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유클리드

Euclid
유클리드
Εὐκλείδης
Euclid by Jusepe de Ribera, c. 1630–1635[1]
활동년수fl. 기원전 300년
로 유명함
다양한 컨셉
과학경력
필드수학(기하학)

유클리드(/ˈ ː kl ɪd/, 그리스어: ε ὐκλείδης, 기원전 300년)는 고대 그리스수학자로 기하학자, 논리학자로 활동했습니다. "기하학의 아버지"로 여겨지는 [3]그는 주로 19세기 초까지 기하학을 지배했던 기초를 확립한 원소 논문으로 유명합니다. 현재 유클리드 기하학이라고 불리는 그의 체계는 크니두스의 에우독소스, 키오스의 히포크라테스, 그리고 테아테토스를 포함한 초기 그리스 수학자들의 이론의 종합과 결합하여 새로운 혁신을 수반했습니다. 아르키메데스페르가의 아폴로니우스와 함께 유클리드는 일반적으로 고대의 가장 위대한 수학자 중 한 명이자 수학 역사상 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명으로 여겨집니다.

유클리드의 생애에 대해서는 알려진 바가 거의 없으며, 대부분의 정보는 수세기 후 알렉산드리아의 학자인 프로쿠스파푸스에게서 나옵니다. 중세 이슬람 수학자들은 허황된 전기를 발명했고, 중세 비잔틴과 초기 르네상스 학자들은 그를 초기의 철학자인 메가라의 유클리드로 착각했습니다. 현재 그는 알렉산드리아에서 경력을 보냈고 플라톤의 학생들 이후 아르키메데스 이전인 기원전 300년경에 살았다는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다. 유클리드가 플라톤 아카데미에서 공부하고 나중에 무사음에서 가르쳤다는 추측이 있습니다. 그는 아테네의 초기 플라톤 전통과 나중에 알렉산드리아의 전통을 연결하는 것으로 여겨집니다.

Elements에서 Euclid는 작은 공리 집합에서 정리를 추론했습니다. 그는 또한 원근법, 원뿔면, 구면기하학, 수론, 수학적 엄격함에 관한 작품을 썼습니다. Euclid는 The Elements 외에도 광학 분야, OpticsDataPhaenoma를 포함한 덜 알려진 작품에서 중심 초기 텍스트를 작성했습니다. 유클리드의 다른 두 문헌인 도형의 나눗셈, 카토프릭스의 저자에 대한 의문이 제기되었습니다. 그는 현재 잃어버린 많은 작품들을 썼다고 생각됩니다.

인생

전통적인 이야기

라파엘아테네 학파에서 학생들을 가르친 유클리드에 대한 인상의 상세(1509-1511)

영어 이름 '유클리드'는 고대 그리스어 이름 유클리드 (ε ὐκλείδης)의 영어식 버전입니다. 이것은 'eu-' (εὖ; 'well')과 'klès' (-κλῆς; 'fame')에서 유래되었으며, "유명하고, 영광스럽다"라는 의미입니다. 영어로 'Euclid'는 그의 가장 잘 알려진 작품인 'Euclid's Elements' 또는 그 사본을 의미할 수 있으며,[5] 때로는 'geometry'와 동의어가 되기도 합니다.[2]

많은 고대 그리스 수학자들과 마찬가지로 유클리드의 생애에 대한 자세한 내용은 거의 알려지지 않았습니다.[7] 그는 원소, 광학, 데이터, 페노메나 등 현존하는 4개의 논문의 저자로 인정받고 있지만, 이 외에도 그에 대해 알려진 것은 없습니다.[8][b] 전통적인 이야기는 주로 프롤루스유클리드의 요소에 관한번째 책에 쓴 서기 5세기 이야기와 4세기 초 알렉산드리아의 파푸스의 일화를 따릅니다.[4][c]

프로크루스에 따르면, 유클리드는 플라톤 d.(기원전 347년)의 추종자들 중 몇 명과 수학자 아르키메데스 c.(기원전 287년–c. 212년) 이전에 살았습니다.[d] 구체적으로, 프로크루스는 프톨레마이오스 1세 (기원전 305년/304년–282년)r.의 통치 기간 동안 유클리드를 배치했습니다.[8][7][e] 유클리드의 탄생일은 알려지지 않았습니다. 어떤 학자들은 기원전 330년[11][12] 또는 325년경으로 추정하지만,[2][13] 다른 학자들은 추측을 자제합니다.[14] 그는 그리스계였을 것으로 추정되지만,[11] 그의 출생지는 알려지지 않았습니다.[15][f] 프로쿠스는 유클리드가 플라톤 전통을 따랐다고 주장했지만, 이에 대한 확실한 확인은 없습니다.[17] 플라톤과 동시대의 인물일 가능성은 낮으므로 아테네의 플라톤 아카데미에서 플라톤의 제자들에게 교육을 받았을 것으로 추정되는 경우가 많습니다.[18] 역사학자 토마스 히스(Thomas Heath)는 유클리드의 업적을 바탕으로 한 많은 기하학자들을 포함하여 대부분의 유능한 기하학자들이 아테네에 살았다고 언급하면서 이 이론을 지지했습니다.[19] 시알라로스는 이것을 단순한 추측으로 간주합니다.[20][4] 어쨌든 유클리드의 작품 내용은 플라톤 기하학 전통에 익숙하다는 것을 보여줍니다.[11]

파푸스는 그의 모음집에서 아폴로니우스알렉산드리아에서 유클리드의 제자들과 함께 공부했다고 언급하며, 이는 유클리드가 그곳에서 수학적 전통을 세우고 활동했음을 암시하는 것으로 받아들여졌습니다.[8][21][19] 이 도시는 기원전 331년 알렉산더 대왕에 의해 세워졌고,[22] 기원전 306년부터 프톨레마이오스 1세의 통치는 알렉산더의 제국을 분할하는 혼란스러운 전쟁 속에서 비교적 독특한 안정감을 주었습니다.[23] 프톨레마이오스는 헬레니즘화의 과정을 시작했고 수많은 건축물을 의뢰하여 교육의 중심지였던 거대한 무신앙 기관을 건설했습니다.[15][g] 유클리드는 무사음의 첫 학자 중 한 명이었을 것으로 추측됩니다.[22] 유클리드의 사망 날짜는 알려지지 않았으며, 기원전 270년에 사망한 것으로 추측됩니다.[22]

정체성과 역사성

도메니코 마롤리(Domenico Maroli)의 1650년대 그림 유클리드 디 메가라시(Euclid di Megarasi travest donna per recarsiad Atene a seguire lelezioni di Socrate [아테네에서 소크라테스가 가르치는 것을 듣기 위해 여성으로 입은 메가라 드레싱의 유클리드(Euclid of Megara Dressing as a Woman to Hear Socrat in Athenes)] 당시 철학자 유클리드와 수학자 유클리드가 같은 사람으로 잘못 여겨졌기 때문에 이 그림에는 수학적 대상이 테이블에 포함되어 있습니다.[25]

유클리드는 종종 '알렉산드리아의 유클리드'라고 불리는데, 소크라테스의 제자인 메가라의 초기 철학자 유클리드가 역사적으로 혼란스러웠던 플라톤의 대화에 포함되어 있기 때문입니다.[4][14] 서기 1세기 로마의 일화 편찬자인 발레리우스 막시무스는 플라톤이 큐브를 두 배로 늘리는 방법을 묻는 사람들을 보낸 수학자 에우독소스(기원전 4세기)를 유클리드의 이름으로 잘못 대체했습니다.[26] 아마도 대략 한 세기 전에 수학적 유클리드가 언급된 것을 바탕으로, 유클리드는 중세 비잔틴 자료에서 메가라의 유클리드와 섞이게 되었고,[27] 결국 수학자 유클리드는 두 사람의 전기에 대한 세부 사항으로 묘사되고 메가라lit.'메가라'로 묘사되게 되었습니다.[4][28] 비잔티움의 학자 테오도르 메토치테스(c.1300)는 두 유클리드를 명시적으로 혼동했고, 인쇄업자 에르하르트 라트돌트의 1482년 캄파누스 왕자의 노바라라틴어 번역본도 마찬가지였습니다.[27] 수학자 바르톨로메오 잠베르티[fr;de]가 유클리드에 관한 현존하는 전기 조각의 대부분을 그의 1505년 《유클리드 원론》 번역의 서문에 추가한 후, 후속 출판물들이 이 신원을 전해주었습니다.[27] 후대 르네상스 학자들, 특히 피터 라무스는 연대의 문제와 초기 자료의 모순을 통해 이 주장이 거짓임을 증명하면서 재평가했습니다.[27]

중세 아랍어 자료는 유클리드의 삶에 관한 방대한 정보를 제공하지만, 전혀 확인할 수 없습니다.[4] 대부분의 학자들은 그것들이 의심스러운 진위라고 생각합니다;[8] 특히 히스는 허구화가 존경 받는 수학자와 아랍 세계 사이의 관계를 강화하기 위해 이루어졌다고 주장합니다.[17] 역사성이 불확실한 유클리드에 관한 수많은 일화들도 있는데, 이 일화들은 "그를 친절하고 온화한 노인으로 묘사한다"고 합니다.[29] 이 중 가장 잘 알려진 것은 프롤루스가 프톨레마이오스에게 기하학을 배우는 데 의 요소를 읽는 것보다 더 빠른 길이 있는지를 묻는 이야기인데, 이에 유클리드는 "기하학으로 가는 왕도는 없다"고 대답했습니다.[29] 메나에흐무스와 알렉산드로스 대왕 사이의 매우 유사한 상호작용이 스토바에우스로부터 기록되어 있기 때문에 이 일화는 의문입니다.[30] 두 기록 모두 서기 5세기에 작성된 것으로 출처를 나타내지 않으며 고대 그리스 문헌에도 나타나지 않습니다.[31]

유클리드 활동의 기원전 300년에 대한 확실한 연대는 현대적인 언급이 부족하기 때문에 의문을 제기합니다.[4] 유클리드에 대한 최초의 언급은 아폴로니우스가 코닉스에 보낸 사전 편지(기원전 2세기 초)에 있습니다. "코닉스의 세 번째 책에는 고체 위치의 합성과 해의 수를 결정하는 데 유용한 많은 놀라운 정리들이 포함되어 있습니다. 이것들 중 대부분과 가장 우수한 것들은 참신합니다. 그리고 우리가 그것들을 발견했을 때 우리는 유클리드가 세 줄과 네 줄의 유전자좌의 합성을 만든 것이 아니라 우연한 한 조각만을 만들어냈다는 것을 깨달았고, 그마저도 잔인하게 이루어지지 않았습니다."[26] 아르키메데스와 아폴로니우스가 그 명제들 중 몇 가지를 당연한 것으로 여기기 때문에, 요소들은 기원전 3세기까지 적어도 부분적으로 유통되었을 것으로 추측됩니다.[4] 그러나 아르키메데스는 요소들에서 발견되는 것보다 더 오래된 비례 이론의 변형을 사용합니다.[8] 고대 이집트 옥시린쿠스의 쓰레기 더미에서 발굴된 파피루스 조각은 기원후 100년경에 만들어진 원소에 포함된 물질의 가장 오래된 실물 사본입니다. 현존하는 가장 오래된 직접적인 인용은 서기 2세기가 되어서야 갈렌아프로디시아스의 알렉산더에 의해 발견됩니다.[26] 몇몇 고대 그리스 수학자들은 유클리드를 이름으로 언급하지만, 그는 보통 "ὁ στοιχειώτης"("원소의 저자")로 불립니다. 중세 시대에 몇몇 학자들은 유클리드가 역사적 인물이 아니며 그의 이름은 그리스 수학 용어의 부패에서 비롯되었다고 주장했습니다.[33]

작동하다

요소들

서기 75-125년의 유클리드 원소파피루스 조각. 옥시린쿠스에서 발견된 도표는 2권 5안에 첨부되어 있습니다.[34]

유클리드는 의 마그노푸스로 여겨지는 열세 권의 논문 (그리스어: σ τοιχεῖ α; 스토이키아)으로 가장 잘 알려져 있습니다. 그 내용의 상당 부분은 에우독소스, 키오스의 히포크라테스, 탈레스, 테에테토스 등 초기 수학자들에게서 비롯되었고, 다른 정리들은 플라톤과 아리스토텔레스에 의해 언급됩니다.[36] 유클리드의 업적은 그의 전임자들의 업적과 구별하기 어렵습니다. 특히 원소가 본질적으로 훨씬 이전의 그리스 수학을 대체했기 때문입니다.[37][h] 고전주의자 마르쿠스 아스퍼(Markus Asper)는 "분명히 유클리드의 업적은 수용된 수학적 지식을 설득력 있는 질서로 조립하고 부족한 부분을 채우기 위해 새로운 증명을 추가하는 것"이라고 결론짓고, 수학자 세라피나 쿠오모(Serafina Cuomo)는 이를 "결과의 저장소"라고 설명했습니다.[38][36] 그럼에도 불구하고 시알라로스는 "요소의 현저하게 촘촘한 구조는 단순한 편집자의 한계를 넘어서는 권위적 통제를 드러낸다"고 덧붙였습니다.[9]

Elements는 때때로 생각되는 것처럼 기하학에 대해서만 논의하지는 않습니다.[37] 전통적으로 평면기하학(1-6권), 기본수론(7-10권), 실선기하학(11-13권)의 세 가지 주제로 나뉘지만 5권(비례)과 10권(비합리적 선)은 이 체계에 정확히 맞지 않습니다.[39][40] 본문의 핵심은 곳곳에 흩어져 있는 정리들입니다.[35] 아리스토텔레스의 용어를 사용하면 일반적으로 "제1원칙"과 "제2원칙"의 두 가지로 나눌 수 있습니다.[41] 첫 번째 그룹에는 "정의"(그리스어: ὅρος 또는 ὁρισμ ός), "공준"(α ἴτημα) 또는 "공준"(α κοινὴ ἔννοιμα)으로 표시된 문장이 포함되어 있으며, 첫 번째 책에만 공준(후에 공리로 알려진)과 일반적인 개념이 포함되어 있습니다. 두 번째 그룹은 수학적 증명과 도표와 함께 제시된 명제로 구성됩니다.[41][j] 유클리드가 원소를 교과서로 의도했는지는 알 수 없지만, 그 제시 방법은 자연스럽게 들어맞습니다.[9] 전체적으로 권위적인 목소리는 일반적이고 비인격적입니다.[36]

내용물

유클리드의 공준과 일반적인[44] 개념
No. 공준
다음을 가정해 보겠습니다.
1 임의의 점에서 임의의 점으로[k] 직선을 긋는 방법
2 유한 직선을 연속적으로 직선으로 생성하는 방법
3 중심과 거리가 있는 원을 설명하는 방법
4 모든 직각이 서로 동일하다는 것.
5 그것은 두 직선 위에 떨어지는 직선이 다음과 같은 것을 만든다면.
같은 면의 내각이 직각 2개보다 작습니다.
무한히 생산되면 그 두 직선은 그 면에서 만나게 됩니다.
두 직각보다 각도가 작은.
No. 통념
1 동일한 것과 동일한 것은 또한 서로 동일합니다.
2 등식에 등식을 더하면 총계가 동일합니다.
3 등식에서 등식을 빼면 나머지는 동일합니다.
4 서로 일치하는 것들은 서로 동등합니다.
5 전체가 부분보다 큽니다.

요소 1권은 전체 본문의 기초입니다.[37] , 각도 및 다양한 정다각형과 같은 기본 기하학적 개념에 대한 일련의 20가지 정의로 시작됩니다.[45] 그런 다음 유클리드는 5개의 공준(축)과 5개의 공통 개념으로 그룹화된 10개의 가정(표, 오른쪽 참조)을 제시합니다.[46][l] 이러한 가정은 모든 후속 정리에 대한 논리적 기초를 제공하기 위한 것으로, 즉 공리적 체계 역할을 합니다.[47][m] 일반적인 개념은 전적으로 크기 비교에 관한 것입니다.[49] 1번부터 4번까지의 공준은 비교적 간단하지만,[n] 5번은 평행 공준으로 알려져 있으며 특히 유명합니다.[49][o]

책 1은 또한 평면 기하학과 삼각형 합동의 기본 정리와 구성에 관한 것들(1-26), 평행선(27-34), 삼각형평행사변형넓이(35-45), 그리고 피타고라스 정리(46-48)로 느슨하게 나눌 수 있는 48개의 명제들을 포함합니다.[49] 이들 중 마지막에는 시알라로스가 "놀랍게 섬세하다"고 묘사한 피타고라스 정리의 가장 초기의 증명이 포함되어 있습니다.[41]

책 2는 전통적으로 "기하 대수학"에 관한 것으로 이해되지만, 이 해석은 1970년대부터 많은 논쟁이 있었지만, 비평가들은 초기 대수학의 기초가 수세기 후에 발생했기 때문에 특성화를 시대착오적이라고 설명합니다.[41] 두 번째 책은 좀 더 집중적인 범위를 가지고 있으며 다양한 기하학적 형태를 수반하는 대수적 정리를 대부분 제공합니다.[37][49] 직사각형정사각형의 면적에 초점을 맞추고 있으며(쿼드러쳐 참조), 코사인 법칙의 기하학적 전구체로 이어집니다.

3권은 원에 초점을 맞추고, 4권은 정다각형, 특히 오각형에 대해 논의합니다.[37][51] 5권은 이 작품의 가장 중요한 부분 중 하나이며 일반적으로 "비례의 일반 이론"이라고 불리는 것을 제시합니다.[52][p] 6권은 평면기하학의 맥락에서 "비율 이론"을 활용합니다.[37] 그것은 거의 전적으로 첫 번째 명제로 지어졌습니다:[53] "같은 높이 아래에 있는 삼각형과 평행사변형은 그들의 기저로서 서로에 대한 것입니다."[54]

수학자 벤노 아트만 7권 이후부터 "유클리드는 새로 시작한다. 앞의 책에는 아무것도 사용되지 않습니다."[55] 수론은 7권부터 10권까지 다루는데, 전자는 패리티, 소수 및 기타 산술 관련 개념에 대한 22개의 정의로 시작합니다.[37] 7권에는 두 수의 최대 공약수를 구하는 방법인 유클리드 알고리즘이 포함되어 있습니다.[55] 8권은 기하학적 진행에 대해 설명하고, 9권은 현재 유클리드의 정리로 불리는 명제를 포함하고 있습니다.[37]

요소 중에서 10권은 단연코 가장 크고 복잡하며, 규모의 맥락에서 무리수를 다룹니다.[41]

5개의 플라톤 입체, 11-13권에 등장하는 입체 기하학의 기초 구성 요소

마지막 세 권의 책(11-13)은 주로 입체 기하학에 대해 설명합니다.[39] 11권은 37개의 정의 목록을 소개함으로써 다음 두 가지를 맥락화합니다.[56] 그 근본적인 성격은 책 1과 닮았지만 후자와는 달리 공리적 체계나 공준이 없습니다.[56] 11권의 세 부분은 입체기하학(1~19), 입체각(20~23), 직육면체 입체(24~37)에 관한 내용을 포함하고 있습니다.[56]

기타작품

유클리드의 정십이면체 구성

원소 외에도 유클리드의 작품은 적어도 다섯 점이 현재까지 남아 있습니다. 그들은 정의와 증명된 명제가 있는 요소와 동일한 논리 구조를 따릅니다.

  • 카토프릭스는 거울의 수학적 이론, 특히 평면과 구면 오목 거울에 형성된 이미지에 관한 것이지만, 때때로 그 속성에 의문이 제기됩니다.[57]
  • 데이터(그리스어: δ εδομένα)는 기하학적 문제에서 "주어진" 정보의 본질과 의미를 다루는 다소 짧은 텍스트입니다.
  • 분할에서(그리스어: π ερὶ δ ια ιρέσεων)는 아랍어 번역에서 부분적으로만 살아남으며 기하학적 도형을 둘 이상의 동일한 부분으로 또는 주어진 비율로 부분적으로 나누는 것에 관한 것입니다. 그것은 36개의 명제를 포함하고 있으며, 아폴로니우스의 코닉스와 유사합니다.[57]
  • 광학(그리스어: ὀ πτικά)은 현존하는 최초의 그리스 논문입니다. 여기에는 기하광학에 대한 소개와 기본적인 관점 규칙이 포함되어 있습니다.[57]
  • 파에노메나(그리스어: φα ινόμενα)는 그리스어로 생존하는 구형 천문학에 관한 논문으로 기원전 310년경 번성한 피탄의 오토리쿠스의 움직이는 구에 관한 것과 유사합니다.

유실물

다른 4개의 작품은 유클리드의 작품으로 신뢰할 수 있지만 손실되었습니다.[9]

  • 코닉스(그리스어: κ ωνικά)는 원뿔 부분에 대한 4권의 조사로, 나중에 아폴로니우스의 동명에 대한 보다 포괄적인 취급으로 대체되었습니다. 이 작품의 존재는 주로 파푸스에게서 알려져 있는데, 파푸스는 아폴로니우스의 코닉스의 첫 네 권이 대부분 유클리드의 초기 작품에 기반을 두고 있다고 주장합니다.[59] 역사가 알렉산더 존스에 의해 이 주장에 의문이 제기되었는데, 이는 희박한 증거와 파푸스의 진술에 대한 다른 확증이 없었기 때문입니다.[59]
  • 슈다리아(그리스어: ψ ευδάρι α; '낙관')는 기하학적 추론의 텍스트로, 프로쿠스(70.1–18)에 따르면, 초보자에게 일반적인 낙관을 피하는 것을 조언하기 위해 쓰여졌습니다. 그 구체적인 내용은 그 범위와 현존하는 몇 가지 선 외에는 거의 알려져 있지 않습니다.[60]
  • 포리스즘(그리스어: π ορίσ μα τα; '콜라리우스')은 파푸스와 프로쿠스의 기록에 근거한 것으로, 아마도 약 200개의 명제를 가진 3권의 논문이었을 것입니다. 이 맥락에서 '포리즘'이라는 용어는 결론을 의미하는 것이 아니라, "예를 들어 원의 중심을 찾기 위해 기존의 기하학적 실체의 특징을 발견하는 것이 목적인 세 번째 유형의 명제(정리와 문제 사이의 중간)"를 의미합니다.[57] 수학자 미셸 채슬레스는 현재 사라진 이 명제들이 현대의 가로와 사영 기하학 이론과 관련된 내용을 포함하고 있다고 추측했습니다.[58][q]
  • 서피스 로키(그리스어: τ όποι πρὸς ἐπιφα νείᾳ)는 작품 제목에 따른 추측을 제외하고는 사실상 알려지지 않은 내용입니다. 나중의 설명에 근거한 추측은 다른 주제들 중에서도 원뿔과 실린더에 대해 논의했음을 시사합니다.[57]

유산

올리버 번이 1847년에 발행한 컬러판 원소의 표지.

유클리드는 일반적으로 아르키메데스와 페르가의 아폴로니우스와 함께 고대의 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 여겨집니다.[11] 많은 평론가들은 그를 수학 역사상 가장 영향력 있는 인물 중 한 명으로 꼽습니다.[2] 분야는 오랫동안 원소들에 의해 확립된 기하학적 체계가 지배했지만, 오늘날 그 체계는 19세기 초에 발견된 다른 비유클리드 기하학과 구별하기 위해 흔히 '유클리드 기하학'이라고 불립니다.[61] 유클리드의 많은 이름을 가진 것들 중에는 유럽우주국(ESA)의 유클리드 우주선,[62] 달 분화구 유클리드,[63] 그리고 소행성 4354 유클리드가 있습니다.[64]

The Elements는 종종 성경 다음으로 서양 역사에서 가장 자주 번역되고 출판되고 연구된 책으로 여겨집니다.[61] 아리스토텔레스의 형이상학과 함께, 원소는 아마도 가장 성공적인 고대 그리스 텍스트이며, 중세 아랍과 라틴 세계에서 지배적인 수학 교과서였습니다.[61]

원소의 첫 번째 영문판은 1570년 헨리 빌링슬리와 존 디에 의해 출판되었습니다.[27] 수학자 올리버 번(Oliver Byrne)은 1847년에 유클리드의 교육적 효과를 높이기 위한 색채 다이어그램을 포함하는 "유클리드의 요소에 관한 최초의 여섯 권의 책"이라는 잘 알려진 버전을 출판했습니다.[65] 데이비드 힐버트원소현대적 공리화를 저술했습니다.[66]

참고문헌

메모들

  1. ^ 현대 영어에서 'Euclid'는 /ˈ ju ː kl ɪd/로 발음됩니다.
  2. ^ 유클리드의 euvre는 또한 나중의 아랍어 자료에서 파편화되어 살아남은 On Divisions라는 논문을 포함합니다.[9] 그는 수많은 잃어버린 작품들도 저술했습니다.
  3. ^ 유클리드에 관한 알렉산드리아의 파푸스의 정보 중 일부는 현재 유실되어 프로쿠스유클리드 원소 1권 해설서에 보존되어 있습니다.[10]
  4. ^ 프로크루스는 테오프라스토스로도스의 에우데무스가 쓴 기원전 4세기 수학사에서 연구했을 가능성이 높습니다. 프로클로스는 헤라클레이아의 아미클라스, 메나에크무스와 그의 형제 디노스트라투스, 마그네시아의 테우디우스, 키지쿠스의 아테나이우스, 콜로폰의 헤르모티무스, 멘데의 필리푸스명시적으로 언급하며 유클리드가 이들을 "얼마 지나지 않아" 왔다고 말합니다.
  5. ^ 유클리드의 삶에 대한 프로쿠스의 설명에 대한 영어 번역은 히스 1981, p. 354를 참조하십시오.
  6. ^ 후대의 아랍 소식통들은 그가 오늘날의 레바논 티레에서 태어난 그리스인이라고 말하고 있지만, 이러한 기록들은 의심스럽고 추측적인 것으로 여겨집니다.[8][4] 아랍어 계정의 영문 번역은 히스 1981, 페이지 355를 참조하십시오. 그는 오랫동안 메가라에서 태어났다고 여겨졌지만 르네상스 시대에 그는 메가라의 철학자 유클리드와 혼동되었다는 결론이 내려졌습니다. §의 정체성과 역사성을 참고하세요.
  7. ^ 박물관은 나중에 유명한 알렉산드리아 도서관을 포함하지만 나중에 프톨레마이오스 2세 필라델푸스 (기원전 285–246)의 통치 기간에 설립되었을 가능성이 높습니다.[24]
  8. ^ 오늘날 사용할 수 있는 Elements 버전에는 "Post-Eucleid" 수학도 포함되어 있는데, 아마도 나중에 4세기에 알렉산드리아의 수학자 Theon과 같은 편집자들에 의해 추가되었을 것입니다.[36]
  9. ^ "공준" 대신 "악시옴"이라는 용어를 사용한 것은 요소에 대한 그의 매우 영향력 있는 논평에서 프로쿠스가 그렇게 선택한 데서 비롯됩니다. 프로쿠스는 또한 "공준"이 보존되었지만 "공준"이라는 용어 대신 "가설"이라는 용어를 대체했습니다.[42]
  10. ^ 유클리드는 각 증명의 마지막에 Q.E.D.(Quaderat demonandum; '실증되어야 할 것')를 포함하고 있으며, 이는 이후 수학적 증명의 제시에 있어 오랜 전통이 되었습니다.[43]
  11. ^ 참고 항목: 유클리드 관계
  12. ^ 이러한 범주의 구분은 즉시 명확하지 않습니다. 공준은 단순히 기하학을 구체적으로 언급할 수 있지만 일반적인 개념은 범위가 더 일반적입니다.[46]
  13. ^ 수학자 제라르 베네마(Gerard Venema)는 이 공리 체계가 완전하지 않다고 지적합니다: "유클리드는 그가 공준에서 말한 것 이상을 가정했습니다."[48]
  14. ^ 공준 1~4에 대한 자세한 개요는 히스 1908, 페이지 195~201 참조
  15. ^ 고대 이래로, 제5공준에 대해 엄청난 양의 장학금이 쓰여져 왔는데, 보통 수학자들이 공준을 증명하려고 시도하는 것으로, 이것은 다른, 증명할 수 없는, 네 개의 공준과 다르게 만들 것입니다.[50]
  16. ^ 5권의 상당 부분은 아마도 이전의 수학자들, 아마도 에우독소스로부터 확인되었을 것입니다.[41]
  17. ^ 포리즘에 대한 자세한 내용은 Jones 1986, pp. 547–572 참조

인용문

  1. ^ 게티.
  2. ^ a b c d 브루노 2003, 페이지 125.
  3. ^ a b Sialaros 2021, § "Summary"
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