파푸스 육각 정리

수학에서 파푸스의 육각 정리(알렉산드리아의 파푸스에게 귀속됨)는 다음과 같이 말합니다.

• given one set of collinear points ${\displaystyle A,B,C,}$ and another set of collinear points ${\displaystyle a,b,c,}$ then the intersection points ${\displaystyle X,Y,Z}$ of line pairs ${\displaystyle Ab}$ and ${\displaystyle aB,Ac}$ and ${\displaystyle aC,}$${\displaystyle \mathrm{bc}}$ ${\displaystyle aC,Bc}$과 ${\displaystyle \mathrm{bc}}$ ${\displaystyle bC}$는 파퍼스 선 위에 놓이면서 공선입니다. 이 세 점은 육각형 ${\displaystyle \mathrm{Ab}}$ ${\displaystyle \mathrm{CaBc}}$ ${\displaystyle AbCaBc}$의 "반대" 면의 교차점입니다$.$

모든 필드에 대한 투영 평면에서 유지되지만 비가환 분할 링에 대한 투영 평면에서는 실패합니다.^[1] "정리"가 유효한 사영 평면을 파피안 평면이라고 합니다.

파퍼스 선 $u{\displaystyle }$ ${\display u}$가 무한대의 선이 되도록 사영 평면을 제한하면 두 번째 다이어그램에 표시된 파퍼스 정리의 아핀 버전을 얻을 수 있습니다.

파퍼스 선 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$와 $선{\displaystyle }$ g${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ g$,h}$가 공통점을 가지면 이른바 작은 버전의 파퍼스 정리를 얻게 됩니다.^[2]

이 입사 정리의 이중은 한 동시 선 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ A, ${\displaystyle B}$$, C$와 다른 동시 선 $집합{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,}$ b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c}$ ${\display$ a,$b,$ c$\}$가 주어지면 선 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x,$y,$$z}$ defined by pairs of points resulting from pairs of intersections ${\displaystyle A\cap b}$ and ${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$ and ${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$ and ${\displaystyle b\cap C}$ are concurrent. (Concurrent means that the lines pass through one point.)

파푸스의 정리는 원뿔에 대한 파스칼의 정리의 특별한 경우로, 원뿔이 2개의 직선으로 퇴화할 때의 한계 경우입니다. 파스칼의 정리는 차례로 케일리-바흐라흐 정리의 특별한 경우입니다.

파퍼스 구성은 파퍼스 정리에서 발생하는 9개의 선과 9개의 점으로 구성된 것으로 각 선은 점의 3개를 만나고 각 점은 3개의 선을 만나는 것입니다. 일반적으로 파퍼스 선은 ${\displaystyle \mathrm{ABC}}$ ${\displaystyle ABC}$와 ${\displaystyle \mathrm{ABC}}$ ${\displaystyle abc}$의 교차점을 통과하지 않습니다$.$^[3] 이 구성은 셀프 듀얼입니다. 특히, 선 ${\displaystyle \mathrm{Bc},}$ ${\displaystyle \mathrm{bC},}$ ${\displaystyle \mathrm{XY}}$ ${\displaystyle Bc, bC, XY}$는 이중 정리의$$ $선{\displaystyle }$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x,$y, z}$의 속성을 가지며$$, $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X, Y,$ Z$}$의 공선성은 ${\displaystyle \mathrm{Bc},}$ ${\displaystyle \mathrm{bC},}$ ${\displaystyle \mathrm{XY}}$ ${\displaystyle Bc, bC, XY}$의 동시성과 동일하므로$,$ 그러므로 이중 정리는 그 정리 자체와 똑같습니다. 파푸스 구성의 Levi 그래프는 18개의 꼭짓점과 27개의 모서리를 가진 이분법적 거리 규칙 그래프인 파푸스 그래프입니다.

증명 : 아핀폼

만약 진술의 아핀 형태가 증명될 수 있다면, 파퍼스 정리의 사영 형태가 증명되는데, 파퍼스 평면의 사영 평면으로의 확장은 독특하기 때문입니다.

아핀 평면에서의 평행성 때문에 ${\displaystyle g}$ ∦ h${\displaystyle$ g\n 두 경우를 구별해야 합니다.$ot$\$parallel h$} 및 g${\displaystyle }$$∥$ h ${\displaystyle$ g\$parallel$ h}입니다. 간단한 증명의 핵심은 "적절한" 좌표계를 도입할 수 있는 가능성입니다.

사례 1: $선$ g${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g,h}$는 $점$ S = $g$∩ h {\displaystyle S = g\cap}에서 교차합니다.
${\displaystyle 이}$ 경우 S = $0$ A = (0, 1 ), c = (1, 0 ) {\displaystyle \;S = (0, 0),\;A = (0, 1),\;c = (1, 0)\;}와 같은 좌표가 도입됩니다(도형 참조). ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B,C}$의 좌표는 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle (}$$γ$${\displaystyle ,}$ C = ${\displaystyle (}$${\displaystyle 0}$,$$${\displaystyle \delta }$$),$${\displaystyle \mathrm{\gamma ,}}$ δ ∉ {0, 1} {\displaystyle ${\displaystyle \backslash }$;B = (0,\gamma),${\displaystyle \backslash }$;C = (0,\$delta$)${\displaystyle \mathrm{,\backslash ;\backslash g}}$amma \n입니다.$otin \{0,1$

선 ${\displaystyle \mathrm{Bc},}$ C ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Bc,\;Cb}$의 평행도에서 $b$ =${\displaystyle }$(δ γ,$0)$ {\displaystyle b = ({\tfrac {\delta }{\gamma }, 0)}을 얻고 선 A b, B {\displaystyle Ab, Ba}의 평행도에서 a = (δ, 0) {\displaystyle a = (\delta, 0)을 얻을 수 있습니다. 따라서 선 ${\displaystyle \mathrm{Ca}}$ ${\displaystyle Ca}$의 기울기는${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$이며 평행선 ${\displaystyle \mathrm{Ac}}$ ${\displaystyle Ac}$입니다$.$

사례 2: ${\displaystyle g}$ ∥ h${\displaystyle g\paralle$ h\} (작은 정리).
이 경우 좌표는 ${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle (0,}$ $0$ b = (1, 0), A = (0, 1), B = (γ, 1), γ ≠ 0 {\displaystyle \;c = (0, 0),\;b = (1, 0),\;A = (0, 1),\;B = (\gamma,$1$),\;\n gamma \n와 같이 선택됩니다.$eq$ 0$\}.$ From the parallelity of ${\displaystyle Ab\parallel Ba}$ and ${\displaystyle cB\parallel bC}$ one gets ${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$ and ${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$, respectively, $그리고$ 적어도 병렬 ${\displaystyle \mathrm{Ac}}$ ∥ Ca ${\displaystyle \;Ac\parallel$Ca\;}.

동차 좌표를 사용한 증명

동차 좌표를 선택합니다.

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

$A$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c,}$ A ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AC,Ac,AX}$선에서 x ${\displaystyle 2_{}}$ = x ${\displaystyle 3_{}}$ x $1$ = x ${\displaystyle 3_{}}$x 2 = x 1 {\$displaystyle$ x_{2} = x_{3},\;x_{1} = x_{3},\;x_{2} = x_{1}}} 선에서 점 B, Y, b {\displaystyle B,Y,b}를 선택합니다.

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

${\displaystyle \mathrm{일부}}$ $p{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q,}$ r ${\displaystyle p,q,r$ 세 개의 선 ${\displaystyle \mathrm{XB},}$ ${\displaystyle \mathrm{CY},}$ ${\displaystyle \mathrm{cb}}${\$displaystyle XB,CY,cb}$는 ${\displaystyle x_{}}$ $1$ = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle ,}$ x ${\displaystyle 2_{}}$ = ${\displaystyle x}$3 $q$ x 3 = x 1 r {\displaystyle x_{1} = x_{2}p,\;x_{2} = x_{3}q,\;x_{3} = x_{1}r}입니다. $따라서$ r ${\displaystyle q}$ p =$$ {\display rqp = 1}인 경우에만$${\$display$ a$}$ 가 $같은$ 점을 통과합니다. 식 $x$ ${\displaystyle 2_{}}$ = ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{},}$ x ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle x}$3 $p,$ x 3 = x 2 r {\displaystyle x_{2} = x_{1} q,\;x_{1} = x_{3}$p$의 세 선 ${\displaystyle C}$ b,${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Cb, cB}$ 및 X ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ XY$}$에 대한 조건,$\;x_{3}=x_{2}r}$ to pass through the same point ${\displaystyle Z}$ is ${\displaystyle rpq=1}$. So this last set of three lines is concurrent if all the other eight sets are because multiplication is commutative, so ${\displaystyle pq=qp}$. Equivalently, ${\displaystyle X,Y,Z}$ are collinear.

위의 증명은 또한 파푸스의 정리가 나눗셈 링 위의 사영 공간에 대해 성립하려면 나눗셈 링이 (가환)장이라는 것이 충분하고 필요하다는 것을 보여줍니다. 독일 수학자 게르하르트 헤센베르크는 파푸스의 정리가 데사르게스의 정리를 의미한다는 것을 증명했습니다.^[4][5] 일반적으로 파푸스의 정리는 어떤 사영 평면이 교환장 위의 사영 평면인 경우에만 성립합니다. 파푸스의 정리가 성립하지 않는 사영 평면은 비가환 나눗셈 고리 위의 데사르게우스 사영 평면과 비 데사르게우스 평면입니다.

$C$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,c,X}$이(가) 공선인 경우 이 증명은 유효하지 않습니다. 이 경우, 예를 들어 다른 투영 참조를 사용하여 대안적인 증명을 제공할 수 있습니다.

이중정리

사영 평면에 대한 이중성의 원리 때문에 파푸스의 이중 정리는 참입니다.

$A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B,}$ c$${\$displaystyle A,$ b,$C,$a, B, $c$ {\displaystyle A, b, C, a,$B,$ c$}$ 선을 $중심$이${\displaystyle }$G, ${\displaystyle H}${\$displaystyle$ G$,H}$인 두 연필에서 번갈아 선택하면$$ 선이 표시됩니다$.$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\capa),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

는 동시에 발생합니다. 즉, $공통적$으로 점 U {\$displaystyle$ U$}$이(가$)$ $있습니다$.
왼쪽 다이어그램은 투영 버전(오른쪽은 아핀 버전)을 보여주며, 점 ${\displaystyle G,}$ H ${\displaystyle G,H}$는 무한대의 점입니다. 점 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$가 ${\displaystyle \mathrm{GH}}$ ${\displaystyle GH}$ 선 위에 있으면$$ 파퍼스 정리의 "듀얼 리틀 정리"를$$ 얻을 수 있습니다.

• 
  이중 정리: 사영 형식
• 
  이중 정리: 아핀 형태

만약 이중 "작은 정리" 점 $U{\displaystyle }${\$displaystyle$ U$}$의 아핀 버전에서도 무한대의 점이$$ 있다면, 삼각형의 변에 있는 6개의 점에 대한 진술인 톰센의 정리를 얻을 수 있습니다(그림 참조). 톰센 도형은 공리적으로 정의된 사영 평면을 조정하는 중요한 역할을 합니다.^[6] 톰센 도형의 폐쇄에 대한 증명은 위에서 제시한 "작은 정리"에 대한 증명으로 덮여 있습니다. 하지만 간단한 직접적인 증거도 있습니다.

톰센 정리의 문장(그림의 종결)은 연결, 교차 및 평행이라는 용어만을 사용하기 때문에 문장은 유한 불변이며 P =${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ $0$ Q = (1, 0), R = (0, 1) {\displaystyle P = (0, 0),\;Q = (1, 0),\;R = (0, 1)}와 같은 좌표를 도입할 수 있습니다(오른쪽 다이어그램 참조). 화음 순서의 시작점은$$(${\displaystyle 0,}$λ)입니다. ${\displaystyle (0,\$lambda)} 다이어그램에서 주어진 점들의 좌표를 쉽게 확인할 수 있는데, 이는 마지막 점이 첫 번째 점과 일치한다는 것을 보여줍니다.

• 
  파퍼스의 작은 정리의 이중 정리로서 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$도 무한대입니다$$!), 탐슨 도형(삼각형 ${\displaystyle \mathrm{PQR}}$ ${\displaystyle PQR}$의 점 $1{\displaystyle \mathrm{},}$ $2, 3,$ $, 5$ 6 ${\$ 2, 3, 4, 5$, 6$$\}).$
• 
  톰센 도형: 증명

정리의 다른 문장

파푸스 정리와 그 이중성에 대한 위의 특징 외에도 다음과 같은 문장들이 있습니다.

• 육각형의 6개의 꼭짓점이 두 선 위에 교대로 놓이면, 서로 반대되는 변 쌍의 교점 세 점은 공선입니다.^[7]
• (위의 그림과 설명처럼) 9개의 점으로 이루어진 행렬로 배열되고 영구적인 것을 평가하는 것으로 생각됩니다. 처음 두 행과 여섯 개의 "대각형" 삼각형이 일직선이 되면 세 번째 행은 일직선이 됩니다.

${\displaystyle \left {begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right }$

즉, ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \mathrm{Ab}}$Z, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c}$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{Ca}}$Y, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathrm{Za}}$ B ${\$\ $ABC, abc, AbZ, BcX, CaY, XbC, YcA, ZaB\}$가 선일 경우, 파퍼스 정리에 따르면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle XYZ}$는 선이어야$$ 합니다. 또한${\displaystyle }$(${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C)}$ ${\displaystyle (A,$ B, C$)}$ 등이 동시선의 세 배일 때 정리의 이중 형식에도 동일한 행렬 공식이 적용됩니다.^[8]

• 두 개의 서로 다른 선 각각에 세 개의 서로 다른 점이 주어지면 두 선 중 하나의 점과 다른 선의 점이 쌍을 이루면 쌍을 이루지 않는 점의 결합은 선을 따라 있는 점에서 (반대로) 쌍을 이루게 됩니다.^[9]
• 두 개의 삼각형이 적어도 두 가지 다른 방식으로 원근법이라면, 그들은 세 가지 방식으로 원근법입니다.^[4]
• If ${\displaystyle \;AB,CD,\;}$ and ${\displaystyle EF}$ are concurrent and ${\displaystyle DE,FA,}$ and ${\displaystyle BC}$ are concurrent, then ${\displaystyle AD,BE,}$ and ${\displaystyle CF}$ are concurrent.^[8]

오리진스

파푸스의 정리는 파푸스 모음집 7권의 명제 138, 139, 141, 143입니다.^[10] 유클리드의 포리스즘 세 권 중 첫 번째 책까지 레마로 구성된 제7권의 부분에 나오는 레마 12, 제13, 제15, 제17권이 그것입니다.

레마는 오늘날 4개의 공선점의 교차비로 알려진 측면에서 증명됩니다. 이전 세 개의 레몬이 사용되었습니다. 이들 중 첫 번째인 렘마 III는 아래 그림을 가지고 있습니다(파푸스의 글자를 사용하여 γ은 G, δ은 D, θ은 J, λ은 L입니다).

여기서 AB, AG 및 AD의 동시 직선 3개는 J에서 동시에 나타나는 JB 및 JE의 두 선으로 교차됩니다. 또한 KL은 AZ와 평행하게 그려집니다. 그리고나서

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB).

이러한 비율은 오늘날 방정식으로 기록될 수 있습니다.^[11]

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

오늘날 공선점 J, G, D, B의 교차비는 (J, G, D, B)로 표시되며, 이 순서에 따라 J, G, D, B의 마지막 화합비(즉, JD: G & B)로 표시됩니다. 따라서 우리는 이것이 A에서 동시에 나타나는 세 직선을 가로지르는 특정 직선 JD의 선택과는 무관하다는 것을 보여주었습니다. 특히

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

직선 JE가 A의 어느 쪽에 떨어지든 상관없습니다. 특히 다음 그림, 즉 보조정리 X에 대한 그림과 같은 상황이 발생할 수 있습니다.

이전과 마찬가지로 (J, G; D, B) = (J, Z; H, E)가 있습니다. 파퍼스는 이를 명시적으로 증명하지는 않지만, 보조 X는 그 반대입니다. 즉, 이 두 교차비가 같고 직선 BE와 DH가 A에서 교차하면 점 G, A, Z가 일직선이 되어야 한다는 것입니다.

우리가 원래 보여준 것은 (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B)로 적을 수 있으며, ∞는 JK와 AG의 (none 존재) 교차점을 대신합니다. 파푸스는 실제로 렘마 XI에서 이를 보여주지만, 그 도표는 다른 문자를 가지고 있습니다.

파퍼스가 보여주는 건 DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, 우리가 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

보조정리 X에 대한 도표II는.

보조정리 X에 대한 도표III는 동일하지만 BA와 DG는 N에서 만납니다. 어쨌든, G를 통과하는 직선들은 A를 통과하는 세 직선들에 의해 절단되고 (그리고 교차비의 방정식들은 원소들의 순열 후에도 유효하다는 것을 받아들임) 우리는 보조정리 III 또는 XI에 의해

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

D를 통과하는 직선을 B를 통과하는 세 직선으로 절단한 것을 고려하면, 우리는

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

따라서 (E, H; J, G) = (E, K; D, L), 따라서 보조정리 X에 의해 점 H, M, K는 일직선이 됩니다. 즉, 육각형 ADEGBZ의 양변 쌍의 교점은 일직선입니다.

Lemas XV와 XVII는 점 M이 HK와 BG의 교점으로 결정되면 점 A, M, D가 일직선을 이룬다는 것입니다. 즉, 육각형 BEKHZG의 양변 쌍의 교점은 일직선입니다.

메모들

참고문헌

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Cronheim, A. (1953), "A proof of Hessenberg's theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2): 219–221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer-Verlag
• Heath, Thomas (1981) [1921], A History of Greek Mathematics, New York: Dover Publications
• Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen, Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161–172, doi:10.1007/BF01457558, ISSN 1432-1807, S2CID 120456855
• Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, Berlin{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
• Kline, Morris (1972), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press
• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues", in Dani, S. G.; Papadopoulos, A. (eds.), Geometry in history, Springer, pp. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
• Whicher, Olive (1971), Projective Geometry, Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4

외부 링크

• 절단 매듭에서 파푸스의 육각 정리
• 절단 매듭에서 파푸스의 육각 정리에 대한 이중
• 파푸스의 정리: 9개의 증명과 3개의 변량