weierstrass는 일반적으로 균일한 수렴의 개념을 명확하게 정의하고 그 의미를 충분히 조사한 것으로 알려져 있다.

콤팩트함

콤팩트성은 실제 분석의 많은 이론에서 중요한 역할을 하는 일반적인 토폴로지의 개념입니다.콤팩트성의 특성은 집합이 닫히고 경계가 있다는 개념을 일반화시키는 것입니다.(실제 해석의 맥락에서, 이러한 개념은 동일하다: 유클리드 공간의 집합은 닫혀 있고 경계가 있을 경우에만 압축된다.)즉, 닫힌 집합은 모든 경계점을 포함하지만, 집합의 두 점 사이의 거리가 해당 수보다 작도록 실수가 존재하는 경우에는 집합이 경계됩니다.R${\displaystyle \mathbb${R$\}\}$에서는 닫힌 집합과 경계가 있고 따라서 콤팩트한 집합에는 빈 집합, 유한한 수의 점, 닫힌 간격 및 그 유한한 합이 포함됩니다.단, 이 리스트는 완전한 것은 아닙니다$.{\displaystyle }$예를 들어 ${\displaystyle \mathrm{세트}}${${\displaystyle 1}$/ n : ${\displaystyle n\mathbb{}}$n N${\displaystyle \}}$ { ${\displaystyle 0}$} { 0 }{ $displaystyle$$$\ {$1$ /$n$ :$n$ : ${\displaystyle n}$ \ $in$\ $mathbb$ {$N$} \$}\$ $cup$ $\$ { $0$ }\ }은 콤팩트세트입니다.Cantor ternary $C$ [$0$ , $]{$ 0 、 1 }한편$,{\displaystyle }$ 집합 {${\displaystyle 1}$/${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle nn\mathbb{}}$ N$}$ { $displaystyle$\ {$1$/ n :$n$ :$in$ \$mathbb${ N$$} }은$$ 경계점 0이 집합의 멤버가 아니기 때문에 경계가 있지만 닫히지 않기 때문에 콤팩트하지 않다.세트${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,$]{$ $display$ [ $0$, \ $infty$}도 닫혔지만$$ 경계가 없기 때문에 컴팩트하지 않습니다.

실수의 부분 집합의 경우, 콤팩트성에 대한 등가 정의가 몇 가지 있습니다.

정의.$집합{\displaystyle }$ E${\displaystyle r\mathbb{}}$R \$style$ E$\subset \mathbb {R}$은$($는) 닫혀 있고 경계가 있을 경우 컴팩트합니다.

이 정의는 유한 차원 유클리드 $공간$인 ${\displaystyle {}^{}}$n $\displaystyle$ \$mathbb$ {R$}$^{$n$에도 적용되지만 일반적으로 미터법 공간에는 유효하지 않습니다.이 섹션의 후반부에서 제시된 서브커버에 기초한 콤팩트성의 정의와 동등한 정의를 하이네-보렐 정리라고 한다.

모든 메트릭 공간에 적용되는 보다 일반적인 정의는 후속 개념(위 참조)을 사용합니다.

정의.메트릭 공간의 $(\displaystyle$ E$)$는 E$(\displaystyle$ E$)$의 모든 시퀀스가 수렴된 시퀀스를 갖는 경우 콤팩트합니다.

이러한 특성을 후속 압축성이라고 합니다.R${\displaystyle \mathbb$ {R$}$}에서는 집합이 닫혀 있고 경계가 있는 경우에만 집합이 순차적으로 압축되므로 이 정의는 위의 정의와 동일합니다.후속 콤팩트성은 메트릭 공간의 서브커버에 기초한 콤팩트성의 정의와 동일하지만 일반적으로 위상 공간에 대해서는 동일하지 않다.

콤팩트성의 가장 일반적인 정의는 개방형 커버와 서브커버의 개념에 의존하며, 이는 위상 공간에 적용된다(따라서 특별한 경우로서 미터법 공간과 $\$}$）$ 。요컨대, ${\displaystyle {오픈세트}_{}}$Uα({$displaystyle U_${\alpha$})$의 집합은$집합{\displaystyle }$$$X({$displaystyle$X})의 집합인 경우 집합 X({displaystyle X})의 오픈커버라고 하며, ${\displaystyle {이}_{}}$오픈커버는 $Uα$({$displaystyle$ U_$})$의 서브컬렉션 유한한 경우 유한 서브커버라고 한다$.$X$(\style$ X$)$도 $커버$하는 것을 확인합니다.

정의.위상 공간의 $집합{\displaystyle }$ X$($디스플레이 스타일 $X)$는 X$(디스플레이 스타일$ X$)$의 모든 열린 커버에 유한한 서브 커버가 있을 경우 콤팩트합니다.

콤팩트 세트는 컨버전스나 연속성 등의 속성에 관해 적절하게 동작합니다.예를 들어, 콤팩트 메트릭 공간 내의 모든 코시 시퀀스는 수렴됩니다.또 하나의 예로서 연속지도 하의 콤팩트 메트릭 공간의 화상도 콤팩트하다.

연속성

실수의 집합에서 실수에 이르는 함수는 데카르트 평면의 그래프로 나타낼 수 있다. 대략적으로 말해서 그래프가 "구멍"이나 "점프"가 없는 단일 중단되지 않은 곡선일 경우 이러한 함수는 연속적이다.

이 직관을 수학적으로 엄격하게 만드는 몇 가지 방법이 있다.일반성의 다양한 수준에 대한 몇 가지 정의를 제공할 수 있다.두 개 이상의 정의가 적용되는 경우, 두 정의가 서로 동등하다는 것을 쉽게 알 수 있으므로, 가장 편리한 정의를 사용하여 주어진 함수가 연속적인지 여부를 판단할 수 있다.아래에 제시된 첫 번째 $정의$에서${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle I\mathbb{}}$ $→$ R {\$displaystyle$ f$:$$I\to$ \$mathbb {R}$은$($는) 실수 집합의 비축소 $구간{\displaystyle }$I(\$displaystyle$ I$)$에서 정의되는 함수입니다.일부 가능성 나는 연구{\displaystyle I=\mathbb{R} 갈}, 실제 숫자의 형태, 나는(a, b)원 열린 간격){)∈ R은<>∣^<>b},{\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a<, x<, b\},}또는 나는[a, b]원 폐쇄된 간격){)∈ R은≤ x∣ ≤ largeenough이다}.{\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb{포함한다.R}\mida\l$eq x\leq b\}$$입니다.$} $여기$서$$$a$와$b$는 별개의$$ 실수이며$, i$가 비어$$ 있거나 특히 1개의 점만으로 구성되어 있는 $경우$는 제외됩니다$.$

정의.I${\displaystyle r\mathbb{}}$ R$${\$displaystyle$ I$\subset$ \$mathbb {R}}$이(가) 비퇴화 간격인 $경우{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$\underset{}{I}$$\to$ \$mathbb {R}$는 lim x $\underset{}{\to }$ $\underset{}{}$f ($x$ ) $=$ ($p$) { $textstyle \lim$_ {$x\to$ p$}f(x$)=$f(p$의 경우 p${\displaystyle i}$I {\$displaystyle$ p$\in$ I$$$$$}$에서 연속형입니다. 모든 $p$에서 f {\$displaystyle$ f$}$가 연속형인 $경우{\displaystyle }$$$f$}$이라고 $합니다{\displaystyle }$${\displaystyle .}$

f${$$displaystyle$ f$}$가$$p$${$displaystyle$ p$}$에서 f$${$displaystyle$ f$}$의 동작 자체를 제한하지 않는$$p{$displaystyle$ p}에 $대한{\displaystyle }$ 요구와는 달리, $\underset{}{lim}$ x $\underset{}{\to }$ $\underset{}{}$ f$)\textstyle \lim$ _${x\to pf(x$의 존재와 더불어 다음 두 가지 조건이 있습니다.또한 f$${$displaystyle$ f$}$가$$p {$displaystyle$ p$\}$ : (i)$$$f{\displaystyle }$ {$displaystyle$f$\}$에서 정의되어야 합니다. 즉$,$ $p{\displaystyle }$ {$displaystyle$ $p$$}$는$$f {$displaystyle$ f$}$ ; $및{\displaystyle }$ (ii)${\displaystyle }f{\displaystyle }$($x)$ ${\displaystyle \to }$${\displaystyle }$f$(p)$의 $영역$에 ${\displaystyle \mathrm{있어야}}$ ${\displaystyle \mathrm{합니다}}$.$displaystyle$ x$\to$ p$\}$ 입니다.위의 정의는 격리점을 포함하지 않는 $도메인{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$ 또는$$ 이에 $상당$하는 E$(\displaystyle$ E$)$에 적용됩니다. 여기서 모든 $(\displaystyle$ p$\in$ E$)$는 E$(\displaystyle$ E$)$의 한계점입니다. 보다 일반적인 정의는 f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ $(\$:\math)에 $적용$됩니다.$일반$ $도메인{\displaystyle }$ X${\displaystyle r\mathbb{}}$ R$${\$displaystyle$ X$\subset \mathbb {R}}$의$$bb {$R}$은$($는) 다음과 같습니다.

정의.R{\displaystyle \mathbb{R}의 X{X\displaystyle}는 임의의 부분 집합}, 우리는 ∈ X{\displaystyle p\in X}만약 어떤ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}, δ 을 존재하지 f:XR→{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}p에서 연속적입니다;0 같은톤{\displaystyle \delta>0} 말한다알을 위한 모자L)∈ X{\displaystyle Xx\in}, 음−<>δ{\displaystyle x-p<>\delta}만약 f{\displaystyle f}모든 p∈ X{\displaystyle p\in X}에서의 끊임 없는 것은 f(p)<>f())−, ε{\displaystyle f())-f(p)<>\varepsilon}. 우리는 f{\displaystyle f}이 지속 지도 말한다를 암시한다..

이 정의의 결과로$$f {\$displaystyle$ f$}$는 임의의 $고립$된 점 p${\displaystyle x}$X {\$displaystyle p\in$X$\}$에서 3가지 연속성이 $있습니다{\displaystyle }$.이 고립된 점의 다소 비의도적인 처리는 실제 라인의 함수에 대한 연속성의 정의가 가장 일반적인 conn의 정의와 일치하도록 하기 위해 필요합니다.위상 공간 간 지도에 대한 주석성($특히{\displaystyle \mathbb{}}$ 특수한 경우$$R \$displaystyle \mathbb {R}$ 포함$$).이 정의는 실제 분석의 논의 범위를 넘어서는 것으로, 완전성을 위해 이하에 기재되어 있습니다.

정의.$X($$디스플레이$ 스타일 X)와 Y$(디스플레이 스타일$ Y$)$가 토폴로지 공간인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$f${\displaystyle {}^{}}$- 1($)$이 phouldisplay $x$의 $이웃$인 $경우{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$f : X ${\displaystyle \to }$ $($$디스플레이$ $스타일$$$f$:X\$$to$ Y$)$는 p$$${\displaystyle x}$X에서$$ 연속이라고 합니다.$f$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle U}$)$$\ $displaystyle$ $f$$^$ { -$1$ ( U ) \ $displaystyle$ f （$U$ ) \ $displaystyle$ F$$（$$U$$）$$$in$ f f f f$f$ f f f ood$$$$ood $ood$ ood ood$$ood$$$$ ood ood if ood if ood if if if if if if if if$$ood if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if $if$ if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if$$if if if if if if if if if if

${\displaystyle {(}^{}}$여기서 ${\displaystyle {\mathrm{f-1}}^{}}$(${\displaystyle S)}$ $({displaystyle$ f$^{-1}(S)})$은 f$({displaystyle$f})$$ $아래$의 S$(\displaystyle$ S$\subset$ Y$)$의 프리이미지를 나타냅니다).

균일한 연속성

정의.진짜 숫자의 만약 X{X\displaystyle}하위 집합, 우리는 어떤ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}aδ 을 존재하는 f:XR→{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}기능 균일하게 X{X\displaystyle}에 연속적입니다;0{\displaystyle \delta>0}가 모든 x, y에 ∈ X이라고 말한다 {\display$style$ x$,y\in$X- y $<\delta }$는f () - ($)<\display style$ f$(x)-f(y) <\varepsilon$ 을 의미합니다.

명시적으로 X$({displaystyle$X$\})$에서 함수가 균일하게 연속되는 경우, 정의를 실현하기 위해 $필요$한$display({$displaystyle\$delta})$의 선택은 특정$$${\displaystyle \mathrm{display}}$({displaystyle$\varepsilon$의 모든 X$({displaystyle$X})에 대해 유효해야 합니다. 반면, $∈(\displaystyl$)에서는 함수가 모든 $점$에서 연속되는 경우)에 대해 유효합니다${\displaystyle .}$$e$ p$\in$ X$($또는 X$(\displaystyle$ X$)$에서 연속이라고 함$)$의 선택은$$\$displaystyle$ $\$$delta$$(\displaystyle$ \varepsilon$)$와 p$(\displaystyle$ p$)$에 따라 달라집니다.단순한 연속성과 달리 균일한 연속성은 지정된 도메인에서만 의미가 있는 기능의 속성입니다.$단일$ $지점$에서의 균일한 연속성은 의미가$$ 없습니다$.$

콤팩트 세트에서는 모든 연속 함수가 균일하게 연속됨을 쉽게 알 수 있습니다.E$(\displaystyle$ E$)$가 R$(\$의 경계가 있는 비콤팩트 서브셋인 $경우{\displaystyle }$ $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \to }$ $(\$ f$:$$연속적이지만 균일하게 연속적$이지 않은 E$\to$ \mathbb$$ {R}$}.$간단한 예로 있는 지점을 선택함으로써 가까이 0으로, 우리는 항상 알아내())− f(y)을 할 수 있습니다.δ의 단일 선택을 위해 ε{\displaystyle f())-f(y)>\varepsilon};0{\displaystyl f:(0,1)→ R{\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb{R}}f에 의해())=1/){\displaystyle f())=1/x}정의된 것이 좋습니다.e\delt$> 0$ $（ displaystyle$ \$varepsilon > 0$） 。

절대 연속성

정의.R$(\$ I$\subset\mathbb {R})$을$$실선상의 구간으로 $합니다{\displaystyle }$.A ${\displaystyle \mathrm{함수}}$f : I ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$I\to\$mathbb {$R}$은$($는) I\$displaystyle$ I$\$displaystyle$\varepsilon$displaystyle$\delta}$의 양의 수가$존재$하며, 쌍으로 분리된 서브인터벌$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$1, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$x${\displaystyle {}_{}}$2${\displaystyle )}$의 유한한 시퀀스가 있을 때마다 항상 I$\$$displaystyle$ I\displaystyle I에서 $연속성$이 있다고 합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$n $)({$$displaystyle$$(x_{1$}, $y_{1}),(x_{2}),\ldots$,($x_{n},y_{n})$이$($가$$^[5]) $충족$합니다.

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k}) <\displaystyle }$

그리고나서

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n} f(y_{k})-f(x_{k}) <\varepsilon .}$

절대 연속 함수는 연속적입니다. 이 정의에서 대소문자 n = 1을 고려하십시오.I의 모든 절대 연속 함수의 집합은 AC(I)로 표시됩니다.절대 연속성은 르베그 적분에 적용되는 미적분의 기본 정리의 일반화된 버전의 공식을 가능하게 하는 통합 이론의 기본 개념입니다.

차별화

함수의 도함수 또는 미분성의 개념은 "최적의" 선형 근사치를 사용하여 주어진 점 근처의 함수를 근사하는 개념에서 유래한다.이 근사치는 고유하며 지정된 지점$$$a의$함수에 접하는 선에 의해 지정되며 선의 기울기는$a$의$$함수에 $대한{\displaystyle }$ 도함수입니다.

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:\mathbb {R}$ \$to \mathbb {R}$은$($는) 다음과 같은 경우$${\$displaystyle$ a$}$에서 미분할 수 있습니다.

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

존재. 이 제한은 {\$displaystyle$ a$}$에서$$f$\{$$displaystyle$ f$}$의 도함수라고 하며$,$ R {\$displaystyle \mathbb {R$의 부분 집합에만 정의될 수 있는 $함수{\displaystyle {}^{}}$ f ${\$ {\$displaystyle$ f$\text{'}$는$f$의 도함수(또는 도함수)일 수 있습니다. 도함수는 모든 도함수입니다.e, 함수는 미분 가능하다고 한다.

정의의 단순한 결과로서, f$(displaystyle$ f$)$는 구별이 가능한 경우 a$(displaystyle$ a$)$로 연속됩니다.따라서 미분가능성은 연속성보다 더 강한 규칙성 조건(함수의 "평활성"을 나타내는 조건)이며 함수는 실제 라인 전체에서는 연속성이지만 어디에서도 미분할 수 없다(Weierstrass의 아무 곳에서도 미분 가능한 연속함수 참조).미분함수의 도함수 등을 구함으로써 고차 도함수의 존재에 대해서도 논할 수 있다.

미분 가능성 등급별로 함수를 분류할 수 있습니다.$클래스{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0$($ 간격을 ${\displaystyle {나타내기\mathrm{}}^{}}$위해${\displaystyle }C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0([}$a${\displaystyle ,}$ $])$ {$display C^0}([a, b$])})$$은$$ 모든 연속 함수로 구성됩니다.$클래스{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1$({$ C$^{1})$은 미분 함수가 연속인 모든 미분 가능 함수로 구성됩니다. 이러한 함수를 연속 미분 가능함수라고 합니다.$따라서{\displaystyle {}^{}}$ $({$ C$^{1})$ 함수는$$ 미분이 존재하며 $클래스{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0$({$ C$^{0$인 함수입니다.$일반적$으로 클래스 $(\$ C$^{k$$})$는 C$$0(\$displaystyle$ C$^{0})$을 모든 연속 함수의 집합으로 $선언$하고 ${\displaystyle {임의}^{}}$의 양의 $정수{\displaystyle }$k$(\$$displaystyle$ K$)$를 다음 파생 함수의 집합으로 $선언함$으로써 재귀적으로 정의할 수 있습니다.$e$는 ${\displaystyle C^{}}$k -$$ { $style$ C^ {k - 1$$} 。특히 ${\displaystyle C^{}}$${\displaystyle k^{}}$ k - 1 { $display$ $style$ C^ { k$$$}$ 에는 k k k$\}$마다 C k k${\displaystyle {}^{}}$-$$ { display $style$ C^ {k - 1$$ } 이 포함되어 있으며, 이 제약이 엄격함을 나타내는 예가 있습니다.$클래스{\displaystyle {}^{}}$ C $∞$ { \ $display style$ C^ { \ $infty }$ } is$$$$、 k$$\ $display style$ C^ {$k$$$}는 ${\displaystyle {음}^{}}$이 아닌 정수에 따라 달라지기$$ $때문$에 이 클래스의 멤버는 매끄러운 함수라고 불립니다.$Class{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\$ { \ $displaystyle$ C^ { \ $obega$} } 에는$$ 모든 해석 함수로 구성되며, C ${\$ { \ $displaystyle$ C^ { \ $infty$}}$$ 에 $엄격$하게 포함되어 있습니다(분석되지 않은 부드러운 함수는 범프 함수 참조).

시리즈

급수는 끝없는 수열의 합을 취하는 부정확한 개념을 공식화한다."무한" 수의 용어의 합을 취하는 것이 유한한 결과로 이어질 수 있다는 생각은 고대 그리스인들에게는 반직관적이고 제노와 다른 철학자들에 의해 많은 역설의 공식화를 이끌었다.급수에 값을 할당하는 현대적 개념은 "무한" 수의 항을 추가하는 잘못된 개념을 다루지 않습니다.대신 부분합으로 알려진 수열의 첫 $번째{\displaystyle }$n개 $항의$ 유한합이 고려되며$,$ 제한의 개념은 n개 {\$displaystyle$ n$}$이 제한 없이 $커짐$에 따라 부분합 수열에 적용된다.영상 시리즈에는 이 제한 값이 할당됩니다(있는 경우).

(a) 시퀀스${\displaystyle }$($)$ {$displaystyle (a_{n$이 주어진 경우, 관련 급수를 공식 수학적 $객체{}_{}$ ${a\mathrm{}}_{}$1 + ${}_{}$ ${2\mathrm{}}_{}$+ ${a\mathrm{}}_{}$ 3${}_{}$+ $\cdots$ n$=$ 1$\underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}{a}_{}$ a \ $textstyle a$_ {1} +$a$_ {2} + a$_$ {3$}$ + \ $cdots =$\ $sum$ {$n_1$\fty } ^{n_fty } } } $}$^{1$}$으로 정의할 수 있습니다.시리즈$$ n { $textstyle$\${sum}_{}$ a _ { $n }$are$$ n $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$ $a_{}$j \ $textstyle s_{n$$}$$=$ {$j=1}^{n}$ ${a\_}_{}$${j$의 ${}_{}$은 n {$textstyle \sum$ a_${n}}$의 ${\displaystyle {부분합}_{}}$이다${\displaystyle {}_{}}$rgent; 그렇지 않으면 분산됩니다.수렴 급수의 합은 s $=$ $\underset{}{lim}$ n $\underset{}{\to \mathrm{}}{}_{}$ s $n_{}${ $textstyle$ s = \$lim$_ {$n\to \infty }s_{n$으로 정의됩니다.

여기서 "sum"이라는 단어는 은유적인 의미에서 일련의 부분 합계의 한계를 취하기 위한 줄임말로서 사용되며 단순히 무한한 수의 용어를 추가하는 것으로 해석되어서는 안 된다.예를 들어, 유한합의 동작과는 대조적으로, 무한 급수의 항을 재배치하면 다른 수로 수렴할 수 있다(자세한 설명은 리만 정렬 정리에 대한 기사 참조).

수렴 급수의 예는 제노의 유명한 역설 중 하나의 기초를 이루는 기하 급수이다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{n}}=blac {1}{2}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{8}+\cdots =1.}$

이와는 대조적으로, 고조파 계열은 중세부터 발산 계열로 알려져 왔다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{infty}{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty}.$

(여기서 "$= style =\infty$는 시리즈의 일부 합계가 제한 없이 증가함을 나타내기 위한 단순한 표기 규칙입니다.)

시리즈$$$\theta {}_{}$ a $n_{}{}_{}${ $textstyle \sum a_{n}$ 은$$n { $textstyle \sum$ a_${n}$ 가$$$$ 수렴할 경우 절대적으로 수렴한다고 한다.n$(\backslash {}_{}$textstyle\$sum$ $a_$${$n$$$})$이 분기하는$$n$(\backslash$$textstyle$$\sum$ a_${$$n$})의 수렴계열은 n(\^[6]textstyle$\sum$ a_{n})이 비절대 수렴한다고 한다.직렬의 절대 수렴이 해당 수렴을 의미한다는 것은 쉽게 알 수 있습니다.반면, 절대적이지 않은 집합의 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}+\cdots =\ln 2}.$

테일러 급수

실수 또는 복소수 a에서 무한히 미분 가능한 실수 또는 복소수 함수 δ(x)의 테일러 급수는 멱급수이다.

${\displaystyle f(a)+{1!}(x-a)+{f'(a)}{2!}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^3}+\cdots.$

보다 콤팩트한 시그마 표기로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}, (x-a)^{n}$

여기서 n!은 n의 계수를 나타내며, θ ⁽ⁿ⁾(a)는 a 지점에서 평가된 θ의 n번째 도함수를 나타낸다.차수 0 θ의 도함수는 그 자체로 정의되며, (x - a)⁰와 0!은 모두 1로 정의된다.a = 0인 경우, 맥로린 계열이라고도 한다.

점 a에 관한 Taylor 계열의 f는 x- < $R$\ displaystyle x -$a$ < $R$（ 컨버전스가 보증되는 가장 큰 R을 컨버전스 반지름이라고 함)이 되도록 분산하거나 a 지점에서만 수렴하거나 모든 x에 대해 수렴할 수 있습니다.수렴하는 Taylor 급수라도 해당 지점의 함수 값과 다른 값으로 수렴할 수 있다.점의 테일러 급수가 0이 아닌 수렴 반경을 가지며 수렴 원반의 함수에 합하면 함수는 해석적입니다.분석 함수는 많은 기본 특성을 가지고 있습니다.특히 실수변수의 해석함수는 복소변수의 함수로 자연스럽게 확장된다.지수함수, 로그, 삼각함수 및 그 역함수가 복소수변수의 함수로 확장되는 것은 이러한 방법이다.

푸리에 급수

푸리에 급수는 주기적 함수 또는 주기적 신호를 단순 진동 함수 집합, 즉 사인 및 코사인(또는 복잡한 지수)의 합으로 분해합니다.푸리에 급수에 대한 연구는 일반적으로 이루어지며 분기 수학 > 수학적 분석 > 푸리에 분석 내에서 처리됩니다.

통합

적분이란 곡선으로 묶인 면적을 찾는 문제와 곡선으로 둘러싸인 곡선 또는 부피의 길이를 결정하는 관련 문제를 공식화한 것입니다.이런 종류의 문제를 해결하기 위한 기본적인 전략은 고대 그리스와 중국인들에게 알려져 있었고, 지치는 방법으로 알려져 있었다.일반적으로 정확한 면적을 계산할 수 있는 다각형 근사치를 점점 더 정확하게 외접 및 내접함으로써 원하는 면적을 각각 위와 아래에서 경계로 한다.점점 더 작은 "무한" 조각의 더 큰 "무한" 조각으로 이루어진 근사치를 고려함으로써 근사치에 의해 정의된 상한과 하한이 공통값 주위에 수렴되므로 곡선에 의해 결합된 면적을 추론할 수 있다.

이 기본 전략의 정신은 리만 적분의 정의에서 쉽게 볼 수 있는데, 리만(또는 다르부)의 합계가 얇고 얇은 직사각형 조각("정제")이 고려되면서 공통 값으로 수렴될 경우 적분이 존재한다고 한다.리만 적분에 비해 그것을 정의하는 데 사용되는 기계는 훨씬 더 정교하지만, 르베그 적분은 비슷한 기본 사상을 염두에 두고 정의되었다.리만 적분에 비해, 더 정교한 르베그 적분은 영역이 할당될 수 없는 "측정할 수 없는" 부분 집합이 존재하지만, 유클리드 공간의 훨씬 더 복잡하고 불규칙한 부분 집합을 위해 영역(또는 길이, 부피 등)을 정의하고 계산할 수 있게 한다.

리만 적분

리만 적분은 간격의 태그된 분할에 대한 함수의 합계로 정의됩니다.$[{\displaystyle a,}$ $]$ {$displaystyle$[a$, b]$ {displaystyle [a${\displaystyle ,}$ b] {${\displaystyle \mathrm{cal}}${${\displaystyle \mathrm{P<img\; alt="[a,b]"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.555ex;\; height:2.843ex;">}}$$}}$ {$a,$ b} {displaystyle} {displaystyle] {$a,$ b${\displaystyle \}}{\displaystyle }${displaystyle} {$p$$}$ {cal {$P}}}$ {displaystycle}은 유한 시퀀스입니다.

$\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}=b,\!}.$

그러면 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ $]$ {$displaystyle$ $[a, b]$ {displaystyle n$\}{\displaystyle }$ {${\displaystyle {xi}_{}}$ -$$1, ${\displaystyle x_{}}$i$}$ {$displaystyle [x_i-1, x_{i}}}$을(를) i $1$, $…,$ ${\displaystyle n}$ {$displaystyle$ i$=1,\$ldots${\displaystyle ,}$ $n$에 의해 색인화되어 각각 "${\displaystyle {특정점}_{}}$ i"로 구분됩니다${\displaystyle {}_{}}$$style t_{i}\in [x_{i}}$. [${\displaystyle a}$ , $]$ \ $displaystyle [ a$ , b$$] \ $displaystyle$ $f$$$$\}$ $[{\displaystyle }$ f {\ ${\$ $f$의 리만 합계를 태그 부착 $파티션{\displaystyle \mathcal{}}$ P$$\ $displaystyle$\$cal${$P$} 로$$ 정의합니다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}}$

여기서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ i $=$ ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ - ${\displaystyle {}_i}$ - $({$ _${i$}=$x_{i}-x_$${i-1$은 하위 $i$의 폭입니다.따라서, 합계의 각 항은 주어진 하위 구간의 식별점에서의 함수 값과 같은 높이와 하위 구간의 폭과 같은 직사각형의 영역입니다.이러한 태그 부착 파티션의 메쉬란 파티션에 의해 형성되는 가장 큰 서브패킷의 폭입니다. $display$ display i $\underset{}{=\max }$ i$$\ $textstyle$$$\ \ $Delta$_ { $i$} = \$max$ _ { i$=$1, $\ldots$ , n} \ $Delta$_ {$i$ } 。${우리}_{}$는 $femann의$이라고 합니다.$$$S$$$ $(\displaystyle \varepsilon$> $0)$에 0$(\displaystyle$$$\$delta$$$> $0)$이 존재하는 경우 메쉬 $<$ < {\${\$ $display$ p p p p p p p p p p p p p p$p{\displaystyle \mathcal{}}$ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pP$(\$$Displaystyle$ \$Delta$ _$Delta$ $_$D

${\displaystyle \left S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right <\varepsilon .}$

이것은 때때로 R${}_{}^{}$ a ${}_{}^{}$ $f$ $=$ S {\$textstyle${\$mathcal {R}}\int _{$a}^{$b}f=S$로 표기된다.선택한 태그가 각 구간의 최대값(각각, 최소값)을 제공할 때 리만 합은 상위(각, 하한) 다르부 합으로 알려져 있다.함수는 충분히 작은 메쉬를 위해 상부와 하부의 다르부 합계를 임의로 가깝게 할 수 있는 경우 다르부 적분할 수 있다.비록 이 정의가 다르부 적분에게 리만 적분의 특별한 경우처럼 보이지만, 사실 그들은 리만 적분이 가능한 함수와 적분의 값이 동일한 경우에만 다르부 적분이 가능하다는 점에서 동등합니다.사실, 미적분과 실제 분석 교과서는 종종 두 가지를 혼동하고, Darboux 적분의 정의를 리만 적분의 정의로 소개하는데, 이는 Darboux 적분의 정의를 적용하는 것이 약간 더 쉽기 때문이다.

미적분의 기본정리는 어떤 의미에서는 적분과 미분이 역연산이라고 주장한다.

Lebegue 통합 및 측정

르베그 적분은 더 큰 함수 클래스로 적분을 확장하는 수학적 구조입니다.또, 이러한 함수를 정의할 수 있는 영역도 확장합니다.길이, 면적 또는 부피의 추상화인 측정의 개념은 르베그 적분 확률 이론의 중심이다.

배포

분포(또는 일반화 함수)는 함수를 일반화하는 개체입니다.분포는 전통적인 의미에서 미분이 존재하지 않는 함수를 구별할 수 있게 한다.특히, 모든 국소 적분 가능 함수는 분포 도함수를 가진다.

복잡한 분석과의 관계

실제 분석은 시퀀스와 그 한계, 연속성, 차별화, 통합 및 기능의 시퀀스와 같은 개념을 연구하는 분석 영역입니다.정의에 따르면, 실제 분석은 종종 확장된 실선을 형성하기 위해 양의 무한대와 음의 무한대를 포함하는 실수에 초점을 맞춘다.실제 분석은 복소수 분석과 밀접하게 관련되어 있으며, 복소수의 거의 동일한 특성을 연구합니다.복소해석에서는 반복 미분성, 멱급수로서의 표현성, 코시 적분 공식 충족 등 많은 유용한 특성을 가진 정칙함수를 통해 미분하는 것이 자연스럽다.

실제 분석에서는 일반적으로 보다 광범위하게 적용 가능한 미분 가능함수, 평활함수 또는 조화함수를 고려하는 것이 더 자연스럽지만, 정형함수의 보다 강력한 특성이 결여되어 있을 수 있습니다.그러나, 대수학의 기본 정리 같은 결과는 복수로 표현될 때 더 간단하다.

복합 변수의 분석 함수 이론에서 나온 기법은 종종 잔차 미적분에 의한 실제 적분 평가와 같은 실제 분석에 사용된다.

중요한 결과

중요한 결과로는 볼자노-가 있다.바이어스트래스와 하이네-보렐 정리, 테일러 정리, 미적분의 기본 정리, 아르젤라-아스콜리 정리, 스톤-바이어스트라스 정리, 파투의 법칙, 그리고 단조 수렴과 지배 수렴 정리.

수학의 일반화 및 관련 영역

실제 분석에서 나온 다양한 아이디어는 실제 라인에서 더 광범위하거나 더 추상적인 맥락으로 일반화될 수 있습니다.이러한 일반화는 실제 분석을 다른 분야 및 하위 분야와 연결합니다.예를 들어, 실해석으로부터 미터법 공간, 위상 공간까지 연속함수와 콤팩트함과 같은 아이디어의 일반화는 실해석과 일반위상의 분야를 연결하는 반면, 유한차원 유클리드 공간의 일반화는 바나흐 공간과 힐베르트 공간의 개념으로 이어졌다.기능 분석에 더 일반적으로 사용됩니다.게오르크 칸토르의 실수의 집합과 수열, 그 사이의 매핑, 그리고 실해석학의 근본적인 문제들은 순진한 집합론을 낳았다.함수 시퀀스에 대한 수렴 문제에 대한 연구는 결국 수학 분석의 하위 분야로서 푸리에 분석을 낳았다.실제 변수의 함수에서 복소 변수의 함수로의 미분성 일반화 결과에 대한 조사는 분석의 또 다른 뚜렷한 하위 분야로서 성형 함수의 개념과 복소 분석의 시작을 가져왔다.한편, 리만 감각에서 르베그 감각으로의 통합의 일반화는 측도 이론의 기본 개념인 추상 측도 공간의 개념을 공식화했다.마지막으로, 실선에서 더 높은 차원 공간의 곡선과 표면으로의 통합의 일반화는 벡터 미적분의 연구를 가져왔다, 벡터 미적분의 추가적인 일반화와 형식화는 미분 기하학의 매끄러운 (미분 가능한) 다양체의 개념의 진화에 중요한 역할을 했다.그리고 기하학 및 토폴로지의 밀접하게 관련된 기타 영역.

「 」를 참조해 주세요.

• 실제 분석 주제 목록
• 시간 척도 미적분 - 유한 차이의 미적분과 실제 분석의 통합
• 실제 다변수 함수
• 실제 좌표 공간
• 복잡한 분석

레퍼런스

참고 문헌

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외부 링크

• 우리가 어떻게 여기까지 왔나: 로버트 로저스와 유진 보먼의 실제 분석 이야기
• Donald Yau의 분석 첫 번째 코스
• John Lindsay Orr의 분석 WebNotes
• Bert G의 대화형 실제 분석.왓스무트
• John O'Connor의 첫 번째 분석 과정
• 엘리아스 자콘의 수학 해석 I
• 엘리아스 자콘의 수학 해석 II
• Trench, William F. (2003). Introduction to Real Analysis (PDF). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045786-8.
• 일부 수학 단어의 가장 오래된 사용법:미적분과 분석
• 기본 분석: 지리 르블의 실제 분석 입문
• Vienna 대학의 Gerald Teschl의 실제 및 기능 분석 토픽.