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브라마굽타

Brahmagupta
브라마굽타
태어난c.598년
죽은c. 668 CE (69~70세)
로 알려져 있다
과학 경력
필드천문학, 수학
영향받은거의 모든 후속 수학, 특히 인도와 이슬람 수학

브라마굽타 c.(598668 CE)는 인도의 수학자이자 천문학자이다.그는 수학과 천문학에 관한 두 가지 초기 저작의 저자이다: BSS, "올바르게 확립브라흐마의 교리" (628년)와 더 실용적인 문서인 카흐하하디야카 (665년)

브라마굽타는 0으로 계산하기 위한 규칙을 준 최초의 사람이다.브라흐마굽타가 작곡한 본문은 인도 수학의 일반적인 관행처럼 산스크리트어로 타원[clarification needed] 운문으로 되어 있었다.증거가 없기 때문에 브라흐마굽타의 결과가 어떻게 [1]도출되었는지는 알려지지 않았다.

서기 628년, 브라흐마굽타는 중력을 매력적인 힘으로 처음 묘사했고,[2][3][4][5] 그것을 묘사하기 위해 산스크리트어로 "구루트바카르차암"이라는 용어를 사용했다.

인생과 경력

브라흐마굽타는 그의 진술에 따르면 서기 598년에 태어났다.그는 차브다 왕조 통치자 브야그라무카 시대에 구자라데사[6] 브힐라말(현재의 인도 라자스탄의 빈말)에 살았다.그는 Jishnugupta의 아들이었고 힌두교, 특히 [7]Shaivite였다.그는 그곳에서 살면서 인생의 대부분을 일했다.나중에 해설자가 된 Prithudaka Svamin은 그를 Bhillamala에서 [8]온 선생님인 Bhillamalacharya라고 불렀다.

빌라말라는 오늘날 인도의 남부 라자스탄과 북부 구자라트로 이루어진 서인도 제2의 왕국 구자라데사의 수도였다.그곳은 또한 수학과 천문학의 학습 중심지였다.그는 이 기간 동안 인도 천문학의 4대 학파 중 하나인 브라마팍샤 학파의 천문학자가 되었다.그는 인도 천문학에 관한 다섯 개의 전통적인 싯단타뿐만 아니라 아랴바타 1세, 라타데바, 프라디움나, 바라하미히라, 심하, 스리세나, 비자야난딘, 비슈누찬드라 등 다른 천문학자들의 연구를 연구했습니다.[8]

628년, 30세의 나이에, 그는 브라흐마스푸아시드단타(Brahmasphuidasiddhannta, 브라흐마의 개량된 논문)를 작곡했는데, 이것은 브라흐마팍샤 학파의 수신된 싯단타의 개정판으로 여겨진다.학자들은 그가 상당한 양의 새로운 자료를 추가하면서 그의 개정안에 많은 독창성을 포함시켰다고 말한다.이 책은 24장으로 구성되어 있으며 1008절의 아라야 시로 구성되어 있다.천문학이 대부분이지만 대수 기하학 삼각법 알고리즘 등 수학에 관한 주요 장들도 포함돼 있어 브라흐마굽타 [8][9][10]본인에 의한 새로운 통찰력을 담고 있는 것으로 보인다.

나중에, 브라흐마굽타는 인도 중부의 천문학의 주요 중심지인 아반티의 [11]우자이니로 이사했다.67세의 나이에 [11]그는 학생들이 사용하는 카라나 카테고리의 인도 천문학의 실용적인 설명서인 그의 유명한 다음 작품인 칸다 카디아카를 작곡했다.

브라마굽타는 668년에 죽었고, 그는 우자인에서 죽은 것으로 추정됩니다.

작동하다

브라흐마굽타는 다음과 같은 논문을 작성했다.

  • 브라마스푸아시단타, 서기 628년에 작곡.[12]
  • Kha ceakhadyaka,[12] 서기 665년에 작곡.
  • 그라하샤르카냐나([12]원고 1장에 기재)

접수처

브라흐마굽타의 수학적인 발전은 우자인의 직계 후손인 바스카라 2세에 의해 더욱 진행되었는데, 그는 브라흐마굽타를 가나카 차크라 추다마니(수학자 원의 보석)라고 묘사했다.Prithudaka Svamin은 그의 두 작품 모두에 대해 코멘트를 썼고, 어려운 시를 더 쉬운 언어로 번역하고 삽화를 추가했다.8세기와 9세기에 랄라바토팔라는 칸다카디아카에 [13]대한 해설을 썼다.[11]많은 논평들이 12세기에도 계속 쓰였다.

브라흐마굽타가 죽은 지 몇 십 년 후, 신드는 서기 712년에 아랍 칼리프국의 지배를 받게 되었다.구자라데사로 탐험대가 파견되었다.Bhillamala 왕국은 전멸한 것으로 보이지만 Ujain은 공격을 물리쳤다.칼리프 만수르 궁정은 신드로부터 브라흐마굽타를 포함한 천문학적 문헌을 가져온 (아마도 기억될 수 있는) 점성가 카나카를 포함한 대사관을 받았다.브라만수르의 궁정에 있는 천문학자 무함마드 알-파자리가 신딘드와 아라크핸드라는 이름으로 브라만굽타의 문헌을 아랍어로 번역했다.즉각적인 결과는 본문에 사용된 십진법의 확산이었다.수학자 알 크와리즈미는 13세기에 Algorithmi de numero indorum으로 라틴어로 번역된 al-Jam wal-tafriq bi hisal-Hind라는 텍스트를 썼습니다.이 텍스트들을 통해 십진법과 브라흐마굽타의 산술 알고리즘이 전 세계로 퍼져나갔다.알-크와리즈미는 또한 알-파자리의 버전을 그리고 프톨레마이오스적 요소들을 통합하면서 자신의 버전의 신딘드를 썼다.인도의 천문학적 물질은 수세기 동안 널리 유포되었고, 중세 라틴어 [14][15][16]문헌으로 전해지기도 했다.

과학사학자 조지 사튼은 브라흐마굽타를 "그의 종족에서 가장 위대한 과학자 중 한 명이며 그의 [11]시대의 가장 위대한 과학자"라고 불렀다.

수학

대수학

브라흐마굽타는 브라흐마스푸아시단타 18장에서 일반 선형 방정식의 해답을 제시하였다.

루파 사이의 차이는 [알 수 없는]의 [계수]의 차이로 반전 및 나누었을 때 방정식에서 알 수 없는 것입니다.루파는 제곱과 미지수를 [17]빼는 값 아래에 있다.

이것은 bx + c = dx + e라는 방정식에 대한 해이다. 여기서 루파스c와 e를 나타낸다.해결책은 주어진 x).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac 해당합니다. .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}e− c/b − d

그는 더 나아가 일반 2차 방정식에 두 개의 동등한 해법을 주었다.

18.44. 루파스의 제곱근에 4를 곱하고 중간[숫자]의 제곱근을 줄인다. 나머지는 제곱의 2배로 나눈다.[결과는] 가운데[숫자]
18.45. 루파스의 제곱근에 제곱[그리고]을 곱한 것이 무엇이든 간에, 미지의 절반의 제곱[그리고 나머지]을 제곱으로 나눈다.[[17]결과는] 미지의 것

각각 ax + bx = c 등가 방정식2 대한 해이다.

그리고.

그는 계속해서 원하는 변수를 먼저 분리해야 하고, 그 다음 방정식을 원하는 변수의 계수로 나누어야 한다고 말하는 동시 불확정 방정식의 시스템을 풀었습니다.특히, 그는 여러 개의 미지수를 갖는 방정식을 풀기 위해 "분쇄기"를 사용할 것을 권고했다.

18.51. 첫 번째 색과 다른 색을 빼세요.[나머지]를 첫 번째 [색상의 계수]로 나눈 값이 첫 번째 값입니다.[용어] 2 곱하기 2는 같은 제수로 거듭 생각됩니다.색이 많으면 분쇄기를 사용한다.[17]

디오판투스의 대수처럼 브라흐마굽타의 대수 역시 싱코페이트되었다.덧셈은 숫자를 나란히 배치하고, 뺄셈은 서브헨드 위에 점을 찍고, 나눗셈은 우리의 표기법과 비슷하지만 막대가 없는 배당금 아래에 두어서 나타냈다.곱셈, 진화 및 미지의 양은 적절한 [18]용어의 약어로 표현되었다.만약 있다면, 이러한 싱코페이션에 대한 그리스 영향의 정도는 알려지지 않았으며 그리스와 인도의 싱코페이션이 공통의 바빌로니아 [18]소스로부터 파생되었을 수도 있다.

산술

4가지 기본 연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나눗셈)은 브라흐마굽타 이전에 많은 문화권에서 알려져 있었다.이 현재의 체계는 힌두-아랍 숫자 체계에 기초하고 있으며 브라흐마스푸아시단타에서 처음 나타났다.브라흐마굽타는 곱셈을 다음과 같이 기술합니다.

곱셈기는 곱셈기에 적분 부분이 있는 만큼 소의 끈처럼 반복되고 곱셈과 곱셈을 반복하여 곱셈을 한다.그것은 곱셈이다.또는 곱셈기에 [19]구성 요소가 있는 횟수만큼 곱셈수가 반복됩니다.

중세 유럽에서는 "인디언의 방법"을 뜻하는 modus Indorum으로 알려져 있었다.브라마스푸아시드한타에서는 현재의 [20]방법에 가까운 고무트리카를 포함한 네 가지 곱셈 방법이 기술되었다.그는 또한 "계산"이라는 제목으로 그의 브라흐마스푸아시드단타 12장의 첫머리에서 분수에 대한 연산을 상세하게 설명한다.독자는 정수의 큐브와 큐브 루트를 찾는 방법을 설명하고 나중에 제곱근과 제곱근 계산을 용이하게 하는 규칙을 제공하지만 제곱근까지 기본적인 산술 연산을 알 것으로 예상된다.그런 다음, 그는 분수의 다섯 가지 조합을 다루는 규칙을 제시한다. a/c + b/c; a/1 + b/d; a/c + b/d; a/c = a(d + b)/cd; a/c - b/d × a/c = a(d - b)/cd.[21]

시리즈

브라마굽타는 첫 번째 n개의 정수의 제곱과 입방체의 합을 계속해서 준다.

12.20. 제곱의 합은 [sum]에 [s]의 2배를 곱한 값이고, 1을 [및]을 3으로 나눈 값이다.입방체의 합계는 동일한 볼을 가진 입방체의 [sum] 더미의 제곱이다[계산할 [22]수도 있다].

여기서 브라흐마굽타는 현대 [23]관행처럼 n개의 정수로 된 것이 아니라 처음 n개의 정수의 으로 된 결과를 발견했다.

첫 번째 n개의 자연수의 제곱합은 n(n + 1)(2n + 1)/6)이고 첫 번째 n개의 자연수의 세제곱합은 (n(n + 1)/2)2
이다.

브라흐마굽타의 브라흐마스푸아시단타는 0과 [24]음수에 적용되는 산술 조작에 대한 규칙을 제공하는 최초의 책이다.브라마스푸아시드한타바빌로니아인들이 했던 것처럼 단순히 다른 숫자를 나타내는 자리 표시자 숫자나 프톨레마이오스와 로마인들이 했던 것처럼 수량이 부족하다는 상징이 아닌, 0을 그 자체로 숫자로 취급한 가장 오래된 문서이다.그의 브라흐마스푸아시드단타 18장에서 브라흐마굽타는 음수에 대한 연산을 묘사한다.그는 먼저 덧셈과 뺄셈을 설명한다.

18.30. 두 개의 양의 [합]은 양수이고, 두 개의 음수이고, 양수와 음의 [합]은 양수이고, 같은 경우에는 0이다.음과 영의 합은 음, 양과 영의 합은 음, 그리고 두 개의 영의 합은 음입니다.

[...]

18.32. 음의 마이너스 0은 음, 양의 [마이너스 0]은 양, 0[마이너스 0]은 0입니다.양수가 음수에서 감산되거나 음수가 양수에서 감산될 때,[17] 그것은 더해진다.

그는 곱셈에 대해 계속 기술하고 있다.

18.33. 음과 양의 곱은 음, 양, 양의 곱은 음이다. 0과 음, 0과 양의 곱 또는 두 개의 0의 곱은 [17]0이다.

그러나 제로 나눗셈에 대한 그의 설명은 우리의 현대적 이해와는 다르다.

18.34. 양수를 양수로 나눈 것 또는 음수로 나눈 것은 양수이고, 0을 0으로 나눈 것은 0이며, 양수를 음수로 나눈 것은 음수이며, 음수를 양수로 나눈 것도 음수이다.
18.35. 음수 또는 양수를 0으로 나누면 [0]이 제수로, 또는 0을 음수 또는 양수로 나누면 [그 음수 또는 양수를 제수로 갖는다]음수 또는 양의 제곱은 양수이고, 0의 제곱은 0입니다.제곱근은 [17]제곱근이다.

여기서 브라흐마굽타는 0/0 = 0이라고 말하고 있으며, a/0에 관한 질문에 대해서는 그가 [25]직접 약속하지 않았다.음수와 0에 대한 의 산술 규칙은 현대 수학에서 0으로 나누면 정의되지 않는다는 것을 제외하면 현대의 이해에 상당히 가깝다.

디오판틴 분석

피타고라스 세쌍둥이

그의 브라흐마스푸아시드단타 12장에서 브라흐마굽타는 피타고라스 3배를 생성하는 데 유용한 공식을 제공한다.

12.39. 산의 높이에 주어진 승수를 곱한 것은 도시까지의 거리이며, 지워지지 않는다.곱셈을 2로 나누면 같은 여행을 [26]하는 두 사람 중 한 사람의 도약이다.

즉, d = mx/x + 2인 경우, 높이 m의 산 정상에서 거리 d를 수직으로 상승시킨 후, 산 기슭에서 수평 거리 mx로 도시까지 직선으로 이동하고, 산을 수직으로 하강한 후 호리를 따라 이동하는 여행자와 동일한 거리를 이동한다.도시까지 [26]수평을 이루다기하학적으로 표현하면, 이것은 직각 삼각형이 길이 a = mx이고 길이 b = m + d의 고도를 갖는다면, 빗변의 길이 c는 c = m (1 + x) - d로 주어진다. 그리고, 실제로, 기초 대수적 조작은 d 값이 명시될 때마다 a2 + b2 = c임을2 보여준다.또한 m과 x가 유리하다면 d, a, b, c유리하다.따라서 피타고라스 트리플은 각각에 분모최소공배수를 곱함으로써 a, b, c로부터 얻을 수 있다.

펠 방정식

브라흐마굽타는 유클리드 알고리즘을 사용하여 Nx + 12 = y (펠 방정식이라고 함)와2 같은 2차 디오판토스 방정식의 특정 사례에 대한 해법을 생성하기 위한 반복 관계를 제공하였다.유클리드 알고리즘은 숫자를 훨씬 더 작은 [27]조각으로 나누기 때문에 그에게 "펄버라이저"로 알려져 있었다.

정사각형의 특성:
18.64. 승수에 의해 주어진 제곱근의 두 배와 임의의 [숫자]만큼 증가 또는 감소한다.첫 번째 [쌍]의 곱과 마지막 [쌍]의 곱이 마지막으로 계산된다.
18.65. 번개 제품의 합계가 첫 번째입니다.첨가물은 첨가물의 산물과 같다.2개의 제곱근을 덧셈 또는 빼기로 나눈 것이 덧셈 루파이다.[17]

그의 해결책의 열쇠는 [28]신원이었고

디오판토스가 발견한 정체성의 일반화입니다

그의 정체성 그 방정식, 그렇다면(미국, y2)(x1, y1)하는 해법 각각 − Ny2)k1과 x2 − Ny2)k2 x2를 사용해(x1x2+Ny1y2, x1y2+x2y1) 있는 해결 방법 x2 − Ny2)k1k2, 그는 살 수 있는 방법을 찾적분 문제 해결을 위해 펠 방정식을 통해 일련의 방정식의 형태 미국 − Ny2) 쓰다.브라마 굽타 그의 해결책 unifor 적용할 수 있지 않았다.n의 모든 가능한 값에 대해 mly는 대신 x2 - Ny = k가 k = ±1, ±2, 또는 ±4에 대한 정수 솔루션을 갖는2 경우2 x - Ny2 = 1이 솔루션을 갖는다는 것만 보여줄 수 있었다.펠 장군 방정식의 해는 1150년 [28]바스카라 2세를 기다려야 할 것이다.

기하학.

브라흐마굽타 공식

참조용 다이어그램

기하학에서 브라흐마굽타의 가장 유명한 결과는 순환 사변수에 대한 의 공식이다.어떤 순환 사변형의 변의 길이를 고려할 때, 브라흐마굽타는 도형의 면적에 대한 근사적이고 정확한 공식을 제공했다.

12.21. 대략적인 면적은 삼각형과 사변형의 변과 반대 변의 합계의 절반의 곱이다.정확한 [면적]은 정사각형의 [22]각 변에서 줄어든 변의 절반의 곱에서 나온 제곱근이다.

따라서 순환 사변형의 길이 p, q, r s가 주어졌을 때, 대략적인 면적은 p + r/2 · q + s/2인 반면, t = p + q + r + s/2하면, 정확한 면적은 다음과 같다.

θ(t - p)(t - q)(t - r)(t - s)

비록 브라흐마굽타는 이러한 4변수가 순환적이라고 명시적으로 말하지 않지만, 그의 규칙에서 이것이 [29]사실이라는 것이 명백하다.헤론의 공식은 이 공식의 특별한 경우이며 변 중 하나를 0으로 설정하여 도출할 수 있습니다.

삼각형

브라마굽타는 그의 작품의 상당 부분을 기하학에 바쳤다.하나의 정리는 삼각형의 밑면을 고도로 나눈 두 세그먼트의 길이를 나타낸다.

12.22. 밑변은 밑변으로 나눈 변의 제곱의 차이로 감소 및 증가하였다. 2로 나누었을 때 진정한 세그먼트가 된다.수직[고도]는 한 변의 제곱근에서 [22]해당 세그먼트의 제곱근으로 감소된 제곱근이다.

따라서 두 세그먼트의 길이는 1/2(b ± c2 - a2/b)입니다.

그는 또한 유리 삼각형에 대한 정리를 제시한다.유리변 a, b, c 및 유리면적을 갖는 삼각형은 다음과 같다.

어떤 유리수 u,[30] v, w에 대해서요.

브라흐마굽타의 정리

브라흐마굽타의 정리는 AF = FD라고 말한다.

브라마굽타는 계속된다.

12.23. 비균등 사변형의 변과 반대 변의 두 곱의 제곱근은 대각선이다.대각선의 제곱은 밑면과 윗면의 합계의 절반만큼 감소합니다. 제곱근은 수직[경도][22]입니다.

따라서 "불균등" 순환 사변형(즉, 이등변 사다리꼴)에서 각 대각선의 길이는 µpr + qs이다.

그는 이등변 사다리꼴과 사변형의 둘레 반지름과 같은 기하학적 도형의 길이와 면적, 그리고 사변형의 사변형의 대각선 길이에 대한 공식을 계속 제공한다.이것은 브라흐마굽타의 유명한 정리로 이어진다.

12.30–31.[순환 사각형] 내에서 변이 같지 않은 두 개의 삼각형을 촬영하면 두 개의 대각선이 두 개의 밑면이 됩니다.이 두 세그먼트는 대각선의 교차점에 있는 위쪽 세그먼트와 아래쪽 세그먼트를 별도로 형성합니다.두 대각선 중 두 개의 [하위 세그먼트]는 삼각형의 두 변이고, 밑변은 [사변형의 밑변은 삼각형의 밑변이다]수직은 [중앙][22] 수직의 아래쪽 부분이고, [중앙] 수직의 위쪽 부분은 아래쪽 [중앙 수직의 비율]만큼 줄어든 [측면] 수직의 합계의 절반입니다.

파이

40절에서는 ,의 가치를 제시하고 있습니다.

12.40. 반지름 [각]에 3을 곱한 직경과 제곱은 [각각] 실제 원둘레와 [원] 면적이다.정확한 값은 두 개의 제곱근에 [22]10을 곱한 것이다.

따라서 Bramagupta는 오차 1% 미만의 "정확한" 으로 3을 사용하고 10 (\ 사용합니다.

측정 및 시공

40절 이전의 몇몇 구절에서 브라흐마굽타는 다양한 인물들의 구성을 임의의 면으로 보여준다.그는 기본적으로 직각삼각형, 스칼레네 삼각형, 직사각형, 이등변 사다리꼴, 세 변이 같은 이등변 사다리꼴, 그리고 스칼레네 순환 사변형을 만들기 위해 직각삼각형을 조작했다.

파이 값을 준 후 부피와 표면적(또는 솔리드로부터 파낸 빈 공간)을 찾는 것과 같은 평면 도형과 솔리드 기하학을 다룹니다.그는 직사각형 프리즘, 피라미드, 그리고 정사각형 피라미드의 좌절을 발견한다.그는 더 나아가 일련의 구덩이의 평균 깊이를 찾아낸다.피라미드 판막의 부피는 깊이 곱하기 상단과 하단의 모서리 평균 제곱의 "도량" 값을, 그리고 "초량" 부피는 깊이 곱하기 그들의 평균 [31]면적을 나타낸다.

삼각법

사인 테이블

Brahmasphuasasiddhannta라는 제목의 그의 Brahmasphuaasiddhannta 제2장에서 Brahmagupta는 사인표를 제시한다.

2.2~5. 사인:조상, 쌍둥이, 큰곰자리, 쌍둥이, 베다, 신들, 불들, 여섯, 맛, 주사위, 신들, 달, 다섯, 하늘, 달, 달, 화살, 태양[...][32]

여기서 브라흐마굽타는 산스크리트어 논문의 숫자 데이터와 마찬가지로 자리값 숫자의 자릿수를 나타내기 위해 물체의 이름을 사용한다.인도 우주론에서 조상들은 14개의 조상("마누")을 나타내고, "큰곰자리"는 2, "큰곰자리"는 7개의 별, "큰곰자리"는 4개의 베다 또는 4, 주사위는 전통적인 다이의 변의 수를 나타냅니다.이 정보는 sines 목록으로 변환할 수 있습니다.214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270, 의 반경이 됩니다. n[33]

보간 공식

665년에 브라흐마굽타는 이미 [34]표로 된 다른 값들로부터 사인함수의 새로운 값을 보간하기 위해 2차 뉴턴-스틸링 보간 공식의 특별한 경우를 고안하고 사용했다.공식은 함수 f의 값이 a - h, a a + h로 이미 알고 있는 경우 인수 값 a + xh(h > 0 -1 1 x 1 1)에서 함수 f의 값을 추정합니다.

견적 공식은 다음과 같습니다.

여기서 δ는 1차 순방향 차분 연산자입니다.

중력

628년 브라마굽타는 [2][3][4][5]중력을 설명하기 위해 "구루트바카르차암"이라는 용어를 사용하여 처음으로 중력을 매력적인 힘으로 묘사했다.

모든 면의 땅은 똑같다.지상의 모든 사람은 똑바로 서 있고, 모든 무거운 것은 자연의 법칙에 따라 땅으로 떨어진다.왜냐하면 사물을 끌어당기고 보관하는 것은 지구의 본성이기 때문이다.물이 흐르는 것과 같이...어떤 것이 지구보다 더 깊이 들어가고 싶다면, 시도하게 하라.지구는 유일한 낮은 존재이며 씨앗은 항상 그 곳으로 되돌아간다. 어떤 방향으로 버리든,[35][36][a] 그리고 결코 땅에서 위로 떠오르지 않는다.

천문학

브라흐마굽타는 경쟁 천문학자들의 업적에 많은 비판을 가했고 그의 브라흐마스푸아시드한타는 인도 수학자들 사이에서 가장 초기의 분열 중 하나를 보여준다.그 나눗셈은 주로 수학 그 자체보다는 물리적인 세계에 수학을 적용하는 것에 관한 것이었다.브라흐마굽타의 경우, 의견 불일치는 주로 천문학적 변수와 [37]이론의 선택에서 비롯되었다.경쟁 이론에 대한 비판은 처음 10개의 천문학 장에 걸쳐 나타나며, 11번째 장은 12번째와 18번째 [37]장에 대한 비판은 나타나지 않지만 전적으로 이러한 이론에 대한 비판에 전념한다.

천문학에서 브라흐마굽타에 의해 이루어진 중요한 공헌들 중 일부는 시간에 따른 천체의 위치를 계산하는 그의 방법들, 천체의 상승과 설정, 결합 그리고 일식과 [38]월식의 계산이다.

' 초승달'이라는 제목의 의 '브라흐마스푸아시드단타' 7장에서 브라흐마굽타는 달이 [clarification needed]태양보다 지구에서 더 멀다는 생각을 반박한다.그는 [39]태양에 의한 달의 빛을 설명함으로써 이것을 한다.

1. 달이 태양 위에 있다면 달의 경도 계산에서 밀림, 밀림 등의 힘은 어떻게 나올까?거의 절반은 항상 밝을 것이다.

2. 햇빛에 서 있는 항아리의 태양에 비친 반은 밝고, 보이지 않는 반은 어둡게 보이는 것과 마찬가지로 태양 아래 달의 [빛이 있다면]도 밝습니다.

3. 태양 방향으로 밝기가 증가합니다.반달이 지나면 반은 밝고 반은 어둡다.따라서 [초승달의] 뿔의 높이는 계산에서 구할 수 있다.[40]

그는 달이 태양보다 지구에 더 가깝기 때문에 달에서 빛을 받는 부분의 정도는 태양과 달의 상대적인 위치에 따라 달라지며, 이는 두 [39]물체의 각도의 크기로 계산될 수 있다고 설명한다.

행성의 경도, 일주일 자전, 월식과 일식, 일식, 상승과 배경, 달의 초승달과 행성의 결합을 탐구하는 추가 작업은 그의 논문 Khandakhadyaka에서 논의된다.

「 」를 참조해 주세요.

인용 및 각주

각주

  1. ^ 이 인용문의 출처는 알-비루니 인도입니다(1030년경).[35]

인용문

  1. ^ Brahmagupta 전기, 기사: J J'O'Connor와 E F Robertson.수학과 통계학 학교.스코틀랜드 세인트 앤드루스 대학교2000년 11월
  2. ^ a b Pickover, Clifford (2008). Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press. p. 105. ISBN 978-0-19-979268-9.
  3. ^ a b Bose, Mainak Kumar (1988). Late classical India. A. Mukherjee & Co.[페이지 필요]
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  7. ^ Bhattacharyya 2011, 185페이지: "동양, 정말로 세계에서 가장 유명한 수학자들 중 하나인 Bhmagupta는 차파 왕조의 왕인 Byaghramukh의 통치 기간 동안 Bhillamala 마을에서 598년에 태어났습니다."
  8. ^ a b c Gupta 2008, 페이지 162
  9. ^ Bhattacharyya 2011, 페이지 185-186.
  10. ^ Bose, Sen & Subbarayappa 1971.
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  18. ^ a b 보이어(1991년, "중국과 인도" 페이지 221) "그는 선형 디오판틴 방정식 ax + by = c의 일반적인 해답을 준 최초의 사람이다. 여기서 a, b, c는 정수이다. [...] 그는 선형 디오판틴 방정식의 모든 적분해를 준 반면 디오판타 자신은 만족했다.부정 방정식의 연립해.브라흐마굽타가 디오판투스와 같은 예를 사용했기 때문에, 우리는 인도에서 그리스가 영향을 미쳤을 가능성, 혹은 둘 다 바빌로니아에서 온 공통의 원천을 사용했을 가능성을 다시 보게 된다.디오판투스의 대수처럼 브라흐마굽타의 대수학이 싱코페이트된 것도 흥미롭다.덧셈은 분할표기법에서와 같이 소분수 위에 점을 찍음으로써, 그리고 나눗셈으로 나타내어진다.곱셈과 진화(근원을 얻는 것)의 연산과 미지의 양은 적절한 단어의 줄임말로 표현되었습니다."
  19. ^ Brahmagupta; Bhāskara II (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Translated by Henry Thomas Colebrooke. John Murray. p. 319.
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  21. ^ Flofker (2007, 페이지 422) 독자는 제곱근까지 기본적인 산술 연산에 익숙할 것으로 예상된다; Brahmagupta는 단지 그것들을 분수에 적용하는 것에 대한 몇 가지 점만을 언급할 뿐이다.그러나 정수의 큐브와 큐브 루트를 찾는 절차는 다음과 같습니다(정수의 큐브 루트는 Aryabhata의 매우 유사한 공식과 비교).[...]의 다섯 가지 조합에 대한 규칙이 뒤따릅니다.
  22. ^ a b c d e f 플로프커 (2007, 페이지 421–427)
  23. ^ Flofker(2007, 페이지 423) 여기서 처음 n개의 정수의 제곱합과 입방체의 합은 n개의 정수 자체의 합으로 정의된다.
  24. ^ Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. London: Allen Lane/The Penguin Press. pp. 68–75. Bibcode:2000tnti.book.....K.
  25. ^ Boyer(1991년, 페이지 220):그러나 여기서 다시 브라흐마굽타는 0 0 0 = 0이라고 주장함으로써 문제를 다소 망쳤고, 0 0 0의 민감한 문제에 대해서는 약속하지 않았다.
  26. ^ a b 플로커 (2007, 페이지 426)
  27. ^ Stillwell (2004, 페이지 44–46):7세기에 인도의 수학자 브라흐마굽타는 5장에서 볼 수 있듯이 x - Dy2 = 1의 2 생성하기 위한 반복 관계를 제시하였다.인디언들은 유클리드 알고리즘을 "펄버라이저"라고 불렀습니다. 왜냐하면 그것은 숫자를 점점 더 작은 조각으로 나누기 때문입니다.반복을 얻기 위해서는 원본에 비례하는 직사각형이 결국 다시 나타난다는 것을 알아야 하는데, 이것은 1768년에 라그랑주에 의해서만 엄격하게 증명된 사실이다.
  28. ^ a b 스틸웰 (2004, 페이지 72-74)
  29. ^ Flofker (2007, 페이지 424) Bramagupta는 원 안에 새겨진 도형만을 논하고 있다고 명시적으로 진술하지는 않지만, 이것은 그 둘레 반지름을 계산하기 위한 이러한 규칙에 의해 암시된다.
  30. ^ 스틸웰 (2004, 페이지 77)
  31. ^ 플로프커(2007, 페이지 427) 평면 도형의 기하학 후에 브라흐마굽타는 고체(또는 고체로부터 파낸 빈 공간)의 부피와 표면적의 계산에 대해 논한다.직사각형 프리즘과 피라미드의 부피에 대한 그의 간단한 규칙은 더 모호한 규칙 뒤에 있는데, 이것은 다른 깊이를 가진 일련의 퍼트의 평균 깊이를 찾는 것을 언급할 수 있다.다음 공식은 분명히 정사각형 피라미드의 좌골의 부피를 다루고 있는데, 여기서 "도면" 부피는 위아래 면의 모서리 평균 제곱의 깊이 곱하기 평균 면적입니다.
  32. ^ 플로커 (2007, 페이지 419)
  33. ^ Flofker (2007, 페이지 419–420) 브라흐마굽타의 사인표는 산스크리트 논문의 다른 많은 수치 데이터와 마찬가지로, 가장 중요하지 않은 숫자 자릿수를 나타내기 위해 객체의 이름을 사용하는 구체적인 숫자 표기법으로 대부분 인코딩된다.[...]
    인도 우주론에는 14개의 조상('마누')이 있다; "쌍둥이"는 물론 2를 나타낸다; 큰곰자리의 7개의 별, 4개의 베다, 그리고 도박에 사용되는 전통적인 주사위의 4면, 6개 등을 의미한다.따라서 브라흐마굽타는 그의 첫 6개의 사인값을 214, 427, 638, 846, 1051, 1251로 열거한다. (그의 나머지 18개의 사인값은 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3096, 3207, 3263이다.)그러나 Paitamahasiddhanta는 초기 사인 값을 225로 지정한다(다른 사인 테이블은 손실되지만). 이는 R = 3438 약 = C(')/2µ의 삼각 반지름을 의미하며, 우리가 본 바와 같이 Aryabhata에 의해 계승된 전통이다.아무도 브라흐마굽타가 이 값들을 R = 3270으로 정규화하는 것을 선택한 이유를 모른다.
  34. ^ 조셉(2000년, 페이지 285-86).
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  40. ^ 플로커 (2007, 페이지 420)

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