특이성 이론

Singularity theory
이 글은 수학적 규율에 관한 것이다. 기타 기하학적 용도는 곡선의 단수 점을 참조하십시오. 다른 수학적 용도는 특이성(수학)을 참조하십시오. 비수학 용도의 경우 특이성(동음이의)을 참조하십시오.

수학에서 특이점 이론은 거의 다양하지만 꽤 다양하지는 않은 공간을 연구한다. 끈은 두께를 소홀히 하면 1차원 다지관의 예시 역할을 할 수 있다. 특이점은 볼링으로 만들어서 바닥에 떨어뜨리고 납작하게 만드는 것이다. 어떤 곳에서는 평평한 끈이 대략 "X" 모양으로 교차할 것이다. 이렇게 하는 바닥의 지점은 한 종류의 특이점, 즉 이중점: 바닥의 1비트는 한 비트 이상의 끈에 해당한다. 어쩌면 그 끈도 밑줄 친 "U"처럼 교차하지 않고 저절로 만져질지도 모른다. 이것은 또 다른 종류의 특이점이다. 더블 포인트와 달리 작은 밀기로 'U'의 바닥을 '언더라인'에서 떼어낸다는 점에서 안정적이지 않다.

블라디미르 아놀드는 특이성 이론의 주요 목표를 매개 변수에 어떻게 물체가 의존하는지 기술하는 것으로 정의하고 있는데, 특히 매개 변수의 작은 변화 하에서 특성이 급격한 변화를 겪는 경우에 그러하다. 이러한 상황을 페레스트로이카(러시아어: пера), 분기나 재난이라고 부른다. 변화의 유형을 분류하고 이러한 변화를 일으키는 매개변수 집합을 특성화하는 것이 주요 수학 목표의 일부다. 특이점은 파라미터에 따라 행렬에서 파동프론트에 이르기까지 광범위한 수학적 물체에서 발생할 수 있다.[1]

특이점이 발생할 수 있는 방법

특이점 이론에서는 다지관(이상점이 없는 공간)이 여러 경로에 의해 특수하고 단수점을 획득할 수 있다는 개념의 일부로서 점의 일반적 현상과 특이점 집합의 현상을 연구한다. 투영법은 3차원 물체가 2차원으로 투영될 때 시각적으로 매우 분명한 한 가지 방법이다. 고전적인 통계 자료를 볼 때 휘장 주름이 가장 분명한 특징들 중 하나이다. 이런 종류의 특이한 점으로는 가성비가 있는데, 수영장 바닥의 빛 무늬처럼 매우 친숙하다.

특이점이 발생하는 다른 방법은 다지관 구조의 퇴화에 의한 것이다. 대칭의 존재는 접히는 과정에서 '코너'를 획득한 다지관인 오비폴드를 고려하는 좋은 원인이 될 수 있는데, 이는 테이블 냅킨의 주름을 닮았다.

대수 기하학의 특이점

대수곡선 특이점

이중 점이 있는 곡선
끝이 있는 곡선

역사적으로 특이점은 대수곡선 연구에서 처음 주목받았다. 곡선의 (0, 0)에 있는 이중 점

그리고 그 끝은

단지 스케치하는 것만으로 보이는 것과 같이 질적으로 다르다. 아이작 뉴턴은 모든 입방 곡선에 대한 상세한 연구를 수행했는데, 이 예들이 속한 일반적 가족이다. 이러한 단수점은 곡선의 교차점을 회계처리할 때 다중성(이중점은 2점, 정지는 3점)으로 계산해야 한다는 것이 베주트의 정리 정립에서 주목되었다.

그 후 대수적 다양성의 단일한 점, 즉 더 높은 차원을 허용하는 일반적인 개념을 정의하는 것은 짧은 단계였다.

대수 기하학에서 특이점의 일반적 위치

대수 기하학에서 그러한 특이점들은 다항식 방정식으로 정의되고 따라서 좌표계의 관점에서 정의되기 때문에 원칙적으로 연구하기가 가장 쉽다. 단 하나의 점의 외적 의미는 문제가 되지 않는다고 말할 수 있다; 그것은 단지 본질적인 측면에서 주변 공간의 좌표가 그 점의 대수적 다양성의 기하학을 직접적으로 번역하지 않는다는 것이다. 그러한 특이점에 대한 집중적인 연구는 결국 히로나카 헤이스케의 특이점 해결(특성 0의 혼성 기하학에서)에 대한 근본적인 정리로 이어졌다. 이것은 한 가닥의 끈을 "확실한" 이중 지점에서 크로스오버를 "분명히" 사용함으로써, 그 자체에서 한 가닥을 "들어내는" 간단한 과정이 본질적으로 오도되지 않는다는 것을 의미한다: 대수 기하학의 모든 특이점들은 (다중 과정을 통해) 일종의 매우 일반적인 붕괴로서 회복될 수 있다. 이 결과는 흔히 아핀 지오메트리를 투영 기하학으로 확장하기 위해 암묵적으로 사용된다. 아핀 다양성이 투영 공간에서 그것의 폐쇄를 취할 때 무한대로 하이퍼플레인에서 단수점을 획득하는 것은 전적으로 일반적이다. 결의안은 그러한 특이점들을 (불만화) 콤팩트화(Zariski 위상보다는 강한 위상의 경우, 즉)로 처리할 수 있다고 말한다.

원만한 이론과 재앙은

히로나카 씨의 작품과 거의 동시에 르네 톰의 대재앙 이론이 큰 주목을 받고 있었다. 이것은 하슬러 휘트니의 초기 연구에 기초한 특이점 이론의 또 다른 분야다. 대략적으로 말하면, 평탄한 함수의 임계점은 레벨 세트가 기하학적 감각에서 단수적인 점을 발달시키는 곳이다. 이 이론은 다항식만 다루는 것이 아니라 일반적으로 서로 다른 기능을 다룬다. 이를 보완하기 위해 안정적인 현상만 고려한다. 자연에서 작은 변화로 파괴된 것은 관찰되지 않을 것이라고 주장할 수 있다. 눈에 보이는 것은 마구간이다. 휘트니는 적은 수의 변수에서 임계점의 안정적 구조가 국지적으로 매우 제한적이라는 것을 보여주었다. 톰은 자연에서 불연속적인 변화를 설명하기 위해 이 이론과 그의 초기 연구를 바탕으로 했다.

아놀드의 견해

톰이 저명한 수학자였던 동안 크리스토퍼 지만이 전파한 기본적인 재앙 이론의 유행을 따르는 경향성은 특히 블라디미르 아놀드 쪽에 반향을 일으켰다.[2] 그는 휘트니, 톰과 다른 작가들의 작품에서 흘러나오는 것뿐만 아니라 대수 기하학의 입력을 포함한 영역에 특이성 이론이라는 용어를 적용하는 데 크게 책임이 있었을 것이다. 그는 영토의 작은 부분을 지나치게 공공연히 강조하는 것에 대한 혐오감을 분명히 하는 용어로 썼다. 매끄러운 특이점에 대한 기초 연구는 단수점과 세균에 대한 동등성 관계를 형성하는 것으로 공식화된다. 기술적으로 이것은 제트기 공간에 대한 Lie 그룹의 집단 행동을 포함한다; 덜 추상적인 용어로 Taylor 시리즈는 변수의 변화까지 조사되어 충분한 파생상품으로 특이점을 고정시킨다. 아놀드에 따르면 응용은 고전 역학의 기하학적 형태로서, 공감 기하학 기하학에서 볼 수 있다.

이중성

특이점이 수학에서 문제를 일으키는 중요한 이유는 다양체 구조의 실패와 함께 푸앵카레 이중성의 호출도 허용되지 않기 때문이다. 주요한 발전은 교차로 코호몰로지 도입이었는데, 처음에는 지층을 이용하여 이중성을 회복하려는 시도에서 비롯되었다. 수많은 연결과 응용은 예를 들어 호몰로지 대수학에서 비뚤어진 피복의 개념에서 비롯되었다.

기타 가능한 의미

위에서 언급한 이론은 함수가 정의되지 않은 값으로서의 수학 특이성의 개념과 직접적으로 관련되지 않는다. 예를 들어 격리된 특이점, 필수 특이점, 분리 가능한 특이점을 참조하십시오. 그러나 미분방정식의 모노드로미 이론은, 복잡한 영역에서, 특이점을 중심으로, 그러나 기하학적 이론과 관련이 있다. 대략적으로 말하면, 모노드로미는 표지 지도가 퇴화할 수 있는 방법을 연구하는 반면, 특이성 이론은 다지체가 퇴화할 수 있는 방법을 연구하고, 이 분야들은 연결되어 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Arnold, V. I. (2000). "Singularity Theory". www.newton.ac.uk. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Retrieved 31 May 2016.
  2. ^ 아놀드 1992

참조

  • E. Brieskorn; H. Knörrer (1986). Plane Algebraic Curves. Birkhauser-Verlag. ISBN 978-3764317690.