수리통계학

Mathematical statistics
데이터 집합의 선형 회귀 분석 그림입니다.회귀 분석은 수학 통계의 중요한 부분입니다.
통계 정보
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수학 통계학은 통계 데이터를 수집하는 기법과 달리 수학의 한 분야인 확률론을 통계에 적용하는 것이다.이를 위해 사용되는 특정한 수학적 기술에는 수학 분석, 선형 대수학, 확률 분석, 미분 방정식, 측정 [1][2]이론이 포함됩니다.

서론

통계 데이터 수집은 연구의 계획, 특히 무작위 실험의 설계 및 무작위 표본을 사용한 조사 계획과 관련이 있다.데이터의 초기 분석은 종종 연구가 수행되기 전에 지정된 스터디 프로토콜을 따릅니다.또한 연구의 데이터는 초기 결과에서 영감을 받은 2차 가설을 고려하거나 새로운 연구를 제안하기 위해 분석될 수 있습니다.계획된 연구의 데이터에 대한 2차 분석은 데이터 분석의 도구를 사용하며, 이 과정을 수학 통계학이라고 합니다.

데이터 분석은 다음과 같이 나뉩니다.

  • 기술 통계량 - 데이터를 설명하는 통계량, 즉 데이터와 해당 데이터의 일반적인 속성을 요약합니다.
  • 추리 통계량 - 데이터에서 결론을 도출하는 통계량 부분(데이터에 대한 일부 모형 사용):예를 들어, 추리 통계는 데이터에 대한 모델을 선택하고, 데이터가 특정 모델의 조건을 충족하는지 확인하고, 관련된 불확실성을 정량화하는 것을 포함한다(예: 신뢰 구간 사용).

데이터 분석 도구는 무작위 연구의 데이터에 가장 잘 작동하지만 다른 종류의 데이터에도 적용됩니다.예를 들어, 자연 실험과 관찰 연구로부터, 이 경우 추론은 통계학자가 선택한 모형에 의존하며,[3] 따라서 주관적입니다.

토픽

다음은 수학 [4][5]통계에서 중요한 토픽 중 몇 가지입니다.

확률 분포

주요 기사: 확률 분포

확률 분포는 랜덤 실험, 조사 또는 통계적 추론 절차의 가능한 결과의 각 측정 가능한 부분 집합에 확률을 할당하는 함수입니다.표본 공간이 비수치인 실험, 표본 공간이 확률 질량 함수에 의해 지정될 수 있는 이산 랜덤 변수에 의해 인코딩된 실험, 연속 랜덤 변수에 의해 인코딩된 표본 공간 실험 등에서 예가 발견됩니다.여기서 분포는 확률 밀도 함수로 지정할 수 있습니다.연속 시간에 정의된 확률적 과정을 포함하는 것과 같이 더 복잡한 실험은 보다 일반적인 확률 측정의 사용을 요구할 수 있다.

확률 분포는 일변량 또는 다변량일 수 있습니다.일변량 분포는 단일 랜덤 변수가 다양한 대체 값을 취할 확률을 제공하고 다변량 분포(공동 확률 분포)는 두 개 이상의 랜덤 변수 집합이 다양한 값의 조합을 취할 확률을 제공합니다.중요하고 일반적으로 발생하는 일변량 확률 분포에는 이항 분포, 초기하 분포 및 정규 분포가 포함됩니다.다변량 정규 분포는 일반적으로 발견되는 다변량 분포입니다.

특별 배포

  • 정규 분포, 가장 일반적인 연속 분포
  • 단일 베르누이 시행 결과에 대한 베르누이 분포(예: 성공/실패, 예/아니오)
  • 이항 분포 - 고정된 총 독립 발생 횟수(예: 성공, 찬성 투표 등)에 대해
  • 음의 이항 분포, 이항형 관측치의 경우이지만 관심 있는 수량은 주어진 성공 횟수가 발생하기 전의 실패 횟수입니다.
  • 이항형 관측치의 경우지만 관심 있는 수량이 첫 번째 성공 이전의 실패 횟수인 기하 분포. 성공 횟수가 1인 음이항 분포의 특수한 경우입니다.
  • 유한한 값의 집합에 대해 이산 균일한 분포(예: 공정 다이의 결과)
  • 연속 균일한 분포, 연속적으로 분포된 값
  • 포아송 분포 - 지정된 기간 동안 포아송 유형 사건의 발생 횟수에 대한 분포
  • 지수 분포 - 다음 포아송 유형 사건이 발생하기 전의 시간
  • 다음 k개의 포아송 유형 사건이 발생하기 전의 시간에 대한 감마 분포
  • 카이 제곱 분포, 표준 정규 변수의 제곱합에 대한 분포. 예를 들어 정규 분포 표본의 표본 분산에 대한 추론에 유용합니다(카이 제곱 검정 참조).
  • 표준 정규 변수의 비율과 척도화된 카이 제곱 변수의 제곱근의 분포인 학생 t 분포. 분산을 알 수 없는 정규 분포 표본의 평균에 대한 추론에 유용합니다(학생 t-검정 참조).
  • 단일 확률(0과 1)에 대한 베타 분포, 베르누이 분포 및 이항 분포에 공역

통계적 추론

주요 기사:통계적 추론

통계적 추론은 랜덤 변동(예:[6] 관측 오차 또는 표본 변동)이 있는 데이터에서 결론을 도출하는 과정입니다.그러한 추론 및 유도 절차 시스템의 초기 요건은 시스템이 잘 정의된 상황에 적용될 때 합리적인 답변을 생성해야 하며, 다양한 상황에 적용될 수 있을 정도로 충분히 일반적이어야 한다는 것이다.추리 통계량은 가설을 검정하고 표본 데이터를 사용하여 추정하는 데 사용됩니다.기술 통계량은 표본을 설명하는 반면 추리 통계량은 표본이 나타내는 더 큰 모집단에 대한 예측을 추론합니다.

통계적 추론의 결과는 "다음에는 무엇을 해야 하는가?"라는 질문에 대한 답변이 될 수 있다. 여기서 이것은 추가 실험이나 조사를 하거나 일부 조직 또는 정부 정책을 구현하기 전에 결론을 도출하는 것에 대한 결정이 될 수 있다.대부분의 경우, 통계적 추론은 특정 형태의 무작위 표본 추출을 통해 관심 모집단에서 추출한 데이터를 사용하여 모집단에 대한 제안을 한다.보다 일반적으로 랜덤 프로세스에 관한 데이터는 한정된 기간 동안 관찰된 동작으로부터 얻을 수 있습니다.추론을 원하는 매개변수 또는 가설을 지정하면 통계적 추론은 다음 사항을 가장 많이 사용한다.

  • 데이터를 생성해야 하는 랜덤 프로세스의 통계 모델. 랜덤화가 사용되었을 때 알려져 있으며,
  • 랜덤 프로세스의 특정 실현, 즉 데이터 세트.

회귀

주요 기사: 회귀 분석

통계학에서 회귀 분석은 변수 간의 관계를 추정하기 위한 통계 과정입니다.여기에는 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계에 초점을 맞출 때 여러 변수를 모형화하고 분석하는 여러 방법이 포함됩니다.보다 구체적으로, 회귀 분석은 종속 변수(또는 '기준 변수')의 일반적인 값이 다른 독립 변수 중 하나가 변경되고 다른 독립 변수가 고정되는 경우 어떻게 변화하는지를 이해하는 데 도움이 됩니다.가장 일반적으로 회귀 분석은 독립 변수가 주어진 종속 변수의 조건부 기대치, 즉 독립 변수가 고정된 경우의 종속 변수의 평균 값을 추정합니다.일반적으로 독립 변수가 주어진 종속 변수의 조건부 분포의 분위수 또는 기타 위치 모수에 초점을 맞춥니다.모든 경우에 추정 대상은 회귀 함수라는 독립 변수의 함수입니다.회귀 분석에서는 확률 분포로 설명할 수 있는 회귀 함수를 중심으로 종속 변수의 변동을 특성화하는 것도 중요합니다.

회귀 분석을 수행하기 위한 많은 기법이 개발되었습니다.선형 회귀 분석과 같은 익숙한 방법은 데이터에서 추정된 유한한 수의 알려지지 않은 매개변수(예: 일반 최소 제곱 사용)의 관점에서 회귀 함수를 정의한다는 점에서 모수이다.비모수 회귀 분석이란 회귀 함수를 무한 차원일 수 있는 지정된 함수 집합에 배치할 수 있는 기술을 말합니다.

비모수 통계량

주요 기사:비모수 통계량

비모수 통계량은 모수화된 확률 분포 군을 기반으로 하지 않는 방식으로 데이터에서 계산된 값입니다.여기에는 기술 통계량과 추리 통계량이 모두 포함됩니다.일반적인 모수는 평균, 분산 등입니다.모수 통계량과 달리 비모수 통계량은 평가할 변수의[citation needed] 확률 분포에 대한 가정을 하지 않습니다.

비모수적 방법은 순위가 매겨진 모집단(예: 별 1개에서 별 4개를 받는 영화 리뷰)을 연구하는 데 널리 사용됩니다.데이터에 순위는 있지만 선호도 평가와 같이 명확한 수치 해석이 없는 경우 비모수적 방법을 사용해야 할 수 있다.측정 수준의 측면에서 비모수 방법을 사용하면 "정상" 데이터가 생성됩니다.

비모수적 방법은 가정 횟수가 적기 때문에 해당 모수적 방법보다 적용 범위가 훨씬 넓어집니다.특히 해당 출원에 대해 잘 알려지지 않은 상황에서 적용될 수 있습니다.또한 더 적은 가정에 의존하기 때문에 비모수적 방법이 더 강력합니다.

비모수적 방법을 사용하는 또 다른 이유는 단순성입니다.경우에 따라서는 파라메트릭 방법을 사용하는 것이 정당하다고 하더라도 비파라메트릭 방법을 사용하는 것이 더 쉬울 수 있습니다.이러한 단순성과 견고성 때문에 일부 통계학자들은 비모수 방법을 부적절한 사용과 오해의 여지가 적은 것으로 보고 있다.

통계, 수리 및 수리 통계

수학 통계학은 통계학의 핵심 부분집합이다.통계 이론가들은 수학으로 통계 절차를 연구하고 개선하며, 통계 연구는 종종 수학적인 문제를 제기한다.통계이론은 확률과 결정이론에 의존한다.

가우스, 라플라스, C와 같은 수학자와 통계학자. S. 피어스는 확률 분포 및 손실 함수(또는 효용 함수)와 함께 의사결정 이론을 사용했다.통계 추론에 대한 의사결정 이론 접근법은 아브라함 왈드와 그의 [7][8][9][10][11][12][13]후계자들에 의해 다시 활성화되었고, 과학적 계산, 분석 및 최적화를 광범위하게 사용한다. 통계학자들은 실험 설계를 위해 대수학과 조합론을 사용한다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Lakshmikantham, ed. by D. Kannan,... V. (2002). Handbook of stochastic analysis and applications. New York: M. Dekker. ISBN 0824706609. {{cite book}}: first=범용명(도움말)이 있습니다.
  2. ^ Schervish, Mark J. (1995). Theory of statistics (Corr. 2nd print. ed.). New York: Springer. ISBN 0387945466.
  3. ^ Freedman, D.A. (2005) 통계 모델: 이론과 실천, 케임브리지 대학 출판부.ISBN 978-0-521-67105-7
  4. ^ 호그, R. V., A. 크레이그, J. W. 맥킨.「수학 통계학」(2005).
  5. ^ Larsen, Richard J. 및 Marx, Morris L. "수학 통계와 그 응용에 대한 입문"(2012).프렌티스 홀.
  6. ^ Upton, G., Cook, I. (2008) 옥스퍼드 통계 사전, OUP. ISBN 978-0-19-954145-4
  7. ^ Wald, Abraham (1947). Sequential analysis. New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-91806-7. See Dover reprint, 2004: ISBN 0-486-43912-7
  8. ^ Wald, Abraham (1950). Statistical Decision Functions. John Wiley and Sons, New York.
  9. ^ Lehmann, Erich (1997). Testing Statistical Hypotheses (2nd ed.). ISBN 0-387-94919-4.
  10. ^ Lehmann, Erich; Cassella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). ISBN 0-387-98502-6.
  11. ^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001). Mathematical Statistics: Basic and Selected Topics. Vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.). Pearson Prentice-Hall.
  12. ^ Le Cam, Lucien (1986). Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96307-3.
  13. ^ Liese, Friedrich & Miescke, Klaus-J. (2008). Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection. Springer.

추가 정보

  1. ^ Ray, M.; Sharma, H.S. (1966). Mathematical Statistics. Ram Prasad & Sons.